2024年数学高考专题--用构造局部不等式法证明不等式

2024年数学高考专题--用构造局部不等式法证明不等式

1.2024年数学高考专题--用构造局部不等式法证明不等式 篇一

构造函数法证明不等式

一、构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式

【例1】证明不等式：|a||b||ab|

1|a||b|≥1|ab|

证明：构造函数f(x)=

x

1x(x≥0)则f(x)=x1x=1-

11x

在0，上单调递增

∵f(|a| + |b|)=

|a||b|1|a||b|f(|a + b|)=|ab|

1|ab|

且|a| + |b|≥|a + b|

∴f(|a| + |b|)≥f(|a + b|)即所证不等式正确。

二、利用分式函数的奇偶性证明不等式

【例2】证明不等式：x12x＜x

2（x≠0）证明：构造函数f(x)=x1

2x

x

2(x0)∵f(-x)=-xx-x2x1-2-x22x1x2x12x

[1-(1-2x)]x2x12xx2=f(x)

∴f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称。当x＞0时，12x

＜0，f(x)＜0；

当x＜0时，-x＞0,故f(x)=f(-x)＜0 ∴x1-2xx2＜0，即x12

x

＜x

2三、构造一次函数，利用一次函数的单调性证明不等式

【例3】已知|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求证：a + b + c＜abc + 2。

证明：构造函数f(c)=(1-ab)c + a + b-

2∵|a|＜1，|b|＜

1∴-1＜ab＜1，1-ab＞0

∴f(c)的（-1，1）上是增函数

∵f(1)=1-ab + a + b-2=a + b–ab-1=a(1b)=(1c)2＞4a(a + b + c)。证明：构造函数f(x)=ax2 +(-b + c)x +(a + b + c)(a≠0)

则f(0)=a + b + c，f(1)=2(a + c)

由(a + c)(a + b + c)＜0知：f(0)•f(1)＜0 ∴f(x)=0有两个不等的实数根。∴△＞0，即(bc)2＞4a(a + b + c)

【例5】已知实数a，b，c满足a + b + c = 5，a2 + b2 + c

2= 9，求证a，b，c的值都不小于1，又都 不大于21

3。

证明：构造函数f(x)=2x2+ 2(a + b)x + a2 + b2=(x + a)2 +(x + b)2 ≥0

∵2＞0

∴△=[2(a+b)]2-4×2×(a2 + b2)≤0

∴△=4(5-c)2-8(9-c2)≤0 ∴(c-1)(3c-7)≤0

∴1≤c≤213

同理可证：1≤a≤21，1≤b≤2133。

【例6】已知a，b，c∈R，证明：a2 + ac + c2 + 3b(a + b + c)≥0，并指出等号何时成立？

证明：令f(a)= a2 +(c + 3b)a + c2 + 3b2

+ 3bc

△=(c + 3b)2-4(c2 + 3b2 + 3bc)=-3(b + c)2

≤0 恒成立 ∵二次项系数1＞0

∴f(a)≥0，即 a2 + ac + c2 + 3b(a + b + c)≥0

又当△=0，即b + c = 0时f(a)=(a + b)2

= 0 ∴当且仅当a=-b=c时才能取等号。

⒉利用一元二次方程根的分布证明不等式

【例7】设a + b + c=1，a2 + b2 + c2 =1，且a＞b＞c，求证：-

13＜c＜0

证明：∵a + b + c=1

∴a + b =1-c有a2 + b2 + 2ab=1c

∴a，b是方程x2-(1-c)x+c2-c=0的两个实数根

∵a＞b＞c，故方程有大于c的两个不等的实数根

构造函数f(x)= x2-(1-c)x+c2-c，则有：

(1c)24(c2c)＞0

1c＞c

2

f(c)＞0

∴-1

3＜c＜0

⒊综合运用判别式法、一元二次方程根的分布证明不等式

【例8】设a，b是两个不等于0的实数，求证：下列不等式中至少有一个成立。aa22b2

2b1，aa22b2

2b1

证明：设f(x)=bx2axb

2(b≠0)

∵△=(-a)2-2b(-b)=a2+2b2＞0

∴抛物线与x轴必有两个交点，其横坐标为x=aa22b2

2b

∴f(-1)=b

2af(0)= b

2f(1)= b

2a

⑴当b＞0时，f(0)＜0

若a＞0,则f(-1)＞0

∴点A（-1，f(-1)）在x轴上方，点B（0，f(0)）在x轴下方

∴抛物线与x轴在（-1，0）内必有一个交点，此时有

aa22b2

2b1 若a＜0，则f(1)＞0 ∴点C(1，f(1))在x轴上方 ∴抛物线与x轴在（0，1）内必有一个交点，此时有 aa22b22b1 ⑵当b＜0时，f(0)＞0，此时点B在x轴下方，同理可证A点和C点至少有一点 在x轴上方。故两个不等式至少有一个成立。构造函数法证明不等式，关键在于找到能够反映所要证不等式特征的合适的函数，从而就可以利用该函数的性质去证明不等式。