椭圆的标准方程教学案例

2024-10-27

椭圆的标准方程教学案例（精选13篇）

1.椭圆的标准方程教学案例篇一

《椭圆及其标准方程》的教学反思

感受数学，爱上数学，爱学数学

高二年级数学组

张婧

11月5日对《椭圆及其标准方程》进行教学，上完这节课后我认真地进行了反思，具体内容如下：一．教学设计

新课标指出：数学不仅要考虑数学自身的特点，更要遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生的已有生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力，情感态度价值观等过方面得到进步和发展。本着这个原则我进行了教学设计。

1、新知引入：

（1）说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题。

（2）手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。

问题引领（1）轨迹上的点是怎么来的？

（2）在这个运动过程中，什么是不变的？

2、进入新课：（1）通过学生手工操作演示椭圆的形成，引导学生探究椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆轨迹上的动点与两个定点距离之和不变。

（2）观察图形，提示学生归纳总结出椭圆的定义。（3）根据定义小组合作推导椭圆标准方程。（4）讲解例题，巩固基本知识，提高自身素质。

二、成功之处

1、教学方法上：结合本节课的具体内容，和16班学生的具体情况确立启发探究式教学，体现了认知心理学的基本理论。

2.学习的主体上：课堂尽力不“一言堂”，设计问题引领学生参与，顺着学生思维发展规律，给学生的主动参与提供时间和空间，让不同程度的学生勇于发表自己的各种观点（无论对错），基本做到：凡是学生能够自己观察的、讲的（口头表达）、思考探究的、动手操作的，都尽量让学生自己去做，这样可以调动学生学习积极性，拉近师生距离，提高知识的可接受度，让学生体会到他们是学习的主体。进而完成知识的转化，变书本的知识为自己的知识。

3.学生参与度上：课堂教学真正面向全体学生，让每个学生都享受到发展的权利。在我的启发鼓励下，让学生充分参与进来，进行交流讨论，共同进步。

4、“三维”课程目标的实现上：既关注掌握知识技能的过程与方法，又关注在这过程中学生情感态度价值观形成的情况。

5、学法指导上：采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的讲解讨论相结合，促进学生说、想、做，注重“引、思、探、练”的结合，鼓励学生发现问题，大胆分析问题和解决问题，进行主动探究学习，形成师生互动的教学氛围。

三、不足之处

1．本节课课堂容量偏大，从而导致学生在课堂上的思考的时间不够，课堂时间比较紧张。因此今后要合理地安排每一节课的课堂容量，给学生更多的思考时间和空间，提高课堂的效果。

2．过高估计学生的能力，小组合作推导椭圆标准方程时没能达到预期效果，计划是互教互学，共同进步，并从中体会解决问题的成就感，从而增进学生的合作意识和团队精神，但是因为班上只有一小部分同学基础比较扎实，大部分同学的计算能力不过关，只有一个小组完成较好，其他均半路夭折。课后，我认为如果能将小组合作问题提前让学生预习，学生在课下就进行研究，并找到自己解决不了的地方，课上小组解决，教师指导，应该会有好的效果。

总之，在本次课堂教学循环听课中我认为：问题引领学生自主探究，带着问题进入课堂，教师在课上点拨学生主要问题，强调重点问题，并可以进行拔高。这样既可以使学生动起来，由被迫获取变为主动学习，通过课前自主学习，课上小组相互学习，教师点拨，足以将知识很好的掌握，这样也可以使教师从总是不放心中解脱出来，不用总是面面俱到的讲，学生会的不讲，学生可以突破的不讲，只讲学生疑惑的难以解决的问题，从而使课堂高效，并且学生也不用一直听一直听，听觉疲劳，然后昏昏欲睡。但是要进行这样的课堂，学生课前学习的时间必须保证，学生的主动性要充分调动，并且应有合理的奖惩办法让学生全员参加，避免一些学生滥竽充数。作为教师课前预设的问题一定要有梯度，有层次，适合学生思维发展规律。以上是我的一些小小想法，我会努力去尝试，不断地学习，使学生爱上数学，爱上学数学。

2.椭圆的标准方程教学案例篇二

一、课程分析

本节主要学习椭圆的定义与椭圆的标准方程，重点是椭圆的定义及其标准方程．难点是椭圆的定义的理解与标准方程的推导．通过本节课的学习，应初步掌握椭圆的定义及标准方程，能根据所给条件确定椭圆的标准方程．

二、学情分析

本班学生学习气氛较浓，课堂气氛活跃，学生能在老师的合理指导下，课堂上充分发挥，积极讨论，独立思考，实现学习目标，完成学习任务．

三、设计思路

1．指导思想:

本节课坚持以“诱思探究教学思想”理论为指导，围绕“诱”是“思”的基础，“思”是“诱”的目的这一中心确定教学的主线———以诱达思，启智悟道．

2．总体设想:

本节课通过对椭圆的标准方程的学习，进而提升学生对曲线的认识，体现了解析几何的宗旨，进一步提高学生数形结合的能力．达到“启智悟道”的目的．

3．流程概况:

创设情境，引入新课;探究新知，形成概念;探索研究，导出方程;随堂练习，巩固双基;课堂小结，完善认识;作业布置，巩固知识．

四、学习目标

知识和技能目标:1．掌握椭圆的定义及标准方程;2．待定系数法求方程的应用;

过程与方法目标:数形结合思想的渗透．

情感态度与价值观目标:1．使学生认识并理解世间的一切事物的运动都是有规律的．2．培养学生发现规律，寻求规律，认识规律并利用规律解决实际问题的能力．3．通过小组合作，培养协作、友爱精神．

五、教学流程

1．创设情境，引入新课

(课件投影)请同学们看投影所给的图片，观察人造卫星、行星的运行轨迹是什么?

设计意图:通过对图片的展示，引发学生的思考，在通过教师的导向性信息，使学生对椭圆有一个整体的认识，为下面的教学铺平道路．

简要实录:学生甲:图片显示的是生活中的一些椭圆．

学生乙:人造卫星和行星的运行轨迹是椭圆．

老师:这些有规律的曲线在实际生活中应用很广泛，那么怎样进一步加深对这些曲线的认识了呢?本章将学习如何建立这些曲线的方程，然后利用方程研究他们的性质，进而利用性质解决一些简单的实际问题．本节课我们先来学习椭圆及其标准方程．

2．探究认知，形成概念

(课件投影)请同学们用准备好的工具，按下面的要求画图:

1．取一条细线，一张纸板;2．在纸板上取两点分别标上F1、F2;3．把细线的两端分别固定在F1、F2两点;4．用笔尖把细线拉紧，在纸板上慢慢移动画出图形．

(课件投影)1．几何画板演示椭圆的形成过程．

2、根据画图的过程，回答下列问题:

(1)当线长大于|F1F2|时，笔尖的轨迹是_______．

(2)当线长等于|F1F2|时，笔尖的轨迹是_______．

(3)在画图的过程中，哪些量没有发生变化?把这些量用几何式子表示出来．

要求:独立完成后，再相互交流、反思总结．

设计意图:通过该问题的回答，让学生对椭圆的形成在几何上有一个准确的描述．为解决后面定义中的特殊情况做了很好的铺垫．

简要实录:学生丙:当线长大于|F1F2|时，笔尖的轨迹是椭圆．学生丁:当线长等于|F1F2|时，笔尖的轨迹是线段．

(板书)定义:在平面内，到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

注意:1、椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数;即|MF1|+|MF2|=2a.

2．该常数大于|F1F2|，即2a>2c.

设计意图:通过对定义的探究，使学生更清楚的理解椭圆定义中的关键点和容易出错的地方．

3．探索研究，导出方程

(课件投影)请同学们思考如何建立适当的直角坐标系?

简要实录:学生A:以直线|F1F2|为x轴，线段|F1F2|的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．

(板书):以直线|F1F2|为x轴，线段|F1F2|的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．设M(x,y)为椭圆上的任意一点，因为|F1F2|=2c,c>0，所以F1(-c,0),F2(c,0)．由椭圆的定义知，椭圆的集合为:P={M||MF1|+|MF2|=2a}，即.

(问题):如何化简该根式方程?

简要实录:学生B:先两边平方，移项在两边平方．马莉娜同学:这样不行，方程中会出现四次方，无法化简．应该先移项，再平方，使得二次项消掉，再移项平方，就可以化简下来．

老师:马莉娜回答的很好，提出表扬．(时霞同学板演):略

老师:(a>b>0)表示焦点在x轴上的椭圆的标准方程．

焦点在y轴上的椭圆的标准方程的推导，请同学们在课后完成．

=1(a>b>0)表示焦点在y轴上的椭圆的标准方程．

4．随堂练习，巩固双基

请同学们独立完成练习册第45页1,2题．

设计意图:通过这两个例题，让同学们进一步熟悉椭圆的定义及其标准方程．例2中，通过分类讨论的思想，使同学们明白，焦点位置的讨论是求标准方程的关键．

5．课堂小结，完善认知

(课件投影)请同学们理解记忆本节课的要点:1．椭圆的定义及其简单的应用．2．椭圆的标准方程及其焦点位置的判断．3．用坐标法研究曲线，用运动变化的观点分析问题．

设计意图:概括总结的能力是数学能力的有机组成部分，这对学生表达能力的提升是一次很好的训练，同时，及时概括总结，更有利于学生掌握本节课的主要内容．

6．作业布置，巩固知识

(课件投影)1．课本第106页习题8.1第2,3题．2．课后思考:对于方程=1满足什么条件时，它表示椭圆?

设计意图:课后巩固，强化记忆，使知识转化为学生的能力．

7．课后反思

本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线．但从研究圆到研究椭圆，学生思维上存在障碍．故在教学中运用多媒体演示行星运行轨迹，形象的给出椭圆．通过让学生自己动手作图，“定性”的画出椭圆．再通过坐标法“定量”地描述椭圆，使之从感性到理性抽象概括，形成概念，推出方程．

3.椭圆的定义及标准方程教案篇三

关键词：椭圆；标准方案

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）13-365-01

一、教材分析

本节课是普通高中课程标准试验教科书选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》中《椭圆》的第一节内容，主要学习椭圆的定义和标准方程。这一节课是在学完《直线和圆的方程》的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆的几何性质的基础；同时还为后面学习双曲线和抛物线作好准备，起到一个承上启下的重要作用。

二、教学目标

知识与技能：(课程标准)经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握它们的定义、标准方程。掌握椭圆标准方程的推导过程。过程与方法：培养学生观察、比较、分析、概括的能力；注重数形结合和待定系数法等数学思想方法的渗透，熟练掌握解决解析几何问题的方法——解析法。情感、态度与价值观：鼓励学生积极、主动的参与教学的整个过程，激发其求知的欲望；培养学生勇于探索、敢于创新的精神；体会运动变化、对立统一的思想。

三、教学重点、难点

重点：椭圆的定义和标准方程。

难点：（1）标准方程的推导。（2）椭圆定义中常数加以限制的原因。

四、课前准备

教师：课件、三角板、无弹性细绳。

学生：两颗图钉、一根无弹性细绳、一根粉笔、纸板。

五、教学过程

（一）温故知新

教学内容：复习求曲线方程的方法

教师：同学们，前面我们学习了曲线的方程的概念，什么叫做曲线的方程？求曲线方程有那些方法？

学生：思考，并回答问题。

设计意图：明示这节课所要学的内容与原来所学知识之间的内在联系，并为后面椭圆的标准方程的推导及用待定系数法求椭圆方程作好准备。

（二）创设情境

教学内容：神舟十号于2013年6月11日17时38分02秒成功发射。发射初始轨道：近地点约200公里、远地点约330公里的椭圆轨道。

教师：1、演示飞行船绕地球运行模拟图。2、设问：我们怎么能求出神舟十号飞行轨迹的方程呢？

学生：神州五号发射成功，学生鼓掌向英雄致意，认真观察图形一起思考。

设计意图：通过录像激发学生的爱国情绪，调动起好奇心，激发起学生的学习本课的兴趣。让学生感到数学无处不在。

（四）提出问题

教学内容：探索讨论椭圆的定义：

教师：问题1：数学中圆的定义是什么？

学生：平面内到定点距离等于定长的点的轨迹叫圆。

教师：问题2：能不能类比圆的定义，结合刚才椭圆的画法给出椭圆的定义？

学生：（可能回答）到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆，（其他学生补充）应该是平面内到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹，才是椭圆。

教师：还有补充吗？（给学生充分的时间讨论，相信学生，不代办）

学生：通过课件观察随着F1、F2距离改变，轨迹变化情况。从而发现

2a＞｜F1F2｜时，轨迹是椭圆；

2a＝｜F1F2｜时，轨迹是线段｜F1F2｜；

2a＜｜F1F2｜时，无轨迹。

教师：问题3：经过前面的观察和实验操作，同学们已经对于椭圆上的点的性质有了较深刻的认识，现在请同学给出椭圆的准确定义？

学生：平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆

设计意图：通过类比圆的定义，对问题串的思考及讨论，使学生真正经历、体验椭圆的形成过程，确切理解椭圆的定义及内在性质规律。

（五）分析解决问题

教学内容：推导椭圆的标准方程

教师：问题4：求曲线方程的一般步骤是什么？

学生：①建系、取点；②列式；③代换；④化简；⑤证明

教师：问题5：要应该如何建立坐标系求椭圆方程？椭圆上动点M满足什么条件？教师巡视，对学生进行指导。尤其在化简过程中，对于根式的处理，学生会感到困难，教师应进行提示。（同时，教师说明：建立坐标系应使建立的曲线方程尽量简洁整齐。）

学生：讨论完毕后，交流成果。同学从中选出最好的方案，

教师：以上两种方案是最好的。

问题6：观察一下焦点分别在x轴、y轴上的椭圆的标准方程，请问两个方程有什么共同点？

学生：（可能回答，让学生充分讨论）在两个方程中，总有a>b>0，椭圆的三个参数a、b、c总满足：即，a为老大。

教师：问题7：教材P39的思考如何解答？

学生：学生讨论，让小组代表上黑板作图解答。

教师：问题8：如何根据方程判断其焦点在x轴上还是在 y轴上？

学生：看分母大小，哪个分母大焦点就在对应的那条轴上。例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。

4.椭圆的标准方程教学案例篇四

1、地位与作用：

本章是北师大版选修1―1的第二章《圆锥曲线与方程》，是高中数学解析几何的第二大部分。解析几何是数学中一个重要的分支，它联系了数学中的数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。在北师大版必修2中，学生已掌握了在平面直角坐标系下研究直线和圆的方法，本章教材进一步利用三种基本圆锥曲线深化代数与几何的关系。本章教材内容的顺序是：椭圆→抛物线→双曲线→曲线与方程。这样安排的用意是，先学圆锥曲线，再学曲线与方程，这样的顺序更有利于学生的学习，符合学生从特殊到一般，具体到抽象的认知规律。在圆锥曲线的学习过程中，不断的渗透曲线与方程的思想，为学生理解并掌握“曲线与方程”这一概念奠定了基础。

本节是北师大版选修1―1的第二章《圆锥曲线与方程》第1节的内容，主要学习椭圆的定义、标准方程及其简单的应用，分为两课时，本节课是第1课时，主要学习椭圆的定义及其标准方程。教材以椭圆为基础和重点说明了求方程并利用方程讨论几何性质的一般方法，然后在认知抛物线和双曲线中得到了巩固和应用，因此《椭圆及其标准方程》这一节课起到了承上启下的作用。

2、教材处理顺序

教材在椭圆的定义这个内容的安排上是：先从直观上认识椭圆，再从画法中提炼出椭圆的几何特征，由此抽象概括出椭圆的定义，最后是椭圆定义的简单应用。这样的安排不仅体现出《课程标准》中要求通过丰富的实例展开教学的理念，而且符合学生从具体到抽象的认知规律，有利于学生对概念的学习和理解。教材在本节内容中只研究了中心在原点，焦点在轴上的椭圆的标准方程，让学生自己去归纳焦点在轴上的椭圆的标准方程。这样的处理给学生提供了一次探究和交流的机会。有利于学生对抛物线标准方程的理解，有利于学生思维能力的提高和学习兴趣的培养。

3、数学思想方法

本节内容蕴含了：数形结合思想、转化化归思想等。在推导椭圆标准方程过程中让学生体会移项再平方去根号的方法。

二、教学目标和重难点

1、教学目标

（1）知识与技能目标：

①理解椭圆的定义；

②掌握的椭圆的标准方程。

（2）过程与方法目标：

①在椭圆定义的获知和归纳中，进一步渗透数形结合的数学思想方法；

②通过椭圆标准方程的推导过程，巩固用坐标化的方法求动点的轨迹方程，同时体会含有两个根式的化简思路。

（3）情感、态度和价值观：

①通过椭圆定义的归纳，培养学生发现规律，认识规律并利用规律解决实际问题的能力；

②通过师生、生生合作学习，增强学生团队协作能力，增强主动与他人合作交流的意识。

2、教学重点

（1）掌握椭圆的定义与相关概念；

（2）掌握椭圆的标准方程。

3、教学难点

椭圆标准方程的推导。

三、学情分析

1、学生已有的认知基础

授课班级学生为高二年级学生。

椭圆是圆锥曲线中基础且重要的一种图形，在实际生活中经常遇到。学生在高一对解析几何有了初步的了解和认识，对于在平面直角坐标系下的点坐标及长度公式已掌握，具有一定的空间想象能力、抽象概括能力和推理运算的技能，有较好的学习习惯和方法。

2、学生存在的难点

学生在涉及到需要自己建立坐标系，再研究推导出方程仍是一个难点。且之前未接触过一个式子中含两个根式相加的`情况，故化简是个问题。

3、突破策略

由教师引领学生观察所绘出的椭圆的特点，定点位置，从而建立合适的直角坐标系。

四、教学策略分析

1、内容突破策略

本节课新知内容分两大板块：

一是总结概括出椭圆的定义；

二是推导出椭圆的标准方程。针对第一板块内容，主要采取学生先动手画椭圆，在实践的过程中发现一些固定不变的量和量与量之间存在的关系，从而总结出椭圆的定义，并且深刻领悟定义中所说的一些特别要求。针对第二板块内容，主要是采取教师引导，学生动手，通过一般的求动点轨迹的方法推导出椭圆的标准方程，符合学生的认知规律。

2、启迪学生思维策略：

在教学方法的选择上，采用教师组织引导，学生动手实践、自主探究、合作交流的学习方式，力求体现教师的引导者、合作者的作用，突出学生的主体地位。

五、教学过程

教学过程

设计意图

一、创设情景，导入新课

1、让学生观察几张典型图片和行星在太阳系中的运动轨迹，由此看出一个共同的数学图形“椭圆”。

2、大家还能举出生活中你所遇到的椭圆吗？

3、用多媒体演示一个嫦娥三号运行椭圆形轨道的例子。

1、使学生对椭圆有一个感性认识，明白生活实践中有许多数学问题，数学来源于实践，同时培养学生学会用数学的眼光去观察周围事物的能力。

2、通过提问激发学生课堂上的学习兴趣。

二、椭圆的定义（分四个环节）

1、画一画（画椭圆）

①将一条绳子的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷紧，围绕定点旋转，笔尖形成的轨迹是什么？

（由学生动手在黑板上进行演示，提高学生的动手能力，同时激起学生学习本节课的兴趣）

②而将绳子的两端分别固定在两个定点上，笔尖勾直绳子，移动笔尖，得到的是轨迹是什么？

（教师提问，让学生动手，拿出提前准备好的毛线，两组同学上黑板画，其他同学同桌合作在练习本上画）

动画演示作图过程

2、认一认（实验总结）

提出问题：①作图过程中，哪些量没有变？哪些量变了？

提出问题：②为什么要求作图过程中笔尖要绷紧？

提出问题：③笔尖所对应的动点M到定点的距离有什么长度之间的关系？

总结：笔尖对应的动点M到直线两个端点的长度之和固定不变。

3、说一说（总结定义）

提出问题：根据刚才动手实践的过程，能否总结椭圆的定义？（同学自由发言，再由学生进一步补充完善）

我们把平面内到两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的集合叫作椭圆。

问题1：定义中的常数等于，则动点的轨迹是什么？

问题2：定义中的常数小于，则动点的轨迹是什么？

4、椭圆相关概念：两个定点，叫作椭圆的焦点，两个焦点，间的距离叫作椭圆的焦距。

1、给学生提供一个动手、动脑的学习机会；

2、学生可通过动手实践的过程去体会“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”，从而对椭圆定义中的条件有直观深刻的认识。

3、通过三个问题的设置，为学生从画法中发现抛物线的几何特征奠定基础。

4、通过三个典型的问题，让学生更深刻地理解椭圆的定义

5、使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风。

三、椭圆的标准方程

1、求一求（推导椭圆的标准方程）

问题3：回顾圆的轨迹方程是如何求的？

①建系：②设点：

③列式：得：④化简：

问题4：以怎样的建系方式，哪一种针对求椭圆的标准方程比较好？

（补充说明：椭圆具有一定的对称美，故所求的式子最好简洁工整）

动手演算：让学生动手，求推导焦点在轴上的椭圆的标准方程

①建系：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？（利用椭圆的对称性特征）

以直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建

立平面直角坐标系。

②设点：设焦距为，则，设为椭圆上任意一点，点与点的距离之和为。

③列式：动点满足的几何约束条件：

坐标化为：

④化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号

预案一：移项后两次平方法

两边同时平方、整理得：

将上式两边平方、整理得：

分析的几何含义，令

得到焦点在轴上的椭圆的标准方程为

预案二：

用等差数列法：

设

得4cx=4at，即t=

将t=代入式得

③

将③式两边平方得出结论。以下同预案一

预案三：三角换元法：

设

得

即即

代入式得

以下同预案一

2、问一问

问题5：焦点在轴上的椭圆的标准方程是什么？

（由学生动手列式，引导学生观察焦点在轴上与焦点在轴上式子的差异，从而用类比的方法得到焦点在轴上椭圆的标准方程）

如果椭圆的焦点在轴上，其焦点坐标为，，用同样的方法可以推出它的标准方程

问题6：如何用几何图形解释？在椭圆中分别表示哪些线段的长？

1、让学生由圆的标准方程的推导过程，类比的推导椭圆的标准方程。

2、椭圆方程不止一种，建立的坐标系不同，椭圆方程的表达形式也不同，在高中阶段只掌握焦点在坐标轴上的椭圆的标准方程。

3、进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神，感受数学的简洁美、对称美

4、数形结合的思想的灵活应用，进一步深化巩固数学思想方法

做好准备，以备个别学生想到此种方法

四、课堂探究

探究一：判断分别满足下列条件的动点的轨迹是否为椭圆

（1）到点和点的距离之和为6的点的轨迹；（是）

（2）到点和点的距离之和为4的点的轨迹；（不是）

（3）到点和点的距离之和为3的点的轨迹；（不是）

（4）已知椭圆的标准方程为，请填空：a=_____，b=_____，c=_____，焦点坐标为_________________，焦距等于_________。

探究二：判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点的坐标

（1）（在轴上，焦点为，）

（2）（在轴上，焦点为，）

（3）（在轴上，焦点为，）

1、巩固椭圆的定义

2、通过本题的练习，使学生能加深椭圆的焦距与标准方程之间关系的理解，同时会求标准方程的基本量，教学时应引导学生逐层深入，养成求椭圆标准方程先看焦点位置的良好习惯。

五、课堂小结

问题：这节课你学到了什么？请谈谈你的收获。

1、知识内容收获：一个定义（椭圆的定义）；两个方程（椭圆的两种标准方程）；及椭圆中之间的关系。

2、学习过程收获：

①巩固了动点的轨迹方程的求法；

②通过推导椭圆的标准方程的过程，学会了两个根式相加的式子的化简方法，同时提高了自己的运算能力。

3、数学思想和方法：数形结合思想；转化化归思想；分类讨论思想。

目的：培养学生的概括总结能力

六、课后巩固练习

1、课后思考：当把椭圆的两个焦点合二为一了后，得到的图形是什么？你能总结出什么样的规律？

2、书面作业：

课本练习2：1，2，3

是对本节课新知内容及学习方法的巩固，同时启发学生思考，让学生更有兴趣继续研究椭圆

5.椭圆及其标准方程教案篇五

椭圆是生活中常见的图形,通过实验演示,创设生动而直观的情境,使学生亲身体会椭圆与生活联系,有助于激发学生对椭圆知识的学习兴趣;在椭圆概念引入的过程中,改变了直接给出椭圆概念和动画画出椭圆的方式,而采用学生动手画椭圆并合作探究的学习方式,让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程,有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。

椭圆方程的化简是学生从未经历的问题,方程的推导过程采用学生分组探究,师生共同研讨方程的化简和方程的特征,可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程,使学生真正了解椭圆标准方程的来源,并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中,使学生体会成功的快乐,提高学生的数学探究能力,培养学生独立主动获取知识的能力。

6.椭圆的标准方程教学案例篇六

遵循艺术性原则, 画面赏心悦目, 有效地激发了学生学习兴趣。

遵循简约性原则, 在画面的布局上突出重点, 避免出现或减少课件中干扰学生注意力的信息。

遵循科学性原则, 对于每一个内容的学习, 都不是单纯地演示, 而是交互式的模拟实验设计。不仅适合于教师课堂教学, 更适合于学生自主探究学习。

●设计意图

《椭圆及其标准方程》是圆锥曲线的第一课, 它是在学生学习了直线和圆的方程的基础上, 进一步学习用坐标法研究曲线。从学生的学习心理角度看, 学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例, 但并没有上升为“概念”。本课件旨在通过对椭圆定义的探究, 培养学生寻求规律、发现规律、认识规律和运用规律解决问题的能力。例如, 在课件“认识椭圆”部分, 引入生活中常见的椭圆例子, 由现实生活中的椭圆形物件引发学生思考, 提出问题:如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件。在课件“画椭圆”部分, 演示绘制轨迹, 分三类:分别是绳长小于、等于、大于两点距。师生共同归纳得到:绳长等于两点距, 得到线段;绳长大于两点距, 得到椭圆;绳长小于两点距, 不能得到图形。通过自己动手作图、观察、辨析, 加深了对概念的理解, 通过共同交流的探究方式将感性认识理性化。

●设计思路及表现手法

本课件设计了认识椭圆、画椭圆、定义椭圆、椭圆方程、知识应用、教学小结6个环节, 是按照教材内容及学生的认知规律来设计的, 在内容上各环节既是循序渐进的, 也是相对独立的, 学生可按顺序来学习, 也可在任意位置通过底部导航菜单学习其他内容。

“认识椭圆”形象地展示了生活中的椭圆例子。本课件制作了手电筒光束斜射在地板上形成椭圆面的动画元件, 水倒进杯里并将水杯倾斜形成的椭圆水面动画元件, 通过声音和模拟画面让学生充分感受到实验的逼真。

“画椭圆”环节通过绳子长度2a与两定点距离|F1F2|之间的关系分三类情况设计了3个动画元件。每一类情况配上播放按钮, 先由学生画图、思考, 再播放绘制椭圆的演示动画。通过师生互动、共同归纳得到椭圆定义。

“定义椭圆”环节与“画椭圆”相仿, 先播放绘制椭圆的演示动画, 再得出椭圆的定义。

“椭圆方程”环节采用多行文本框来显示内容。把推导椭圆方程的建系、设点、列式、化简建立方程等全部内容显示在同一画面中, 区别于传统的内容翻页显示方式, 真正模拟黑板板书的书写过程, 这一效果是通过on ClipEvent脚本语言实现的。

●内容结构与艺术布局

课件整体色调为蓝色, 显得稳重而清新。封面上重复播放椭圆绘制过程的模拟动画, 形象地突出了课题;在标准方程式的旁边, 用闪烁的问号向学生提出疑问:如何推导出椭圆的标准方程?能提高学生的学习兴趣, 引导学生积极思考。内容导航菜单位于课件底部, 当鼠标移动到热区就显示菜单, 移出热区隐藏菜单, 再根据内容板块配上相应的动态按钮图标, 使之一目了然, 操作便捷, 生动活泼。封面右下方设计有可控制背景音乐音量大小的滑动开关, 配音音色优美, 能使人获得美的享受 (如图1) 。

课件各环节页面样式相同, 为了使内容展示区最大化, 标题放在最上方, 导航菜单隐藏在底部, 通过鼠标感应热区显示或隐藏。内容展示区背景为白色, 采用红色醒目标题、黑色正文、蓝色绳子、黄色热区等对比色, 使学生能清楚地观察椭圆绘制、椭圆标准方程的推导过程。重要知识点及课堂习题采用鼠标感应热区弹出内容的方式显示 (如鼠标移动到知识点位置便改变背景色) , 再配上背景声音和画面的淡入淡出效果, 让展示对象色彩柔和, 播放流畅, 无画面跳跃, 益于学生充分思考、记忆重要知识点 (如图2) 。

课件流程控制交互设计方便实用。各环节画面下方隐藏放置内容导航菜单, 画面左上角放置内容标题, 方便学习者操作。对于还要出现按钮的环节, 统一放在画面相应的位置进行本环节的控制, 并设置上一步、下一步等便捷操作按钮, 无需返回主界面。

课件中的主要动画有四处:一是课题内容中多次播放的画椭圆动画, 采用了引导动画和逐帧动画效果, 真实模拟了椭圆的绘制轨迹;二是“认识椭圆”部分手电筒斜射形成的椭圆光束和水杯倾斜形成的椭圆水面动画过程, 这里采用了按钮来控制动画的播放, 方便学生观看各方面的变化;三是内容导航菜单通过鼠标移动到热区的方式显示或隐藏动画, 操作便捷, 非常美观;四是封面控制背景音乐音量大小的滑动按钮。

●关键技术处理

课件设计的亮点和技术处理的难点是“画椭圆”这一环节, 本环节的时间轴共有6层 (如图3) 。

在时间轴的事件层第1帧上设置动作stop () ;, 当程序运行时, 就会停止在第1帧, 在播放按钮上设置动作on (release) {next Frame () ;}, 点击播放按钮, 动画开始播放。绳子层完成红色椭圆轨迹和蓝色绳子运动过程, 该过程的实现采用的是逐帧动画。手移动过程通过引导动画实现, 在引导层绘制手移动的轨迹, 在手移动层完成手移动动画。

课件设计的艺术效果处理是“导航菜单”这一环节, 区别于传统固定在页面上的菜单, 只需将鼠标移动到底部热区, 便自动弹出导航菜单, 鼠标移出热区, 便自动隐藏导航菜单。这样的菜单显示方式操作方便、美观、利于教学内容展示, 本环节的时间轴共有3层 (如图4) 。

在时间轴的事件层第1帧上设置动作stop () ;, 当程序运行时, 就会停止在第1帧, 鼠标感应热区通过按钮元件实现, 删除按钮的“弹起”帧内容, 按钮显示无内容但可以用鼠标操作产生事件。在按钮上设置动作on (roll Over) {play () ;};on (rollOver) {play () ;}。导航菜单层完成菜单由底部弹出及颜色由淡变深的效果, 弹出效果通过移动动画完成, 颜色由淡变深效果通过移动动画中的“Alpha”方式完成。

课件设计通过美工处理完成了模拟实验的仿真效果, 在“认识椭圆”这一环节, 手电筒的光束斜射在地板上形成椭圆, 本环节的时间轴共3层 (如图5) 。

手电筒层利用绘图工具箱绘制了手电筒和地板, 光束层绘制了光束, 遮罩层绘制了带渐变颜色的矩形填充图形, 通过矩形填充图形的移动动画完成手电光束的斜射过程。

●评价与反思

本课件能发挥多媒体教学的作用, 真正做到人机互动, 可以较好地完成教学任务。通过在实际教学中的应用, 发现有些方面需要进一步完善, 如“知识应用”这一环节中, 在知识点的展示上制作了非常多的动态弹出框, 以达到优美舒畅的效果, 但是否会分散学生的注意力, 值得深思。

点评

邹才能老师这节课, 先让学生用自制教具探索椭圆的形成过程, 再结合Flash课件中的“画椭圆”动画的演示, 使学生通过点的运动, 观察椭圆轨迹的特征, 从而认识椭圆, 到学生亲手画椭圆、给椭圆下定义、推导椭圆标准方程, 直至椭圆概念的简单应用。一方面使学生获得了椭圆的相关知识以及推导椭圆标准方程的技能;另一方面使学生亲历了椭圆知识的形成过程, 切身体验了自行探索知识的艰辛与喜悦。这节课主要有如下四个特点。

第一, Flash课件制作精美实用, 导航清晰, 教学过程完整。菜单栏目采用“底部隐藏菜单”, 可以把更大的屏幕空间留给课程知识展示。操作方便, 效果美观, 有别于传统死板的菜单形式, 具有创新性。

第二, 课件互动性较强。通过一些情景动画, 如创建椭圆绘制过程虚拟全景图等, 在互动的过程中培养学生的发散思维。

第三, 教学上体现了“以学生发展为本”的教学观。本课的核心内容是椭圆的标准方程, 邹老师在标准方程的推导上, 并不是直接给出教材中的“建系”方式, 而是让学生自主地“建系”, 通过所得方程的比较, 得到标准方程, 从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美。

第四, 教学过程中注意发展学生的思维。例如, 在“画椭圆”环节中, 通过让学生观察画椭圆的三个动画, 引导学生就椭圆存在与否的条件进行了研讨, 然后又让学生对所得的形的本质特点进行量化, 这是从数和形的角度观察事物。所有这些, 都体现了对思维的要求。

当然也有一些可以值得商榷的地方。例如, 在“认识椭圆”环节中, 可不可以加入“神七”运行轨道动画视频资料为引子引出课题, 使学生初步认识到椭圆知识巨大的应用价值。从学生熟知的实例, 可激发学生的求知欲和民族自豪感。

7.椭圆及其标准方程教案2(精) 篇七

教学目的

(1)使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程；

(2)通过椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．

教学过程

一、椭圆概念的引入

第一组问题——复习提问：

1．什么叫做曲线的方程？

2．直线方程的一般形式是什么？简述直线与二元一次方程的关系．

3．圆的一般方程是什么？主要特征是什么？

对上述问题学生的回答基本正确，如一般同学均能初步了解曲线方程的意义，理解直线与二元一次方程Ax＋By＋C＝0是一一对应关系，掌握圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，它是关于x、y的二元二次方

22程，且具有以下重要特征：(1)x与y的系数都是1；(2)缺xy这样的项；(3)D2＋E2－4F＞0．

[温故而知新，以旧带新，便于引导学生在已有的知识基础上去探求新知识．]

第二组问题——引导学生联想、归纳、分析、发现新问题：

1．如前所述，每一个二元一次方程都表示一条直线，那么每一个二元二次方程是否都表示圆，若不是，具备什么条件下它所表示的曲线就不是圆？

对此问题学生一般能回答：“当x2与y2系数不相等时或xy项的系数不为零[有的同学指出不满足上述条件(3)时]，这样的方程所表示的曲线都不是圆．”

2．圆的几何特征是什么？

一般学生能回答：“圆上任意一点到圆心(定点)的距离等于半径(定长)”．这时要进一步提问：“除上述特征外，你还能说出具有哪些特征的点的轨迹也是圆？”启发学生回忆所学的例题、习题中有关的轨迹命题．学生翻阅课本后能回答：

“到两定点距离平方和为常量的动点轨迹是圆．”

“到两定点距离之比为一常量的动点轨迹也是圆．”

(对此，经提示，有学生补充这一常量应不等于1，否则为线段的垂直平分线．)

“到两定点连线斜率乘积等于－1的动点轨迹也是圆．”(当然还应除去两定点．)

[启发学生对已有的知识进行归纳、提炼，以便为新概念的引入作好自然的铺垫．]

第三组问题——深入思考与探索：

1．一般二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0既然不完全表示圆，那么它还可能表示什么样的曲线呢？当系数A、B、C、D、E取各种不同数值时，相应的方程代表的曲线将有什么差别呢？能否找到一般性规律，得出这些曲线的大致形象？

这些问题并不一定要求学生回答，旨在引起学生积极思考，激发学生强烈的探索欲望．

2．如上，我们已经知道“到两定点距离平方和为常量”或“到两定点距离之比为常量”的点的轨迹，你是否可类似地提出一些轨迹命题作更广泛的探索？

类比的能力大部分学生是具备的(尽管程度有差别)，经过教师启发引导，学生们会提出下列轨迹命题，如：

“到两定点距离之和等于常量的动点轨迹．”

“到两定点距离平方差等于常量的动点轨迹．”

“到两定点距离之差等于常量的动点轨迹．”

“到定点与定直线距离相等的动点轨迹．”

以上是学生受到已做习题的启发而提出的．

还有学生通过类比提出：

“到两定点距离的立方和(差)等于常量的动点轨迹”；“到定点与定直线距离的比为常量的动点轨迹”；“到定点与定直线的距离和(差)等于常量的动点轨迹”；等等．

对同学们这种大胆设想，勇于探索的精神教师予以大力肯定，表示赞赏，并指出同学们所提出的这些问题正是我们后一段学习中要逐步解决的问题，而同学们自己也可运用坐标法探求它们的方程，根据方程描点画图，也可设法用实验方法描绘具有这些特征的几何图形．

[以上从方程与曲线两方面，也就是从数与形两条“线路”引导学生联想、分析、探索，这样，引出新曲线的概念已是水到渠成了．]

譬如说，同学们提出的“若动点到两定点距离之和等于常量，则此动点轨迹是什么？请同学们不妨尝试一下，看看能否设计一种绘图方法，画出符合这种几何条件的轨迹．

(课前要求学生准备图钉若干，细线一根．)

学生纷纷动手，相互磋商，观摩，不一会大部分同学已画出；再让一个学生在黑板上用准备好的工具演示，同学们都高兴地叫起来，轨迹是椭圆！

教师问：“椭圆，在哪些地方见过？”

有的学生说：“立体几何中圆的直观图．”

(立体几何中采取的也是近似画法，但教材中已提出椭圆名称．)

有的学生说：“人造卫星运行轨道．”

(这是学生从物理课本中了解的．)

有的学生说：“饼干罐头盒，洒水车，装油车等．”

教师指出：确切地说，应是它们的横截面的轮廓线．

[按学生认识规律与心理特征引导学生自己分析、探索、启发学生认识新的概念，至于新概念在实际中的形象也放手让学生自己对照、回顾，增强实践感受，这样更有利于学生学习能力的培养．]

在上述基础上，引导学生概括椭圆定义．学生开始只强调主要几何特征——到两定点距离之和等于常量．这时教师通过演示(将穿有粉笔的细线拉到黑板平面外)启发学生思考．学生认识到需加上限制条件：“在平面内．”教师则追问：“否则会形成什么几何图形？”学生想象到是椭球形．教师边演示边提示学生注意：这里的常量有什么限制吗？若这个常量等于两定点距离？小于呢？学生认识到，这时都不可能形成椭圆，前者变成了线段，后者轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常量大于两定点之间的距离．”

这样，学生得出了完整的椭圆定义：平面内到两定点的距离之和等于常数(大于两定点距离)的点的轨迹叫做椭圆．

教师顺便指出：我们规定其中两定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距．

二、推导椭圆的标准方程

给出椭圆的定义后，教师即可提出：由椭圆定义，可以知道它的基本几何特征，但对于这种新曲线还具有哪些性质，我们几乎一无所知，因此需要利用坐标法先建立椭圆的方程．

[让学生明确思维的目的，才能调动学生思维的积极性．]

如何建立曲线方程？首先应建立适当的坐标系．建立坐标系时，一般应符合简单和谐化的原则．如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性．

[让学生在思考议论中加强对这种优化原则的认识．]

这样，大多数学生认识到下列选取方法是适宜的：

以两定点F1．F2的连线为x轴；以线段F1F2的垂直平分线为y轴，设|F1F2|＝2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任一点，则有F1(－c，0)，F2(c，0)．

下面让学生利用两点间距离公式，根据椭圆定义即可写出椭圆的方程

[正确选取坐标系是解析几何解题的基本技巧之一，教学中应着重培养学生这方面的能力．]

教师指出：上面所得方程直接反映了椭圆定义所确定的椭圆本质属性，但为了更进一步利用方程探讨椭圆其他性质，需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化．

(化简方程可让学生完成．)

多数学生利用初中简化无理方程的一般方法进行，移项后两边平方逐步化去根号，与教材中化简过程类似，教师在巡回观察指导中，启发几个反映较快的学生仔细观察两个根号下代数式的特征，设法先化去其中一个根号．即将等式

[(x＋c)2＋y2]－[(x－c)2＋y2]＝4cx，两边分别除以方程两边，即得

与原方程联立易得

注意a＞c，则可得

为使方程更为对称和谐起见，由a2－c2＞0，令a2－c2＝b2，则得方程

[坐标法即用代数方法研究几何问题，因此熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑．缺乏一定的运算能力在解析几何中几乎是寸步难行，因此教学中必须注意不失时机加强运算技能的训练！]

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，教师可简要作些提示：

若点(x′，y′)适合方程

则此点应在椭圆上，事实上由

由上述变形逆推即可得

注意到a＞c，且|x′|≤a，则可知

即点(x′，y′)到两定点F1和F2距离之和为2a．

故点(x′，y′)必在椭圆上．

教师指出：由于我们恰当地选取了坐标系，充分运用了图形的对称特征，因此得到的方程简单、对称，具有和谐美，特别便于根据方程分析研究椭圆许多有趣的性质．这一简化的方程称为椭圆的标准方程(焦点在x轴上)．

三、供课后思考的参考题

1．推导椭圆方程时，若使焦点在y轴上[即为F1(0，－c)，F2(0，c)]，你能知道此时方程形式吗？它与焦点在x轴上的方程有何联系？

(1)椭圆的对称性；(2)椭圆的范围及常数a、b具有什么几何特征；(3)这一方程与圆x2＋y2＝a2作一比较，两者有何联系？由两方程分别得出

回顾三角函数图像y＝Asinx与y＝sinx的关系你能提出什么设想？

等式中发现椭圆的又一重要特征吗？

教案说明

(1)这份教案是针对重点中学班级设计的，也在笔者所在学校不止一次实施过．教案设计的基本指导思想是着眼于提高学生学习数学的自觉性与基本学习能力，增强课堂教学的启发性与培养性，因此教学安排与一般设想不同．目前教学中常受考试干扰，比较注重实用性与所谓“硬指标”．如本节课常常直接给出定义，尽快得出两种标准方程，举例示范，使学生课外能学会使用方程解答课本习题．而这份教案却花一定气力引导学生回顾、探索、分析，然后引出椭圆的概念，随后只建立了焦点在x轴上的标准方程，并没有要求学生会使用；另外关于由方程研究椭圆性质常常安排在后面的课内，这里却又提前让学生思考，似乎都是“软指标”，在考试中也不一定用得上．不同的设想反映出不同的着眼点与数学教学目的的认识差别，把知识与方法作为结果给予学生，还是着重引导学生领悟获得这些结果的思想与方法，是把学生作为接受教师传授知识的客体，还是增强学生的内在活力，使学生成为自觉主动学习的主体．本教案如前所述，重点放在概念引入与方程建立的思维过程上，从圆锥曲线整体结构考虑，让学生获得比较完整的认识过程，初步建立起总体思维框架，至于结果的熟练与运用在以后的逐步强化训练中是不难达到的．教学的实践也证明，这样是有利于学生基本数学素质的提高，在以后的双曲线、抛物线的教学中可见其成效．

8.《椭圆标准方程》高中数学说课稿篇八

=1，其中b2=a2-c2(b>0);

选定方案二建立坐标系，由学生完成方程化简过程，可得出=1，同样也有a2-c2=b2(b>0)。

教师指出：我们所得的两个方程=1和=1()都是椭圆的标准方程。

(四)归纳概括，方程特征

1、观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳

(1)椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴;

(2)椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1;

(3)椭圆标准方程中三个参数a，b，c关系：;

(4)椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定;

(5)求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a，b的值。

2、在归纳总结的基础上，填下表

标准方程

图形a，b，c关系焦点坐标焦点位置

在x轴上

在y轴上

(五)例题研讨，变式精析

例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程

(1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离和等于10。

(2)两焦点坐标分别是，并且椭圆经过点。

例2、(1)若椭圆标准方程为及焦点坐标。

(2)若椭圆经过两点求椭圆标准方程。

(3)若椭圆的一个焦点是，则k的值为。

(A)(B)8(C)(D)32

例3、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段，求线段中点M的轨迹。

(六)变式训练，探索创新

1、写出适合下列条件的椭圆标准方程

(1)，焦点在x轴上;

(2)焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点P;

2、若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的范围。

3、已知B，C是两个定点，周长为16，求顶点A的轨迹方程。

4、已知椭圆的焦距相等，求实数m的值。

5、在椭圆上上求一点，使它与两个焦点连线互相垂直。

6、已知P是椭圆上一点，其中为其焦点且，求三解形面积。

(七)小结归纳，提高认识

师生共同归纳本节所学内容、知识规律以及所学的数学思想和方法。

(八)作业训练，巩固提高

课本第96页习题§8。1第3题、第5题、第6题。

课后思考题：

1、知是椭圆的两个焦点，AB是过的弦，则周长是。

(A)2a(B)4a(C)8a(D)2a2b

2、的两个顶点A，B的坐标分别是边AC，BC所在直线的斜

率之积等于，求顶点C的轨迹方程。

2、与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线?

教学设计说明

椭圆是圆锥曲线中重要的一种，本节内容的学习是后继学习其它圆锥曲线的基础，坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例。本节课内容的学习能很好地在课堂教学中展现新课程的理念，主要采用学生自主探究学习的方式，使培养学生的探索精神和创新能力的教学思想贯穿于本节课教学设计的始终。

椭圆是生活中常见的图形，通过实验演示，创设生动而直观的情境，使学生亲身体会椭圆与生活联系，有助于激发学生对椭圆知识的学习兴趣;在椭圆概念引入的过程中，改变了直接给出椭圆概念和动画画出椭圆的方式，而采用学生动手画椭圆并合作探究的学习方式，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。

椭圆方程的化简是学生从未经历的问题，方程的推导过程采用学生分组探究，师生共同研讨方程的化简和方程的特征，可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程，使学生真正了解椭圆标准方程的来源，并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中，使学生体会成功的快乐，提高学生的数学探究能力，培养学生独立主动获取知识的能力。

9.用椭圆的参数方程求最值篇九

我们知道, 椭圆的参数方程与三角函数有密切的联系.在求与椭圆有关的最值问题时, 利用椭圆的参数方程, 借助正余弦函数的有界性, 能使问题简便快捷获解.

一、求多元函数的最值

例1 (2005重庆卷) 若动点 (x, y) 在曲线 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 上变化, 则x2+2y的最大值为 ( )

$\begin{array}{l} (A) {\begin{cases} \frac{b^{2}}{4} + 4 (0 < b < 4) \\ 2 b (b \geq 4) \end{cases} \\ (B) {\begin{cases} \frac{b^{2}}{4} + 4 (0 < b < 2) \\ 2 b (b \geq 2) \end{cases} \\ (C) \frac{b^{2}}{4} + 4 \\ (D) 2 b \end{array}$

解:依题意可设 x=2cosθ, y=bsinθ, 则 $x^{2} + 2 y = 4 \cos^{2} θ + 2 b \sin θ = - 4 \sin^{2} θ + 2 b \sin θ + 4 = - 4 (\sin θ - \frac{b}{4})^{2} + \frac{b^{2}}{4} + 4 .$

当 $0 < b < 4, \sin θ = \frac{b}{4}$ 时, x2+2y有最大值 $\frac{b^{2}}{4} + 4;$

当b≥4, sinθ=1时, x2+2y有最大值2b, 故选 (A) .

二、求面积的最值

例2 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B, 在第一象限内的椭圆上找一点C, 使四边形OACB的面积最大, 最大面积是多少?

解:如图1, 连结OC, 依题意可设C (acosθ, bsinθ) ,

$\begin{array}{l} 则 S_{四边形 Ο A C B} = S_{△ Ο A C} + S_{△ Ο B C} \\ = \frac{1}{2} a b (\sin θ + \cos θ) \\ = \frac{\sqrt{2}}{2} a b \sin (θ + \frac{π}{4}) . \end{array}$

当 $θ = \frac{π}{4}$ 时, S四边形OACB有最大面积 $\frac{\sqrt{2}}{2} a b$ , 此时C点坐标为 $(\frac{\sqrt{2}}{2} a, \frac{\sqrt{2}}{2} b) .$

三、求距离的最值

例3 已知P在椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上移动, Q在圆M: $(x - 1)^{2} + y^{2} = \frac{32}{9}$ 上移动, 求距离|PQ|的最小值.

解:依题意可设P (5cosθ, 4sinθ) , 则

$\begin{array}{l} | Ρ Μ | = \sqrt{(5 \cos θ - 1)^{2} + (4 \sin θ)^{2}} \\ = \sqrt{9 (\cos θ - \frac{5}{9})^{2} + \frac{128}{9}} . \end{array}$

所以当 $\cos θ = \frac{5}{9}$ 时, $| Ρ Μ |_{\min} = \frac{8 \sqrt{2}}{3} .$

如图 $2 ‚ | Ρ Q |_{\min} = | Ρ Μ |_{\min} - \frac{4 \sqrt{2}}{3} = \frac{4 \sqrt{2}}{3} .$

例4 在椭圆 $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ 上求一点P, 使它到已知直线l:3x+8y+72=0的距离d为最大值.

解:依题意可设P (10cosθ, 5sinθ) , 由点到直线距离公式, 知 $d = \frac{| 30 \cos θ + 40 \sin θ + 72 |}{\sqrt{73}} = \frac{| 50 \sin (θ + φ) + 72 |}{\sqrt{73}} .$

其中 $\tan φ = \frac{3}{4}, \sin φ = \frac{3}{5}, \cos φ = \frac{4}{5} .$

故当 $θ = \frac{π}{2} - φ$ 时, $d_{\max} = \frac{122}{\sqrt{73}} .$

此时 $x = 10 \cos θ = 10 \cos (\frac{π}{2} - φ) = 10 \sin φ = 10 \times \frac{3}{5} = 6, y = 5 \sin θ = 5 \sin (\frac{π}{2} - φ) = 5 \cos φ = 5 \times \frac{4}{5} = 4 .$

故所求点P为 (6, 4) .

四、求角的最值

例5 己知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + y^{2} = 1$ 和圆x2+y2=16, 点A是圆在第一象限上的点, 过A作AM垂直x轴于点M, 交椭圆于点B, 求∠AOB的最大值.

解: 如图3, 根据题意, 设A、B两点的坐标分别为 $(4 \cos θ, 4 \sin θ), (4 \cos θ, \sin θ), θ \in (0, \frac{π}{2}) .$

令∠BOM=α, 则 $\tan α = \frac{1}{4} \tan θ,$

所以 $\tan ∠ A Ο B = \tan (θ - α) = \frac{\tan θ - \tan α}{1 + \tan θ \tan α} = \frac{3}{\tan θ + \frac{4}{\tan θ}} \leq \frac{3}{4} .$

当且仅当 $\tan θ = \frac{4}{\tan θ}$ , 即θ=arctan2时等号成立, 故∠AOB的最大值是 $\arctan \frac{3}{4} .$

五、求参数的最值

例6 已知椭圆x2+4 (y-a) 2=4与抛物线x2=2y有公共点, 求实数a的最大值.

解:设x=2cosθ, y=a+sinθ代入抛物线方程得4cos2θ=2a+2sinθ,

所以 $a = 2 \cos^{2} θ - \sin θ = - 2 (\sin θ + \frac{1}{4})^{2} + \frac{17}{8}$ , 所以 $- 1 \leq a \leq \frac{17}{8} .$

故实数a的最大值为 $\frac{17}{8} .$

六、求斜率的最值

例7 设A (1, 2) 为定点, P为椭圆 $\frac{(x - 7)^{2}}{16} + \frac{(y - 3)^{2}}{9} = 1$ 上任意一点, 求AP的斜率的最大值与最小值.

解:根据题意, 设P (7+4cosθ, 3+3sinθ) .

则AP的斜率 $k = \frac{1 + 3 \sin θ}{6 + 4 \cos θ}$ , 所以3sinθ-4kcosθ=6k-1,

所以32+16k2≥ (6k-1) 2, 即5k2-3k-2≤0, 解得 $- \frac{2}{5} \leq k \leq 1 .$

故 $k_{\min} = - \frac{2}{5}, k_{\max} = 1 .$

七、求长轴的最值

例8 求经过定点M (1, 2) 且以y轴为准线、离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆的长轴的最大值与最小值.

解:根据题意, 设椭圆的参数方程为

由 $e = \frac{1}{2}$ , 知a=2c.由题设知, 椭圆中心的横坐标为 $x_{0} = \frac{a^{2}}{c} = 2 a .$

因为椭圆经过定点M (1, 2) , 所以1=2a+acosθ, 所以 $a = \frac{1}{2 + \cos θ},$

当cosθ=-1时, 2a有最大值2, 当cosθ=1时, 2a有最小值 $\frac{2}{3} .$

八、求离心率的最值

例9 已知椭圆的焦点F1 (-3, 0) 、F2 (3, 0) 且与直线x-y+9=0有公共点, 求其中离心率最大的椭圆方程.

解:设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - 9} = 1$ 与直线x-y+9=0的公共点为 $Μ (a \cos θ, \sqrt{a^{2} - 9} \sin θ),$

则 $a \cos θ - \sqrt{a^{2} - 9} \sin θ + 9 = 0$ 有解, 所以a2+ (a2-9) ≥ (-9) 2, 即a2≥45,

所以 $a_{\min} = 3 \sqrt{5}$ , 所以 $e_{\max} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ , 此时椭圆的方程 $\frac{x^{2}}{45} + \frac{y^{2}}{36} = 1 .$

10.椭圆的标准方程教学案例篇十

甘肃省张掖市实验中学雒淑英

一．本课数学内容的本质、地位及作用分析：

本节课是《全日制普通高级中学教科书（必修）·数学》（人民教育出版社中学数学室编著）第二册（上）第八章第一节《椭圆及其标准方程》第一课时。

用一个平面去截一个对顶的圆锥，当平面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，我们将这些曲线统称为圆锥曲线。圆锥曲线的发现与研究始于古希腊，当时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广。17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究圆锥曲线。在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想。

解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。在第七章中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形，在第八章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。

本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。

根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持。二．教学目标分析：

按照教学大纲的要求，根据教材分析和学情分析，确定如下教学目标： 1．知识与技能目标： ①理解椭圆的定义。

②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力。2．过程与方法目标：

①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。②巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程。

③对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生利用数学思想方法分析和解决问题的意识。3．情感态度价值观目标：

①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识。

②重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣。

③通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风。

④通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美。

⑤利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信

心。

三．教学问题诊断：

1．教学的第一个问题可能是椭圆是怎样画出的。教学中通过椭圆与圆的关系，让学生观察与操作，利用水杯及细绳建立直观的概念，要鼓励学生大胆操作。

问题解决方案一：学生可能提出将圆柱形水杯换成圆锥。（解释方法一致）问题解决方案二：两定点距离、绳长与图形的关系，通过操作，完善定义。2．教学的第二个问题是椭圆标准方程的推导与化简中含有两个根式的等式化简。

问题解决方案：由于用两边同时平方法化简较为繁琐，有些学生完成可能的有困难，老师要及时加以指导。如果学生有能力掌握，可运用方案二“等差数列法”或方案三“三角换元法” 降低难度。

3．教学的第三个问题可能是竖椭圆方程的得出。

问题解决方案：可以利用类比“化归”的思想，通过翻折和旋转的方式实现图形变换，从而利用焦点在x轴上椭圆的标准方程得到焦点在y轴上椭圆的标准方程，避免繁琐、重复的推导过程。四．教法特点以及预期效果分析：

本节课采用启发式与试验探究式相结合的教学方式。

在启发式教学过程中，以问题引导学生的思维活动。教学设计突出了对问题链的设计，教学中，结合学生的思维发展变化不断追问，使学生对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高。

通过学生试验的方法进行教学。本节课主要是通过直观感知、操作确认归纳出椭圆的定义。在试验中注重数学的逻辑性和严谨性。本节课立足教材，重视对现象的观察、分析，引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论，把合情推理作为一个重要的推理方式融入到学生的学习过程中．

通过学生反思，自己总结归纳学习内容，构建知识链。在总结时采用“一个知识点、两种方法、三种思想”的方式，学生目标明确，学习重点清晰，易于掌握。

11.椭圆的标准方程教学案例篇十一

关于奇异半线性椭圆型方程组的正整体解的存在性

运用Schauder-Tychonoff不动点定理和位势理论研究一类奇异半线性椭圆型方程组的.正整体解,给出该类方程组具有无穷多个正整体解的若干充分条件以及整体解在无穷远处的渐近性质,并将相关研究加以推广和加深.

作者：徐建荣 XU Jian-rong 作者单位：福建农林大学计算机与信息学院,福建,福州,350002 刊名：福建农林大学学报（自然科学版） ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF FUJIAN AGRICULTURE AND FORESTRY UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)： 36(6) 分类号：O155.29 O155.14 关键词：正整体解椭圆型方程不动点定理

12.圆的标准方程教学反思篇十二

本节讲授《圆的标准方程》第3课时，主要目的是让学生在熟练掌握圆的标准方程的基础上，能够准确地判断点与圆的位置关系，体会数形结合的数学思想，形成代数方法处理几何问题的能力，培养学生的观察、分析、归纳、概括的思维能力。下面是我对本节课堂教学的.一些反思：

（一）优点

1、根据职中学生的知识特点，因材施教，尽量降低学习难度，让学生愿学、乐学。教学方法采用：启发式、探讨法、数形结合、练习法，多种教学方法并存提高教学效果。

2、导入新课过渡自然，新旧知识紧密联系，并能很好地集中学生的注意力，调动起学生的学习兴趣，帮助学生树立学习数学的自信心。

3、善于设疑，启发学生思考，让学生带着问题对新知识进行探究，充分发挥学生的主体地位。如点与圆有哪几种位置关系？圆上的点都满足什么条件？圆内的点都满足什么条件？圆外的点都满足什么条件？

4、注重对学生学法的指导，培养学生把“未知的问题”转化为“已知问题”的解题思想和能力。培养学生数形结合的数学思想，提高学生的观察、分析、归纳能力。如：画出圆，让学生上台画出点与圆的几种位置关系，从而直观地观察、分析并归纳出点在圆上、圆外与圆内时，点到圆心的距离与圆的半径的关系。

5、教学环节紧凑，做到讲练结合。通过变式训练，让学生思维得到提升。

6、讲课思路清晰流畅，分析透彻，并采用多媒体辅助教学，节省了板书的时间，大大提高了课堂效果。

（二）不足

1、学生课堂上相互讨论、合作交流的机会不够多。

2、有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题，可以适当选择一些内容供学有余力的学生课后研究，满足学生不同程度的求知欲。

13.椭圆及其标准方程教案.doc 篇十三

教学目标

1．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；

2．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；

3．通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；

4．通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力；

5．通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识．

教学建议教材分析 1．知识结构

2．重点难点分析

重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式．难点是椭圆标准方程的建立和推导．关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法．

椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程．椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用．先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然．学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的．

（1）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解．

另外要注意到定义中对“常数”的限定即常数要大于现两种特殊情况，即：“当常数等于

．这样规定是为了避免出

时无轨

时轨迹是一条线段；当常数小于

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迹”．这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质．但讲解椭圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况，以保证对椭圆定义的准确性．

（2）根据椭圆的定义求标准方程，应注意下面几点：

①曲线的方程依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方．应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行推理，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁．

②设椭圆的焦距为，椭圆上任一点到两个焦点的距离为，令，这些措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁，要让学生认真领会．

③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是学生的难点．要注意说明这类方程的化简方法：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项．

④教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程

“而没有证明，”方程的解为坐标的点都在椭圆上”．这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求．

（3）两种标准方程的椭圆异同点

中心在原点、焦点分别在轴上，轴上的椭圆标准方程分别为：，．它们的相同点是：形状相同、大小相同，都有，．不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同．

椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大；

椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大．

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另外，形如中，只要，同号，就是椭圆方程，它可以化为

．

（4）教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法．例3有三个作用：第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法；第二是向学生说明，如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆．教法建议

（1）使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习兴趣．

为激发学生学习圆锥曲线的兴趣，体会圆锥曲线知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中提出圆锥曲线要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还可以启发学生寻找身边与圆锥曲线有关的例子。

例如，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的轨道——椭圆上运行，太阳系的其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上．如果这些行星运动的速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行．人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵循这个原理．相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一个物体的运动，不可能有任何其他的轨道．因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式，另外，工厂通气塔的外形线、探照灯反光镜的轴截面曲线，都和圆锥曲线有关，圆锥曲线在实际生活中的价值是很高的．

（2）安排学生课下切割圆锥形的事物，使学生了解圆锥曲线名称的来历

为了让学生了解圆锥曲线名称的来历，但为了节约课堂时间，教学时应安排让学生课后亲自动手切割圆锥形的萝卜、胶泥等，以加深对圆锥曲线的认识．

（3）对椭圆的定义的引入，要注意借助于直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念。

教师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道，谈到圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等，让学生先对椭圆有一个直观的了解。

教师可事先准备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在以上资料均从网络收集而来

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黑板上画一个椭圆。画好后，教师再在黑板上取两个定点（两定点之间的距离大于细线的长度），然后再请刚才两名学生按同样的要求作图。学生通过观察两次作图的过程，总结出经验和教训，教师因势利导，让学生自己得出椭圆的严格的定义。这样，学生对这一定义就会有深刻的了解。

（4）将提出的问题分解为若干个子问题，借助多媒体课件来体现椭圆的定义的实质

在教学时，可以设置几个问题，让学生动手动脑，独立思考，自主探索，使学生根据提出的问题，利用多媒体，通过观察、实验、分析去寻找解决问题的途径。在椭圆的定义的教学过程中，可以提出“到两定点的距离的和为定值的点的轨迹一定是椭圆吗”，让学生通过课件演示“改变焦距或定值”，观察轨迹的形状，从而挖掘出定义的内涵，这样就使得学生对椭圆的定义留下了深刻的印象。

（5）注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系

在讲解椭圆的定义时，就要启发学生注意椭圆的图形特征，一般学生比较容易发现椭圆的对称性，这样在建立坐标系时，学生就比较容易选择适当的坐标系了，即使焦点在坐标轴上，对称中心是原点（此时不要过多的研究几何性质）．虽然这时学生并不一定能说明白为什么这样选择坐标系，但在有了一定感性认识的基础上再讲解选择适当坐标系的一般原则，学生就较为容易接受，也向学生逐步渗透了坐标法．

（6）推导椭圆的标准方程时教师要注意化解难点，适时地补充根式化简的方法．

推导椭圆的标准方程时，由于列出的方程为两个跟式的和等于一个非零常数，化简时要进行两次平方，方程中字母超过三个，且次数高、项数多，教学时要注意化解难点，尽量不要把跟式化简的困难影响学生对椭圆的标准方程的推导过程的整体认识．通过具体的例子使学生循序渐进的解决带跟式的方程的化简，即：（1）方程中只有一个跟式时，需将它单独留在方程的一边，把其他各项移至另一边；（2）方程中有两个跟式时，需将它们放在方程的两边，并使其中一边只有一项．（为了避免二次平方运算）

（7）讲解了焦点在x轴上的椭圆的标准方程后，教师要启发学生自己研究焦点在y轴上的标准方程，然后鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，加深对椭圆的认识．

（8）在学习新知识的基础上要巩固旧知识

椭圆也是一种曲线，所以第七章所讲的曲线和方程的知识仍然使用，在推导椭圆的标准方程中要注意进一步巩固曲线和方程的概念．对于教材上在推出椭圆的标准方程后，并没有证明所求得的方程确是椭圆的方程，要注意向学生说明并不与前面所讲的曲线和方程的概念矛盾，而是由于椭圆方程的化简过程是等价变形，而证明过程较繁，所以教材没有要求也没

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有给出证明过程，但学生要注意并不是以后都不需要证明，注意只有方程的化简是等价变形的才可以不用证明，而实际上学生在遇到一些具体的题目时，还需要具体问题具体分析．

（9）要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神。

【椭圆的标准方程教学案例】推荐阅读：

包含临界指数的奇异系数的椭圆型方程正解的存在性07-29

试析新课程标准下词汇教学策略的改变06-22