空间解析几何教学大纲

空间解析几何教学大纲（共9篇）

1.空间解析几何教学大纲 篇一

在新课程教学中，我认为应注意以下四个问题并及时地进行反思和改进：

一、教学设计应有利于让学生学会学习，发挥学生的主体作用 在教学过程中，要根据自己准备的学习内容，使学习成为在教师指导下自动的、建构过程。教师是教学过程的组织者和引导者，教师在设计教学目标，组织教学活动等方面，要面向全体学生，突出学生的主体性，充分发挥学生的主观能动性，让学生自主参与探究问题。

二、教学设计应有利于让学生学会共同生活，培养学生的合作精神 在数学学习中，个人努力与合作学习相结合则能促进学生对数学的理解。在交流与讨论中，能够澄清认识，纠正错误。这有助于扩展思路，提高能力，加强自信，培养合作精神。所以，我觉得在教学过程中应该最大可能地让学生相互探讨，相互沟通。

三、教学设计应有利于让学生学会生存，培养学生的创新意识 教学中教师要精心设计教学，不应停留在简单的变式和肤浅的问答形式上，而应把数学知识方法贯彻到每一次探索活动中去，使学生在“观察、联想、类比、归纳、猜想和证明”等一系列探究过程中，体验到成功的快乐，从而激发学生的创新欲望，体会到数学思想方法的作用。

四、随着教育改革的深化，教学理念、教学模式、教学内容等教学因素，都在不断更新，作为数学教师要更新教学观念，从学生的全面发展来设计课堂教学，关注学生个性和潜能的发展，使教学过程更加切合《课程标准》的要求。

另外，具体而言，我觉得我在以下几个方面还有所不足，在教学过程中还应不断地改善自己的教学方法并取得进步。

一、在教学过程中我容易凭经验来教学，但是数学教学是不能够只凭经验来进行的。从经验中学习是每一个人天天都在做而且应当做的事情，然而经验本身也具有相当的局限性，就数学教学活动而言，单纯依赖经验教学实际上只是将教学当作一个操作性活动，即依赖已有经验或套用学习理论而缺乏教学分析的简单重复活动；将教学作为一种技术，按照既定的程序和一定的.练习使之自动化。()它使教师的教学决策是反应的而非反思的、直觉的而非理性的。这样从事教学活动，往往会给我们老师在教学过程中带来许多自以为是的假象，以至于很多学生都听不懂，学不会。

二、我的教学过程太过理智、呆板也是我需要反思和改进的 ，理智型教学的一个根本特点是“职业化”。这样的教学活动不容易引起学生学习的兴趣和激情，容易导致课堂气氛过于沉闷，不利于让同学们快乐和积极地学习。

在我平时反思自己的教学过程的时候我倾向于反思什么是数学；同学们怎么样学习数学才能学得更好；我有应该怎么样去教会同学们数学。以这样的心态我一边教同学们学习，一边不断地改进自己的教学技巧和方法，我相信我会教得更好，而我的同学也会学得更棒！

2.空间解析几何教学大纲 篇二

关键词：空间解析几何,数学思想,创新思维,应用意识

1 引言

近年来,高等教育进入大众化,独立学院飞速发展。而独立学院的学生相比重点高校的学生,起点低,基础薄弱,数学基础更为薄弱。因此,针对独立学院学生研究如何做好因才施教是非常必要的。而空间解析几何是理工科学生高等数学学习的重要组成部分,与微积分和线性代数的学习也是密不可分的。并且,空间解析几何在大学数学的所有课程中是最为直观的学科,而几何直觉是发现和把握数学真理的钥匙[1]。因此,搞好空间解析几何的教学,有助于高等数学其它学科的学习,更是培养学生创新意识与应用能力的最好切入点。

目前,对于空间解析几何与多元微积分和线性代数与空间解析几何关系的讨论屡见不鲜[2,3];针对空间解析几何与线性代数课程是否合并整合以及如何实施的研究也有很多[4,5,6]。

然而,据笔者了解,针对独立学院如何在空间解析几何的教学中渗透数学思想方法,培养学生创新意识和应用能力的探讨还很少。本文就这方面作了讨论,从渗透数学思想方法,应用意识的培养两个方面论述了在空间解析几何教学中培养学生创新意识和应用能力的可行性。进而,以“形”带动“数”,促进学生对其它理论性较强的数学学科的学习和专业课的学习。

2 理论基础

2.1 布鲁纳的认知-结构学习论

美国教育家布鲁纳认为,学习的本质不是被动地形成刺激-反应的联结,而是主动的形成认知结构。他主张,应当向学生提供具体的东西,以便他们“发现”自己的编码系统。并且,他还强调教学的最终目标是促进学生对学科结构的基本理解[7]。

基于布鲁纳的认知-结构学习论,空间解析几何因其自身的直观性正是开启学生数学思维的最佳切入点;在空间解析几何教学中,注重数学思想方法的渗透,便于学生良好的数学认知结构的形成。另一方面,Zakis等人认为:在数学问题解决过程中,视觉化与分析表征之间相互作用、螺旋上升态势,并建立了V/A(Visualizer/Analyzer)模型[8]。依据数学专业的教学规范,大学生应该通过对解析几何课程的学习,为其它专业课程的钻研打下坚实的基础,逐步体会几何学与其它学科彼此之间的相互渗透[9]。

2.2 舒赫曼的“有指导的发现法”

布鲁纳的“发现法”和加涅的“指导法”是先后提出的两种相对立的教学方法。舒赫曼主张扬长避短,采用“有指导的发现法”[7]。并且,伴随着科学技术的发展,数学已经广泛地深入到现实中的方方面面。解析几何也不单单是一种计算工具,而是逐步发展成为一门为实践服务的有用科学。鉴于此,在解析几何的教学中,注重理论联系实际,锻炼学生的应用意识也是必然。

3 空间解析几何教学的探讨

3.1 教学中注重渗透数学思想方法

在空间解析几何的课程中贯彻始终的核心思想,是数形结合的思想和几何变换的思想。

1)数形结合的思想

笛卡尔坐标系的诞生使原本毫不相干的“形”与“数”在平面上得到了完美的结合,可以相互转化,开辟了用代数方法研究几何问题的新途径。后来,克雷洛和拉盖尔又创立了空间直角坐标系,将“形”与“数”的结合推广到了空间。由此,空间中的曲线、曲面便和代数方程对应。一方面,我们可用代数的方法研究几何问题。另一方面,我们也可将某些代数问题几何化,获得代数问题的几何直观解释,再借助于几何的方法加以解决。这便是数形结合的思想。它是研究问题、解决问题的重要方法。并且,对于基础相对薄弱的学生而言,几何的直观性是他们走近数学最有吸引力的筹码。因此,针对独立学院的学生,在空间解析几何的教学中注重渗透数形结合的思想是非常必要的。在此,结合自身的教学实践,就如何在教学过程中渗透数形结合的思想提出以下几点想法:

(1)向量及其运算——数形结合的肇始,注意与线性代数中向量的线性运算知识的融合,让几何的“形”表现代数中的“数”,而代数的“数”体现几何“形”的本质。

(2)由一次的线、面到二次的线、面——数形结合的展开。

空间直线与平面——由几何性质出发建立直线与平面的方程,再由方程出发,探求点、线、面之间的位置关系和度量关系。这部分可融合线性代数中线性相关的知识。

空间二次曲面——从柱面、锥面、旋转曲面的形状和形成规律出发建立代数方程,并从椭球面、双曲面、抛物面的代数方程探求其对应几何图形的形状和性质。这部分也是微积分中曲线积分、曲面积分、重积分的基础,同时,还是线性代数中二次型理论的体现。在教学过程中要注重各学科知识的相互融合。

空间二次曲线——由二次曲线的方程出发探求其所代表的线的形状,再由二次曲线的代数方程经过坐标旋转和坐标变换得到二次曲线的标准形式。

2)几何变换的思想

依据克莱因的观点,几何学就是研究各种变换群下的不变量的学科。空间解析几何中研究坐标变换及坐标变换的不变性理论。其中,注意选取适当的坐标系,可使曲线(面)方程形式较简。这部分与线性代数中的线性变换与微积分中重积分计算的坐标系的选取联系较为紧密,教学过程中要注重他们之间的结合。

空间解析几何课程中所蕴含数学思想方法还有分类讨论的思想,从特殊到一般的思想,化归转化的思想等等,在这里就不一一论述了。

3.2 教学中注意培养学生的创新思维与应用意识

随着现代科学的迅猛发展,让学生在相同的时间里获得更多的知识,培养其创新思维与应用意识是时代的热点课题。对于独立学院的学生,在几何的教学中,注重理论联系实际,适当地介绍知识点相应的生产、生活实际背景,及时地将各学科前沿和有关工程技术的最新进展引入教学,可激发学生的学习兴趣。进一步,可为学生学习数学其它基础课程与后继各专业课程建立衔接与过渡,力求将学生培养成为具有创新精神与实践能力的高级专门人才。现结合自身教学实践,就如何在教学中培养学生的创新思维与应用意识提出以下几个实例:

1958年在比利时举办的世博会上,飞利浦公司展馆的设计引起了轰动。展馆的外形如一顶帐篷覆盖在地面上。建筑物由12个双曲抛物面构成,每个双曲抛物面都相互交叠,并由框架的拱肋支撑,给人以强大的视觉冲击。

作为2008年北京奥运会的主体育场,“鸟巢”总建筑面积25.8万m2,占地20.4m2,高度69.21m。整个建筑造型呈马鞍形,混凝土结构主体分地下1层,地上7层,组成3层碗状斜看台,可容纳观众9.1万人。

这些实例可让学生体会原本枯燥乏味的数学竟然可与建筑美有着奇妙的联系,进而,说明几何中所学知识正是很多建筑学家创作的灵感来源之一。另外,我们还可以设计自主性课题,启发学生自己寻找在装潢、包装设计、工艺美术等方面的几何知识应用的影子,并根据自己所学改进某些已有的设计。

在机床工件制造问题中,机床调整模型应该选取滚刀轴,即机床主轴为坐标系的一个坐标轴,这样滚刀侧铲面方程才简明易求。

航船的设计不仅要描绘船体部位的各种曲线,还要计算不同形状船体的面积、体积及确定重心的方法。

求解飞机机翼的整流面方程。

这几个实例意在能让学生在计算的同时,学会“建模”,了解几何在测量、航海、航空等方面的应用背景。如果有条件的话,最好能将这部分作为数学实验课让学生完成,对培养学生的创新思维与应用意识会更有利。

参考文献

[1]汪晓勤.M.克莱因的数学教育思想与高等数学[J].曲阜师范大学学报,2004,30(4):106-110.

[2]巩子坤.论数学思想方法视域下的解析几何课程改革[J].曲阜师范大学学报,2006,32(1):125-128.

[3]徐阳,赵景军.解析几何教学改革的初步探索[J].高等理科教育,2008,79:32-34.

[4]韩瑞珠.线性代数与空间解析几何教学中的一点体会[J].工科数学,2002,18(6):52-58.

[5]董增福,吴勃英.代数与几何(偏理)课程建设中的几点体会[J].大学数学,2003,19(4)26-28.

[6]章晓.线性代数与解析几何教学探析[J].山东师范大学学报(自然科学版),2008,23(3):132-133.

[7]教育部人事司.高等教育心理学[M].高等教育出版社,2005,98-101,176.

[8]徐速.数学问题解决中视觉空间表征研究综述[J].数学教育学报,2006(2):36.

3.借助几何教学，培养空间意识 篇三

空间观念是一种数学思考，从现实生活中积累的丰富几何素材体验出发，在学生的活动中逐步建立起来的。教学中应从学生熟悉的生活经验入手，让学生在现实问题的感知与操作过程中体会，帮助学生从众多的实际物体寻求异同点，从而在头脑中形成清晰的表象，初步感知空间与图形的经验。

教学《图形的旋转》时，要求课前学生找一些生活中的平移与旋转实例，让学生在互相的举例和交流中，将脑中已有的立体图形的形象与课本上学习的立体图形结合起来，明白旋转三要素和学会实物的旋转，通过学生自身生活经验的感知和教学活动的操作，从而对旋转有了更深刻的理解。

二、引导动手操作，培养几何空间观念

小学生的思维经常是从动作开始的，动手操作是学生获得知识、形成空间表象、培养空间观念的重要途径。借助视觉、触觉、听觉等感官共同参与几何材料的操作，通过不断地尝试比、量、摆、剪、折、拼、画等活动来增加、积累自己的经验，建立和巩固空间观念。

研究三角形的稳定性时，先让两位学生上台展示拉三角形和四边形，初步感知三角形不会变形；然后请两组四位学生分别用红、黄、蓝两组长度一样磁条摆三角形和用红、黄、蓝、绿两组长度一样的磁条摆四边形，发现摆出的四边形的形状不一样，而三角形摆出的结果只有一种。通过由浅入深、由表及里的操作活动，学生对三角形和四边形的空间形象产生深刻的印象，进一步认识三角形的稳定性。

又如，教学《圆的周长》时，让学生在围一围、滚一滚、绕一绕、算一算的过程中，丰富了课堂教学活动，积累数学活动经验，体会“化曲为直”的数学思想方法。让学生亲历测量，留给学生足够的时间和空间去自主探索，学生才能在操作中发现，在操作中感悟，在操作中学习，在操作中验证，在操作中理解，更好地完成任务新知识的建构。这种基于图形的想象和图形之间的转换，通过对实物的观察与操作，从具体的事物到事物的表象乃至抽象出事物的本质——圆的周长计算公式，培养学生的空间观念。

三、借助媒体演示，验证空间想象能力

想象是学生数理逻辑与经验生成的源泉，而空间观念不仅仅是一种印象，一种思考，一种逻辑，更是一种内在的把握。这就要借助班班通等媒体手段，设计一些动画，可以让静态的图形动起来，将图形的变化过程演示出来，帮助学生建立正确的空间观念，验证学生的空间想象是否合理、正确。

教学《平行四边形的面积》时，引导学生猜想：平行四边形的面积=底×高。把平行四边形通过剪——平移——拼等动手操作，转化成长方形，并用课件演示其中较为典型的三种转化方法。从而验证学生的猜想是正确的。这不仅锻炼了学生的动手能力，还训练了学生比较、分析、推理的思维，使学生能深切领会到“计算公式”的由来。

又如，教学《圆的面积》时，教材从铺草皮情境引入，教师直接给出可以把圆剪成若干（偶数）个近似的等腰三角形，让学生拼一拼，猜想圆的面积计算方法。通过课件演示把圆转化成近似的平行四边形、长方形的过程，有利于学生空间观念不断形成和堆积的过程，逐渐逼近的极限思想的感悟过程，让学生真切地看到了“自己想象的过程”，推导出圆的面积公式，培养学生的空间想象能力。

四、理论结合实践，发展空间思维能力

教学中，要侧重于学生的实践活动，通过灵活地运用所学的几何知识，发挥想象，解决生活中的实际问题，加深对几何形体的感知，促进学生空间思维的发展。

教学《圆柱体表面积》后，设计了一系列的变式题：1.一个无盖的圆柱形玻璃鱼缸；2.粉刷圆柱体蓄水池；3.计算圆柱体食品盒上商标纸的面积；4.压路机压出的面；5.铁皮通风管、烟囱的用料。通过不断变式，能使学生更好地理解圆柱体表面积计算公式在解决实际问题中的应用，从而形成正确、清晰的表象。

又如，教学《长方形和正方体的表面积》后，设计拓展练习：把一个长10厘米，宽6厘米，高8厘米的大长方体切成两个小长方体，这两个小长方体的表面积的和最大是多少平方厘米？让学生尝试用马铃薯、地瓜、苹果或橡皮等物体，沿着不同的方向进行切割；课堂上运用媒体演示切割后的两个小长方体，帮助学生理解、计算。通过这样切割、演示，引导学生分析、比较图形之间的相互联系，促进事物表象与学生想象的相互融合，有效发展学生的空间思维能力。

总之，我们要根据学生的认知规律，善于引导学生利用已有的生活经验进行学习，无论是观察操作，还是运用多媒体，都要尽可能符合学生的认识过程，培养学生的空间观念和空间想象能力，发展空间意识，促进空间思维能力的形成。

4.空间解析几何教学大纲 篇四

1.教学目标

明确什么叫视图和为什么要用三视图。

从课题题目的“三 视图”引入，解释视图的含义，图解一个视图只能反映物体一个方位的道理。

三投影面体系是形成三视图的的必要条件。也为后续点、线、面课程打基础。

2.教学重点/难点

【教学重点】 认识三投影面体系的构成和各个投影面的名称及代号 每一视图是从物体的何方向投影所得。

三投影面展开的规定以及三个视图之间相对位置的认识。

分析每一视图能反映物体的什么尺寸、不能反映什么尺寸及其原因，引出任意两图之间的尺寸等量关系，用“跑道”的等宽和转弯的形象比喻，讲解左俯两图间的宽度尺寸方向和等量关系；归纳分析“三等关系”的口诀，强调“对正、平齐”的含义。

【教学难点】 左俯两图间的宽度尺寸方向和等量关系

3.教学用具

自制纸质可展开的三投影面体系模型。

4.标签

三视图

教学过程

§2－1 三视图的形成及其投影规律

本小节是学习《机械制图》入门的最重要且最基础的知识，必须在清楚地了解三视图形成过程的前提下，从而理解并初步能应用三视图的投影规律看、画简单的三视图。

一、视

图

【教学目的】 明确什么叫视图和为什么要用三视图。

【教学重点】 从课题题目的“三

视图”引入，解释视图的含义，图解一个视图只能反映物体一个方位的道理。

【教法设计】 用教学模型引导，讲解 视 的过程和道理，并在黑板上徒手画出相应的图。

徒手板画图1，逐一添加不同形体，有意引导从同一方向想象，引出同解的视图，再启发点明改变投射的方向其视图就不同解，从而说明为何要采用三视图。【时间分配】 约10分钟 【教具】

组合体教学模型

【说明】 本教案中的黑体字和图形为板书板图用，斜体字为讲课提示用。

视图——视，就是看的意思。将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓画出来的图形。

用正投影法绘制出物体的图形称为视图。

一个视图只能反映物体的一个方位的形状。不能完整反映物体的结构形状。

图1

三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果。能较完整的表达物体的结构。二、三视图的形成 对原教材作适当修改，按三视图的形成过程，将本大点分为3小点讲，小标题为增加的。

1.三投影面体系

【教学目的】三投影面体系是形成三视图的的必要条件。也为后续点、线、面课程打基础。

【教学重点】认识三投影面体系的构成和各个投影面的名称及代号，【教法设计】用自制纸质可展开的三投影面体系模型和板图相结合 【时间分配】 约7分钟

【教具】

自制纸质可展开的三投影面体系模型

三投影面体系由三个相互垂直的投影面和三条投影轴（立体坐标）构成引导学生撑开课本竖放在课桌上，建立一个简易而形象的三投影面体系。

正立投影面

简称

正

面

代号 V 三个投影面

水平投影面

简称

水平面

代号 H 侧立投影面

简称

侧

面

代号 W

V与H的交线称为OX轴

简称 X轴

它代表物体的 长度 方向

三条投影轴

W与H的交线称为OY轴

简称 Y轴

它代表物体的 宽度 方向

W与V的交线称为OZ轴

简称 Z 轴

它代表物体的 高度 方向

X、Y、Z三轴的交点 O称为原点

2.三视图的形成过程和名称

【教学目的】 要求掌握每一视图的名称，以及它从物体的何方向投影所得和最能反映物体的何方位形状。

【教学重点】 每一视图是从物体的何方向投影所得。

【教法设计】 主要采用教案所示的组合体教学模型实物，配合纸质三投影面体系上已画好的视图进行引导讲解各图的名称和来历，不作板图。从简。【时间分配】 约8分钟

【教具】

自制纸质可展开的三投影面体系模型和教案所示的组合体教学模型

从物体的 前面向后面投射，在 V面所得的视图称 主视图—能反映物体的前面形状

从物体的 上面向下面投射，在 H面所得的视图称 俯视图—能反映物体的上面形状

从物体的 左面向右面投射，在 W面所得的视图称 左视图—能反映物体的左面形状

3.三视图的展开及其位置

【教学目的】 由三视图规定的展开形式引导出三视图固定位置的道理，对三视图的形成有一个完整的概念。

【教学重点】 三投影面展开的规定以及三个视图之间相对位置的认识。【教法设计】

1、主要以纸质三投影面体系模型进行直观的、逐一地展开，展开的结果也自然地展现了三视图位置的来历。该模型最能讲透这个内容的实质。

2、三视图展开之后，将该组合体的三视图按对应关系徒手板画到黑板约中间的位置上（图2），以说明展开的实际意义，也为下一个分析内容提供板图。【时间分配】 约5分钟

【教具】

自制纸质可展开的三投影面体系模型。

为了看、画图的方便，必须将三个相互垂直的投影面摊平到同一个平面上 三视图的展开

以V面为基准，沿 Y轴剪开，然后 H面绕X轴向下转90°

W面绕Z轴向右转90° 三视图的位置

主视图在图纸的左上角

左视图在主视图的正右方 俯视图在主视图的正下方 三、三视图之间的投影关系

（三等关系）

【教学目的】 此为本课程最基本也最重要的基础知识，要求理解并初步掌握三视图之间的尺寸等量内在联系，即“尺寸三等关系”。

【教学重点】 分析每一视图能反映物体的什么尺寸、不能反映什么尺寸及其原因，引出任意两图之间的尺寸等量关系，用“跑道”的等宽和转弯的形象比喻，讲解左俯两图间的宽度尺寸方向和等量关系；归纳分析“三等关系”的口诀，强调“对正、平齐”的含义。

【教学难点】 左俯两图间的宽度尺寸方向和等量关系

【教法设计】

1、先徒手添画出组合体的轴测图（图3），一方面是让学生有新鲜感，另一方面是开始引导学生如何看懂轴测图与三视图的联系，为今后的学习和作业打基础。

2、讲解过程采取模型、轴测图和三视图三结合的感性和理性的分析，设计板书中的圈圈（见下页教案），使学生易于接受和理解。

3、强调用跑道的比喻化解宽相等的难点。

4、示范演示用一副三角板配合推画、掌握长对正和高平齐的关系，然后再用圆规专门负责量取宽度尺寸的图线，用绘图工具的明确分工，辅助掌握和理解三等关系。

【时间分配】 约15分钟

【教具】

教案所示的组合体教学模型

任何物体均有长、宽、高三个方向尺寸，该关系是用于分析每一视图如何反映物体的这些尺寸。

图2

图3

分析的前提必须先规定物体的长、宽、高尺寸方向。强调正对主视图（V面）的水平方向为物体的长度方向，然而，其宽度和高度方向就自然地确定下来了。

主视图反映物体的长

高 尺寸；

不反映 宽 尺寸。（原因：宽方向与主视的投射方向重合）

俯视图反映物体的长

宽 尺寸；

不反映 高 尺寸。（原因：高方向与俯视的投射方向重合）

左视图反映物体的高

宽 尺寸；

不反映 长 尺寸。（原因：长方向与左视的投射方向重合）

配合图2进行分析引导，该图的使用过程连线在此教案中从略 由此可见：

1、每一视图只能反映物体两个方向的尺寸。故视图是平面图形，没有立体感，是学习机械制图困难所在。

2、每两个视图反映的相同方向尺寸，具有尺寸等量的内在联系。

从宏观到局部均存在这种联系。

1、在对齐的前提下，自然就有等量关系。

2、对正、平齐就是不可以将两图错位

含义：

归纳为口诀 主视、俯视

长对正

主视、左视

高平齐

左视、俯视

宽相等

【难点】

在宽相等的关系上，因为这两图的宽度方向未能对正，而相差了90°。板图讲解用两段弧将左、俯两图连接，形象比喻为跑道。帮助理解和记忆宽相等关系，特别是两图之间的宽方向的转向。四、三视图与物体位置的对应关系

（方位关系）

【教学目的】 此为三视图的第二个投影规律，要求理解并初步掌握每一视图所能反映物体的什么方位和不能反映什么方位，故该关系也称“方位关系”。【教学重点】分析每一视图所能反映物体的什么方位和不能反映什么方位。【教学难点】左、俯两图间的前后方位的判定。

【教法设计】

1、利用图2和图3进行启发、引导式地讲解。

2、联系和借用三等关系，讲解方位关系。

3、增加口诀“里后外前”帮助学生判别左、俯两图的前后方位 【时间分配】 约15分钟 【教具】

组合体教学模型

任何物体均有前后、左右、上下六个方位，方位关系是用于分析每一视图如何反映物体的这些方位。

分析的前提必须先规定物体的前面方位。强调正对主视图（V面）的当面为物体的前面方位，然而，其他方位就自然地确定下来了

主视图反映物体的左右、上下 方位； 不反映 前后 方位（原因：该方位与主视的投射方向重合）

俯视图反映物体的左右、前后 方位； 不反映 上下 方位（原因：该方位与俯视的投射方向重合）

左视图反映物体的上下、前后 方位； 不反映 左右 方位（原因：该方位与左视的投射方向重合）

利用配合图2进行分析引导，该图的使用过程连线在此教案中从略 【难点】

在判别左、俯两图的前后方位

用 “里后外前” 口诀帮助判别前后关系。

【解释】 以主视图为基准，在左、俯两图中，靠近主视的一边为里，即物体的后边结构；

远离主视的一边为外，即物体的前边结构。

小结：

1、三视图的投影规律有两个，三等关系和方位关系。看、画图过程缺一不可。

2、主俯和主左视图的对应关系比较直观，易于理解掌握，而难点在于左俯两图的宽相等和前后方位的理解和判断。

【举例】 目的在于对有关三视图两个投影规律的实际运用，验证缺一不可的重要性。

【时间分配】 约15分钟

例： 根据给出的简单形体轴测图，画出三视图。（边画边分析其结构，过程从略）

题目设计为形体的结构特点基本对称，唯有圆孔不对称。目的在于体现方位关系的运用。板图过程有意将孔的宽方向尺寸和前后方位画错，让学生纠错，以达到总结消化目的。

图4

五、物体表面上面和线的基本投影特性

（正投影法的基本特性）

主要是研究物体表面的几何要素与投影面相对位置的不同而产生的投影结果和特性。

【教学目的】 理解物体的面、线与投影面的三种相对位置，其投影结果如何，属何性质。

【教学重点】 在于倾斜状态的分析和投影结果。

【教法设计】 采用实物模型和图2中的三视图进行对正分析。【时间分配】 约10分钟 【教具】

组合体教学模型

相对位置：一般分为三种状况：平行

垂直

倾斜。

1.平面的基本投影特性

平行于投影面——投影为反映 实形 的 封闭线框——其特性称为

真实性 垂直于投影面——投影 积聚 为一直线段——其特性称为

积聚性

倾斜于投影面——投影为有 类似性 的 不反映实形 的封闭线框——称为 类似性

2.直线的基本投影特性

平行于投影面——投影为反映 实长 的 直线段——其特性称为

真实性 垂直于投影面——投影 积聚 为一个 点——其特性称为

积聚性 倾斜于投影面——投影为 缩短的不反映实长 的 直线段——称为 收缩性

小结：正投影法的基本特性有三个，即真实性、积聚性、类似性（收缩性）

【布置作业】习题集P13、14两页共4大题。课后独立完成。［P13－2－（2）给出轴测图］

作业不很多，难度不算大，切合本次课的内容范围，基本可以独立完成。

【时间分配】

5.空间解析几何教学大纲 篇五

点击数：35 时间：2010-6-6 作者:李飞燕

《小学数学课堂教学有效性案例研究》之《空间与图形领域中几何概念教学的有效性研究》课题研究实施方案

一、课题名称：《空间与图形领域中几何概念教学的有效性研究》

二、本课题研究的理论和实践价值。

《数学课程标准》十分强调培养和发展学生的空间观念，把“空间与图形”作为小学数学四大内容领域之一。几何知识作为数学基础知识的重要组成部分，一直是基础教育数学课程的重要内容。掌握必要的形体知识，形成一定的空间观念，是认识、改造人类生存空间的需要。研究表明，儿童时代是空间知觉即形体直观认知能力的重要发展阶段。在小学，不失时机地学习一些几何初步知识，并在其过程中形成空间观念，对进一步学习几何知识及其他学科知识的影响都是积极的、重要的，甚至是不可替代的。而空间形式的基础知识都是以概念的形式来表达的，概念又是空间观念和空间想象的基础。因此，《小学数学课堂教学有效性案例研究》之《空间与图形领域中几何概念教学的有效性研究》这一课题符合《数学课程标准》的教育理念。符合《心理学》关于学生的认知发展规律。符合时代对人才培养的需要。

该课题的实践价值，一是有利于提高课堂教学效益，促进课改；二是有利于学生准确理解知识的数学本质，系统的掌握知识，形成知识网络，灵活的运用几何概念解决问题；三是有利于学生学习方式的转变，从而培养学生的创新能力和实践能力；四是有利于提高教师的综合素质，促进教师专业化成长。

一、本课题研究的主要内容。

小学数学“几何概念”教学是小学数学概念教学的一个重要内容。新课标修订版指出：几何教学关注的是实验几何，经验几何，直观几何，要让学生感受几何直观的作用，注重培养学生的几何直观能力。由于几何概念具有复杂性、抽象性等特点，小学生的思维又以直观形象思维为主，同时在以往的概念教学中存在本质揭示不透彻、忽视概念间的相互联系、忽略概念的综合应用发展等问题，导致学生要非常透彻地理解掌握几何形体概念存在一定的困难。为此，教师必须根据几何概念的特点、学生的认知规律，从以下几方面进行教学研究：

一、提供材料，帮助理解单个概念。

二、构建概念网络，内化概念。

三、应用概念，促进完善概念。主要研究内容：

1、整理出《空间与图形》中几何基本概念(或方法)以及概念间的联系。研究《空间与图形》中几何概念教学的基本原则及学生获得几何概念的基本方式。

2、研究《空间与图形》中几何基本概念(或方法)的数学本质或核心意义。建构小学数学几何概念教学的一般规律及教学模式。

3、研究在几何概念教学中，学生的学习策略和学习行为。

4、研究在几何概念教学中，教师的引导策略。

四、研究方法和步骤

（一）研究的方法

1、文献资料法：认真学习建构主义理论、现代认知心理学、新《课标》等一些理论或文件精神，通过对国内外有关小学数学《空间与图形》几何概念的教学结合文献的收集和研究，使课题研究的内涵和外延更丰富，更明确，更科学。争取在现有研究水平的基础上有提高和突破。

2、问卷调查法：在实施课题阶段，对被实施此课题之前的本校学生采用问卷调查方式进行调查研究，用以了解学生的数学发展现状与发展需求，以及相关的影响因素，并根据调查结果有针对性采取相应的策略与手段。

3、行动研究法： 在数学课堂教学中，勤于将从课题研究中获得的教学理念转化为教学行为，在实际教学过程中不断总结、反思、修正、再实践逐步积累经验。在实际的教育教学环节中，通过个案分析和作品分析等，对个体的发展进行跟踪调查，及时改进研究措施。

4、经验总结法： 在教学实践和研究的基础上，根据课题研究重点，随时积累素材，探索有效措施，总结各阶段的得失，不断调节研究步伐。寻找有效的提高课堂教学效率和提高学生实际运用、实践能力的方法。

5、个案分析法：重视对数学课堂案例的分析，从中寻找课题进展的突破口

（二）课题研究计划

1、筹备启动阶段（2010年3月——7月）

向有关单位申请立项。召开课题启动会，组建课题组，确定课题组人员分工。制定课题实施方案，初步确定实验框架，完成课题开题报告。

举行开题会。各实验小组提出改进意见，完善课题方案，制定各实验小组课题实施方案和研究计划，建立各子课题，开展各种学习和培训活动。

2、课题实施阶段（2010年9月——2011年9月）

（1）根据小学阶段“空间与图形”中几何概念间的联系将其分为“平面图形”、“立体图形”、“位置”、“观察物体”、“角”、“图形与变换”、“测量”七大知识板块。明确研究思路，即由学校教科室统领，每个课题研究小组侧重研究一个知识板块的内容。

（2）各实验小组按学期进行实践性研究，开展课题组的交流研讨，积累阶段成果，做好每学期末的研究工作小结和课题阶段研究报告，调整并明确下一步的研究工作。

3、课题深化总结阶段（2011年9月——2011年12月）

根据研究内容，收集、整理、归类材料，综合研究材料，以教学经验总结、典型课例、论文等形式表达。最终在以上成果总结的基础上，对课题进行全面、科学的总结。写出实践报告，召开成果汇报会。接受总课题组验收。

五．研究对象：小学1——6年级学生

六、预期研究成果形式 课题的研究报告；课题组研究记录；相关论文；教学案例及教学反思；个案分析；数学教学实践活动；相关影像资料等。

七、课题组成员的分工

组 长：向远萍（领导策划主持研究工作）

副 组 长：李飞燕(负责设计课题方案、撰写研究报告等工作)组

员：刘宗武、雷文艺（负责整理会议、学习记录）

熊

英、沈

俊、陈世斌、康集会（负责课题资料的收集、管理）

栗少明、冯清梅（负责问卷、谈话调查、数据分析等）

刘梅芳、侯海燕、张

敏、李冰冰、张海玉、谭

怡（负责整理装订课题资料）。

建始县实验小学数学组

6.向量代数与空间解析几何 篇六

向量代数：向量的线性运算，向量的坐标，向量的数量积，向量积，两向量平行与垂直的条件。平面与直线：会利用已知条件求平面的方程、直线的方程。

曲面与空间曲线：了解曲面的概念，如坐标轴为旋转轴的旋转曲面，母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的参数方程和一般方程，会求空间曲线在坐标面上的投影。

2．多元函数微分学

多元函数：会求简单的二元函数的极限与判断二元函数的连续性。

偏导数与全微分：偏导数的计算，复合函数二阶偏导数的求法、隐函数的求偏导；会求全微分； 偏导数的应用：方向导数和梯度；空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线；最大值、最小值问题，条件极值，拉格朗日乘数法。

3．多元函数积分学

二重积分：化二重积分为二次积分、交换二次积分的次序；二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；利用二重积分求曲面面积、立体体积。

三重积分：三重积分的计算（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；

曲线积分：两类曲线积分的计算方法；格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件。

曲面积分：两类曲面积分的计算方法；高斯公式。

4．无穷级数

常数项级数：级数收敛的判定，几何级数和P—级数的敛散性；正项级数的比较、比值及根值审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，绝对收敛与条件收敛的概念及其关系。

幂级数：较简单的幂级数的收敛半径和收敛域的求法，幂级数求和函数；函数展开成幂级数。傅里叶级数：函数展开为傅里叶级数，函数与和函数的关系，函数展开为正弦或余弦级数。

5．常微分方程

可分离变量微分方程，齐次方程，一阶线性微分方程。可降阶的高阶微分方程。二阶常系数齐次线性微分方程。利用切线斜率建立简单的微分方程并求解。

牢固掌握下列公式：

1、向量的数量积、向量积计算公式；

2、全微分公式；

3、方向导数公式；

4、拉格朗日乘数法；

5、格林公式、高斯公式；

6、函数的麦克劳林展开公式。

7.空间解析几何教学大纲 篇七

一、引导学生认真观察

“观察是思维的窗口, 没有它, 智慧的阳光就照不进脑海。 ”精辟地指出了观察在科学探究与发现中的重要性。 学生只有认真观察、学会观察, 才能打开通往几何空间的大门, 这正是培养学生空间想象能力的重要条件。因此在教学中教师要引导学生认真观察, 让学生在观察中积累丰富的思维表象。

1.观察数学模型, 即教学中所使用的立体几何教具, 如最基本的立方体、长方体、棱柱、棱锥等。 模型更为直观形象, 学生通过认真观察可以建立最为直观而形象的感性认知, 积累丰富的表象材料, 从而利于学生将这些基本的模型存储于头脑之中。

2.观察生活实物。 数学模型毕竟有限, 并不能全面地反映数学世界。 而生活则不同, 数学本身就是一门植根于生活世界的自然学科, 可以说现实生活中处处都有数学的影子。 在立体几何的教学中我们同样不能割裂数学与生活的关系, 而是要引导学生将数学的视野引向宽广的现实生活, 让学生来观察生活实物。 这样既可以拉近学生与教学的距离, 激起学生更大的学习热情, 同时也可以让学生认识到数学与生活的关系, 更加利于学生对原本抽象而深奥的知识的深刻理解。如教室就是一个长方体, 教室的墙角就是相交于一点的三条两两垂直的直线或是三个两两垂直的平面。

3.观察白板演示。 电子白板具有很强的动态演示功能, 具有传统教学手段所不具备的直观感、立体感与动态感, 可以将空间形象的展示与运动观念的形成结合起来, 构筑动态的空间图形, 这样更能拓展学生的想象空间, 增强空间观念, 培养学生的空间想象能力。 如立体图形的侧面展开, 教师就可以充分利用电子白板的动态演示功能, 将整个过程动态而直观地呈现在学生面前, 从立体图形到平面图形, 再由平面图形到立体图形, 这样更能增强学生的空间想象能力。

二、鼓励学生动手操作

学生空间想象能力差, 觉得立体几何难学的一个重要原因就在于受平面几何的影响, 总是习惯于从平面的角度来思考。 引导学生动手操作, 手脑并用, 在直观的操作中获取第一手直观而形象的认知, 化抽象为形象, 这是解决这一问题的根本。 这也正是培养学生空间想象能力的重要方法。

1.动手做模型。 尤其对于是高一新生来说, 让学生对基本的立体图形有一个直观而深刻的认知是学习立体几何的基础与关键。 为此, 在教学中教师可以让学生来亲自动手利用身边一切可以利用的材料来制作一些基本的数学模型。让学生在做的过程中动手动脑, 通过操作来将这些基本的图形存入学生的头脑, 这样才能增强学生的空间立体感, 为学生更好地学习立体几何打下坚实的基础。

2.动手做演示。 对于一些不能直接在模型中展现的内容, 我们可以让学生利用身边的材料动手来进行演示。 如让学生利用教材、课桌等来演示异面直线、二面角, 直观地演示两个面分别垂直的两个二面角没有任何关系。这样通过学生的动态演示, 在学生眼中这些基本的概念不再只是简单的记忆, 而是深入本质的理解, 是动态而立体地存储于学生的头脑中, 学生可以自行地进行图形的转换。

3.动手中求知。 如对于不规则几何体体积的求解这是一个难点, 为了让学生更加透彻地理解与掌握通过拼凑与切割成规则几何体这两种方法, 教师就可以让学生亲自动手, 让学生在做中求知。 这样学生通过亲自操作, 将不规则几何体转化成规则几何体, 这样不仅可以帮助学生突破这一重难点, 让学生真正地理解、掌握学习方法, 同时也可以让学生在操作中来增强空间立体感, 培养学生的空间想象能力。

三、指导学生学会画图

具备一定的识图、画图与作图能力是新课改下高中数学教学的重要目标, 是学生所必备的一项数学素质, 也是培养学生空间想象能力的一个重要方面。 因此, 在教学中教师要重视学生识图与作图技能的培养。这样学生才能实现图与形之间的转换, 建立图形、文字与符号的直接联系。 其中最为重要的一点就是要改变学生以往平面几何式的视觉习惯, 认识到图形与实物之间的差别, 能够掌握图形对照, 以图思形, 以形绘图等基本的方法。只有当学生认识到立体图形与平面图形与实物之间的差异, 学生才能准确地读图、识图, 进而能够正确绘图, 能够在图与形之间实现转换, 进而更好地学习立体几何, 培养学生的空间想象能力。 当然还要发挥教师的示范作用, 教师只有绘得一手好图, 才能更好地传授学生方法, 让学生以此为榜样更好地识图与绘图。

8.空间解析几何教学大纲 篇八

《空间向量与立体几何》是高中数学选修2-1的第三章内容，本章内容既是必修四《平面向量》在空间的推广与引申，一些结论和定理在空间仍然成立，也是必修二《立体几何》的初步延伸，空间向量为立体几何在证明线线、线面、面面平行与垂直的证明，以及求解线线所成的角、线面所成的角、面面所成的角提供了一种运用向量或者坐标解决问题的方法和途径。在《新课程标准》对本章內容明确提出：“通过本章的学习使学生在对已由平面向量的基础上进一步学习空间向量并运用空间向量研究立体几何中的问题，进一步体会向量方法在解决几何问题中的作用。”

在江苏高考中本模块知识是江苏高考理科学生选考的一个知识点。在江苏高考中空间向量与立体几何的知识是作为附件分40分中的一题，在试题中仅仅是以解答题的形式出现、主要考查是通过建系求线线所成的角、线面所成的角、面面所成的角等相关知识。高考大纲中要求如下：

本章教材在编写方面在内容的章节安排上采取了与空间向量对应的方式、在例题的处理上也大同小异，在内容的安排、例题的选取与方法有一些不尽人意的得分，在对本章的教学中，教师要合理的运用教材、开发教材，在教材的使用上要注意以下两点：

一、调整课时、合并内容、适当调整

《高中数学课程标准》上安排《平面向量与立体几何》部分在课时上安排了12课时（其中包括小结与复习1课时），如下表，由于本教材在内容上是空间向量的延续。在课堂教学中针对江苏高考的特点以及《高中数学新课程标准》并且再参考学生已由的知识的基础上，我们对教材在内容安排上进行如下调整：如下表。其中前面的内容由于是在平面向量的基础上的推广与延伸，所以课时进行适当的压缩，由于本章的重点与难点是空间向量的运用，重点是解决线线所成的角、线面所成的角、面面所成的角，所以在在内容安排上尽量多安排，安排了4课时比较合适。因此，对课时进行了如下调整：空间向量的特点、空间向量共线、共面的充要条件（1课时）空间向量的特点、空间向量共线、共面的充要条件（1课时）。空间向量的加法、减法及数乘运算、空间向量的坐标运算（1课时），空间向量的数量积（1课时），空间向量的共线与垂直（1课时），直线的方向向量与平面的法向量（1课时），空间向量的应用（4课时）。

二、瞄准高考、活用例题、注意通法

高考在本章的考查重点就是运用向量坐标的知识，解决立体几何问题，因此，在本章的教学重点就是建系，转化成点坐标的形式。因此，课堂教学中要围绕这一中心。如2015年江苏高考试题：如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1.（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值。

解：以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则各点的坐标为B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）。

（1）因为AD⊥平面PAB，所以是平面PAB的一个法向量，=（0，2，0）。

因为=（1，1，-2），=（0，2，-2），.设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则·=0，·=0，即x+y-2z=02y-2z=0，令y=1，解得z=1，x=1，所以=（1，1，1）是平面PCD的一个法向量，从而cos<，>==，所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为。

试题分析：本题主要考查运用建立空间坐标系的思想方法，运行坐标的知识解决平面与平面所成的角与异面直线所成的角等相关知识，这就是本章内容所考查的重点所在。

因此，在课堂的例题教学中，要把握住建系、表示点的基本思路。如在《空间的角的计算》一节中例1，在教材中例1给予了两种解法。

例1 ：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E1，F1分别在A1B1，C1D1上，且E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求BE1与DF1所成角的大小。

课本中给出了两种解法，而解法1与解法2运用向量的数量积等知识，在本章中这种方法显然是不恰当的，教师不妨运用建系的方法，这样就更具有针对性。

解题过程：不妨设正方体的棱长为4.以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系，则各点的坐标为D（0，0，0），B（4，4，0），E1（4，3，4），F1（0，1，4），

所以=（0，-1，4），=（0，1，4），因此·=0×0+（-1）×1+4×4=15.

由cos<，>===.

9.解析解梦空间 篇九

有一种电影因为时空的不断变化而显得高深莫测，可能在你看第一遍时只了解了一个大概，看两三遍时才初步明白其中的玄机，而对于其中的一些细节可能还需要再去反复观看推敲才能获得完满的答案。往往这类电影需要编剧和导演有很强的逻辑能力和撑控力，剪辑也颇费心思，同时还要冒着观众不买帐的风险，所以这类电影少之又少，而成功的作品更是凤毛麟角，然而电影《盗梦空间》就是这样一部成功的特例。很多朋友都看过这部电影，然而有几人不纠结于其中的空间变化之中呢？至少，我是想弄明白这些迷团的。于是，在看了几遍后，再加上查看一些资料，这部电影的脉络逐渐在我眼前清晰起来……

《盗梦空间》（《Inception》）就好象是一部玄幻小说，你必须接受它里面的无数天马行空的设定；但是它是最好的玄幻小说，因为在它的设定下情节无懈可击。所以首先要解释片中提到的所有设定：（网络资料）

1.首先，片中一共有六层世界。如果我们把片子中小组计划的现实世界作为参照物的话，按照做梦依次向上分别是：现实世界，第一层梦境，第二层梦境，第三层梦境，第四层梦境，limbo（迷失域）。

2.正常人活动在现实世界，做梦的时候在第一层梦境。如果要进入第二层梦境，也就是梦里的梦，必须要服用一般性药物。在服用一般性药物的情况下，要从梦中醒来（不管是第一层还是第二层）有两种方法：第一种就是所谓的‘kick’，也就是重力下坠的冲击。第二种就是被杀死。当然，等药物效果过期也是一种不是办法的办法。

3.如果要进入第三层梦境，也就是梦里的梦里的梦，一般性药物就无效了，必须要加强型药物。但是加强型药物的副作用是如果在梦里被杀死不能醒来，而会进入Limbo（后面解释什么是limbo），所以只能用 Kick的方式来苏醒。

4.所谓的Synchronize a kick（协同刺激），也就是说要在各层同时刺激才能把梦中人唤醒。比如说对于在第四层梦境活动的人需要在第一至四层同时Kick（刺激）才能使其在第一层苏醒；如果只在第三和第四层Kick（刺激）则其会在第三层苏醒；而如果中间有某层没有同时Kick（刺激），比如只在第一，第二和第四层Kick（刺激）或者只在第一和第二层Kick（刺激），则活动在第四层的梦中人不会苏醒，这也就是所谓的Miss a kick（错过刺激）。所以当片中小组计划侵入深层梦境的时候，每一层必须留人醒着负责Kick（刺激），而且用音乐的结束来协调同时Kick（刺激）的时刻。

5.层与层之间的时间以大约二十倍的数量延缓。在台词中给出的约数是现实世界十小时的航班，在第一层梦境是大约一个星期，在第二层梦境是大约六个月，而在第三层梦境是大约十年。

6.Inception的片名，直译是开启，在电影里面是一个盗梦术语，不是指在梦中偷窃情报，而是指把某种想法植入目标人物使得他觉得这想法是自己本来就有的。而Inception必须至少要在第三层完成。这是有原因的，我们可以在片中目标人物的梦中看到，第一层梦境很浅，意识很多，是整个城市，第二层是一个酒店，到了第三层只有白茫茫大雪里的一个堡垒。在意识越少的梦境里面植入效果越强。

7.每个梦都有一个梦主（Dreamer），他和别人分享自己的梦境。梦境中的场景可以由专门的设计师设计然后告诉梦主的，所以设计师不一定是梦主。理论上来说进入这个梦境的人都会带来自己的一些意识投影，但是除了目标人物之外其他人都知道自己在做梦所以意志不会被迷惑。而设计师设计的梦境不能太离谱有不现实的场景，否则目标人物就会意识到自己在做梦，他的投影会对侵入到他梦境的其他人发动进攻。当然，如果目标人物的投影是经过特殊防盗梦训练的话，即使梦境场景很真实侵入者也会被投影围攻。

8.迷失域（Limbo）不是一个梦境，也不因人而异。只有在服用加强型药物而且又在梦境中死去时才能进入。Limbo里面时间无穷尽。而且这个世界里只有之前到过这里的人留下的一些场景碎片，在日本人去之前只有道姆夫妇到过，所以开头结尾日本人的迷失域里的房子和之前道姆对他进行盗梦时给他造的一样。进到迷失域里面如果死亡会回到现实，但是问题是在迷失域记忆会丧失记不得这种方法，所以进入迷失域是不得已的选择。

9.梦可以嫁接。也就是说A、B进入C的第一层梦境（这一层的梦主为C）之后B可以带A进入B的第二层梦境（这一层的梦主为B）。

设定大致就是这样，下面我们来看情节。

按照时间顺序，首先是道姆和他女人的事情。这两个人是梦境世界的先驱者，当年结婚时许诺要一起变老，对于梦境世界的共同追求使得他们在自己身上试验。他们在实验中进入了女人为梦主的第四层梦境。人的第三层梦境世界东西就很少了，第四层更是什么都没有。因为只有两个人实验所以前面几层没留人不能帮他们kick，而由于时间延缓的效应，在现实中入睡一天在第四层就是五十年。所以他们在第四层梦境世界中携手共老，闲暇之时只有随便创造东西玩。五十年之后他们在梦境中老死了。以为他们是服用了加强型药物的，所以双双进入了Limbo迷失域。迷失域中女人贪恋着无时间尽头的厮守就认为这是她想要的空间，不想回现实，而道姆先生却想着自己的孩子想回现实。最终说服了女人和他一起卧轨自杀，他也不确定这样就能从limbo脱身，所以自杀前把怀疑一切，尝试一切的想法灌输给了女人，这是他的第一次inception。在迷失域自杀之后，他们回到了现实，可是那个inception的副作用产生了，那就是女人开始怀疑现实其实是梦境，认为只有死亡才能脱离。于是女人自杀而造成是道姆先生杀人的假象，终极目的是想让道姆先生也被处死这样可以一起脱离梦境。可怜道姆先生只能抛弃了孩子们而逃亡国外。而道姆的潜意识里面充满了他老婆的影子（就是shade那个角色），只要他再从事设计梦境的工作，那个他妻子模样的影子（代表了他潜意识里的悔恨和对杀死妻子梦境工作的怨恨）就会出来坏事。（这里说明一下：道姆和妻子经历了第四层梦境和limbo两个世界，最明显的证据是在limbo卧轨自杀回到现实时两人都是年轻的，而在第四层梦境两人有老年的样子。）

话说道姆先生在国外随便接盗梦的工作，接到了一个窃取日本大亨情报的工作。这就是开头的枪战戏，也是简单的梦中梦，所以这里只有一般性药物，梦里死了立刻就醒。结果团队的设计师先出错在梦境中穿帮，然后又在现实中出卖了他们。日本人却看重道姆的能力，反要雇佣他进行inception：让竞争对手公司年轻的掌门人切分自己父亲留下的基业，许诺他可以让道姆回国看孩子。所以道姆先生找了新的设计师小女孩和新的团队。对于inception的计划是在年轻掌门人心中播撒对于父亲的好的印象。道姆先生在讨论中提到说反面的东西会产生正面的影响，如果年轻掌门人恨父亲的话，反而会把企业做好来证明自己比父亲强。

这次Inception的地点选在悉尼飞往美国的十小时航班上。这对道姆先生来说不成功便成仁，因为他在美国因为谋杀妻子被通缉，而日本人许诺说只要他完成任务就会在飞机上打电话解决这个问题。

一进入年轻掌门人的第一层梦境就出了问题。这个人被其他盗梦专家训练过，梦境虽然是小女孩创造的，但是目标人物的意识会化身武装人员对异常梦境里的人物进攻。更重要的是这次inception要在第三层梦境实行，而道姆之前并没有把加强型药物的副作用给大家说。这时候只有华山一条路完成任务了。印度人留在第一层负责kick，他们进入了第二层的酒店，小帅哥留在第二层负责kick，其余又进入了第三层梦境的雪堡，目的是让年轻掌门人自己见到他们设计出来的父亲而接受想法。就在即将成功的时候，道姆的妻子的影子再次出现搅局，开枪击中了年轻掌门人，这时候年轻掌门人没死，只是昏迷，情急之下，小女孩提出把年轻掌门人嫁接入道姆先生的第四层梦境，在那里用‘kick’，加上第三层的电击把年轻掌门人唤醒。于是，小女孩和道姆先生进入道姆的第四层梦境，在那里小女孩把年轻掌门人kick回了第三层梦境（同时第三层有人对他的身体电击）。在雪堡深处，年轻掌门人听到了设计中的父亲的最后遗言：I am disappointed that you tried…（意思是我对你极力想试着成为我这样的人很失望），也就是说让他作他自己别管公司。打开保险箱之后他看到的是自己最珍爱的和父亲照片中的纸风车，对父亲愧疚之下自然会实现同样在保险箱中的伪遗嘱分拆公司。到这里inception的任务圆满完成。第三层梦境世界的爆炸kick，第二层的电梯kick，第一层的落水kick同时进行。小女孩，小帅哥，印度人等人成功脱险到第一层。只有日本人死在了第三层梦境世界，所以跳过第四层直接进了迷失域limbo。

与此同时，道姆先生在第四层梦境世界终于狠下心来杀死了妻子的影子，也在争斗中被影子刺中身亡，同样来到了迷失域。在这里他见到了日本人，并且说服他用枪杀死道姆先生然后自杀而双双回到现实。

（从梦境世界到limbo记忆会不太好使，所以道姆先生说他忘了第一次进迷失域之前和妻子在第四层一起老去的事情，他第二次进迷失域见日本人的时候也想了半天才想起来来的目的——日本人回不了现实不能实现许诺的让他回家的报酬了。）

至此，道姆先生的心结解开，他的对妻子死去的悔恨因为回忆起了和妻子在第四层梦境世界白头到老的幸福而被冲淡。日本人在飞机上醒来后也兑现了诺言打了电话解除了他的通缉。

最终的结尾是开放性的，陀螺不知道停没停，但也无伤大雅。假如这作为参照的现实的确是梦境的话，那也只不过把六层世界变成七层。如同电影中出现多次的循环封闭上下楼梯一样，电影中的多层世界也不过就是增加了维度的莫比乌斯圈，1到2到3到0到1到2到3到0……..如此往复。