概率论

概率论（11篇）

1.概率论 篇一

课程论文草稿

默认分类 2008-06-09 10:14:12 草稿 字号：大中小

概率论起源于15世纪中叶.尽管任何一个数学分支的产生与发展都不外乎是社会生产、科学技术自身发展的推动,然而概率论的产生,却肇事于所谓的“赌金分配问题”.1494年意大利数学家帕西奥尼(1445－1509)出版了一本有关算术技术的书.书中叙述了这样的一个问题:在一场赌博中,某一方先胜6局便算赢家,那么,当甲方胜了4局,乙方性了3局的情况下,因出现意外,赌局被中断,无法继续,此时,赌金应该如何分配?帕西奥尼的答案是:应当按照4:3的比例把赌金分给双方.当时,许多人都认为帕西奥尼的分法不是那么公平合理.因为,已胜了4局的一方只要再胜2局就可以拿走全部的赌金,而另一方则需要胜3局,并且只少有2局必须连胜,这样要困难得多.但是,人们又找不到更好的解决方法.在这以后100多年中,先后有多位数学家研

究过这个问题,但均未得到过正确的答案.直到1654年一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题”,引起了这位法国天才数学家的兴趣,并促成了帕斯卡与费马这两位大数学家之间就此问题展开的异乎寻常频繁的通

信,他们分别用了自己的方法独立而又正确地解决了这个问题.甲甲甲甲甲甲乙乙甲乙乙乙

甲甲甲乙甲乙甲乙乙甲乙乙

甲甲乙甲甲乙乙甲

乙乙

甲乙

甲乙甲甲乙乙甲甲乙乙乙甲

帕斯卡和费马以“赌金分配问题”开始的通信形式讨论，开创了概率论研究的先河.后来荷兰数学家惠更斯（1629－1695）也参加了这场讨论,并写出了关于概率论的第一篇正式论文《赌博中的推理》.帕斯卡、费马、惠更斯一起被誉为概率论的创始人.事至今日,概率论已经在各行各业中得到了广泛的应用,发展成为

一门极其重要的数学学科.乙甲甲甲乙甲乙甲乙乙乙乙

乙甲甲乙

甲方胜乙方胜

在这16种排列中,当甲出现2次或2次以上时,甲方获胜,这种情况共有11种;当乙出现3次或3次以

上时,乙方胜出,这种情况共有5种.因此,赌金应当按11:5比例分配.大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况随机过程。例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动），这就是随机过程。随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率，特别是研

究与随机过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题，是现代概率论的主要课题。

数理统计中方法应用的选取

数理统计是应用数学学科之一，其应用十分广泛。随着研究随机现象规律性的科学——概率论的发展，应用概率论的结果更深入地分析研究统计资料，通过对某些现象的频率的观察来发现该现象的内在规

律性，并做出一定精确程度的判断和预测；将这些研究的某些结果加以归纳整理，逐步形成一定的数学概

型，这些组成了数理统计的内容。

数理统计在自然科学、工程技术、管理科学及人文社会科学中得到越来越广泛和深刻的应用，其研究的内容也随着科学技术和经济与社会的不断发展而逐步扩大。在学习了应用数理统计这门课程后，我了解了统计推断检验等方法，能够应用这些方法对研究对象的客观规律性做出一定的估计和判断。我认为在使用统计进行实际数据分析时，统计方法应用的正确与否至关重要。下面我就对于在本门课程中学习到的一些统计变量、方法等的应用做一个归纳阐述。

一、描述统计应用

描述统计是数理统计的初级阶段，反映所收集数据的某些现象的内容做出的统计加工。在处理实验数据或采样数据时，经常会遇到对相同采样或相同实验条件下同一随机变量的多个不同取值进行统计处理的问题。在数理统计学中，作为描述随机变量总体大小特征的统计量有算术平均值、几何平均值和中位数

等。在应用中应根据要根据随机变量的分布特征确定合适的均值。如表1:

随后，P.-S.拉普拉斯和A.M.李亚普诺夫等进行了推广和改进。自P.莱维在1919～1925年系统地建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等。极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美。长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展。同时新的极限理论问题也在实际中不断产

生。

中心极限定理，是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是

数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。

[编辑]林德伯格－列维定理

林德伯格－列维（Lindburg-Levy）定理，即独立同分布随机变量序列的中心极限定理。它表明，独立同分布、且数学期望和方差有限的随机变量序列的标准化和以标准正态分布为极限：

设随机变量X1, X2,...,Xn独立同分布，且具有有限的数学期望和方差E(Xi)= µ，D(Xi)= σ²

≠ 0(i=1,2,...n)。记

$bar=fracsum\_\{i=1\}^X\_$

则

$lim\_\{nrightarrowinfty\}Pleft(frac\{bar-mu\}\{sigma/sqrt\}leq\; zright)$

=Phileft(zright)

其中Φ(z)是标准正态分布的分布函数。

[编辑]棣莫佛－拉普拉斯定理

棣莫佛－拉普拉斯（de Movire-Laplace）定理，即服从二项分布的随机变量序列的中心极限定理。

它指出，参数为n, p的二项分布以np为均值、np(1-p)为方差的正态分布为极限

大数定律（laws oflarge number)

概率论历史上第一个极限定理属于贝努里，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算

术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律之一。又称弱大数理论

1733年，德莫佛——拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。贝努里是第一个研究这一问题的数学家，他

于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。

【举例说明】

例如，在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷n次硬币中出现正面的次数。不同的n次试验，出现正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于1／2。又如称量某一物体的重量，假如衡器不存在系统偏差，由于衡器的精度等各种因素的影响，对同一物体重复称量多次，可能得到多个不同的重量数值，但它们的算术平均值一般来说将随称量次数的增加而逐渐接近于物体的真实重量。由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收敛，以概率 1 收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。常用的大数定律有：伯努利大数定律、辛钦大数定律、柯尔莫哥洛夫强大数定律和重对数定律

2.概率论 篇二

几百年前在欧洲的许多国家，贵族间赌博之风盛行，当时有一个“赌金分配问题”曾引起热烈的讨论，并经历了长达一百多年才得到正确的解决，在这过程中孕育了概率论这个重要的基本概念. “赌金分配问题”可以简化为：甲、乙二人赌博，各出赌注30元，共60元，每局甲、乙获胜的机会均等. 约定：谁先胜满3局就可以赢得全部赌注60元，现已赌完3局，甲2胜1负，后来因故中断赌局，问这60元赌注该如何分给二人才算公平？

初看觉得应按2：1分配，即甲得40元，乙得20元，还有人认为没有分出胜负，甲、乙应该平分. 当时的一些学者，对这类赌情问题进行研究，有的还出版了著作，然而都没有得出正确的结论. 直到一百多年后，一个名为德·梅勒（De Mere，1607～1684）的法国人把这个问题寄给了当时的数学天才帕斯卡，这个问题也把帕斯卡难住了，他苦苦思考了两三年，直到1654年才算有了点眉目，于是他写信给他的好友费马. 随后在这两位伟大的数学家之间开始了具有划时代意义的通信，在通信中，两人用不同的方法正确地解决了这个问题.他们认为赌注的分配应考虑如果继续赌下去，甲、乙最终获胜的机会如何？ 不难看出至多再赌2局即可分出胜负，这2局获胜的情况有4种：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙，前3种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，二者之比为3∶1， 故赌注的公平分配应按3∶1的比例，即甲得45元，乙得15元.

通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念———数学期望，概率论从此发展起来，今天已经成为应用非常广泛的一门学科.

3.节目成功概率论 篇三

可见明年节目市场的火爆。

这种火爆背后一方面是由于品牌综艺带来的节目市场强大的吸金诱惑——《中国好声音3》60秒进账1070万元，《爸爸去哪儿2》冠名加特约累计吸金13亿元，湖南卫视对该节目第三季的预估收入为“再多两亿元左右”。招标会尚未开始，《爸爸去哪儿3》目前已拿到伊利5亿元总冠名。

另一方面，“一剧两星”“一晚两集”新政带来的版面震荡也是主因。卫视以往第3集电视剧的空间被一条狭长的920（930）综艺节目带取代。

在大型综艺编排上，2015年，各大卫视普遍开辟了多条季播节目带。如湖南卫视、浙江卫视在周五、周六、周日均安排了季播节目，江苏卫视在保留原有周五大型季播时段的同时，开辟了周日后晚间季播节目带。天津、安徽、山东等卫视也开辟了双季播节目带。

然而，“新节目多”并不意味着“创新节目多”。何况对于一档成功的节目来说，创新只是一个维度，由其带动的市场前景、商业模式、社会话题度、平台上升度等均是考核指标。最终“谁主沉浮”是大家都想知道的谜底。

亲子、喜剧降温，新类型节目受期待

2015年，大型综艺节目类型空前丰富。今年大火的户外真人秀、亲子、喜剧类节目热度有所起伏，新出的大型公益和社会实验类节目值得关注。

“加强版限娱令”仍在生效，2015年的歌唱类节目大多延续以往品牌，如央视三套《中国好歌曲2》《中国正在听2》、湖南卫视《我是歌手3》、浙江卫视《中国好声音4》、安徽卫视《我为歌狂3》、东方卫视《中国梦之声3》等。新增的音乐节目目前看来只有央视一套《歌者无敌》、浙江卫视《流行之王》以及江西卫视《中韩赛歌会》等少数几档。其中，浙江卫视瞄准第二季度缺乏重磅音乐节目时机打造的《流行之王》有可能再次引爆经典音乐热潮。该节目引入荷兰The Best Singer模式，邀请李宗盛、陈奕迅、庾澄庆领衔，七位华语乐坛顶尖人物轮流坐庄7场音乐私享会，每期由1位坐庄，其余6位各选唱一首坐庄歌手的经典作品。

今年大热的喜剧和亲子类节目在明年有所降温。

亲子方面，除了《爸爸去哪儿》《爸爸回来了》《加油好BABY》等固有节目之外，未见有新开发的节目。这或许是今年《爸爸去哪儿2》收视下跌的最直观市场反应。

喜剧节目今年并未完成全年20多档节目的宏伟目标，明年也没有明显增加，部分卫视选择停播。其中，《我们都爱笑》《笑傲江湖》《我为喜剧狂》《超级笑星》在2015年继续推出，业已公开的资源中，江西卫视《谁能逗乐喜剧明星》和浙江卫视《中国喜剧星》没有延续品牌。新节目方面，东方卫视将推出《生活大爆笑》和《王牌帮帮忙》两档新节目。《生活大爆笑》每期由12-15个板块的短剧构成，以小品形式在剧场中面向观众演出并录制，版块内容聚焦社会话题，反映社会热点，该节目模式借鉴韩国综艺节目《Gag concert》，由国内团队及《Gag concert》韩国原版节目的导演、编剧团队联合制作。《王牌帮帮忙》是一档原创的以王自健和张国立为主角的大型季（周）播喜剧综艺秀，全方位挖掘各路明星素人不为人知的秘密需求，以各种歪招帮他们一解燃眉之急，力求给不同年龄段的观众带来新奇爆笑体验。加上《笑傲江湖》，东方卫视明年至少三档喜剧节目，成为明年的喜剧大户。

偶像粉丝类真人秀是明年新开拓的节目类型。如天津卫视《百万粉丝2》、湖南卫视暑期大型粉丝选秀活动《偶像来了》、深圳卫视大型偶像团体养成节目《下一个是谁》、四川卫视女子团体偶像养成节目《麻辣女生》等。一些大型公益项目也值得关注，如央视《等着我2》、安徽卫视《归来》《梦想星空》、辽宁卫视《归来》《筑梦中国》等。

湖南卫视在周日晚间时段开辟的大型节目带以创新型节目为主，新开发的几档社会实验真人秀以及人與动物互动类节目《动物园奇遇记》的创新度值得期待。《动物园奇遇记》将选择热爱动物的明星去动物园当饲养员，进而记录人与动物之间发生的关系与情感。湖南卫视副总监兼总编室主任丁诚表示，湖南卫视曾经播出的《神犬奇兵》产生了很高的收视，这次打造《动物园奇遇记》聚焦人与动物的关系，是国内真人秀里面一个很新的触角，代表着湖南卫视不断开拓的创新能力，“我们对这档节目有很高的收视期待。”

浙江卫视推出的两档穿越型真人秀也很有开拓性。《一路上有你》让5对明星情侣穿越到特定年代的社会环境，扮演指定社会角色，完成有趣的生存任务。《回到公元前》则将9位明星分为三组，不携带任何现代工具，回到人类历史之初，他们要凭借自己的智慧与相互间的合作完成节目组设置的任务，改善自己的生存条件。

明星旅行真人秀大热

今年，《爸爸去哪儿》《花儿与少年》持续发力，将韩式户外真人秀推向一个小高潮。明年，这类型节目将呈现大爆发态势。仅湖南卫视就有《花儿与少年2》《爸爸去哪儿3》《变形计》《一年级2》《真正的男人》等5档，天津卫视推明星婚后生活体验真人秀《囍从天降2》、明星野外挑战真人秀《秘境》、亲情户外真人秀《全家总动员》等3档。此外，浙江卫视推出明星夫妻囧途大片《真爱在囧途》、安徽卫视将推明星情侣喜感户外真人秀《亲爱的，出发吧》、东方卫视将推旅行真人秀《花样姐姐》、江西卫视推明星旅行亲情孝道真人秀《带着爸妈去旅行》……

可以看到，在以上户外真人秀中，旅行真人秀占据多数席位，并且这些节目呈现两两捉对“撞车”现象，如《花儿与少年》与《花样姐姐》花样搭配男女明星、《真爱在囧途》与《亲爱的，出发吧》主打明星情侣或夫妻档、《全家总动员》与《带着爸妈去旅行》主打明星代际沟通。

“人在旅途是一个传播母题，以明星为主体又可以最大化吸引眼球，分得市场蛋糕，这是众多旅行真人秀涌出的原因。”天津师范大学新闻与传播学院教授陈立强表示。

不过，有《花儿与少年》珠玉在前，各卫视如何打出自己的特色并在同类型节目中脱颖而出成为一大课题。陈立强认为，明星元素是永恒的，但如何运用得当，就要看各台的艺术手段了，再者，任何轻描淡写的明星渲染都是徒勞，物理式的明星堆砌只会是资源浪费，要做出新境界、新气场基于能否挠到当下社会的痒点和人性部分。

类型化真人秀则成为一些后进卫视前进的手段，如东南卫视将推大型人文旅行真人秀《茶路真兄弟》，四川卫视推《律动中国》《明星警察》《我住大咖家》《超级经纪人》4档真人秀。

角逐第二战场

2015年，各大卫视在推出原有品牌节目的基础上加大了新节目研发步伐。湖南卫视8档季播节目中新品大型节目占据5档，安徽卫视推出13档季播，新季播节目占据8档，甚少有大型季播活动的山东卫视明年新推12档节目（包括920节目带），东方卫视10余档节目六成以上为新节目……

从编排上看，一线卫视大型综艺除了固有的周五档品牌综艺较量之外，开始火拼周日的“第二战场”。其中，湖南卫视的大型综艺节目从2014年的周五档延伸至周五周六周日三天。周五为品牌节目，《我是歌手》《花儿与少年》《爸爸去哪儿》铺排前三个季度，这些节目与《天天向上》一起构成周五强势综艺板块。周六《快乐大本营》之后，一、二、四季度播出《我们都爱笑》，暑期所在的第三季度将打造大型粉丝选秀活动《偶像来了》。周日《变形计》之后播出周日季播节目，目前确定的有《真正的男人》《动物园奇遇记》《常回家看看》等。

江苏卫视官方没有正式公布明年的综艺节目编排，不过网传的一份编排表显示，第一季度周五档将播出《最强大脑》第二季，江苏卫视对外宣布此为最终季，第二季度为《星厨驾到》。《非诚勿扰》应为周六播出，周日为新开辟的季播节目带，目前锁定节目为大型全民互动竞技挑战秀《最强战队》。浙江卫视周三到周日均有季播节目，周五至周日为主打。《中国好声音4》《奔跑吧兄弟2》是周五档保留节目。周五其新开发的节目还有《我看你有戏》《流行之王》《一路上有你》等。周六除《爸爸回来了》《十二道锋味》外，还有《真爱在囧途》《中国好舞蹈》《梦幻制造者》等节目。周日有《回到公元前》《拜师记》《额外一公里》《星星的密室》《奇迹创造者》。

周五档大家已经找到了各自的席位，总体来说各有收获。以2014年第一季度为例，《中国好歌曲》《我是歌手》《最强大脑》特色各异，第三季度《爸爸去哪儿》和《中国好声音》持续火热。明年同期，这些节目将再次正面PK，各节目也做好了迎战准备，如《爸爸去哪儿》第三季宣布将继续呈现电影化的品质，同时更加接地气，邀请嘉宾更加多元化，比如增加双胞胎家庭、单亲家庭等。《我是歌手》被曝已签约了几位明星。《最强大脑》宣布节目挑战更不可思议、对决国家更多、主持阵容超级强大、明星更大咖……预计明年的周五档同期是品牌节目延续热度的创新度较量。一季度唯一的变数在于浙江卫视的参战。浙江卫视将在同期推出全新节目《我看你有戏》，该节目投入两亿元，由成龙、张国立、冯小刚担任导师，帮助选手完成个人蜕变。

周日档这个“第二战场”则不一样。这个战场完全属于“新兵”，能否迸发出现象级，想象空间巨大。

除了一线卫视，东方、安徽、北京、天津等卫视的新节目出于平台等因素考虑也有出彩机会。不过，周日档的混战由于一线卫视的加入显得更为激烈。众多综艺节目一起开火势必分散观众注意力，现象级节目的出现显得更为艰难，也就要求节目更加没有短板。

投入上自然都是上亿的大手笔，但由于卫视目前公布的新节目资料大多只为创意，落实到制作阶段的少之又少，目前尚无法判断众节目的品相。节目的制作团队实力究竟如何？准备是否充足？能否准确切中社会痛点引起共鸣？宣传如何？同档期竞争对手又是谁？这些都是需要考虑的因素。

新节目如此之多，广告主能否吃得下这么大盘子存疑。中国社会科学院世界传媒研究中心秘书长冷凇表示，明年，季播节目在播出方式上不排除出现“一季两星”或“一季三星”现象（即一个节目同时在两家或三家卫视播出）的状况。以此增大投入量级、分散风险，共享收益。

不能忽视的“920节目带”

不论怎么编排，一晚两集的硬性规定使得所有卫视版图上都多了一条狭长的920节目带。这个节目带的特点是时长受限——加上广告总共也就40分钟时间（21：20-22：00），因此，只能安排“小节目”。但920节目带的地位对于拉动卫视晚间收视至关重要。它关系到两集电视剧过后，观众能否顺利过渡到这些小节目并进而将其导入22：00档的节目或剧场。

丁诚表示，湖南卫视一定要把这个带做出品牌来。据悉，从周一到周四，湖南卫视砍掉《我们约会吧》《百变大咖秀》等招牌周间节目，开发了《扑通扑通的良心》《中华文明之美》《一起吃饭吧》《妈妈的味道》《健康来敲门》等多档新节目。丁诚透露，这些节目目前已处于样片录制阶段。

对有些卫视来说920节目带意味着未雨绸缪。大型季播之前的那些年，各大卫视其实都是通过一些自制的小节目奠定了自己频道的特色和基调，比如江苏卫视“幸福中国”的定位从其曾经的王牌栏目《人间》始发，东方卫视则在众多卫视中具有鲜明的新闻性特质，深圳卫视也有《直播港澳台》等时事性栏目招牌。如今，这些频道可以借助品牌和品质的力量重拾辉煌。

资料显示，江苏卫视的920节目带从周一到周五将持续推出《人间》的升级版——《人间真情》，节目由曾经的《人间》团队和湖南卫视《真情》团队共同打造并拟邀请柴静和王志担任主持。东方卫视的小节目由新闻节目《直播上海》+社会话题类非娱乐节目《东方风云会》组成，后者邀请崔永元加盟，再次彰显东方卫视曾经新闻立台的基调。深圳卫视周一到周四播出《决胜制高点》《军情直播间》《关键洞察力》《百佬会》等四档时事类节目。

值得一提的是，由于江西卫视从2011年开始就坚持每晚两集的编排，此次“一剧两星”规定的“一晚两集”政策对于这家卫视没有造成多大版面变化。周间仍然安排了《家庭幽默录像》《传奇故事》+十点档的《金牌调解》三档老牌节目。“对江西卫视来说，这是一个利好。”江西卫视总监朱育松说。

也有卫视正在考虑920时段的市场化运作。比如安徽卫视宣布将进行定制化的模式创新，在“920节目带”中开启“五个一起”的产品定制模式，充分与市场进行对接。

4.概率论出题说明 篇四

一、题型和比例

1．客观题——填空题(12%)、单项选择题(15%)

2.主观题——计算题(64%)、应用题(9%)

二、考查重点

1.客观题考查各章基本概念。主要包括——

概率的性质，事件的独立性，概率分布的性质，分布函数的概念，常见分布的数字特征，期望与方差的性质，切比雪夫不等式，未知参数的矩估计，无偏估计，一元线性回归模型的基本概念或主要结论（不含任何理论推导与计算）。

2.主观题考查各章基本内容的理解、计算能力以及解决实际问题的能力。主要包括——

5.概率论课外作业（范文） 篇五

大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值，它是“算术平均值法则"的基本理论，在现实生活中，经常可见这一类型的数学模型。例如：在分析天平上秤重量为a的物品，若以x1,x2,x3,...,xn表示n次重复称

1n量的结果，经验告诉我们，当n充分大时，它们的算术平均值xi与

ni1a的偏差就越小。

中心极限定理比大数定律更为详细具体，它以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体分布如何，样本均值总是服从或是近似的服从正态分布。正是这个结论使得正态分布在数理统计和误差分析中占用特殊的地位，是正态分布得以广泛应用的理论基础。概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，称为大数定律。

切比雪夫不等式：设随机变量X具有有限数学期望和方差2，2则对于任意正数，如下不等式成立 P2。

切比雪夫不等式的应用：在随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的期望和方差，即可对X的概率分布进行估值。

例1 已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5200～9400之间的概率。

(X)= 解 设X表示每毫升血液中含白细胞个数，则E（X）=7300，D(X)=700 则P{ 5200X9400}=P{ X73002100}=1-P{ X7300>2100}

70021 而P X73002100221009所以P 5200X9400

概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。

独立同分布的中心极限定理：设随机变量X1,X2,...,Xn相互独立，服从同一分布，且有有限的数学期望和方差2，则随机变量

89YXi1ninn的分布函数Fn(x)满足如下极限式

nXt2ix1limFn(x)limPi1xe2dt 2n定理的应用：对于独立的随机变量序列{Xn }，不管Xi(i=1，2，⋯，n)服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这些随机变量之和Xi近似地服从正态分

i1n布N(n,n2)。

二项分布的极限分布是正态分布即如果X～B(n，p)则

tnnpb12Pabedt(b)(a)anp(1p)22例2 现有一大批种子，其中良种占1／6，今在其中任选60O0粒，试分别用切比雪夫不等式估计和用中心极限定理计算在这些种子中

良种所占的比例与1／6之差小于l％的概率是多少? 解

设取出的种子中的良种粒数为X，则 X～B(6000，)于是

E(X)np600011000616155D(X)np(1p)60001000

666(1)要估计的规律为PX11PX100060，相当60006100于在切比雪夫不等式中取=60，于是

X11D(X)PPX100060126000610060由题意得1D(X)511100010.23150.7685 26063600即用切比雪夫不等式估计此概率不小于0.7685(2)由中心极限定理，对于二项分布(6000，)可用正态分布N(1000，51000)近似，于是所求概率为 616X1(10601000)(9401000)P0.01P940X106010005/610005/660006从本例看出．用切比雪夫不等式只能得出来要求的概率不小于0.7685．而用中心极限定理可得出要求的概率近似等于0.9625．从而知道由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的．但由于它的要求比较低，只要知道X的期望和方差，因而在理论上有许多运用．

当Xi独立同分布(可以是任何分布)，计算P(aX1X2...Xnb)的概率时，利用中心极限定理往往能得到相当精确的近似概率，在实际问题上广泛运用．

例3某单位有200台电话分机，每台有5％的时间要使用外线通话，假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？

解

设有X部分机同时使用外线，则有X～B(n，P)，其中n=200，P=0.05，np=10，np(1p)3.08 设有N条外线．由题意有P{XN}0．9 有

PXNPXnpnp(1p)NnpNnpN10()()3.08np(1p)np(1p)N101.28 3.08查表得(1.28)=0．90，故N应满足条件即N13.94，取N=14，即至少要安装14条外线．

参考文献：

[1]庄楚强.吴亚森．应用数理统计基础[M]．广州：华南理工大学出版社，2002．

[2]黄清龙.阮宏顺．概率论与数理统计[M]．北京：北京大学出版社，2005．

[3]贾兆丽．概率方法在数学证明中的应用[J]．安徽工业大学学报，2002，19(1)：75—76．

[4]周少强．大数定律与中心极限定理之问的关系[J]．高等数学研究，2001(1)：15—17．

[5]刘建忠．中心极限定理的一个推广及其应用[J]．华东师范大学学报(自然科学版)．2001，18(03)：8-12．

[6]杨桂元．中心极限定理及其在统计分析中的应用[J]．统计与信息论坛，2000(03)：13—15．

[7]钟镇权．关于大数定律与中心极限定理的若干注记[J]．玉林师范学院学报．2001(03)：8一10．

6.2012年-概率论复习范围 篇六

第一章：

1、事件与概率的性质和运算；

2、概率的计算（包括古典概型和几何概型）：条件概率、乘法公式、加法公式、全概公式、贝叶斯公式；（古典概型、几何概型一般无大题）

3、事件独立性和贝努利概型。

第二章：

1、随机变量分布问题（包括连续型和离散型）；

2、随机变量及随机变量函数的数字特征、切比雪夫不等式条件和结论（其它几个相关的不等式不需要记）；

3、记住几种重要的离散和连续型分布的密度及其数字特征（两点、二项、波松、均匀、指数、正态分布）；

4、随机变量函数之分布（简单的离散型求分布、分布函数法求密度）

第三章：

1、二维离散或连续型随机向量的联合、边缘和条件分布或条件密度函数、独立性判断的理解；

2、二维随机向量的期望、方差、相关系数以及二维随机向量函数的期望、方差；

3、二维随机向量函数的分布（重点掌握分布函数法求密度的方法、求简单的离散型随机变量函数的分布，卷积公式、商的公式一般不涉及）；

4、随机向量的数字特征；

5、了解大数定律的条件和结论和会利用中心极限定理计算概率；

6、条件期望不考。

第四章：

1、总体、个体、样本容量、统计量、枢轴量、分位数的概念；

2、理解t-分布、卡方分布、F分布的构造性定义（不需记忆密度函数），会查分布表；

3、抽样分布重点是正态总体的抽样分布，主要掌握定理4.1、4.2、4.3（要求记住结论并掌握简单的构造性证明）；

4、一般总体抽样分布不考。

第五章：

1、矩估计、极大似然估计求法；

2、无偏性、有效性和一致性的概念（重点是无偏性、有效性判断）。

3、区间估计重点是单正态总体参数的区间估计（不含大样本情形）；

4、假设检验重点是单正态总体参数的检验；

5、双正态和一般总体的参数检验不考。

说明：

1、如果有单选或填空题，考点也在上述所要求的范围内（书5.5之前含5.5）。

2、考题难度与书上各节后的习题相近，由于各章后总习题较难，不作要求。

3、题目类型：单选、计算、综合或证明。

7.概率论基础教学浅谈 篇七

作为数学类本科生开设的概率论基础这门课程, 既要对概率论的基本概念给与严密的陈述, 又要让学生切实了解它们的直观意义, 领悟其应用价值, 这就要求授课者认真处理好直观性和严密性的关系, 使它们达到有机的统一。当然, 概率论又是一门有着严密数学理论基础的学科, 它的公理化体系是建立在集合论和测度论基础上的, 只有在这个公理化体系之下学习概率论, 才能弄清它的概念和理论, 也才能为学习概率统计的系统知识打下必要的基础, 但国内的大多数院校在课程设置上很少有开设测度论课程的, 有的也只是开设实变函数这门初等测度论课程, 而且会出现与概率论基础这门课程同期开设的情况, 导致学生学起实变函数来十分枯燥, 而对概率论基础的学习又帮助甚少, 无法运用测度论的观点来强化概率论基础某些概念和定义的理解。

学生们在学习概率论时通常的反映之一是“课文看得懂, 习题做不出”, 特别是古典概型的题目。要弄清概念, 最好的途径恐怕还是看例题和做习题, 因此要让学生学好概率论基础这门课, 课堂上涉及相关知识点的例题要设计的得当, 既要体现相关知识点的本质特征, 又要让学生领悟其应用的价值, 例题取材于生活但解决实际问题又要从生活中体会总结并抽象成概率模型, 培养学生形成一种概率素养, 即能有效地应用概率论的思想解决实际生活中的相关问题的能力。

概率论基础课程按知识点可分成五个章节, 分别是事件与概率、条件概率与统计独立性、随机变量与分布函数、数字特征与特征函数、极限定理, 下面就各个章节的内容谈谈具体教学。

1 事件与概率的重要

作为概率论基础这门课程的开篇之章节, 事件与概率是十分重要的。

“事件”与“概率”是概率论中最基本的两个概念, 它们贯穿于概率论基础这门课程的所有知识点之中, 教学过程中对于第一堂课的设计好坏和一些基本概念的引入的得当会直接影响到学生对于概率的理解, 讲直接点就是会对学生关于概率的第一直观感知有主导性的影响, 从而影响其往后知识点的学习和理解。常规的课堂教学中教师理应在严密的公理化结构下给学生严格地叙述这两个概念的定义, 但这两个概念的定义对于初学者来说较枯燥也不易理解和接受, 从而应让学生先清楚地理解事件与概率的直观意义, 教学过程中应采用由具体到抽象, 由简单到复杂, 由特殊到一般的方式向学生介绍频率、古典概型、几何概型, 从中归纳出事件与概率的本质特征, 为公理化定义作准备, 同时要让学生区分频率与概率并强调它们之间的关系。事件的运算与概率的性质也是本章节基本内容, 应在教学中同过典型例题的形式让学生牢固掌握。

2 事件概率与独立性

在“条件概率与统计独立性”这一章节的教学中, 教师应先通过一些实际的概率模型例子让学生体验独立性的实际背景及其重要性, 然后在此基础上引出事件独立性与试验独立性的定义, 并让学生区别两个事件独立性与多个事件的独立性的定义。

条件概率也是概率论中的重要概念, 它与独立性有密切的联系, 在教学过程中应先把它当成是一种概率引入, 再给出其形式上的记号, 并向学生指出条件概率的真正定义远非形式上那么简单明了, 但作为学生能够形式上接受且达到能解决具体概率模型的计算问题就足够了。同时这一章节的公式较多也较重要, 具体有乘法公式及其推广形式、全概率公式、贝叶斯公式等, 在教学设计上应构造具体直观的概率模型, 强化学生对这些公式的记忆与应用。

3 随机变量与分布函数

“随机变量与分布函数”这一章节可以说是在前两章知识基础上的一个飞跃, 是教学的重点也是学生学习的难点。

在这一章节的教学中, 教师应让学生接受用随机变量的观点来描述随机现象习惯用随机变量来描述随机事件。在引入随机变量的定义后, 让学生明白其引入的重要作用, 引发学生思考它要取哪些值以及怎样的概率取这些值, 进而自然地引入分布函数的概念, 并通过一些数学上的分析说明分布函数能完整地描述随机变量从而最终让学生接受分布函数是研究随机变量的良好工具。接下来的教学就通过具体的分布转入一些性质、定理、公理的介绍、定义和推导, 让学生掌握随机变量函数分布律的推导, 在有实际模型介绍的基础上让学生理解性得记忆一些重要和常见的分布, 如二项分布、泊松分布、正太分布等, 在教学进度允许的情况下可以增加一些具体分布的实际应用背景以增加学生对这门课程的兴趣。

4 随机变理的特征与概率论

由于随机变量 (或分布函数) 的数字特征与特征函数是概率分布的某种表征, 故这一章节的主要目的是要使学生深化对随机变量的认识, 同时也是为下一章的教学作必要的准备。

本章节教学的重点是几个重要概念的引入:数学期望、方差、相关系数等, 在授课过程中应要使学生明确其概率意义, 让学生知道这些数字特征在概率论与数理统计中的重要地位和实际应用价值, 并让学生通过作业练习掌握计算数字特征中一些级数求和和积分的技巧。

5 极限定理与概率论

最后一章“极限定理”, 是概率论基础中比较深入的结果, 前几章的知识在这里得到了综合应用。

教师在课程设计中应从伯努利试验场合开始叙述, 接着再向学生介绍独立同分布场合, 这是伯努利试验的直接推广, 并举例说明其在实际问题中特别是数理统计中的应用。这边要指出的是收敛性的概念及特征函数是深入学习极限定理不可缺少的, 但这一部分的内容较多且有一定难度, 而作为初学者能掌握其结论并会应用即可, 故在教学中不妨略去其证明。最后的教学内容即向学生介绍强大数定律及一般场合的中心极限定理, 让学生能够深刻体会其在概率论中的重要意义和现实生活中的应用价值, 并会通过建立概率模型利用中心极限定理解决具体实际问题。

摘要：概率论是一门研究随机现象中数量规律的数学学科, 随机现象在自然界和人类生活中无处不在。随着人类社会的进步, 科学技术的发展, 经济全球化的日益快速进程, 概率论在众多邻域内扮演着越来越重要的角色, 取得越来越广泛的应用, 也获得了越来越大的发展动力。基于概率论理论及应用的重要性, 目前在我国的大学本科教育中, 已与高等数学和线性代数渐成鼎足之势, 但在教材建设和师资方面则比后两者略有滞后。本文就数学类本科生的概率论基础这门课程的教学谈谈自己的看法。

关键词：教学设计,教学方法,概率论基础

参考文献

[1]严士健, 王隽骧, 刘秀芳.概率论基础[M].北京:科学出版社, 1982.

[2]李贤平.概率论基础[M].北京:高等教育出版社, 1997.

8.关于高中数学概率论探究 篇八

纵观数学发展的历史，数学这门科学曾出现三次重大的飞跃.第一次是从算数到代数的过度，第二次是常量数学到变量数学的过度，第三次就是从确定数学到随机数学的过度。从哲学的角度讲，世界是变化的，世界唯一不变的本质就是无时无刻在变化。现实世界的随机本质使得各个领域从确定性理论转向随机理论成为自然；而随机数学就是研究事物变化的最主要的数学工具。概率论是随机数学中最基础的部分，使我们高中学生所必修的一门基础课.但我们已经习惯了用确定思维方式去学习数学，在学习概率论时时常会感觉到基本概念抽象难以理解，思维难以发散展开。这些都使得我们对这门课望而生畏，甚至有放弃的念头。我认为在概率论的学习过程中建立学习随机数学的思维方法就十分重要。作为高三生，在学习过程中有一些心得在这里想跟大家探讨。

一、了解数学的发展历史，概率论产生的时代背景

这不仅是了解一点点知识，而是从应用的角度，生活的角度宏观的了解这门学科的实用意义 ，也是思维中建立数学模型的一个基础。比如说概率论中最重要的分布——正态分布，就是在18 世纪，为解决天文观测误差而提出的.在17到18 世纪，由于观测仪器不完善以及经验缺乏等原因，天文观测误差很大，是天文学发展的重要问题，科学家投入了大量的研究。1733年，由德国的数学家和天文学家德莫弗（DeMoivre）首次提出正态分布概念，德国数学家高斯（Gauss）率先将正态分布应用于天文学研究，他指出正态分布可以很好地“ 拟合” 误差分布，故正态分布又叫高斯分布。时至今日，正态分布公认为最重要的一种概率分布，也是应用最广泛的一种连续型分布。我们知道概率论中，古典概型要求样本空间有限，而几何概型恰好可以消除这一条件，这两种概型我们不难理解。但是继而出现的概率公理化定义，我们总认为抽象、难以理解。尤其是概率公理化定义里出现的σ 代数这一概念：设Ω 为样本空间，若Ω 的一些子集所组成的集合？ 满足下列条件：（1）Ω∈？ ；（2）若A∈ ？ ，则A∈ ？ ；（3）若∈ n A ？ ，n =1， 2，？？，则∈∞=nnA ∪1？ ，则我们称 ？ 为Ω 的一个σ 代数。我们怎样才能更好的理解这一概念呢？很多同学相比之下更适合形象思维，于是我们引入几何概型的一点历史，帮助理解为什么要建立概率的公理化定义，为什么需要σ 代数。几何概型计算方法是19 世纪末新发展起来的，是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念，从有限向无限的延伸。1899 年，法国学者贝特朗提出了所谓“ 贝特朗悖论” ，矛头直指几何概率概念本身.这个悖论是：给定一个半径为1 的圆，随机取它的一条弦，问：

弦长不小于3 的概率为多大？对于这个问题，我们假定端点在圆周上均匀分布，结果概率等于1/3；假定弦的中点在直径上均匀分布，得出概率为1/2；假定弦的中点在圆内均匀分布，随之概率又等于1/4。同一个问题，竟有3 种不同的答案，原因在于取弦时采用了不同的等可能性假定！这3 种答案针对的是3 种完全不同的随机试验，于各自的随机试验而言，都是正确的.因此在使用“ 随机” 、“ 等可能”、“ 均匀分布” 等条件概念时，应明确其含义，这又因试验而不同而不同.也就是说我们在假定端点在圆周上均匀分布时，就不能考虑弦的中点在直径上均匀分布或弦的中点在圆内均匀分布所对应的事件。换言之，我们在假定端点在圆周上均匀分布时，只把端点在圆周上均匀分布所对应的元素看成为事件。

二、广泛运用案例学习法

案例与一般例题不同，它有产生问题的实际背景，并能够为我们所理解。我们通过案例引导到实际问题中去，通过分析和讨论，提出解决问题的途径和方法。我们可以从直观性、趣味性和易于理解的角度把概率论基础知识加以认知。条件概率一节时有一个有趣的案例——“ 玛丽莲问题” ：十多年前，美国的“ 玛利亚幸运抢答”

了这样一道题在电台公布：三扇门的背后，我们分别定义为1号、2号、3号，分别藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车的门，汽车就归你所有。如果你第一个选择了1 号门，然后主持人打开了剩余两扇门其中的一个，这扇门背后是只羊，你看到了，接着问你是否应该重新选择，以增大猜对汽车的概率？

这个问题与类似于当前电视上一些娱乐竞猜节目，我们很容易积产生兴趣。讨论的结果是这个问题的答案与主持人是否知道所有门背后的东西相关，这样就可以很自然的理解条件概率。在这样热烈的气氛里学习新的概念，一方面使得我们积极性高涨，另一方面让我们认识到所学的概率论知识与我们的日常生活息息相关。因此在学习概率论基础知识时，关注有关经典的案例，会帮助我们理解。例如看电影《赌神》时，我们分析扑克牌出现三A的概率或者同花顺的概率；再比如我们看世界杯时分析某支球队的夺冠概率等。

9.概率论知识点总结 篇九

确定性现象：在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。

随机现象： 在个别实验中呈现不确定性，在大量实验中呈现统计规律性，这种现象称为随机现象。

随机试验：为了研究随机现象的统计规律而做的的实验就是随机试验。 随机试验的特点：

1）可以在相同条件下重复进行；

2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能

结果；

3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会先出现；

2. 样本空间、随机事件

样本空间：我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。 样本点：构成样本空间的元素，即E中的每个结果，称为样本点。 事件之间的基本关系：包含、相等、和事件（并）、积事件（交）、差事件（A-B：包含A不包含B）、互斥事件（交集是空集，并集不一定是全集）、对立事件（交集是空集，并集是全集，称为对立事件）。事件之间的运算律：交换律、结合律、分配率、摩根定理（通过韦恩图理解这些定理）

3. 频率与概率

频数：事件A发生的次数 频率：频数/总数

概率：当重复试验的次数n逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这个值就是概率。 概率的特点：1）非负性。2）规范性。3）可列可加性。

概率性质：1）P（空集）=0，2）有限可加性，3）加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

4. 古典概型

学会利用排列组合的知识求解一些简单问题的概率（彩票问题，超几何分布，分配问题，插空问题，捆绑问题等等）

5. 条件概率

定义：A事件发生条件下B发生的概率P（B|A）=P（AB）/P（A） 乘法公式：P（AB）=P（B|A）P(A) 全概率公式与贝叶斯公式

6. 独立性检验

设 A、B是两事件，如果满足等式P（AB）=P（A）P（B）则称事件A、B相互独立，简称A、B独立。

10.概率论与数理统计复习重点 篇十

第一章：概率的性质（尤其两个事件的和，差公式和对立事件公式，独立和互不相容的关系），全概率公式和贝叶斯公式（大题），独立性。

第二章：离散型随机变量的分布律的性质，；连续性随机变量的概率密度的性质，分布函数的性质，随机变量的函数的分布（大题）。

第三章：给定联合概率密度求未知参数，求边缘概率密度，判断独立性，求落在某区域内的概率（大题）。独立的正态分布的线性组合仍然服从正态分布。

第四章：期望的性质，方差的性质，协方差和相关系数的性质，独立不相关的关系，六个基本分布的期望方差，切比雪夫不等式做估计，离散型二维分布求相关系数（大题）。

第五章：中心极限定理近似计算（Laplace中心极限定理）（大题）

第六章：三个抽样分布的构造，正态总体均值和方差的分布

第七章：点估计（尤其矩估计）（大题），单个正态总体均值的区间估计（大题），估计量的评选标准（无偏性，有效性）

11.谈《概率论与数理统计》的教学 篇十一

关键词应用 实践 兴趣 构建 思维

笔者认为，教师在教学观上应坚持以人为本的原则。以人为本的教学观是将学生作为整个教学活动的核心，充分考虑学生的个性需求、情感接受、求知欲望以及对已有的知识的掌握情况等各方面因素，尊重教学规律和认知规律，以直接讲授、情境启发、实例分析等教学方法，将传统板书教学、多媒体教学与实验探索求证相结合，培养学生自主学习能力和知识应用能力，以最终达到促进主体发展的教学目的。同时教师在教学内容上坚持以应用为准则，重视构建理论知识与生活经验之间的桥梁，使学生有更多的机会从周围熟悉的事件中学习和理解知识的现实意义，培养学以致用的能力。当代著名数学家、教育学家、沃尔夫奖获得者H.惠特尼(Whitney,Hasselr)曾指出：“学数学意味着什么？当然是希望能用它，……最好的学习就是用，并且古今皆知仅在你有自己的想法时才有真正的学习。”著名数学教育家H.弗洛登塔尔(Freudenthel,Hans)指出：“数学源于现实，并且用于现实。”所以，读书的实质是将人类已有的智慧结晶内化为自身理解的同时物化于实践中，因此，应用是目的，也是学习的最根本动力因素。

笔者多次执教大学数学基础课程中的《概率论与数理统计》，就结合自身对这门课程的教学经验谈谈本文提出的“以人为本，以用为准”理念的心得体会。笔者认为，书本的理论知识对学生而言是间接经验，生活认识才是直接经验，逻辑严谨的理论知识与学生感性的生活认识有着难以跨跃的鸿沟。因此，要上好这门课，首先应以生活实例和学生熟悉的情境入手，建立数学模型，并借用概率统计知识和分析方法去理性地认识生活，缩短学生认知结构中理论知识与客观实践的距离，消除学生对概率统计的陌生感。所以概率统计教学要以一定的感性认识为基础。只有在这个基础上，学生才能比较容易地将来自书本的间接经验与生活中的直接经验连接贯通，接受、认可教师的课堂讲授。笔者在教材内容讲解中特别注意以下几个环节：

一、介绍新的知识理论时，追本求源，让学生了解和感受知识的原始创新

课程内容要能引起学生的兴趣,要能引人入胜,首先教师要对这门学科的发生和发展的来龙去脉及其对人类社会的功用与影响有着深刻的了解，然后再组织好教学内容，使学生领会其基本线索、概念、原理、规律及其独特的研究方法。笔者上《概率论与数理统计》这门课程时，结合自己的理解，以故事的形式讲述概率论起源于法国中世纪的一场赌博纠纷的历史，吸引学生的兴趣，然后提出不同立场的各种意见，鼓励学生思考辨明，引导学生分析问题的实质，最终确定最合理的方案。当时中世纪的几个数学家，帕斯卡、费马、惠更斯等人就是在这个问题上达成了这个共识，由惠更斯发表了第一篇完整的概率论著作《论机会游戏的计算》，由此开始了将随机性问题作为一门严谨的理论科学而加以研究的学习领域, 最终现在，《概率论与数理统计》已经作为一门完整的学科并广泛应用在生活、生产的各个方面。以问题再现的方式，让学生感受真实情境的困扰，体验前人的原始创新，不仅能够激发学生的学习兴趣，而且培养了学生的应用意识，这样一来学生就不会再把概率当作突如其来的“空降”知识，而是将它理解成为我们探索、解决各种问题的科学工具，在学习过程中摒弃死记硬背，树立研究精神，端正学习态度。

二、对概念、公式、定理的讲解配合通俗举例，让学生发自内心接受

概念、定义，是学习新知识的第一道门槛。数学中的概念、定义都是在理论和实践的千锤百炼中形成的，通常比较简练和抽象，它对应着生活中的某种成熟认识。教师应引导学生体会概念、定义产生的可能性和必要性，感受其产生给思考和解决问题带来的思维上的方便和清晰，然后适时将概念的内容加以应用，通过通俗易懂的例子让学生发现它抽象外表下的简单实用。以条件概率为例，学生常觉得困惑，条件概率和普通概率有什么区别？其实条件概率表示的是范围被约束的一类事件的概率，比如“甲厂的合格率”、“患肺癌的人中吸烟的概率”“担任班委中男生的比例”等都属于受到范围被约束的概率，“产品的合格率”、“男生的比例”等属于普通概率。引入条件概率的定义就可以很清楚地区分两者的差别，使问题的解决显得更便捷。如此一来，学生就明白了概念、定义都是用于解释描述直接或间接认识到的现象时所作出的智力构建，它的实际用途是很明显的。这样，学生就能比较容易被概念的魅力所吸引，从而认可并尝试熟悉应用它。

三、讲解课堂例题时，拓展外延

数学的例题、练习非常多，但题目都是针对定义、定理、公式等展开的验证或解释，做题的目的就是培养熟练计算以及理解运用的能力。有一部分习题是纯粹的复杂计算、逻辑推导，显得很单调、枯燥，学生通常也很排斥厌倦，教师有时候可以根据习题内容适当地构建一些意境，让学生明白解决实际问题除了需要灵活的思维能力还必须具备扎实的计算基础。比如一道很普通的二维随机变量均匀分布类型的题目：随机变量X、Y服从[0，60]均匀分布，求P(X+10≤Y≤X+15) ,运用二重积分即可计算出，但引导启发学生时不妨引申个生活假设：甲、乙两人约下午一点钟到两点钟间会面，甲先到等乙10分钟，乙先到等甲15分钟，他们在一点到两点的任何时刻都可能出现，问他们能够会面的概率。学生的生活经验很容易理解这种生活情境，面对这样的问题就会积极进行思考，这时教师再逐步启发学生运用随机变量来构建数学模型，确定变量间的关系表达式，然后利用数学计算方法得出结论，大部分学生就不会觉得纯数学计算解题的枯燥生涩，同时激发起对知识内容和计算方法的求知欲望，而尖子生们也能够感受到从理论指导到实践应用的途径和技巧，对于他们创新思维能力的培养也有帮助。这种简单的联系教学，在笔者看来很有意义。学习一门自然科学，它的意义并非在于一定要能解决很大的问题，而在于能将这门科学的思维、理念融入自身的认知系统，有所感悟，有所触进。数学应该成为所有学习者能用来解释生活现象、解决社会问题的理性科学，所以教师在讲解例题时，应尽可能地联系生活实际，尽可能地选择简单易懂的日常事例，让学生认识到社会生活本质抽象出来就是数学的问题，运用数学思维方法能清晰有效地认识社会现象，从而达到培养学生数学思维能力的目的。

四、注重思维方法传授，培养学生的应用意识

教学中应该让学生拥有自学的能力和兴趣，不仅只是把知识灌输给学生，而是要教会他们用这种思想方法去分析、解决具体的实际问题。例如在讲到随机变量的数学期望时，这是一个很抽象的概念，它的理论意义表示随机变量的概率平均值，但如果将其用来分析生活生产实践，将会发现它的用途与我们的联系非常的紧密。笔者曾将其设计为一个项目投资的数学模型。项目是否值得投资，关键是考察其回报，但回报是发生在投资进行之后的结果，因此在投资之前，考察这个回报时只能称作预期回报。理性的人们总是希望相同数量的投资能获得最大的预期回报，而这个预期回报实质就是数学期望，它等于这个项目投资的各种可能的获利结果的概率平均值。运用这一知识理论，同学们就可以判断一个项目是否值得投资或者在几个投资项目中确定最有利的选择，拿生活中一个很常见的投资行为----购买体育彩票“36选7”是否选择复式投注为例说明。按游戏规则，16元可以购买7注单式彩票（7个号码）或者1注复式彩票（8个号码），假设特等奖、一等奖、二等奖......六等奖的奖金金额是固定的，将投资16元所能得到的回报看作随机变量X，我们只要计算这两种购买方式的各种结果的概率，则它的期望回报E(X)就可以按数学期望的计算公式确定。当然，事实上特等奖、一等奖等奖金金额是浮动的，因此学生们需要从体彩站、网络等渠道获取信息，用点估计的方法求解出这两个奖项奖金金额的一个估计量，从而比较两种投资方式的期望回报，选择理性的投资方式。客观真实、意义积极、难度适中的课题设计可以培养学生敏锐的洞察能力和系统分析能力，对信息收集分析能力，激发学生强烈的求知欲望以及运用理论指导实践的创新思维。

以上几点是笔者在确立 “以人为本、以用为准” 为自身教学理念时的尝试，以应用为准则侧重对具体知识教学的理解，培养学生学习的兴趣与热情，是学生能够自主学习自我完善的前提；以人为本侧重教学教法，通过以知识为载体的学习，培养学生的思维能力、实践操作能力、创新能力，在学习中形象良好性格、优良品德。笔者仍然在这理念下不断探寻师与生的沟通、教与学的衔接、知识与实践的融合，希望能为高校教育提供一个比较优的教学模式。