直线的极坐标方程教案

直线的极坐标方程教案（精选7篇）

1.直线的极坐标方程教案 篇一

直线的两点式方程教案

一、教学目标

1、知识与技能

（1）握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2、过程与方法

让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

3、情态与价值观

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点：

1、重点：直线方程两点式。

2、难点：两点式推导过程的理解。

三、教学设想

问

题

1、利用点斜式解答如下问题：

（1）已知直线l经过两点P1(1,2),P2(3,5),求直线l的方程.（2）已知两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)其中(x1x2,y1y2)，求通过这两点的直线方程。

设计意图

遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。师生活动

教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：（1）y232(x1)y2y1x2x1（2）yy1(xx1)

教师指出：当y1y2时，方程可以写成

yy1y2y1 xx1x2x1(x1x2,y1y2)

由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式 问

题

2、若点P1(x1,x2),P2(x2,y2)中有x1x2，或y1y2，此时这两点的直线方程是什么？

设计意图

使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。

师生活动

教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x1x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为：xx1；当y1y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：yy1。

问

题

3、例题教学

已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a0,b0，求直线l的方程。

设计意图

使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形。

师生活动

教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？那种方法更为简捷？然后由求出直线方程：

xayb1

教师指出：a,b的几何意义和截距式方程的概念。

问

题

4、例题教学

已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。

设计意图

让学生学会根据题目中所给的条件，选择恰当的直线方程解决问题。

师生活动

教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程。在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较。

5、课堂练习

学生独立完成，教师检查、反馈。

6、小结

增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解。

教师提出：

（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？（2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？

7、布置作业

巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力。学生课后完成

2.直线的极坐标方程教案 篇二

一、方程的推导

我们知道,椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为:

平面内到一个定点F(焦点)的距离和一条定直线l(准线)(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹.当01时,是双曲线;当e=1时,是抛物线.

下面根据这个定义来求这三种圆锥曲线统一的极坐标方程.

如图1,由焦点F向准线l作垂线,垂足是K,以F为极点,FK的反向延长线Fx为极轴,建立极坐标系.设M(ρ,θ)是曲线上任意一点,连结FM,作MN⊥l于N,MP⊥Fx于P,那么点M满足.

现设|FK|=p,由|MF|=ρ,有

这就是椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程.

二、方程的说明

1.如图2,当01时,方程表示双曲线的右支,F是它的右焦点,l是它的右准线,如果允许ρ<0,那么该方程就表示整个双曲线.

2.这里应注意,方程(*)表示的圆锥曲线的焦点在极点,也是相应直角坐标系的原点,而它的中心(椭圆、双曲线)或顶点(抛物线)并不在相应直角坐标系中的原点(见例1).

3.将直角坐标系中的圆锥曲线的标准方程化为极坐标方程时,通常是指以原点为极点,x轴正半轴为极轴而化得的结果.如果需要以焦点为极点来建立该圆锥曲线的极坐标方程,应事前加以说明(见例2).

4. 圆锥曲线统一的极坐标方程还有其它三种形式:

(1)焦点F在准线l的左侧时,为

(2)焦点F在准线l的上方时,为

(3)焦点F在准线l的下方时,为

例1化圆锥曲线统一的极坐标方程为直角坐标方程.

解:去分母化为ρ=eρcosθ+ep.

两边平方,整理得

说明:可见化得的方程,在01时,表示双曲线.但化得的方程不是圆锥曲线的标准方程.

例2椭圆的长半轴是a,短半轴是b,求它的极坐标方程.

解法1:在直角坐标系中,当椭圆中心在原点,长轴在x轴上时,它的方程是

将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式,化得

这就是相应椭圆的极坐标方程.

解法2:以椭圆的左焦点为极点,过其中心的射线为极轴,建立极坐标系,则它的极坐标方程是

这里的,

说明:例2的两种解法说明,在建立圆锥曲线的极坐标方程时,必须先对坐标系的建立方法加以说明,不然其方程形式不能确定.如果将焦点F作为椭圆的右焦点、下焦点、上焦点,还可得到另三种形式的极坐标方程.这里不一一写出.

三、方程的应用

设圆锥曲线统一的极坐标方程是,如图5,过焦点F作倾斜角为θ的直线,与圆锥曲线交于A、B两点,那么可以得到点A,点B的相应焦半径长

因此,.

这样,我们得到了圆锥曲线的焦点弦长公式.

在历年的高考题中,都有与圆锥曲线焦点弦、焦半径有关的题目.常规解法是设出直线方程,与圆锥曲线方程联立,或解方程组,或用韦达定理和弦长公式,都将带来烦琐的运算.而用圆锥曲线的统一极坐标方程来解,可以回避复杂运算,轻松解题.

例3 (2009年全国Ⅱ)已知双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且斜率为的直线交C于A、B两点,若,则C的离心率为()

(A)(B)(C)(D)

解:以F为极点,Fx为极轴建立极坐标系(如图5),设双曲线的极坐标方程是

由直线AB斜率为,知倾斜角,.

由题设,有|FA|=4|FB|,

例4 (2009年全国Ⅰ)已知椭圆C:的右焦点为F,右准线为l,点A∈l,线段AF交C于点B,若,则

(A)(B)2 (C)(D)3

解:以F为焦点,Fx为极轴,则椭圆的极坐标方程形如.

又,b=1,c=1,知.所以方程为

如图6,可知|FK|=p=1,则

又.

由,知|FA|=3|FB|,

即

解得,则.

选(A).

例5 (2009年福建)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB长为8,则p=______.

解:由抛物线的焦点弦长公式有

例6 (2007年全国Ⅰ)已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD.求四边形ABCD的面积的最小值.

解:知,c=1,则

以F1为极点,F1x为极轴,建立极坐标系,

则

即

以F2为极点,F2x为极轴,建立极坐标系,

则

即

四边形ABCD的面积

所以四边形ABCD面积的最小值是.

小结:通过上述四例可知,与焦点弦、焦半径有关的题目,应想到用圆锥曲线统一的极坐标方程来解,这常能化难为易,变繁为简,优化解题.

以下几道高考题供练习用.

1.(2008年全国Ⅱ)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F且斜率为1的直线交C于A、B两点.设|FA|>|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于______.

2.(2008年江西)过抛物线x2=2py(y>0)的焦点作倾斜角为30°的直线,与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧),则

3.(2007年重庆)过双曲线x2-y2=4的右焦点F作倾斜角为105°的直线,交双曲线于P、Q两点,则|FP|·|FQ|的值为______.

4.(2007年重庆)如图8,中心在原点0的椭圆右焦点为F(3,0),右准线l的方程为x=12.

(1)求椭圆的方程;

答案与提示:

3.极坐标与参数方程内容的高考探究 篇三

关键词： 极坐标 参数方程 高考题

坐标系与参数方程的内容一起出现在新课标选修4-4中，因此在高考数学的考查过程中对这一部分内容的考查也多以综合交叉题目的形式出现.本文通过这部分内容在高考中考查的形式，并结合具体的例子，为师生的教和学提供参考.

1.关于极坐标和参数方程的考点

首先，对于极坐标而言，高考对这一部分内容的要求是能用极坐标准确地表示出极坐标系中点的位置，并且区别它与平面直角坐标系中所表示的点的位置和实现两者之间的互化.在与参数方程结合在一起时，要求同学们能用方程表示出极坐标系中所给出的简单图形，通过将此类图形在平面直角坐标系和极坐标系中的方程的比较，理解当平面图形用方程表示时选择适当的坐标系的意义.

其次，关于参数方程方面，我们要理解参数方程和参数的意义，对于直线、圆和圆锥曲线的参数方程要能用适当的参数写出来，对于简单的相关问题要能够用直线的参数方程解决，能理解和运用直线的参数方程和参数的几何意义.

2.高考对这部分内容的考查

通过对近年高考试题的回顾和分析，我们不难发现，近些年高考中对于这部分内容的考查重要是以解答题的形式出现的，试题难度相对比较简单，得分是比较容易的.在2009年的高考试题中将极坐标、直线与圆的位置关系、不等式思想等结合在一起考查；2010年也对极坐标方面的内容进行了考查，题中设计了直线和圆的位置关系，以及圆在极坐标系中的三种方程问题，并在题中给出的图形条件下求区域的面积.

在极坐标方面从目前新课标历年高考试题中可以看出，高考对这一部分内容的考查主要集中在极坐标系与平面直角坐标系之间的互换、常见曲线在极坐标系中的方程等内容方面，对这方面的考查还是比较简单的.在参数方程这一方面，高考对于此的考查主要集中在参数方程与普通方程之间的互化方面.所以对于后两年高考在这方面的考查，笔者预测在难度和题型方面仍将保持稳定，而且往往会使极坐标和参数方程结合在一起考查的形式，这对于老师授课和学生学习方面都要引起重视.

3.例题剖析

4.极坐标与参数方程的考点中应该注意的问题

在这部分内容中，近些年的高考试题主要考查的是极坐标方程在圆和直线中的应用，以及极坐标与平面直角坐标的互换；在参数方程方面主要考查的是参数方程与普通方程之间的互化，用极坐标方程、参数方程研究有关距离、交点和位置的问题等.

首先，在参数方程方面，我们一定要了解参数方程及其意义，其与普通方程之间的互化是一个重点，在参数方程转化为普通方程的时候，我们常用的方法是代入法、三角恒等式消元法和加减消元法等方法，在使用过程中一定要注意同解变形.在写直线、圆和圆锥曲线参数方程时，学生一定要注意参数方程中参数的几何意义，因为几何意义在参数方程的解题中能为我们带来方便.同学们一定要重视直线参数方程的几何意义.

其次，在极坐标内容方面，我们要注意平面图形在平面直角坐标系伸缩变换的作用下的变化状况，同时还要注意将其与平面直角坐标系中点的位置相区别，并要能实现互化.在使用极坐标与平面直角坐标系互化公式的时候，我们要对它的使用条件予以注意，要符合以下要求：极轴与轴正向重合、极点与原点重合、取相同的单位长度.在解题过程中化繁为简，化难为易是一个原则，在这个原则指导下，当我们面临极坐标的有关试题时就要把他们转化为平面直角坐标系去解题，因为学生对后者相对更熟悉，应用起来更得心应手.如果在做题过程中直接将问题在极坐标系中解决，这时我们就要将其与三角形联系起来，合理利用有关三角形方面的原理和公式.

5.复习与应试建议

第一，由新课标对于极坐标和参数方程的要求来看，这部分的要求内容整体难度不大，学生在复习时一定要遵循适度原则，紧扣大纲要求，不要深挖，打好基础才是关键.复习时对相关基础知识和定理定式一定要认真理解，熟悉掌握.第二，在变量换算上多放精力，减少低级错误的出现.因为变量换算是很多学生普遍反应的难点和弱点，所以教师在教学过程中要注意在这方面给予学生更多的指导，引导学生复习.第三，该种题目类型在解题时往往有多种方法，学生要理清思路，弄清问题的本质要点，梳理清楚解题程序，然后注意参数方程和普通方程之间的互换、直线与圆等要点问题的思考.第四，学生在答题过程中要注意规范，对于很多学生来讲不是不会，而是不注意答题规范，因为高考改卷是流水化的过程，所以每一题老师在阅卷过程中花的时间很多，写得规范清晰有利于老师迅速找出关键要点，这对于老师评分是一个不可忽视的要素.

综上所述，在极坐标和参数方程的学习和教学过程中，学生首先要打好基础，要能准确和熟练地应用基本的原理和公式，只要这样才能保证在公式的运用过程中不犯低级错误.其次，把握解题思想，我们要树立化繁为简、化难为易、相互转化的思想，只有在将题目转化为所熟知的问题，我们解决起来才能得心应手.

参考文献：

[1]师增群.极坐标与参数方程试题研究和应试策略——以2013年高考数学新课标全国卷第23题为例[J].当代教育实践与教学研究，2014（6）：69-71.

[2]沈国根.极坐标与参数方程内容的高考探究[J].中学教研：数学，2011（2）：25-28.

4.11.1直线方程教案 篇四

一、教学目标

理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程；加强分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；体验探究新事物的过程，树立学好数学的信心。

二、教学重点及难点 重点

1.理解直线的方向向量概念

2.能根据已知条件求出直线的点方向式方程 3.理解直线方程的解与直线上点坐标之间的关系

4.通过建立直线的点方向式方程，体会使用向量可简化推到过程且有明确的几何意义 难点

理解直线方程的定义。通过推导直线的点方向式方程，从中体会向量知识的应用和坐标法的含义。通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想。从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力。

三、教学过程 回顾

在初中平面几何里，我们定性的研究直线的平行，垂直或直线相交所成角是否相等。在函数教学中，直线是一次函数的图像。在本章中，我们进一步用定量的方法来研究直线。讲授新课

（一）直线方程

定义：对于坐标平面内的一条直线l，如果存在一个方程f(x,y)0，满足（1）直线l上的点的坐标(x,y)都满足方程f(x,y)0；（2）以方程f(x,y)0的解(x,y)为坐标的点都在直线l上。那么我们把方程f(x,y)0叫做直线l的方程。

5.解析几何直线方程教案(好) 篇五

知识框架图

直线的倾斜角与斜率点斜式斜截式直线的方程两点式直线方程的综合运用截距式一般式两直线相交的判定及求相交两直线所成的角及求法两直线垂直的条件直线两直线的位置关系平行两直线平行的条件重合两直线重合的条件点在直线上的条件点到直线的位置关系点到直线距离的求法平行直线系直线系垂直直线系共点直线系其交点

直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。

规定当直线和x轴平行或重合时，其倾斜角为0，所以直线的倾斜角的范围是0180或0。

2、直线的斜率:倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，即ktan90。

（1）斜率的计算公式（2）每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率存在于不存在这两种情况，否则会出现漏解。

（3）斜率是用来表示倾斜角不等于90的直线对于x轴的倾斜程度的。

直线方程的几种形式

1、点斜式：过已知点x0,y0，且切斜率为k的直线方程可以写成点斜式：yy0kxx0。

2、斜截式：若已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程可以写成斜截式：ykxb

3、两点式：若已知直线经过x1,y1和x2,y2两点，且x1直线的方程可以写成两点式：

yy1y2y1xx1x2x1x2,y1y2，则

4、斜截式：若已知直线在想x轴、y轴上的截距分别是a、ba0,b0,则直线方程可以写成斜截式：

xayb1。

5、特殊位置的直线方程：y轴所在直线的方程为x0；平行于y轴的直线方程为：xaa0；x轴所在直线的方程为y=0；平行于x轴的直线方程为ybb0

6、一般式：任何一条直线的方程均可写成一般式AxByC0A、B不同时为0的形式。反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。两直线的平行于垂直 设两直线方程分别为

l1:yk1xb1或A1xB1xC10；l2:yk2xb2或A2xB2yC0A1,B1,C1,A2,B2,C2全部为零 的，当

1、l1//l2k1k2且b1b2或k1k2且b1b2或A1A2B1B2A1A2B1B2C1C2。特别

C1C2时两直线重合。

2、l1l2k1k21或A1A2B1B20

两直线的夹角

1、把两相交直线中的直线l1以逆时针方向绕交点旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角，它是向角，其范围是0。

2、直线l1与l2的夹角，是指由l1与l2相交所成的四个角的最小角（或

0,l不大于直角的角），又称为1和l2所成的角，它的取得范围是2。

点到直线的距离公式

设点Px0,y0和直线l:AxByC0.1、若点d2p不在直线2l上，则点。

p到

l的距离为Ax0By0CAB点p在直线l上也满足

2、两平行线l1:AxByC10,l2:AxByC2直线系方程

0的距离为dC1C2AB22

具有某一个共同性质的一簇直线称为直线系，它的方程称为直线系方程，直线系方程通常只含有一个独立参数，常见的直角系有如下两类：

1、平行系

（1）斜率为k0（常数）的直线系：yk0xbb为参数（2）平行

于

已

知

直

线A0xB0y0A0,B0是不全为零的常数的直线系：A0xB0yC0C0。

2、垂直直线系（1）与斜率为k0k0（2）垂直

0的直线垂直的直线系：y1xb(b为参数）k0 线

于已知直A0xB0yC0A0、B0是不全为零的常数的直线系：B0x-A0y0为参数

3、过已知点的直线系

（1）以斜率k作为参数的直线系：yy0kxx0，直线过定点x0,y0;ykxb0,直线过定点0,b0。其中过定点且平行于y轴或与y轴重合的直线不在直线系内。过两条直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交点的直线系：

6.直线的极坐标方程教案 篇六

教学目标

（1）掌握直线方程的一般式AxByC0（A,B不同时为0）理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：①直线的方程是都是关于x,y的二元一次方程；

②关于x,y的二元一次方程的图形是直线．

（2）掌握直线方程的各种形式之间的互相转化． 教学重点

各种形式之间的互相转化． 教学难点

理解直线方程的一般式的含义． 教学过程

一、问题情境

1．复习：直线方程的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程． 2．问题：

（1）点斜式、斜截式、截距式、两点式方程是关于x,y的什么方程（二元一次方程）？（2）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用关于x,y的二元一次方程表示吗？（3）关于x,y的二元一次方程是否一定表示一条直线？

二、建构数学 1．一般式

（1）直线的方程是都是关于x,y的二元一次方程：

在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，在90和90两种情况下，直线方程可分别写成ykxb及xx1这两种形式，它们又都可变形为AxByC0的形式，且A,B不同时为0，即直线的方程都是关于x,y的二元一次方程．（2）关于x,y的二元一次方程的图形是直线：

因为关于x,y的二元一次方程的一般形式为AxByC0，其中A,B不同时为0．在B0和B0两种情况下，一次方程可分别化成yACCx和x，它们分别是直BBA线的斜截式方程和与y轴平行或重合的直线方程，即每一个二元一次方程的图形都是直线．

这样我们就建立了直线与关于x,y二元一次方程之间的对应关系．我们把AxByC0（其中A,B不同时为0）叫做直线方程的一般式．

一般地，需将所求的直线方程化为一般式．

三、数学运用 1．例题：

例1．已知直线过点A(6,4)，斜率为解：经过点A(6,4)且斜率4，求该直线的点斜式和一般式方程及截距式方程． 344的直线方程的点斜式y4(x6)，33用心

爱心

专心

化成一般式，得：4x3y120，化成截距式，得：

xy1． 34例2．求直线l:3x5y150的斜率及x轴，y轴上的截距，并作图． 解：直线l:3x5y150的方程可写成y∴直线l的斜率k3x3，533；y轴上的截距为3； 525当y0时，x5，∴ x轴上的截距为5．

例3．设直线l:(m2m3)x(2mm1)y2m60(m1)，根据下列条件分别确定m的值：（1）直线l在 x轴上的截距为3；（2）直线l的斜率为1．

解：（1）令y0得 x22m62m65，由题知，解得． 3mm22m3m22m33m22m3m22m341（2）∵直线l的斜率为k，∴，解得． m222mm12mm133，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程． 434解：设直线方程为yxb，令y0，得xb，4314b∴|b()|6，∴b3，23例4．求斜率为所以，所求直线方程为3x4y120或3x4y120．

例5．直线l过点P(6,3)，且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距相等，求直线l的方程．

分析：由题意可知，本题宜用截距式来解，但当截距等于零时，也符合题意，此时不能用截距式，应用点斜式来解． 解：（1）当截距不为零时，由题意，设直线l的方程为∵直线l过点P(6,3)，∴

xy1，bb631，∴b3，bb∴直线l的方程为xy30．

（2）当截距为零时，则直线l过原点，设其方程为ykx，1将x6,y3代入上式，得36k，所以k，21∴直线l的方程为yx，即x2y0，2用心

爱心

专心

综合（1）（2）得，所求直线l的方程为xy30或x2y0．

2．练习：课本第79页练习第1、2、4题．

四、回顾小结：

1．什么是直线的一般式？直线方程的各种形式之间的如何互相转化？

五、课外作业：

课本第79练习页第3题、第80页第10题、第117页第3、4、5、6题．

用心爱心

7.新题展(极坐标与参数方程) 篇七

做一做

1． 在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为x+t=3,y+3t=3（t为参数）；在以O点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos θ，A点为C2上的动点，B点满足OB=2OA，设点B的轨迹为曲线C3．

（1） 求曲线C3的普通方程；

（2） 直线C1与曲线C2异于极点的交点为M，与曲线C3异于极点的交点为N，求线段MN的长；

（3） 若P点的直角坐标为(-1,0)，且AP=5，求直线AP的普通方程．

2． 已知点P在曲线C：x=acos θ,y=bsin θ （其中a,b为实常数，θ为参数）上.

（1） 当a=5，b=12且0≤θ≤π时，若直线OP（其中O为坐标原点）的倾斜角为3π4，求P点的直角坐标．

（2） 当a=b=2且0≤θ≤π时，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为(2,0)，曲线C上的弧AP的长度为2,求点P的极坐标,并求直线AP的参数方程．

（3） 当a=b=r>0时，试判断直线l：xcos θ+ysin θ=r（其中θ为参数）与曲线C的位置关系．

看一看

1． （1） 先把曲线C2的极坐标方程化为普通方程，设点B的直角坐标为(x,y)，由条件“OB=2OA”，我们可用B点坐标表示A点坐标，再代入A点所在曲线C2的普通方程中，化简即可求得曲线C3的普通方程．

（2） 思路1：先求出直线C1的极坐标方程，因为在极坐标系中直线C1恰好过极点O，所以我们有MN=|ρ2-ρ1|；思路2：先将直线C1的参数方程、曲线C2的极坐标方程都化成普通方程，然后在平面直角坐标系中处理此问题．

（3） 先将曲线C2的极坐标方程化成普通方程，再设A点坐标为(x0,y0)，据AP=5，得方程①，又A点在曲线C2上，又得方程②，将①②联立，可求出A点坐标，进而可求出直线AP的普通方程．

2． （1） 先设点P对应的参数为θ0∈［0,π］，由斜率公式kOP=yP-0xP-0得到关于θ0的方程，联系cos2θ0+sin2 θ0=1及θ0∈［0,π］，解出cos θ0，sin θ0的值，进而可求出P点坐标．

（2） 先求出点P的极坐标，再将点P和点A的极坐标化成直角坐标，最后写出直线AP的参数方程．

（3） 先把圆C的参数方程化成普通方程，再求出圆C的圆心到直线l的距离d，最后根据d与r的大小，判断圆C和直线l的位置关系．

对一对

1. 解：（1） 曲线C2的普通方程为x2-2x+y2=0，设B点坐标为(x,y)，则由条件OB=2OA，得A点坐标为x2,y2．

因为A点在C2上，即有x2A-2xA+y2A=0，所以x22-2·x2+y22=0，即x2-4x+y2=0．

所以曲线C3的普通方程为x2-4x+y2=0．

（2） 直线C1的普通方程为y=3x，对应的极坐标方程为θ=π3．

曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos θ，曲线C3的极坐标方程为ρ=4cos θ．

直线C1与曲线C2交点M的极径为ρ1=2cosπ3；

直线C1与曲线C3交点N的极径为ρ2=4cosπ3．

所以MN=|ρ2-ρ1|=1．

（3） 设A(x0,y0)，则AP2=x0+12+y20=5 ①．

又点A(x0,y0)在曲线C2上，而曲线C2的普通方程为x2-2x+y2=0，

所以x20-2x0+y20=0 ②．

由①，②消去y0整理得x0=1，故x0=1,y0=1或x0=1,y0=-1．

所以直线l的斜率为k=12或k=-12，直线l的方程为x-2y+1=0或x+2y+1=0．

2． 解：（1） 设点P对应的参数为θ0∈［0,π］，kOP=tan3π4=-1=yP-0xP-0=12sin θ05cos θ0．

由cos2θ0+sin2 θ0=1及θ0∈［0,π］，解得cos θ0=-1213，sin θ0=513．故点P-6013 ,6013．

（2） 由已知得点P的极角为1，极径为2，所以点P的极坐标为(2,1)，点P的直角坐标为(2cos 1,2sin 1)．

又点A的直角坐标仍为(2,0)，

所以直线AP的参数方程为x=2+(2cos 1-2)t,y=2sin 1·t（t为参数）．

（3） 当a=b=r时，曲线C的轨迹是一个圆，该圆的普通方程为x2+y2=r2，圆心为(0,0)．

因为圆C的圆心(0,0)到直线l的距离为d=0+0-rcos2θ+sin2 θ=r，所以直线l与曲线C相切．

想一想

1． （1） 求解此问的思路是平面直角坐标系下的相关点法求轨迹．有些读者，可能会这样想，既然是在极坐标系下，那不妨设B点的极坐标为(ρ, θ)，由OB=2OA，可得A点的极坐标为ρ2,θ2，从而曲线C3的极坐标方程为ρ2=2cosθ2，这就产生了错误，这个错误是由知识点的错误迁移引起的．实际上，我们印象中的由OB=2OA，得xB=2xA,yB=2yA,是在平面直角坐标系中得到的；而在极坐标系中并没有此结论．虽然在极坐标系中没有此结论，但有这个想法也是好的，这个想法也为我们提供了一个解题思路：注意到O点恰好是极点，由OB=2OA，在限定极径ρ≥0且极角θ∈［0,2π)的前提下，我们有ρB=2ρA,θB=θA,从而由A点所在曲线的极坐标方程为ρ=2cos θ，很快就能得到B点轨迹的极坐标方程为ρ=4cos θ．

（2） 大多数情况下，我们都是先把相关曲线的参数方程或者极坐标方程化成普通方程，然后转移到平面直角坐标系中去处理相关问题；但有时我们灵活运用极坐标方程中的极径和极角的几何意义或者参数方程中的参数的几何意义（如果有的话）去处理相关问题也会很简单．此外，把参数方程化成普通方程要注意以下几点：一是先弄清楚哪个字母是参数；二是把表示参数的字母消去，就得到了我们想要的普通方程；三是研究参数对变量x,y的取值范围的限制，最后标明x,y的取值范围．

nlc202309040909

（3） 解决此问的关键是求出点A的直角坐标，进而我们就能写出直线AP的普通方程．处理思路很常规，先把问题转移到平面直角坐标系下，寻求关于A点坐标的关系式，建立关于A点坐标的方程组，最后解出点A坐标；这种用方程组法求解的类似的问题很多，我们会经常碰到．

2． （1） 此问的出错率较高，出错的主要原因是把曲线C参数方程中的参数θ和直线的倾斜角混淆，我们要注意区分．例如，求直线x=3-tsin 20°,y=1+tcos 20°的倾斜角．此问中的20°并不是所求直线的倾斜角．由k=y-1x-3=tcos 20°-tsin 20°=-1tan 20°=-tan 70°=tan 110°，得所求直线的倾斜角为110°．

（2） 对于极坐标与参数方程这部分内容，大多数学生都觉得比较容易，都形成了这样一个共识：先要熟练掌握极坐标方程、参数方程和普通方程这三者之间的互化，然后再把相关问题比如轨迹问题、距离或长度问题、面积问题、直线与曲线的位置关系问题（或者说直线与曲线的交点个数问题）等等，统统转移到平面直角坐标系中去研究．此问中，涉及到求极坐标和求直线的参数方程，答案都不唯一，但我们也要熟记直线参数方程的两种常见形式：一种是标准形式，过定点P(x0,y0)，倾斜角为θ的直线的参数方程是x=x0+tcos θ,y=y0+tsin θ(t为参数）；另一种是一般形式，过定点P(x0,y0)，斜率为ba的直线的参数方程是：x=x0+at,y=y0+bt(t为参数）．

（3） 研究直线与曲线的位置关系，实质上是研究直线与曲线的交点个数，其常规思路是先把直线、曲线的极坐标方程或者参数方程都化成普通方程，然后转移到平面直角坐标系中去研究相关问题．此问中，判断直线与圆的位置关系，我们的常规思路有两种：一是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系，dr时直线与圆相离；二是联立直线和圆的普通方程，消去其中一个变量，得到关于另外一个变量的一元二次方程，最后借助判别式判断这个一元二次方程解的个数，进而得到直线与圆的位置关系．此问还有如下变式：当a=b=2时，已知直线l的参数方程为x-4=t·cos θ,y=t·sin θ（t为参数，θ为倾斜角），若直线l与曲线C有公共点，求θ的取值范围．