空间向量基本定理教案

空间向量基本定理教案（通用8篇）

1.空间向量基本定理教案 篇一

2．3．3平面向量的坐标运算教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.教学过程：

一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

二、讲解新课：

1．平面向量的坐标运算

思考1：已知：a(x1,y1)，b(x2,y2)，你能得出ab、ab、a的坐标吗？设基底为i、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2)（1）若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.（2）若a(x,y)和实数，则a(x,y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y)

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

思考2：已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，怎样求AB的坐标？

（3）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

AB=OBOA=(x2，y2)(x1，y1)=(x2 x1，y2 y1)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.思考3：你能标出坐标为(x2 x1，y2 y1)的P点吗？

向量AB的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。

三、讲解范例：

例1 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.例2 已知平面上三点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD时，由ABDC得D1=(2，2)当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6，0)例3已知三个力F1(3，4)，F2(2，5)，F3(x，y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐标.解：由题设F1+F2+F3=0 得：(3，4)+(2，5)+(x，y)=(0，0)即：32x0x5 ∴ ∴F3(5，1)45y0y

1四、课堂练习：

1．若M(3，-2)N(-5，-1)且 MP1MN，求P点的坐标 22．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则AB2BC=.3．已知：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，求证：四边形ABCD是梯形.五、小结：平面向量的坐标运算；

六、课后作业：《习案》作业二十

2.空间向量基本定理教案 篇二

一、通过拼凑使向量前系数满足 λ + μ = 1

例1 在△ABC中, , P是BN上的一点, 若, 则实数m的值为多少?

如果此题用平面向量基本定理的推论去考虑, 就会省去大部分运算.

解延长CA到D, 使DA = AC,

平面向量基本定理的推论, 知O, E, B三点共线, 且当CE⊥DB时, 最小值为.

二、延长或缩短某条线段, 将问题转化为三点共线

例3 OM与BC平行, 点P在由射线OM, 线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内 ( 不含边界) , 且, 则实数 ( x, y) 的关系为_____.

解延长OP交AB延长线于D, 则

例4 已知△ABC, D为BC的中点, O为平面上任意一点, 存在一点P, 满足, 求△PAC得面积与△ABC的面积之比.

这种做法比较混乱, 更多的靠运气. 要跳出这个式子, 站在更高的位置整体看待它.

利用平面向量基本定理的推论

∴ 由平面向量基本定理的推论知, P, D, C三点共线, 且

3.空间向量基本定理教案 篇三

平面向量基本定理是一个十分重要的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.本文通过线性系数的求法,谈平面向量基本定理应用的三种境界.以期引发同学们的思考.

境界一 直接用基底表示向量来确定线性系数 例1如图1,平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于一点M,=a,=b,试用a,b表示,,和.

解 由平行四边形法则,=+=a+b.由三角形法则,=-=b-a.

因为平行四边形的对角线互相平分,所以==a+b,=-=-a-b,==-a+b,=-=a-b.

点评 用基底表示向量是掌握平面向量基本定理,解决平面向量计算问题的一个重要环节.这里关键是通过向量的加法和减法法则把未知的向量用已知(或可求)的向量表示.

境界二 逆用平行四边形法则求线性系数 例2 (2007年陕西理科卷)如图2,平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为 .

解 过点C分别作OA与OB的平行线,交OA和OB的延长线于点E与点D(如图3),可得平行四边形ODCE.由条件可知λ=,μ=.

因为∠DOC=30°,∠ODC=180°-∠DOE=180°-120°=60°,所以∠OCD=90°,所以在直角三角形OCD中,由||=2,可得CD=2,OD=4.

又||=||=1,从而λ=||=4,μ=||=||=2,故λ+μ=6.

点评 由于基底,的模和夹角均已知,故可考虑作出平行四边形,逆用平行四边形法则,通过解三角形来解决本题.

境界三 活用定理的推论求线性系数

设e1和e2是同一平面内的两个不共线向量,由平面向量基本定理,可得到下面的推论:若存在实数λ1,λ2,u1,u2,使得λ1e1+λ2e2=u1e1+u2e2,则λ1=u1,且λ2=u2.

例3 如图4,已知P是△ABC内的一点,且满足条件+2+

3=0,设Q为CP的延长线与AB的交点,令=a,用a表示.

解 由A,Q,B三点共线,不妨令=λ,则=-=(λ-1)(λ∈R).

由C,P,Q三点共线,不妨令=u,则=(u-1)(u∈R).

则=+=λ+(u-1),=+=(λ-1)+(u-1).

于是条件式可变为λ+(u-1)+2(λ-1)+2(u-1)+3u=0,即(3λ-2)+(6u-3)=0,所以3λ-2=0,6u-3=0,得λ=,u=.

所以=a=,故=2a.

点评 这里先由三点共线,将,均用表示,将,均用表示,接下来干脆选取,两个不共线的向量作为基底,将其他向量均用它们线性表示,然后代入已知式看看能得出什么结果,结果发现转化成了“λ1e1+λ2e2=0”的形式,大功就此告成.

1. 如圖5,在△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且BD=BC,

CE=CA,AD与BE交于点R,求和的值.

1. =x=x(-)=x-x,=y=y(-)=y-y.

=-=x+y-x+y.又=-,所以x+y=1,x+y=1,得x=,y=,

4.空间向量基本定理教案 篇四

【教材分析】

向量坐标化使平面向的学习代数化，难度降低了很多。但学生对平面向量基本定理的应用还是不太熟练，特别是由变量求范围问题，更是一头雾水。所以专门安排了这一节课来突破这个难点。

【学生分析】

经过了一轮复习的高三学生，对于向量的坐标运算、平面向量基本定理、和线性规划这些知识点的单独学习已经掌握得不错，但对于解决有范围或求最值时的平面向量基本定理的应用还是比较棘手，所以需要老师能够由浅人深地讲解突破。难度很高。

【学习目标】

理解平行四边形法则和线性规划

掌握平向量基本定理的应用

【教学策略】

特殊和一般的类比学习，线性规划解决最值范围问题的策略渗透

【教学过程】

【引题】

【例题】1.

2.已知点

,平面区域D是由所有的满足

的`点P(x,y)组成的区域，若区域D的面积为 8，则4a+b的最小值为 。

【练习】

1.已知向量

,设

。求动点P轨迹形成的图形的面积?

已知

中，AB=3,BC=4,AC=5，I是

的内心，P是

内部(不含边界)的动点，若

,则

的范围是 。

教学反思

总体来说本节课成功地完成了教学任务，突破了难点，学习了重点，教学效果良好。

5.空间向量基本定理教案 篇五

1、复习：

定积分的概念及用定义计算

2、引入新课

我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（v(t)o），则物体在时间间隔[T1,T2]内经过的路程可用速度函数表示为T2T2T1v(t)dt。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在[T1,T2]上的增量S(T1)S(T2)来表达，即 T1v(t)dt=S(T1)S(T2)

而S(t)v(t)。

对于一般函数f(x)，设F(x)f(x)，是否也有

baf(x)dxF(b)F(a)

若上式成立，我们就找到了用f(x)的原函数（即满足F(x)f(x)）的数值差F(b)F(a)来计算f(x)在[a,b]上的定积分的方法。

注：1：定理 如果函数F(x)是[a,b]上的连续函数f(x)的任意一个原函数，则

baf(x)dxF(b)F(a)

证明：因为(x)=xaf(t)dt与F(x)都是f(x)的原函数，故 F(x)-(x)=C（axb）

其中C为某一常数。

令xa得F(a)-(a)=C，且(a)=

aaf(t)dt=0 即有C=F(a)，故F(x)=(x)+F(a)

 (x)=F(x)-F(a)=f(t)dt

ax令xb，有f(x)dxF(b)F(a)

ab此处并不要求学生理解证明的过程

为了方便起见，还常用F(x)|ba表示F(b)F(a)，即

baf(x)dxF(x)|baF(b)F(a)

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度a=1.8米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？

2321000米

3600/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为v(t)=v0at=8.88-1.8t当汽车停住时,速度v(t)=0,故从8.884.93秒 v(t)=8.88-1.8t=0解得t=1.8解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度v0=32公里/小时=于是在这段时间内,汽车所走过的距离是

s4.930v(t)dt4.9301(8.881.8t)dt=(8.881.8t2)21.90米,即在刹车后,汽车需走过

6.空间向量基本定理教案 篇六

1.教学目标

1、能说出微积分基本定理。

2、能运用微积分基本定理计算简单的定积分。

3、能掌握微积分基本定理的应用。

4、会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分。

2.教学重点/难点

教学重点：

通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

教学难点：

微积分基本定理以及利用定理求复合函数定积分的计算。

3.教学用具

多媒体、板书

4.标签

教学过程

一、复习引入

【师】同学们，我们来复习一下上节课的内容，请同学们回答以下几个问题: 1.我们如何确定曲线上一点处切线的斜率呢？ 2.如何求曲线下方的面积？

3.用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程是什么呢？ 求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 【板书】 用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：

二、新知介绍 【1】微积分基本定理

【师】同学们刚刚接触到积分，那么大家通过阅读课本来找出什么是微积分基本定理呢？

【生】讨论回答 【师】

【板书】

【板演/PPT】

例1：计算下列定积分？

【师】同学们在练习本上先试着算一下，看看能不能计算出这两个定积分的值？ 【生】思考讨论

【师】请大家注意，一定要按照定积分基本定理来做呢？（然后，演板）

2、知识探究

（1）微积分基本定理求定积分的一种基本方法，其关键是求出被积函数的原函数，特别注意

（2）求定积分时要注意积分变量，有时在被积函数中含有参数，但它不一定是积分变量。

（3）定积分的值可以是任意实数。例2：计算定积分

【师】同学们根据向量基本定理然后仔细的想一下，计算出结果 【生】思考讨论

【师】请大家注意，一定要按照向量的定义来做哦。（然后，演板）

3、分段函数与复合函数 【师】

（1）当被积函数是分段函数或绝对值函数时，该如何处理呢？（2）当被积函数是复合函数【生】讨论回答

【师】大家仔细阅读课本，找出相关的思路方法。【板演/PPT】 例3：计算下列定积分

应如何积分？

【师】同学们认真仔细的计算上面三个定积分的值 【生】思考讨论演算 【师】请大家注意，一定要按照定积分的基本定理来计算哦。（然后，提问）

4、知识探究

（1）在求定积分时，会遇到被积函数是分段函数或绝对值函数的情况，这时我们就要根据不同的情况把分段函数在区间(a,b)上的积分分成败仗积分和的形式。

分段的标准是：使每段上的函数表达式确定，按照原来函数分段的情况分即可。（2）当被积函数的原函数是一个复合函数时，要特别注意原函数的求解与复合函数的求导区分开来。

5、微积分基本定理的应用

解决定积分中含参数的问题，要以积分为媒介结合积分的计算，列出方程组或函数关系式，然后通过解方程组或利用函数性质来解决。

【板书/PPT】 例4：

【师】同学们仔细思考 【生】思考讨论

【师】请大家注意，认真找出答案。（然后，提问）

三、复习总结和作业布置 课堂练习

计算下列各定积分的值：

课堂练习【参考答案】

课堂小结

【师】刚才我们讲了微积分基本定理，以及利用微积分定理来进行简单的定积分计算，大家一定要认真的练习今天所学习的东西。

课后习题

1、复习本节课所讲内容

2、预习下一节课内容

板书

1、复习本节课所讲内容

2、预习下一节课内容

2.求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法

二、微积分基本定理

三、注意问题

分段函数与复合函数求积分时注意事项。

7.用向量证明正弦定理 篇七

由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出)

在向量等式两边同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步骤

1记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

3用向量叉乘表示面积则s=CB叉乘CA=AC叉乘AB

=>absinC=bcsinA(这部可以直接出来哈哈，不过为了符合向量的做法)

=>a/sinA=c/sinC

2011-7-1817:16jinren92|三级

8.向量证明正弦定理 篇八

向量证明正弦定理

表述：设三面角∠P-ABC的三个面角∠BPC，∠CPA，∠APB所对的二面角依次为∠PA，∠PB，∠PC，则 Sin∠PA/Sin∠BPC=Sin∠PB/Sin∠CPA=Sin∠PC/Sin∠APB。

目录

1证明2全向量证明

证明

过A做OA⊥平面BPC于O。过O分别做OM⊥BP于M与ON⊥PC于N。连结AM、AN。 显然，∠PB=∠AMO，Sin∠PB=AO/AM;∠PC=∠ANO，Sin∠PC=AO/AN。 另外，Sin∠CPA=AN/AP，Sin∠APB=AM/AP。 则Sin∠PB/Sin∠CPA=AO×AP/(AM×AN)=Sin∠PC/Sin∠APB。 同理可证Sin∠PA/Sin∠BPC=Sin∠PB/Sin∠CPA。即可得证三面角正弦定理。

全向量证明

如图1，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°-A，j与向量CB的夹角为90°-C

由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出)

在向量等式两边同乘向量j,得・

j・AC+CB=j・AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步骤1

记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i・a+i・b+i・c

=a・cos(180-(C-90))+b・0+c・cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.

在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a・sinB

CH=b・sinA

∴a・sinB=b・sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤3.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D. 连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

3

用向量叉乘表示面积则 s = CB 叉乘 CA = AC 叉乘 AB

=>absinC = bcsinA (这部可以直接出来哈哈，不过为了符合向量的做法)

=>a/sinA = c/sinC

2011-7-18 17:16 jinren92 | 三级

记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,接着得到正弦定理 其他步骤2. 在锐角△ABC中，证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 任意三角形ABC,

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