初中数学教材中的数学思想

初中数学教材中的数学思想（精选7篇）

1.初中数学教材中的数学思想 篇一

一、初中数学中的数学思想和数学方法分析

初中数学中的数学思想和数学方法主要有以下几种：

(一)数形结合思想

数形结合思想是初中数学最基本、最重要的思想之一，对数学问题的解决有重要的作用。在初中数学教材中，以下内容体现了数形结合思想。一是数轴上所有的点和实数之间是一一对应关系。二是平面上所有的点和有序实数是一一对应关系。三是函数式和图像的关系。四是线段的和、分、倍、差问题。五是在三角形求解时，在边长和角度计算中，引入了三角函数，以代数方法解决三角形求解问题。六是在“圆”章节中，圆的定义，圆的位置关系，圆与点的关系都是通过数量关系进行处理的。七是在统计中，统计的第二种方法和是通过绘制统计的图表来处理，通过图表能够反映出数据情况和发展趋势。

(二)类比思想

在初中数学中，类比思想的应用也比较普遍。但两个数学系统元素的属性相同或是相似时，可以采用相同或者相似的思维模式。主要表现在以下几个方面：一是不等式。二是二次根加减运算。三是角的比较，角平分线，角的度量可以与线段知识进行类比分析。四是相似三角形与相似多边形。

(三)整体思想

整体思想主要运用于图形解答中，将图形作为一个整体，对已知条件和所求结果之间的关系进行分析，从通过有意识、有目的的整体处理来解答问题。整体思想能够避免局部思考的困惑，简化问题。

(四)分类讨论思想

在数学问题解答过程中，由于解答对象属性的差异，导致研究问题结果会有很大不同，这就需要对解答对象的属性进行分类分析，在研究过程中，如果出现了不同的.情况，也应该将其独立出来进行分析。通过分类讨论思想，能够化繁为简，让事物的本质能够显现出来，这样能够方便问题的解决。在综合题目解答时，通过已知条件，对图形变化情况进行分析，找出解决问题的方法，在几种方法的对比分析中，归纳出正确答案。

(五)化归思想

化归思想是一种比较常见的数学思想，通过转化过程将未解决的为题转化为已解决的问题，将复杂为题转化为简单问题，将陌生问题转化为熟悉问题。化归思想在初中数学中的应用范围非常广泛，尤其是在综合题解答时，题目所给出的已知条件比较分散，很难找出简单的解题方法，这时就可以采用化归思想，对题目中的已知条件进行分析，在转化过程中缩短与结论的距离，这样能方便找出解题的方法。化归思想主要体现在以下几个方面：一是在求解分式方程时，可以将分式方程和转化成一元二次方程进行解答。二是在直角三角形解题中，可以将非直角三角形转化成直角三角形进行解答。三是在多边形或者三角形面积或线段解答时，可以将其转化为相似比问题进行解答。

二、在初中数学教学中，数学思想和数学思维渗透的方法

(一)抓住渗透契机，及时引导学生

初中学生的数学知识还比较频发，其抽象思维能力、空间想象能力较差，在数学方法、数学思维独立出来进行学习还比较困难。这就需要教师在教学过程中，抓住数学思维和数学方法在课堂教学的渗透契机，重视数学公式、法则、定理、概念的形成发展过程，让学生在学习过程中能够开拓思维，在数学思想和数学思维的领悟过程中，解决具体的数学问题。在数学思想、数学方法渗透过程中，教师应精心设计，在潜移默化中引导学生发现各种数学思想和方法。以二次不等式为例，在解答二次不等式问题时，可以结合二次函数的图像来帮助学生记忆和理解，总结归纳出了二次不等式的解集应为“两根之外”“两根之间”两种。通过数形结合思想，不仅有利于二次不等式的学习，还能巩固二次函数的知识，完成新旧知识之间的过渡。在概念、定理、法则、公式等数学结论导出的过程中，教师应创设必要的问题情境，为学生提供各种感知材料，让学生明白数学结论的产生发展过程，在这一过程中，还能通过观察、归纳、类比、检验、假设、尝试等方法完成数学思想、数学方法渗透的过程。

(二)分阶段分层次组织教学

(1)分阶段组织教学。主要分为孕育阶段和形成阶段。在孕育阶段，数学思想和数学知识的渗透主要基于数学内容的组成结构。从数学教学内容来看，一般是由两条线索组成的。因此，在数学学习中，应特别重视知识的积累，教师应积极引导学生寻找数学知识中包含的数学思想和数学方法，在横向联系中感受到数学的魅力。以一元一次方程为例，学生在解答此类问题时，一般只注重解题步骤，而忽视了解题的思想。通过变形处理，将方程转化成ax=b(a≠0)。由于学生对化归思想不了解，导致方程训练的目标并不理想。在形成阶段，指的是学生对数学知识有了一定的了解和掌握，能够逐步形成数学思想和数学方法，并有意识地将数学思想和数学方法运用到解题中去。在这个阶段，教师应有意识地引导学生总结、概括性的数学知识，引导学生发现数学知识隐藏的数学思想和数学方法。以二元一次方程组为例，在该章节中，化归思想的应用比较普遍，将二元方程组转化成一元方程来解答。在教学过程中，教师可以列举一个实例，学生通过一元一次方程能够解答这个问题，再要求学生以二元一次方程组进行解答，通过对比发现，通过消元处理，能够让学生认识到化归思想的精妙之处。

(2)分层次组织教学。在初中数学教学中，教师应熟悉数学教材，挖掘数学思想和数学方法，对这些知识进行认真研究。再根据学生的认知能力、知识掌握程度、理解能力和年级差异进行由易到难、由浅入深贯彻数学思想、数学方法。数学学习是通过课堂教学、复习巩固和练习题的过程完成的。因此，数学思想、数学方法需要长期的数学学习才能形成。同时，在数学学习中，应重视对旧知识的巩固，形成一个完整的数学体系。如在一次函数的学习中，可以采用乘法公式进行类推处理。在二次函数学习时，可以将一元二次方程结合起来，在重复性学习中，让学生真正理解和掌握数学思想和数学方法。

三、总结

随着新课程标准的推行，初中数学的教学理念和教学方法发生了很大变化。在教学过程中，如果只注重数学知识的传授，而忽视了数学思想、数学方法的教学，对学生数学学习会产生不利影响。数学是一门抽象性、概括性较强的学科，数学知识的学习很难让学生系统性地掌握数学学科的全部内容，学生的学习也仅停留在知识学习的表面。而忽视知识的学习会导致数学教学流于形式，因此，在数学教学中，应将数学思想、数学方法与数学知识的教学活动有机结合起来，才能提高数学教学的效果，实现素质教育的人才培养目标。

参考文献：

[1]高海霞.浅谈数学思想和数学方法的教学[J].教育实践与研究：中学版(B)，，(17)：64-64

[2]曾锦华.初中数学教学中数学思想和方法训练探析[J].成才之路，2011，(35)：39-39

[3]蓝国坚.浅谈在初中数学中渗透数学思想和数学方法[J].中国科教创新导刊，，(27)：61-62

[4]张建梅.浅析数学思想和方法在初中教学中的重要性[J].商情，，(42)：92

[5]闫波.小议初中数学教学中的数学方法和数学思想[J].文理导航(中旬)，2012，(12)

[6]张自力.初中数学教学中如何渗透数学思想和数学方法[J].理科爱好者(教育教学版)，2010，02(2)：136

2.初中数学教材中的数学思想 篇二

首先要尊重教材, 教材的编写是经过从理论到实践的多重思考与验证的, 凝聚专家学者的经验与智慧.教材中有许许多多现成的例题, 它们能很好地体现教学目标, 促进学生的数学学习.对于这类例题, 不能简单地模仿、记忆, 追求解题的难度和技巧, 应着重让学生体会例题蕴含的数学基本思想和方法, 与本节课教学目标之间的内在联系.不仅要让学生知其然, 还要知其所以然.

其次, 有些例题的背景比较抽象, 缺乏生活气息, 如果将例题进行适当的“开发”, 改编成与学生密切相关的生活情境, 不仅可以激发学生的参与热情, 还能发挥学生的创新意识和创造能力.处理后的例题是根据教学的目标任务、教材内容以及学生的实际情况、运用恰当的教学方法与教学策略进行优化整合的新教材.只有这样经过优化整合的教材, 才能使它有效地内化为学生的知识、能力与观念.例题的再次“开发”, 往往能促使学生的学习由“重结论轻过程”转向“过程与结论并重”的方向发展, 从而使学生达到“举一反三”的效果.以下是我在例题“开发”方面做的一些尝试:

一、改变教学方法与教学策略

在平时的教学中不但要积累成功的经验, 还要总结失败的教训, 并以此为鉴, 才能使自己的教育教学水平得到提高.有时即使不改变例题而改变教学方法与教学策略, 也能使我们的课堂教学起到事半功倍的效果.

二、利用学生的典型错误, 分析例题考查知识和技能, 自我设计同类问题

在先学后教模式下, 学生自主学习的过程中, 在自我的认知和理解的基础上完成相应的例题和习题, 学生往往会出现一些典型错误.引导学生分析错误产生的原因, 运用相应知识可能存在的问题, 要求学生自我设计同类题目, 加深了对这类问题的认识和理解.长此以往学生就会觉得得心应手, 提高了自主学习的能力, 增加自信心, 自然也就提高了课堂教学效果.

三、改变题目的背景

有时为了激发学生的学习兴趣, 活跃课堂气氛, 不要忽视了课堂情感的投入, 在上课时可以对题目的背景进行适当更改.教师有意识地进行题目背景的更换, 使知识溶入在不同的背景中, 选择的背景是学生熟悉的事物和情境, 这会让数学教学因贴近生活而变得更加可亲.如“数据集中趋势”中的例题, 过于陈旧, 缺乏典型性.2008年北京奥运会射击比赛中埃蒙斯的真实案例, 最后一枪射到邻座的枪靶上, 第10发成绩为0, 如何评价这位运动员的射击水平?情境真实, 离学生生活很近, 例题的改编激发了学生的学习兴趣, 收到了良好的教学效果.

四、拓展例题的知识范围, 触类旁通, 举一反三

有的例题仅仅针对一个知识点, 解决一个问题, 但在实际教学时有时可能会根据实际情况, 需要“借题发挥”, 对例题的知识范围进行拓展.例如, 在学习方程、不等式和函数知识时, 如何理解三者之间的关系, 可以结合具体的例题, 配合图像让学生理解函数的对应的本质, 函数是整个过程中的对应, 不等式是某个范围内的对应, 而方程式是某个瞬间的对应, 加深学生对三者之间的关系的理解.

最后, 注重题后反思, 积累经验, 总结规律.叶圣陶先生说过:“什么是教育?简单地说教育就是培养习惯.”然而, 教师常常把例题解答完就了事, 不对例题进一步挖掘, 题后不引导学生对例题题型、思想方法、表述等进行反思, 学生得不到解题反思的熏陶, 没有题后反思的意识, 无法养成题后反思的习惯.

所以例题教学的解后反思应该成为例题教学的一个重要内容.可以从以下两个方面进行尝试:

1.在解题的方法规律处反思

善于作解题后的反思、方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩, 再进一步作一题多变, 一题多问, 一题多解, 挖掘例题的深度和广度, 扩大例题的辐射面, 无疑对能力的提高和思维的发展是大有裨益的.通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生形成思维定式, 而又打破思维定式;有利于培养思维的变通性和灵活性.

2.在学生易错处反思

学生的知识背景、思维方式、情感体验往往和成人不同, 而其表达方式可能又不准确, 这就难免有“错”.例题教学若能从此切入, 进行解后反思, 则往往能找到“病根”, 进而对症下药, 常能收到事半功倍的效果!如果我们的例题教学能抓住这一契机, 并就此展开讨论、反思, 无疑比讲十道、百道乃至更多的例题来巩固法则要好得多, 而这一点恰恰容易被我们所忽视.

3.初中数学教材中的数学思想 篇三

在初中新教材中所包涵的数学思想概括起来主要有：（1）合理的三维空间思想；（2）数形结合思想；（3）用字母表示数；（4）分类思想；（5）方程思想：（6）化归思想；（7）概率统计思想。下面我将对新教材（北师大版）中的几种数学思想及其教学谈谈我粗浅的想法和体会。

1）合理的三维空间思想

七年级数学教材（北师大版）的第一章就是《丰富的图形世界》，作为衔接小学数学与初中数学的内容，与原来的教科书不同。这样安排，显然拉近了数学衙学生的距离，消除学生刚踏入初中时学习第一节数学课所产生的陌生和恐惧感。实际的图形给同学们“看得见，摸得着”的感觉，但要从其中抽象出具体的数学模型，就得让学生通过不断的观察，在展开与折叠、切截等数学活动过程中，认识常见的基本几何体及点、线、面和一些简单的平面图形等，形成一定的空间思想。同时，通过安排对某些几何体主视图、俯视力并左视图的认识，在平面图形和几何体的转换中发展学生的空间观念，提高学生的空间思维能力。

在我的实际教学中， 我充分调动学生的个人思想和主观能动性，给予足够的空间和时间，通过每个学生自己的动手操作去体会教材所安排的内容，同时去发现新的问题。譬如在“面动成体”这一知识点上，在实际生活中很难找到相关实例，在上该课的前一节我就让学生去观察生活中的例子，在课堂上，我让学生充分讨论，学生就找到了“某此高档宾馆的旋转大门，面动起来就成为圆柱体”“校门口的自动门，将截面理想化为长方形，那么运动起来就是长方体”等等。这样，学生接受知识的同时，也提高了自主学习的能力。

2）用字母表示数的思想

用字母表示数是由特殊到一般的抽象，是中学数学中重要的代数方法。七年级新教材第三章《字母表示数》中的“摆火些棒”的实验中，就蕴含着用字母表示数的思想。如果能先让学生在具体的实验中计算一些具体的数值，启发学生归纳出用字母表示数的思想，认识到字母表示数具有问题的一般性，就便于问题的研究和解决，由些产生从算术到代数的认识飞跃。学生领会了用字母表示数的思想。就可以顺得地进行以下内容的教学：（1）（用字母表示问题（代数式概念，列代数式）；（2）用字母表示规律（运算定律，计算公式，认识数式通性的思想）；（3）用字母表示数来解题（适应字母式问题的能力）。 因此，用字母表示数的思想，对指导学生学好代数入门知识能起关键作用，并为后续的代数奠定了基础理论。

在教学中，学生以“摆火些棒”的实验归纳起来还有点困难，我就将数据多罗列一些，让他们观察，这样就容易得多；同时，我在对某些小节的处理上也打破常规，譬如：对“合并同类项”第二课时的教学中，老师都觉得时间紧，如：“3x+9x=”、“2XY2+3XY2=”等等，学生很容易就能够按照引例算出正确答案，再给一个“2a2+3a2= ”，问学生“能计算吗？”“结果呢？”学生就会算出很多不一样的结果，让学生讨论后，再给出同类项，合并同类项的定义，然后实践训练，效果就很好。

3）概率统计思想

在七年级新教材出现《可能性》，这是新教材中新增的内容，从学生装喜闻乐见的摸球游戏开始，通过实验，使学生体验有些事件发生的不确定性，并通过实例丰富对不确定事件的认识。在教学过程中，要适当渗透概率思想，使学生体会利彩票中奖率”，“玩转盘”，“转硬币”等等，并对事件发生的可能性有较为深刻的认识。通过“转盘游戏”，让学生进一步体会事件发生的概率统计打下坚实的基础。

4）数形结合思想

数形结合思想是把代数上“数”（代数式或变量之间的数理关系）与几何上的“形”（曲线或区域）结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思想。是人们一种普通思维习惯在数学上的具体表现。

5）数形结合思想是一种数学意只，具备较强的这种数学意识，便具备了较水深的数学素养和较强的数学能力。

6）数形结合是认识数学、理解数学、掌握数学的重要方式，也是认识问题、解决问题的重要方法。

7）数形结合是一种有效的解题方法。

8）数形结合一般包括两个方 面，即：以“形”助“数”，以“数”解“形”。

9）数形结合的题型包括：利用数学表达式或数学概念的几何意义；应用函数的图象。例如：八年级（上）第六章一次函数由于在直角坐标系中，有序实数以（X，Y）与点P的一一对应，使函数与其图象的数形结合成为必然，一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提供了很大的帮助。教学时老师若注重了数形结合思想方法的渗透，将会收到事半功倍的效果。

八年级（下）第一章“一元一次不等式和了一元一次不等式组”，教学时，为了加深学生对不等式解集的理解，老师要适时地私心不等式的解集在数轴上表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。这里蕴藏着数形结合的思想性想方法。在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴表集，则比在数轴表示数又前过了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效。

5）函数与方程思想

函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化。例如八年级（上）第七章“二元一次方程组”中一节二元一次方程与一次函数图象求二一次方程组的近似解。

对于其他几种数学思想，限于篇同，这里就不作详尽叙述，所用的教学方法也应该根据学生的阶段导入概念型数学思想，如方程思想、相似思想、已和与末知互相转化的思想、特殊与一般互相转化的思想等等。在知识的结论、公式、法则等规律的推导阶段，要强调和灌输思维方法，如解方程的如何消元降次、函数的

数与形的转化、判定两个三角形相似有哪些常用思路等。在知识的总结阶段或新旧知识结合部分，要选配结构型的数学思想，如函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转出化，分类讨论思想体现了局部与整体的相互转出化。在所有数学建构及问题的处理方面，注意体现其根本思想，如运用同解原理解一元一次方程，应注意为简便而采取的移项法则。

4.数学思想在初中教学中的有效渗透 篇四

摘要：初中数学作为九年义务教育阶段的重要学科，也是培养学生数学素养不可缺少的一门课程。所以，在新课程改革下，数学教师要有意识地将有关的数学思想渗透到数学教学活动中，以帮助学生更好地理解相关的数学理论知识，同时，也为学生知识灵活应用能力的提高以及综合能力水平的大幅度提升做好保障工作。因此，在素质教育下，教师要有意识地将数学思想与教学有效地融合在一起，以为学生数学素养的形成做好基础性工作。

关键词：数学思想；初中数学；分类思想；对比思想；数形结合思想

在应试教育思想的影响下，我们并不注重数学思想的渗透，导致学生只是“死板硬套”地来解答试卷上的试题，严重阻碍了学生知识应有能力的提高及数学课程价值的最大化实现。所以，在初中数学教学过程中，我们要转变教育教学观念，从思想上认识到数学思想有效渗透的作用。因此，本文就从以下几个方面入手，对如何有效地将数学思想渗透到课堂活动中进行论述。

一、分类思想的渗透

分类讨论思想是一个重要的数学思想，也是学生解题过程中常用的一种方法。所以，在数学解题过程中，我们要有效地将数学分类讨论思想渗透其中，以确保解题的完整性，进而也有助于学生解题能力的大幅度提高。

例如：在解答“函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标。”这是一道简单的一元二次方程的试题，但是，学生受思维定式的影响，就会简单地认为，该函数“y=ax2-ax+3x+1”就是一元二次方程，而忽视了当a=0时，函数y=ax2-ax+3x+1变成了一元一次方程也是与x轴有一个交点，也是符合题意的。具体的解题过程如下：

解：当a=0时，函数变为一元一次方程，即：y=3x+1,交点为（-1/3,0）.当a0时，函数为一元二次方程，即：=b2-4ac=a2-10a+9=0,解得：a=1或9,交点为(-1,0)或(1/3,0)。

可见，分类讨论思想的渗透不仅能够完善学生的解题过程，培养学生严谨的数学思维，而且对提高学生的数学解题能力也起着非常重要的作用。但是，在渗透分类思想的过程中，我们需要提醒学生注意的是：在分类讨论的过程中，切记要有一定的分类原则，不能重复，也不能遗漏，这样才能保障解题的完成性，才能确保解题效率的大幅度提高。

二、对比思想的渗透

对比思想是发挥学生课堂主动性，提高学生学习效率的重要方面。所以，在，初中数学“相似三角形”时，我引导学生与“全等三角形”的相关知识进行对比，组织学生从概念、判定定理、性质等方面进行对比，如：判定定理中的异同，相同点：两者都可以用SSS、SAS、HL定理证明两三角形全等，又能证明两三角形相似。不同点：相似三角形的判定可以通过判断两三角形中任意两角相等，两三角形三角边对应平行，则两三角形相似，全等三角形中可以通过ASA、AAS等判定定理进行证明，这样的对比不仅能够加强学生的理解，提高学生的学习效率，同时，对对比思想的渗透以及高效数学课堂的顺利实现也有着密切的联系。

当然，除此之外，我们还可以将对比思想渗透到数学习题练习中，比如，在一题多变中渗透对比思想，引导学生思考、分析题目与题目之间的差异，分析这些“类似”的题型所考查的知识点、所运用的解题思路、解题方法等方面的不同，这样才能不断提高学生的解题准确率，而且对学生自主学习能力的锻炼，对学生课堂主体的凸显也有着密切的联系，进而为学生数学综合素养的形成做好基础性工作。

三、数形结合思想的渗透

所谓数形结合思想是指将代数式与几何图形结合在一起，以帮助学生理解抽象的数学知识，同时对高数学课堂的顺利现也起着非常重要的作用，所以，在实际教学教学过程中，我们要有效地将数形结合思想渗透其中，以为高质量数学课堂的顺利实现做好保障人作。

例如：在教学“二次函数的方程和图象”的相关知识时，为了加深学生的印象，提高学生的学习效率，在授课时，我引导学生以5人为一小组进行学习，在每个小时内，每个人选择一种函数，比如：y=x2、y=2x2、y=x2=1、y=-x2并借助五点作图法将怕选择的函数类型制作成与之匹配的图象，这样不仅能够帮助学生轻松地理解相关的数学知识，还能帮助学生直观地掌握二次函数的相关性质，进而在大幅度提高数学效率的同时促进学生的发展。

总之，素质教育思想下，教师要更新教育教学观念，有效地将数学思想渗透到课堂活动中，以确保学生的轻松的环境中掌握基本的数学知识，同时也能确保学生高效的数学课堂中获得综合而全面的发展。

参考文献：

5.初中数学校本教材(完整版) 篇五

———— 《生活与数学》序言

一、把握数学的生活性——“使教学有生活味”

《数学课程标准》中指出：“数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息做出恰当的选择和判断，进而解决问题，直接为社会创造价值”。这说明数学来源于社会，同时也反作用于社会，社会生活与数学关系密切，它已经渗透到生活的每个方面，我们的衣食住行都离不开它。现代数学论认为：数学源于生活，又运用于生活，生活中充满数学，数学教育寓于生活实际。有意识地引导学生沟通生活中的具体问题与有关数学问题的联系，借助学生熟悉的生活实际中的具体事例，激发学生学习数学的求知欲，帮助学生更好的理解和掌握数学基础知识，并运用学到的数学知识去解决实际生活中的数学问题。

二、把握数学的美育性——“使教学有韵味”

数学家克莱因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。” 美作为现实的事物和现象，物质产品和精神产品、艺术作品等属性总和，具有：匀称性、比例性、和谐性、色彩变幻、鲜明性和新颖性。作为精神产品的数学就具有上述美的特点。

简练、精确是数学的美。数学的基本定理说法简约，却又涵盖真理，让人阅读简便却又印象深刻。数学语言是如此慎重的、有意的而且经常是精心设计的，凭借数学语言的严密性和简洁性，我们就可以表达和研究数学思想，这种简洁性有助于思维的效率。

数学很讲究它的逻辑美。数学的应用是被人们广泛认同的，可学习数学还能训练人的逻辑思维能力。尤其是几何的证明讲究前因后果，每一步都要前后呼应，抽象的数学也显示它模糊的美。抽象给我们想象的余地，让我们思维海阔天空，给学生留有了思索和创新的空间。抽象的数学不正展示它的魅力吗？

数学上有很多知识是和对称有关的。对称给人协调，平稳的感觉，像圆，正方体等，它们的形式是如此的匀称优美。正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才构成了美丽的图案，精美的建筑，巧夺天工的生活世界，也才给我们带来丰富的自然美，多彩的生活美。

中学数学的美育性，除了上述一些方面，还有其它美妙的地方，只要我们用心挖掘和捕捉，就会发现数学蕴涵着如此丰富的美的因素，教师要善于挖掘美的素材，在学生感受美的同时既提高教学质量，又使教学韵味深厚。

三、把握校本教材的可读性-------“使教学有拓展性”

陶行知先生早就说过：“在现状下，把学习的基本自由还给学生。”，经过我们反复的思考和研究，同时邀请专家亲临指点，最终我们确定本课程的基本框架，本课程的设计理念就是要“把学习的基本自由还给学生”，所有的过程基本上都是以学生的活动展开的，真正实现“自主、合作、探究”的学习方式的变革，本课程共分为六个章节，分别是：《古老的数学》，《好玩的数学》，《有用的数学》，《智慧的数学》，《先进的数学》和《美丽的数学》。

在《古老的数学》一章中，并不是把数学史作为一门研究数学的起源、发展过程和规律的学科，而是根据现代心理学发现的一个体现数学史的认知功能的“遗传法则”。从数学一次又一次的飞跃中寻找数学发现的故事，用故事的形式让学生了解这些数学知识产生的背景、体会数学家们为寻找这些知识的付出的艰辛。这样一方面可以让学生从本质上更好的理解自己所学的知识；另一方面也可以以此作为人生观与价值观教育的教材，让学生体会“只有付出努力才会获得成功的人生道理”，“为实现理想而不懈追求的数学精神”。

在《好玩的数学》一章中，利用心理学中“兴趣是学习最好的老师”的规律，以一系列数学游戏为载体，让学生感受到数学并不是“枯燥”的代名词，真正的数学其实可以是乐趣无穷的，以此来激发学生的学习兴趣，并以这种兴趣作为他以后学习数学的动力和源泉。这样一方面可以让学生主动意识到自己爱玩的游戏原来与数学紧密相连，从而为学生学好数学培养内在驱动力；另一方面，也可以在学生玩游戏的过程中帮助学生巩固看似乏味的知识，让学生的学科知识在游戏中得到锻炼和提升。

在《有用的数学》一章中，根据《数学课程标准》：义务教育阶段的数学课程要求“人人学有价值的数学”，设计了很多贴近学生、符合实际、利用学生现有知识能够解决的生活实例。这样做可以使学生深刻的感受到生活中处处存在着数学，数学来源于生活。这些在生活中经常碰到的数学问题需要我们去探究，学生通过对这些数学问题的解决，能够更具体更深刻的理解什么是数学，知道学习和学好数学是很有用的，从而进一步培养学生学习数学的兴趣、增强学生学好数学的内在驱动力。

在《智慧的数学》一章中，通过穿插一些有趣的数学小故事,以改变人们认为科学研究枯燥无味的看法。本章内容主要包括有趣的数学问题、经 典的数学问题、奇怪的数学问题。通过对“有趣的数学问题”的研究，使学生对数学中的存在的智慧产生强烈的好奇与追求，从而激发学生天生的求知欲；通过对“经典的数学问题”的研究使学生掌握一些基本的数学方法，学会用数学的方法解决问题；通过对“奇怪的数学问题”的研究，帮助学生开阔眼界，增长知识、锻炼和培养学生的创新思维。

在《先进的数学》一章中，主要学习和研究数学软件“几何画板”的使用方法。通过对几何画板软件的学习，可以激发学生的学习兴趣，拓宽学生的知识面，改变学生“数学枯燥论”和“数学无用论”的观点；可以开发学生的学习潜能，培养学生的学习习惯，改变学生的学习方式，从而实现提高学生数学素养的目的；另外，通过对几何画板软件的学习，可为学生学习其他计算机软件打下了一个结实的基础，从而提高学生的电脑素养，为学生终身发展和可持续发展做出数学教育上的贡献。

在《美丽的数学》一章中，展示给大家的是数学的美丽无所不在，数学的符号、公式、算法、图形、表格、方程、解题思路、解题方法„„都是很美丽的。这些“数学之美”都需要我们能够和我们的学生一起去寻找、去发现、去挖掘、去欣赏，使美丽的数学成为学生快乐学习的源泉。数学的美丽使我们深刻感受到数学的教育不应该仅仅是作为对数学学科的教学，更应该把它作为一种审美教育的载体，用它来感染和启迪学生的心灵，让学生的人格更健全，心灵更美好。

开发校本课程要有高度的责任感、使命感和强烈的事业心，决不能仅仅凭着自己的兴趣，更重要的是要把它作为自己的事业来做，要付出艰辛的努力、经历痛苦的历程，只有付出艰辛的努力、经历痛苦的历程才能在这个过程中感受成功的喜悦与幸福。

开发校本课程，首先要有一个追求（对我们国家的教育事业无比热爱，功利心不能太强，不要一说到数学研究就问这件事情对我职称评审有没有用，对我评骨干教师有没有用„„），要确定一个核心思想（即开发的核心宗旨、研究方向、基本要求），要充分利用校内外各类资源，要不断地进行课程资源的积累和课程特色的培育；校本课程的规划要根据学生的课程需要来制订；要选择贴近时代特点、社会发展与学生实际的课程内容，要变革教学方式和学习方式，充分发挥师生的独立性、自主性和创造性，引导学生在身心愉悦的环境中实践和研究。

校本课程的开发和建设是一个漫长的道路，需要我们时时刻刻做一个有心人，心中时时刻刻装着为学生的终身发展和可持续发展考虑，装着为我们数学教学向数学教育转变服务的理想和追求。

编者按

2011年8月

第一章

兴趣数学

第一节

七桥问题（一笔画问题）

18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。

七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注。他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线 只画一次不准重复），并且最后返回起点？

欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形。这就是说，七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢？

如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。如果画笔经过一个n次，那 么就有2n条线与该点相连结。因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。

如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。

综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。

图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。

欧拉定理 ：

如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。

一笔画：

■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)

练习：你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。（不走重复线路）图例1

图例2

图例3

图例4

第二节

四色问题

人人都熟悉地图，可是绘制一张普通的政区图，至少需要几种颜色，才能把相邻的政区或区域通过不同的颜色区分开来，就未必是一个简单的问题了。

这个地图着色问题，是一个著名的数学难题。大家不妨用一张中国政区图来试一试，无论从哪里开始着色，至少都要用上四种颜色，才能把所有省份都区别开来。所以，很早的时候就有数学家猜想：“任何地图的着色，只需四种颜色就足够了。”这就是“四色问题”这个名称的由来。

四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。

四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”（上右图）。

这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

数学史上正式提出“四色问题”的时间是在1852年。当时伦敦的大学的一名学生法朗西斯向他的老师、著名数学家、伦敦大学数学教授莫根提出了这个问题，可是莫根无法解答，求助于其它数学家，也没有得到答案。于是从那时起，这个问题便成为数学界的一个“悬案”。

一直到二十年前的1976年9月，《美国数学会通告》正式宣布了一件震撼全球数学界的消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了“四色问题”这个猜想是完全正确的！他们将普通地图的四色问题转化为2000个特殊图的四色问题，然后在电子计算机上计算了足足1200个小时，作了100亿判断，最后成功地证明了四色问题，轰动了世界。

这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决。

第三节

麦比乌斯带

数学上流传着这样一个故事：有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢？

对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，德国的数学家麦比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验，也毫无结果。

有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。

一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主地蹲下去，摆弄着、观察着。叶子弯曲着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圆圈。

麦比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180°，再将一端的正面和背面粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿。

圆圈做成后，麦比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。麦比乌斯激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。” 麦比乌斯圈就这样被发现了。

做几个简单的实验，就会发现“麦比乌斯圈”有许多让我们感到惊奇而有趣的结果。弄好一个圈,粘好,绕一圈后可以发现,另一个面的入口被堵住了,原理就是这样啊.实验一

如果在裁好的一张纸条正中间画一条线，粘成“麦比乌斯圈”，再沿线剪开，把这个圈一分为二，照理应得到两个圈儿，奇怪的是，剪开后竟是一个大圈儿。实验二

如果在纸条上划两条线，把纸条三等分，再粘成“麦比乌斯圈”，用剪刀沿画线剪开，剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点，猜一猜，剪开后的结果是什么，是一个大圈？还是三个圈儿？都不是。它究竟是什么呢？你自己动手做这个实验就知道了。你就会惊奇地发现，纸带不一分为二，一大一小的相扣环。

有趣的是：新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起。我们可以把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了！得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。

奇妙之处有三：

一、麦比乌斯环只存在一个面。

二、如果沿着麦比乌斯环的中间剪开，将会形成一个比原来的麦比乌斯环空间大一倍的、具有正反两个面的环（在本文中将之编号为：环0），而不是形成两个麦比乌斯环或两个其它形式的环。

三、如果再沿着环0的中间剪开，将会形成两个与环0空间一样的、具有正反两个面的环，且这两个环是相互套在一起的（在本文中将之编号为：环1和环2），从此以后再沿着环1和环2以及因沿着环1和环2中间剪开所生成的所有环的中间剪开，都将会形成两个与环0空间一样的、具有正反两个面的环，永无止境……且所生成的所有的环都将套在一起，永远无法分开、永远也不可能与其它的环不发生联系而独立存在。

数学中有一个重要分支叫拓扑学，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的，麦比乌斯圈变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。

麦比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。运 用麦比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道路，避免车辆行人的拥堵。

一、1979年，美国著名轮胎公司百路驰创造性地把传送带制成麦比乌斯圈形状，这样一来，整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了普通传送带单面受损的情况，使得其寿命延长了整整一倍。

二、针式打印机靠打印针击打色带在纸上留下一个一个的墨点，为充分利用色带的全部表面，色带也常被设计成麦比乌斯圈。

三、在美国匹兹堡著名肯尼森林游乐园里，就有一部“加强版”的云霄飞车——它的轨道是一个麦比乌斯圈。乘客在轨道的两面上飞驰。

四、麦比乌斯圈循环往复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义，因此常被用于各类标志设计。微处理器厂商Power Architecture的商标就是一条麦比乌斯圈，甚至垃圾回收标志也是由麦比乌斯圈变化而来。

垃圾回收标志

Power Architecture 标志

第四节

分割图形

分割图形是使我们的头脑灵活，增强观察能力的一种有趣的游戏。我们先来看一个简单的分割图形的题目──分割正方形。在正方形内用4条线段作“井”字形分割，可以把正方形分 成大小相等的9块，这种图形我们常称为九宫格。

用4条线段还可以把一个正方形分成10块，只是和九宫格不同的是，每块的大小不一定都相等。那么，怎样才能用4条线段把正方形分成10块呢？请你先动脑筋想想，在动脑的同时还要动手画一画

其实，正方形是不难分割成10块的，下面就是其中两种分割方法。

练习：想一想，用4条线段能将正方形分成11块吗？应该怎样分？

第五节

数学故事

（1）奇特的墓志铭

在大数学家阿基米德的墓碑上，镌刻着一个有趣的几 何图形：一个圆球镶嵌在一个圆柱内。相传，它是阿基米 德生前最为欣赏的一个定理。

在数学家鲁道夫的墓碑上，则镌刻着圆周率π的35位 数值。这个数值被叫做。”鲁道夫数”。它是鲁道夫毕生心血 的结晶。

大数学家高斯曾经表示，在他去世以后，希望人们在他 的墓碑上刻上一个正17边形。因为他是在完成了正17边形 的尺规作图后，才决定献身于数学研究的……

不过，最奇特的墓志铭，却是属于古希腊数学家丢番 图的。他的墓碑上刻着一道谜语般的数学题： “过路人，这座石墓里安葬着丢番图。他生命的1／6 是幸福的童年，生命的1／12是青少年时期。又过了生命 的 1／ 7他才结婚。婚后 5年有了一个孩子，孩子活到他 父亲一半的年纪便死去了。孩子死后，丢番图在深深的悲 哀中又活了4年，也结束了尘世生涯。过路人，你知道丢 番图的年纪吗？” 丢番图的年纪究竟有多大呢？

设他活了X岁，依题意可列出方程。这样，要知道丢番图的年纪，只要解出这个方程就行了。

这段墓志铭写得太妙了。谁想知道丢番图的年纪，谁 就得解一个一元一次方程；而这又正好提醒前来瞻仰的人 们，不要忘记了丢番图献身的事业。

在丢番图之前，古希腊数学家习惯用几何的观点看待 遇到的所有数学问题，而丢番图则不然，他是古希腊第一 个大代数学家，喜欢用代数的方法来解决问题。现代解方程的基本步骤，如移项、合并同类项、，方程两边乘以同一因子等等，丢番图都已知道了。他尤其擅长解答不定方 程，发明了许多巧妙的方法，被西方数学家誉为这门数学 分支的开山鼻祖。

丢番图也是古希腊最后一个大数学家。遗憾的是，关 于他的生平。后人几乎一无所知，既不知道他生于何地，也不知道他卒于何时。幸亏有了这段奇特的墓志铭，才知 道他曾享有84岁的高龄。

（2）希腊十字架问题

图上那只巨大的复活节彩蛋上有一个希腊十字架，从它引发出许多切割问题，下面是其中的三个。

(a)将十字架图形分成四块，用它们拼成一个正方形;

有无限多种办法把一个希腊十字架分成四块，再把它们拼成一个正方形，下图给出了其中的一个解法。奇妙的是，任何两条切割直线，只要与图上的直线分别平行，也可取得同样的结果，分成的四块东西总是能拼出一个正方形。

(b)将十字架图形分成三块，用它们拼成一个菱形;(c)将十字架图形分成三块，用它们拼成一个矩形，要求其 长是宽的两倍。

第二章

最完美的数

完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯(Pythagoras)的信徒发现的,他们注意到: 数6有一个特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和: 6=1+2+3，下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14 接着是496和8128.他们称这类数为完美数.欧几里德在大约公元前350-300年间证明了: 若2n-1是素数,则数 2n-1[2n-1](1)是完全数.两千年后,欧拉证明每个偶完全数都具有这种形式.这就在完全数与梅森数(形式为2n1的素数)之间建立了紧密的联系,到1999

年6月1日为止,共发现了38个梅森素数,这就是说已发现了38个完全数.1：完全数是非常奇特的数,它们有一些特殊性质,例如每个完全数都是三角形数,即都能写成n(n+1)/2.6=1+2+3=3*4/2 28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2 496=1+2+3+4+...+31=31*32/2....2(2-1)=1+2+3+...+(2-1)=(2-1)2/2 n-1n

n

n

n2：把它们(6除外)的各位数字相加,直到变成一位数,那么这个一位数一定是1;它们都是连续奇数的立方和(6除外), 22(23-1)=28=13+33 2(2-1)=496=1+3+5+7

2(2-1)=8128=1+3+5+7+9+11+13+1

5....2n-1(2n-1)=13+33+53+...+(2(n+1)/2-1)3

3：除了因子1之外,每个完全数的所有因子(包括自身)的倒数和等于1,比如: 67

3453

31/2+1/3+1/6=1 1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1....4：完全数都是以6或8结尾的,如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾.注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数,如果真的存在奇完全数.第三章

有理数的巧算

有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．

1．括号的使用

在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．

例1 计算：

分析 中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．

注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．

例2 计算下式的值：

211×555+445×789+555×789+211×445．

分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．

解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)

=211×(555+445)+(445+555)×789

=211×1000+1000×789

=1000×(211+789)

=1 000 000．

说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．

例3 在数1，2，3，„，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？

分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，„，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，„，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．

现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然

n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．

这启发我们将1，2，3，„，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即

(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+„+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1． 所以，所求最小非负数是1．

说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．

2．用字母表示数

我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4 =1002-22．

这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．

于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①

这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．

例4 计算 3001×2999的值．

解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．

例5 计算 103×97×10 009的值．

解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．

例6 计算：

分析与解 直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得 n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．

例7 计算：

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．

分析 式子中2，22，24，„每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．

解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=„„

=(232-1)(232+1)=264-1．

例8 计算：

分析 在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．

这个公式也可以反着使用，即 a2-b2=(a+b)(a-b)．

本题就是一个例子．

通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．

例9计算：

我们用一个字母表示它以简化计算．

． 观察算式找规律

例10 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．

87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．

分析与解 若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为

90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)

+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)

+2+5+(-2)

=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．

例11 计算1+3+5+7+„+1997+1999的值．

分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．

解 用字母S表示所求算式，即 S=1+3+5+„+1997+1999． ①

再将S各项倒过来写为 S=1999+1997+1995+„+3+1． ②

将①，②两式左右分别相加，得

2S=(1+1999)+(3+1997)+„+(1997+3)+(1999+1)

=2000+2000+„+2000+2000(1000个2000)

=2000×1000．

从而有 S=1000 000．

说明 一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=„=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．

例13 计算 1+5+52+53+„+599+5100的值．

分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．

解 设

S=1+5+52+„+599+5100，①

所以

5S=5+52+53+„+5100+5101． ②

②—①得 4S=5101-1，说明 如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．

例14 计算：

分析 一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式

来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．

解 由于

所以

说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．

练习

1．计算下列各式的值：

(1)-1+3-5+7-9+11-„-1997+1999；

(2)11+12-13-14+15+16-17-18+„+99+100；

(3)1991×1999-1990×2000；

(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；

(6)1+4+7+„+244；

2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．

81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．

第四章 归纳与发现

归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段．这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法．下面举几个例题，以见一般．

例1 如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)；第三层每边有三个点，„这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？

分析与解 我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数．

第一层有点数：1；

第二层有点数：1×6； 第三层有点数：2×6； 第四层有点数：3×6；

„„

第n层有点数：(n-1)×6.因此，这个点阵的第n层有点(n-1)×6个．n层共有点数为

例2 在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：

(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域？

(2)这n个圆共有多少个交点？

分析与解(1)在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表18．1．

由表18．1易知

S2-S1=2，S3-S2＝3，S4-S3＝4，S5-S4＝5，„„

由此，不难推测

Sn-Sn-1＝n．

把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到

Sn-S1＝2＋3＋4＋„＋n，因为S1=2，所以

Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正确性略作说明．

下面对

因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．

(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列出表18．2．

由表18．2容易发现

a1＝1，a2-a1＝1，a3-a2＝2，a4-a3＝3，a5-a4＝4，„„ an-1-an-2＝n-2，an-an-1＝n-1．

n个式子相加

注意 请读者说明an=an-1＋(n-1)的正确性．

例3 设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然数)，试问这样的三角形有多少个？

分析与解 我们先来研究一些特殊情况：

(1)设b=n=1，这时b=1，因为a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，„．若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个．

(2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表18．3．

这时满足条件的三角形总数为：1+2=3．

(3)设b=n=3，类似地可得表18．4．

这时满足条件的三角形总数为：1＋2＋3=6．

通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为：

这个猜想是正确的．因为当b=n时，a可取n个值(1，2，3，„，n)，对应于a的每个值，不妨设a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k个(n，n＋1，n＋2，„，n＋k-1)．所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为：

例4 设1×2×3ׄ×n缩写为n！(称作n的阶乘)，试化简：1！×＋2！×2＋3！×3＋„＋n！×n.分析与解 先观察特殊情况：

(1)当n=1时，原式=1=(1＋1)！-1；

(2)当n=2时，原式=5=(2＋1)！-1；

(3)当n=3时，原式=23=(3＋1)！-1；

(4)当n=4时，原式=119=(4＋1)！-1．

由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1)！-1.下面我们证明这个猜想的正确性．

1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+„+n！×n)

=1！×2＋2！×2＋3！×3+„+n！×n 33 =2！+2！×2＋3！×3＋„+n！×n

=2！×3+3！×3+„＋n！×n

=3！+3！×3+„+n！×n＝„

=n！+n！×n=(n＋1)！，所以原式=(n+1)！-1.例5 设x＞0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小．

分析与解 本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．为此，设x=0，显然有

x3＜x2+x+2．①

设x=10，则有x3=1000，x2+x＋2=112，所以

x3＞x2+x+2．②

设x=100，则有x3＞x2+x+2．

观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x3＜x2+x+2；当x值较大时，x3＞x2+x+2．

那么自然会想到：当x=？时，x3=x2+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．为此，设x3=x2＋x＋2，则

x3-x2-x-2＝0，(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，(x-2)(x2+x+1)=0．

因为x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．这样(1)当x=2时，x3=x2+x+2；(2)当0＜x＜2时，因为

x-2＜0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2＋x+2)＜0，x3-(x2＋x+2)＜0，所以 x3＜x2＋x＋2.(3)当x＞2时，因为

x-2＞0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2+x+2)＞0，即

即

x3-(x2＋x＋2)＞0，所以 x3＞x2＋x＋2．

综合归纳(1)，(2)，(3)，就得到本题的解答． 练习七

1．试证明例7中：

2．平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交)，也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求：

(1)这n条直线共有多少个交点？

(2)这n条直线把平面分割为多少块区域？

然后做出证明.)

3．求适合x5=656356768的整数x．

(提示：显然x不易直接求出，但可注意其取值范围：505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．)

第五章 生活中的数学（储蓄、保险与纳税）

储蓄、保险、纳税是最常见的有关理财方面的数学问题，几乎人人都会遇到，因此，我们在这一讲举例介绍有关这方面的知识，以增强理财的自我保护意识和处理简单财务问题的数学能力．

1．储蓄

银行对存款人付给利息，这叫储蓄．存入的钱叫本金．一定存期(年、月或日)内的利息对本金的比叫利率．本金加上利息叫本利和．

利息=本金×利率×存期，本利和=本金×(1+利率经×存期)．

如果用p，r，n，i，s分别表示本金、利率、存期、利息与本利和，那么有

i=prn，s=p(1+rn)．

例1 设年利率为0.0171，某人存入银行2000元，3年后得到利息多少元？本利和为多少元？

解 i=2000×0.0171×3=102.6(元)．

s=2000×(1+0.0171×3)=2102.6(元)．

答 某人得到利息102.6元，本利和为2102.6元．

以上计算利息的方法叫单利法，单利法的特点是无论存款多少年，利息都不加入本金．相对地，如果存款年限较长，约定在每年的某月把利息加入本金，这就是复利法，即利息再生利息．目前我国银行存款多数实行的是单利法．不过规定存款的年限越长利率也越高．例如，1998年3月我国银行公布的定期储蓄人民币的年利率如表22．1所示．

用复利法计算本利和，如果设本金是p元，年利率是r,存期是n年，那么若第1年到第n年的本利和分别是s1，s2,„，sn，则

s1=p(1+r)，s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2，s3＝s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3，„„，sn=p(1+r)n．

例2 小李有20000元，想存入银行储蓄5年，可有几种储蓄方案，哪种方案获利最多？

解 按表22．1的利率计算．

(1)连续存五个1年期，则5年期满的本利和为

20000(1+0.0522)5≈25794(元)．

(2)先存一个2年期，再连续存三个1年期，则5年后本利和为

20000(1+0.0558×2)·(1+0.0522)3≈25898(元)．

(3)先连续存二个2年期，再存一个1年期，则5年后本利和为

20000(1+0.0558×2)2·(1+0.0552)≈26003(元)．

(4)先存一个3年期，再转存一个2年期，则5年后的本利和为

20000(1＋0.0621×3)·(1+0.0558×2)≈26374(元)．

(5)先存一个3年期，然后再连续存二个1年期，则5年后本利和为

20000(1+0.0621×3)·(1+0.0522)2≈26268(元)．

(6)存一个5年期，则到期后本利和为

20000(1+0.0666×5)≈26660(元)．

显然，第六种方案，获利最多，可见国家所规定的年利率已经充分考虑了你可能选择的存款方案，利率是合理的．

2．保险

保险是现代社会必不可少的一种生活、生命和财产保护的金融事业．例如，火灾保险就是由于火灾所引起损失的保险，人寿保险是由于人身意外伤害或养老的保险，等等．下面举两个简单的实例．

例3 假设一个小城镇过去10年中，发生火灾情况如表22．2所示．

试问：(1)设想平均每年在1000家中烧掉几家？

(2)如果保户投保30万元的火灾保险，最低限度要交多少保险费保险公司才不亏本？

解(1)因为

1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家)，365+371+385+395+412+418+430+435+440＋445=4096(家)．

11÷4096≈0.0026．

(2)300000×0.0026=780(元)．

答(1)每年在1000家中，大约烧掉2.6家．

(2)投保30万元的保险费，至少需交780元的保险费．

例4 财产保险是常见的保险．假定A种财产保险是每投保1000元财产，要交3元保险费，保险期为1年，期满后不退保险费，续保需重新交费．B种财产保险是按储蓄方式，每1000元财产保险交储蓄金25元，保险一年．期满后不论是否得到赔款均全额退还储蓄金，以利息作为保险费．今有兄弟二人，哥哥投保8万元A种保险一年，弟弟投保8万元B种保险一年．试问兄弟二人谁投的保险更合算些？(假定定期存款1年期利率为5.22％)

解 哥哥投保8万元A种财产保险，需交保险费

80000÷1000×3=80×3=240(元)．

弟弟投保8万元B种财产保险，按每1000元交25元保险储蓄金算，共交

80000÷1000×25=2000(元)，而2000元一年的利息为

2000×0.0522=104.4(元)．

兄弟二人相比较，弟弟少花了保险费约

240-104.4=135.60(元)．

因此，弟弟投的保险更合算些．

3．纳税

纳税是每个公民的义务，对于每个工作人员来说，除了工资部分按国家规定纳税外，个人劳务增收也应纳税．现行劳务报酬纳税办法有三种：

(1)每次取得劳务报酬不超过1000元的(包括1000元)，预扣率为3％，全额计税．

(2)每次取得劳务报酬1000元以上、4000元以下，减除费用800元后的余额，依照20％的比例税率，计算应纳税额．

(3)每次取得劳务报酬4000元以上的，减除20％的费用后，依照20％的比例税率，计算应纳税额．

每次取得劳务报酬超过20000元的(暂略)．

由(1)，(2)，(3)的规定，我们如果设个人每次劳务报酬为x元，y为相应的纳税金额(元)，那么，我们可以写出关于劳务报酬纳税的分段函数：

例5 小王和小张两人一次共取得劳务报酬10000元，已知小王的报酬是小张的2倍多，两人共缴纳个人所得税1560元，问小王和小张各得劳务报酬多少元？

解 根据劳务报酬所得税计算方法(见函数①)，从已知条件分析可知小王的收入超过4000元，而小张的收入在1000～4000之间，如果设小王的收入为x元，小张的收入为y元，则有方程组：

由①得y=10000-x，将之代入②得

x(1-20％)20％+(10000-x-800)20％=1560，化简、整理得

0.16x-0.2x+1840=1560，所以

0.04x=280，x=7000(元)．

则 y=10000-7000=3000(元)．

所以

答 小王收入7000元，小张收入3000元．

例6 如果对写文章、出版图书所获稿费的纳税计算方法是

其中y(x)表示稿费为x元应缴纳的税额．

那么若小红的爸爸取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到6216元，问这笔稿费是多少元？

解 设这笔稿费为x元，由于x＞4000，所以，根据相应的纳税规定，有方程

x(1-20％)· 20％×(1-30％)=x-6216，化简、整理得

0.112x=x-6216，所以 0.888x=6216，所以 x=7000(元)．

答 这笔稿费是7000元．

练习八

1．按下列三种方法，将100元存入银行，10年后的本利和各是多少？(设1年期、3年期、5年期的年利率分别为5.22％，6.21％，6.66％保持不变)

(1)定期1年，每存满1年，将本利和自动转存下一年，共续存10年；

(2)先连续存三个3年期，9年后将本利和转存1年期，合计共存10年；

(3)连续存二个5年期．

2．李光购买了25000元某公司5年期的债券，5年后得到本利和为40000元，问这种债券的年利率是多少？

3．王芳取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到2580元，问这笔稿费是多少元？

4．把本金5000元存入银行，年利率为0.0522，几年后本利和为6566元(单利法)？

第六章

中外著名数学家

1、韦达（1540-1603），法国数学家。

年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会议员，在西班牙的战争中曾为政府破译敌军密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与分数的关系，韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。1579年，韦达出版《应用于三角形的数学定律》

2、帕斯卡（1623──1662年）是法国数学家、物理学家和哲学家．

16岁的时候就发现了著名的“帕斯卡定理”，即“圆锥曲线内接六边形的三组对边的交点共线”，对射影几何学作出了重要贡献．19岁时，发明了一种能做加法和减法运算的计算器，这是世界上第一台机械式的计算机．他对连续不可分量、微分三角形、面积和重心等问题的深入研究，对微积分学的建立起到了积极的作用．帕斯卡对数学的最大贡献是创立概率论，为了解决概率论和组合分析方面的问题，帕斯卡广泛应用了算术三角形（即二项式定理系数表，西方称帕斯卡三角，我国称贾宪三角或杨辉三角），并深入研究了二项展开式的系数规律以及这个三角形的构造及其许多有趣的性质。帕斯卡在物理学方面提出了重要的“帕斯卡定律”。他所著《思想录》和《致乡人书》对法国散文的发展产生了重要的影响。

3、在数学史上，很难再找到如此年轻而如此有创见的数学家。他就是出生在法国的伽罗华（1811——1832）

伽罗华才华横溢，思维敏捷，十七岁时就写了一篇关于《五次方程代数解法》这个世界数学难题的论文，最先提出了近代数学的一个基本概念

——“群”。可是这篇论文被法国科学院一位目空一切的数学家丢失了。次年，他又写了几篇数学论文送交法国科学院，不料主审人因车祸去世，论文也不知所踪。再过两年，他被近把自己的研究再次写成简述，寄往法国科学，他去信尖锐地提醒权威们：“第一，不要因为我叫伽罗化，第二，不要因为我是大学生，”而“预先决定我对这个问题无能为力。”在这封咄咄逼人的书信面前，有两位数学家不得不宣读了他的研究简述，但随即又以“完全不能理解”予以否定，其实，他们并没有读懂伽罗华的论文。

伽罗华二十一岁那年死于决斗。临死前他对守在旁边的弟弟说：“不要忘了我，因为命运不让我活到祖国知道我的名字的时候。”在决斗前夜，他给友人写了著名的“科学遗嘱”，其中充满自信地说：“我一行中不只一次敢于提出我没有把握的命题，我期待着将来总会有人认识到：解开这个谜对雅可比和高斯是有好处的。”

他的预言成为现实，那是在三十八年他的六十页厚的论文终于出版的时候，从此，他被认为“群论”的奠基 人。

4、刘 徽

刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产．

《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法．在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明．在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的

贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根．在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果．刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．

《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目．

刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．

刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富．

5、贾 宪

贾宪，中国古代北宋时期杰出的数学家。曾撰写的《黄帝九章算法细草》（九卷）和《算法斆古集》（二卷）（斆xiào，意：数导）均已失传。

他的主要贡献是创造了“贾宪三角”和增乘开方法，增乘开方法即求高次幂的正根法。目前中学数学中的混合除法，其原理和程序均与此相仿，增乘开方法比传统的方法整齐简捷、又更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越性，这个方法的提出要比欧洲数学家霍纳的结论早七百多年。

6、秦九韶

秦九韶（约1202--1261），字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江苏，浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，（今广东梅县），不久死于任所。他与李冶，杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家。早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247年写成著名的《数书九章》。《数书九章》全书凡18卷，81题，分为九大类。其最重要的数学成就----“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术"(高次方程数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位。

7、李冶

李冶(1192----1279)，原名李治，号敬斋，金代真定栾城人，曾任钧州（今河南禹县）知事，1232年钧州被蒙古军所破，遂隐居治学，被元世祖忽必烈聘为翰林学士，仅一年，便辞官回乡。1248年撰成《测圆海镜》，其主要目的是说明用天元术列方程的方法。“天元术”与现代代数中的列方程法相类似，“立天元一为某某”，相当于“设x为某某“，可以说是符号代数的尝试。李冶还有另一步数学著作《益古演段》（1259）也是讲解天元术的。

8、朱世杰

朱世杰（1300前后），字汉卿，号松庭，寓居燕山（今北京附近），“以数学名家周游湖海二十余年”，“踵门而学者云集”(莫若、祖颐：《四元玉鉴》

后序）。朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）。《算术启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创造有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积术”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）．

9、祖冲之

祖冲之（公元429～500年）祖籍是现今河北省涞源县，他是南北朝时代的一位杰出科学家。他不仅是一位数学家，同时还通晓天文历法、机械制造、音乐等领域，并且是一位天文学家。

祖冲之在数学方面的主要成就是关于圆周率的计算，他算出的圆周率为3.1415926<π<3.1415927，这一结果的重要意义在于指出误差的范围，是当时世界最杰出的成就。祖冲之确定了两个形式的π值，约率355/173(≈3.1415926）密率22/7(≈3.14)，这两个数都是π的渐近分数。

10、祖 暅

祖暅，祖冲之之子，同其父祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式。现行教材中著名的“祖暅原理”，在公元五世纪可谓祖暅对世界杰出的贡献。

11、杨辉

6.初中数学教材中的数学思想 篇六

一、数学思想的内涵

所谓数学思想就是指现实世界的空间形式和数量关系反应到人的意识中,经过思维活动而产生的结果,是对数学事实与数学理论的本质认识,是对数学具体内容的提炼与升华.在初中教学中一般包括:分类思想、集合思想、数形结合思想、化归思想、整体思想等.虽然数学思想很多,但终究都是为教学服务,为学生正在掌握数学、形成数学思维服务的.从这个角度来说,我们可以把所有能够增强学生学习理解和掌握程度的方法统称为数学思想.

二、数学思想在教学中的运用

数学思想比较多,在具体的教学中,如何有效地把数学思想渗透到教学实践中,是实施数学思想教学的关键.同时我们还应该注意到,我们如今的数学知识已经经过了长久的发展,具有一定综合性与系统性,因此,不仅要注重单个数学思想的渗透,更应该注重多种数学思想共同渗透,增强学生对知识点的掌握.

1. 数形结合思想在教学中的运用

正如著名数学家华罗庚所说:数与形,本是相倚依;数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合,直观又入微.在初中数学阶段,数轴和直角坐标系是我们研究数形结合时的两个比较重要的工具,贯穿整个初中数学,应该尽可能地运用到平时的教学之中.

(1)数轴的运用

在学生们刚刚开始学习一元一次函数的定义域时,最容易犯的错误就是存在几个区域时,如何进行取舍.老师在授课时,就要教会学生如何在数轴上进行表示.比如:函数y=中自变量x的取值范围是______.一般学生都知道要使函数有意义,必须满足的条件是2+x≥0且x-3≠0,解之得x≤-2,且x≠3.学生之所以出现这种问题的原因在于学生刚刚接触到区间,知识点的掌握还不是太熟练,仅仅看到数字很难理清它们之间的关系,如果利用数轴就很容易找到它们之间的关系:x≤-2与x≠3之间没有任何关系,从而舍弃x≠3.

(2)直角坐标系的运用

在学习函数的变换时,由于学生刚刚学习过点在直角坐标系中的移动,对于变换过程中加减号的运用往往会混淆在一起.如果直接告诉学生,图像在y轴上上移用减号、下移用加号,在x轴上右移用减号、左移用加号,那么学生就很难理清它们之间的关系.在授课时,首先让学生们画出函数y=2x+3,y=2(x+1)+3和y=2(x-1)+3的图像,比较它们图像之间的变化关系.通过比较,学生发现y=2(x+1)+3的图像是把y=2x+3左移一个单位,y=2(x-1)+3的图像是把y=2x+3右移一个单位.然后让学生进行总结,并且探究当y变化时,函数图像如何变化.通过学生自己的总结、假设、验证,就会很容易发现在y轴上的变化规律.

2. 整体思想在教学中的运用

整体思想是指用整体的眼光,把某些算式或图形看成一个整体,在掌握已知和所求之间关联的基础上,进行有目的、有意识的整体处理来分析解决问题,该方法能够避免对复杂过程的考虑.

比如下面一个例题,运用整体思想就可以避免繁琐的计算过程.例题:正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆(如图2),求所围成的图形的面积.对于本题,如果采用分割的方法计算起来就比较复杂,但如果从整体上来考虑就会发现,每个阴影部分的面积相等、每个空白部分的面积也相等,就可以得出,如此解题就会使解题过程大为简化.

再如在解方程组时,不管选用带人法还是加减法计算都相当复杂,这时如果把方程组看成一个整体就会发现,两式相加3994x+3994y=3994,化简后得到x+y=1.

乍一看上面讲的好像是解题技巧,其实不仅仅是解题技巧那么简单,更体现了一种数学思想.在教育孩子时,孩子对这种处理问题的方法往往记忆更加深刻,甚至影响到学生的一生.

3.数学思想在教学中的综合运用

在教学过程中,更多的时候是综合地运用多种数学思想.通过多种数学思想的运用能够让学生更全面、更深刻的理解教学内容.以下面的例题为例进行探讨:|x-3|≥3-x,求x的取值范围.

在讲解时,可以运用绝对值的概念进行分类讨论.首先按照x-3≥0和x-3<0两种情况.当x-3大于等于0时,原式可化为x-3≥3-x,解之得x≥3;当x-3小于0时,原式可化为3-x≥3-x,该不等式的解为全体实数.从而得出该不等式的解为x≥3.该方法虽然可以解出结果,但比较复杂,而且非常容易出错.同样该不等式还可以用等量代换进行解题,如设t=x-3,则3-x=-t,原式变形为|t|≥-t,根据去绝对值符号的性质,可得t≥0,即x-3≥0,从而得出x≥3.通过一题多解,不仅可以让学生掌握知识,更可以开拓学生的眼界,加深学生对知识的认识,培养学生的数学思维.

7.初中数学教材中的数学思想 篇七

【关键词】初中数学 教材 例题教学 方法

课堂教学是实施学校教育的主渠道，是师生双边互动的主要环节。数学例题教学是教师向学生传授知识不可缺少的重要手段，它不仅是学生获取知识和巩固知识的桥梁，也是培养学生分析问题和解决问题的重要途径。因此，如何优化数学例题教学，开发学生的智力，是我们教学中不容忽视的一个重要环节。在数学课堂教学中，灵活处理好例题是提高课堂教学效率的重要环节。下面针对如何处理初中数学教材中的例题进行探讨交流。

一、重点分析、讲解解题思路，注重数学思想、方法的教学

古人云：“授人以鱼，不如授人以渔。”一个学生即使拥有许多数学基础知识，但如果缺少数学思想和方法的指导，也不可能成为高素质的数学学习者，充其量只能算是一个数学知识的奴隶。数学思想和方法是“双基”的有效载体。教学中，教师如果只注重“双基”而忽视知识形成的过程和总结，那么学生的数学意识和能力就得不到充分发展，提高数学素质也就成了空谈。

在实际教学中，有的教师往往分不清或不分重难点，从上课一直讲到下课，结果是累了自己、苦了学生，教学效果不好。如果我们在备课时就分清重难点，理清解题的思路，课堂教学时便可有的放矢，抓主要矛盾，其他的非重点可以略讲，甚至不讲，而用大量的时间去分析例题的解题过程，讲怎样去做，为什么要这样做，依据是什么，并总结解题规律，概括解题方法，提炼解题的指导思想，从而把解题经验上升到思想、方法的高度，使学生对数学思想的认识从感性上升到理性，从实践升华为理论，逐步形成数学观念，学会用数学眼光去看问题和思考问题。

二、结合实际，另辟蹊径，自编例题

教材中章节、例题的编写顺序、结构固然有其依据，不能随便打破，但我们教师可以根据“学以致用，高效快捷”的原则，适当增减例题，甚至可以不要课本例题，另选一例，只要能使学生掌握知识点，会用来解题即可。当然我们还可以将一些例题进行改编：改背景，让它更贴近学生的生活；改题型，让它更有利于学生操作和思考，进行拓展。所以，我们要充分挖掘教材的知识连接点、兴趣点，把知识点能类比对照的、由易到难的、有一定规律性、典型的例题综合到一起，打破教材的条条框框，将教材知识重新分割和组合，充分把知识浓缩，另辟蹊径自编实用性、针对性更强的例题。特别是在进行系统复习时，更能显示其重要性。

三、精讲精练，宁缺勿滥，针对性要强

新教材中所选的例题都是很典型的，是经过精选、具有一定代表性的，例题教学在课堂教学中具有相当重要的地位，它是学生接受新知识的起点，是本节教学内容的综合体现。搞好课本例题的剖析教学，不仅能加深对概念、公式、定理的理解，而且对培养学生发现问题、解决问题也大有裨益。例如在一元二次方程求根公式的教学中，先让学生复习“开平方法”解一元二次方程，然后再学习一元二次方程求根公式的内容，让学生思考并回答：求根公式是怎样推导出来的？用了什么思想、方法？求根公式应用的条件是什么？为什么？任意一个一元二次方程是否用求根公式都可以进行求解？这是探索性的思维，有利于培养学生的发散思维，可以促进学生对抽象概念的自我消化与吸收，降低教学的难度。

教学中要以典型例題为例，“讲”要力求“精讲”，克服“滥讲”。可以在一堂课里只安排一个或几个同一类型的例题，重点讲解如何分析解决问题，从而加强对重点知识的掌握，对难点知识的突破，然后有针对性地安排一些习题，把讲和练统一为一个整体，做到有的放矢。因此，精讲精练重在“精”字上，只要少而精、熟而巧，学生便能举一反三。

四、加强变式教学，一题多解，多题一法

变式教学能丰富题目的内涵，激发学生的求知欲，培养学生认识问题、思考问题的全面性，有利于培养学生的创新意识和发散思维能力，使学生形成良好的思维品质。变式教学能够让学生尽可能多地参与到教学活动中，每一次变式都能紧紧抓住、时时牵动学生的心。当你看到学生大胆想象，勇于探索，不断发现新问题、新方法时，你难道不高兴吗？教材中的例题往往只有一个结论或是一个特例，我们可以在此基础上让学生思考，由已知条件还能得到什么结论，或想要得到这个结论还可以用哪些条件？当结论与题设条件互换时，还成立吗？当图形在另一种形式下还成立吗？所以，我们平时要多注重积累，在讲解例题时除了讲清“为什么”和“是什么”外，还要多问学生几个“还有什么”，在讲解时立足于教材，但又宽于教材、高于教材，使数学知识得到拓展延伸。