20240511一元一次不等式及其应用

20240511一元一次不等式及其应用（共12篇）

1.20240511一元一次不等式及其应用 篇一

一元一次不等式的应用 ——“数与代数”教学案例

浙江省余姚市实验学校（315400）郑建元

一、展示问题情境1 一群女生住若干间宿舍，每间住 4 人，剩 19 人无房住；每间住 6 人，有一间宿舍不空不满.由此，你能提出什么问题？

生：问有几间宿舍,有多少名女生? 师：生1提出了两个问题，我们怎样设未知数？ 生：设宿舍有x间.师：设有 x 间宿舍，则学生的人数为多少？ 生：4x+19.师：对于“每间住6人，有一间宿舍不空不满，”如何理解？ 生：有一间宿舍至少住 1 人，至多住5人，其余每间住6人.师：不空不满的那间人数如何用x表示？（关键）

生：4x+19 表示学生总数，6(x－1)表示每间住 6 人住了(x－1)间的学生总数，［（4x+19）－6(x－1)］ 就表示那间不空又不满的房间人数.师：由此可以列出怎样的不等式组？ 生：0＜(4x＋19)－6(x－1)＜6 师：还可列别的不等式组吗？ 生：1≤(4x＋19)－6(x－1)≤5 师：好，这里的［（4x+19）－6(x－1)］实际上是一个正整数.生：6(x－1)＜ 4x+19 ＜6x（又有学生举手了）师：如何理解？

生：极端考虑，假设那间不空又不满的房间也住6人，则总人数有6x人；假设那间不空又不满的房间没人住，则总人数有6(x－1)人；而实际人数比6x人少，比6(x－1)人多，故有6(x－1)＜ 4x+19 ＜6x 师：刚才是设x表示宿舍的间数，如果设x表示学生人数，那么宿舍的数量如何用x表示？不等式又如何列?(学生沉思片刻，开始有人举手)生：如果设x表示学生人数，那么宿舍的数量可用0＜x(x19表示，可列出不等式组： 4x191)6＜6 4师：好，不过，相对而言，设宿舍有x间比较简单.„„

二、展示问题情境2 一个双休日，某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园，公司先派一个人去了解船只的租金情况，这个人看到的租金价格如下所示：大船：每只船载人数为5人，小船：每只船载人数为3人（严禁超载）；租金：大船30元，小船20元.你又能提出什么问题？

生：怎样的租船才能使所付租金最少？

师：谁能公布一下自己的设计方案？

（学生都在紧张的思考中，一会儿后，我发现有学生举手了，便马上让他发言）

生：我认为可以单租大船，可以单租小船，也可以大船和小船都租.师：很好！你为大家设计了三种方案.那你能不能说出怎样租船所付租金最少? 生：如果租大船，则需要船只数为48/5=9.6（只），因为不能超载，所以租大船需10只，则所付租金要30×10=300元.如果租小船，则需要船只数为48/3=16（只），则所付租金要16×20=320元.如果既租大船又租小船要算过.师：刚才×××同学不错，不但一下子设计了三种方案，还完成了两种租船租金的计算，接着我们来计算剩下的一种方案的租金.师： 设租用x只大船，y只小船，所付租金为a元.，则可列出怎样的式子？

生： 5x3y48,(1)

53x32ya.(2)师：有不同意见吗？ 生：5x3y48

师：对，（5x3y）不一定恰好等于48，根据以上的分析，0 ≤ 5x ≤ 48 且x为正整数，所以x可取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.师：当x与y分别为多少时，a的值最小？

生：当x=9，y=1时，a的值最小为29，即租用9只大船和1只小船时，所付租金最少，最少租金为290元.此时有 45人坐大船，有3人坐小船.师：1能提出新的问题吗？

生：如果题中的48名员工，改为49名员工，结果如何呢？ 生：如果题中的48名员工，改为47名员工，结果如何呢？

生：如果题中的租金：大船30元，小船20元，改为：大船40元，小船30元，结果如何呢？ „„

师：这些问题请同学们课外思考，同时请留心方案是否唯一？ „„

（下课铃响了，可学生还在思考之中,他们带着新的问题走出课堂思考!）五．案例反思：

本案例中的两个情境是一元一次不等式应用的两道常见题，为使学生能更好地掌握，教师通过对话，给学生一个自由的氛围，给每一位学生都有展示的机会，体现了教育的民主和对学生的尊重.问题是数学的心脏!本案例中始终以问题为中心，二个情境通过师生互动，生生互动使问题的解决自然、和谐，学生的学习主动、积极.特别是第二个情境最后又让学生通过提出问题，然后课外解决，使课堂得到延伸.让学生带着新的问题走出课堂思考,有利于对知识的掌握和思辨能力的培养.

2.20240511一元一次不等式及其应用 篇二

初中数学教材对函数的定义是:在某一个变化的过程中, 有变量x和y, 当给定一个x值时, 就有相应的y值与其对应, y就被定义为x的函数.在初中函数的定义中, 只要有一个x值就能确定一个y值, 有一个y值就能确定一个x值.一元函数的数学表达式是y=kx+b (k非零) , 其中当b为零时就是正比例函数, 通过该公式更能明晰地看到x和y的一一对应关系, 只要确定了x (y) , 就能确定唯一的y (x) 与之对应.在初中数学中x和y组成了一对有序实数对.

初中生还应该学会描绘一次函数的图像.通过求对应值、连线、画图, 学生知道了一次函数是一条直线.在坐标轴上只要求出交点坐标并连线, 那么这条直线就是y=kx+b的图像, 其中正比例函数是过原点的直线.在此基础上, 初中生要知道一次函数图像的性质, 例如, 在k>0, b>0时图像经过第一象限、第二象限和第三象限;而在k>0, b<0时, 图像经过第一象限、第三象限和第四象限, 并且在k>0时, 直线与x轴夹角为锐角, 反之为钝角.教师要给初中生灌输这样的观念, 凡是满足y=kx+b的x与y的值所对应的点 (x, y) 一定在直线y=kx+b上.

以y=4x+8为例, 学生在看到这个函数时应该知道函数经过第一、二、三象限, 函数与x轴的交点是 (-2, 0) , 与y轴的交点是 (0, 8) , 函数图像和x轴的夹角是锐角.

初中生刚刚从小学阶段上来, 在学习方式和学习方法上还很不适应, 教师在教授一元一次函数时, 不能仅仅依靠课本的内容进行教学, 这样容易导致学生产生腻烦情绪, 丧失学习一元函数的兴趣.教师在实际教学中可以采取多媒体教学方式进行教学, 多媒体教学方式可以直观地反映出教学的内容, 给学生一目了然之感, 让学生在初步理解一元函数的内容时省时省力, 这样就可以克服学生学习新知识的恐惧感, 让学生以轻松愉悦的心情去面对初中数学的学习.另外, 初中数学老师在设置教学情境时要选取学生熟悉的生活场景, 利用学生已有的生活经验进行数学教学可以让数学知识更容易被学生接受.例如, 教师可以选取生活中购物或者消费的情境设置一元函数习题, 让学生深刻地记忆一元函数相关知识.最后, 教师还要鼓励学生多动手做题, 一元函数涉及画图像、识象限等方面的问题, 初中生在刚刚学习这方面的知识时, 如果不能动手练习而只靠自己想象, 很难真正理解一元一次函数的本质.教师可以组织学生进行小组互助学习, 在小组中教师要鼓励对一元函数知识掌握好的同学帮助其他学生进步, 鼓励性格开朗的学生担任小组长和其他小组的成员沟通和接洽, 经过一段时间的小组学习, 教师还可以组织小组竞赛, 给学生一个积极竞争、健康向上的学习氛围, 同时也能够让同学之间了解到自己学习的不足, 给自己一个客观的评价.

二、一次函数与一元一次方程和一元一次不等式之间的关系

从数学表达式上看, 一元函数的表达式是y=kx+b, 一元一次方程的表达式是kx+b=0, 一元一次不等式的表达式是kx+b> (<) 0.由此可见, 一元一次方程式表达的是函数y=0时x的数值, 而一元一次不等式解决的是y>0或者y<0时x的取值范围.以下举例说明:

以y=3x+6为例, 该函数过第一象限、第二象限和第三象限, 与x轴和y轴的交点分别是 (-3, 0) , (0, 6) .当y=0时, 该函数变为一元一次方程, 其解为x=-3;当y>0时, 该函数变为一元一次不等式, x的取值氛围是大于-3.通过图像观察可知, 一元一次方程的解是一元一次函数与x轴交点的横坐标;而一元一次不等式在k>0时, y>0在交点的右边, y<0在交点的左边, 当k<0时结论相反.

由以上论述可知, 一元一次函数与一元一次方程和一元一次不等式之间是相互联系的, 它们在本质上相互渗透, 一元一次方程和一元一次不等式在解法上都可以通过观察一元一次函数得到, 所以, 当学生熟悉了一元一次函数的性质和图像特征时, 一元一次方程和一元一次不等式的问题就迎刃而解了.一次函数和一元一次方程以及一元一次不等式均反映了客观事物变化规律, 函数描述的是事物变化的过程, 方程描述的事物在某一点的状态, 即事物变化过程中的某一瞬间的情况, 而不等式则反应了在变化过程中的某一方面或者某一侧面, 是范围和片段的概念.通过函数、方程和不等式之间的联系和理解, 教师要把数形结合的概念深入到学生的思维中去.

总之, 教师在教学中应该有意识地把这三方面的知识串联在一起, 让学生在学习完一元一次函数之后, 能够迅速地理解一元一次方程和一元一次不等式的相关知识, 做到融会贯通、举一反三, 这样学生才能真正掌握初中数学这三方面的重要知识.

摘要：根据初中数学教材的安排, 在七年级学生需要了解一元一次方程及其解法, 七年级下半学期学生还要学习一元一次不等式相关知识, 而在八年级学生要学习一次函数的知识, 并在此基础上了解一次函数的图像.初中生一般对于这三方面知识学习得比较透彻, 但是对于三者之间的联系, 学生知之甚少, 在这方面需要教师的指导.教师应该教会学生把这三方面的知识贯穿到一起, 如果学生能够通透地理解这三方面的知识, 那么初中数学的学习将会容易许多.

关键词：一次函数,一元一次方程,一元一次不等式,关系

参考文献

[1]雷勇.一元一次不等式和一元一次不等式组教与学[J].天府数学, 1999.

[2]严惠.五种版本数学教材中一元一次方程内容的比较[D].硕士学位论文, 2007.

[3]陈克隆, 董杰.彰显数学文化的一元一次方程的教学案例及其思考[J].内蒙古师范大学学报, 2012.

[4]周志英.初中数学教材函数内容处理的比较研究[D].硕士学位论文, 2008.

[5]蒋丽华.教学设计:实际问题与一元一次不等式 (组) [J].北京教育学院学报, 2006.

3.一元一次不等式应用两例 篇三

例1 洞庭实验学校准备在五一黄金周组织部分教师到张家界旅游，现联系了甲、乙两家旅行社．两家旅行社报价均为400元 ／ 人，同时两家旅行社都对10人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位游客七五折优惠；乙旅行社是免去1位带队老师的费用，其余的八折优惠．

（1） 人数为多少时，两家旅行社的收费相同？

（2） 请你通过计算说明，旅游人数在什么范围时选择甲旅行社费用较少，旅游人数在什么范围时选择乙旅行社费用较少．

分析：本题是2005年湖南省益阳市中考题．本题主要考查分类讨论的思想以及运用方程、不等式解决实际问题的能力．

解：（1） 设参加旅游的教师为x人时，两家旅行社收费相同．

根据题意，得400×75％x＝400×80％（x－1）．

解得x＝16．

故当人数为16时，两家旅行社收费相同．

（2） 设参加旅游的教师为x1人时，甲旅行社收费较少．

根据题意，得400×75％x1＜400×80％（x1－1）．

解得x1＞16．

设参加旅游的教师为x2人时，乙旅行社收费较少．

根据题意，得400×75％x2＞400×80％（x2－1）．

解得x2＜16．

故当人数大于16时，甲旅行社收费较少；当人数小于16时，乙旅行社收费较少．

例2 某学校为加强信息技术课的教学，拟投资兴建一个初级计算机房和一个高级计算机房．每个机房配置1台教师用机和若干台学生用机．现有厂方提供的产品推介单一份，如下表．

现知教师配置CZXM系列机型，学生配置CZXN系列机型．所有机型均按八折优惠销售．若两个机房购买计算机的钱数相等，并且每个机房购买计算机的钱数不少于20万元也不超过21万元．问：拟建的两个机房各能配置多少台学生用机？

分析：本题主要考查数形结合的思想以及运用方程、不等式组解决实际问题的能力．

解：设初级、高级机房分别配置学生用机x台、y台．由题意，得

（10 000＋4 375x）×0．8＝（14 375＋8 750y）×0．8，

200 000≤（10 000＋4 375x）×0．8≤210 000．

化简，得x－2y＝1，

≤x≤

．

∵x、y只能取正整数，∴x＝55或x＝57．从而y＝27或y＝28．

∴初级、高级机房各能配置学生用机55台、27台，或配置57台、28台．

4.一元一次不等式教案 篇四

教学目标: 1 掌握一元一次不等式的解法,能熟练的解一元一次不等式 在积极参与数学学习活动的过程中，形成实事求是的态度和独立思考的习惯；学会在解决问题时，与其他同学交流，培养互相合作精神。教学重点: 掌握解一元一次不等式的步骤． 教学难点: 必须切实注意遇到要在不等式两边都乘以(或除以)同一负数时，必须改变不等号的方向.教学过程:

一、问题导入，提出目标

1导入:请同学们思考两个问题： 一是不等式的基本性质有哪些？

二是什么是一元一次方程？并举出两个例子。

解一元一次方程：1－2x =x + 3，目的是为了与解例1进行类比，找到它们的联系与区别。

2、出示学习目标，检验学生预习

（1）能说出一元一次不等式的定义。

（2）会解答一元一次不等式，并能把解集在数轴上表示出来。

二、指导自学，小组合作

请同学们根据导学提纲进行自学，先个人思考，后小组合作学习。（导学提纲内容如下）

1、观察下列不等式，说一说这些不等式有哪些共同特点？

（1）3x-2.5≥12（2）x≤6.75（3）x＜4（4）5-3x＞14

什么叫做一元一次不等式。

2、(1)自己举出2或3个一元一次不等式的例子，小组交流。(2)下列不等式中，哪些是一元一次不等式? 3x+2>x–1 5x+3<0 +3<5x–1(4)x(x–1)<2x

3、通过自学例1：

解一元一次不等式，并将解集在数轴上表示出来：3－x ＜ 2x + 6

4、思考：一元一次不等式与一元一次方程的解法有哪些类似之处？有什么不同？

5、解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。

4（x－1）+2> 3(x+2)－x（x－2）/ 2≥（7－x）/ 3

6、总结：解一元一次不等式的依据和解一元一次不等式的步骤。

三、互动交流，教师点拨

1、交流导学提纲中的1—6题。

学生易出错的问题和注意的事项：

（1）确定一个不等式是不是一元一次不等式，要抓住三个要点：左右两边都是整式，只有一个未知数，未知数的次数是1。

（2）对于例1，让学生说明不等式3－x ＜ 2x + 6的每一步变形的依据是什么，特别注意的是：解不等式的移项和解方程的移项一样。即移项要变号（培养学生运用类比的数学思想）。

（3）不等式两边同时除以（－3）时，不等号的方向改变。

2、重点点拨例2和例3，学生到黑板上板演。

（1）例2易出错的地方是：去括号时漏乘，移动的项没有变号。

（2）例3易出错的地方是：去分母时漏乘无分母（或分母为1）的项。

3、归纳解一元一次不等式的步骤（与解一元一次方程的步骤类比）：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1

四、当堂训练，达标检测

巩固练习题目

当堂检测题

1．下列各式是一元一次不等式的是（）A．21>1 B．2x>1 C．2x2≠1 D．2< xx1x+3>-5是一元一次不等式（）21>-8不是一元一次不等式（）x2．判断正误：（1）（2）x+2y≤0是一元一次不等式（）（3）3．方程26-8x=0的解是______，不等式26-8x>0的解集是______，不等式26-8x<•0的解集是________．

4．如果a与12的差小于a的9倍与8的和，则a的取值范围是_______． 5．解下列不等式：

（1）（x-3）≥2（x-4）(2）

（3）（1-2x）>10-5（4x-3）（4）1＜x

5.教案-一元一次不等式与一次函数 篇五

一．课题： 一元一次不等式与一次函数 二．课型：新授课 三．教学目标

1.认知目标：利用一次函数图象来解决一元一次不等式 2.能力目标：看图解题

3.情感目标：体会一次函数与一元一次不等式的关系 四．教学重难点

1.教学重点：能应用所学的知识，将一元一次不等式与一次函数联系起来 2.教学难点：利用一次函数图象解一元一次不等式 五．教学方法：引入探索法

六．教具：黑板、粉笔、刻度尺或三角板 七．教学过程

（一）.一次函数图形探索

我们知道，一次函数的图象是一条直线.作出一次函数y=2x-5的图象，观察回答下列问题： 1.x取何值时，2x-5=0？ 2.x取何哪些时，2x-5>0？ 3.X取哪些值时，2x-5<0？ 4.x取哪些值时，2x-5>3？

思考：能否将上述“关于一元一次函数值的问题”转化为“关于一元一次不等式”的问题？（因为y=2x-5，故将1~4中的2x-5换成y即可。）

反过来呢，能否将“关于一元一次不等式”的问题转化为“关于一元一次函数值的问题”？（毫无疑问，二者是可以相互转换的。）

（二）.结论

因此：我们既可以运用函数图象解不等式，也可以运用不等式来帮助研究函数，二者相互渗透、相互作用。不等式与函数、方程式紧密联系的一个整体。

（三）.变式探索

想一想：如果y=-2x-5，x取何值时，y>0？解决此题，有哪些方法？

方法一：将函数问题转化为不等式问题，即: 解不等式-2x-5>0,解得 x<2.5。方法二： 图像法 有图像易知：x<2.5，y>0。

（四）.练一练

兄弟两赛跑，哥哥先让弟弟跑9米，弟弟以3m/s的速度前进，哥哥以4m/s的速度前进，列出关系式，画图图象，看看他们在什么时候相遇。

（五）.课堂总结

（六）课后习题

6.《一元一次不等式》说课稿 篇六

1、教材所处的地位和作用：

本节内容在全书及章节的地位是：《一元一次不等式、一元一次方程、一次函数》是苏科版八下第七章第七节内容。在此之前，学生已学习了一元一次不等式、一元一次方程、一次函数基础上,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容在初中数学学习阶段中，占据重要的地位，以及为其他学科和今后高中数学学习打下基础。

2、教育教学目标：

根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：

（1）知识目标： 认识并理解一元一次不等式、一元一次方程、一次函数的内在联系及在解决问题时的不同作用。

（2）过程与方法 通过用一元一次不等式、一元一次方程、一次函数解决问题，培养学生用联系变化的观点看问题的意识及数形结合的解题能力。

（3）情感、态度与价值观

通过对解决实际问题的教学，引导学生从现实生活的经历与体验出发，激发学生对数学问题的兴趣，使学生了解数学知识的功能与价值，形成主动学习的态度，通过理论联系实际的方式，通过知识的应用，培养学生唯物主义的思想观点。

3：重点，难点以及确定的依据：

本课中一元一次不等式、一元一次方程、一次函数的内在联系是重点，灵活使用一元一次不等式、一元一次方程、一次函数解决实际问题是本课的难点，

下面，为了讲清重难点，使学生能达到本节课设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：

二：教学策略：

教法：据本节课教学内容和八年级学生的年龄、心理特点及目标教学的要求，本节课采用引导探究法；让学生以观察实例为基础，用归纳的.方法形成概念，把教学过程转化为学生观察、发现、探究的过程，再现知识的“发生”和“发现”及“形成”的过程，让学生的知识形成网状结构，使知识能相互交融，培养学生触类旁通的能力。

学法：建构主义教学构想的核心思想是：通过问题的解决来学习。根据本节课的特点，采用自主探究、合作交流的探究式学习方法。

三：学情分析：（说学法）

1 、学生特点分析：

中学生心理学研究指出，初中阶段是智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展。从年龄特点来看，初中学生好动、好奇、好表现，抓住学生特点，积极采用形象生动、形式多样的教学方法和学生广泛的、积极主动参与的学习方式，定能激发学生兴趣，有效地培养学生能力，促进学生个性发展。生理上，青少年好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住学生这一生理特点，一方面要运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。

2、知识障碍上：

⑴知识掌握上，学生原有的知识一元一次不等式、一元一次方程、一次函数，许多学生出现知识遗忘，所以应全面系统对学生的自由讨论加以指导，引导学生如何研究一次不等式、一元一次方程、一次函数的内在联系，共同揭示“等与不等”这对矛盾的双方，在一定的条件下是可以转化，从而使学生更深刻地理解等与不等的辨证关系。

（2）学习本节课的知识障碍是一次不等式、一元一次方程、一次函数的内在联系

学生不易理解，所以教学中教师应予以简单明白、深入浅出的分析。

3、动机和兴趣上：

明确的学习目的。教师应在课堂上充分调动学生的学习积极性，激发来自学生主体的最有力的动力。

最后我来具体谈一谈这一堂课的教学过程：

四、 教学程序及设想：

1、由“弹簧挂物问题”导入

把教学内容转化为具有潜在意义的问题，让学生产生强烈的问题意识，使学生的整个学习过程成为“猜想”，继而紧张地沉思，期待寻找理由和证明过程。

在实际情况下进行学习，可以使学生利用已有知识与经验，同化和索引出当前学习的新知识，这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。在本问题中使学生感受到一元一次不等式、一元一次方程、一次函数的内在联系

2、导疑：得出本课新的知识点是：一元一次不等式、一元一次方程、一次函数的内在联系

3、导研：讲解例题。……我们在讲解例题时，不仅在于怎样解，更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。在题中：引导学生围挠一元一次不等式、一元一次方程、一次函数的内在联系展开从多个角度进行思考。

4、导练：课后练习使学生能巩固羡慕自觉运用所学知识与解题思想方法。

5、导评：总结结论，强化认识。知识性内容的小结，可把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质；数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。

6、变式延伸，进行重构。重视课本例题，适当对题目进行引申,使例题的作用更加突出，有利于学生对知识的串联、累积、加工，从而达到举一反三的效果。

7、板书。

8、布置作业。针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有佘力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的。

（教学程序：

（一）：课堂结构：导入、导疑、导研、导评、导练、布置作业等几部分。

（二）：教学简要过程：

1：复习提问：（理由是： ）；2：导入讲授新课： ；3：课堂练习：4：新课巩固：5：作业布置；）

7.一元一次不等式(组)考点快递 篇七

考点一考查不等式的基本性质

例1 (广西柳州)若a<b,则下列各式中一定成立的是().

分析:由条件a<b,根据不等式的基本性质1可知a-1<b-1.而根据不等式的基本性质2,3可知(B)(C)(D)选项均有错误.故选择(A).

点评:本题主要考查不等式的基本性质的应用,这类试题一般以选择题或填空题的方式出现,一般使用排除法来解.解决这样的问题关键是灵活掌握不等式的三条基本性质.

考点二考查不等式(组)的解集在数轴上的表示

例2 (湖南怀化)不等式组的解集在下列数轴上表示正确的是().

分析:先求出不等式组每一个不等式的解集然后按照“大于向右画,小于向左画,有等号用实心点,无等号用空心点”进行选择即可·

解:解不等式2x+6>0的解集为;x>-3;解不等式5x≤x+8的解集为x≤2.把这两个解集根据“大于向右画,小于向左画,有等号用实心点,无等号用空心点”在数轴上表示出来,应该选择(B).

点评:本题主要考查不等式组的解集在数轴上的表示及数形结合的思想的应用,遇到这类问题一般要解出不等式组中每一个不等式的解集,然后再根据有关要求得出结论.

考点三一元一次不等式(组)的解法

例3 (赤峰)解不等式组,并判断是否满足该不等式组.

分析:不等式组是由两个不等式组成的,因此只要分别求出每个不等式的解集,再取公共部分即可.

解:解不等式x+3>0,得x>-3.

解不等式2(x-1)+3≥3x,得x≤1.

所以不等式组的解集为-3<x≤1.

因为,所以满足该不等式组.

点评:本题考查了不等式组的解集的求法及确定方法,又考查了不等式组解的定义,一般不等式组解集的确定方法除了用数轴以外,也可按照口诀“①大大取大;②小小取小;③大小小大找不了;④小大大小,中间找.”来取.不等式解的检验重在考查数值是否在不等式组解集当中.

考点四确定不等式(组)中待定字母的值或取值范围

例4 (烟台市)如果不等式组的解集是0≤x1<,那么a+b的值为＿＿＿＿＿＿.

分析:因为该不等式组解集为0≤x<1,即是解集的公共部分,如果通过用数轴上分析,可分别求出a、b的值.

解:原不等式组可变形为,由于公共部分为0≤x<1,所以有4-2a=0,得a=2;由,得b=-1.故a+b=2-1=1.

点评:本题主要考查同学们会不会根据不等式组的给定的解集来确定未知系数的取值范围,解这类问题可以利用数轴来确定较为容易.

考点五考查不等式与方程相结合

例5 (泸州)关于x的方程kx-1=2x的解为正实数,则k的取值范围是＿＿＿＿＿＿.

分析:先根据方程解的求法,解出其解,然后结合解的特征得出一个新的不等式,从而求出不等式范围.

解:方程kx-1=2x的解为,,因为这个解为正实数,即.

所以k-2>0,所以k>2.

点评:本题主要考查了方程的解及解的意义与不等式之间相结合.充分体现了方程与不等式相互融合来编制试题.

考点六不等式二元一次方程组相结合的考查

例6 (2011湖北随州)若关于x,y的二元一次方程组的解满足x+y<2,则。的取值范围为＿＿＿＿＿＿.

分析:解出关于x,y的解,代入不等式x+y<2,再解关于a的不等式即可.

[答案]a<4

点评:考查二元一次方程组和一元一次不等式的解法.

考点七考查一元一次不等式(组)的应用

例7 (宜宾)响应“家电下乡”的惠农政策,某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台,其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍,购买三种电冰箱的总金额不超过132 000元.已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为:1 200元/台、1 600元/台、2000元/台.

(1)至少购进乙种电冰箱多少台?

(2)若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数,则有哪些购买方案?

分析:本题考查了建立不等式(组)的数学模型解决生活实际问题,这是一道结合当今社会民生为素材的列不等式解决的发方案问题,注意找出问题的不等关系量.

解:(1)设购进乙种冰箱x台,则甲种冰箱2x台,丙冰箱(80-3x)台,依题意

解得x≥14.至少购进乙种电冰箱14台.

(2)由解此不等式组得14≤x≤20.于是有

要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数,有3种购买方案:

购买甲种冰箱28台,乙种冰箱14台,丙种冰箱38台;

购买甲种冰箱30台,乙种冰箱15台,丙种冰箱35台;

购买甲种冰箱32台,乙种冰箱16台,丙种冰箱32台.

8.20240511一元一次不等式及其应用 篇八

面对这样一个框架，我们可能要思考，这个框架中各个具体环节的学习有什么样的侧重点、难点？有哪些学习的方法可以借鉴？

􀳋 什么是不等式（组）

“这简单，就是反映不等关系的式子呗！”差不离吧.不等式反映着两个量之间的不等关系．比如，两个数的大小比较，小明的年龄比你大，某个图形的面积比另一个图形的面积大等，都可以用不等式表示.

“那我明白了，几个不等式合在一起就组成了不等式组，就像方程组一样.”是的！当然，未知数必须同时满足组内的所有不等式.

􀳋 如何列不等式（组）

接着的问题当然是列不等式（组）了.告诉你一个小秘密，只要一道题目中有“至少”、“至多”、“不少于”、“在什么范围内时”这些字眼，实际上就暗示着要用到不等式了．那么如何列不等式（组）呢？我们还是看一个例子吧．

例1 某电信公司有两种手机话费计费方式.A：基本月租费50元，每通话1分钟收费0．40元；B：没有基本月租费，每通话1分钟收费0．60元.问：通话时间在什么范围时，选择A方案合算？

要求“通话时间在什么范围时，选择A方案合算”，可以设通话时间为x min，然后设法求出x的范围，这就需要列一个关于x的不等式．如何列不等式呢？我们还是看题意，看题中哪句话对x提出了要求．分别写出两种方案下所付费用与通话时间x之间的关系，不难得到不等式：50＋0．4x＜0．6x．

“哦，不过如此！这和列方程不是一回事吗？只是这里变成了不等号而已.”是的．如果将这道题变为：

例2 某电信公司有两种手机话费计费方式.A：基本月租费50元，每通话1分钟收费0．40元；B：没有基本月租费，每通话1分钟收费0．60元.问：通话多长时间时，两种方案所付话费相同？

你得到的就是一个等式即方程了.

当然，如果具体问题中对未知数提出了两个以上的要求，就得列不等式组了.

例3 某工人制造机器零件.如果每天比预定计划多做1件，那么8天所做零件超过100件；如果每天比预定计划少做1件，那么8天所做零件不到90件.问：这个工人预定每天做几个零件？

如果设这个工人预定每天做x个零件，上面哪几句话对x提出了要求？找出这几句话，很容易得到不等式组：8（x＋1）＞100，

8（x－1）＜90．

􀳋 解不等式（组）

不等式的解法，也类似于方程．只是这里要注意，若不等号两边同乘以或同除以一个负数，不等号的方向要改变.求出几个不等式解集的公共部分，就得到不等式组的解集了.

􀳋 方程、函数与不等式的关系

也许你会想，不等式问题是否可以用方程来解呢？实际上也是可以的.

例如，对于例1，可以先研究例2，得到方程50＋0．4x＝0．6x，解得x＝250．即通话250 min时，两种方案付费相同．然后，根据题意知道，通话时间超过250 min时，超出的部分如按方案A付费每分钟仅付0．4元，而按方案B付费每分钟得付0．6元．因此，通话时间超过250 min时，选择A方案合算.

本题还可借助函数图形，更为直观地求解.分别作出函数y1＝50＋0．4x，y2＝0．6x的图象l1，l2，要求“通话时间在什么范围时，选择A方案合算”，即x在什么范围内时，y1小于y2，也就是说图象上l1低于l2，不难看出此时x＞250．这种利用图象的方法对所有的不等式倒都是适用的，只是可能麻烦了点.

“不等式问题，竟然可以借助方程或函数来解决，奇怪！”这并不奇怪，数学学习中，很多知识之间都存在这样或那样的联系.以后学习一个新的知识时，别忘了和原来所学的知识进行对比，建立联系．在这些知识的联系中，我们才可能更好地掌握新的知识，同时可将新旧知识联系起来形成一个整体.要习惯于进行这样的思考哟，这可是一个十分有效的学习方法！就算编者大朋友对你的提醒吧.

怎么样，理解了吗？再来一题！

<\192.168.0.129本地磁盘 (d)王玲霞数据八年级数学北师大08年1-2期版式+图jjgg.TIF>[练习]

某果品公司想租汽车运送果品.甲汽车公司的出租条件是，每千米收3元；乙汽车公司的出租条件是，付司机工资1 000元，另外每千米收2．5元.问：该果品公司租哪家公司的汽车合算？

参考答案

运输里程少于2 000 km时，选择甲公司合算；超过2 000 km后，选择乙公司合算；等于2 000 km时，选择任意一家公司即可.

本刊快讯

2007年12月5日，在中国少年儿童报刊工作者协会第六届理事大会上，本刊荣获第三届中国优秀少儿报刊金奖．这是继本刊蝉联中共中央宣传部、国家科委、新闻出版总署颁发的“全国优秀科技期刊”，荣获新闻出版总署颁发的国家期刊奖“双百”期刊之后，本刊获得的又一殊荣．

本刊编辑部

9.一元一次不等式教学设计 篇九

李寨中学 樊利军

一、学习目标

1．了解一元一次不等式的定义。2．掌握一元一次不等式的解法。

3．培训学生运用类比方法处理相关内容的能力。

二、能力目标

1.通过类比一元一次方程的解法从而更好地去掌握一元一次不等式的解法，树立学生辩证唯物主义的思想方法。

2.通过本节课的学习，渗透不等式解集的奇异的数学美。

三、学法引导

1．教学方法：类化法、引导实践法、练习法。

2．学生学法：抓住解方程的一般解题步骤，归纳出解不等式的一般步骤。

四、重点难点

重点：掌握一元一次不等式的解法、步骤并准确地求出解集。难点：正确运用不等式的基本性质3，避免变形中出现错误。

五、教具学具准备

直尺、投影仪或电脑、胶片。

六、教学步骤

（一）明确目标

本节课将学习一元一次不等式的求解办法，并能熟练地解之。

（二）整体感知

让学生通过类比的方法既复习了一元一次方程的求解，又快捷地掌握一元一次不等式的求解，从而能更好地区分一元一次方程和一元一次不等式的求解过程的差异。

（三）教学过程 1．创设情境，复习引入（1）提问：①什么叫一元一次方程？

②它的标准形式是什么？（2）解下列方程

（3）指出不等式 的解集，并在数轴上表示出来。

学生活动：第（1）题口答，第（2）题、教师活动：纠正，强调解方程时的常见错误及“• ”与“。”的使用区别．然后指出，解不等式与解一元一次方程相比，最大的区别就是式子两边乘或除以同一个负数时，“不等号”需改变方向，“等号”不改变．除此之外的对式子进行的任何其他变形都是完全相同的。

（教法说明）由于一元一次不等式与一元一次方程在诸多方面都有联系，因此，教学时光复习一元一次方程的有关内容，然后引入一元一次不等式的相应内容，通过仿同求异对比来学习，这样既降低了学习难度，又强化了对新知识的理解。2．探索新知，讲授新课

大家知道，不等式的解集是，变形的理论依据是不等式基本性质1，相当于解方程的移项法则，实际上，解不等式就是运用不等式的三条基本性质，对不等式进行适当变形（去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1）最终将不等式变形为 或 的形式，即求出不等式的解集。

大家知道，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，例如 ．一元二次方程的标准形式是 ．类似地，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式，例如 ： 一元一次不等式的标准形式为 或

注意问题：判断一个不等式是否为一元一次不等式，应先将它化成最简形式，再用定义判断．形如 的不等式不是一元一次不等式，而是矛盾不等式。

解一元一次不等式与解一元一次方程有类似的步骤，但一定要注意当不等式的两边同乘（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向。例1 解不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。例2 解不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。

师生活动：教师板书例1，学生板书例2．（同桌交换练习，指出对方错误井纠正）（教法说明）①通过对比一元一次不等式与一元一次方程的解题步骤，一方面加深学生对相同点的认识，另一方面强化学生对不同点的理解、认识和记忆。②教学时，教师要注意强调不等式性质3的应用、方程变形中常见的错误，及实心圆点与空心圆圈的区别。3．尝试反馈，巩固知识 解下列不等式：

（教法说明）教学时，①、②小题可作抢答题，③、④小题在练习本上完成，然后与投影出示的正确答案进行对比．⑤小题学生口述，这样既锻炼了学生的运算能力，强化了竞争意识，同时也检验了学生解不等式的能力。4．变式训练，培养能力

解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。

师生活动：首先学习练习，教师巡视，了解做题情况．接着与正确解题过程进行对比，最后教师对练习中的共性错误进行纠正和强调． 教师活动：纠正错误及强调注意事项。

（教法说明）通过同桌（或前后桌）的分析讨论，各抒己见，即激发了学生的学习兴趣又强化了学生思维的灵敏性、科学性、主动性。

（四）归纳、扩展 1．本节重点：

一元一次不等式的概念及其解法。2．注意问题：

①不等式性质3的正确使用。

②避免不等式变形中常见的错误（去分母时不要漏乘，移项要变号，书写不能连写不等号等）。

七、布置作业

八、板书设计

6.3 一元一次不等式和它的解法

（一）一、一元一次不等式

概念：只含有一个未知数且未知数次数为1，系数不为0的不等式叫一元一次不等式。

注意：针对最简形式而言。

二、解法（与一元一次方程进行对比）

三、小结

注意：1．不等式性质3。2．变形中常见错误。

三角形内角和定理

李寨中学 樊利军

一、教学目标

1、知识目标：使学生掌握三角形内角和定理，能利用定理准确地进行角度计算，并初步学会利用辅助线证题。

2、能力目标：在实验的过程中，培养学生观察、联想、猜测、论证、探索发现新知识的能力。

3、创新素质目标：培养学生创新思维能力、创新想象能力。

4、德育目标：培养学生敢于发言，敢于提出不同见解；提高学生学习数学的兴趣，增强学好数学的信心。

二、重点及难点：

重点：三角形内角和定理及应用。

难点：三角形内角和定理的证明。

三、教具的选择与使用目的

1、残缺的三角形铁片：形象、生动体现数学来源于生活。

2、橡皮筋：教师演示实验用。

3、三角形纸片：让学生亲自动手体验、观察、研究。

4、多媒体课件：形象、直观、生动,提高课堂效率。

四、教学过程

1、课前准备：

（1）、让学生准备两个三角形纸片；

（2）、残缺的三角形铁片；

（3）、橡皮筋；

（4）、制作课件。

1、导引目标和内容：

师：（边看实物，边说明）一个残缺的三角形铁片形状如图。现测得∠A＝62°，∠B＝47°你能否知道残缺的∠C的度数？（图略）（培养学生观察、分析，把实际问题转化成数学问题的能力。此处是空白点，新颖有趣的实际问题，能激发起学生的好奇心和求知欲，调动学生动脑思考。）

学生可能会有很多种想法，针对学生提出的不同看法，教师进行点拨。有的学生会提出下面问题：

生：如果∠A、∠B、∠C的和是一个确定的数值，其中知道∠A、∠B的度数，就可以求出∠C的度数，反之则不能。

（通过思维和提出问题的过程，培养学生创新意识）

师：∠A、∠B、∠C的和是不是一个确定的数值呢？如果是，等于多少？

2、学生研究体验

⑴猜想三角形内角和 实验一：

师：为了回答这个问题，先观察下面的实验：用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点，放松橡皮筋后点A自动收缩于BC上，请同学们观察A变动时，所形成的一系列三角形△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会发生怎样的变化？ 学生自由发言、讨论

（通过操作过程，让学生观察、联想，总结归纳结论。此处即是空白点又是创新点，给学生留下了广阔的思维空间）

根据学生的实际情况，教师启发学生完成下列问题：

师：三角形的最大内角会不会大于或等于180°？

生：不会。

师：三角形各内角的大小在变化过程中怎样相互联系、相互影响的？ 当点A离BC越来越近时，∠A怎样变化？趋近于多少度？∠B、∠C呢？

生：∠A越来越大，趋近于180°；∠B、∠C越来越小趋近于0°。

师：当点A离BC越来越远时，∠A怎样变化？趋近于多少度？∠B、∠C呢？

生：∠A越来越小，趋近于0°；∠B、∠C越来越大。

师：这时，AB、AC逐渐趋向什么位置关系？

生：AB与AC逐渐趋向平行。

师：∠B与∠C逐渐变成什么关系？

生：∠B与∠C逐渐变成互补的同旁内角，即∠B＋∠C＝180°

师：请同学们猜一猜三角形内角和可能是多少度？

生：180°

这个演示实验不仅显示了三角形内角变化的规律，而且还孕伏了极限思想。

师：180°这一猜想是否准确呢？请同学们做如下两个实验：

学生拿出课前准备好的三角形纸片。

实验二：

先将三角形纸片一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行；然后把另外两角相向对折，使其顶点与对折角的顶点相嵌合，最后得到如图所示的结果（微机出示）（图略）实验三：

将三角形纸片三顶角撕下，随意将它们拼凑在一起（微机出示）

师：通过以上两个实验，你们得出了什么结论？

生：三角形内角之和等于一个平角。

（实验

二、实验三的共同特点是：设法（折叠或剪拼）将三角形处于不同位置的三个内角拼凑在一起，使其拼成一个平角，这样为后面进行逻辑推理论证，提供了直观的数学模型）

⑵证明三角形内角和定理

师：通过观察与实验得出的结论不一定正确、可靠，还需要数学证明。那么怎样证明呢？请同学们继续观察下面的实验：把△ABC中的∠B延着BC平移到∠ECD处，再把∠A倒置于∠C与∠ECD之间的空隙∠ACE的上方。（课件演示）（图略）

师：∠A与∠ACE是否能吻合？

生（齐）：能吻合。

师（追问）：为什么能吻合呢？

生：因为同位角∠B＝∠ECD，所以，AB∥CE

师：答的很好！这个命题你会证明了吗？

生：会证明。

师：请同学们自己证明“三角形三个内角和等于180°”，谁愿意在黑板上做呢？

学生勇跃举手，教师指定一名学生板演，并要求画出图形，写出已知、求证。

已知：△ABC

求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°

证明：作BC延长线CD，过点C作CE∥AB（下略）

师：在证明过程中，我们添画了一条直线CE，使处于原三角形中不同位置的三个角巧妙地拼到一起。为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线通常画成虚线。

⑶探讨其它证法

学生可能会提出问题：三角形内角和定理有没有别的证法？如果学生没有提出，那么教师提出：

师：三角形三个内角和定理是否有其它证法？（既是空白点，又是创新点）

五、巩固与创新性应用。

1、口答残缺的∠C等于多少度？

2、口答：求下列图中∠1的度数.(微机出示)

3、一块大型模板ABCD如图，设计要求是：⑴BA与CD相交成30°角；⑵DA与CB成20°角，请你设计一种方案具有一定的可操作性来说明模板ABCD满足什么条件时，符合设计要求？简要说明你的理由。(微机出示)

（使学生利用所学知识解决实际问题，既锻炼了学生的分析问题、解决问题能力，又使学生感受到身边处处有数学）

六、反思与小结

这节课你的收获是什么？

七、研究性作业：

1、学生自己编一道与三角形内角和定理有关的题。（同学之间相互交流自己成果）

2、这节课我们学习了三角形内角和定理，那么你们能不能运用这个定理推导出四边形内角和、五边形内角和、n边形内角和呢？ 《二元一次方程与一次函数》教学设计

李寨中学 樊利军

教学目标：

知识技能目标：初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。

过程方法目标：通过学生的自主探索的实际操作，加强新旧知识间的联系，培养学生初步的数形结合的意识和能力。

情感、态度、价值观目标：通过学生合作交流，培养学生的合作精神；通过Z+Z智能软件的应用，使学生更积极的参加教学活动，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：

1.二元一次方程和一次函数的关系。

2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。教学难点：

方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。教学过程：

一、问题引入

举例说明什么是二元一次方程？它的解个数如何？举出几组。（学生给出一个方程，如x+y=5,且任意给出几组解）看到x+y=5这个方程，同学们能联想到以前学过的哪些知识? 学生独立思考，合作交流，能联系到一次函数y=5-x，认识到二元一次方程和一次函数有一定关系。(有困难时，教师适当提示)这节课我们就一起来讨论他们之间的关系。

二、探究新知

表示函数的方法还有哪些？ 学生回忆表示函数的三种表达方式。下面请同学们画出一次函数的图象。学生动手操作，师给出问题：

（1）以二元一次方程的解为坐标的点在一次函数图象上吗？（2）一次函数图象上的点的坐标都适合方程吗？

（3）以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同吗？

学生分组讨论以上几个问题（师巡回指导，听取学生不同结论，并适当提示）

在学生实际操作、感受、交流基础上，师在Z+Z智能平台上演示，使学生得到的结论更直观）

学生归纳出二元一次方程与一次函数的关系。师纠正并操作电脑显示。

三、合作交流

四、师操作电脑显示（做一做）

学生以同桌为单位，一生在同一坐标系内作出两个函数图象，另一生解相应的方程组，并比较、分析结果。

得出方程组的解是相应两个函数图象交点的坐标。师在Z+Z平台演示，验证学生结论。

这样，我们又有了解方程组的新的方法??图象法，下面我们一起看一个例题。（师操作电脑显示）

学生独立完成后，一生在Z+Z平台演示作题过程。

学生置疑，我的解和平台演示的不相同。（如学生认识不到，教师适当提示）

学生反思，互相交流讨论，师给予适当引导提示，使学生明确用此方法求出的是二元一次方程的近似解。五.巩固练习师操作电脑，显示习题。学生实际操作，巩固所学知识。

六、小结和作业

师生一起回顾本节主要内容。

七、课堂练习

试一试：有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？一次函数y=2-x，y=5-x的图象之间有何关系你能从中“悟”出些什么吗？ 《二次函数的图像》教学设计

李寨中学 樊利军

教学目标： 知识与技能目标：

1.了解二次函数图象的概念。2.学会用描点法画y=ax2图象。

3.学会观察、归纳、概括函数图像的特征。4.掌握y=ax2图象的位置关系及有关性质。过程与方法目标：

1.经历描点法画函数图像的过程。

2.经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。情感、态度与价值观目标：

进一步培养数形结合方法研究函数的性质。教学重点：

函数 y=ax2型二次函数的描绘和图像特征的归纳。教学难点：

选择适当的自变量和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂；还有提高题实际的应用难度较高。

教学媒体准备： 多媒体 教学设计过程：

一、回顾知识 问题：

1.正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么？ 2.一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么？ 3.反比例函数（k ≠ 0）其图象又是什么？（学生思考后集体回答）

4.二次函数y=ax²+ bx+c（a ≠ 0）其图象又是什么呢？ 5.函数图像画法（列表、描点、连线）

二、探究新知：

1、研究函数的图像

（师生共同列表，描点，连线，得到函数的图像）

2、课内练习画函数⑴ 的图像。

［学生自己画，要求：第一组⑴⑶，第二组⑵⑶，第三组⑴⑶；同桌相互配合，共同完成］

3、函数 的顶点坐标、对称轴有关概念。（教师介绍顶点坐标、对称轴有关概念）

4、课内练习y=2x

5、例1 已知二次函数(a≠0)的图像经过点(-2,-3)。(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式。

(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。（师生共同完成）6.课内练习

练习一：若抛物线（a ≠ 0），过点（-1，3）。（1）则a的值是 ；

（2）对称轴是，开口。

（3）顶点坐标是，顶点是抛物线上的。抛物线在x轴的 方（除顶点外）练习二：已知抛物线 经过点A（-2，-8）。（1）求此抛物线的函数解析式；

（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上。（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。

练习三：某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米。

(1)以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线（a ≠ 0）的解析式；

(2)计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到0.1米）三.课堂小结

1、二次函数(a≠0)的图像是一条抛物线。

2、图象关于y轴对称,顶点是坐标原点。

3、当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点；当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点。

三、布置作业

课本习题2、3、4、5、6

《因式分解》教学设计

李寨中学 樊利军

教学目标

1、认知目标：

（1）理解因式分解的概念和意义。

（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。

2、能力目标：由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。

3、情感目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。

教学重点、难点

重点是因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。

教学准备

实物投影仪、多媒体辅助教学。教学过程 ㈠、情境导入 看谁算得快：（抢答）

(1)若a=101,b=99,则a2-b2=___________；(2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________；(3)若x=-3,则20x2+60x=____________。㈡、探究新知

1、请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。（多媒体出示答案）

(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400；(2)a2-2ab+b2=(a-b)2=(99+1)2 =10000；(3)20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0。

2、观察：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2-2ab+b2 =(a-b)2，20x2+60x=20x(x+3)，找出它们的特点。(等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？)

3、类比小学学过的因数分解概念，得出因式分解概念。（学生概括，老师补充。）

板书课题：§6.1 因式分解

因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也

叫分解因式。㈢、前进一步

1、让学生继续观察：(a+b)(a-b)= a2-b2 ,(a-b)2= a2-2ab+b2，20x(x+3)= 20x2+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？它们有何联系与区别？

2、因式分解与整式乘法的关系：

因式分解

结合：a2-b2=========（a+b）（a-b）

整式乘法

说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。

结论：因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形。（多媒体展示学生得出的成果）㈣、巩固新知

1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？(1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ；

(2)(m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)；(3)2m(m-n)=2m2-2mn；

(4)4x2-4x+1=(2x-1)2；（5)3a2+6a=3a（a+2）；(6)x2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x；

2、你能写出整式相乘（其中至少一个是多项式）的两个例子，并由此得到相应的两个多项式的因式分解吗？把结果与你的同伴交流。

㈤、应用解释

例 检验下列因式分解是否正确：(1)x2y-xy2=xy(x-y)；(2)2x2-1=(2x+1)(2x-1)；(3)x2+3x+2=(x+1)(x+2).分析：检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整式相乘的积与右边的多项式是否相等。

练习计算下列各题，并说明你的算法：(请学生板演)(1)872+87×13(2)1012-992 ㈥、思维拓展

1、若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n=。

2、机动题：（填空）x2-8x+m=(x-4)(),且m=。㈦、课堂回顾

今天这节课，你学到了哪些知识？有哪些收获与感受？说出来大家分享。

提公因式法教学设计

李寨中学 樊利军

教学目标

（一）知识认知要求：

进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法。

（二）能力训练要求：

进一步培养学生的观察能力和类比推理能力。

（三）情感与价值观要求：

通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点。教学重点：

能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式。教学难点：

准确找出公因式，并能正确进行分解因式。教学过程：

一、创设问题情境,引入新课

上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭开这个谜。

二、新课讲解

［例2］把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作为公因式提出来。

解：a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b）

从分解因式的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？ ［例3］把下列各式分解因式:（1）a（x－y）+b（y－x）；（2）6（m－n）3－12（n－m）。

分析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此。

解：（1）a（x－y）+b（y－x）=a（x－y）－b（x－y）=（x－y）（a－b）

（2）6（m－n）3－12（n－m）2 =6（m－n）3－12［－（m－n）］2 =6（m－n）3－12（m－n）2 =6（m－n）2（m－n－2）。

二、做一做（多媒体出示）

请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立（1）2－a=__________（a－2）；（2）y－x=__________（x－y）；（3）b+a=__________（a+b）；（4）（b－a）2=__________（a－b）；（5）－m－n=__________－（m+n）；（6）－s2+t2=__________（s2－t2）。

三、课堂练习（多媒体出示）

1、把下列各式分解因式：（1）x（a+b）+y（a+b）（2）3a（x－y）－（x－y）（3）6（p+q）2－12（q+p）（4）a（m－2）+b（2－m）

:（5）2（y－x）2+3（x－y）（6）mn（m－n）－m（n－m）

2、补充练习：把下列各式分解因式（1）5（x－y）3+10（y－x）（2）m（a－b）－n（b－a）

（3）m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）（4）（b－a）2+a（a－b）+b（b－a）

四、课时小结

本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式。

五、活动与探究

把（a+b－c）（a－b+c）+（b－a+c）（b－a－c）分解因式。•《二元一次方程与一次函数》教学设计

李寨中学 樊利军

教学目标：

知识技能目标：初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。

过程方法目标：通过学生的自主探索的实际操作，加强新旧知识间的联系，培养学生初步的数形结合的意识和能力。

情感、态度、价值观目标：通过学生合作交流，培养学生的合作精神；通过Z+Z智能软件的应用，使学生更积极的参加教学活动，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：

1.二元一次方程和一次函数的关系。

2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。教学难点：

方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。教学过程：

一、问题引入

举例说明什么是二元一次方程？它的解个数如何？举出几组。（学生给出一个方程，如x+y=5,且任意给出几组解）看到x+y=5这个方程，同学们能联想到以前学过的哪些知识? 学生独立思考，合作交流，能联系到一次函数y=5-x，认识到二元一次方程和一次函数有一定关系。(有困难时，教师适当提示)这节课我们就一起来讨论他们之间的关系。

二、探究新知

表示函数的方法还有哪些？ 学生回忆表示函数的三种表达方式。下面请同学们画出一次函数的图象。学生动手操作，师给出问题：

（1）以二元一次方程的解为坐标的点在一次函数图象上吗？（2）一次函数图象上的点的坐标都适合方程吗？

（3）以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同吗？

学生分组讨论以上几个问题（师巡回指导，听取学生不同结论，并适当提示）

在学生实际操作、感受、交流基础上，师在Z+Z智能平台上演示，使学生得到的结论更直观）

学生归纳出二元一次方程与一次函数的关系。师纠正并操作电脑显示。

三、合作交流

四、师操作电脑显示（做一做）

学生以同桌为单位，一生在同一坐标系内作出两个函数图象，另一生解相应的方程组，并比较、分析结果。

得出方程组的解是相应两个函数图象交点的坐标。师在Z+Z平台演示，验证学生结论。

这样，我们又有了解方程组的新的方法??图象法，下面我们一起看一个例题。（师操作电脑显示）

学生独立完成后，一生在Z+Z平台演示作题过程。

学生置疑，我的解和平台演示的不相同。（如学生认识不到，教师适当提示）

学生反思，互相交流讨论，师给予适当引导提示，使学生明确用此方法求出的是二元一次方程的近似解。五.巩固练习

师操作电脑，显示习题。学生实际操作，巩固所学知识。

六、小结和作业

师生一起回顾本节主要内容。

七、课堂练习

试一试：有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？一次函数y=2-x，y=5-x的图象之间有何关系你能从中“悟”出些什么吗？

《二次函数的图像》教学设计

李寨中学 樊利军

教学目标： 知识与技能目标：

1.了解二次函数图象的概念。2.学会用描点法画y=ax2图象。

3.学会观察、归纳、概括函数图像的特征。4.掌握y=ax2图象的位置关系及有关性质。过程与方法目标：

1.经历描点法画函数图像的过程。

2.经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。情感、态度与价值观目标：

进一步培养数形结合方法研究函数的性质。教学重点：

函数 y=ax2型二次函数的描绘和图像特征的归纳。教学难点：

选择适当的自变量和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂；还有提高题实际的应用难度较高。

教学媒体准备： 多媒体 教学设计过程：

一、回顾知识

问题： 1.正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么？

2.一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么？ 3.反比例函数（k ≠ 0）其图象又是什么？

（学生思考后集体回答）4.二次函数y=ax²+ bx+c（a ≠ 0）其图象又是什么呢？ 5.函数图像画法（列表、描点、连线）

二、探究新知：

1、研究函数的图像

（师生共同列表，描点，连线，得到函数的图像）

2、课内练习画函数⑴ 的图像。

［学生自己画，要求：第一组⑴⑶，第二组⑵⑶，第三组⑴⑶；同桌相互配合，共同完成］

3、函数 的顶点坐标、对称轴有关概念。（教师介绍顶点坐标、对称轴有关概念）

4、课内练习y=2x

5、例1 已知二次函数(a≠0)的图像经过点(-2,-3)。(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式。

(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。（师生共同完成）6.课内练习

练习一：若抛物线（a ≠ 0），过点（-1，3）。（1）则a的值是 ；

（2）对称轴是，开口。

（3）顶点坐标是，顶点是抛物线上的。抛物线在x轴的 方（除顶点外）练习二：已知抛物线 经过点A（-2，-8）。（1）求此抛物线的函数解析式；

（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上。（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。练习三：某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米。

(1)以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线（a ≠ 0）的解析式；

(2)计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到0.1米）三.课堂小结

1、二次函数(a≠0)的图像是一条抛物线。

2、图象关于y轴对称,顶点是坐标原点。

3、当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点；当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点。

三、布置作业

课本习题2、3、4、5、6

《因式分解》教学设计

李寨中学 樊利军

教学目标

1、认知目标：

（1）理解因式分解的概念和意义。

（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。

2、能力目标：由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。

3、情感目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。

教学重点、难点

重点是因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。

教学准备

实物投影仪、多媒体辅助教学。教学过程 ㈠、情境导入 看谁算得快：（抢答）

(1)若a=101,b=99,则a2-b2=___________；(2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________；(3)若x=-3,则20x2+60x=____________。㈡、探究新知

1、请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。（多媒体出示答案）(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400；

(2)a2-2ab+b2=(a-b)2=(99+1)2 =10000；(3)20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0。

2、观察：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2-2ab+b2 =(a-b)2，20x2+60x=20x(x+3)，找出它们的特点。(等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？)

3、类比小学学过的因数分解概念，得出因式分解概念。（学生概括，老师补充。）

板书课题：§6.1 因式分解

因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。

㈢、前进一步

1、让学生继续观察：(a+b)(a-b)= a2-b2 ,(a-b)2= a2-2ab+b2，20x(x+3)= 20x2+60x, 它们是什么运算？与因式分解有何关系？它们有何联系与区别？

2、因式分解与整式乘法的关系：

因式分解

结合：a2-b2=========（a+b）（a-b）整式乘法

说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。

结论：因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形。（多媒体展示学生得出的成果）

㈣、巩固新知

1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？(1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ；

(2)(m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)；(3)2m(m-n)=2m2-2mn；

(4)4x2-4x+1=(2x-1)2；（5)3a2+6a=3a（a+2）；(6)x2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x；

2、你能写出整式相乘（其中至少一个是多项式）的两个例子，并由此得到相应的两个多项式的因式分解吗？把结果与你的同伴交流。

㈤、应用解释

例 检验下列因式分解是否正确：(1)x2y-xy2=xy(x-y)；(2)2x2-1=(2x+1)(2x-1)；(3)x2+3x+2=(x+1)(x+2).分析：检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整式相乘的积与右边的多项式是否相等。

练习计算下列各题，并说明你的算法：(请学生板演)(1)872+87×13(2)1012-992 ㈥、思维拓展

1、若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n=。

2、机动题：（填空）x2-8x+m=(x-4)(),且m=。㈦、课堂回顾

10.《一元一次不等式》的教学反思 篇十

1.知识网络图不是由学生自我总结得出的2.没有和学生共同分析知识结构图中各部分内容之间的关联

3.网络图中做了链接，学生点击后进入链接内容，知识网络很快消失。

11.20240511一元一次不等式及其应用 篇十一

1． 已知直线y＝kx＋b经过（0，1）点，且经过第一、二、三象限，则当x＞0时，y．

2． 若直线y1＝x＋n与直线y2＝mx－1相交于点（1，－2），则当x时，y1≤y2．

3． 已知y1＝3x－3 ，y2＝－x＋2，当x时，y1≥y2．

4． 写出下列不等式组的解集．

（1） 不等式组x＞3，

x＞－3的解集是． （2） 不等式组x＜－2，

x＜－6的解集是．

（3） 不等式组x＜－1，

x＜2，

x＞－6的解集是． （4） 不等式组x≥

，

x≤

的解集是．

5． 若关于x的不等式组x－1＞a，

x＋1＜b的解集为1＜x＜3，则a＝；b＝．

6． 若关于y的不等式组2y＞6，

y≤m 无解，则m的取值范围是．

二、选择题（每题3分，共24分）

7．函数y＝－＋1，当x在什么范围时，y的值不小于0？这个范围是（）

A． x≤4B． x≥4C． x≤－4D． x≥－4

8． 函数y＝kx＋b，当x＞5时，y＜0，当x＜5时，y＞0，则 y＝kx＋b的图象必经过（）

A． （0，5）B． （5，0）C． （－5，0）D． （0，－5）

9． 函数y＝kx＋b，当x＝时，y＜0，则k与b的关系是（）

A． 2b＞kB． 2b＜kC． 2b＞－kD． 2b＜－k

10． 由ax＞b得到x＞，a只能是（）

A． a≤0B． a≥0C． a＞0D． a＜0

11． 不等式组5x－1＞3x－4，

－

x≤

－x的整数解的和为（）

A． 1 B． 0C． －1D． －2

12． 若关于x的不等式组x＞a＋2，

x＜3a－2 无解，则实数a的取值范围是（）

A． a＜2 B． a≤2C． a＞2D． a≥2

13． 若a＞b＞c，则关于x的不等式组x＜a，

x＞b，

x＜c的解集是（）

A． b＜x＜aB． c＜x＜bC． c＜x＜aD． 无解

14． 若a，1＋a，－a，1－a四个数在数轴上所对应的点是按从左到右的顺序排列的，那么a满足（）

A． a＜ B． a＜0C． a＞0 D． a＜－

三、解下列不等式组（每题4分，共20分）

15． 7x－9≥4x－3，

6x＋7＜11x＋12； 16．

＋1＞

，

－3≥1；

17． －4＜2x＜4； 18． －3＜3x－1＜5．

四、解答题（19题10分，20～21题每题8分，共26分）

19． 已知函数y＝kx＋b的图象经过（－1，－5）和（1，1）两点．

（1） 当x取什么值时，y≥0？

（2） 当x＜2时，y的取值范围是什么？

20． 若关于x、y的方程组4x＋3m＝2，

8x－3y＝m的解满足x＞0，y＜0，请你求出m的取值范围．

21． 将若干只鸡放入若干个鸡笼．若每个笼里放4只，则有1只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有1笼无鸡可放．那么，至少有几只鸡，几个笼？

12.生活中的一元一次不等式 篇十二

前几天, 小孟所在的学校举办了一次知识竞赛, 小孟作为优秀学生代表, 全程参与了这次竞赛的准备工作, 这次经历让小孟深刻地感受到了一元一次不等式的广泛用途.

【事件一】主办方委托小孟为外地来参赛的学生安排住宿, 由于宿舍有限, 如果每间4人, 那么有20人无法住宿, 如果每间8人, 那么有一间宿舍住不满, 求宿舍间数和外地参赛学生人数.

【分析】想要解决安排住宿的事情也需要数学知识来帮忙.题中“住不满”三个字提示我们用不等式来解决这个问题.

解:设宿舍一共有x间, 则学生的数量就是 (4x+20) 人.如果每间住8人, 则一共可以住8x人, 但有一间住不满.

根据题意可列出不等式:0<8x- (4x+20) <8, 其中x为正整数.

解得5<x<7, 即x=6, 即宿舍的数量是6间, 那么学生的人数就是4x+20=44 (人) 了.

【事件二】比赛当天, 小孟决定打车前往会场, 当地出租汽车起步价为10元 (即行驶距离在5千米以内都需付10元车费) , 达到或超过5千米后, 每行驶1千米加1.2元 (不足1千米也按1千米计) .小孟一共支付车费17.2元, 从小孟家到会场路程大约是多远?

【分析】生活经验告诉我们:乘出租车所走的路程通常不会是整千米数, 计价器按照“进一法”计算路费, 不足1千米的路程也按1千米计, 能乘坐的路程不超过所付费用对应的路程, 显然也可以用不等式来解决这个问题.

解:设从甲地到乙地路程是x千米.

根据题意列出不等式:17.2-1.2<10+1.2 (x -5) ≤17.2, 解得:10 <x ≤11. 也就是说, 小孟家到会场的路程在10到11千米之间.

【事件三】本次知识竞赛共有15道题.竞赛规则是:答对1题记8分, 答错1题扣4分, 不答记0分. 竞赛现场十分火爆, 神箭队有2道题没答, 飞艇队答了所有的题, 两队的成绩都超过了90分, 两队分别至少答对了几道题?

【分析】我们可以分别考虑两队的答题情况, 答对题目得分减去答错题目减分就是队伍的实际得分, “超过”一词提示我们用不等式解决问题.

解:设神箭队答对了x题, 答错了15-2-x, 即 (13-x) 题.

根据题意列出不等式:8x-4 (13-x) >90, 解得x>71/6, 我们取整数值, 神箭队至少答对了12题.

又设飞艇队答对了x题, 答错了 (15-x) 题.

根据题意列出不等式:8x-4 (15-x) >90, 解得, 取整数值, 飞艇队至少答对了13题.

【事件四】竞赛圆满落幕, 小孟准备买块蛋糕来庆祝一下, 蛋糕店的姐姐又给他出了难题:今早蛋糕店制作了招牌蛋糕100块, 成本是每块7元, 零售价定为每块10元.傍晚六点时销售了一半, 为了保证新鲜尽快售完, 准备打折出售.如果要使总利润不低于200元, 那么余下的蛋糕可以按原定价的几折出售?

【分析】生活中经常能看到蛋糕店到了傍晚降价出售, 却很少有人关心促销背后蕴含的数学道理. 题目中不低于这个字眼让我们联想起用不等式来解决问题, 题目里隐藏的不等关系为打折前销售额+打折后销售额≥总成本+总盈利.

解:设余下的蛋糕可以按原定价的x%出售.

打折前销售额:

打折后销售额:

列出不等式

解:x%≥80%, 也就是说, 最多打八折出售.这样既能让客人吃上新鲜的蛋糕, 又能够保店家一定的利润, 看来蛋糕店傍晚折扣的传统也不无道理啊.

【事件五】几天后学校委托小孟将竞赛录像刻录成电脑光盘, 若到电脑城刻录, 每张需8元 (包括空白光盘费) ;若自行刻录, 除租用刻录机需120元外, 每张光盘还需成本4元 (包括空白光盘费) .问刻录这批电脑光盘, 小孟该如何选择, 才能使费用降至最低?

【分析】接到学校委托的任务时, 同学们总是希望尽心竭力地将它办好. 两种刻录方案哪一种费用更低?不知道刻录光盘的数量还真不好说.

解:设需要刻录的光盘共x张.

电脑城刻录费用:8x;

自行刻录费用:120+4x,

电脑城刻录比自行刻录贵时, 8x>120+40.

解得x>30, 也就是说, 超过30张时, 还是自行刻录便宜啊!而且刻录的张数越多越便宜.