高中数学数学证明教案

高中数学数学证明教案（9篇）

1.高中数学数学证明教案 篇一

●知识梳理

1.|x|>a x>a或x<-a(a>0);

|x|0).0)中的a>0改为a∈R还成立吗?

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2.形如|x-a|+|x-b|≥c的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”.

3.含参不等式的求解，通常对参数分类讨论.

4.绝对值不等式的性质：

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

思考讨论

1.在|x|>a x>a或x<-a(a>0)、|x|

2.绝对值不等式的性质中等号成立的条件是什么?

●点击双基

1.设a、b是满足ab<0的实数，那么

A.|a+b|>|a-b|

B.|a+b|<|a-b|

C.|a-b|<||a|-|b||

D.|a-b|<|a|+|b|

解析：用赋值法.令a=1，b=-1，代入检验.

答案：B

2.不等式|2x2-1|≤1的解集为

A.{x|-1≤x≤1} B.{x|-2≤x≤2}

C.{x|0≤x≤2} D.{x|-2≤x≤0}

解析：由|2x2-1|≤1得-1≤2x2-1≤1.

∴0≤x2≤1，即-1≤x≤1.

答案：A

3.不等式|x+log3x|<|x|+|log3x|的解集为

A.(0，1) B.(1，+∞)

C.(0，+∞) D.(-∞，+∞)

解析：∵x>0，x与log3x异号，

∴log3x<0.∴0

答案：A

4.已知不等式a≤ 对x取一切负数恒成立，则a的取值范围是____________.

解析：要使a≤ 对x取一切负数恒成立，

令t=|x|>0，则a≤ .

而 ≥ =2 ，

∴a≤2 .

答案：a≤2

5.已知不等式|2x-t|+t-1<0的解集为(- ， )，则t=____________.

解析：|2x-t|<1-t，t-1<2x-t<1-t，

2t-1<2x<1，t-

∴t=0.

答案：0

●典例剖析

【例1】 解不等式|2x+1|+|x-2|>4.

剖析：解带绝对值的不等式，需先去绝对值，多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解.令2x+1=0，x-2=0，得两个零点x1=- ，x2=2.

解：当x≤- 时，原不等式可化为

-2x-1+2-x>4，

∴x<-1.

当-

2x+1+2-x>4，

∴x>1.又-

∴1

当x>2时，原不等式可化为

2x+1+x-2>4，∴x> .

又x>2，∴x>2.

综上，得原不等式的解集为{x|x<-1或1

深化拓展

若此题再多一个含绝对值式子.如：

|2x+1|+|x-2|+|x-1|>4，你又如何去解?

分析：令2x+1=0，x-2=0，x-1=0，

得x1=- ，x2=1，x3=2.

解：当x≤- 时，原不等式化为

-2x-1+2-x+1-x>4，∴x<- .

当-

2x+1+2-x+1-x>4，4>4(矛盾).

当1

2x+1+2-x+x-1>4，∴x>1.

又1

∴1

当x>2时，原不等式可化为

2x+1+x-2+x-1>4，∴x> .

又x>2，∴x>2.

综上所述，原不等式的解集为{x|x<- 或x>1}.

【例2】 解不等式|x2-9|≤x+3.

剖析：需先去绝对值，可按定义去绝对值，也可利用|x|≤a -a≤x≤a去绝对值.

解法一：原不等式 (1) 或(2)

不等式(1) x=-3或3≤x≤4;

不等式(2) 2≤x<3.

∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3｝.

解法二：原不等式等价于

或x≥2 x=-3或2≤x≤4.

∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3｝.

【例3】 (理)已知函数f(x)=x|x-a|(a∈R).

(1)判断f(x)的奇偶性;

(2)解关于x的不等式：f(x)≥2a2.

解：(1)当a=0时，

f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)，

∴f(x)是奇函数.

当a≠0时，f(a)=0且f(-a)=-2a|a|.

故f(-a)≠f(a)且f(-a)≠-f(a).

∴f(x)是非奇非偶函数.

(2)由题设知x|x-a|≥2a2，

∴原不等式等价于 ①

或 ②

由①得 x∈ .

由②得

当a=0时，x≥0.

当a>0时，

∴x≥2a.

当a<0时，

即x≥-a.

综上

a≥0时，f(x)≥2a2的解集为{x|x≥2a};

a<0时，f(x)≥2a2的解集为{x|x≥-a}.

(文)设函数f(x)=ax+2，不等式| f(x)|<6的解集为(-1，2)，试求不等式 ≤1的解集.解：|ax+2|<6，

∴(ax+2)2<36，

即a2x2+4ax-32<0.

由题设可得

解得a=-4.

∴f(x)=-4x+2.

由 ≤1，即 ≤1可得 ≥0.

解得x> 或x≤ .

∴原不等式的解集为{x|x> 或x≤ }.

●闯关训练

夯实基础

1.已知集合A={x|a-1≤x≤a+2}，B={x|3

A.{a|3

C.{a|3

解析：由题意知 得3≤a≤4.

答案：B

2.不等式|x2+2x|<3的解集为____________.

解析：-3

∴-3

答案：-3

3.不等式|x+2|≥|x|的解集是____________.

解法一：|x+2|≥|x| (x+2)2≥x2 4x+4≥0 x≥-1.

解法二： 在同一直角坐标系下作出f(x)=|x+2|与g(x)=|x|的图象，根据图象可得x≥-1.

解法三：根据绝对值的几何意义，不等式|x+2|≥|x|表示数轴上x到-2的距离不小于到0的距离，∴x≥-1.

答案：{x|x≥-1}

评述：本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法，必须掌握.

4.当0

解：由0x-2.

这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集. ①

或 ②

解不等式组①得解集为{x| ≤x<2}，

解不等式组②得解集为{x|2≤x<5}，

所以原不等式的解集为{x| ≤x<5}.

5.关于x的方程3x2-6(m-1)x+m2+1=0的两实根为x1、x2，若|x1|+|x2|=2，求m的值.

解：x1、x2为方程两实根，

∴Δ=36(m-1)2-12(m2+1)≥0.

∴m≥ 或m≤ .

又∵x1•x2= >0，∴x1、x2同号.

∴|x1|+|x2|=|x1+x2|=2|m-1|.

于是有2|m-1|=2，∴m=0或2.

∴m=0.

培养能力

6.解不等式 ≤ .

解：(1)当x2-2<0且x≠0，即当-

(2)当x2-2>0时，原不等式与不等式组 等价.

x2-2≥|x|，即|x|2-|x|-2≥0.

∴|x|≥2.∴不等式组的解为|x|≥2，

即x≤-2或x≥2.

∴原不等式的解集为(-∞，-2]∪(- ，0)∪(0， )∪[2，+∞).

7.已知函数f(x)= 的定义域恰为不等式log2(x+3)+log x≤3的解集，且f(x)在定义域内单调递减，求实数a的取值范围.

解：由log2(x+3)+log x≤3得

x≥ ，

即f(x)的定义域为[ ，+∞).

∵f(x)在定义域[ ，+∞)内单调递减，

∴当x2>x1≥ 时，f(x1)-f(x2)>0恒成立，即有(ax1- +2)-(ax2- +2)>0 a(x1-x2)-( - )>0

(x1-x2)(a+ )>0恒成立.

∵x10

a+ <0.

∵x1x2> - >- ，

要使a<- 恒成立，

则a的取值范围是a≤- .

8.有点难度哟!

已知f(x)=x2-x+c定义在区间[0，1]上，x1、x2∈[0，1]，且x1≠x2，求证：

(1)f(0)=f(1);

(2)| f(x2)-f(x1)|<|x1-x2|;

(3)| f(x1)-f(x2)|< ;

(4)| f(x1)-f(x2)|≤ .

证明：(1)f(0)=c，f(1)=c，

∴f(0)=f(1).

(2)| f(x2)-f(x1)|=|x2-x1||x2+x1-1|.

∵0≤x1≤1，∴0≤x2≤1，0

∴-1

∴| f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|.

(3)不妨设x2>x1，由(2)知

| f(x2)-f(x1)|

而由f(0)=f(1)，从而

| f(x2)-f(x1)|=| f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)|≤| f(x2)-f(1)|+| f(0)-

f(x1)|<|1-x2|+|x1|<1-x2+x1. ②

①+②得2| f(x2)-f(x1)|<1，

即| f(x2)-f(x1)|< .

(4)|f(x2)-f(x1)|≤fmax-fmin=f(0)-f( )= .

探究创新

9.(1)已知|a|<1，|b|<1，求证：| |>1;

(2)求实数λ的取值范围，使不等式| |>1对满足|a|<1，|b|<1的一切实数a、b恒成立;

(3)已知|a|<1，若| |<1，求b的取值范围.

(1)证明：|1-ab|2-|a-b|2=1+a2b2-a2-b2=(a2-1)(b2-1).

∵|a|<1，|b|<1，∴a2-1<0，b2-1<0.

∴|1-ab|2-|a-b|2>0.

∴|1-ab|>|a-b|，

= >1.

(2)解：∵| |>1 |1-abλ|2-|aλ-b|2=(a2λ2-1)(b2-1)>0.

∵b2<1，∴a2λ2-1<0对于任意满足|a|<1的a恒成立.

当a=0时，a2λ2-1<0成立;

当a≠0时，要使λ2< 对于任意满足|a|<1的a恒成立，而 >1，

∴|λ|≤1.故-1≤λ≤1.

(3)| |<1 ( )2<1 (a+b)2<(1+ab)2 a2+b2-1-a2b2<0 (a2-1)(b2-1)<0.

∵|a|<1，∴a2<1.∴1-b2>0，即-1

●思悟小结

1.解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值.常用的方法是：(1)由定义分段讨论;(2)利用绝对值不等式的性质;(3)平方.

2.解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论.注意：(1)要考虑参数的总取值范围.(2)用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏.

●教师下载中心

教学点睛

1.绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新.在教学中要从绝对值的定义和几何意义来分析，绝对值的特点是带有绝对值符号，如何去掉绝对值符号，一定要教给学生方法，切不可以题论题.

2.无理不等式在新课程书本并未出现，但可以利用不等式的性质把其等价转化为代数不等式.

3.指数、对数不等式能利用单调性求解.

拓展题例

【例1】 设x1、x2、y1、y2是实数，且满足x12+x22≤1，证明不等式(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).

分析：要证原不等式成立，也就是证(x1y1+x2y2-1)2-(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0.

证明：(1)当x12+x22=1时，原不等式成立.

(2)当x12+x22<1时，联想根的判别式，可构造函数f(x)=(x12+x22-1)x-2(x1y1+x2y2-1)x+(y12+y22-1)，其根的判别式Δ=4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1).

由题意x12+x22<1，函数f(x)的图象开口向下.

又∵f(1)=x12+x22-2x1y1-2x2y2+y12+y22=(x1-y1)2+(x2-y2)2≥0，

因此抛物线与x轴必有公共点.

∴Δ≥0.

∴4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0，

即(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).

2.高中数学数学证明教案 篇二

一、辨析概念, 夯实基础

极限思想作为研究函数最基本的方法, 早在古代就有比较清楚的描述。中国魏晋时期杰出的数学家刘薇于公元263年创立了“割圆术”, 就是使用了极限的思想。在近代数学许多分支中一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化。在19世纪, 柯西根据微积分研究的需要改进了极限方法。近年许多专家学者对函数极限的计算方法作了研究, 并取得了一定的突破。房俊、李广民研究了用中值定理求函数极限的方法;曹学锋、孙幸荣讨论了利用无穷小量计算函数的极限。极限思想在高中数学函数中的应用越来越大。

众所周知, 常见的求极限的方法包含无穷小量、重要极限公式、洛必达法则等。但实际在求极限时并不是依靠单一方法, 而是把多种方法加以综合运用。前人在对求函数极限的方法大多是单一的, 没有一个对求函数极限的方法进行全面的归纳总结。对函数极限求解方法的讨论是本文的核心点, 本文通过一些典型例题来讨论求函数极限的解法并加以综合运用。这就需要学生牢固地掌握求极限的方法并对函数极限的方法加以归纳、总结, 希望对初学者有所帮助。

二、重点总结

笔者通过查阅资料总结出各种求函数极限的计算技巧, 然后结合具体的例子给出这些计算技巧的具体应用, 最后对内容进行整合。常见的求极限的方法有定义法、利用极限四则运算、利用夹逼性定理求极限、利用两个重要极限求极限、用洛必达法则、用定积分求极限、利用无穷小量性质和无穷小量与无穷小量之间的关系、利用变量替换等等方法求极限。此外, 数学归纳法也是常见的方法之一。

(一) 定义: (各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材, 这里不一一叙述) 。

说明: (1) 一些最简单的数列或函数的极限 (极限值可以观察得到) 都可以用上面的极限严格定义证明, 例如:

(2) 在后面求极限时, (1) 中提到的简单极限作为已知结果直接运用, 而不需再用极限严格定义证明。

(二) 极限运算法则

定理1已知limf (x) , limg (x) 都存在, 极限值分别为A, B, 则下面极限都存在, 且有

说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件, 当条件不满足时, 不能用。

(三) 两个重要极限

说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身, 还应能够熟练运用它们的变形形式,

(四) 等价无穷小

定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小 (即极限是0) 。

定理3当x→0时, 下列函数都是无穷小 (即极限是0) , 且相互等价, 即有:

说明:当上面每个函数中的自变量x换成g (x) 时 (g (x) →0) , 仍有上面的等价关系成立, 例如:

三、举例解析

极限在高中数学中的应用十分常见, 本文现拟从以下几个例题来探讨求函数极限的方法。

(一) 分类讨论求极限

分两种情况讨论;

说明:先化简, 再求极限是求极限经常用到的方法, 该题考查了数列的基础知识、恒等变形的能力, 分类讨论的数学思想方法和求极限的方法。

(二) 自变量趋向无穷时函数的极限

例求下列极限:

分析:第 (1) 题中, 当x→∞时, 分子、分母都趋于无穷大, 属于“∞/∞”型, 变形的一般方法是分子、分母同除以x的最高次幂, 再应用极限的运算法则.

说明:“∞/∞”型的式子求极限类似于数列极限的求法。

(三) 无穷减无穷型极限求解

例求极限:

分析:含根式的函数求极限, 一般要先进行变形, 进行分子、分母有理化, 再求极限。

(四) 利用运算法则求极限

说明:该题计算时, 要先求和, 再求所得代数式的极限, 不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则, 照搬到无限个数列的加、减、乘、除。

(五) 用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限

说明:要注意p是与n无关的正整数, 不是无限项, 对某些分式求极限应先对式子进行必要的变形, 使之成为便于求极限的形式, 以利问题的解决, 经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等。

(六) 零乘无穷型转化为无穷除无穷型

说明:对于这种含有根号的0·∞型的极限, 可采取分子有理化或分母有理化来实现.如本题是通过分子有理化, 从而化为, 即为∞/∞型, 也可以将分子、分母同除以n的最高次幂即, 完成极限的计算.

(七) 零比零型的极限

(八) 利用数学归纳法求极限

归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法。

(1) 不完全归纳法:根据事物的部分 (而不是全部) 特殊事例得出一般结论的推理方法。

(2) 完全归纳法:根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法。

数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用, 用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论。

说明:数学归纳法步骤如下

(1) 验证当取第一个时结论成立;

(2) 由假设当 () 时, 结论成立, 证明当时, 结论成立;

根据 (1) (2) 对一切自然数时, 都成立。

四、总结

在学习数学的过程中, 敢于探索, 善于总结, 是我们学习数学必须具备的素质。本文只是举例说明了在极限中证明中常用的几种方法的运用, 另外还有很多其它方法可以灵活综合的解决问题, 这需要我们平时多观察和总结。同时, 我们需要在解题时能举一反三, 从概念出发深入分析极限与函数在数学中的应用。

3.高中数学数学证明教案 篇三

摘 要：在证明一个命题成立时，可以证明原命题成立，可以证明它的逆否命题成立，也可以通过证明命题的否定为假来证明原命题为真。当从正面证明一个命题不太容易时，往往用反证法来证明，通过推出矛盾证明假设不成立来证明原命题成立。独立性检验原理也提供了一种证明两个变量有关的方法，这些证明方法有相同之处，也有细微的不同，通过原理与实例相结合来展示逆否命题证法与命题的否定证法、反证法与命题的否定证法和逆否命题证法、独立性检验原理和反证法原理之间的异同。

关键词：原命题；命题的否定；逆否命题；反证法；独立性检验原理

在选修1-1第一章的命题及其关系这一节中我们学习了四种命题及其它們之间的关系，通过研究我们得知，原命题和逆否命题具有相同的真假性，当原命题的证明比较困难时，我们往往选择通过证明原命题的逆否命题成立来证明原命题的成立。在本章的第三节中我们可以得到，命题和命题的否定具有相反的真假性，当证明原命题比较困难时，我们也可以通过证明原命题的否定为假来证明原名题的成立。在选修1-2第二章的直接证明和间接证明这一节我们又学了一种证明方法——反证法。在本书第一章的独立性检验的基本思想及其初步应用这一节中证明两个变量有关的独立性检验原理又是另一种证明的方法。这四种证明方法之间有联系也有区别，极容易混淆，下面通过具体的例子来说明它们之间的差异。

4.高中数学直接证明-分析法 篇四

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2.2 直接证明与间接证明

第2课时

分析法

学习目标：了解分析法的思维过程和特点，掌握分析法的解题步骤；

会用分析法证明一些简单的命题。

证明数学命题时，还经常从要证的结论Q出发，反退回去寻求保证Q成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻找P1成立的充分条件P2；为了保证P2成立，再去寻找P2成立的充分条件P3……知道找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

例 证明基本不等式

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做＿＿＿＿，又叫＿＿＿＿。

用Q表示所要证明的结论.则分析法用框图表示为:

abab(a0,b0).2

合作探究：

例1 求证3725.高二数学选修2-2导学案

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例2.已知,k2(kZ)，且

sincos2sin, sincossin2.1tan21tan2.求证221tan2(1tan)

巩固、提高：

1． 已知a,bR，且2cab.求证：ccabaccab.2 高二数学选修2-2导学案

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2.已知a0,b0,且ab1.求证：(a

课堂小结：

12125)(b)2.ab2 1.综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论；而分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.2.综合法是从原因推导到结果的思维方法，综合法又叫做由因导果法；分析法则是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法，分析法又叫做执果索因法.配餐练习：

1.求证67225.22332.设x0,y0,求证；xy3xy.高二数学选修2-2导学案

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5.用数学归纳法证明不等式教案 篇五

在明确数学归纳法本质的基础上，我们来共同研究它在不等式证明中的应用．

例1 已知x＞－1，且x≠0，n∈N，n≥2．求证：(1＋x)n＞1＋nx．

证：(1)当n=2时，左边=(1＋x)2=1＋2x＋x2，右边=1＋2x，因x2＞0，则原不等式成立．

(在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫)

(2)假设n=k时(k≥2)，不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx．

师：现在要证的目标是(1＋x)k1＞1＋(k＋1)x，请同学考虑．

+

师：现将命题转化成如何证明不等式

(1＋kx)(1＋x)≥1＋(k＋1)x．显然，上式中“=”不成立．故只需证：(1＋kx)(1＋x)＞1＋(k＋1)x．

提问：证明不等式的基本方法有哪些？

(学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结)

师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生丙用放缩技巧证明显然更简便，利于书写．

当n=k＋1时，因为x＞－1，所以1＋x＞0，于是

左边=(1＋x)k1=(1＋x)k(1＋x)＞(1＋x)(1＋kx)=1＋(k＋1)x＋kx2； 右边=1＋(k＋1)x． +

因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1＋x)k1＞1＋(k＋1)x．这就是说，原不等式当n=k

＋＋1时也成立．

根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立．

(通过例1的讲解，明确在第二步证明过程中，虽然可以采取证明不等式的有关方法，但为了书写更流畅，逻辑更严谨，通常经归纳假设后，要进行合理放缩，以达到转化的目的)

例2 证明：2n＋2＞n2，n∈N＋．

证：(1)当n=1时，左边=21＋2=4；右边=1，左边＞右边．所以原不等式成立．

(2)假设n=k时(k≥1且k∈N)时，不等式成立，即2k＋2＞k2．

现在，请同学们考虑n=k＋1时，如何论证2k1＋2＞(k＋1)2成立．

+

师：将不等式2k2－2＞(k＋1)2，右边展开后得：k2＋2k＋1，由于转化目的十分明确，所以只需将不等式的左边向k2＋2k＋1方向进行转化，即：2k2－2=k2＋2k＋1＋k2－2k－3．

由此不难看出，只需证明k2－2k－3≥0，不等式2k2－2＞k2＋2k＋1即成立．

师：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用归纳法，将其逐一验证原命题成立，因此在证明第一步中，应补充验证n=2时原命题成立，那么，n=3时是否也需要论证？

师：(补充板书)当n=2时，左=22＋2=6，右=22=4，所以左＞右；当n=3时，左=23＋2=10，右=32=9，所以左＞右．因此当n=1，2，3时，不等式成立．(以下请学生板书)

(2)假设当n=k(k≥3且k∈N)时，不等式成立．即2k＋2＞k2．因为2k1＋2=2·2k＋2=2(2k

+＋2)－2＞2k2－2=k2＋2k＋1＋k2－2k－3=(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，则k－3≥0，k＋1＞0)

≥k2+2k＋1=(k＋1)2． 所以2k1＋2＞(k＋1)2．故当n=k＋1时，原不等式也成立．根

+据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N都成立．

师：通过例2可知，在证明n=k＋1时命题成立过程中，针对目标k2＋2k＋1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤(把验证

n=1．扩大到验证n=1，2，3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．

例3 求证：当n≥2时，(在这里，学生极易出现错误，错误的思维定势认为从n=k到n=k＋1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，教师在这里要着重分析，化解难点．)

问题的特点，巧妙合理地利用“放缩技巧”，使问题获得简捷的证明：

题的转化途径是：

师：设S(n)表示原式左边，f(n)表示原式右边，则由上面的证法可知，从n=k到n=k＋1命

6.高中数学数学证明教案 篇六

考标要求： 了解命题与逆命题的概念；知道命题有真假，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，其逆命题不一定成立； 能分清命题的条件和结论，能把一个命题写成“如果….那么…..”的形式

重点难点：

重点：命题的定义和形式，区分命题的真假；难点： 判断命题的真假

一 选择题（每小题5分，共25分）

1下列语句中

（1）四川地震让中国人众志成城；（2）中国加油！四川加油！

（3）对顶角相等（4）过直线外的一点有且只有一条直线和已知直线平行

是命题的有（）

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

下列命题是真命题的是（）

A 真命题的逆命题是真命题，B 如果 那么a>b

C 如果 ac>bc,那么a>b;D 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半

3下列命题中，假命题的个数有（）

（1）无限小数是无理数；（2）式子 是二次根式；

（3）三点确定一条直线；（4）多边形的边数越多，内角和越大。

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

下列命题中假命题是（）

A 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ；B 对角线相等的平行四边形是矩形；

C 四条边相等的四边形是菱形 ； D 有一组对边平行的四边形是梯形。

下列命题，真命题是（）

A 如图：如果OP平分∠AOB,那么,PA=PB；

B 三角形的一个外角大于它的一个内角；

C 如果两条直线没有公共点，那么这两条直线互相平行；

D 有一组邻边相等的矩形是正方形。

二 填空题(每小题5分，共25分)命题“对顶角”相等，的条件是_____________________，结论是：______________________________;

7把“同角或等角的余角相等”写成“如果…那么”的形式是______________________

_________________________________________;命题：“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是_________

__________________________________________;命题：“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是______________

_______________________________________;请你任写一个真命题:________________________________________________________;

三 解答题（每小题10分，共50分）写出下列命题的条件和结论并指出它是真命题还是假命题：

（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

7.关于数学证明题的教学 篇七

一、从结论着手, 找出条件与结论之间的关系, 解决问题

证明题与其他类型的题有所不同, 有个突出的特点就是目的性明确。针对这个特点, 我向学生讲明:证明题其实比化简题要好做得多, 每一个题明确地指出要达到什么目的, 这样, 只要我们仔细分析条件与结论的关系, 确定所采用的途径, 就可以证明了。

这个等式左式比较复杂, 可作为条件由它推出右式。先看右式, 发现右式的函数是正切函数, 角是半角, 而左式的函数都是正弦函数, 角有整角与倍角, 要想以左式推出右式, 我们发现必须首先把左右两式的角统一起来。这样就有了解决的方法。

二、创造条件, 解决问题

1. 有些题目的条件与结论之间的关系并不明显, 这时就有必要对结论进一步进行分析, 找出使结论成立的条件, 然后再把它与题中的条件联系起来, 来确定证明途径。

例如, 若方程 (b-c) x2+ (c-a) x+ (a-b) =0的两根相等, 试证:a、b、c成等差数列.

这个题目的条件与结论的关系就不明显, 所以我们先分析使a、b、c成等差数列的条件, 根据定义可知, 如果a-b=c-b则a、b、c成等差, 进一步还有:如果2b=a·b{或b= (a+b) /2}, 则a、b、c成等差, 而由条件“方程两根相等”, 可得判别式“△=0”.而得到关于a、b、c之间的一个等式, 从中只要得到2b=a+c即可, 所以这个题的证明过程应为:

整理得: (c+a-2b) 2=0即2b=a+c∴a、b、c成等差数列.

2. 反证法是数学中一种重要的证明方法, 有些题借用反证法要比其他方法简单得多了。

关于这种方法学生感觉到比较困难的地方是:什么样的题适合用此方法? (此处需要给学生讲明白反证法实际上是利用“原命题”与“逆否命题”之间的等价关系) 。一般是直接去证明“原命题”太复杂, 而其“逆否命题”比较容易证明时采用反证法。有时所要证明的命题结论包含很多方面, 对这些方面必须一一加以证明时, 也可采用反证法。用反证法证明时, 如果在保证你证明的过程没出现错误的情况下, 当推出与原条件或其他事实相矛盾结论时, 就可以结束证明, 并说明原命题是正确的。

3. 数学归纳法是利用自然数集的性质来完成无限递推的过程, 达到证明的目的, 它是一种完全归纳法。

学生借用这种方法进行证明题时, 感到困难的地方就在第二步的证明上, 不会将要证的结论与假设有机联系起来。在这里要给学生讲清第二步中的假设与要证明的部分是一个整体, 命题假设是条件, 要证明的是结论。在证明过程中必须用到假设的结论, 如果没用到假设, 而得到的证明必定是错误的证明。在利用假设的条件进行证明时, 必须要进行比较, 明确它们的异与同, 然后采取相应的方法, 进行证明。

要提高证明题的能力, 还需要有一定的基础知识及一定逻辑思维能力。

摘要：为提高学生的逻辑思维能力, 必须抓好数学课证明题的教学。证明题是数学教学中的一块比较重要的教学内容, 证明题最主要的就是要找到相互之间的关系, 找到每个条件相互之间可能存在的联系。简单举了几个例题, 以此找到证明题教学中的一些方法。

关键词：数学,证明题教学,方法

参考文献

[1]林秀珍.如何提高数学几何证明题的解题能力[J].中学数学参考, 2012 (25) :80.

8.论数学证明的教育价值 篇八

【关键词】数学；数学证明；教育价值

1引言

人类认识从低级到高级的形式依次是：感觉、知觉、表象；概念、判断、推理[1].前三种被称为感性认识，即认识的初级阶段；后三种被称为理性认识，即认识的高级阶段.依此推论，推理位于人类认识的最高层次.从数学的角度看，概念、判断、推理是数学逻辑思维的基本形式.因此，概念、判断、推理是数学的核心内容.数学逻辑推理一般分为三类，即归纳推理（从特殊到一般的推理）、类比推理（从特殊到特殊的推理）和演绎推理（从一般到特殊的推理）.数学证明属于演绎推理的范畴.从数学学习的角度看，数学证明的学习难度一般是比较大的，学生在解答一些数学证明题时更是感到困难重重.如，2010年高考数学四川卷文理科（19）题第（Ⅰ）问，直接考查教材中两角和的余弦公式的证明，全省考生完全答对的不到千分之一[2].又如，很多学生对平面几何证明感到困难，不知为什么要证明，也不知怎样去证明，对几何证明中的辅助线的添加（构造）更是感到无所是从.中国的中小学在全面实施新课改以后，由于初中数学明显降低了对证明的要求，从而导致学生到高中和大学对数学证明感到畏惧甚至是恐惧，正如单墫教授所说：“最糟糕的是很多学生初中毕业竟不知道什么是数学证明.”[3]黄秦安教授在分析“初中数学新课程标准存在结构性缺陷”时指出：“数学证明和推理是数学的灵魂之一.推理和证明的要求降低，具有显性和潜在的不良后果.”[4]这些现象应该引起大家对数学证明教学的反思和研究.

2数学证明的意义

最早的数学证明出现在欧几里德的《几何原本》.欧几里德的《几何原本》自诞生以来一直被公认为是演绎逻辑系统和公理化思想的典范，一直作为最经典的数学教科书，在西方国家的发行量仅次于《圣经》而排在第二位，它培育了一代又一代的思想家、哲学家、科学家、数学家等.数学证明是指根据某个或某些真实命题和概念去断定另一命题的真实性的推理过程.数学证明是应用已经确定其真实性的公理、定义、定理、公式、性质等数学命题来论证某一命题的推理过程.数学证明的方法多种多样.按推理的形式不同可分为演绎证法（最典型的是三段论推理）与归纳证法（主要指完全归纳法）；按是否直接证明原命题可分为直接证法与间接证法（包括反证法、同一法）；按论证的思维形式不同可分为分析法与综合法；此外，还有数学归纳法、反驳法（说明某个命题不成立）等.数学证明的过程一般表现为一系列的推理.

数学证明处于数学理性思维的最高层次.如果说数学是追求理性精神的，那么数学就离不开数学证明.大家知道，古希腊数学家非常强调严密的逻辑推理，他们甚至在自己的门上写着“不懂几何者不得入内”，但他们并不关心经过数学逻辑推理而获得研究成果的实用性，而是教育人们学习和掌握严密的逻辑推理方法，从而，激发了人们对理想的追求和美的热爱，并创造了优美的文学、深邃的哲学、丰富的几何、精美的雕塑以及神奇的建筑.反观中国古代的数学，数学家们崇尚和追求数学的实用价值，其最大的缺点是缺少严格论证（数学证明）的思想.由于数学模型、数学思想、数学推理、数学方法等是建构近代科学宏伟大厦的脊梁，而中国人又长期保持了缺乏数学理性思维的惯性.因此，必然导致近代自然科学不会在中国产生.正如杨玉良院士所说：“严密的逻辑推理和论证是精密科学所必不可少的，没有演绎逻辑学就不可能诞生以牛顿力学为代表的精密的近代科学.”[5]“缺乏以严密的逻辑推理和论证为特征的数学哲学精神，是无法催生现代科学的.”[5]由此易知，严密的逻辑推理和论证对现代科学的建立和发展是极其重要的.

3数学证明的教育价值

数学证明是人类文明进程中产生的科学、简明的“说理”方式，同时也是数学中最为重要的一种思想方法，是数学教育独特思维训练价值的具体体现[6].关于数学证明的教育价值，一些学者已有不少研究.王申怀教授认为，“数学证明的教育价值在于：通过证明的教与学，使学生理解相关的数学知识；通过证明，训练和培养学生的思维能力（包括逻辑的和非逻辑的思维）以及数学交流能力；通过证明，帮助学生寻找新旧知识之间的内在联系，使学生获得的知识系统化；通过证明，使学生更牢固地掌握已学到的知识，并尽可能让学生自己去发现新知识”[7].熊惠民等认为：“数学证明的教育价值应该体现在：从文化上，让学生体会数学的理性精神，懂得理性地思考问题；从知识上，证明能加深对概念和定理的理解，并能导致发现；从思维上，证明能训练和培养逻辑和非逻辑的思维能力.”[8]G·Polya也说：“如果他没有学会几何证明，他就没学到真实论据的最好和最简单的例子，也错过了获得严格推理概念的最好机会.”[8]罗增儒教授指出：“数学证明有3个主要作用：核实、理解和发现”、“证明是数学的特征，我们的数学教学要全面关注数学证明的3个作用.”[9]

研究者认为，数学证明的教育价值体现在：数学证明是理解数学知识特别是公式（定理、性质等）不可缺少的基本方法，是开发大脑的有效途径，可以激发许多人学习数学的兴趣，有利于培养中国国民的理性精神.

3.1数学证明是理解数学知识特别是定理（公式、性质等）不可缺少的基本方法

理解数学是数学教学的核心目标.《辞海》对“理解”的定义是“了解、领会”，是通过解释事物之间的联系而认识新事物的过程.理解数学就是让学生明白“数学对象之间的联系是基于逻辑的联结”，理解数学是一个认知内化的过程.数学证明是理解数学知识特别是公式（定理、性质等）不可缺少的基本方法.认知心理学家将知识在学习者头脑中的呈现和表达方式称为知识的表征.知识的理解与知识的表征密切相关.对数学公式（定理）的理解就是对这个数学公式（定理）的正确、完整、合理的表征.当学生对数学定理（公式）达到理性认识时才能说对这个公式（定理、性质等）理解了，也可以说，当学生弄懂弄清了公式（定理）的条件、结论、推论以及证明过程的每一步之后，才能说对此公式（定理）理解了.毛泽东在《实践论》中指出：“感觉到了的东西，我们不能立刻理解它，只有理解了的东西才更深刻地感觉它.感觉只解决现象问题，理论才解决本质问题.”数学学习既需要对数学对象的感性认识，更需要对诸多数学对象（如定义、命题）之间的内在逻辑关系达到理性认识.比如，对于数学定义之间的逻辑关系，应弄清哪个定义是上位定义，哪个定义是下位定义，哪些定义具有等价关系；对于数学命题之间的逻辑关系，应弄清哪个结论是某个定理的推论或特例，哪些定理在逻辑上是等价的等，这些都离不开证明.数学证明是数学理论的重要组成部分，是数学严谨逻辑性的根本特征.学生对数学理论的学习，理所当然应理解数学基本公式和重要定理的证明过程，应掌握数学证明的基本方法，如综合法、分析法、反证法等，应认识数学证明的必要性，体会数学证明的理性价值.但非常遗憾的是，作为“数学中最精良的武器——反证法”（阿达玛语），在教学中形同虚设，中考是不考的，甚至据高考命题专家讲高考也不敢理直气壮的考，这可能是这轮课程改革的一大笑话和历史悲剧.

3.2数学证明是开发大脑的有效途径

高效的数学教学重视大脑的开发.着眼于大脑的开发，可着手于适当时机以及合适难度的演绎推理（数学证明）的训练.心理学研究发现，演绎推理中存在的各种认知偏向足以表明人类的推理的确具有非逻辑特性的一面[10].数学证明作为演绎推理的核心内容与基本方法，如果不通过长期的有效训练，“人类推理具有的非逻辑特性一面”恐怕是难以克服的.

皮亚杰关于人的智力发展阶段的理论认为，人的最高级的思维形式是形式运算，所谓形式运算，就是命题运算思维.皮亚杰通过大量的实验观察发现，12至15岁的人的智力已达到“形式运算阶段”的水平，这是和成人思维接近的、达到成熟的思维形式.Kwon和Lawson（2000）的一项研究发现，在青少年早期前额叶的成熟和科学推理能力相关，并且在15岁时表现出明显的飞跃[11].Kwon等认为，这种推理能力要求青少年具有抑制与任务无关信息的能力和显示与任务相关信息的能力[11].在青春期进行数学理性思维的教育、完善大脑与理性思维以及控制执行功能相关的皮层区域不仅是可能的，也是必要的，这为中学阶段的数学推理证明教学提供了脑科学依据[12].脑科学的研究成果表明，青少年在15岁（相当于中国初中二、三年级学生的年龄）时前额叶的成熟接近成人，因此，15岁左右是进行逻辑推理训练的良好时机（也可能是最佳时机）.心理学关于演绎推理的“双加工理论”表明，个体在完成演绎推理任务（规范三段论，条件推理）时，激活了包括左半球和右半球的广泛脑区，涉及枕叶、颞叶、顶叶和前额叶皮层[10].可见，演绎推理的训练可以激活“全脑思维”.脑科学研究发现，大脑皮层具有可塑性.大脑发育与认知发展是相互影响、相互促进的[12].这些理论表明，初中学生的思维已达到命题运算（形式运算）的水平，初中二、三年级学生和高中学生学习和掌握命题之间的关系、比较简单的逻辑推理规则、数学证明方法等是有脑科学研究成果作保障的.通过演绎推理的训练促进学生认知的发展，学生认知的发展又促进或加快大脑的发育和成熟，大脑的发育和成熟又为学生认知的发展提供了强大的硬件基础.因此，初中学生处于学习和训练数学证明的最佳时期.农民都知道播种季节的重要性，如果农作物错过了播种的黄金季节，那么无论怎么施肥补救，都难以改变减产甚至绝收的结果.学习和训练数学证明也是这个道理，错过初中阶段这一最佳学习时期，就会错失逻辑思维训练良机，降低思维发展水平，并对大脑的开发不利.

3.3数学证明可以激发许多人学习数学的兴趣

数学证明可以激发许多人学习数学的兴趣.这里只是说“许多人”而不是所有人（学生）.研究者认为，不可能也不需要激发所有人（学生）对数学证明的学习兴趣.关于数学证明可以激发学习兴趣有许多实例可以证明，下面介绍爱因斯坦、罗素、牛顿、菲尔兹奖获得者丘成桐等对几何证明感兴趣的故事.（1）爱因斯坦对几何证明的兴趣.爱因斯坦说：“在12岁时，……当我得到一本关于欧几里德平面几何的小书时所经历的，这本书里有许多断言，比如，三角形的三个高交于一点，它们本身虽然不是显而易见的，但是可以很可靠地加以证明，以至任何怀疑似乎都不可能，这种明晰性和可靠性给我造成了一种难以想象的印象……如果我能依据一些其有效性在我看来是无容置疑的命题来加以证明，那么我就完全心满意足了……对于第一次经验到它的人来说，在纯粹思维中竟能达到如此可靠而又纯粹的程度，就象希腊人在几何学中第一次告诉我们的那样，是足够令人惊讶的了.”[13]爱因斯坦在12岁就接触和学习平面几何了，他认为他是在感受到逻辑体系的奇迹和逻辑推理的胜利后，才获得了为取得以后的成就所必需的信心的.（2）数学家、哲学家罗素学习欧氏几何到了入迷的程度.他说：“我在11岁的时候，开始学习欧几里德几何，并请我的哥哥教我、这是我一生中的大事，他使我像初恋一样入迷.我当时没有想到世界上还会有这样迷人的东西.”[14]（3）牛顿对欧氏几何的兴趣.年轻时的牛顿原本是一个厌学的学生，是从读了《原本》之后开始了他天才的思维，两年后他发明了微积分[15].（4）世界数学大师丘成桐教授在读小学时，数学常常考不好，对千篇一律的练习，感到枯燥乏味，直到13岁接触到平面几何，发现能用简单的公理来推导漂亮复杂的定理时，情况才有所改变，他随即尝试自己找出有趣的命题，利用公理加以证明，沉迷当中，其乐无穷[16].这些事例清楚地表明，爱因斯坦、罗素、牛顿、丘成桐等许多大数学家、大科学家，正是由于平面几何中的数学证明使他们感受到了逻辑的魅力与力量，激发了他们的好奇心和求知欲，才使他们一步步走上了数学研究或科学研究之路的.需要说明的是，数学证明不是平面几何的专利，而且也广泛地包含在中学代数（如多项式的恒等变换等）的内容中.

需要说明的是，数学证明由于本身具有能力要求高、学习难度大、证题费时多等问题，不少初中学生甚至连大学数学系的学生望数学证明题而生畏，这就造成数学证明因学习困难、题目难做，导致学生对数学学习的挫败感.可见，数学证明既有激发学习兴趣的一面，也有抑制学习兴趣的一面.这一事实是进行数学课程改革和数学教学改革必须正视的.研究者认为，数学证明的教学要求不能搞平均主义，对全体学生提出过高要求或过低要求都是不可取的.可以借用分层教学的理念，对数学证明的教学提出如下建议：让喜欢数学证明的学生多学一些数学证明，让不喜欢甚至讨厌数学证明的学生少学一些甚至学很少一点.

3.4数学证明有利于培养中国国民的理性精神

中国传统文化历来有重经验而轻理论的特点，其直接的结果是中国国民缺乏理性精神.突出量化和恪守逻辑是数学最根本的特点.数学是理性思维的有效方式，数学是培育理性精神的沃土，理性精神是数学贡献给人类极为宝贵的精神财富.所谓理性精神，就是用理性的思维方法去分析事物的特点、揭示现象的本质、证明命题的真假、探索问题的规律，其表现形式是反对愚昧与迷信、反对神秘论与不可知论，不迷信权威但坚信真理，不是人云亦云而是言必有据.理性精神的精髓是信奉真理、敢于批评、质疑反思，这也恰是创新人才应具备的品质.张乃达认为，理性精神的缺失是我国文化的痼疾，这对社会的发展已经造成了巨大的伤害[14].数学理性是一种对周围的事物客观的、定量的看法，一种人们有理有据地推理、论证的思维，一种不迷信权威，坚持真理的精神[17].1995年，Gila Hanna认为，证明是一种透明的辩论，其中所用到的论据、论证及推理过程，都清楚地展示给读者，任由人们公开批评.证明给学生发出了信号，他们能凭自己进行推理，不必向权威低头.因此，证明是反权威的[18].数学计算和证明并不是一系列简单的运算程序或逻辑程序，而是要受到运算法则和数学逻辑的严格控制，对就是对，错就是错.数学计算、演绎证明都不能靠主观愿望的想当然，而只能靠一步一步地推理与计算.通过数学证明的学习或训练，可以培养学生实事求是的科学态度、一丝不苟的严谨学风、言必有据的说理方式、崇尚真理的优秀品格、质疑反思的良好习惯.数学科学是一门老老实实的学问，也可以说，数学证明是一门求“真”的学问，这里的“真”包括逻辑规则的“真”、证明方法的“真”、证明过程的“真”、证明结果的“真”等.数学证明过程中的一切结论都必须有理有据，数学证明必须遵守逻辑、言必有据，数学只崇尚真理而不迷信权威等，数学证明的这些特点，可以促使学生养成诚实正直、思维严谨、敢于批判的优良作风.因此，从中国的传统文化特点和国情来看，适当加强数学证明的教育有利于培养中国国民的理性精神.

参考文献

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[2]赵思林.一道公式推导试题引发的争论与思考[J].数学通报，2011，50（9）：16-18.

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[5]杨玉良.也谈李约瑟之谜[J].（人大复印）科学技术哲学，2008，（12）：71-79.

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[7]王申怀.数学证明的教育价值[J].课程·教材·教法，2000，20（5）：24-26.

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[11]Kwon，Y.，﹠Lawson.A.E.Linking brain growth with the development of scientific reasoning ability and conceptual change during adolescence. Journal of Research in Science Teaching，2000，37（1）：44–62.

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[13]爱因斯坦.爱因斯坦文集（第1卷）[M].许良英，编译，北京：商务印书馆，1977∶570-578.

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[15]史宁中，郭民.中学数学证明的教育价值——数学教育热点问题系列访谈之四[J].课程·教材·教法，2007，27（7）：23-27.

[16]邵红能.国际著名数学家丘成桐[J].中学数学教学参考（上旬），2010，（6）：66-67，71.

[17]赖晓丹.数学理性及其对现代数学教育的启示[J].（人大复印）初中数学教与学，2011，（3）：3-7.

9.高中数学数学证明教案 篇九

（二）【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）

a2b

21.设0＜x＜1,a、b为正常数，的最小值是（）x1x

A.4abB.2(a2+b2)

C.(a+b)2D.(a-b)

2答案：Ca2b2

解析：令x=cosθ,θ∈(0,),则=a2sec2θ+b2csc2θ=a2+b2+a2tan2θ+b2cot2θ≥2x1x

a2+b2+2ab=(a+b)2.2.若a、b∈R,a2+b2=10,则a-b的取值范围是（）

A.［-2，25］B.［-2，2］

C.［-，］D.［0，］

答案：A

解析：设a=cosθ,b=sinθ,则a-b=(cosθ-sinθ)=2·cos(θ+-2,2］.3.已知a∈R+,则下列各式中成立的是（）

A.cos2θ·lga+sin2θ·lgb＜lg(a+b)B.cos2θ·lga+sin2θ·lgb＞lg(a+b)

C.acos2)4bsin=a+bD.acosbsin＞a+b 22

2答案：A

解析：cos2θlga+sin2θlgb＜cos2θlg(a+b)+sin2θlg(a+b)=lg(a+b).4.设函数f(x)=ax+b(0≤x≤1),则a+2b＞0是f(x)＞0在［0，1］上恒成立的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案：B

解析：a+2b＞0a+b＞0f（121)＞0,不能推出f(x)＞0,x∈［0,1］;反之，f(x)＞0,x∈［0,1］2

1f()＞0a+2b＞0.2

5.(2010重庆万州区一模，7)已知函数y=f(x)满足：①y=f(x+1)是偶函数；②在［1，+∞）上为增函数.若x1＜0,x2＞0,且x1+x2＜-2,则f(-x1)与f(-x2)的大小关系是()

A.f(-x1)＞f(-x2)B.f(-x1)＜f(-x2)

C.f(-x1)=f(-x2)D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不能确定 答案：A

解析：y=f(x+1)是偶函数f(x+1)=f(-x+1)f(x+2)=f(-x).又x1+x2＜-2,-x1＞2+x2＞2，故f(-x1)＞f(2+x2)=f(-x2).6.(2010湖北十一校大联考，9)定义在R上的偶函数y=f(x)满足f(x+2)=-f(x)对所有实数x都

成立，且在［-2，0］上单调递增，a=f(37),b=f(),c=f(log18)，则下列成立的是()222

A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.b＞a＞cD.c＞a＞b

答案：B 解析：由f(x+2)=-f(x)有f(x+4)=f(x),∴T=4,而f（x）在R上为偶函数又在［-2，0］上单调递增，所以f(x)在［0，2］上单调递

减.b=f(1137)=f(-)=f(),c=f(log18)=f(-3)=f(1),a=f().22222

∵31＞1＞,∴b＞c＞a.22

227.设a、b、c、d∈R，m=a2b2+c2d2,n=(ac)(bd),则()

A.m＜nB.m＞nC.m≤nD.m≥n

答案：D

解析：设A(a,b),B(c,d),O(0,0),∵|OA|+|OB|≥|AB|,∴得m≥n.二、填空题（每小题5分，共15分）

8.设x＞0,y＞0,A=

答案：A＜B

解析：A= xyxy,B=,则A，B的大小关系是__________________.1xy1x1yxyxy=B.1xy1xyx11y

9.已知x2+y2=1,对于任意实数x,y恒有不等式x+y-k≥0成立，则k的最大值是____________.答案：-

2解析：设x=cosθ,y=sinθ,k≤x+y=sinθ+cosθ=2sin(θ+

-2.10.设｛an｝是等差数列，且a12+a112≤100,记S=a1+a2+…+a11则S的取值范围是______________.答案：［-552，552］ ),∴k≤-2.∴k的最大值为

4aa112aa11aa11解析：由1≥(1)1∈［-52,52］.222

∴S=a1+a2+…+a11 22

=(a1+a11)+(a2+a10)+…+(a5+a7)+a6 =11(a1+a11)∈［-552,552］.2

三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）

11.若x,y均为正数，且x+y＞2.求证: 1y1x与中至少有一个小于2.xy

1y1x1y1x与均不小于2，即≥2且≥2,则1+y≥2x,1+x≥2y.相加得xxyy证明：假设

2+x+y≥2(x+y)，推出x+y≤2,与题设x+y≥2矛盾.故假设错误.n(n1)(n1)2

12.已知an=223+…+n(n1)(n∈N),求证：＜an＜对n∈N*

22*恒成立.证明：an＞222+…+n2=1+2+3+…+n=n(n1), 2

1nn22n(n1)2

而an＜［(1+2)+(2+3)+…+(n+(n+1))］=+(1+2+3+…+n)=＜.2222

13.若a,b,c为三角形三边，x,y,z∈R,x+y+z=0,求证：a2yz+bzzx+c2xy≤0.证明：∵z=-x-y,∴a2yz+b2zx+c2xy=a2y(-x-y)+b2x(-x-y)+c2xy=-b2x2-(a2+b2-c2)yx-a2y2,∴原不等式f(x)=b2x2+(a2+b2-c2)yx+a2y2≥0.

(*)

∵Δ=(a2+b2-c2)2-4a2b2=［(a2+b2+2ab)-c2］［(a2+b2-2ab)-c2］=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c),a,b,c为三角三边，∴Δ＜0.∴b2＞0,∴f(x)＞0对x∈R恒成立，即（*）表示，∴原不等式得证.14.已知：a∈R+,求证：a+4a1a4

a≥17.4

证明：∵a∈R+，设t=a+4a≥2a14=4,则左式=f(t)=t+(t≥4)ta

∴f(t)=(t12)+2在t≥4上递增.t