指数函数的性质及应用

指数函数的性质及应用（共11篇）

1.指数函数的性质及应用 篇一

指数函数及其性质的应用练习题

一、选择题

1.函数y=2x+1的图象是

[答案] A

2.(～重庆市南开中学期中试题)已知f(x)=a-x(a0，且a1)，且f(-2)f(-3)，则a的取值范围是()

A.a B.a1

C.a D.01

[答案] D

3.函数f(x)=ax+(1a)x(a0且a1)是()

A.奇函数 B.偶函数

C.奇函数也是偶函数 D.既非奇函数也非偶函数

[答案] B

4.函数y=(12)x2-3x+2在下列哪个区间上是增函数()

A.(-，32] B.[32，+)

C.[1,2] D.(-，-1][2，+)

[答案] A

5.已知a=0.80.7，b=0.80.9，c=1.20.8，则a，b，c的大小关系是()

A.a>b>c B.b>a>c

C.c>b>a D.c>a>b

[答案] D

[解析] 因为函数y=0.8x是R上的单调减函数，

所以a>b.

又因为a=0.80.7<0.80=1，c=1.20.8>1.20=1，

所以c>a.故c>a>b.

6.若函数f(x)=ax-1+1，x<-1，a-x，x-1(a>0，且a1)是R上的单调函数，则实数a的取值范围是()

A.(0，13) B.(13，1)

C.(0，13] D.[13，1)

[答案] D

[解析] 当a>1时，f(x)在(-，-1)上是增函数，在[-1，+)上是减函数，则函数f(x)在R上不是单调函数，故a>1不合题意;当0

二、填空题

7.函数y=19x-1的定义域是________.

[答案] (-，0]

[解析] 由题意得(19)x-10，即(19)x1，x0.

8.函数y=(23)|1-x|的单调递减区间是________.

[答案] [1，+)

[解析] y=(23)|1-x|=23x-1x1231-xx1

因此它的.减区间为[1，+).

9.对于函数f(x)的定义域中的任意的x1、x2(x1x2)，有如下的结论：

①f(x1+x2)=f(x1)f(x2); ②f(x1x2)=f(x1)+f(x2);

③fx1-fx2x1-x2>0; ④fx1-fx2x1-x2<0

当f(x)=10x时，上述结论中正确的是________.

[答案] ①③

[解析] 因为f(x)=10x，且x1x2，所以f(x1+x2)=10x1+x2=10x110x2=f(x1)f(x2)，所以①正确;因为f(x1x2)=10x110x1+10x2=f(x1)+f(x2)，②不正确;因为f(x)=10x是增函数，所以f(x1)-f(x2)与x1-x2同号，所以及fx1-fx2x1-x2>0，所以③正确.④不正确.

三、解答题

10.比较下列各题中两个值的大小：

(1)1.8-0.1,1.8-0.2;

(2)1.90.3,0.73.1;

(3)a1.3，a2.5(a>0，且a1).

[解析] (1)由于1.8>1，指数函数y=1.8x在R上为增函数.

1.8-0.1>1.8-0.2.

(2)∵1.90.3>1,0.73.1<1，1.90.3>0.73.1.

(3)当a>1时，函数y=ax是增函数，此时a1.3

当0

此时a1.3>a2.5，即当0a2.5;

当a>1时，a1.3

11.(2013～2014昆明高一检测)若ax+1>(1a)5-3x(a>0，且a1)，求x的取值范围.

[解析] ax+1>(1a)5-3xax+1>a3x-5，

当a>1时，可得x+1>3x-5，

x<3.

当0

x>3.

综上，当a>1时，x<3，当03.

12.设f(x)=-2x+12x+1+b(b为常数).

(1)当b=1时，证明：f(x)既不是奇函数也不是偶函数;

(2)若f(x)是奇函数，求b的值.

[解析] (1)举出反例即可.

f(x)=-2x+12x+1+1，

f(1)=-2+122+1=-15，

f(-1)=-12+12=14，

∵f(-1)-f(1)，

f(x)不是奇函数.

又∵f(-1)f(1)，

f(x)不是偶函数.

f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

(2)∵f(x)是奇函数，

f(-x)=-f(x)对定义域内的任意实数x恒成立，

即-2-x+12-x+1+b=--2x+12x+1+b对定义域内的任意实数x恒成立.

即：(2-b)22x+(2b-4)2x+(2-b)=0对定义域内的任意实数x恒成立.b=2，

经检验其定义域关于原点对称，故符合题意.

2.指数函数的性质及应用 篇二

一次函数y=ax+b(a≠0),二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),指数函数y=ax(a>0且a≠1),对数函数y=logax(a>0且a≠1),幂函数y=xa,其中a为任意实数,三角函数反三角函数这些函数和函数y=c(a为常数)通常称之为基本初等函数.

二、函数的定义域

假设所研究的初等函数是由公式表达的,我们研究工作的第一步,就是初等函数的定义域,

1.如果所研究的函数是由几个函数加,减,乘,除运算组成的,那么这个函数的定义域就是各部分定义域的交集,但使得分母为零的变量值不在定义域内.

例1求函数的定义域.

解:x2定义域是(-∞,+∞);logax的定义域是(0,+∞)的定义域是(-∞,3)∪(3,+∞).函数是由各部分x2,logax,进行加减运算组成的,所以它的定义域是各部分函数定义域的交集,即(0,3)∪(3,+∞).

2.如果所研究的函数是由y=f(u),u=Φ(x)所构成的复合函数f[Φ(x)],那么它的定义域就是在u=Φ(x)定义域里能使u=Φ(x)得值属于f(u)的定义域部分.

例2求函数的定义域.

解:函数可以看做是由y=,u=logax所组成的复合函数.函数u=logax的定义域是(0,+∞),函数的定义域是u≥0,所以函数的定义域就是满足下列两个式子的xlg值的集合:即x≥1,在具体确定函数定义域时,还应注意以下几点:(1)函数里如果有分式,分母不为;(2)数里如果有偶次根式,被开方数非负;(3)函数里如果幂指数是无理数或含变量时,底数为正;(4)函数里如果有对数函数,对数符号下的式子应该是正的;(5)函数里如果有形如x2的式子,则x,z不能同时为零;(6)函数里如果有正切函数,正切符号下的式子不能为(k是整数).

三、函数的奇偶性

定义:把函数f(x)的自变量x换成-x(x与-x都在函数的定义域中)(1)如果f(x)=f(-x)则称函数f(x)为偶函数;(2)如果f(x)=-f(x)则称函数f(x)为奇函数.

例如,函数y=x2,y=cosx是偶函数,函数y=x3,y=sinx是奇函数,函数y=x-1即不是奇函数也不是偶函数.由定义容易推知:偶函数的图像是关于y轴对称的,这是由于当f(x)=f(-x)时点(x,f(x)与点(-x,f(-x))关于y轴对称,奇函数的图像是关于轴原点对称的,这是由于当f(x)=-f(x)时点(x,f(x))与点(-x,f(-x))关于轴原点对称.

例3研究函数的奇偶性.

解:由于y=x2,y=-cosx都是偶函数,根据定理(1)得x2+cosx,x2-cosx都是偶函数,又跟据定理(4)得是偶函数,最后根据定理(2)知是偶函数.

五、函数的单调性

定义:若对于函数f(x),在其定义域的某个区间M上,任意两个数x1和x2,它们对应的函数值分别为f(x1),f(x2).

(1)如果当x1f(x2),那么我们称函数F(X)在区间M上是递减的或下降的;(3)如果函数f(x)在区间M上是递增的(或递减的),则称函数f(x)在区间M上是单调的,区间M上称为函数的单调区间.

研究函数的增减性区间,对掌握函数的变化规律是非常重要的.这里主要研究确定函数的单调区间的方法.

3.浅谈三次函数的性质及应用 篇三

一、三次函数的性质及证明

三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象是什么形状呢?单调性呢?是否存在极值?它有哪些性质呢?借助几何画板画出不同三次函数进行验证.归纳发现函数有六类.

通过上面六个图可总结三次函数的一些性质:

函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的导函数为f'(x)=3ax2+2bx+c。我们不妨把方程

3ax2+2bx+c=0称为原函数的导方程,其判别式

Δ=4(b2-3ac)。当Δ>0,设其两根为

x1=-b-b2-3ac3a、

x2=-b+b2-3ac3a,则可得到以下性质:

性质1:函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)

当a>0,Δ0时,y=f(x)是增函数;当Δ>0时,其单调递增区间是(-∞,x1],[x2,+∞),单调递增区间是[x1,x2];

证明:易知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在R上可导,当a>0,Δ0时,y'0,又在R上的任何一个子区间上y'≠0,所以y=f(x)是R上增函数;当Δ>0时,x∈(-∞,x1],x2+∞ 得 y'≥0,所以y=f(x)在(-∞,x1],[x2,+∞)递增;x∈x1,x2得y'0,所以y=f(x)在[x1,x2]递减。

当a<0,Δ0时,y=f(x)是减函数;当Δ>0时,其单调递减区间是(-∞,x2],[x1,+∞),单调递增区间是[x2,x1]。(证明同上)

性质2:函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),当Δ0时,不存在极大值和极小值;当Δ>0时,有极大值f(x1)、极小值f(x2)。根据a和Δ的不同情况,其图象特征分别为:

注:由上图知三次函数有极值Δ>0(证明略)

性质3:函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),x0∈m,n,且,则一定:

f(x)max={f(m),f(x0),f(n)}

f(x)min={f(m),f(x0),f(n)}

性质4:函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是中心对称图形,其对称中心是-b3a,f(-b3a)。

证明:设f(m-x)+f(m+x)=2n,得

[a(m-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d]+[a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d]=2n整理得,(6ma+2b)x2+(2am3+2bm2+2mc+2d)=2n。据多项式恒等对应系数相等,可得m=-b3a且n=am3+bm2+mc+d,从而三次函数是中心对称曲线,且由n=f(m)知其对称中心(m,f(m))仍然在曲线上。而m=-b3a是否具有特殊的意义?对函数f(x)进行两次求导,f″(x)=6ax+2b再令等于0,得x=-b3a,恰好是对称中心的横坐标,这可不是巧合,因为满足f″(m)=0的m正是函数拐点的横坐标,这一性质刚好与图象吻合

性质5:过三次曲线的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且仅有一条;而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线有二条.

证明:由于三次曲线都是中心对称曲线,因此,将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为f(x)=ax3+bx。

若M(x1,y1)是三次曲线f(x)=ax3+bx上的任一点,设过M的切线与曲线y=f(x)相切于(x0,y0),则切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0),因点M上此切线上,故y1-y0=f′(x0)(x1-x0),又y0  = ax0 3 + bx0 ,y1  = ax1 3 + bx1 ,所以ax1 3 + bx1 -(ax0 3 + bx0 ) = (3ax0 2 + b)(x1 -x0 ),整理得:(x0-x1)2(2x0+x1)=0,解得,x0=x1或x0=-x12。

综上所述,当点M是对称中心即x1=0时,过点M作曲线的切线切点是惟一的,且为M,故只有一条切线;当点M不是对称中心即x1≠0时,过点M作曲线的切线可产生两个不同的切点,故必有两条切线,其中一条就是以M为切点(亦即曲线在点M处)的切线。

二、性质的应用(利用上述性质可以比较简便的解决下列高考题)

1. (广东)函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间( )

A.(2,+∞) B.(-∞,2) C.(-∞,0) D.(0,2)

简解:可用性质1,易求得选D

2.(江苏)函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是( )

A. 1,-1 B. 1,-17

C. 3,-17D. 9,-19

解:由上性质3,可求得选C

3.已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,求a 的取值范围.

简解:利用性质2。

4.设函数fx=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数。

(Ⅰ)求b、c的值。

(Ⅱ)求g(x)的单调区间与极值。(解略)

总之,三次函数在高中数学中是个重要的知识点,让学生全面了解它的性质对他们正确解决这一类问题都大有帮助。

作者简介:

4.一元二次函数性质的应用 篇四

课题：一元二次函数性质的应用.教学目标：1．巩固一元二次函数的图象和性质.2．加深对一元二次函数图象和性质的理解.3．培养学生的逻辑思维能力、运算能力和作图能力，培养学生综合解题和灵活解题的能力，渗透数形结合的思想方法.4．培养学生用对立统一的观点、全面的观点、联系的观点和具体问题具体分析的观点处理问题.教学重点：一元二次函数的图象和性质的具体应用.教学难点：应用性质解综合题.教学方法：讲练结合法.教学手段：三角板、投影仪、胶片.课时安排：1课时.课堂类型：练习课.教学过程：课件1 课件2 课件

3一、复习导入

1．复习提问：(学生回答)一元二次函数的图象和性质是什么？

2．导入新课：(老师口述，板书课题.)为加深对二次函数图象和性质的理解，今天我们通过具体实例，研究二次函数的性质的应用.二、讲授新课

1．二次函数的图象和性质.(投影，加深印象.)

(≠0)

＝，其中，.(1)函数的图形是一条抛物线，抛物线顶点的坐标的(－，)，抛物线的对称轴是直线＝－；

(2)当＞0时，函数在＝－处取最小值＝减函数，在[－，＋∞)上是增函数；

(－)，在区间(－∞，－]上是

(3)当＜0时，函数在＝－处取最大值＝增函数，在[－，＋∞)上是减函数.(－)；在区间(－∞，－]上是

2．例题分析：

例3(板书.)求函数上是增函数，哪个区间上是减函数.的最小值和图象的对称轴，并说出它在哪个区间

解：(启发学生思考、分析，讲解、板书.)∵

＝，∴.函数图象的对称轴是直线＋∞)上是增函数.，它在区间(－∞，－]上是减函数，在区间[－，例4已知二次函数(图3-12)试问：

(1)取哪些值时，＝0；

(2)取哪些值时，＞0，取哪些值时，＜0.解：(启发学生思考，分析讲解，板书.)(1)求使＝0的值，即求二次方程的所有根，方程的判别式Δ＝(－1)－4×1×(－6)＝25＞0.解得 ＝－2，＝3.这就是说，当＝－2或＝3时，函数值＝0.(2)画出简图，从图象上可以看出，它与轴相交于两点(－2，0)(3，0)，这两点把轴分成3段，当∈(－2，3)时，＜0，当∈(－∞，－2)∪(3，＋∞)时，＞0.从这个例子我们可以看到，一元二次方程和一元二次不等式有着密切的关系，如求一元二次方程的解，就是求一元二次函数＜0(＞0)的解集，就是求使一元二次函数于零)时，的取值范围.三、课堂练习(投影，启发学生思考、练习，分析讲解，分组讨论，老师总结订正.)

1．用配方法求下列函数的最大值或最小值： 的根；求不等式的函数值小于零(大

(1)；(2)；

(3)；(4).2．求下列函数图象的对称轴和顶点的坐标，并画出图象：

(1)；(2).3．已知函数：

(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴；

(2)已知，不直接计算函数值，求；

(3)不直接计算函数值，试比较与的大小.4．已知函数(－3)和(3)的大小.，不直接计算函数值，试比较(－2)和(4)，5．第90页练习第4(1)、(2)题.四、课堂小结

这节课主要掌握二次函数图象和性质的应用，学会准确灵活地应用性质解题.五、布置作业(投影、说明.)

5.指数函数的性质及应用 篇五

不等式的证明是高中数学中的一个重要内容.由于证题方法多、技巧性强,所以是一个难点.本文介绍应用凹(或凸函数的性质证明不等式的方式,希望给读者以启迪,并起到抛砖引玉的作用.定义 已知函数y =f(x 在给定区间[a ,b ]上,若x 1,x 2∈[a ,b ]恒有f(x 1+ f(x 2≤2f(x 1+x 2 2(当且仅当x 1=x 2时取等号,则称f(x 在[a ,b ]上是凸函数;若恒 有f(x 1+f(x 2≥2f(x 1+x 2 2(当且仅当x 1=x 2时取等号,则称f(x 在[a ,b ]上是凹函数.应用数学归纳法,我们可以证明下面的凹(或凸函数的性质.定理 若函数f(x 在某区间内是凹(或凸函数,则对变数在这区间内的任意值x 1,x 2,x 3,…x n 有以下不等式成立:

f(x 1+x 2+…+x n n ≤f(x 1+f(x 2+…+f(x n n , 当且仅当x 1=x 2=…,=x n 时取等号(对于凸函数不等式方向相反.由凹函数的 定义可知y =x 2(x ∈R ,y = 1 x(x >0为凹函数.事实上,任给x 1,x 2∈R ,都有 x 21+x 22≥12(x 21+2x 1x 2+x 2 2=2(x 1+x 22 2 ,∴ y =x 2(x ∈R 是凹函数.对于任意x 1,x 2∈R +, 1x 1

+ 1x 2 =x 1+x 2x 1 x 2≥ 2x 1 x 2 x 1 x 1 = 2x 1 x 2 ≥ 2 x 1+x 2 2 , 故 y = 1x , x ∈R +是凹函数.利用定义我们还可以证明 y =sin x , x ∈(0,Π是凸函数.下面我们应用凹(或凸 函数的性质,给出某些不等式的证明.例1 已知Α为锐角,求证:

(1+1sin Α(1+1 co s Α ≥3+2 2.证明 ∵ Α为锐角, ∴ sin Α>0, co s Α>0.又 y = 1 x(x ∈R +为凹函数,∴(1+ 1sin Α(1+1 co s Α

=1+1sin Αco s Α+1sin Α+ 1 co s Α ≥1+2sin2Α+ 2 sin Α+co s Α 2 =1+2sin2Α+ 4

2sin(Α+ Π

4≥1+2+4 2 =3+2 2.例2 已知A 1,A 2,A 3,…,A n 是凸n 边形的n 个内角.求证: sin A 1+sin A 2+…+sin A n ≤n sin(n-2Π n.证明 由平面几何知识可知 A i ∈(0,Π,i =1,2,3,…,n ,且A 1+A 2+…+A n =(n-2Π.又y =sin x ,x ∈(0,Π 是凸函数.∴ sin A 1+sin A 2+…+sin A n ≤n sin A 1+A 2+…+A n n =n sin(n-2Πn.而已知A、B、C 为△A B C 的内角, 则 sin A +sin B +sin C ≤

2 是上

述命题中n =3时的特例.例3 已知a +b +c =1,且a、b、c ∈R +,求证:(a +1a 2+(b +1b 2+(c +1c 2≥102 3.证明(a + 1a 2+(b +1b 2+(c +1c 2 ≥3[(a + 1a +(b + 1b +(c +1c ]2 =3[(a +b +c +(1a +1b + 1c 3 ]2 ≥3(1 3 +13 3 1 a + b +c 3 2=3×(13+32=102.应用上题方法可以得到下面的结 7 42004年第11期

中学数学 概率小议

——兼谈广东省2004年高考第13题510631 华南师范大学数学系 孙道椿 1概率的统计定义:记某个随机事件为A,若在u次彼此无关的试验(或观察中出现了v次,则称F u(A=v u 为随

机事件A在u次独立试验中出现的频率.事件 A发生的频率v u 会在某一常数P附近摆动, 且当u越大时,这种摆动幅度越小,则称常数P为事件A的概率,记为P(A.概率的统计定义是一种最基础的定义.它说明了事件的概率是客观存在的.也给出了概率的最原始的求法.从定义可以看出,我们指的随机现象应具有二个条件: ①不确定性:每次实验的结果(事件具有多个可能性,且不能确定每次试验会出现哪种结果.②可重复性:在相同的条件下,试验可重复进行;或者可以同时进行多次的相同试验.平常,人们对第一个条件——不确定性映象很深.对第二个条件——可重复性,往往容易忽视.从定义可以看出,概率论是一门实践性很强的科学.忽视了可重复性,就忽视了它的重要基础.有些事情:比如美国的总统选举.虽然选举前不能确定它的结果,但它不满足可重复性.所以它不是数学中所指的随机现象.因此也不存在“概率”的问题,实际生活中也很少有人问它的概率大小.如果有四人预测美国的选举结果: 甲说“布什有95◊的可能当选.” 乙说“布什有50◊的可能当选.” 丙说“布什有5◊的可能当选.” 丁说“布什肯定不会当选.”

若结果是布什当选了,上面仅有丁一人说错,若布什没有当选,上面四人全没有错,由于美国的选举不可重复.实际上,前面三人说的话是不可验证的,它只是反映了说话人的主观态度及认识,在概率论中是无意义的.一般的随机事件,用统计定义求出它的概率,需要做多次实验(而且还不能找出精确值.为此,对实验合理的设计,数据的处

论: 当x1,x2,…,x n∈R+,且x1+x2+…+ x n=1时,则有(x1+1 x12+(x2+1

x2 2+…+(x n+1 x n 2 ≥(n2+12 n.例4 设a、b、c为△A B C的三边,S是 △A B C的面积.求证: a2+b2+c2≥43S.(第三届国际中学生竞赛题证明 a2+b2+c2≥ab+bc+ca =ab sin C sin C + bc sin A sin A + ca sin B sin B

=2S(1 sin A + 1 sin B + 1 sin C.① 又 y=1 x(x>0为凹函数, ∴ 2S(1 sin A + 1 sin B + 1

sin C ≥2S3

sin A+sin B+sin C 3 =2S 9 sin A+sin B+sin C.②

即 y=sin x, x∈(0,Π为凸函数, 又

sin A+sin B+sin C ≤3sin A+B+C 3 = 33 2 ,③

由①②③可得 a2+b2+c2≥2S 9

2 =43S.通过以上几个不等式的证明,对比常见 的证明方法,显然利用凹(或凸函数的性质 证明不等式要简捷得多.同时我们还可以看 到应用函数的凹凸性证明不等式,不仅可以 巩固有关基础知识,使得某些复杂问题简单 化,而且可以培养学生的解题技巧,发展学生 的思维能力.(收稿日期:20040910 84中学数学

6.反比例函数图像及性质听课评课稿 篇六

章丘六中张业莲

2013年10月14日，我们参加了市教研室在三中举办的片区教研——观摩九年级数学课教学。听了《反比例函数的图象与性质》两课时的新授课。分别由三中的郭安民与焦方敏两位老师分别执教。听后感觉受益匪浅。

《反比例函数的图象与性质》是九年级数学教材中的重点内容，也是难点所在。它安排在学生理解了反比例函数的意义并掌握了用描点法画函数图象的基础上进行教学。如何以新课程的理念设计和实施这节课的课堂教学，一直以来都是初中数学老师关注的焦点。

郭安民老师执教的是第一课时的内容，同时稍微渗透了第二课时的内容。这体现了郭老师整合教材方面的功力。郭老师先以复习反比例函数的定义引入，然后从一次函数的图象及其性质单刀切入，给人自然的感觉。之后主要探究反比例函数图象的画法，让学生通过画图体会反比例函数图象性质。最后深入探究反比例函数图象及性质，并加以实践。整堂课关注学生的发展，分散了教学的难点。渗透数形结合的思想。

焦方敏老师执教的是第二课时的内容。焦老师先复习第一课时所学的反比例函数图象的特点，一系列符合实际的练习题引入。慢慢逐渐引出反比例函数图象的增减性等性质。最后引出了反比例系数k的几何意义，并且以相对应的练习题巩固所学知识。整堂课环环相扣。

综合两位老师的课有以下几个亮点：

1.注重了学生动手操作能力的培养，尤其郭老师课堂上让学生动手画反比例函数图象一环节让学生绘画并交流图象的形状。

2.注重分层指导，所设计的讲题，练习题，作业题比较有梯度。尤其焦老师设计的练习题中链接中考、变式教学更是在巩固知识的同时，做到了与中考挂钩的思想。

3.注重教学策略，优化课堂教学。

两位老师在教学中十分重视学生数学思想的培养与熏陶，整堂课教学节奏流畅，能选择正确的教学策略，优化自己的课堂教学，使课堂教学目标顺利达成。在教学的组织形式上，教师引导学生主动、积极地学，把学习的主动权交给学生，尊重学生，充分体现了学生的主体性，从而很好地激发了学生学习的兴趣，使课堂活跃起来，使学生由“要我学”转到了“我要学”。使学生学得更有兴趣，也学得更扎实到位。

4.教师教学基本功扎实。

两位老师有独特的处理教材、设计教材的能力，对数学教学要点把握较透，并能用具体的教学环节来实现，同时教学语言科学、规范、简约明了、语速适中、声音洪亮。教学风格自然、质朴、随意。

最后，说一下我对这节课的建议：

1.我们在让学生做完反比例函数图像后，应该注意引导学生找出与一次函数不同的地方，（即取值时x的值能不能为0，图像由原来来的直线变成现在的双曲线、由连续的到间断的。）这些学生在做图时还是容易出错的，这里就需要我们老师多加引导和总结。还有就是关于图像与坐标轴有没有交点，如果没有交点为什么？图像又是如何无限去接近于坐标轴的问题。在这里要让学生去观察、体会、感悟。然后在从解析式的方面讲解，让学生真正的理解这个知识点。

2.郭老师第一课时的内容应将比例再协调一下，将画图时间减少，重点放在引导学生总结出反比例函数的图象的性质。可以让学生课前试着做几个图。课上直接研究。

3.焦老师在教授反比例函数中图形面积问题时，要指出“k的几何意义”，让学生明确。

7.浅谈二次函数的性质与应用 篇七

一、深入理解函数概念

函数概念主要是用映射观点来阐明函数, 这时就可以用学生已经有一定了解的函数, 特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A (定义域) 到集合B (值域) 上的映射f:A→B, 使得集合B中的元素y=ax2+bx+c (a≠0) 与集合A的元素x对应, 记为f (x) =ax2+bx+c (a≠0) , 这里ax2+bx+c表示对应法则, 又表示定义域中的元素x在值域中的象, 从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识。

二、二次函数f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 的图象和性质

1、二次函数f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 的图象是一条抛物线抛物线是一条对称图形, 它的对称轴是直线;

2、它的顶点坐标是, 当4ac-b2=0时, 顶点在x轴上, 当时, 顶点在y轴上, 由顶点坐标可以得到二次函数的最大值或最小值。

3、开口方向:当a>0时, 抛物线开口朝上, 函数有最小值, 当a<0时, 抛物线开口朝下, 函数有最大值, |a|越大, 则抛物线的开口越小;

4、增减性:当a>0时, 在区间 (对称轴左侧) 上是减函数, 在 (对称轴右侧) 上是增函数, 当a<0时, 在区间 (对称轴左侧) 上是增函数, 在 (对称轴右侧) 上是减函数;

5、与x轴的交点个数:利用△=b2-4ac的大小来判断。当△>0时, 抛物线与x轴有2个交点, 当△=0时, 有1个交点, 当△<0时, 没有交点。

三、二次函数性质的应用

1、利用二次函数的增减性比较大小

例1点A (-3, y1) 、B (-1.5, y2) 、C (4, y3) 是抛物线y=-0.5x2-x+n上的三点, 试比较y1、y2、y3的大小关系。

解:该抛物线的对称轴为直线x=-1, 点C (4, y3) , 关于直线x=-1的对称点为C1 (-6, y3) , ∵此函数在x<-1范围内, y随x的增大而增大, ∴y2>y1>y3;

2、利用二次函数的增减性求最值

例2已知y=x2+4x+6, 求-1≤x≤1时函数的最值。

分析:此二次函数的对称轴为直线方程x=-2, 当-1≤x≤1位于对称轴的右侧, 函数在此区间上是增函数, 因此当x=-1时, 函数有最小值, 当x=1时, 函数有最大值。

例3已知设f (x) =x2-2x-1在区间[t, t+1]上的最小值是g (t) , 求t (t)

分析:f (x) =x2-2x-1= (x-1) 2-2, 在x=1时取最小值-2, 图象开口向上, 关于直线x=1对称, 因此当1ε[t, t+1]0≤t≤1, t (t) =-2, 当t>1时, g (t) =f (f) =t2-2t-1当t<0时, g (t) =f (t+1) =t2-2

像这类题首先要使学生弄清楚题意, 一般地, 一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值, 但当定义域发生变化时, 取最大或最小值的情况也随之变化。

3、利用二次函数性质求函数解析式

例4已知二次函数的图象与x轴有两个交点, 且他们之间的距离为6, 又知次二次函数的图象对称轴方程为x=2, 且f (x) 有最小值为-9, 求此二次函数的解析式。

8.三角函数性质应用的误区 篇八

例1求函数[y=11+tanx]的定义域．

错解∵[1+tanx≠0]，[∴x≠kπ-π4]，[k∈Z].

[∴]所求函数定义域为[{x|x≠kπ-π4,k∈Z}]．

分析[x=kπ+π2,k∈Z]时，[tanx]没有意义．

正解∵[1+tanx≠0,]

∴该函数定义域为

[{x|x≠kπ-π4]且[x≠kπ+π2,k∈Z}].

点拨求含正切函数的函数定义域时，不仅要解析式有意义，还要正切函数本身有意义，而且还要注意三角函数的定义域中含[k∈Z]时不能用区间表示，如此题答案不能为[kπ-π2,kπ-π4⋃kπ-π4,kπ+π2][(k∈Z)]，因为它表示无穷多个孤立的集合．

例2解不等式[tanx+3>0]．

错解一由[tanx+3>0]得[tanx>-3].

∴[x>kπ-π3,k∈Z].

∴所求不等式解集为[xx>kπ-π3,k∈Z]．

错解二所求不等式解集为[xx>kπ-π3]且[x≠kπ+π2,k∈Z]．

分析错解一，因为没有考虑正切函数定义域；错解二，错用正切函数的单调性.

∵正切函数在每一个区间[kπ-π2,kπ+π2(k∈Z)]上是增函数，在定义域上不是单调函数，

∴不能由[tanx>-3]得[x>kπ-π3,]

且[x≠kπ+π2,k∈Z]．

又[xx>kπ-π3]且[x≠kπ+π2,k∈Z]表示对任何整数[k]，满足[x>kπ-π3]且[x≠kπ+π2] 的一切实数[x]的集合.

∴[xx>kπ-π3]且[x≠kπ+π2,k∈Z]实质上表示实数集R，显然[x=-π3]不是原不等式的解．

正解由正切线或正切曲线得，不等式解集为[xkπ-π3

点拨解三角不等式时不仅要不等式两边和三角函数本身有意义，而且要充分利用三角函数的图象（或三角函数线）和性质（单调性和周期性等）来解．

2. 求值域或最值出错

例3已知[θ∈[-π2，π2]]，求函数[y=sinθ+cosθ]的值域．

错解[∵][sinθ+cosθ=2sin(θ+π4),]

[∴][sin(θ+π4)≤1].

[∴]函数[y=sinθ+cosθ]的值域为[[-2，2]].

分析盲目套用正弦函数有界性，忽视已知角[θ]的取值范围．

正解[∵y=sinθ+cosθ=2sinθ+π4]，

[∴θ∈[-π2,π2]].[∴θ+π4∈[-π4,3π4]].

根据正弦函数在[[-π4,3π4]]上的图象可知，

当[θ+π4=-π4]， [y]有最小值-1；

当[θ+π4=π2]时，[y]有最大值[2]．

[∴]所求值域为[[-1,2]].

点拨求三角函数的值域时要优先考虑已知角的取值范围，否则范围可能过大．

例4已知[2α+β=π]，求[y=cosβ-6sinα]的最小值和最大值．

错解∵[2α+β=π]，即[β=π-2α]，

[∴y=cos(π-2α)-6sina=-cos2α-6sinα=2sin2α-6sinα-1=2(sinα-32)2-112.]

所以[ymin=-112,ymax]不存在．

分析盲目套用二次函数求最值，没有考虑正弦函数的有界性，这里的[sinα]不可能等于[32]．

正解由上得[y=2(sinα-32)2-112].

∵[-1≤sinα≤1]，

[∴]当[sinα=-1]时，[ymax=7]；

当[sinα=1]时，[ymin=-5].

点拨求三角函数最值时，不仅要注意变量角的取值范围，而且要注意用三角函数的有界性（正弦、余弦、正切的值域）．

3. 求单调区间出错

例5 求[f(x)=log2sin2x]的增区间．

错解令[t=sin2x]，[y=log2t]，由复合函数单调性知，即求[t=sin2x]的增区间.

[∴2x∈[2kx-π2,2kπ+π2]k∈Z]，即增区间为[[kπ-π4,kπ+π4](k∈Z)].

分析没有考虑[f(x)]有意义的条件即[sin2x>0]，导致增区间超出了定义域．

正解由[sin2x>0]得，

[2x∈(2kπ,2kπ+π),k∈Z].

由正弦函数的增区间得，

[2x∈(2kπ,2kπ+π2],k∈Z].

[∴]所求增区间为[(kπ,kπ+π4]]，[k∈Z].

点拨求单调区间时优先考虑函数的定义域，因为单调区间是定义域的子集．

例6求函数[y=sin(π4-3x)]的减区间．

错解令[π4-3x=u]，则[y=sinu].

[∵y=sinu在[2kπ+π2,2kπ+3π2](k∈Z)]上递减，

[∴2kπ+π2≤π4-3x≤2kπ+3π2]，

即[-23kπ-5π12≤x≤-23kπ-π12,k∈Z].

故函数的减区间为

[[-23kπ-5π12,-23kπ-π12](k∈Z)]．

分析[∵y=sin(π4-3x)]是[y=sinu与u=π4-3x]复合而成的函数．

又[u=π4-3x]为减函数，

[∴]要求[y=sin(π4-3x)]的减区间即求[y=sinu]的增区间，不应是[[2kπ+π2,2kπ+3π2]][(k∈Z)]，而是[[2kπ-π2,2kπ+π2]][(k∈Z)]．

正解[∵y=sin(π4-3x)=-sin(3x-π4)]，

又[y=sinu在u∈[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈Z)]递增，

[∴2kπ-π2≤3x-π4≤2kπ+π2,]

即[23kπ-π12≤x≤23kπ+π4(k∈Z)].

[∴]所求函数的减区间为

[[23kπ-π12,23kπ+π4] (k∈Z)].

点拨在求三角函数的单调区间时，若自变量系数为负，先利用诱导公式（三）将自变量系数变正，再用相关三角函数的单调性．

4. 判断奇偶性出错

例7判断函数[f(x)=cosx-1]的奇偶性．

错解 [∵f(-x)=cos(-x)-1=cosx-1=f(x)]，

[∴f(x)]是偶函数．

分析对奇偶性的概念理解不到位，只判断是偶函数没有判断是不是奇函数．

正解∵[cosx≥1]，又[|cosx|≤1]，[∴][cosx=1].

[∴f(x)=0][∴f(-x)=-f(x)]且[f(-x)=f(x)].

∴[f(x)]既是奇函数又是偶函数．

点拨判断函数奇偶性时，应考虑奇函数和偶函数两个方面，不能顾此失彼．

例8判断函数[f(x)=1+sinx-cosx1+sinx+cosx]的奇偶性.

错解[f(x)=2sin2x2+2sinx2⋅cosx22cos2x2+2sinx2cosx2]

[=2sinx2(sinx2+cosx2)2cosx2(sinx2+cosx2)=tanx2].

即[f(-x)=tan(-x2)=-tanx2=-f(x)]，所以[f(x)]为奇函数．

分析上述化简不是等价变形，没有考虑[sinx2+cosx2≠0]的要求，导致定义域扩大．

正解∵[1+sinx+cos≠0]，[∴2sin(x+π4)≠1].

[∴][x≠2kπ-π2]且[x≠2kπ+π]，[k∈Z]，可见定义域不关于原点对称.

故[f(x)]为非奇非偶函数．

点拨判断函数的奇偶性一定要先求定义域；且化简时一定要注意等价变形．

5. 求周期出错

例9求[y=2tanx1-tan2x]的周期．

错解[∵y=tan2x]，[∴]周期为[π2].

分析[2tanx1-tan2x]有意义，

则[x≠kπ+π2且x≠kπ±π4,k∈Z].

而[tan2x]有意义，[2x≠kπ+π2]，即[x≠kπ2+π4]，[k∈Z].

[∴2tanx1-tan2x=2tanx]不是等价变形.

正解[y=2tanx1-tan2x]的周期是[π]．

点拨求三角函数的周期时也必须考虑函数的定义域，否则会造成错解．

例10求函数[y=|sinx|+|cosx|]的周期．

错解设[f(x)=y]，

[∵f(x+π)=|sin(x+π)|+|cos(x+π)|]

=[|sinx|+|cosx|=f(x)]，

[∴f(x)]的周期是[π]．

分析三角函数的周期与一般函数的周期不同，是指最小正周期．

正解法一：[∵y=|sinx|+|cosx|>0] [∴]函数[y]的周期与函数[y2=1+|sin2x|]的周期相同，而[y2=1+|sin2x|]的周期为[π2]，所以函数[y=|sinx|+|cosx|]的周期为[π2]．

法二：设[f(x)=|sinx|+|cosx|]

[∵f(x+π2)=|sin(x+π2)|+|cos(x+π2)|]

[=|cosx|+|sinx|=f(x), x∈R,]

且[π2]是满足[f(x+T)=f(x)]的最小正数[T]，

[∴]函数[f(x)]的最小正周期为[π2.]

9.指数函数及其性质的教学方案 篇九

学习目标

1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质;

2. 掌握指数型函数的定义域、值域，会判断其单调性;

3. 培养数学应用意识.

学习过程

一、课前准备

(预习教材P57~ P60，找出疑惑之处)

复习1：指数函数的形式是 ，

其图象与性质如下

a1 0

图

性

质 (1)定义域：

(2)值域：

(3)过定点：

(4) 单调性：

复习2：在同一坐标系中，作出函数图象的草图：

思考：指数函数的图象具有怎样的分布规律?

二、新课导学

※ 典型例题

例1我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口.因此，中国的人口问题是公认的社会问题.第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%.为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策.

(1)按照上述材料中的1%的增长率，从20起，x年后我国的人口将达到年的多少倍?

(2)从2000年起到我国人口将达到多少?

小结：学会读题摘要;掌握从特殊到一般的归纳法.

试试：某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后的总产值为原来的多少倍?多少年后产值能达到120亿?

小结：指数函数增长模型.

设原有量N，每次的增长率为p，则经过x次增长后的总量y= . 我们把形如 的函数称为指数型函数.

例2 求下列函数的定义域、值域：

(1) ; (2) ; (3) .

变式：单调性如何?

小结：单调法、基本函数法、图象法、观察法.

试试：求函数 的定义域和值域，并讨论其单调性.

※ 动手试试

练1. 求指数函数 的定义域和值域，并讨论其单调性.

练2. 已知下列不等式，比较 的大小.

(1) ; (2) ;

(3) ;(4) .

练3. 一片树林中现有木材30000 m3，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材y m3，写出x，y间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m3.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 指数函数应用模型 ;

2. 定义域与值域;

2. 单调性应用(比大小).

※ 知识拓展

形如 的函数值域的研究，先求得 的值域，再根据 的单调性，列出简单的.指数不等式，得出所求值域，注意不能忽视 . 而形如 的函数值域的研究，易知 ，再结合函数 进行研究. 在求值域的过程中，配合一些常用求值域的方法，例如观察法、单调性法、图象法等.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：

1. 如果函数y=ax (a1)的图象与函数y=bx (b1)的图象关于y轴对称，则有( ).

A. ab B. a

C. ab=1 D. a与b无确定关系

2. 函数f(x)=3-x-1的定义域、值域分别是( ).

A. R， R? B. R，

C. R， D.以上都不对

3. 设a、b均为大于零且不等于1的常数，则下列说法错误的是( ).

A. y=ax的图象与y=a-x的图象关于y轴对称?

B. 函数f(x)=a1-x (a1)在R上递减

C. 若a a ，则a1?

D. 若 1，则

4. 比较下列各组数的大小：

; .

5. 在同一坐标系下，函数y=ax, y=bx, y=cx, y=dx的图象如右图，则a、b、c、d、1之间从小到大的顺序是 .

课后作业

1. 已知函数f(x)=a- (aR)，求证：对任何 ， f(x)为增函数.

10.指数函数的性质及应用 篇十

一次函数的图象和性质

一、目的要求

1.使学生能画出正比例函数与一次函数的图象。

2.结合图象，使学生理解正比例函数与一次函数的性质。

3.在学习一次函数的图象和性质的基础上，使学生进一步理解正比例函数和一次函数的概念。

二、内容分析

1、对函数的研究，在初中阶段，只能是初步的。从方法上，是用初等方法，即传统的初等数学的方法，而不是用极限、导数等高等数学的基本工具，并且，比起高中对函数的研究，更多地依赖于图象的直观，从研究的内容上，通常，包括定义域、值域、函数的变化特征等方面。关于定义域，只是在开始学习函数概念时，有一个一般的简介，在具体学习几种数时，就不一一单独讲述了，关于值域，初中暂不涉及，至于函数的变化特征，像上升、下降、极大、极小，以及奇、偶性、周期性，连续性等，初中只就一次函数与反比例函效的升降问题略作介绍，其它，在初中都不做为基本教学要求。

2、关于一次函数图象是直线的问题，在前面学习13.3节时，利用几何学过的角平分线的性质，对函数y=x的图象是一条直线做了一些说明，至于其它种类的一次函数，则只是在描点画图时，从直观上看出，它们的图象也都是一条直线，教科书没有对这个结论进行严格的论证，对于学生，只要求他们能结合y=x的图象以及其它一些一次函数图象的实例，对这个结论有一个直观的认识就可以了。

三、教学过程

复习提问：

1.什么是一次函数?什么是正比例函数?

2.在同一直角坐标系中描点画出以下三个函数的图象：

y=2x y=2x-1 y=2x+1

新课讲解：

1.我们画过函数y=x的图象，并且知道，函数y=x的图象上的点的坐标满足横坐标与纵坐标相等的条件，由几何上学过的角平分线的性质，可以判断，函数y=x，这是一个一次函数(也是正比例函数)，它的图象是一条直线。

再看复习提问的第2题，所画出的三个一次函数的图象，从直观上看，也分别是一条直线。

一般地，一次函数的图象是一条直线。

前面我们在画一次函数的.图象时，采用先列表、描点，再连续的方法.现在，我们明确了一次函数的图象都是一条直线。因此，在画一次函数的图象时，只要在坐标平面内描出两个点，就可以画出它的图象了。

先看两个正比例项数，

y=0.5x

与 y=-0.5x

由这两个正比例函数的解析式不难看出，当x=0时，

y=0

即函数图象经过原点.(让学生想一想，为什么?)

除了点(0，0)之外，对于函数y=0.5x，再选一点(1，0.5)，对于函数y=-0.5x。再选一点(1，一0.5)，就可以分别画出这两个正比例函数的图象了。

实际画正比例函数y=kx(k≠0)的图象，一般按以以下三步：

(1)先选取两点，通常选点(0，0)与点(1，k);

(2)在坐标平面内描出点(0， O)与点(1，k);

(3)过点(0，0)与点(1，k)做一条直线.

这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象.

观察正比例函数 y=0.5x 的图象.

这里，k=0.5>0.

从图象上看， y随x的增大而增大.

再观察正比例函数y=-0.5x 的图象。

这里，k=一0.5<0

从图象上看， y随x的增大而减小

实际上，我们还可以从解析式本身的特点出发，考虑正比例函数的性质.

先看

y=0.5x

任取两对对应值. (x1,y1)与(x2,y2)，

如果x1>x2，由k=0.5>0，得

0.5x1>0.5x2

即yl>y2

这就是说，当x增大时，y也增大。

类似地，可以说明的y=-0.5x 性质。

从解析式本身特点出发分析正比例函数性质，可视学生程度考虑是否向学生介绍。

一般地，正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质：

(1)当k>0时，y随x的增大而增大;

(2)当k<0时，y随x的增大而减小。

2、讲解教科书13.5节例1.与画正比例函数图象类似，画一次函数图象的关键是选取适当的两点，然后连线即可，为了描点方便，对于一次函数

y=kx+b(k,b是常数，k≠0)

通常选取

11.指数函数的性质及应用 篇十一

【关键词】数形结合方法  函數性质  数学方法  应用

【中图分类号】G  【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）12B-0079-02

函数贯穿于整个单招数学学习阶段，是数学教学中的一大难点，学生对函数中的抽象概念与定义难以把握与理解，造成数学课堂教学效率普遍低下。在这种教学情况下，数形结合方法应运而生。所谓数形结合方法，即在函数教学中，教师将函数性质及其抽象的概念用图形的形式呈现给学生，便于学生理解与掌握。它是高中函数教学中一种不可缺少的数学思想教学方法，对教师的数学教学具有重要的指导意义，有助于提高学生的函数学习的能力，提高教师课堂教学效率。数形结合法可以应用到数学教学的多个领域，本文主要探索其在函数性质教学中的具体应用。

一、数形结合方法在函数单调性判断中的应用

在单招数学教学中，函数是其中的一个教学难点。许多学生在这一阶段学习过程中由于无法理解与掌握函数性质的相关知识，找不到数学学习的乐趣与成就感，久而久之就丧失了对数学学习的兴趣与热情。针对这一情况，教师要予以高度的重视，合理地将数形结合方法引入到数学课堂教学中，将函数的抽象概念以图形的形式直观地呈现出来，便于学生记忆与掌握。对此，本文以函数单调性的判断为例，阐述“数”与“形”之间是如何相互转化的。

在教学函数单调性的判断一章节时，教师如果不借助图形直接进行讲解，大部分学生恐怕很难听明白，一堂课下来学生除了解什么叫单调性外，恐怕对其他的内容一无所知，更别说如何判断单调性。但如果教师将数形结合方法运用到其中，可能会收到意想不到的教学效果。

例如：指出函数f（x）=x2+4x+4的单调区间，并求出其在单调区间的单调性。教师在教学时，就可将这一函数进行简单的变形，将f（x）=x2+4x+4变形为f（x）=（x+2）2，这样便于教师作图使其更加直观。在作图时，为了便于学生理解与学习，教师可以先做出f（x）=x2图象，再通过向左平移2个单位即可得到f（x）=（x+2）2的图象，通过一步步的作图相信学生一定对函数的性质了有了更加直观的理解与掌握，并且通过图形学生可以很容易就判断出该函数的单调性，即（-∞，-2）这个区间是单调递减，在[-2，+∞）这个区间单调递增。同时，教师再运用定义法来加以证明，得出更为严谨的结论。

可见，在函数单调性的判断中运用数形结合这种教学方法，能够将抽象的事物具体化、形象化，帮助学生记忆与掌握，增加学生对数学函数学习的兴趣，让他们体会到原来函数学习这么有趣，进而调动他们对数学函数学习的积极主动性，提升数学课堂教学效率。

二、数形结合方法在函数最值求法中的应用

在单招数学教学中，函数最值的求法可以说是一种典型的题型，它主要是考查学生的分析能力与思维逻辑能力，对学生的数学学习能力有很高的要求。正因如此，单招高考命题组常用此类型的题型来进行命题，考查学生的综合能力。然而，对于学生来说，由于受传统教育教学影响较深，他们形成了固定的解题思路，而函数学习对学生思维能力的发散有很高的要求，这对单招学生而言无疑是一个巨大的挑战。在函数教学中，教师如若用传统教育教学方法进行函数最值求法，是无法完成教学目标的。对此，数学教师要善于引用新的数学教学思想方法，帮助学生有效学习，激发他们对数学学习的兴趣，调动他们的主观能动性。而经过教学实践表明，数形结合方法是单招数学函数教学中最为有效的教学方法之一。为了证明数形结合方法在单招数学教学中的有效性，我们将以数形结合法在函数最值中的求法为例，阐述其在函数教学中的具体运用。

例如：求函数的最小值与最大值。在解决这一类型的题型时，直接求解难度非常大，因此，数学教师要灵活运用数形结合方法，善于将这类型的问题与图形相结合来达到教学的目的。在求解时，可以将函数变形为，许多学生肯定会问：这个函数的图象怎么画呢？教师针对学生提出的疑问要积极肯定与引导，这也正是转变学生思维的一次重要机会。函数解析式中，有两个绝对值符号。教师引导学生去绝对值，写成分段函数，我们可以画出分段函数的图象，非常直观地看出函数的最大值和最小值，进而，我们就可以知道函数的最大值以及最小值。

三、数形结合方法在方程个数求解中的应用

在单招数学函数教学中，方程个数的求解是所有函数中适合应用数形结合方法进行教学的。通常情况下，能把图象画出来这道题也随之解决了。在高考中，这种题型基本上是以选择题的形式出现。因此，在实践教学中，教师最好以数形结合方法为主，这样不仅有利于提高学生做题的速度，而且还能有效地激发学生的思维。

例如：请问方程log5x=|sinx|的解的个数是多少？这种题型如果从正面进行求解一般很难求解，教师在教学这一类型的题型时，最为有效的教学方法就是数形结合法，它能直观地反映出两个函数之间的关系。首先要解道题，需要熟练掌握这两种函数的图象以及性质，然后再根据题意画出这两种函数的图象，就可以清晰地知道方程跟的个数。数形结合方法是解这种题型的最好方法，它能使抽象的概念与理论形象化、具体化，易于学生理解与掌握，而且不需要花费太多的时间与精力，这对要参加单招高考的学生而言无疑是珍贵的。由此可知，数形结合方法是高中函数教学中一种重要的教学法，它能使复杂的问题简单化，使抽象的概念具体化、形象化，能帮助学生更好地学习数学，进而提升他们的数学学习能力，提高课堂教学效率。

四、数形结合方法在三角函数中具体应用

在高中数学教学中，函数的形式多种多样，而三角函数就是其中一种最为常见的函数。这种函数虽然难度不大，可以用计算与推理的教学方法来进行教学，但是由于其计算量比较大而且复杂，在操作中容易出现错误，学生在实际答题过程中得分率普遍较低。为了提高学生在三角函数中的得分率，教师可以将数形结合方法引进三角函数中，增加学生对数学三角函数学习的信心。

例如：函数的值域。在解答这类型的题型时，如果用计算与推理的方法进行，不仅浪费时间，而且在计算过程中容易出现错误。为了避免这种失误，教师最好要求学生用数形结合方法进行解答，确保答案的准确性，增强学生对数学学习的信心，进而调动学生的主观能动性，激发他们对数学函数学习的兴趣，使学生积极主动地参与到课堂教学中，提升学生的数学学习能力，培养他们的创新精神与能力，促进课堂教学效率的提升。在高中数学教学中，如果长期将这种教学方法应用到课堂教学中，相信学生的数学能力能最大限度地得到发挥，促进他们德智体美全面发展，为社会培养出一大批优秀的创新型人才，服务于社会，促进社会的进步与发展。

总之，数形结合是与数学知识与数学思想方法紧密结合的一种教学方法，在函数的教学中，不能孤立存在。教师在实践教学过程中，要灵活应用这种教学方法以最大限度地激发学生对数学函数学习的兴趣与热情，使每位学生都能积极参与到课堂教学中，从而提高学生的数学学习技能，提升课堂教学效率，实现全体学生共同进步与发展。

【参考文献】

[1]李源.数形结合思想方法在高中函数教学中的有效渗透与应用[D].扬州大学，2014

[2]卢向敏.数形结合方法在高中数学教学中的应用[D].内蒙古师范大学，2013

[3]卢丙仁.数形结合的思想方法在函数教学中的应用[J].开封教育学院学报，2003（4）

[4]刘冰楠. 数形结合方法在初中数学教学中应用研究[D].内蒙古师范大学，2012