三角形全等的判定答案

三角形全等的判定答案（共14篇）

1.三角形全等的判定答案 篇一

三角形全等的条件

（三）教学目标

1．三角形全等的条件：角边角、角角边．

2．三角形全等条件小结．

3．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．

教学重点

已知两角一边的三角形全等探究．

教学难点

灵活运用三角形全等条件证明．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

1．复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

三个角、三个边、两边一角、两角一边．

（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？

三种：①定义；②SSS；③SAS．

2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？

Ⅱ．导入新课

问题1：三角形中已知两角一边有几种可能？

1．两角和它们的夹边．

2．两角和其中一角的对边．

问题2：

两个三角形中有两个内角分别对应相等，它们的夹边也相等，•观察它们是不是全等，你能得出什么规律？

画一个△A＇B＇C＇，使A＇B＇= AB，∠A＇=∠A，∠B＇=∠B；

画法：

①画A＇B＇= AB；

②在A＇B＇的同旁画∠DA＇B＇=∠A，∠EB＇A＇=∠B，A＇D，B＇E交于点C＇

将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这两个三角形全等．

由此我们可提炼规律：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．

思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？

探究问题4：

如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？

证明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°

∠A=∠D，∠B=∠E

∴∠A+∠B=∠D+∠E

∴∠C=∠F

在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（ASA）．

这也就是说明：两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．

[例]如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．

求证：AD=AE．

[分析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中，所以要证AD=AE，只需证明△ADC≌△AEB即可．

证明：在△ADC和△AEB中

所以△ADC≌△AEB（ASA）

所以AD=AE．

Ⅲ．课时小结

至此，我们有五种判定三角形全等的方法：

1．全等三角形的定义

2．判定定理：边边边（SSS）边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）

推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．

2.三角形全等的判定答案 篇二

为此,笔者在复习三角形全等的判定时,设计了4个问题,与学生一起探究,以求能够帮助学生理解判定三角形全等的条件.

问题1:三角形全等的判定条件至少要几个元素对应相等?

对于只有1个元素或2个元素对应相等的三角形,学生通过画图后思考,能很快举出反例否定.设计这个问题的主要目的是,由于“HL”判定与其他判定相比从形式上看缺少一个字母,从而给学生造成了“HL”判定只需两个条件的印象,在书写证明过程时很容易漏掉“Rt△”这个前提条件.果然,在出示这个问题后,有学生就拿“HL”来说明,这时候组织学生进行讨论,明确“HL”是“斜边直角边”定理的简称,其前提条件是在“Rt△”中,如果不是“Rt△”,两边对应相等就不一定全等了.至此,不难得到结论:三角形全等的判定条件至少要3个元素对应相等.

问题2:有3个元素对应相等的三角形一定全等吗?

根据第一问的结论再提出这个问题,其目的是帮助学生去伪(SSA、AAA)存真.教学时,引导学生根据三角形的6个元素进行分类讨论:

(1)三边对应相等.就是“SSS”公理,显然成立.

(2)三角对应相等.可举出不全等的相似三角形否定.

(3)一边两角对应相等.若边是两角的夹边,就是“ASA”公理,若边是其中一角的对边,就是“AAS”定理,显然成立.

(4)两边一角对应相等.若角为两边夹角,就是“SAS”公理.若角为一边对角时,要弄清这个问题是一个难点,如果让学生自行探索得到正确的结果显然有难度,为此,先要求学生分小组讨论:能否把边角边公理说成“有两边和一角对应相等的两个三角形全等”(结合图形回答).

经过讨论,学生基本能明白图中△ABC和△ABD中虽有两边(AB=ABB,BD=BC)和一角(∠A=∠A)相等,但这两个三角形显然不全等,从而可以说明“SSA”不可以判定三角形全等.得到结论:有3个元素对应相等的三角形不一定全等,如“SSA”和“AAA”.

问题3:“SSA”真的不能全等吗?

已有定论的问题,又被提出,学生会产生很大的疑惑,从而产生强烈的好奇心,迫切想要知其所以然.这时把问题换个角度提出,问:其实有一类三角形“SSA”也能全等,是什么样的三角形呢?学生经过思考后能答出是直角三角形,但这不叫“SSA”而叫“HL”.这时再提出:既然直角三角形有这样的性质,说不定锐角三角形和钝角三角形也有这种可能,请同学们结合图1思考,然后分小组讨论.经过讨论,再加以引导,学生能认识到图1中“SSA”不成立的原因是两个三角形不是同类三角形(其中一个是锐角三角形,另一个是钝角三角形)如果要求是同类三角形就举不出类似的反例了.总之,在同类三角形中,“SSA”也能判定三角形,从判定的条件来看,实际上只要附加一个条件——同类三角形即可.

问题4:多于3个(4个或5个)元素相等,但不一定对应的两个三角形是否全等?

出于强调“对应”的重要性,设计了这个问题.要回答这个问题是有难度的,为此,首先出示例题:给定两个三角形三个角和两组边分别相等,但不对应,判断这样的两个三角形是否全等.学生可以画出示意图判断两个三角形不一定全等.然后再出示图2:其中AB=AD,∠B=∠A CD,LBAC=∠D,∠DAC=∠A CB,判断△ABC是否与△DCA全等.

然后组织学生分小组合作讨论上述两个例子,经过讨论,再加上教师的引导,学生不难发现:尽管有4或5个元素相等,但由于不对应,两个三角形还是不会全等,由此看来,对应关系很重要.

3.三角形全等的常见模式 篇三

一、“公共角”模式

公共角是两个图形中都含有的角，为全等提供了一个自然条件．在判断全等时，可以考虑与角有关的判定方法．

例1如图1，AB=AC，AD=AE，请说出∠B=∠C的理由．

解析：图中的∠A是公共角，再加上AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE（SAS）.全等三角形的对应角相等，所以∠B=∠C.

二、“对顶角”模式

“对顶角相等”为判断三角形全等提供了一个自然条件．这时，可以考虑与角有关的判定方法．

例2如图2，OA=OB，OC=OD.试问：AC∥DB吗？

解析：∠AOC和∠BOD是对顶角，又因为OA=OB，OC=OD，所以△AOC≌△BOD（SAS），所以∠C=∠D.内错角相等，两直线平行，因此，AC∥DB.

三、“公共边”模式

公共边相等是两个三角形全等的一个自然条件．

例3如图3，AC=AD，BC=BD.AB是∠CAD的平分线吗？

解析：由于AC=AD，BC=BD，考虑到AB是公共边，所以△ABC≌△ABD（SSS），所以∠CAB=∠DAB，AB平分∠CAD.

四、“角平分线”模式

角平分线提供了两个角相等，同时，角平分线又可以成为公共边，因此有角平分线的问题应考虑SAS或AAS或ASA的判定方法．

例4如图4，OA平分∠BOC，并且OB=OC，请指出AB=AC的理由．

解析：因为OA平分∠BOC，所以∠1=∠2.又已知OB=OC，再由于OA是公共边，所以△OAB≌△OAC（SAS），所以AB=AC.

五、旋转模式

如图5，△OAC绕点O逆时针方向旋转角α（∠AOB=∠COD=α）就到了△OBD的位置.这类问题常用SAS证明．需要利用“等角+公共角=公共角+等角”的思路解题.比较难的题中往往有这种全等的模式.

例5如图6，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，请说明AC=BD的理由．

解析：∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD.再因为OA=OB，OC=OD，所以△OAC≌△OBD（SAS），所以AC=BD.

六、平移模式

把全等三角形沿某边所在直线平移，便把对应边都分成了两部分，这时往往通过两条线段加上或减去同一线段的方法得到对应边相等．

例6如图7，AC=DF，BC=EF，AD=EB，请说明∠C=∠F的理由．

4.《三角形全等的判定》教学反思 篇四

教学内容的反思：

1、此学案的自学部分先让学生回顾上节课(ASA)的知识，及在两个三角形中已知两个角对应相等，证明第三个角相等，为新课的学习打下基础。

2、角角边的推导是一个难点，因此在学案处理上先分散难点，先证明第三个角相等，然后在新课学习时点评此题，然后过渡到探究6，顺利完成定理的证明，再引导学生规纳方法。接下来再应用知识解决问题，这样的教学安排较好地处理了这一部分的知识，并且练习有一定的梯度。

3、由于学生的实际情况，没有完成第4题的应用提高。留作学生课后完成。

教学方法的反思：

1、让学生主动探索、发现、(在课前的自学部分)感受数学活动中充满探索与发现的机会，并体验探索成功的乐趣，增强创新意识，感受观察、猜想在发现创新中的作用，培养注意观察的习惯，学会观察猜想归纳，培养创新能力。

5.三角形全等的判定教学设计示例1 篇五

一、教学目标

1．使学生能灵活运用“边角边”公理来判定三角形全等．

2．使学生会利用“边角边”公理来证明简单的有关问题，并会进行有关的计算．3．培养学生书写证明过程时要步步有据，不要凭空写．

4．例5可以教学生如何简洁、准确写出已知、求证，也是训练思维条理化的重要过程，培养学生分析问题的能力

5．培养学生观察分析图形的能力，动手能力，训练识图技能．

二、教学重点和难点

1．指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件． 2．三角形全等证明的书写格式．

3．疑点及分析和解决办法；有些全等的条件需根据已知条件去证明，为了培养学生学习的积极性，随时要总结方法，消除疑点，难点．常遇到的几种情况：

(1)利用平行线性质证明角相等(如例2、3)．(2)利用垂直的定义证明角相等．

(3)利用图形的和、差证明边或角相等(如例3、4)．(4)利用三角形内角和定理及推论证明角相等．

解决书写格式难点，可以让学生仔细看老师板书例题，找学生在黑板板书练习题，及时表扬或纠正毛病，发动大家共同“查敌”，并说明原因，打好基础．

三、教学方法 动手画、剪、拼．

四、教学手段 幻灯片．

五、教学过程

第一课时

(一)复习提问

1．怎样的两个三角形是全等三角形？ 2．全等三角形的性质？

3．指出图3-

21、图3-22中各对全等三角形的对应边和对应角．

(二)讲解新课

根据定义来判定两个三角形全等，需要知道三条边对应相等和三个角对应相等．实际上，要确定两个三角形全等，并不需要这么多条件，看下面的例子． 如图3-23，△ABC是任意一个三角形，画△A＇B＇C，使∠A＇=∠A，A＇B＇=AB，A＇C＇=AC

画法：(1)画∠MA＇N=∠A．

(2)在射线A＇M，A＇N上分别截取A＇B＇=AB，A＇C＇=AC．(3)连结B＇C＇．

把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，我们可以看到△A＇B＇C＇与△ABC能够重合．再用同样的方法画一些三角形，仍得到这个事实．我们把这个事实作为判定两个三角形全等的公理． 边角边公理：有两边和它的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)

例1 如图3-24，已知：AC=AD，∠CAB=∠DAB，求证：△ACB≌△ADB．(注意书写格式)证明：在△ACB和△ADB中，∴ △ACB≌△ADB(SAS)．

书写格式：(1)写明在哪两个三角形中．(2)按公理顺序列条件(有时要从已知找)．(3)写结论，注明理由．

注意：学会挖掘题目中的隐含条件．(三)练习

教材P．26中1、2．(四)作业

教材P．31中5、6，P．115中5．(五)板书设计

标题

1．推公理

例1 2．公理内容

练习

第二课时

(一)复习提问

1．全等三角形的判定方法一是什么？ 2．全等训练．

①如图3-25，如果AB=AC ∠1=∠2 求证：△ABD≌△ACD． ②如图3-26，已知：AD=BC ∠1=∠2 求证：△ADC≌△CBA． ③如图3-27，已知：∠A=∠B AB=AC AF=CE AD=BC 求证：△ABD≌△ACD．

分组练习这三个题，马上批改(找三人在黑板上证明)．(二)讲解新课

利用复习题2讲例

2、例3；讲明有些全等条件需要利用题目中的“已知”去找，并讲明此证明．

格式，一般把铺垫的内容写在前．

例2 已知：如图 3-26，AD∥BC，AD=BC． 求证：△ADC≌△CBA． 证明：∵ AD∥BC(已知)，∴∠1=∠2(两直线平行，内错角相等)． 在△ADC和△CBA中，∴ △ADC≌△CBA(SAS)．

例3 已知：图3-27，点E、F在AC上，AD∥BC，AD=CB，AE=CF．求证：△AFD≌△CEB．

分析：从AD∥BC出发可得∠C=∠A． 不难理解：AE+ EF= CF+ EF．即AF=CE． 那么条件具备了，严格书写！证明：(略)(三)练习

教材P．28中1、2、3．(四)作业 教材P．32中3；P．115中6、7．(五)补充作业(学有余力的同学做)已知：如图3-28，△ABE和△ACD均为等边三角形 求证：△ABD≌△AEC．

(六)板书设计

标题

公理

练习例2 例3 补充作业

第三课时

(一)复习提问 边角边公理的内容．

例4 已知：如图3-29，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．求证：△ABD≌△ACE． 分析：找条件发现，差夹角是否相等，利用等量加等量和相等得证，提醒学生切误认为∠1和∠2即为夹角！分析之后，找同学(2名)在黑板上板书，其他同学在练习本或幻灯片上写，利用幻灯机多批改几名同学的书写过程．

例5 如图3-30，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E，使CE=CB，连结DE，那么量出DE的长，就是A、B的距离，为什么？按图写出“已知”，“求证”，并证明．

分析：此题是实际应用的题，可以提高学生的学习积极性，培养他们学有所用，学以致用，渗透文字叙述的证明题的解法，培养简单明了的书写已知、求证的能力．与学生共同完成此题．

解法(略)．

因为全等三角形的对应边、对应角相等，所以，证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，可以通过证明这两个三角形全等来解决．

(二)练习

教材P．30中1、2、3．(三)作业

教材P．32中9、10、11．(四)建议

(1)强调证明过程的规范化书写．(2)几何文字题的教学对学生来说是陌生的，因此，要教给学生解文字题的全过程：①结合题意，画出图形．

②结合图形及字母写出已知、求证． ③写出证明过程．(五)板书设计

标题

复习提问

例5 例4 练习(六)讲授新课

今天，我们来研究三角形全等的另一种判定方法．

如图3-31，△ABC是任意一个三角形，画△A＇B＇C＇，使A＇B＇=AB，∠A＇=∠A，∠B＇=∠B(学生与老师一起动手画)．

6.三角形全等的判定答案 篇六

一、教学活动片段及设计意图

教学活动1.复习引路,提出问题。

师:复习提问,什么叫全等三角形?

生1:两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形。

师:如图,△ABC与△DEF全等吗?你是怎样验证的?

生2:用平移的方法看△ABC与△DEF是否完全重合,若完全重合,则全等;若不完全重合,则不全等。

师:也就是说,根据全等的定义来判断两个三角形全等,需要三条边对应相等、三个角对应相等,即六个元素分别对应相等。是否有更简单的判定方法呢?

(设计意图:教师将前一节课内容进行复习,回忆什么叫做全等三角形,从中引出本节课的学习内容)

教学活动2.活动探究,发现问题。

师:根据全等的定义来判断两个三角形全等,需要三条边对应相等、三个角对应相等,即六个元素分别对应相等。是否有更简单的判定方法?例如:一个元素对应相等;两个元素对应相等;三个元素对应相等……你是如何考虑的?

生3:可以从最简单的情况开始考虑,看当两个三角形一个元素分别相等时,一个角分别相等的两个三角形是否全等,一条边分别相等的两个三角形是否全等。

生3:一个角分别相等的两个三角形不全等。例如:我们手中天天用的这副三角板,每个三角板都有一个角为90°,而这两块三角板不重合,所以说,一个角分别相等的两个三角形不全等。

生4:一条边分别相等的两个三角形也不全等。例如:我们手中天天用的这副三角板,等腰直角三角板的斜边与另一块直角三角板60°角所对的直角边相等,而这两块三角板不重合,所以说,一条边分别相等的两个三角形不全等。

师:刚才两位同学说得很好,请问:当两个三角形两个元素分别对应相等时又将怎样?有几种情况?

生5:当两个三角形两个元素分别相等时有三种类型:第一种,两个角分别相等的两个三角形是否全等;第二种,两条边分别相等的两个三角形是否全等;第三种,一角一边分别相等的两个三角形是否全等。

生6:两个角分别相等的两个三角形不全等。例如,老师用的含30°、60°的直角三角板与我手中含30°、60°的直角三角板有两个角分别相等,老师的三角板大而我的三角板小,不会完全重合,所以说,两个角分别相等的两个三角形不全等。

生7:一边一角分别相等的两个三角形不全等。例如,我们手中天天用的这副三角板,等腰直角三角板的斜边与另一块直角三角板60°角所对的直角边相等,这两块三角板都有一个相等的角为90°,而这两块三角板不重合,所以说,一边一角分别相等的两个三角形不全等。

生8:两条边分别相等的两个三角形不全等。例如,顶角为90°,腰长为6cm的等腰三角形与顶角为60°,腰长为6cm的等腰三角形不会完全重合,所以说,两条边分别相等的两个三角形不全等。

师:同学们讲得很好,并且有很清晰的分类思想,请问:当两个三角形三个元素分别对应相等时又将怎样?有几种情况?

生9:当两个三角形三个元素分别相等时可分四种类型:第一种,(三角)三个角分别相等的两个三角形是否全等;第二种,(两角一边)两角夹边分别相等的两个三角形是否全等,两角一边分别相等的两个三角形是否全等;第三种,(一角两边)两边夹角分别相等的两个三角形是否全等,两边一角分别相等的两个三角形是否全等;第四种,(三边)三条边分别相等的两个三角形是否全等。

生10:当两个三角形三个元素分别相等时分六种类型:第一种,(角角角)三个角分别相等的两个三角形是否全等;第二种,(边边边)三条边分别相等的两个三角形是否全等;第三种,(角边角)两角夹边分别相等的两个三角形是否全等;第四种,(角角边)两角一边分别相等的两个三角形是否全等;第五种,(边角边)两边夹角分别相等的两个三角形是否全等;第六种,(边边角)两边一角分别相等的两个三角形是否全等。

(设计意图:在《课标》中,明确提出了“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜想、验证、推理、计算、证明等活动过程”的要求。这就要求我们在课堂上应努力呈现有效的问题情境,以便学生能根据有效的情景展开合理猜想。在上面的教学中,教师能够根据学生的实际,合情合理地引导学生大胆进行思考、推理、猜想得出结论)

教学活动3.动手操作,获得事实。

师:本节课我们一起研究两边夹角分别相等的两个三角形是否全等。

操作1:同学们把课前老师布置的作业——画好的三角形拿出来(AB=5㎝,∠A=40°,AC=4㎝三角形),同学之间互相交流你有什么发现。

生11:我们所画的三角形都一样。

生12:我们画的是一个特殊的三角形。如果画一般的三角形会全等吗?

师:该同学提出的问题很好,我们一起来思考。

操作2:对照课本第13页,按下列作法,用直尺和圆规作△ABC,使∠A=∠α,AB=a,AC=b。

师:把你所作的三角形剪下来,与同组同学交流,有什么发现?

生13:老师,我们所作的三角形互相重合,即两边夹角分别相等的两个三角形全等。

师:我们可以得到,判断两个三角形全等的一个基本事实:

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)。

(设计意图:通过学生的动手操作、实验、积极思考、合作交流等重要的学习方式得出实验事实,学生经历、体验、探索活动得出的结论将终生难忘)

教学活动4.应用举例,理解事实。

例:已知,如图,AB=AD,∠BAC=∠DAC。

求证:△ABC≌△ADC。

师:要证明△ABC≌△ADC,用什么判定方法?

生14:用刚学的“边角边”来判定这两个三角形全等。

师:用“边角边”需要几个条件?

生15:三个条件,两条边及其夹角分别相等,已知条件中已告诉我们一条边一个角对应相等,只需找出另一条边对应相等就行了。

师:另一条边相等怎样得到?

生16:我们把条件搬到图形中,可以发现这两个三角形还有一条公共边即AC=AC,这样三个条件就找到了。

证明:在△ABC和△ADC中

∴△ABC≌△ADC(SAS)。

(设计意图:例题出来后,先让学生思考两分钟,教师提出问题,引导学生分析问题,发现解决问题的方法,同时提醒学生将已知条件搬到图形上,发现图中的隐含条件(公共边相等),注意书写格式,强调三角形全等边角必须对应,进一步训练学生的逻辑推理的规范性和思维的严密性。在例题中既体现了合情推理,也体现了演绎推理)

教学活动5.变式训练,巩固事实。

已知:如图,AB=AC,点D、E分别在AB、AC上,且AD=AE。

求证:∠B=∠C。

师:要证明∠B=∠C,应该想到什么?需要证明什么?

生17:该图形可以看做△ABE与△ACD有一个公共角叠合在一起的两个三角形,只要证明这两个三角形全等就行了。

(设计意图:本题的训练目的是让学生发现,将例题中的△ABC绕A点逆时针旋转,∠BAC就变成了本题的图形。进一步巩固了几何证明中演绎推理的书写格式)

二、教学反思

1. 教学设计应基于学情,培养学生的推理意识。

教学设计要基于学生的认知水平。《课标》中强调:数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。美国教育心理学家奥苏伯尔说过:“影响学生学习的最重要的原因是学生已经知道了什么,我们应当根据学生原有的知识状况进行教学。”上述课堂设计中,教师从学生已有的知识出发,把学生身边常用的一副三角板拿出来多次作为教学中的反例,学生一目了然,让知识自然生成,让思维自由飞翔。把判断两个三角形全等的方法自然而然地引到三个条件对应相等的思路上来,可以说是水到渠成。学生的推理能力在已有的认知水平上不断得到提升。

2. 教学方法应尊重差异,发展学生的推理能力。

本节课以《课标》中课程核心概念为主线,在教学方法上尊重学生个体的认知差异,通过学生的动手操作、实验、积极思考、合作交流发展学生的推理能力。

(1)在探究两个三角形全等时,需找到几个元素对应相等,先抛出问题引导学生从最简单的情况开始思考,一个元素对应相等的两个三角形不全等,两个元素对应相等的两个三角形不全等,学生能通过合情推理举出反例,体现了学生的思想活动过程,通过经历观察、探究、合作交流的活动,充分发展了学生的合情推理能力。

(2)在获得事实(两边及其夹角对应相等的两个三角形全等)的过程中,学生通过尺规作图作出相应的三角形,给学生充分的时间和空间经历观察、实验、猜想、验证、合作、推理获得“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”的事实。通过例题的讲解、变式训练让学生进一步认识到合情推理与演绎推理在几何学习中是不可缺少的数学思想方法。

所以在几何学习过程中,学生的推理能力得到了发展。

3. 教学目的应面向全体,应用数学推理能力。

数学推理能力蕴含在数学知识的形成、发展和应用的过程中,数学推理能力不能仅靠教师对知识的讲解、题目的分析与解决而帮助学生形成,更需要渗透在新知识的形成过程中。实际教学中,教师要多给学生提供参与教学活动的机会,通过观察、实验、操作、合作、探究,让学生在充分参与教学活动的过程中真正感悟数学推理能力。

基于上述分析,数学推理能力的具体内涵为:通过对数学对象(数学概念、关系、性质、规则、命题等)进行逻辑性思考(观察、实验、归纳、类比、演绎),做出推论,再进一步寻求证据、给出证明或举出反例说明所给出推论的合理性的一种综合能力。数学推理不仅在几何中根据公理、定义、定理、推论等证明有关结论,而且在代数中也是不可缺少的数学思想方式,例如有理数的计算、方程、不等式、函数、统计与概率等必须根据定义、法则、顺序等进行推理进而达到解决问题的目的。在日常生活中也少不了数学推理能力,生活中遇到问题时,必须分析问题、找到解决问题的方法,在这个过程中,数学推理能力显得更为重要。

7.三角形全等的判定答案 篇七

一、教学目标

（1）知识目标:掌握三角形全等的“边边边”条件,了解三角形的稳定性,初步体会并运用综合推理证明命题。

（2）能力目标:经历探索三角形全等条件的过程,体验分类讨论的数学思想,体会利用操作、归纳、获得数学知识;让学生学会思考、并注重书写格式的养成。

（3）情感目标:在探究三角形全等的条件过程中,教师创设情境导入新课,以观察思考、动手画图、小组讨论、合作交流等多种形式让学生共同探讨,培养学生的协作精神。

二、教材的重点、难点

重点：三角形全等的“边边边”条件的探索和运用是本节重点, 通过：①分类提问: ②教师用多媒体展示现实生产生活中的实际例子: ③注重分析思路,让学生学会思考问题,注重书写格式,让学生学会清楚地表达思考的过程突出重点。

难点：使学生理解证明的基本过程,初步学会证三角形全等的格式是本节难点。通过：①幻灯出示两个三角形,引导学生口述,教师介绍,多媒体强化学生的感知。②例题由老师板书示范证明过程。③幻灯出示两道补充证明条件，进一步强化证明过程的理解和书写来突出难点。

关键：是学生能够熟练地找出“边边边”的三个条件,并能够证明两个图形全等的证明过程.

三、教法设计

（1）为了调动学生的学习积极性,使数学课上得生动生趣,采用启发式与分层训练法教学为主,讨论法、讲授法教学为辅。

（2）探究三角形全等的条件过程中,采用小组讨论归纳的方法,培养学生互助、协作的精神。

（3）让学生观察生产生活中三角形稳定性的应用,了解三角形的稳定性,并加深对“边边边”条件的理解。

四、学法指导

本课程中，学生在老师的启发和指导下,通过自己实践、猜想、讨论、模仿等学习方法,学会自己观察、探索、归纳和发现结论,并且善于运用结论,培养学生动手、动口、动脑的能力,从而进一步认识和理解"探索-归纳-运用"的数学思想。

五、教学过程

1.复习引入

我们已经学习了三角形全等。也就是：能够重合的两个三角形全等。②三组对应边相等、三组对应角相等的两个三角形等。今天我们探索两个三角形满足什么条件才全等。

2.提出问题

多媒体幻灯出示满足六个条件的两个三角形,问同学们是否全等,幻灯动态展示能够重合。我们今天要来研究三角形全等的条件，是不是要三组对应边相等及三组对应角相等这六个条件全部相等的两个三角形才全等呢？这样很麻烦。

（1）教师反问引入探究:一个条件、两个条件、三个条件。

（2）探索问题：学生猜想,老师用多媒体动画展示，

①一个条件,只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？有一条边对应相等的三角形不一定全等。有一个角对应相等的三角形不一定全等。②给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做。a、三角形的一个内角为30°，一条边为3cm；不一定全等如图3；b、三角形的两个内角分别为30°和 50°不一定全等如图4；c 、三角形的两条边分别为4cm，6cm. 不一定全等。

③。给出三个条件画三角形时，有两种可能的情况？a、三个角对应相等的两个三角形不一定全等;b、三个边对应相等的两个三角形：动手尝试：已知一个三角形的三边分别为4厘米，5厘米和7厘米，按下列画法，用圆规和刻度尺画一个三角形：首先画线段AB=5cm，再分别以点A、B为圆心，4cm、7cm的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接AC、BC。你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下来与同学比较，它们一定全等吗？

通过师生的问答，结合多媒体幻灯片观察在不同的条件下，这是我们探索三角形全等的第一个定理，也就是三边对应相等的两个三角形重合及全等。归纳出一般的结论：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”

3.例题讲解

例 :已知,ΔABC和ΔABD中,AC=AD,BC=BD,那么ΔABC和ΔABD全等吗?说明理由。

分析思路：要证△ABC≌△ABD，可看这两个三角形的三边是否对应相等。提问：

（1）请说说本例已知了哪些条件？还差一个什么条件，怎么办？（让学生学会找隐含条件）。（2）你能不能用“因为……所以……即∵……∴……”来说出证明的过程？

教师根据学生回答板书规范的证明过程。

解: ΔABC和ΔABD是全等三角形

理由：在ΔABC和ΔABD中

∴ΔABC≌ΔABD（SSS）

4、练习应用

（1）已知：AB=CD,AD=BC.則∠A与∠C相等吗？为什么？

（2）教师用多媒体展示现实生产生活中的实际例子:菜架、桥梁、铁塔、自行车中的三角形结构,再次说明三角形三边固定,三角形的形状、大小就固定了,这就是三角形的稳定性,也就是说三边对应相等的三角形全等。

（3）三角形的稳定性，而四边形、五边形等多边形稳定性不稳定性?学生举出生活中的三角形稳定性的例子。

六、教学小结

三角形全等的条件（sss）教学，采用了探索、归纳、分类讨论的思想方法,探究现实生活中的数学问题,体现了数学产生于生活而又用于生活的思想,并且注重学生动手、动口、动脑的能力培养,充分发挥学生的主观能动性,真正体现学生是学习的主体。

作者简介：

8.三角形全等的判定答案 篇八

根据《课标》要求，针对八年级学生的认知结构和心理特征，以及他们的学习基础，本节教学设计以问题为主线，活动为载体，在不破损学科知识的科学性、系统性的前提下，对教科书相关内容进行了适当整编重组形成具有一定层次的问题序列，并通过“我回顾，我思考”“我探索，我发现”“我掌握，我应用”“我收获，我总结”“我实践，我提高”这五项活动既暗示本节教学思路，又体现“我学习我做主”。

具体体现如下：

一是在复习回顾，引入新课环节做的很实在，不做花架子。如图，在RtABc中，∠B=90°和RtDEF中，∠E=90°，要使ABcDEF，还需要添加哪些条件？你的依据是什么？

此题属于开放性试题，旨在通过此次的解决来复习回顾三角形全等的判定方法，说明所有判定方法都适合直角三角形全等的判定，同时，激发探究欲望，明确探究方向，引入课题。在具体处理的过程中，学生根据已有经验添加条件后，教师适时引导总结属于添加的是：“两条直角边分别相等”、“一锐角和一直角边别相等”，还是“一锐角和斜边分别相等”，至此，教师适时抛出问题：既然直角三角形是特殊的三角形，那它有没有特殊的判定方法就是这节课要探讨的课题，显得的水到渠成。

二是在诱导尝试，探索发现环节。通过学生独立画图、裁剪、比较、总结、归纳的过程，体会判定两个直角三角形全等的简便方法——“斜边、直角边”的形成过程。在这一流程中，学生画图操作处理的很不到位。一方面，在读题并简单分析已知条件后，学生便开始动手画图，居多的学生画出了所要的三角形，但是，上黑板的学生只画了一部分，待另一学生起来回答又出现错误（利用角边角画）时，教师发现了问题所在是没有审清题意，这时又回头看题后，起来回答作图的学生接连出了错误，教师便直接给出答案，代替学生回答。这一处理，显得很是急躁，急于得出结果。另一方面，体现出教师教学机智不灵活，就是担心上不完而急于推进。事实上，追求高效的同时，有时候让课堂慢下来特别重要。

三是在变式练习的处理过程中，发现变式题的设置有重复现象，备课需要再细致。

9.三角形全等的判定第一课时说课稿 篇九

各位评委老师，大家好！

根据新课标的理念，对于本节课，我将从教材分析，学情分析，教学方法，教学目标，教学重难点，教学过程，教学反思等方面加以说明。

一、教材分析

“三角形全等的判定—边边边”是人教版数学八年级上册第十二章第二节中的第一课时，主要讲的是如何利用“边边边”的条件证明两个三角形全等，它不仅是学习复杂证明的基础，而且也是证明线段相等、角相等的重要依据。因此，本节课在本章甚至本学期中都有非常重要的作用。

二、学情分析

初中阶段的学生观察力，记忆力和想象力迅速发展，但同时，这一阶段的学生注意力易分散，回答问题后，希望得到老师的表扬，所以在教学时应该抓住这些特点。一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，发挥学生学习主动性。

从认知情况来说，学生之前已经学习了全等三角形的概念，性质，找对应元素的方法等有关知识，对三角形的全等已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于三角形满足“边边边”条件后就全等的理解，可能会产生一些困难，所以在教学中我会着重分析。

三、教学方法

现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学生学习的促进者，所以教学活动要充分发挥学生的积极性和主动性。根据这一教学理念，本节课我将采用讨论法、合作探究等教学方法，倡导学生主动参与教学实践活动，用独立思考和相互交流的形式，来发现、分析和解决问题。

四、教学目标

新课程的教学目标应为三维目标即：知识与技能、过程与方法、情感态度价值观。要求学生在学会知识与技能的同时要形成正确的价值观。因此我将本节课的教学目标设定为：

1、知识与能力:

掌握“边边边”条件的内容，并能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等。

2、过程与方法: 通过对三角形全等条件的探究学习，体会分类思想的运用，培养学生独立思考、观察分析、合作交流的能力。

3、情感态度价值观: 通过画图比较，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，使学生养成独立思考的好习惯，同时培养学生的团队合作精神。

五、教学重难点

重点:用“边边边”证明两个三角形全等。难点：探究三角形全等的条件

六、教学过程

教学过程分为：

（一）复习导入；

（二）探索新知；

（三）例题训练；

（四）课堂小结；

（五）作业布置；(六)板书设计六部分。

（一）复习导入

1.什么是全等三角形？ 2.全等三角形的性质是什么？

因为本课是学习用三角形的“边边边”条件，来证明三角形的全等。既涉及到了三角形的对应元素，又涉及到了三角形全等。所以用复习导入先让同学们回顾：1.什么是全等三角形？2.全等三角形的性质是什么？是非常必要的。

（二）探索新知

首先提出问题1：两个三角形三条边相等、三个角相等，这两个三角形全等吗？

由上节课所学的知识，同学们很容易就能回答出这两个三角形全等。接着提出问题2：现在知道满足三个边相等，三个角相等六个条件的两个三角形全等。那么满足一个、两个或三个条件它们是否全等呢？

接连提出两个问题，可以引起学生思考，从而激发同学们探究满足一个、两个或三个条件的三角形是否全等的兴趣。

因为满足一个条件的情况比较简单，我会让学生独立思考去解决问题； 满足两个条件的情况对一些同学来讲有些难度，采用小组讨论的方式，分3

种情况来解决问题。在探究过程中要让同学们体会到分类思想的运用。

提出问题3：两个三角形若满足这六个条件中的三个条件，它们能否全等？ 同学们很容易就会想到两个三角形三边相等时，它们能否全等？相对前面两个问题来说这个比较复杂，所以我会让同学们采用合作探究的方式探究“三边分别相等的两个三角形是否全等”。严格按照尺规作图的方式作出三边分别相等的两个三角形，剪下来判断它们能否完全重合，从而来判断这两个三角形是否全等。

经过探究就可以得到基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。（可以简写成“边边边”或“SSS”）

（三）例题训练

让学生到黑板上证明后，学生点评。学生可能会犯语言不规范；写三角形全等时没有把对应元素写到对应位置上的错误。通过例题训练，来巩固刚学的知识。让学生先自己思考，动手做一做之后，再给他们分析为什么这样做，充分发挥学生学习的主观能动性。

（四）课堂小结

从我的收获，我的不足，两方面来课堂小结既有利于学生对知识的掌握，又可以发现自己的不足加以巩固。

（五）作业布置

先总结整理今天所学知识后，再做习题巩固知识，更有利于知识的掌握。预习是学习过程中的重要环节，所以让同学预习下一节课的学习内容，是非常重要的。

（六）板书设计

12.2.1 三角形全等的判定

探究复习例一

“边边边”或”SSS”

七、教学反思

10.求简思维：判定全等三角形的启示 篇十

在平面上取定不在同一直线上的三个点的位置，以它们为顶点，一定能画出三角形，并且只能画出一个三角形.这说明一个三角形的形状和大小可以由三个顶点的相对位置唯一确定.因此，要考虑两个三角形是否全等，只要考虑它们各自顶点之间相对位置是否相同.要描述顶点之间的相对位置，必然涉及顶点之间的距离和方向，这就启发人们借助三角形的边和角寻找三角形全等的判定条件.

苏科版八年级数学教材的1.3节（第13页）就从“尺规作图”出发带领同学们作图、归纳出一些具有决定意义的元素，比如“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）和“边边边”（SSS）这三个最基本的三角形全等判定条件.说它们是“最基本的”，是因为其他判定条件可以由它们推导出来.比如，结合三角形内角和定理容易说明“角角边（AAS）”也是真命题，也可以作为判定依据.下面我们把常见的判定两个三角形全等的思路整理如下，启发同学们思考.

情形（一） 已知一边及与其相邻的一个内角对应相等

判断三角形全等的公理中边和角相邻的有SAS、ASA、AAS，所以可以从三个方面进行考虑：

小结一下，全等三角形是沟通线段、角相等的重要工具，然而人们不愿意反复确认6个元素的对应相等，想“偷懒”的求简思维促使我们归纳出几个基本的判定方法，这里体现的“求简思维”“经济化”也是数学的重要特点，值得同学们体会.

11.三角形全等的判定答案 篇十一

三角形的初步知识

1.5三角形全等的判定

第2课时

用两边夹角关系判定三角形全等

1.掌握三角形全等（SAS）的判定方法。

2.理解线段的中垂线概念，掌握线段的中垂线性质。

3.会运用三角形全等的判定方法、线段的中垂线性质，解决两条线段相等、两个角相等的问题.两个三角形全等（SAS）的判定条件.线段的中垂线性质的应用.教室的钢窗，开窗时，随着∠ABC的大小改变，开窗的大小也随之改变。由于∠ABC的大小在改变，问：△ABC的的形状能固定吗？

1.画三角形

让我们动手做一做：用量角器和刻度尺画△ABC，使AB=4Cm,BC=6Cm，∠ABC=60⁰。要求学生把图画在透明纸上。

2.合作交流，得出结论

教师在巡视中，有五分之四以上学生画好后，要求学生将你画好的三角

形和其它同学画的三角形，重叠上去，它们能互相重合吗？使学生有感性认识，再由全等形的概念知：得到书本P.23的结论。

例1：例题讲解，P.23例3

分析:

在△AOB和△COD中:

已有哪些已知条件?OA=OC，OB=OD。根据三角形的判定方法，还需要什么条件？

∠AOB=∠COD或AB=DC，选哪一个好？∠AOB=∠COD。

而AB=DC，在两个三角形不全等的情况下，根据已有的条件，AB=DC吗？不可能。

教师板书解题过程，学生填写（）的理由。

通过本节课的学习，谈谈你的收获。

1.我们已学习了

三角形全等的两个判定方法：SSS、SAS。

2.线段的中垂线

概念及性

质。

12.判断三角形全等的方法1 篇十二

初中几何中“三角形”是一个重要的知识点，而“三角形”中有关全等的证明是“三角形”中重要的部分。许多同学在刚刚学习这方面的知识时，对于证明三角形全等时，方法总是很难用准。特别是寻找图形中的隐含的对应元素。

我们知道，对于证明一般的三角形全等，课本给出了四个公理（或推论），即“边角边（SAS）”、“角边角（ASA）”，“角角边（AAS）”，“边边边（SSS）”；而直角三角形的全等证明依据除了以上四个公理（或推论）外，还有一个斜边、直角边公理（HL）。

其实这些公理（或推论）中，我们可以看到，证明三角形全等必需具备三个对应元素（边或角），而这三个对应元素中都至少有一个是对应边；因此，在做具体的证明三角形全等的题目时，如果题目已知中给出了一组对应边和一组对应角，我们就可以考虑运用‘SAS’或‘ASA’或‘AAS’去寻找第三组对应的边或角；如果题目已知中给出了两组对应边，我们就可以考虑运用‘SAS’或‘SSS’去寻找第三组对应的边或角；如果题目已知中给出了两组对应角，我们就可以考虑运用‘ASA’或‘AAS’去寻找第三组对应的边。当然这个时候第三组对应的边（或角）可能要由已知中考虑的其它条件来证出，但往往这个对应的边（或角）不能由已知条件证出，而是在相关的图形中，这就要求我们要善于观察图形，在图形中寻找出隐含的对应边（或角）。

图形中隐含的条件，常见的有以下几种情形：①公共边是对应边，②公共角是对应角，③对顶角，④同一直线上的对应边，⑤共顶点的对应角，⑥垂直所得的角是直角，⑦同角（或等角）的余（或补）角，等等。下面给出这几种情况的相应例题，希望对同学们在做有关证明三角形全等的题目时有所帮助。

1、公共边是对应边

例1 已知：如图，AC=AD，∠CAB=∠DAB，求证：△ACB≌△ADB。

例2 已知：如图，AB=CD，AD=BC，求证：∠A﹦∠C。

A D C

例3 已知：如图，AB=DC，AC=BD，求证：△ABC≌△DCB。

A D

B C

13.刘老师三角形全等的证明专题 篇十三

（1）条件充足时直接应用

例1 已知：如图1，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，ABD、CE交于点O，且AO平分∠BAC．

那么图中全等的三角形有___对．

ED

O

BC

（2）条件不足，会增加条件用判别方法

解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步 A例2 如图2，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个）_____．B

ED

C（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线选用判别方法 A

例3 已知：如图3，AB=AC，∠1=∠2．

求证：AO平分∠BAC．

12OBC

（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法 C例4 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF． DE求证：∠ADC=∠BDF．

BAF

G

说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．

练习：

1．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE=FE．求证：AE=CE．

2．如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知∠ABD=∠ACD，∠BDE=∠CDE．

A求证：BD=CD．

D

BCE

3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法：如图所示，先在∠AOB的两边上取OP=OQ，A再取PM=QN，连接PN、QM，得交点C，则射线OC

平分∠AOB．你能说明道理吗？M

PC

OQNB

4．如图，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G．试在图10中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．

P A

GE

FH

ACDBBC

5．已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．所添条件为__________，你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____．

A7．如图，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABD≌△ACD．

BC

D

8．如图14，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．CD

BA

9．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证：EG=GF．A

E

C BG F

A10．已知：如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．

14.三角形全等的判定答案 篇十四

一、教学目的和要求

熟练掌握角边角公理，能正确找出公理的条件，从而证明两个三角形全等，进而由三角形全等还可以得出对应边相等和对应角相等。利用三角形全等解决证明边相等或角相等的问题。

二、教学重点和难点

重点：对于证明两个三角形全等条件的正确运用，可以由两角和夹边对应相等的条件证明三角形全等，在图形较复杂的情况下，对应关系应当找对，同时对角角边公理应加以重视。

难点：例题难度加强了，使学生能够经过几步推理逐渐找到解题最佳途径。证明两次全等，运用不同判定公理时，要思路清楚。

二、教学过程

(一)复习、引入

提问：

1.我们已经学习了角边角公理，“角、边、角”的含义是什么？

（两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等）。

2.已知两个三角形有两个角相等，能否推出第三个角也对应相等？为什么？由此可以得到哪个判定公理？

（第三个角也应相等，因为三角形内角和等于180，由此可以得到角角边公理）。

3.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个三角形全等吗？为什么？

（全等，由AAS公理可得出）

4.两个直角三角形中，有一条直角边和它的对角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？

（全等，由AAS公理可得出）

5.两个直角三角形中，有一条直角边和与它相邻的锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？

（全等，由AAS公理可得出）

(二)新课

刚才同学们能很快运用ASA和AAS公理证明三角形全等，但是有些题目的条件比较隐蔽，需经过分析方能找到解题的思路，这类题目能锻炼同学们的思维能力，请特别注意，下面我们看几个例题：

例1 已知：如图67，1＝2，AD＝AE

求证：OB＝OC

A D 1 2 E O B C

分析：这题与书中例1图相同，但改变了已知条件，难度有所增加，所求线段OB和OC分别在BOD和COE中，但直接证这两个三角形全等，条件不够，需要从另两个三角形全等中创造条件。根据已知条件，可证明ABE  ACD。

证明：

在ABE和ACD中 AA(公共角)

AEAD(已知)

21(已知)图67

ABE  ACD（ASA）

AB＝AC（全等三角形对应边相等）

B＝C（全等三角形对应边相等）

又∵AD＝AE（已知）

BDCE

1＝2

BDO＝CEO

在BOD和COE中 BDO＝CEO(已证)

BDCE(已证)

BC(已证)

BOD  COE（ASA）

OB＝OC（全等三角形对应边相等）

例2 已知：如图68，1＝2，3＝4

求证：ADC＝BCD。

D C 3 4 1 2 A B 图68

分析：所要求证相等的两个角分别在两个三角形中，即ACD和BDC中，欲让此两三角形全等有已知3＝4，这时可有两种思路：若用边角边公理，则应找到AD＝BC，AC＝BD，若用角边角公理则应证出AC＝BD，ACD＝BDC，经过分析，用第一种思路较好。

证明：∵1＝2，3＝4

1＋3＝2＋4

即BAD＝ABC

在ABD和BAC中 21(已知)

ABBA(公共边)

BADABC(已证)

ABD  BAC(ASA)

AD＝BC，BD＝AC（全等三角形对应边相等）

在ADC和BCD中 ADBC(已知)

34(已证)

ACBD(已证)

ADC  BCD(SAS)

ADC＝BCD（全等三角形对应角相等）

例3 已知：如图69，AB//CD，AB＝CD，AD、CB交于O点。

求证：OE＝OF。

C E D O A E B 图69

分析：此题可以开发学生一题多解的思维，即COD与BOA全等既可以用“AAS”，又可以用“ASA”，进一步再证OCF  OBE即可。

证明：∵AB//CD（已知）

C＝B，D＝A（两直线平行内错角相等）

在OCD和OBA中 CB(已证)

CDBA(已知)

DA(已证)

OCD  OBA（ASA）

此时可提问学生：还有没有其他办法证这两个三角形全等？

OC＝OB（全等三角形对应边相等）

在OCF和OBE中

CB(已证)

OCOB(已证)

FOCEOB(对顶角相等)

OCF  OBE（ASA）

OF＝OE（全等三角形对应边相等）

例4 已知：如图70，在ABC中，ADBC于D，CFAB于F，AD与CF相交于G，且CG＝AB。

求证：BCA的度数。

A F G B D C 图70

分析：图形比较复杂，图中三角形较多，正确分析已知条件后可知应当证明AB和CG所在的三角形，即ABD和CGD全等，然后可知对应边AD＝DC，则ADC为等腰直角三角形，BCA＝45。

证明：∵ADBC，CFAB

B＋BAD＝B＋DCG＝90（直角三角形两个锐角互余）

BAD＝DCG

在BAD和GCD中

BADDCG(已证)

ADBCDG(垂直定义)

ABCG(已知)

BAD  GCD(AAS)

AD＝CD（全等三角形对应边相等）

∵RtADC中

BCA＝45(三)巩固练习

1.已知：如图71，1＝2，C＝D

求证：AC＝AD。

D A 1 B 2 C 图71

2.已知：如图72，点B、F、C、E同在一条直线上，FB＝CE，AF＝DC，AFB＝DCE。

求证：AB＝DE；AC＝DF。

A B F C E D 图72

(四)小结

1.三角形全等公理2与推论有同等重要的地位，应牢记。只要两个三角形有两个角和一条边对应相等，就可以证出全等三角形，但对应关系应当找对，不能一个三角形是AAS，而另一个三角形是ASA。

2.在求边相等或角相等的题目中，应首先观察所要求证相等的边或角在哪两个三角形中，若直接用三角形全等，条件不够，则应当考虑先证其他三角形全等，得出所需的条件，因而可以解决问题，也就是要证两次全等的类型题目。

(五)作业

1.已知：如图73，ABC中，N是AB中点，BCMN是平行四边形

求证：AP＝PC。

A N P M B C 图73

2.已知：如图74，ABC中，BDAC，CEAB

垂足分别是D、E。ABC＝ACB，BD和CE相交于O。

求证：OD＝OE。

A E D B C 图74

3.已知：如图75，点E、F在BC上，BE＝CF。

AB＝DC，B＝C，AF和DE相交成60角，且AF、DE相交于O点，求：DFE和AFE的度数。

A D O B E F C 图75

答案及揭示

巩固练习

1.证明：在ABD和ABC中 12(已知)

ABAB(公共边)

DC(已知)

ABD  ABC（ASA）

AC＝AD（全等三角形对应边相等）

2.证明：在ABF和DEC中 FBCE(已知)

AFBDCE(已知)

AFDC(已知)

ABF  DEC（SAS）

ABDE（全等三角形对应边相等）

B＝E（全等三角形对应角相等）

BF＋FC＝EC＋FC（等量加等量和相等）

在ABC和CEF中

ABDE(已证)

BE(已证)

BCFE(已证)

ABC  DEF（SAS）

AC＝DF（全等三角形对应边相等）

作业：

1.证明：∵N是AB中点

AN＝BN（中点定义）

∵BCMN是平行四边形

BN＝CM＝AN

∵AB//MC（平行四边形对边平行）

ANP＝M（两直线平行内错角相等）

在ANP和CMP中

ANPM(已证)

ANCM(已证)

APNCPM(对顶角相等)

ANP  CMP（AAS）

AP＝PC（全等三角形对应边相等）

2.证明：∵BDAC，CEAB（已知）

BEC＝CDB（直角定义）

在BCD和CBE中 BECCDB(已证)

ABCACB(已知)

BCBC(公共边)

BCD  CBE（AAS）

BE＝CD（全等三角形对应边相等）

在OBE和OCD中

BEOCDO(已证)

EOBDOC(对顶角相等)

BECD(已证)

OBE  OCD（AAS）

OD＝OE（全等三角形对应边相等）

3.解：∵BE＝CF（已知）

BE＋EF＝FC＋EF（等量加等量和相等）

即BF=CE

在ABF＝DCE中 ABDC(已知)

BC(已知)

BFCE(已证)

ABF  DCF（SAS）AFEDEC（全等三角形对应边相等）