十字相乘法（共6篇）
1.十字相乘法 篇一
因 式 分 解
——十字相乘法
中峰镇中心学校
王君
【教学目标】
1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2+ px + q的二次三项式分解因式；
2、通过课堂交流展示，锻炼学生数学语言的表达能力；
3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质； 【教学重点】
能熟练地用十字相乘法把形如x2+ px + q的二次三项式分解因式。【教学难点】
把x2 + px + q分解因式时，准确地拆分常数项，验证一次项系数。【教学过程】
一、温故知新
1、我们已经学过哪几种因式分解的方法?(1)提公因式法；(2)公式法：平方差公式和完全平方公式。
2、用以上学过的方法能否将下列多项式分解因式？请试一试。(1)x2+7x+10
(2)x2-2x-8(3)y2-7y+12
(4)x2+7x-18
二、自学指导
1、自学课本121页阅读与思考，并完成121页最下面的练习。
2、小组讨论解题方法，并确定一名中心发言人上台展示，并讲解解答过程。
三、小组展示
(1)x2+7x+10
(2)x2-2x-8
(3)y2-7y+12
(4)x2+7x-18
四、巩固练习
1、用十字相乘法进行因式分解。(1)x2+5x+6
(2)x2-5x+6
(3)x2-5x-6
(4)x2+5x-6
总结规律：以上因式分解常数项符号与分解成的两个因数的符号，以及一次项系数的符号之间有什么关系？
结论：当常数项为正时，两因数同号，且符号与一次项的符号相同；
当常数项为负时，两因数异号，且绝对值较大的因数与一次项的符号相同．
2、请在下列因式分解中添上适当的符号。(1)x2+8x+12=(x
2)(x
6)(2)m2-3m+2=(m
1)(m
2)(3)x2-x-12=(x
3)(x
4)(4)y2+6y-16=(y
2)(y
8)
五、课堂小结
本节课我们学习了什么知识？
1、十字相乘法适用于二次三项式的因式分解，但并非所有二次三项式都适用。
2、因式分解首先考虑提公因式法，其次是公式法，都不行时再考虑十字相乘法。
六、拓展延伸
1、解方程
(1)x2-3x-4=0
(2)y2+2y-8=0
2、因式分解
(1)3x2+7x+2
(2)5x2-17x-12
2.十字相乘法 篇二
那么, 为什么说十字相乘法是“巧妙”的因式分解方法呢?原因如下:
例1.2X2+3X-5在进行因式分解时, 利用新课改后的教材上的方法根本无法分解, 如果在解2X2+3X-5=0这个一元二次方程到时候就只能采求根公式的方法。如果老师在学习因式分解的时候讲了十字相乘法, 那么在后面学习一元二次方程的时候就变得很简单了。
2X2+3X-5= (X-1) (2X+5) 方法是:
把二次项系数2分解成1×2常数项-5分, 解成-1×5, 然后十字交叉相乘, -1×2=-2, 1×5=5, 如果-2与5的和等于一次项系数, 则即可进行分解, 分解的结果为 (X-1) (2X+5) 。
某些公式法分解因式也可以采用十字相乘法, 像完全平方公式、平方差公式等。
例2.把4X2+12X+9进行因式分解。
该题是利用完全平方和公式进行分解的, 分解的结果为 (2X+3) 2。而实际上该题运用十字相乘法也很简单。
把二次项系数4分解成2×2常数项9分, 解成3×3, 然后十字交叉相乘, 2×3=6, 2×3=6, 6与6的和等于一次项系数12, 即可分解为 (2X+3) 2。
例3.把X2-9进行因式分解。
该题应该利用平方差公式进行因式分解, 分解的结果为 (X+3) (X-3) , 而这道题也可以采用十字相乘法进行分解。
把二次项系数1分解成1×1常数项9分, 解成-3×3, 然后十字交叉相乘, 1×3=3, -1×3=-3, 而-3与3的和等于一次项系数0, 即可分解为 (X+3) (X-3) 。
事实上采用十字相乘法分解的时候, 是把二次项完全分解, 把常数项完全分解, 而十字交叉后得到是一次项, 而上面的几个问题都是把二次项系数进行分解, 实际上是省略了未知数。有的时候我们是不能省略的。
例4.把5X2-2XY-7Y2进行因式分解。
该题也可以采用十字相乘法进行因式分解, 具体分解的时候要把X2看成二次项, 把Y2看成常数项, 其余的看成是一次项。
把二次项5X2分解成5X乘以X, -7Y2分解成-7Y乘以Y, 然后十字交叉相乘, -7XY+5XY等于中间项-2XY, 因此最后分解为 (5X-7Y) (X+Y) 。
一些复杂的多项式利用分组分解法后再利用十字相乘法也可以进行分解因式。
例5.把6X2-5XY-6Y2+7X-17Y-5分解因式。
该题在计算的时候先分组, 把前三项 (二次项) 分成一组, 最后的常数项为一组, 剩余的两项 (一次项) 为一组, 前三项分成组后先利用十字相乘法分解为 (2X-3Y) (3X+2Y) , 后面两组不动, 则原式变为 (2X-3Y) (3X+2Y) + (7X-17Y) -5
然后再利用十字相乘法
而 (-3X-2Y) + (10X-15Y) =7X-17Y, 因此分解后的结果为 (2X-3Y-1) (3X+2Y+5) 。
例6.把X2-Y2+2Y-1进行因式分解。
该类型题经常出现在初中教材中, 一般解法为先把后三项分组后利用完全平方公式分解为 (Y2-2Y+1) = (Y-1) 2, 再利用平方差公式即可分解为 (X+Y-1) (X-Y+1) 。
但是有的同学一眼就发现X2-Y2要是分成一组可以先利用平方差公式, 可能有的老师就会说, 这样分组后面不能再分解了, 是错误的分组方法, 事实上这样分组也是完全可以的。
然后利用十字相乘法即可以分解
而 (-X+Y) + (X+Y) =2Y, 因此原式可分解为 (X+Y-1) (X-Y+1) 。
综上所述, 我认为十字相乘法在因式分解中相当重要, 不应该从教科书中删除, 即使删除了, 作为思维的扩展教师也应该把这个方法教授给学生, 如果学生真的学懂了, 学透了, 那么对今后的学习将是受用无穷。
参考文献
3.十字相乘法在中学数学中的应用 篇三
关键词：数学教学，至关重要，简单快捷，高效解题
【分类号】G633.6
十字相乘法作为多项式进行因式分解的一种方法，它在中学数学的基本运算中起着举足轻重的作用。无论在初中数学中，还是在高中数学中因式分解因为其自身在数学应用中的常见性而显得至关重要。
十字相乘法作为 多项式分解因式的一种方法，在多项式分解因式中起着非常重要的作用。有些题利用提公因式法和运用公式法不能进行分解因式，但可以采用十字相乘法进行分解因式。十字相乘法这种方法简单快捷，掌握起来很容易。
（一），十字相乘法在 多项式分解因式中的重要作用
现行人教版的-教材中对这一方法并未提及。在人教版八年级（上册）因式分解这一章中，介绍了两种分解因式的方法，即提公因式法和运用公式法。提公因式法在多项式分解因式中是首选方法，但公式法，提公因式法都带有很大的局限性。例如：a? - b? = （a+b）（a-b）和a2+2ab+b2 = （a+b）2或a2-2ab+b2= （a-b）2。它只适用于符合这一形式的多项式，譬如x2-4x+4可以利用完全平方公式分解为（x-2）2，但有些多项式则利用课本上介绍的方法分解不出来。例如分解因式：x2-3x+2，利用以上两种方法都无法分解，但是利用十字相乘法就能够很容易地分解了，它可以分解成（x-2）（x-1）.实质上平方差公式和完全平方公式都可以看成是利用十字相乘法分解得到的。例如，a2+2ab+b2可以利用十字相乘法分解成（a+b）（a+b），等等。
（二），十字相乘法在分式运算中的作用
十字相乘法这种方法不单单在分解因式这一章中有很重要的作用，在分式的运算中也很重要。例如，将下列分式约分：
（1） ；（2）
在此题运算过程中必须对分子分母进行分解因式，（1）中m2+2m-3利用十字相乘法分解为（m+3）（m-1）这样就可以得到 = ，而（2）中a2-2ab-3b2利用十字相乘法分解成（a-3b）（a+b），a2-b2利用平方差公式分解为（a+b）（a-b），这样就可以得到 = 。从上面的题目中可以看出十字相乘法在分式运算这一章中所起的作用不容忽视！在分式的通分运算中也应用到十字相乘法，我在此就不一一举例了。
（三），十字相乘法在一元二次方程解法中的重要作用。
在九年级一元二次方程解法及应用中十字相乘法也很重要。例如：解方程X2-4x-5=0，这道题可以采用公式法求解，但比较繁琐，公式法解题必须先要求b2-4ac的值并且要带入公式中才能得到x1与x2的解。如果此题利用十字相乘法进行求解就简单易行，x2-4x-5=（x-5）（x+1），所以x2-4x-5=0可转化为（x-5）（x+1）=0，因此x1=5，x2=-1.这说明一元二次方程可以利用十字相乘法快速求解。还譬如：如图，在长32米，宽20米的矩形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，若草坪实际面积为540平方米，求中路的平均宽度.
解： 设小路宽为x米，（32-x）（20-x）=540，整理得x2-52x+100=0，利用公式法x1=2，x2=50（舍去），
答：小路宽为2米.
这道题利用十字相乘法求解简单易行，x2-52x+100=0，可以分解成（x-2）（x-50）=0得x1=2，x2=50，应用题理解起来就费劲，若解方程的方法简单快捷，则解题效率就大大提高了。尤其遇到系数比较大的一元二次方程其优点越明显。从中不难看出十字相乘法在一元二次方程及其应用中具有化难为易的作用 。
二.高中数学中十字相乘法也起着重要的基础作用。
十字相乘法在一元二次不等式的解法中也很重要。例如：x2-46x+304>0，这道题则首先要对不等式的左边分解因式，而分解因式的方法就是利用十字相乘法，这样就可得到（x-38）（x-8）>0所以x>38或x<8。在高中数学中，有好多地方都得应用十字相乘法这种最基本的方法进行求解，我在这里不再赘述。
我在实际教学过程中给学生介绍了十字相乘法，不到一节课学生都能够掌握这种方法，可见十字相乘法简单快捷，掌握起来很容易。并且有助于理解平方差公式与完全平方公式，他们可以看成是十字相乘法的一种特例。更具直观性。教材编写过程中介绍完利用公式法分解因式后，以此作为引申，趁热打铁，引出十字相乘法，用两到三节课进行强化训练，学生就能掌握透彻。2000年大纲删去了“将二次三项式分解因式的十字相乘法“，可能认为这是特殊的技巧性的内容，但这种技巧非常重要，它给学生的后续学习带来很多益处。我认为不会给学生的学习带来太多不便，反倒为以后好多章节的学习奠定了坚实的基础。
作者简介：王秀梅，女，1973年出生，1996年9月参加工作，大学学历，现任职于甘肃省庆阳市宁县早胜初级中学，中学一级数学教师。
4.十字相乘法 篇四
班组是企业的细胞，而班组长又是企业各项制度的执行者，也是班组安全、生产、质量、效益的“第一责任者”。如何发挥其应有的作用呢？
1．突出一个“学”字。经常开展班组安全知识学习活动，提高个人安全意识，增强班组的群体安全素质和安全责任感；
2．狠抓一个“严”字。工作上讲求严密，使事故无可乘之机；态度上要严肃，抓安全毫不放松；标准上要严格，抓规程作业一丝一毫不含糊；在行为上要严于律 已，以身作则做表率；
3·坚持一个“查”字。坚持做到班前互相确认检查制，班中现场巡查制，查现场各种不安全因素，查人的思想动态，及时消除各种不安全因素；
4．立足一个“准”字。个人动态有标准，作业行为守规范；
5．深化一个“细”字。细在安全责任制上，细在规章制度上，细在操作标准上，细在班组建设上，细在每一项施工环节和每一道工序；
6．注意一个“防”字。要有超前预测预防意识，消除人的不安全行为、物的不安全因素和环境对人的影响，使班组在生产活动中形成自保互保的三道安全防线；
7．贯彻一个“全”字。做好全员培训，全线预防和全面管理，对人与机、人与环境、物与环境的安全进行分析和评价，处理好这三者相互间对事故产生的关系，达到班组安全生产的目的；
8．落实一个“实”字。将安全预防措施落到实处，确确实实落到各工种各岗位，实事求是搞好安全生产；
9．要求一个“快”字。对上级关于安全工作的指示精神要传达得快，现场发现问题要处理得快，查出事故隐患要整改得快，对三违人员要制止批评教育得快，安全生产情况要汇报得快；
5.教案 分数与整数相乘 篇五
教案 分数与整数相乘
第二课时 分数与整数相乘(2) 教学内容：P39-40例2，“练一练”，练习八第6-11题 教学目的：1、让学生理解求一个数的几分之几是多少可以直接用乘法来计算 2、促使学生加深对相关数量关系的理解，提高解决简单实际问题的能力 教学重点难点：使学生理解求一个数的几分之几是多少可以用乘法来计算 教学资源：例2的图、小黑板 教学过程： 一、导入 1、出示例2 学生看图理解题意 说说题中两个分数的具体含义 明确：以10朵绸花为单位“1”，红花的朵数是10朵的1/2，绿花的朵数是10朵的2/5 二、探索 1、学生尝试解决第(1)个问题，求红花的朵数 学生交流解决方法，明确求红花的朵数可以用除法来计算，还可以用乘法计算 由此列出乘法算式，并让学生再次算出结果 2、解决第(2)个问题 先让学生在图中按要求圈一圈 理解：求绿花有多少朵，就是把10朵花平均分成5份，求这样的2份是多少 让学生已有的知识来解答 交流：求10多的`2/5是多少，也可以用乘法来计算 3、引导学生比较两种计算方法 使学生明白：10朵的2/5，也就是把10朵花平均分成5份，求这样的2份是多少 计算10*2/5时，要先约分，实际上也就是先用10/5，求出1份是多少，再乘2求出2份是多少 4、小结：求一个数的几分之几是多少，可以用乘法计算 5、“练一练” 第1题 先让学生根据题意涂色，在列式计算 第2题 先让学生理解题意，再填空 三、练习 1、练习八第6题 先让学生独立解答后再交流，比较。 体会到：求一个数的几分之几是多少与求几个相同数连加的和，都可以用乘法来计算 2、练习八第7题 学生先独立计算再交流 3、练习八第8题 学生独立解答并说说是怎样思考的 4、练习八第9题 先理解：表中的分数都是与四月份的天数比较后得到的，都以“30天”作为单位“1”。 估计天数的多少，可以直接比较分数几个分数的大小。 将计算结果与估计结果进行比较，看估计是否正确。 5、练习八第10题 先让学生看图计算，再组织学生说说三个问题有什么相同的地方。 6、练习八第11题 学生先独立解答，再进一步思考：如果不计算，你能比较出参加三项比赛的人数哪一项最多，哪一项最少吗? 四、全课总结
6.分数与整数相乘教学反思 篇六
《课程标准》强调从学生的熟悉的生活经验和学习经验，让数学学习成为学生“生动活泼、主动发展和富有个性的过程”，本课重视了让学生成为学习的主人，积极主动地探究学习新知，体验成功的快乐!
我认为教者以下几点做得比较好：
1、结合现实的问题情境，引导学生理解分数乘法的意义。计算课是比较单调和枯燥的，为了避免单纯的机械计算，将计算学习与解决问题有机结合。创设了班里同学为教师节做装饰花的实际情境，引导学生明白分数和整数相乘的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的简便运算，又可以启发学生用加法算出3/10×3的结果。
2、借助同分母分数加法，自主探索分数和整数相乘的计算方法。由于分数和整数相乘可以转化成几个相同加数连加的算式，因此，例1放手让学生尝试计算，着重让学生说一说计算的思考过程。因为很多学生可能凭借经验只知道怎么算，不知道为什么这样算。尤其是对于分数和整数相乘时，为什么直接将分子与整数相乘的积作分子，而分母不变，学生不一定明确。因此，这节课不能仅仅满足学生会算，更重要的是要让学生理解分数与整数相乘的含义，关注学生理解分数与整数相乘的算理，理解和掌握为什么可以这样算?这样做的理由是什么?这样做能够很好的突出重点，突破难点，要让学生不仅知其然，更重要的是知其所以然。教材的例题侧重体现加法和乘法之间的转化，板书对照清楚明晰，学生很容易发现乘的计算方法，。