切线长定理教案

切线长定理教案（精选5篇）

1.切线长定理教案 篇一

1、教材分析(1)知识结构(2)重点、难点分析重点：及其应用.因再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点.难点：与有关的证明和计算问题.如120页练习题中第3题，它不仅应用，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来.2、教法建议本节内容需要一个课时.(1)在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析的基本图形;对重要的结论及时总结;(2)在教学中，以观察猜想证明剖析应用归纳为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学.教学目标1.理解切线长的概念，掌握;2.通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想.3.通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度.教学重点:是教学重点教学难点 :的灵活运用是教学难点教学过程 设计:(一)观察、猜想、证明，形成定理

1、切线长的概念.如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长.引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量;切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.2、观察利用电脑变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系.3、猜想引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB.PA=PB.4、证明猜想，形成定理.猜想是否正确。需要证明.组织学生分析证明方法.关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA=PB.想一想：根据图形，你还可以得到什么结论?OPA=OPB(如图)等.：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.5、归纳：把前面所学的切线的5条性质与一起归纳切线的性质

6、的基本图形研究如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点.直线OP交⊙O于点D，E，交AP于C(1)写出图中所有的垂直关系;(2)写出图中所有的全等三角形;(3)写出图中所有的相似三角形;(4)写出图中所有的等腰三角形.说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础.(二)应用、归纳、反思例

1、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径.求证：AC∥OP.分析：从条件想，由P是⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A，B是切点可得PA=PB，APO=BPO，又由条件BC是直径，可得OB=OC，由此联想到与直径有关的定理垂径定理和直径所对的圆周角是直角等.于是想到可能作辅助线AB.从结论想，要证AC∥OP，如果连结AB交OP于O，转化为证CAAB，OP AB，或从OD为△ABC的中位线来考虑.也可考虑通过平行线的判定定理来证，可获得多种证法.证法一.如图.连结AB.PA，PB分别切⊙O于A，BPA=PBAPO=BPOOP AB又∵BC为⊙O直径ACABAC∥OP(学生板书)证法二.连结AB，交OP于DPA，PB分别切⊙O于A、BPA=PBAPO=BPOAD=BD又∵BO=DOOD是△ABC的中位线AC∥OP证法三.连结AB，设OP与AB弧交于点EPA，PB分别切⊙O于A、BPA=PBOP AB=POBAC∥OP反思：教师引导学生比较以上证法，激发学生的学习兴趣，培养学生灵活应用知识的能力.例

2、圆的外切四边形的两组对边的和相等.(分析和解题略)反思：(1)例3事实上是圆外切四边形的一个重要性质，请学生记住结论.(2)圆内接四边形的性质：对角互补.P120练习：练习1 填空如图,已知⊙O的半径为3厘米，PO=6厘米，PA，PB分别切⊙O于A，B，则PA=_______，APB=________练习2 已知：在△ABC中，BC=14厘米，AC=9厘米，AB=13厘米，它的内切圆分别和BC，AC，AB切于点D，E，F，求AF，AD和CE的长.分析：设各切线长AF，BD和CE分别为x厘米，y厘米，z厘米.后列出关于x , y，z的方程组，解方程组便可求出结果.(解略)反思：解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和之外，还要用到解方程组的知识，是一道综合性较强的计算题.通过对本题的研究培养学生的综合应用知识的能力.(三)小结

1、提出问题学生归纳(1)这节课学习的具体内容;(2)学习用的数学思想方法;(3)应注意哪些概念之间的区别?

2、归纳基本图形的结论

3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法.(四)作业教材P131习题7.4A组1.(1)，2，3，4.B组1题.探究活动图中找错你能找出(图1)与(图2)的错误所在吗?在图2中，P1A为⊙O1和⊙O3的切线、P1B为⊙O1和⊙O2的切线、P2C为⊙O2和⊙O3的切线.提示：在图1中，连结PC、PD，则PC、PD都是圆的直径，从圆上一点只能作一条直径，所以此图是一张错图，点O应在圆上.在图2中，设P1A=P1B=a，P2B=P2C=b，P3A=P3C=c，则有a=P1A=P1P3+P3A=P1P3+ c ①c=P3C=P2P3+P3A=P2P3+ b ②a=P1B=P1P2+P2B=P1P2+ b ③将②代人①式得a =P1P3+(P2P3+ b)=P1P3+P2P3+ b，a-b=P1P3+P2P3由③得a-b=P1P2得P1P2=P2P3+ P1P3P1、P 2、P3应重合，故图2是错误的。

2.切线长定理 篇二

切线长定理

一、教材说明：

这是人教版九年级上册第二十四章圆中直线与圆位置关系的《切线长定理》的教学设计。

二、教材分析：

1、在教材中的地位和作用

直线和圆是生活中最常见的几何图形，它的有关性质被广泛应用，尤其对于切线长定理，它体现了圆的轴对称性，为证明线段相等、角相等、弧相等和垂直关系等提供了一个基本图形和理论依据，为解决与圆有关的计算问题做好了铺垫，具有承上启下的作用。

2、教学目标：

（1）知识目标：了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算。（2）技能目标：经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过程，培养学生推理能力和阐述自己的观点的能力。

（3）情感目标：引发学生对数学的好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，并培养学生良好的学习习惯和严谨的思维品质。

3、教学重点：理解切线长定理

4、教学难点：应用切线长定理解决问题

三、教法分析：

根据本节课的教学目标和内容及九年级学生基本形成逻辑思维的能力，利用形象直观的图片，在教学上采用直观演示、猜想论证。启发式教学，引起学生的求知欲，激发学生思维活动。

让学生经历观察、画图、猜想、论证以及讨论、分析、演示相结合的教学方法，在帮助学生通过自己动手实验，分析归纳，从实践中获取知识，并通过讨论来加深对知识的理解。

四、学法分析：

通过前一段时间的学习，学生对点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系以及圆的基本性质有了一个大概的了解，尤其是通过垂径定理、（圆心角、弧、弦、弦心距）定理、圆周角定理、切线的判定定理、切线的性质定理等定理的学习和应用，学生的推理和证明能力已经得到一定的锻炼。因此，本课定理的证明学生不会感到困难，但定理的应用，尤其是复杂的应用，学生将会感到一定的困难。

学法指导：

观察猜想、合作交流、总结归纳。

五、教学过程：

（一）旧知联想：

《数学课程标准》中指出，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上，通过对旧知的回忆，明确概念，加深理解。温故知新篇：提出问题：

1、直线和圆有几种位置关系，分别是什么？

2、什么叫直线与圆相切？

3、切线的性质定理内容是什么？

4、过圆上一点作圆的切线，能作几条？过圆外一点作圆的切线能作几条？

以提问的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识产生设疑，把学生带入下一环节——— 发现问题，探求新知

探究应用篇：

（二）新知探究：观察、猜想、度量、证明，形成定理 设计活动

一、过圆外一点画出圆的切线，①切线PA能否度量？为什么？

②切线上点P到切点A的距离能否度量？

引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，可以度量。

设计意图在于让学生区别切线和切线长是两个不同的概念。导出切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

利用课件来展示点P 的位置的变化，观察图形的特征、猜想 各量之间的关系． 设计活动

二、学生动手操作：先画再折画直线OP，沿OP对折，两半圆能否重合？如果重合，设与A重合点为B，连接PB，直线PB是否是⊙O切线？

观察、猜想图中PA和PB是否相等？∠APO和∠BPO相等吗？如何验证你的结论？

设计意图：让学生自主探索，归纳经验的基础上获得，教学中应展现的思维形成过程。证明猜想，形成定理．

证明关键是作出辅助线OA，OB，利用三角形全等证明PA＝PB．∠OPA＝∠OPB

归纳总结：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 用符号语言表示定理：

∵PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点 ∴PA=PB，∠APO=∠BPO.设计意图：数学概念、定理要明确其内涵和外延（条件、结论、应用范围等），通过对定理的阐述，使学生的认知结构得到优化，知识体系得到完善，使学生的数学理解突破思维的难点。

活动

三、切线长定理的基本图形研究（小组合作交流）

若连接AB，有AD=BD等．想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？

对于这个题目，引导学生积极思考，大胆思维，与学生一起探究新知识，及时总结、归纳出切线长定理，体现了圆的轴对称性，为我们证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了一个基本图形和理论依据，从而使学生思维层次飞跃一个新的台阶。应用新知：

例1：已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，CD是⊙O的切线，切于点E，PA=10，（1）求PCD的周长；（2）∠P=500，F是优弧AB上一点，求∠AFB的度数和∠COD的度数。

巩固练习；

1、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，PO交⊙O于E点（1）若PB=12，PO=13，则AO=____

（2）若PO=10，AO=5，则PB=____（3）若PA=4，AO=3，则PO=____；PE=_____（4）若PA=4，PE=2，则AO=____.2、如图2，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，CD切⊙O于E交PA、PB于C、D两点。

（1）若PA=12，则△PCD周长为____（2）若△PCD周长=10，则PA=____（3）若∠APB=30°,则∠AOB=_____，M是⊙O上一动点，则∠AMB=____

设计意图：1道例题及巩固练习题由浅入深、由易到难、各有侧重，体现新课标提出的让不同的学生在数学上得到不同发展的教学理念。这一环节总的设计意图是反馈教学，内化知识。

归纳、小结、反思：总结归纳不应该仅仅是知识的简单罗列，而应该是优化认知结构，完善知识体系的一种有效手段，为充分发挥学生的主题作用，从学习的知识、方法、体验是那个方面进行归纳。作业延展：

设计了必做题和选做题，必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对本节课知识的一个延伸。

六、教学反思：

3.弦切线定理[推荐] 篇三

线的判定和性质

切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线几何语言：∵l ⊥OA，点A在⊙O上

∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）

切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点半径

几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A

∴l ⊥OA（切线性质定理）

推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点

推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线长定理

定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

几何语言：∵直线PB、PD切⊙O于A、C两点

∴PA=PC，∠APO=∠CPO（切线长定理）

弦切角

弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

几何语言：∵∠BCN所夹的是，∠A所对的是

∴∠BCN=∠A

推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等几何语言：∵∠BCN所夹的是，∠ACM所对的是，=∴∠BCN=∠ACM

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

弦切角概念：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：

（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；

（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；

4.初中数学《圆的切线》教案 篇四

教学内容 24.2圆的切线（1）

课型 新授课 课时 32 执教

教学目标 使学生掌握切线的识别方法，并能初步运用它解决有关问题

通过切线识别方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力

教学重点 切线的识别方法

教学难点 方法的理解及实际运用

教具准备 投影仪,胶片

教学过程 教师活动 学生活动

（一）复习情境导入

：

1、复习、回顾直线与圆的三 种位置关系．

2、请学生判断直线和圆的位置关系．

学生判断的过程，提问：你是怎样判断出图中的直线和圆相切的？根据学生的回答，继续提出 问题：如何界定直线与圆是否只有一个公共点？教师指出，根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义识别很不方便，为此我们还要学习识别切 线的其它方法．(板书课题)抢答

学生总结判别方法

(二)实践与探索1：圆的切线的判断方法

1、由上面 的复习，我们可以把上节课所学的切线的定义作为识别切线的方法1定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．

2、当然，我们还可以由上节课所学的用圆心到直线的距离 与半径 之间的关系来判断直线与圆是否相切，即：当 时，直线与圆的位置关系是相切．以此作为识别切线的方法2数量关系法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 ．

3、实验：作⊙O的半径OA，过A作lOA可以发现：（1）直线 经过半径 的外端点 ；（2）直线 垂直于半径 ．这样我们就得到了从位 置上来判断直线是圆的切线的方法3位置关系法：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 理解并识记圆的切线的几种方法，并比较应用。

通过实验探究圆的切线的位置判别方法，深入理解它的两个要义。

三、课堂练习

思考：现在，任意给定一个圆，你能不能作出圆的切线？应该如何作？

请学生回顾作图过程，切线 是如何作出来的?它满足哪些条件? 引导学生总结出：①经过半径外端；②垂直于这条半径．

请学生继续思考：这两个条件缺少一个行不行?（学生画出反例图）

（图1）（图2）图（3）

图(1)中直线 经过半径外端，但不与半径垂直； 图(2)中直线 与半径垂直，但不经过半径外端． 从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．

最后引导学生分析，方法3实际上是从前一节所讲的“圆 心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”这个结论直接得出来的，只是为了便于应用把它改写成“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式． 试验体会圆的位置判别方法。

理解位置判别方法的两个要素。

（四）应用与拓展 例

1、如图，已知直线AB经过⊙O上的点A，并且AB＝OA，OBA=45，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？

例

2、如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，BAD＝B＝30，边BD交圆于点D．BD是⊙ O的切线吗？为什么？

分析：欲证BD是⊙O的切线，由于BD过圆上点D，若连结OD，则BD过半径OD的外端，因此只需证明BDOD，因OA＝OD，BAD＝B，易证BDOD．

教师板演，给出解答过程及格式．

课堂练习：课本练习1－4 先选择方法，弄清位置判别方法与数量判别方法的本质区别。

注意圆的切线的特征与识别的区别。

（四）小结与作业 识 别一条直线是圆的切线，有 三种方法：

(1)根据切线定义判定，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；

(3)根据直线的位置关系来判定，即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线，说明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线，如果 已知直线过圆上某 一点，则作出过 这一点的半径，证明直线垂直于半径即可(如例2)．

各抒己见，谈收获。

（五）板书设计

识别一条直线是圆的切线，有三种方法： 例：

(1)根据切线定义判定，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆 的切线；

(3)根据直线的位置关系来判定，即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线，说明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线，如果已知直线过圆上某一点，则作出过 这一点的半径，证明 直线垂直于半径

(六)教学后记

教学内容 24.2圆的切线（2）课型 新授课 课时 执教

教学目标 通过探究,使学生发现、掌握切线长定理，并初步长定理，并初步学会应用切线长定理解决问题，同时通过从三角形纸片中剪出最大圆的实验的过程中发现三角形内切圆的画法，能用内心的性质解决问题。

教学重点 切线长定理及其应用，三角形的内切圆的画法和内心的性质。

教学难点 三角形的内心及其半径的确定。

教具准备 投影仪,胶片

教学过程 教师 活动 学生活动

（一）复习导入：

请同学们回顾一下，如何判断一条直线是圆的切线？圆的切线具有什么性质？（经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径。）

你能说明以下这个问题？

如右图所示，PA是 的平分线，AB是⊙O的切线，切点E，那么AC是⊙O的切线吗？为什么？

回顾旧知,看谁说的全。

利用旧知，分析解决该问题。(二)

实践与探索 问题

1、从圆外一点可以作圆的几条切线？请同学们画一画。

2、请问：这一点 与切点的 两条线段的长度相等吗？为什么？

3、切线长的定义是什么？

通过以 上几个问题的解决，使同学们得出以下的结论：

从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心的连线

平分两条切线的夹角。在解决以上问题时，鼓励同学们用不同的观点、不同的知识来解决问题，它既可以用书上阐述的对称的观点解决，也可以用以前学习的其他知识来解决问题。

(三)拓展与应用 例:右图，PA、PB是，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为P，交PA、PB为E、F点，已知，（1）求 的周长；（2）求 的度数。

解：（1）连结PA、PB、EF是⊙O的切线

所以，所以 的周长（2）因为PA、PB、EF是⊙O的切线

所以，，所以

所以

画图分析探究，教学中应注重基本图形的教学，引导学生发现基本图形，应用基本图形解决问题。

（四）小结与作业 谈一下本节课的 收获 ? 各抒己见,看谁 说得最好

（五）板书设计

切线(2)

切线长相等 例:

切线长性质

点与圆心连 线平分两切线夹角

5.切线长定理教案 篇五

罗泥新 学习目标：

1、掌握圆的切线判定和性质，并能熟练运用切线的判定与性质进行证明和计算。

2、掌握圆的切线常用添加辅助线的方法

复习指导

1、通过作图1，你能发现直线与圆有几种位置关系吗？

2、你能用数量关系来确定直线与圆的位置关系吗？

3、通过作图2，你是怎样得出圆的切线判定和性质的？

（二）过程与方法：

1、运用圆的切线的性质与判定解决数学问题的过程中，进一步培养学生运用已有知识综合解决问题的能力；

2、进一步感悟数形结合、转化和分类的思想的重要性，培养观察、分析、归纳、总结的能力。

（三）情感态度与价值观：

形成知识体系，教育学生用动态的眼光、运动的观点看待数学问题。教学重点：对切线的判定方法及其性质的准确、熟炼、灵活地运用． 教学难点：综合型例题分析和论证的思维过程． 教学方法：先学后教，当堂训练 教学过程：

一、切线的判定及性质：

1、作图1：过⊙O外一点P作直线，(设计意图：通过简单作图和复习指导，①回顾直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离，并能从公共点个数判断，得出切线概念；②从数的角度即数量关系上体会圆的切线判别方法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，体会数形结合思想)

作图2：若点A为⊙O上的一点，如何过点A作⊙O的切线呢？（请学生上黑板按要求作图）

（设计意图：利用作图，体会切线的判定定理内容有两个要点：①经过半径的外端②垂直于半径，并且从命题的题设与结论出发加深对判定的理解，自然过渡到圆的切线性质）

归纳小结：判断直线与圆相切的方法有哪些？圆的切线的性质是什么？（设计意图：概括归纳切线的判定和性质，形成切线的判定与性质知

2、课堂检测：

(1)已知⊙O直径为8cm，直线L到圆心O的距离为4 cm，则直线L为。

（2）PA切⊙O于点A,PA=4,OP=5,则⊙O的半径是____（设计意图：应用圆的切线判别方法及性质解决简单数学问题，同时做法指导：见切线，连半径，得垂直，同时体会转化的数学思想）（3）已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB． ①求证：直线AB是⊙O的切线．

②若⊙O的直径为8cm，AB=10cm，求OA的长。

（设计意图：本题是对圆的判定及性质的综合应用。从判别方法说，可以从判定定理入手，旨在体会辅助线的添法（点已知，连半径，识体系）

O与⊙O的位置关系

AP在性质应用时体现辅助线

可以从数量关系证明，也证垂直）和判定方法的灵活应用；从性质入手的计算问题往往与直角三角形、勾股定理相关，让学生体会知识点间的密切联系和转化的思想）

二、当堂训练：

1、如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB①判断⊙D与OA的位置关系，并证明你的结论。②通过上述证明，你还能得出哪些等量关系？

③若OA与⊙D相切于点F，且∠AOB=60º，⊙D上存 在一动点P(不与E、F重合),求∠EPF的度数。

于E，以DE为半径作⊙D，ACD EOB（设计意图：本题在问题①中旨在体会判定方法的灵活应用，当公共点未知时，应该从数量关系角度判定，所以要做垂直，证明距离等于半径（辅助线添加：点未知，做垂直，证半径）；问题②是变式练习，圆的切线相关知识还有切线长定理和三角形内切圆和内心等问题，所以在此为后继学习伏笔；另外对于问题③则是分类讨论思想的体会，让学生用动态的眼光、运动的观点看待数学问题）

2、小结提升：

①有关圆的切线证明和计算常用辅助线的添法有哪些？ ②本节课的学习过程中，渗透了哪些思想方法？

（设计意图：综合概括本节课添加辅助线解决圆的切线问题时的不同方法及体现的数学思想方法，使学生用数学的眼光看待圆的切线问题）

三、作业设计：

1、已知: 在△ABD中，∠BAD= 40°，∠B=10°，⊙O经过点A和点D，圆心O在AB上，⊙O交AB于点C，那么BD是⊙O切线吗？请证明你的结论.四、板书设计：

圆的切线判定和性质复习

一、定义

例1

作图1

二、切线判定方法

作图2

例2

三、切线性质