第四章统计与概率

第四章统计与概率（通用8篇）

1.第四章统计与概率 篇一

小学六年级数学总复习〖统计与概率〗 复习建议

一、统计

统计知识在生产和生活中，特别是进行科学研究时，应用非常广泛。小学阶段，学习内容是统计学中最初步的知识，它包括单式、复式统计表和条形、折线、扇形统计图的用途、结构及绘制方法等问题。在这里我谈谈自己对在《统计与概率》的认识，以求抛砖引玉。复习内容：

1、数据的收集 整理 统计图表

2、对图表进行分析，解决问题。

3、条形(单式，复式)，折线(单式，复式)，扇形统计图的特点及选择方法。

4、统计图的选用与制作。复习目标:

1、通过复习已学过的统计的初步知识，加深学生对统计的意义及其应用的理解。

2、培养学生会看、会分析、会制作简单统计图表的能力和综合运用统计知识解决实际问题的能力。

3、通过复习使学生进一步感受、了解数学在生活中的实际应用，以提高学生学数学、用数学的意识。复习重难点： 重点：

1、体会统计在实际生活中的应用，发展统计观念。

2、用自己的语言描各种统计图的特点。难点：

用自己的语言描述各种统计图的特点。复习要点：

1、统计表：把统计数据填写在一定的表格内，用来反映情况 说明问题。

种类：单式统计表、复式统计表、百分数统计表。

2、统计图：用点、线、面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形。

分类:（1）条形统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画 成长短不同的直条，然后把这些直条按照一定的顺序排列起来。优点：很容易看出来各种数量的多少。

注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区分开，并在制图日期下面注明图列。

（2）折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次联系起来。

优点：不但可以表示数量的多少而且能够清楚表示出数量增减变化的情况。

注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。

（3）扇形统计图：用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。优点：很清楚的表示出各部分同总数之间的关系。例

一、填空、选择、判断题各一例。

1、常用的统计图有 条形 统计图，折线 统计图和 扇形 统计图。

2、为了清楚地表示出数量的多少，常用（A）统计图，为了表示出数量的增减变化情况，用（B）统计图比较合适，而（C）统计图却能清楚地表示出部分量与总体的关系。A.条形统计图 B.折线统计图 C.扇形统计图

3、用统计表表示的数量不能用统计图表示。（）例

二、下面是淘淘一天的活动情况统计图。（1）算出淘淘各种活动占用的时间。

（2）你对淘淘关于时间的安排有何看法？你能提出什么建议？

二、概率

表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。它是随机事件出现的可能性的量度，同时也是概率论最基本的概念之一。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实列。但如果意见事情发生的概率是1/n，不是指n次事件里必有一次发生该事件，而是指此事件发生的概率接近于1/n这个数值。复习内容：

可能性的大小。（语言描述，分数表示，预测），根据要求设计方案。复习目标:

1、通过复习使学生能进一步熟练地判断简单事件发生的可能性。

2、通过复习使学生能熟练地用分数表示事件发生的概率，并且会用概率的思维去观察、分析和解释生活中的现象。复习重难点： 重点：

体验不确定现象，复习如何计算事件发生的可能性。难点：

体验不确定现象，复习如何计算事件发生的可能性。复习要点：

1、可能性分为能确定的和不能确定的两种。事件发生的可能的结果数

2、可能性大小的求法:可能性大小= 所有可能的结果总数，即可能性就是用一定能出现的次数与可能出现所有次数的最简整数比。例

一、填空、选择、判断题各一例。

1、箱子里装有大小相同的4个白球，1个黄球，任意摸出1个，摸到黄球的可能性是 1/5。

2、某地的天气预报中说：“明天的降水概率中80%。”根据这个预报，下面说法正确的是（）

A 明天一定下雨 B 明天不可能下雨 C 明天下雨的可能性很大

3、掷硬币10次，恰好出现5次正面朝上，5次反面朝上。（）例

二、试一试。

桌子上摆着9张卡片，分别写着2-10这几个数，如果摸到单数小明赢，如果摸到双数红的赢。

① 这个游戏公平吗？ ②小明一定会输吗？

③怎样增加一张或减少一张卡片使游戏公平

三、近年考试题的考点及分值情况： 2009年: 这部分知识在总分12分。

1、填空题1道，可能性，分值2分；

2、选择题1道，统计图的概念，分值1分；

3、解决问题1道，统计的综合应用，分值9分。2010年：这部分知识在总分3分。

1、填空题1道，可能性，分值2分；

2、选择题1道，可能性，分值1分；

2011年：这部分知识在总分9分。

1、判断题2道，统计图的概念和可能性，分值2分；

2、选择题1道，可能性，分值1分；

3、填空题1道，可能性，分值1分；

4、解决问题1道，对复式统计表进行分析，解决问题分值5分。

四、复习建议：

小学数学“统计与概率”领域包含四个方面的基本内容:收集、整理和描述数据,包括整理调查数据、绘制统计图表等;处理数据;从数据中提取信息并进行简单的判断与预测;简单随机事件及其发生的概率。复习的一般任务大体上包括以下几个方面:查漏补缺,展开认知矫正;系统梳理,优化认知结构;综合训练,提高学习能力;激发探究,拓展学习空间。因而,本领域的复习需要帮助学生进一步澄清概念、掌握方法,以提高学生分析数据、提取信息、进行预测和决策的能力,并通过学习进一步深化统计活动体验,为后续的中学数学学习奠定扎实的基础。以上都是我个人的观点，还有汗多不全面和不妥之处，望各位老师加以指正，谢谢大家！

五、今年考点及分值预测： 这部分知识在总分9分左右。

1、填空题1道，可能性，分值2分；

2、选择题1道，统计图，分值1分；

3、解决问题1道，统计的综合应用，分值6分。

六、附检测题一套： 小学六年级数学总复习资料 〖统计与概率〗检测题 班级： 姓名： 评价等级 优 良 达标 待达标 在相应等级上划“√”

一、填空题：

1、抛出一枚硬币，落下后有（）种结果。出现反而的可能性有（）

2、李明和高飞下跳棋，他们用掷骰子的方式决定谁走几步，骰子各面分别写着1、2、3、4、5、6，抛出每个数字的可能性是（）。

3、一个装满白球的盒子里，（）摸出红球，（）摸出白球。

4、商业大厦电梯的载重限额是1250千克，那么电梯最多可以运送（）个75千克的人而不超载。

5、医生想用统计图记录病人24小时的体温变化情况，他选用（）统计图比较合适。

6、要表示本校三至六年级各年级的人数，用（）统计图表示比较合适。

7、根据统计图填空

东风机械厂2001年全年产值统计图

⑴平均每个季度产值（）万元。⑵全年平均每月产值约（）万元。⑶第四季度比第一季度增产（）%。⑷第三季度比第四季度少产（）%。⑸下半年的产值占全年产值的（）%。

8、完成统计表。

东新村总收入和村办企业收入统计表 2004年3月制 项目 金额（元）

全村总收入 其中村办企业 收入 村办企业收入占总收入的百分数 2001年 750万 420万 2002年 875万 530万 2003年 1800万 1439万 合计

9、小明从家去相距4千米远的图书馆看书和借书。从所给的折线图中可以看出小明在图书馆呆了（）分钟，去时平均速度是每小时（）千米，返回时平均速度是每小时（）千米。

10、下面是2006年4月某地三个药店中西药销售情况统计图，请看图填空。（1）这是（）统计图。

（2）中药销售额最多的是（），最少的是（）。（3）西药销售额最多的是（），最少的是（）。（4）康复药店中西药销售总额是（）万元。

（5）东方药店西药销售额比风华药店销售额多（）%。

11、下面是程苏六年级第一学期四次数学平时成绩和数学期末测试成绩统计图。

⑴程苏四次平时成绩的平均分是（）分。

⑵数学学期成绩是这样算的：平时成绩的平均分×60%＋期末测验成绩×40%。程苏六年级第一学期的数学学期成绩是（）分。

二、判断题。正确的在（）打“√”，错误的在（）打“×”。

1、体检时学生的体重记录是一份原始数据单。（）

2、为了清楚地表示各个课外兴趣小组人数的多少，选用扇形统计图比较合适。（）

3、掷硬币10次，恰好出现5次正面朝上，5次反面朝上。（）

4、画线条统计图时，应该注意直条的宽窄必须一样。（）

5、小明的身高是1.4米，在平均水深1.2米的游泳池中游泳没有危险。（）

三、选择题。新-课-标-第-一-网

1、省疾控中心为做好甲型H1N1流感防控工作，每天都进行疫情统计。既反映出每天患病人数，又反映出疫情变化的情况和趋势，他们应选用（）统计图。A 条形 B 折线 C 扇形

2、下面的信息资料中，适合用扇形统计图表示的是（）A 学校各年纪的人数 B 6月份气温变化情况 C 学校各年纪学生人数占学生总数的情况

3、六

（一）班同学到社区参加公益活动，社区主任问班长出勤的情况，班长说：“我们班共有50人，没有全部到齐，但大部分来了。”出勤率可能是（）。A 50% B 48% C 96%

4、某地的天气预报中说：“明天的降水概率中80%。”根据这个预报，下面说法正确的是（）

A 明天一定下雨 B 明天不可能下雨 C 明天下雨的可能性很大

四、解决问题。

1、由2、3、5、6这四个数字组成任意三位数，这个三位数末尾是5的可能性是多少？

2、下面记录的是某班一次数学测验的成绩。将整理数据的结果填写在表格里。甲组：98 76 80 94 88 94 75 96 87 95 98 58 100 100 95 53 92 乙组：78 92 97 82 85 89 96 79 96 95 92 86 80 94 89 84 76 分数 100 90~99 80~89 70~79 60~69 60以下 甲组 乙组

你认为本次测验甲组和乙组哪个情况要好一些？写出你的理由？

3、李军、张明、陆强、王宏四人参加100米跑和推铅球两项体育测验，成绩在下面表中。

李军 张明 陆强 王宏

100米跑 17秒 15秒 16秒 19秒 推铅球 6米 4米 9米 7米

根据他们两项测试的成绩排一排名次，把各的姓名填入下表

第一名 第二名 第三名 第四名 100米跑 推铅球

综合两项测试的名次，谁的成绩最好？你是怎样想的？

4、下表是“十一”黄金周期间，我国龙丰景区每天游客人数变化情况。（数字前的“十”和“一”号分别表示当天比前一天多和少的人数）

日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数

变化 +160 +80 +40 —40 —80 +20 —30

（1）若9月30日的游客人数为A，请用含有字母A的式子表示10月2日的游客人数。

（2）请判断哪一天人数最多？哪一天人数最少？它们相差多少人？（3）假定9月30日游客人数为120人，请在上表第三行填出每天的人数。

5、下表是某菜场1—12月份每500克西红柿售价情况统计表： 月 份 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二

售 价（元）2.00 3.50 3.00 2.00 1.50 1.00 1.50 1.00 1.00 2.00 2.50 3.00 请根据上表中的数据，制成折线统计图，并回答问题：

某菜场1—12月份西红柿售价情况统计图 2005年6月制 单位：元

4.00 3.50 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.50 0

2.第四章统计与概率 篇二

根据上述信息完成下列问题:

(1) 求这次抽取的样本的容量;

(2) 请在图 (2) 中把条形统计图补充完整;

(3) 已知该校这次活动共收到参赛作品750份, 请你估计参赛作品达到B级以上 (即A级和B级) 有多少份?

【分析】条形统计图和扇形统计图是一种基本的统计图表, 通过条形统计图可以看到各个对象或多个因素的绝对统计数据, 能反应具体的数据;通过扇形统计图可清楚地表示出各部分数量占总量的百分比.本题背景新颖, 首先考查了同学们的“图表”阅读能力, 其次考查同学们根据图表中反映出的数据解答有关问题的能力.要注意两幅图之间的对应关系, 首先由A级24人对应20%, 可求得样本容量为24÷20%=120 (人) , 所以C级为120×30%=36 (人) , D级为120-24-48-36=12 (人) , 则可把图 (2) 中条形统计图补充完整.由A、B两级所占的比例 (24+48) ÷120=60%, 可知750份的参赛作品中B级以上的作品为750×60%=450 (人) .该题在中考中还经常出现像求D级 (图 (1) 中) 所占的圆心角一类的问题, 要学会分析和转化.

例2 (2012·江苏常州) 在一个不透明的口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球, 其中白球2只, 红球1只, 黑球1只, 它们除了颜色之外没有其他区别.从袋中随机地摸出1只球, 记录下颜色后放回搅匀, 再摸出第二个球并记录颜色.求两次都摸出白球的概率.

【分析】本题是典型的概率计算题, 同学们在做该类型摸球的题目时首先要明确是否有放回, 其次要用序号来区分相同颜色的球, 这样就不容易重复和遗漏.画树状图或列表如下:

∵共有16种等可能情况, 两次都摸出白球的情况有4种, ∴两次都摸出白球的概率为

例3 (2008·湖北天门) 如图, 有两个可以自由转动的均匀转盘A、B.转盘A被均匀地分成3等份, 每份分别标有1, 2, 3这三个数字;转盘B被均匀地分成4等份, 每份分别标有4, 5, 6, 7这四个数字.有人为小明, 小飞设计了一个游戏, 其规则如下: (1) 同时自由转动转盘A和B; (2) 转盘停止后, 指针各指向一个数字 (如果指针恰好指在分格线上, 那么重转一次, 直到指针指向某一数字为止) , 用所指的两个数字相乘, 如果积为偶数, 小明胜, 否则小飞胜.

(1) 请你用列表或树形图求出小明胜和小飞胜的概率;

(2) 游戏公平吗?若不公平, 请你设计一个公平的规则.

【分析】本题由列表或画树状图不难求出答案, 但是从游戏是否公平角度出发似乎又换了一种思维方式 (虽然转化幅度很小) , 判断游戏是否公平的 (或者奖项设置是否合理) 原则是双方获胜的概率是否相等.这类题既可以考查同学们正确掌握求概率方法的程度, 也可以考查同学们运用概率思想和知识解决实际问题的能力.无论是强化应用意识, 还是培养综合能力, 都是有价值的.列表如图:

3.概率与统计 篇三

为此复习中我们要有如下对策:（1）重视基础知识的理解和掌握，弄清一些基本概念，如：等可能性事件、互斥事件、独立事件，随机事件的分布列、期望、方差，抽样方法等. （2）把握基本题型、基本思想，本部分内容的题型主要有三种，一是各种概率的计算；二是随机变量的分布列、期望等的运算及其应用；三是抽样方法和总体分布的估计. （3）注意解题步骤规范性的训练，特别是概率应用题的解答.

例1 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，[n]个白球. 在甲、乙两袋中各任取2个球.

（1）若[n=3]，求取到的4个球全是红球的概率；

（2）若取到的4个球中至少有2个红球的概率为[34]，求[n].

解 （1）记“取到的4个球全是红球”为事件[A]. [P(A)=C22C24⋅C22C25=16⋅110=160.]

（2）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件[B]，“取到的4个球只有1个红球”为事件[B1]，“取到的4个球全是白球”为事件[B2]. 由题意，得

[P(B)=1-34=14.] [P(B1)=C12⋅C12C24⋅C2nC2n+2+C22C24⋅C12⋅C1nC2n+2][=2n23(n+2)(n+1);]

[P(B2)=C22C24⋅C2nC2n+2][=n(n-1)6(n+2)(n+1);]

所以[P(B)=P(B1)+P(B2)]

[=2n23(n+2)(n+1)+n(n-1)6(n+2)(n+1)][=14]，

化简，得[7n2-11n-6=0,]解得[n=2]，或[n=-37]（舍去），故[n=2].

点评 本题属于古典概率，已知概率的结果，利用方程的思想逆求出[n]是该题的关键.

例2 某中学举办“上海世博会”知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会吉祥物海宝”或“世博会会徽”，要求4人一组参加游戏，参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中某人一次抽到2张“世博会吉祥物海宝”卡才能获奖，当某人获奖或者盒中卡片抽完时游戏终止.

（1）游戏开始之前，一位高中生问：“盒子中有几张‘世博会会徽’卡?”主持人说：“若从盒中任抽2张卡片不都是‘世博会会徽’卡的概率为[2528.]”请你回答：有几张“世博会会徽”卡呢?

（2）在（1）的条件下，甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取. 用随机变量[ξ]表示游戏终止时总共抽取的次数（注意，一次抽取的是两张卡片），求[ξ]的分布列和数学期望.

解 （1）设盒子中有“会徽卡”[n]张，依题意有，[1-C2nC28=2528]，解得[n=3]，即盒中有“会徽卡”3张.

（2）因为[ξ]表示游戏终止时，所有人共抽取卡片的次数，所以[ξ]的所有可能取值为1，2，3，4.

[P(ξ=1)=C25C28=514;]

[P(ξ=2)=C23C28⋅C25C26+C13⋅C15C28⋅C24C26=27;]

[P(ξ=3)=C23C28⋅C11⋅C15C26⋅C24C24+C13⋅C15C28⋅C22C26⋅C24C24]

[+C13⋅C15C28⋅C12⋅C14C26⋅C23C24=314]；

[P(ξ=4)=C13⋅C15C28⋅C12⋅C14C26⋅C11⋅C13C24⋅C22C22=17.]

随机变量[ξ]的分布列为：

[[ξ]&1&2&3&4&[P]&[514]&[27]&[314]&[17]&]

[∴ξ]的数学期望为

[Eξ=1×514+2×27+3×314+4×17=57.]

点评 求离散型随机变量的期望与方差，首先应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数，应先求出这些待定常数后，再求其期望与方差. 对求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率.

例3 已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量xkg与每单位面积蔬菜年平均产量yt之间的关系有如下数据：

[年份&1985&1986&1987&1988&1989&1990&1991&1992&x(kg)&70&74&80&78&85&92&90&95&y(t)&5.1&6.0&6.8&7.8&9.0&10.2&10.0&12.0&]

[年份&1993&1994&1995&1996&1997&1998&1999&x(kg)&92&108&115&123&130&138&145&y(t)&11.5&11.0&11.8&12.2&12.5&12.8&13.0&]

（1）求x与y之间的相关系数，并检验是否线性相关；（2）若线性相关，求蔬菜产量y与使用氮肥量之间的回归直线方程，并估计每单位面积施肥150kg时，每单位面积蔬菜的年平均产量.

解 （1）列出下表，并用科学计算器进行有关计算：

[i&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&[xi]&70&74&80&78&85&92&90&95&92&108&115&123&130&138&145&[yi]&5.1&6.0&6.8&7.8&9.0&10.2&10.0&12.0&11.5&11.0&11.8&12.2&12.5&12.8&13.0&[xiyi]&357&444&544&608.4&765&938.4&900&1140&1058&1188&1357&1500.6&1625&1766.4&1885&]

[x=151515=101]，[y=151.715=10.11]，

[i=115x2i=161125]，[i=115y2i=1628.55]，

[i=115xiyi=16076.8.]故蔬菜产量与放用氮肥量的相关系数

[r=16076.8-15×101×10.11(161125-15×1012)(1628.55-15×10.112)≈0.8643.]由于[n=15]，故自由度为15-2=13. 由相关系数检验的临界值表查出与显著水平0. 05及自由度13相关系数临界值[r0.05=0.514]，则[r>r0.05]，从而说明蔬菜产量与氮肥量之间存在着线性相关关系.

（2）设所求的回归直线方程为[y=bx+a]，则[b=i=115xiyi-15xyi=115x2i-15x2=16076.8-15×101×10.11161125-15×1012≈0.0937,]

[a=y-bx=10.11-0.0937×101≈0.6463]，

∴回归直线方程为

[y=0.0937x+0.6463.]

当[x=150]时，[y=14.701(t)].

点评 1. 根据公式[r=i=1nxiyi-nxy(i=1nx2i-nx2)(i=1ny2i-ny2)]计算[r]的值，检验所得结果：如果[|r|≤r0.05]，那么可以认为[y]与[x]之间的线性相关关系不显著，从而接受统计假设. 如果[|r|>r0.05]，表明一个发生的概率不到5%的事件在一次试验中竟发生了. 这个小概率事件的发生使我们有理由认为[y]与[x]之间不具有线性相关关系的假设是不成立的，拒绝这一统计假设也就表明可以认为[y]与[x]之间具有线性相关关系. 2. 求解两个变量的相关系数及它们的回归直线方程的计算量较大，需要细心、谨慎地计算. 如果会使用含统计的科学计算器，能简单得到[i=1nxi]，[i=1nyi]，[i=1nx2i]，[i=1ny2i]，[i=1nxiyi]这些量，也就无需有制表这一步，直接算出结果就行了. 另外，利用计算机中有关应用程序也可以对这些数据进行处理.

例4 为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]，由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是 .

[频率/组距][产品数量][45 55 65 75 85 95][0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

0]

解析 20×(0.040×10＋0.025×10)＝13.

点评 此考点在高考中常常是结合一些实际问题考查频率分布表与频率分布直方图，同时考查识图、用图的能力. 主要题型：（1）根据表或图中数据求解限制条件下的个体频数与频率、参数等相关的数据；（2）频率分布表与频率分布表或直方图的完善. 解答此类问题主要有三条途径：①利用所有分组对应的频率之和为1；②利用公式：频率＝条形图的面积＝纵坐标×横坐标，或利用公式频数＝样本容量×频率；③利用频率分布图中相关数据.

专题训练七

一、选择题

1. 对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程[y=bx+a]中，回归系数[b]（ ）

A. 可以小于0 B. 大于0

C. 能等于0 D. 只能小于0

2. 两个正态分布N(μ1，σ12)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图，则有（ ）

A. μ1<μ2，σ1<σ2 B. μ1<μ2，σ1>σ2

C. μ1>μ2，σ1<σ2 D. μ1>μ2，σ1>σ2

[0.5 1.0][-1.0 -0.5][1.6

1.2

0.8

0.4]

3. 同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为[ξ]，则[ξ]的数学期望是（ ）

A. 20B. 25

C. 30D. 40

4. 已知一组数据[x1]、[x2]、[x3]、[x4]、[x5]的平均数是[x]= 2，方差是[13]，那么另一组数据3[x1]-2、3[x2]-2、3[x3]-2、3[x4]-2、3[x5]-2的平均数和方差分别为( )

A. 2,[13] B. 2,1

C. 4,[13] D. 4,3

5. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为[x、y]、10、11、9. 已知这组数据的平均数为10，方差为2，则[｜x－y｜]的值为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况. 若用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为（ ）

A. 3,2 B. 2,3 C. 2,30 D. 30,2

7. 某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为[a、b，]则椭圆[x2a2+y2b2=1]的离心率[e>32]的概率是（ ）

A. [118] B. [536] C. [16] D. [13]

8. 有4条线段，长度分别为1、3、5、7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率是（ ）

A. [14] B. [13] C. [12] D. [15]

9. 某年度大学学科能力测验有12万名学生参加，各学科成绩采用15级分，数学学科能力测验成绩分布图如图. 数学成绩级分高于11分的考生（最接近的）人数是（ ）.

[级分 ] [14

12

10

8

6

4

2][0 1 2 3 4 5 6 7 8 9][10 11 12 13 14 15][人数百分比]

A. 4000人 B. 10000人

C. 15000人 D. 20000人

10. 将4个不相同的小球放入编号为1、2、3的3个盒子中，当某个盒子中球的个数等于该盒子的编号时称为一个和谐盒，则恰有两个和谐盒的概率为（ ）

A. [281] B. [481] C. [1281] D. [1681]

二、填空题

11. 某中学有1000人参加并且高考数学成绩近似地服从正态分布[N100,102]，求此校数学成绩在120分以上的考生人数 （Φ(2)≈0.977）.

12. 在[1,2,⋯,2006]中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 .

13. 给出下列关系：①正方形的边长与面积之间的关系；②某化妆品的销售量与广告宣传费之间的关系；③人的身高与视力之间的关系；④雾天的能见度与交通事故的发生率之间的关系；⑤学生与其学号之间的关系. 其中具有相关关系的是 .

14. 在集合M＝{0，1，2，3}的所有非空子集中任取一个集合，恰满足条件“对任意[x∈A]，则[1x∈A]”的集合的概率是 .

15. 由于电脑故障，使得随机变量[X]的分布列中部分数据丢失(以“[x，y]”代替)，其表如下：

[X&1&2&3&4&5&6&P&0.20&0.10&0.x5&0.10&0.1y&0.20&]

则丢失的两个数据依次为 .

三、解答题

16. 将数字1、2、3、4任意排成一列，如果数字[k]恰好出现在第[k]个位置上，则称之为一个巧合数，求巧合数的数学期望.

17. 假设关于某设备的使用年限[x]和所支出的维修费用[y]（万元），有如下的统计数据[(xi，yi)][(i=1、2、3、4、5)]，由资料知[y]对[x]呈线性相关，并且统计的五组数据的平均值分别为[x=4]，[y=5.4]，若用五组数据得到的线性回归方程[y=bx+a]去估计，使用8年的维修费用比使用7年的维修费用多1.1万元. （１）求回归直线方程；（２）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

18. 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是[a、b、c]，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.

（1）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；

（2）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小. （说明理由）

19. 有同一型号的汽车100辆，为了解这种汽车每耗油1L所行路程的情况，现从中随机抽出10辆在同一条件下进行耗油1L所行路程试验，得到如下样本数据（单位：km）13.7，12.7，14.4，13.8，13.3，12.5，13.5，13.6，13.1，13.4，并分组如下：

[分组&频数&频率&[[12.45，12.95)]&&&[[12.95，13.45)]&&&[[13.45，13.95)]&&&[[13.95，14.45)]&&&合计&10&10&]

（1）完成上面频率分布表；（2）根据上表在给定坐标系中画出频率分布直方图，并根据样本估计总体数据落在[[12.95，13.95)]中的概率；（3）根据样本，对总体的平均值进行估计.

20. 一项“过关游戏”规定：在第[n]关要抛掷一颗骰子[n]次，如果这[n]次抛掷所出现的点数之和大于[2n]，则算过关. 问：（1）某人在这项游戏中最多能过几关？（2）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1、2、3、4、5、6点数的均匀正方体. 抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现的点数. ）

4.《统计与概率》教学反思 篇四

“统计与概率”是义务教育《数学课程标准》中四大学习领域之一。《课标》也首次将“统计观念”作为重要的目标之一，提出要使学生“经历运用数据描述信息，做出推断的过程，发展统计观念。”这样做的最主要原因是“统计与概率”和人们的日常工作和社会生活太密切相关了，在以信息和技术为基础的现代社会里，人们面临着更多的机会和选择。常常需要在不确定情境中，根据大量的数据，做出合理的决策，这是新时代公民都应当具备的基本素质，统计正是通过对数据的收集、整理和分析，为人们更好地制定决策提供依据和建议。

一、如何理解统计观念：

以前我就认为：统计不就是计算平均数，画统计图吗?这些事情计算器、计算机就能做得很好，还有必要从小就开始学习吗?确实，在信息技术如此发达的今天，计算平均数，画统计图等内容不应再占据学生过多的时间，事实上它们也远非统计学习的核心。在义务教育阶段，学生学习统计的核心目标是发展自己的“统计观念”。一提到“观念”，就绝非等同于计算、画图等简单技能，而是一种需要在亲身经历的过程培养出来的感觉，于是也有些人将“统计观念”标为“数据感”或“信息观念”。无论用什么词汇，它反映的都是由一组数据所引发的想法，所推测到的可能结果，自觉地想到运用统计的方法解决有关的问题等等。

二、统计的解释：

《现代汉语词典》中关于“统计”的解释有两条：(1)指对某一现象有关的数据的收集、整理、计算和分析等;(2)总结地计算。不难看出，第一种解释把“统计”描述成为一个过程，在这个过程中，包括一系列的活动，有收集数据、整理数据和对数据进行计算，以及最后通过数据进行分析等等。这种解释为我们进行简单统计的教学提供了依据，也就是说，我们不应该把统计知识的教学拆成一个一个的知识点，而要注重统计的过程性知识，即谈到统计必然会涉及到一个统计的全过程：发现并提出问题——运用适当的方法进行收集和整理数据——运用合适的统计图、统计量来展示数据——分析数据做出决策——对自己的结果进行交流、评价与改进等。

学生在这个过程中学会如何统计，为什么要统计等知识。因此，可以这样说，统计是一个过程。

第二种解释让我们看到“统计”也是一种方法，一种解决问题的策略。在信息社会中，数据无疑是重要的信息之一，如何面对数据，从数据中获取信息，这就需要用到统计的方法。例如，我们在学《我们的姓》时，我要学生统计一下全班有几种姓，各有几人时，学生在班级内进行了一次小统计，先写出人名，然后进行统计。

《数学课程标准》中有关“统计”的描述是这样的“统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人人做出合理的推断和预测。”这句话也突出了统计的过程中它的价值。

三、统计观念的体现：

1、认识统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题。

培养学生“统计观念”的首要方面是，要培养他们有意识地从统计的角度思考有关问题，也就是当遇到有关问题时能想到去收集数据和分析数据。

举个例子来说，当你无事出去溜弯时，就会看见许多车人你身边走过，问你这条街哪种车经过的多时，你不能因刚才看到的就下结论，而要进行长时间的观察，收集一定的数据同时进行整理分析，这样才能判断出哪种车经过的多。

2、能通过收集、描述、分析数据的过程，作出合理的决策。

学生不但要具备从统计的角度思考问题的意识，而且还要亲身经历收集，描述和分析数据的过程，并能根据数据作出合理的判断。

还以“经过哪种车”为例，学生不仅意识到解决这个问题需要收集数据，而且还要讨论需要收集哪些数据，采取什么样的办法进行收集，还要把收集的数据进行整理，使之清晰，这样才能进行合理的判断。

四、实施时应注意的问题：

数学课程标准第一学段总目标指出：对数据统计过程有所体验，掌握一些简单的收集、整理和描述数据的方法，能根据统计结果回答一些简单的问题，初步感受事件发生的不确定性和可能性。

本学段学生关注事物的新奇性和趣味性，所以对统计与概率的学习应侧重于初步的感受和体会，避免处理成单纯计算而不重视学生的体验和活动。

1、对数据的收集、整理、描述和分析过程有所体验。

第一学段的学生很难理解统计的全过程，为此，教学时教师要有意识地设计一些统计活动，比如：“我们班要举行特长培训，应设几个组，每个组有几人?”为了回答这个问题，孩子们就会想做一个调查，就产生了统计的必要，然后再思考具体的统计方法，只有这样孩子们才能接触越来越多需要统计才能解决的问题，不会出现只重教知识而忽略体验的情况了。

2、根据统计图表中的数据提出并回答简单的问题，能和同伴交流自己的想法。

教学时，教师应通过问题促进学生分析和解释数据。具体包括如下三个方面：

第一，判断统计图表能否表达原始问题。如通过统计图能否判断出有几个特长班，参加哪个特长班的人多，参加哪个特长班的人少。

第二、判断统计图表是否还能显示出其他的信息。主要引导学生回答两个方面的问题：①描述性问题，如“参加美术班的有多少人?”②比较性问题，如“参加美术班的人数比参加书法班的人数少几人?”

第三、根据统计图表作出合理推断，引导学生交流读图表的心得。

5.统计与概率教学心得 篇五

10月 17 日， 做为小学数学青年教师研训营的成员本人有幸参加了全区小学数学“统计与概率”教学专题研讨活动，听了两节精彩的数学课。两位老师精心准备，运用多种教学手段，创设了丰富、生动的教学情境，设计了新颖、活泼的学生活动，成功地激发了学生的学习兴趣。这两位老师的课堂教学风格和教育教学理念，深深地打动着我，听了这两节课，让我受益匪浅。

特别喜欢吴凌艳老师的课堂，师生关系非常融洽。课的伊始吴老师采用让学生回顾以前所学习的统计知识和说说在生活中什么时候会用到统计?给学生接下来学习本节课的分段整理数据做好准备。在新知探究方面，吴老师采用学校为鼓号队学生采购服装为例，结合学生身边的实例组织学生进行探究。老师为学生提供了身高信息让学生根据预想进行整理，一步步让学生体会按顺序分类整理。吴老师还特别注意学生习惯的`养成，怎样做到不遗漏不重复让学生体会的淋淋尽致。给我最深印象的是在课上，吴老师对于问题的设计。(如：四(2)班同学1分钟仰卧起坐的成绩统计，问题设计了，前去10名在哪一段?第10名在哪一段?如果小华的成绩是第3名，他可能在哪一段?如果小华的成绩是第7名，他可能在哪一段?)等等这样的问题，可以让学生更深的理解分段整理的好处。

对于王金秀老师，给我的感觉是王老师很善于抓住学生的心理特点，课的准备阶段，让学生男女生进行跳绳，然后猜猜男女生的成绩会是什么样的等级，从而引出本节课所要学习的内容，同时也对于以前的知识进行了回顾。王老师还善于利用学生认知上的冲突探究新的知识。当学生意识到用之前所学习的知识进行解决效果并不是很理想的时候，自然而然的引出合并两张统计图而成为新的统计图，也让学生体会到了单式条形统计图和复式条形统计图的优缺点。根据统计图分析数据也是学生必不可少的技能，王老师很注意培养学生这方面的能力。我认为本节课的一大亮点是：王老师出示由四幅单式条形统计图而让学生自由选择研究对象进行组成成复式条形统计图，从而让学生体会到，复式条形统计图的研究对象只要大于1都可以。

6.《统计与概率》六年级教案 篇六

教学内容

教科书第119~120页例2和第121页课堂活动，练习二十三的第5~7题。

教学目标

1．通过复习使学生能进一步熟练地判断简单事件发生的可能性。

2．通过复习使学生能熟练地用分数表示事件发生的概率，并且会用概率的思维去观察、分析和解释生活中的现象。

3．通过复习使学生进一步感受、了解数学在生活中的实际应用，以提高学生学数学、用数学的意识。

教学过程

一、导入

教师：在老师的盒子里有5个球，从中摸出1个球，如果摸到的球是红色就可获得奖品。你希望里面的球是些什么颜色，为什么？如果你是老师你会装些什么颜色的球？为什么？刚才的活动涉及我们学过的什么知识？这节课我们一起来复习可能性。

板书课题：概率复习。

二、回顾整理有关可能性的知识

（1）教师：有关可能性的知识你还记得哪些？请在小组内交流。

（2）请学生汇报，并请其他同学补充。

学生：事件发生的可能性是有大小的。

学生：有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的。

学生：有些事件的发生是一定的，有些事件的发生是有可能的，还有些事件的发生是不可能的。

三、教学例2

1．复习体会简单事件发生的三种可能性

教师出示一副扑克，当众从中取走J，Q，K和大小王。

教师：现在从中任抽一张，请你判断下面事件发生的可能性。

（1）抽到的牌上的数比11小。

学生：一定发生，因为剩下的所有扑克点数都比11小。

（2）抽到的牌是黑桃Q。

学生：不可能发生，因为所有的Q都被拿走了。

（3）抽到的牌是方块2。

学生：有可能发生，因为方块2还在老师手中。

2．复习体会事件发生的可能性有多少种

教师：从老师手中的扑克中任意抽取一张，会有哪些可能的结果呢？

教师：按照花色分有黑桃、红桃、方块和梅花四种可能性。

教师：按照数字分有1到10共十种可能性。

3．用分数表示事件发生的概率

教师：抽到各种牌的可能性究竟是多少呢？请大家独立完成第120页算一算的.5道题。

学生独立完成之后全班交流。

学生：抽到黑桃的可能性是14，因为一共只有四种花色的扑克；还可以这样理解，一共有40张扑克，其中有10张黑桃，所有抽到黑桃的可能性是14。

学生：抽到5的可能性是110，因为按照数字分只有1到10这10种可能，5占其中的一种，所以抽到5的可能性是110；也可以这样理解，40张扑克中有4张5，抽到5的可能性是110。

学生：抽到梅花A的可能性是140，因为在40张扑克中只有1张梅花A。

学生：抽到A和抽到梅花A的可能性不一样大，因为抽到A的可能性是110，抽到梅花A的可能性是140。

学生：在40张牌中任意抽1张抽到5的可能性是110，在10张黑桃中任意抽1张抽到5的可能性也是110。

四、完成课堂活动

（1）学生独立完成，如果有困难可以先让学生说一说1到20的奇数、偶数、质数、合数分别是哪些？

（2）集体交流。

学生：摸到奇数的可能性是12，摸到偶数的可能性是12，摸到质数的可能性是25，摸到合数的可能性是1120。

五、全课小结

教师：通过这节课的复习有什么收获？有什么疑问？有什么要提醒大家需注意的地方？

六、课堂练习

7.“统计与概率”复习专题 篇七

1.下列选项中, 显示部分在总体中所占百分比的统计图是 () .

A.扇形图B.条形图C.折线图D.直方图

2.数据21, 21, 21, 25, 26, 27的众数、中位数分别是 () .

A.21, 21 B.21, 23 C.23, 21 D.21, 25

3.一个不透明的布袋中, 放有3个白球, 5个红球, 它们除颜色外完全相同, 从中随机摸取1个, 摸到红球的概率是 () .

4.如图是一个可以自由转动的正六边形转盘, 其中三个正三角形涂有阴影.转动指针, 指针落在有阴影的区域内的概率为a;如果投掷一枚硬币, 正面向上的概率为b.关于a, b大小的正确判断是 () .

A.a>b B.a=b

C.a<b D.不能判断

5.以下是某手机店1~4月份的两个统计图, 分析统计图, 对3、4月份A型手机的销售情况四个同学得出的以下四个结论, 其中正确的为 () .

A.4月份A型手机销售额为65万元

B.4月份A型手机销售额比3月份有所上升

C.4月份A型手机销售额比3月份有所下降

D.3月份与4月份的A型手机销售额无法比较, 只能比较该店销售总额

6.从2, 3, 4, 5中任意选两个数, 记作a和b, 那么点 (a, b) 在函数图像上的概率是 () .

7.一天晚上, 小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时, 突然停电了, 小丽只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起, 则其颜色搭配一致的概率是 () .

8.甲乙两布袋都装有红、白两种小球, 两袋装球总数相同, 两种小球仅颜色不同.甲袋中, 红球个数是白球个数的2倍;乙袋中, 红球个数是白球个数的3倍, 将乙袋中的球全部倒入甲袋, 随机从甲袋中摸一个球, 摸出红球的概率是 () .

二、填空题

9.“从超市货架上任意取一盒月饼进行检验, 结果合格”这一事件是_______. (填“必然事件”“不可能事件”“随机事件”)

10.已知一组数据5, 8, 10, x, 9的平均数是8, 那么这组数据的方差是_______.

11.从分别标有数-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3的七张卡片中, 随机抽取一张, 所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是_______.

12.从1, 2, 3这三个数中, 任意抽取两个不同数字组成一个两位数, 则这个两位数能被3整除的概率是_______.

13.某学校在“你最喜爱的球类运动”调查中, 随机调查了若干名学生 (每名学生分别选了一项球类运动) , 并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图.已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人, 则该校被调查的学生总人数为_______名.

三、简答题

14.中华文明, 源远流长;中华汉字, 寓意深广.为了传承优秀传统文化, 某校团委组织了一次全校3 000名学生参加的“汉字听写”大赛, 赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分.为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况, 随机抽取了其中200名学生的成绩 (成绩x取整数, 总分100分) 作为样本进行整理, 得到下列不完整的统计图表:

请根据所给信息, 解答下列问题:

(1) a=________, b=________;

(2) 请补全频数分布直方图;

(3) 这次比赛成绩的中位数会落在________分数段;

(4) 若成绩在90分以上 (包括90分) 的为“优”等, 则该校参加这次比赛的3 000名学生中成绩“优”等的大约有多少人?

15.一个不透明袋子中有1个红球, 1个绿球和n个白球, 这些球除颜色外无其他差别.

(1) 当n=1时, 从袋中随机摸出1个球, 摸到红球与摸到白球的可能性是否相同?_______ (填“相同”或“不相同”) ;

(2) 从袋中随机摸出1个球, 记录其颜色, 然后放回.大量重复该实验, 发现摸到绿球的频率稳定于0.25, 则n的值是_______;

(3) 在一个摸球游戏中, 所有可能出现的结果如下:

根据树状图呈现的结果, 求两次摸出的球颜色不同的概率.

16.某运动品牌店对第一季度A, B两款运动鞋的销售情况进行统计, 两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示:

(1) 一月份B款运动鞋的销售量是A款的4/5, 则一月份B款运动鞋销售了多少双?

(2) 第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变, 求三月份的总销售额 (销售额=销售单价×销售量) ;

8.“统计与概率”综合复习 篇八

一、 对统计中基本概念理解不深刻导致错误

例1 为了解某校2 000名师生对我市创卫生城市工作知晓情况，从中随机抽取了100名师生进行问卷调查，这项调查中的样本容量是（ ）.

A. 2 000名师生对创卫生城市工作的知晓情况

B. 100名师生

C. 100

D. 抽取的100名师生对创卫生城市工作知晓情况

【错解】样本容量是指从总体中抽取的样本数量，所以是100名师生.

【正解】从总体中抽取的样本个体的数目叫样本容量，指所要考察对象的数目，不带任何单位，故选C.

二、 对事件的概念把握不准造成分类错误

例2 下列事件中，属于不确定事件的有（ ）.

①太阳从西边升起；②从一副扑克牌中任抽一张是红桃；③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下；④三角形内角和为180°

A. ②③ B. ①③④

C. ① D. ①②④

【错解】不确定事件是指事件一定不能发生，故选C.

【正解】不确定事件是指事件在发生前，事件的结果不能事先确定，也就是随机事件，不可能事件是一定不能发生的事件，事件在发生前就能确定结果，它是确定事件.解题中不能把不确定事件与不可能事件混淆，故选A.

三、 对统计图分析不仔细造成数据看错

例3 在一次捐款活动中，某班级有50名学生，将所捐款情况统计并制成统计图，根据图1提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（ ）.

A. 20，20 B. 30，20

C. 30，30 D. 20，30

【错解】这组数据中，出现次数最多的是20人，故这组数据的众数为20.中位数是一组数据从小到大排列后，最中间的那个数.这组数据有50个，中位数是第25和26名职工捐款金额的平均数，（30+30）÷2=30，选D.

【正解】众数和中位数是指调查对象所记录的数据，不能把数据的个数当作调查的数据.本题是统计捐款钱数，30元出现次数最多，故本题答案是C.

四、 对统计图意义把握不准造成错误

例4 图2是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图.根据统计图，下面对全年食品支出费用判断正确的是（ ）.

A. 甲户比乙户多

B. 乙户比甲户多

C. 甲、乙两户一样多

D. 无法确定哪一户多

【错解】一年中乙支出的百分比大于甲支出的百分比，故选B.

【正解】扇形统计图是为了反映各个部分占总体的百分比，计算各部分的量需用总体与该部分百分比相乘.本题没有明确甲乙两家全年的具体收入，所以无法算出食品支出的具体费用，无法比较，故本题正确答案是D

五、 对机会的等可能性理解不够导致树状图画错

例5 在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个，若从中摸出一个球，放回搅匀，再摸另一个球，求两球颜色相同的概率.

【错解】画树状图如下：

可得两球颜色相同的概率.

【正解】箱中三种颜色的球数目不相同，所以在摸球过程中被摸到的机会是不均等的，本题红球被摸到的机会大于黄球、蓝球，所以在画树状图时应该把它们转化为均等机会.正确的树状图如下：

由树状图可得两球颜色相同的概率为.

六、 对等可能性事件发生的机会和事件最终结果混淆造成错解

例6 掷一枚硬币，连掷三次，求有两次正面向上的概率（ ）.

A. B. C. D.

【错解】三次抛出的结果分别是：正正正，正正反，正反反，反反反四种情况，其中出现两次正面向上的情况只有一次，故概率为，选B.

【正解】随机事件的概率，是把事件在发生过程中所有可能发生的均等机会，与满足一定条件的机会相比较，不能把事件的最终结果当作机会.正确的解答要通过画如下树状图：

由树状图可求得两次正面向上的概率为.

七、 对模拟实验的条件选择不合理造成错误

例7 端午节，妈妈为洋洋准备了4只粽子：一只香肠馅，一只红枣馅，两只什锦馅，4只粽子除内部馅料不同外，其他都相同.洋洋喜欢吃什锦馅的粽子.

在吃粽子之前，洋洋准备用如图3所示的转盘进行吃粽子的模拟试验（此转盘被等分成四个扇形区域），规定：连续转动两次转盘表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是什锦馅的概率.转盘是一个放回的实验，故第一次转到什锦（或香肠、或红枣）后第二次还能转到.

【错解】画模拟试验的树状图为：

所以有16种情况，其中两次都是什锦馅的有4种情况，所以概率为.

【正解】设计模拟实验计算随机事件的概率，要分清事件的条件，事件发生的方式，事件结果.在设计模拟实验工具时必须与原事件相关事项保持一致.本题从4只粽子中吃两只粽子是一个不放回问题，而转盘是一个放回问题，所以不能以转盘代替.正确的树状图应该为：

∴P（吃到两只粽子都是什锦馅）==.

诸如以上常见错误，都是同学们在学习过程中不注意把握好基本概念的本质，解题中不注意应用基本方法，解题时分析问题不仔细等一些原因造成的，只要同学们在学习过程中把握好知识的本质要点，解题中分清问题的条件，再加上细心，就可以避免出错了.