案例分析《勾股定理》

案例分析《勾股定理》（精选8篇）

1.案例分析《勾股定理》 篇一

教学设计者：

学科：数学

年级：八年级

实验区：青岛 课题名称：§ 教材所在页：第

一、简介

1、北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》是一个趣味性较强的课题，它通过探索勾股定理、验证勾股定理、探索直角三角形的条件等活动，让学生通过观察、实践、推理、交流等获得结论，发展空间观念和推理能力。

2、通过《勾股定理》一章的思考与回顾，让学生掌握相关直角三角形的知识，并结合实际，学会运用勾股定理。

关键信息：

勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值。勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

二、学习者分析：

1、学生的年龄特点和认知特点：

八年级的学生正处在探索社会、探索人生的阶段，这个年龄段的学生非常喜欢探索未知的领域，对自然规律充满了新奇，喜欢接触新事物，学生潜能的唤醒、开掘与提升正处于重要阶段，但学生很少能看到事物的本质，很少能从事物的表面现象提炼出规律性的东西，这就需要教师正确的引导和启发。我们在提出问题时要找到很好的切入点，要引起学生好奇的兴趣，主动想探讨，想参与到课堂教学中去，通过自己的观察、研究，总结出自然规律，从而通过特殊案理了解自然存在的普遍现象，将数学的思维方式运用到生活中去，用数学的方式思考，使学生更成熟、更理性。

2、学习者在学习本课之前应具备的基本知识和技能：

了解全章关于勾股定理的相关知识，掌握判断一个三角形是直角三角形的条件。

三、教学/学习目标及其对应的课程标准：

1、经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。

2、掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题。

3、掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题。

4、通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值。

四、教育理念和教学方式：

1、为了使学生能更好的认识勾股定理、发展推理能力，教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，同时又安排了用拼图的方法验证勾股定理的内容，试图让学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现的过程，同时也渗透了代数运算与几何图形之间的关系（如将）

2、勾股定理的逆定理也有着重要的地位，但本章中不要求学生从逻辑上对定理与逆定理进行一般的认识，因此，教科书中并没有给出勾股定理逆定理的名称，而是称之为直角三角形的判别条件。教科书以历史上古埃及人做直角的方法引入“三角形的三边长如果满足a2+b2=c2，是否能得到一个直角三角形”的问题，然后通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件。

3、为了让学生更好的体会勾股定理及逆定理在解决实际问题中的作用，教科书提供了较为丰富的历史的或现实的例子来展示它们的应用，体现了它们的文化价值。限于学生已有的知识，有关应用中涉及的数均为完全平方数，本章更多关注的是对勾股定理的理解和实际应用，而不追求计算上的复杂。在学生学习了无理数后，可以再利用勾股定理解决一些涉及无理数运算的实际问题。

五、教学媒体和教学技术选用：

1、本次教学需要实物教具和多媒体课件的辅助。教具模型由教师课前制作。

2、教具模型和多媒体课件分别在本课的引入、议一议、做一做、感悟与收获等环节中得到应用，它们的使用可以更好的帮助学生认识图形，丰富直观，用来验证学生的空间想象，是学生的学习资源更为丰富。

六、.教学和活动过程：

整个教学过程叙述： 注：

本节课主要为回顾式数学教学活动，对教材第一章《勾股定理》进行全面回顾，本节需40分钟完成。【师】：直角三角形的角之间存在着怎样的关系？ 有一个角是直角，另外两个角的和是90度。【师】：直角三角形的边之间存在着怎样的关系？ 【师】：怎样判别一个三角形是直角三角形？ 【师】：什么是勾股数？ 【师】：常见的勾股数？ 【师】：请同学们来看几个典型事例，你能用所学过的勾股定理的知识来解决它们吗？[幻灯片]

1、向南走50米，再向西走30米，此时离出发点有多远？

2、测湖的宽度P15 第2题

3、课本P15 试一试

4、蚂蚁怎样走最近

5、电梯中的竹竿最多有多长？（课本P18）

6、利用勾股定理逆定理测零件是否合格。P10

七、课后反思：

本章的回顾与思考提出了四个问题，希望通过对这几个问题的回答达到输理本章内容、建立一定知识体系的目的。教学时，应首先鼓励学生独立思考，自己回顾所学内容，并尝试回答这几个问题。在对问题进行回答时，教师应关注学生运用自己的语言结实字节答案的过程，关注学生运用例子说明自己对有关知识的理解，而不是简单复述书上的结论，学生在反思与交流的过程中可以整理出本章的主要内容。

在教学中，教师不仅要引导学生回顾本章的知识，同时应重温这些知识尤其是勾股定理的获得与验证的过程，体会在结论获得和严整过程中数形结合的思想方法。要让学生在回顾的过程中体会勾股定理机器逆定理的广泛应用，了解历史。

回顾与思考也为学生的自评提供了机会。课后，教师可以要求学生独立完成一份小结，用自己的语言输理本章内容，并回顾自己在本章学习中的收获、困难和需要改进的地方。教师也可以据此了解每一个学生的学习状况，并适时调整教学。

2.案例分析《勾股定理》 篇二

关键词：初中数学,勾股定理,教学案例

随着我国社会经济水平的不断提高, 教育事业也得到了很大的发展空间, 由于当今社会对人才的需求越来越高, 传统教育理念的应试教育已经不符合社会的发展规律, 当今教育事业提倡的是素质教育, 培养学生综合能力全面发展. 就初中数学的勾股定理这一章节的教学来说, 数学老师如果仍然延续传统的教学方法, 在课堂中一味地讲解知识而忽略学生自主思考练习, 就无法很好地提高初中数学勾股定理的教学质量. 要想更好的提高初中数学勾股定理的教学质量和水平就需要从课堂教学活动抓起, 使用科学合理的教学方法.

勾股定理是数学这一学科中的一个非常有名的定理, 它的内容是“直角三角形的两个直角边组成的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积”, 其表达式就是假设直角三角形两个直角边为a, b, 斜边为c, 那么a2+ b2= c2. 这一著名的数学定理对古代人们的生活就产生了很大的作用, 比如说古埃及人在创造金字塔以及测量尼罗河泛滥以后土地的面积时, 就已经开始使用勾股定理. 最早发现这一数学定理是在希腊这个国家. 由于勾股定理在数学这一学科中有着极其重要的作用, 在初中数学课本中也把它列入教学内容, 这一教学内容的教学目标就是让人们深刻掌握了解勾股定理并且让学生自己去证明这一定理, 这一数学定理的证明方法有千百种, 有的证明方法特别简单, 也有的特别复杂, 这可以充分锻炼学生的能力. 就初中数学勾股定理这一教学内容为研究中心, 我们通过对一些具体教学案例的分析, 谈谈初中数学课堂如何提高教学效率.

教学案例一

老师在黑板上画出三个直角三角形, 并且分别以每个三角形的三个边画三个正方形, 直角三角形的三条边分别为a, b, c, 正方形依次为A, B, C, 计算出每个正方形的面积, 并且完成下面表格中正方形面积的填写:

学生通过对直角三角形边长的测量, 再计算得出各个正方形面积的填写. 老师接下来就要引导学生进一步思考, 总结得出这三个图形的共同点. 学生自己动脑筋跟着老师的引领走, 慢慢发现表格中, 每一行C正方形的面积都等于AB正方形面积之和, 从而得出结论.

案例一分析

在这个教学实例中, 老师使用的是问题情境法, 将教学内容合理的设计成为一种特定的问题情境, 引领学生一步一步的接近教学目标, 激发学生的学习兴趣, 培养了学生的自主思考问题以及解决问题的能力, 对学生将来步入社会的发展打下良好的基础. 此外, 在这一教学案例中, 渗透着一种重要的数学思想, 那就是“数”、“形”结合的思想, 通过对正方形的观察计算, 将图形用数字表示出来, 培养了学生良好的逻辑思维能力、归纳总结能力等, 数形结合教学思想的掌握和自然运用, 对学生以后的初中数学学习有着重要的作用, 就勾股定理这一章节来说, 就需要数形结合思想做基础.

教学案例二

勾股定理教学目标有一点是让每名学生都能自己证明这一定理, 对于勾股定理的证明这一教学内容, 一般初中数学课堂的具体教学就是:老师将学生按照某一特定标准或是随机的分为几个小组, 小组学生通过共同的努力证明这一定理, 课堂最后各小组派出代表展示自己的证明方法. 学生一般是利用自己掌握的面积计算公式证明这一定理, 还有些学生是通过观察图形这种几何方法完成勾股定理的证明.

案例二分析

在这一案例具体实施过程中, 老师的分组原则要科学合理, 每一小组至少要有一位负责任、知识水平较高的小组长, 小组长在小组证明活动中将会发挥极其重要的作用. 在这样的实际教学中, 每一名学生的能力都将得到培养, 学生的合作探索能力、 聆听能力也将会提高. 各名学生共同努力完成勾股定理的证明, 并且深刻的掌握并理解勾股定理中涉及的数学思想, 对学生提高自身数学学习能力有着重要的影响.

教学案例三

学生们认识了并证明了勾股定理以后, 老师的课堂教学内容就应该延伸到勾股定理的应用教学上. 例题为: 能否将两个正方形裁剪拼接以后得到一个面积不变的新正方形, 裁剪的次数越少越好. 老师留给学生独立思考的时间以后, 让学生自己举手回答问题, 学生“假设一开始两个正方形边长分别为ab, 那么新正方形的面积就是a2+ b2, 由于勾股定理可得, 新正方形需要是两个a, b为边长的直角三角形拼接成的”.

案例三分析

每一个数学定理的学习都是为了更好的利用它, 勾股定理也一样, 对其认识和证明都是为了在解决问题以及实际生活中更好的使用它. 因此, 初中数学老师应该重视勾股定理的应用这一教学内容, 提高学生的解决问题能力, 学生可以将数学知识应用到实际生活中也更能发挥这一学科的作用, 将学生培养成为有极高数学知识水平能力的人才.

总结

3.案例分析《勾股定理》 篇三

[关键词] 勾股定理；直角三角形；关系；问题

勾股定理是初中数学教学的一个重点、难点问题，笔者在教学设计中首先从其内容出发，阐述勾股定理的教育价值和学科作用，接着就该节内容的课堂组织策略进行分析.

勾股定理的内容

搞清楚勾股定理的内容是有效实施教学的前提，具体的可以从代数和几何两个角度进行叙述.

1. 代数角度的叙述

文字表征：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

符号表征：a2+b2=c2（a，b和c分别表示两直角边和斜边）.

2. 几何角度的叙述

文字表征：一个直角三角形，以两直角边为边的两个正方形的面积之和等于以斜边为边的正方形的面积.

图像表征：如图1所示.

勾股定理的教育价值

一个知识的教育价值是多方面的，对于勾股定理这个内容，其教育价值和学科价值有如下几个方面：

1. 文化价值

从数学史上看，人们发现勾股定理、验证勾股定理及应用勾股定理的过程蕴涵着丰富的文化价值，我们在教学过程中注重这些数学史、研究过程，有助于激发学生的数学学习兴趣，在学习过程中体悟其存在的意义和实际价值.

2. 学科价值

从勾股定理的内容来看，其同时具有代数和几何的双重特征，是初中数学阶段几何与代数之间问题研究的一个重要桥梁，从勾股定理的证明方法来看，“演绎法”“变换法”和“代数法”三种方法教给学生，尤其是学生通过学习变换法（拼图法），能够帮助他们感受和理解运动与变换.

知识的教育价值不仅仅表现在概念和规律本身，在教学中还应该渗透知识探究和被发现的过程. 勾股定理的发现、验证整个过程均蕴含着丰富的、可渗透的思维素材，和学生一起探索和证明勾股定理，能够丰富学生的学习经验，感悟数学学习和不断探索未知的价值：

（1）学生在探索过程中，探究图形基本元素之间的关系、几何结构，而这一过程必然涉及空间推理和演算，从中学生能够感悟到数形结合的思想方法，同时体会推理和证明的力量.

（2）学生通过勾股定理的探索和证明，会自然而然地形成一种意识，那就是要了解我们生存的空间，必须要学习更多的数学工具，并合理地应用.

勾股定理知识系统内结构分析

数学知识具有较强的系统性和完整性，置于知识系统中，勾股定理与其他知识有着怎样的联系，学生在学习进程中又有怎样的连贯性呢？

1. 知识间的横向联系

《勾股定理》在初中阶段与其他数学知识内容密切联系，如无理数、三角函数、方程、四边形、圆等知识.

2. 知识间的纵向联系

从学生的学习进程来看，初中之前，学生在小学阶段对三角形的三边关系有了一个初步的了解：两边之和大于第三边；步入初中，学习勾股定理内容前，学生通过探索也对直角三角形的性质有了一定的了解：“斜边上的中线等于斜边的一半，30°角所对直角边是斜边的一半. ”

那么，勾股定理在这里又有怎样的作用呢？学习了这一内容后，学生可以进一步从边的角度来定量地刻画直角三角形的特征，由此进一步深化学生对直角三角形的认知.

学生从初中步入高中阶段后呢？勾股定理有没有其价值呢？学生在高中将要继续学习任意三角形中边长与角度之间的数量关系，在学习和理解正弦定理和余弦定理时，需要用到勾股定理，可以将勾股定理视作为余弦定理的一种特殊情况.

整个学习过程对直角三角形边角的关系，是从定性到定量，从一般到特殊再到一般的思维进程.

帮助学生学会勾股定理的教学策略

如何帮助学生学会勾股定理呢？

1. “探索→猜想→证明”法

笔者发现当前有部分教师在和学生探究勾股定理时采用的方法是：首先让学生测量直角三角形三条边的长，接着要求学生猜想三条边长之间存在怎样的数量关系，在学生猜想出三边之间的平方关系后，再证明勾股定理.

这样的方式有怎样的缺点呢？

笔者曾经也尝试过这种方式，看似逻辑性很好，但是关键在于学生不容易猜想出三边之间的平方关系，猜想卡壳了，后面的证明就出不来了. 为什么会出现这样的困难呢？原因有二：一是学生在测量时本身就有误差；二是从思维角度来看，学生的确很难想到平方关系.

2. 利用方格纸进行探究

提供如图2、图3所示的方格纸.

首先，让学生计算直角三角形三边的平方分别是多少，只要能计算出三边的平方，直角三角形三边之间的平方关系就很容易猜想出来.

这个时候学生会遇到怎样的困难呢？

因为直角三角形边长的平方实际上就是每边上的正方形的面积. 其中正方形1和正方形2的面积可以通过数方格的方法直接数出来，而斜边上正方形（正方形3）的面积的计算则有一定的困难.

新的问题又出现了，怎么办呢？方法又有两个.

（1）“割”，如图4、图5所示.

（2）“补”，如图6、图7所示.

4.余弦定理证明案例分析 篇四

秭归二中董建华

我今年教高一（3）、一（7）班两班数学，在证明余弦定理时，上午第二节在一（3）班上数学，在证明余弦定理时，我是这样上课的：

同学们，前一节课我们学习了正弦定理及其证，现在请同学们考虑这样一个问题，已知三角形的两边及夹角如何求夹角的对边。

即：在△ABC中，已知ACb,BCa,及C，求C。

请同学们思考后回答这个问题，同学们沉默了

三五分钟，开始相互讨论，并得出了如下解法：

过A作ADBC于D，是AD＝ACsinCBCsinC，CDACcosbcosc,在RtABD中，AB2AD2BD2(bsinc)2(abcosc)2a2b22abcosc，用的是初中的知识，我们请同学们继续想，我们学了向量，能否用向量的知识加以证明呢？

表现出一片茫然，并开始画图分析，讨论终于得出

222ABAB(ACBC)(ACBC)AC2ACBCBCAC2|AC||BC|

2cos(180B)BCb22abcosBa2，即。c2a2b22abcosc 这样一个余弦定理证明下来，同学们分析、观察、讨论用了近30分钟。我觉得这样上课太浪费时间，这么简单的问题，花这么多时间去讨论。

于是我在一（7）班一上课就开门见山的说：“前面我们学习了正弦定理及其证明，这节课我们主要分析余弦定理，即：，a2b2c22bccosA,b2a2c22accosB,c2a2b22abcosC ”

现在我们来证明c2a2b22abcosC ：

2证：ABACBCABAB=（ACBC）（AC

22AC2ACBCBCb22bacosca

2即：c2a2b22abcosc，同理可证其余两个，同学们听懂了没有，大家齐答听懂了。前后不过5 分钟左右的时间，我当时还感觉我讲得不错，反正只要学生听懂了就行。

结果一个星期后，有一个小测验，试卷上刚好有一题是用向量的方法证明余弦定理，成绩下来，一（3）班有41人做对了此题，一（7）班仅有7人做对了此题。两个平行班，一个老师教，方法不一样，效果却相差如此之大，我对此进行了案例反思。

反思案例：

1、定理的证明重在教师引导，放手让学生去发现、观察、分析得出结论，如采取注入式教师，虽老师一教学生能听懂，但毕竟不比自己亲手得出的东西印象深刻。

2、引导学生分析问题，表面上看浪费了许多时间，但教会了学生学习的方法，以后遇到许多类似的问题根本不需老师重复去教，学生自己会分析，所以从整体上节约了时间。

3、我在前一节课完全是以学生为主体，后一节课完全是以老师为主体，在课堂教学中，应将教师的主导作用将学生的主体作用表现出来，让教学效果达到更优化。

5.科斯定理的一个案例 篇五

"媒体近日报道了广东江门市新会区崖南镇一陶瓷厂捐资建造新崖南中学的事。当年，该陶瓷厂在崖南镇刚投产，就因该厂排放的气体严重影响附近崖南中学师生而引发纠纷。学校与工厂仅是一路之隔，南风将工厂排出的废气弥漫校园，师生深受其害，学生家长还联合到陶瓷厂堵住厂门禁止开工，一度造成企业和学校群众之间的严重对立。后来，经各方努力，该厂出资２００万元购买原校区，还捐资１００多万元资助新校区建设。同时也投入设备完善治污设施。电视镜头上，显示的是新校区整齐的规划和洁净的校容，该厂董事长也被学校聘请为名誉校长。”

由于市场上对于陶瓷存在持久旺盛需求，于是，空气清洁产权界定依照习俗界定给学校，也不妨碍陶瓷厂通过谈判解决外部性问题。此案例告诉我们，市场机制和谈判会确保资源的最有效利用。任何最优的达致，都有当下技术条件下，诸偏好的一个谈判产物。市场价格表达了这样一个信息，即使哦我给你三百万，我卖陶瓷还是能够赚钱的，因此，我愿意，我出钱，我把你买走，买走你还不行吗？除了了买的200万，我还捐赠100万不行吗。所以学校就在谈判中把那个地点的空气清洁权卖给了陶瓷厂。这就是交易。

此例中，如果，市场对于陶瓷的评价很低，如果让陶瓷厂拿出300万，陶瓷厂就会倒闭停产。那怎么办？那就是它自己搬迁到别处。这说明，在那个时点，市场对于教育服务的评价高于陶瓷的评价。

6.动能定理教学设计及案例评析汇总 篇六

翟厚岚

山东师范大学 教育硕士研究生导师

山东省青年物理教师教学研究会 学术委员会主任 山东师范大学附中 物理教研组组长 山东省齐鲁名师工程人选 山东省教师远程培训物理课程专家 张帆

山东师范大学附属中学 高级教师 山东省青年物理教师教学研究会

常务理事兼学术委员会委员 蔡建国

山东师范大学附中 高级教师 全国第二届创新大赛 一等奖 山东省优质课 一等奖

山东省青年物理教师教学研究会秘书长 蔡老师：各位老师，大家好！在今天这一讲中，我们将以物理必修II中《动能定理》一课为例，继续探讨有关物理规律教学中的科学探究问题。同时重点谈一下科学探究中的模型研究法以及物理学史在教学方案设计中的作用。

翟老师，张老师，在动能定理这节课的教学过程中，我曾阅读过新课程4个版本的教科书，关于动能定理这节课，没有一个版本的讲法是一样的，动能定理这节课在教学设计上为什么有这么大的差异呢？

翟老师：因为，教科书体现了教材编写者的指导思想，它是编写者在领会课程标准要求之后给出的不同的教学思路。无论是哪个版本的教科书，其内容和深度都应该是依据课程标准来确定的，但不同版本的教材渗透了教科书编写者对课程标准的领会。既有对科学内容的把握，又结合了他们丰富的教学实践经验。实际上，教科书是编写者对教学内容的一个再创造过程。所以同样的内容主题，在程度、要求、呈现方式、侧重点等方面就出现了差异。

张帆：是的，所以我们在备课的时候，也认真研究了各种版本的教科书，通过理解教材编写者对动能定理教学的设计意图，试图挖掘出他们对这节课理解的一些共性的东西，在这个基础上，力争设计出适合我们自己的教学方案。其实在五年课程改革教学实践中，我们对动能定理这节课的教学思路也是经历了一个逐渐清晰明朗的认识过程。

蔡老师：在今年4月份山东省教师培训跟进式在线指导时，我浏览过教师们关于《动能定理》这节课专题研讨的帖子，其中的一些帖子确实反映了教师在这节课的备课和教学实践过程中的一些真实想法和遇到的问题。

张帆：关于这节课的教学，我们去看看一线教师是怎么说的吧。场外采访：一线教师教学中的疑惑

李成金：动能定理这节课，重点内容是探究恒力做功与物体动能变化的关系。在学习这节课以前，还没有学习动能的定义。因此，就出现了两种教学方法，一个是在研究动能定理表达式的过程中也在探究动能的意义；还有一种做法是在动能定理规律的教学之前先给出动能的概念，这样就能集中精力探究恒力做功与动能变化之间的关系，这两种方案怎么处理比较好呢？

郭富强：动能定理的教学一般有两条线，一是数学推导得出这个动能定理表达式，二是通过实验探究测量得出恒力的做的功与动能变化的关系。而动能定理不是一个实验定律，也就是说它不是从实验中得出来的规律，有的老师以前曾经对我用实验探究的方法探究动能定理提出异议。可是，教科书上是这样要求用实验探究的。这个问题究竟应该怎样处理呢？

课标学习，探讨四个问题

蔡老师：郭老师、李老师提的问题很有代表性，带着这些问题，我们先来看一下有关《动能定理》这节课高中物理课程标准里是怎么写的。

高中物理课程标准中有关的内容标准

通过实验，探究恒力做功与物体动能变化的关系。理解动能和动能定理。

用动能定理解释生活和生产中的现象。

例：用打点计时器或光电计时器探究恒力做功与物体动能变化的关系。例：从牛顿第二定律导出动能定理。

活动建议：通过查找资料、访问有关部门，收集汽车刹车距离与车速关系的数据，尝试用动能定理进行解释。

翟老师：上面从大家的交流中，我们了解了各种版本教材编写上存在着的差异，了解了一线教师在教学实践中的困惑，同时学习了动能定理这节课高中物理课程标准中的内容标准，下面我们具体的谈一谈本节课教学内容的分析选择以及教学目标的设定。从课程标准中我们可以看出，在动能定理这节课中，涉及到的主要内容有：动能的概念、恒力做功与动能关系的实验探究、动能定理及其应用。这节课教师在教学设计中首先需要解决的问题有：①实验探究在本节课教学中的作用是什么。②怎样设计动能概念的教学。③实验探究与数学推导的关系是怎样的。④恒力做功与动能变化到动能定理的过渡。下面我们通过分析教材、分析学生、回顾物理学史，谈一下如何解决这几个问题。

教学设计中需要解决的问题

1.实验探究在本节课教学中的作用是什么。2.怎样设计动能概念的教学。

3.实验探究与数学推导的关系是怎样的。

4.恒力做功与动能变化到动能定理结论的得出怎样设计。

我们先看一下第一个问题，实验探究恒力做功与动能变化关系的意义。前面我们介绍过，物理定理是由理论演绎推理的结果，它的建立需要由事实证据来检验。因此，动能定理这节课实验探究的意义是很明确的。因此，动能定理的学习应该安排学生探究实验。

物理定理是由理论演绎推理的结果，它的建立需要由事实证据来检验。

蔡建国：那第2个问题，刚才李老师提到的关于动能的教学，在不同版本的教材中也有所体现，比如，有的教材，在定性了解动能大小因素的基础上，直接给出了动能的定义1/2mv2，有的教材，是在实验的基础上，结合理论推导，探究了1/2mv2的物理意义，从而给出了动能的定义，有的教材，在牛顿定律推导动能定理的过程中，讨论出了动能的定义，有的教材，从功能关系入手，根据计算做功的多少找出动能的表达式。

张帆：对动能这个概念的要求，从课程标准来看重要的是理解。而如何能够使学生理解这个概念，看来不同教材的编写者设计的过程是不一样的。但都在用不同的方式，努力让学生理解这个概念。翟老师：其实，动能概念的教学其意义不仅仅在了解动能与质量、速度的平方有关，在了解了动能概念在物理学史上的建立过程以后，也就明白为什么有的教材通过举例定性的分析的方法直接定义动能了。从物理学史中也了解到功的概念也是直接定义给出的。因此，在教学上可以采用在分别给出功与动能的定义以后，学生可以把关注点集中到物体做功与动能变化的研究上来。也就是说，并不是所有的概念都要通过探究才能够教学的。

也只有当理解了物理学史中介绍的动能概念建立的意义以后，才觉得先定义动能表达式还是在动能定理表达式推导出来以后再指出1/2mv2描述的是动能，已经不是那么重要了，重要的是讲清楚动能概念的意义。下面我们来看一下物理学史上有关的资料。

张帆：恩格斯在《自然辩证法》中指出：“理论力学得出了活力这一概念，应用力学得出了功这一概念，„„以致许多年来都没有认识到这两个概念之间的相互联系，他们最后采用1/2mv2作为二者的量度，并不是因为对事情本质的了解，而是为了计算简单的缘故。

翟老师：现在看来，就算是用牛顿定律通过恒力做功整理出动能定理的表达式，历史上人们也不了解1/2mv2的意义是什么。只是看到了这样一个关系式而已。恩格斯把这个原理表述为：能量转化与守恒定律。它把各种自然现象用定量的规律联系起来，找到了各种现象的公共量度—能量，说明了不同形式在相互转化中有量的共同性。也就是说，机械运动、热运动、电磁运动、化学运动等等，都不过是同一的运动在不同条件下的各种特殊形式，它们在一定条件下可以相互转化，而不发生量上的任何损耗。

事实上，19世纪中叶，各种自然现象之间相互联系和转化的事实已被相继发现，以一种相互联系的观点去观察自然，功和动能之间的关系的解释、概念的厘清，能量守恒与转化定律的确立，都是当时自然科学的新成就，从哲学的层面揭示了它们的本质。

翟老师：阅读物理学史让我们了解到，动能概念的建立经历了200年的时间，动能定理表达式的推导不是一件困难的事，而困难的是表达式中的1/2mv2的物理意义是什么，以及1/2mv2能用来描述物体做功与能量之间的变化，建立这样一个概念才是理论体系中一件非常困难的事情。它要通过实验证明1/2mv2能够表达做功与能量变化的关系。才能做出动能的定义。而不是表达式出来了，就能定义动能的概念了。

如果我们试图在导出表达式以后再说这是动能，其差别其实不是太大，这个老师们可以根据自己的理解设计这一段的教学。换句话说，重点不是让大家去推导出哪个表达式是动能，而是要让学生理解动能1/2mv2能够描述做功与能量之间的变化关系。这也是我们想在这里介绍物理学史能够帮助教师理解并选择教材内容、制定教学方案的意义所在。

3.实验探究与数学推导的关系是怎样的。谈建模

蔡建国：下面我们讨论第3个问题是实验探究与数学推导的关系是怎样的。

刚才郭老师还提到一个问题，就是实验与数学推导两条线教学的选择问题。把实验探究放在动能定理的理论推导之前，还是放在之后的问题。

张帆：对实验探究与数学推导的关系我们回到课程标准看看。高中物理课程标准中有关的内容标准 通过实验，探究恒力做功与物体动能变化的关系。理解动能和动能定理。

用动能定理解释生活和生产中的现象。

例：用打点计时器或光电计时器探究恒力做功与物体动能变化的关系。例：从牛顿第二定律导出动能定理。

活动建议：通过查找资料、访问有关部门，收集汽车刹车距离与车速关系的数据，尝试用动能定理进行解释。

我们看到：标准上举例1：用打点计时器或光电计时器探究恒力做功与物体动能变化的关系。

举例2：从牛顿第二定律导出动能定理。即：教学建议里实验、推导两种方式都有。但并没有先后顺序上的要求。

翟老师：我觉得有必要介绍一下科学研究中的建模问题。动能定理这节课是一节非常典型的综合性的科学探究课例，它不同于前面分析过的《摩擦力》、《力的合成》两节课，那两节课是科学探究中以实验方式为主的探究课例，而动能定理中的科学探究是把数学推导、实验论证及抽象思维高度结合在一起的，用牛顿第二定律的推导与实验探究的结合才能构建动能定理的模型，这是这节课的一个难点，也是我们通过两轮的教学实践才悟出来的，当建立了有关动能定理的模型以后，很多困惑都迎刃而解了。

蔡老师：这里翟老师提出了动能定理的模型，这好像和我们平时所说的模型不太一样啊，比如说到模型，我们首先想到的是像质点啊，点电荷啊这类模型。这里动能定理的模型该怎么理解呢？

翟老师：为了说明这个问题，我们先来看一下美国国家科学教育标准中关于模型的定义：

模 型

模型是与真实物体、单一事件或一类事件对应的而且具有解释力的试探性体系或结构。

模型可以帮助科学家和工程师了解事物的运作方式。

模型有很多形式，包括物理物体、计划、思维构造物、数学方程式和计算机模拟。

翟老师： 模型不仅可以是一个与真实物体对应的物理物体，象质点、点电荷等模型，还可以是一个有一定数学推导与实验测量高度结合在一起的一个思维构造物，像弹簧振子模型，不能简单理解为一个轻弹簧和一个质点的简单组合，它仅仅是模型中的一个物体，其中还包含一个反映其运动规律的经过实验检验的数学表达式，再比如卫星运行模型，也不能简单的理解为一个质点，还应该包括能描述其圆周运动规律的数学表达式。

张帆：关于建模思想和科学研究中的物理模型的研究方法问题，我们采访了山东师范大学物理与电子科学学院院长、博士生导师王传魁教授。

采访:专业人士对模型的运用。

蔡老师：这样看来，建立这样的物理模型的意义在于，实际物体运动情况比较复杂，使得我们研究起来困难很大，所以在探究动能定理时，就有必要通过建立物理模型来实现，建模的主要目的是抓住主要矛盾，忽略次要因素。有了这种建立模型的思想之后，在动能定理的探究过程中，就应该在实验探究中包含了理论推导和实验测量与检验两部分内容了。

张帆：从建模的角度来看，本节课中的探究实验应该是建立模型过程中不可或缺的一个环节，它的作用应该是对模型中数学表达式的一种检验，有了这样的认识之后，实验探究是放到恒力做功与动能变化关系的理论推导之前或者之后，似乎就不是那么重要了。翟老师：是这样的，当我们回顾了物理学史以后，觉得通过牛顿第二定律推导出动能定理的表达式并不困难，但是表达式所揭示的物理意义却并不清楚，因此也就生成了要探究的问题。在这里实验研究所要探究的是：表达式中的各个物理量是不是可以测量，怎么测，然后通过实验求证他们是否满足像表达式中所表达的关系，其实最重要的是要通过大量的实例，让学生理解做功与动能转化之间的物理意义。

张帆：在推出了恒力做功与动能变化的关系并进行了实验探究之后，为了最终能完善动能定理这个模型，我们还需要做哪些工作？

蔡老师：那应该是用具体实验创设情境，然后抽象出能够描述这个物体运动过程的物理模型然后对模型进行研究。

翟老师：为什么要做一个实验呢？这是因为，实验情境与自然世界的情境不同，实验情境具有典型性和简约性，它忽略了无关因素，突出了所要探究的因素，它渗透着某种理论假设，是把客观的自然世界中的现象 对象化、使其成为探究的对象，并为探究服务。建模之后，就生成了要探究的物理问题，科学探究中的问题是指可能寻求到答案的物理问题。在这里，就是要研究表达式中对物体所做的功与动能变化之间的关系，这个问题必须以物理语言重新描述，并与实验情境相结合，形成一个科学问题。

蔡老师：我们对实验在本节课中的作用应该有了一个新的认识。那么，我们在研究了恒力做功和动能变化的关系实验之后，是不是就可以得出动能定理了呢？

张帆：还不能这样理解。课程标准中提出“通过实验，探究恒力做功与物体动能变化的关系。”值得注意的是探究恒力做功与物体动能变化的关系，并没有说通过实验来探究动能定理，恒力做功与动能变化的关系只是动能定理中反映出的一个特例，它离动能定理还是有一段距离的，这仅仅是为探究动能定理做的第一步工作，这是我们的理解。那么，这个实验探究，在动能定理这节课中的作用究竟是什么？它和动能定理的教学究竟是一种什么关系？

翟老师：恒力做功与动能变化的关系，只是动能定理所对应的在恒力作用下这种特殊情况下的功和动能之间的关系，不能代表具有普遍性的动能定理。我们需要在这个基础之上，使模型得到不断的完善，越来越接近动能定理的最终模型，就应该采用控制变量的研究方法，不断的增加变量，不断地通过实验与理论推导，一步步的使模型变得更加接近动能定理所描述的，最终才能得到动能定理的结论。

张老师：也就是说，在这节课中，关于恒力做功与动能变化关系的研究，它是来自一个具体的实际过程，同时又指向了动能定理，起到了一个承上启下的桥梁作用。

翟老师：对。在研究了恒力做功与动能变化的关系之后，要继续给学生创造新的情景，不断改变物体的受力情况，增加受力个数，研究各种做功及动能转化之间的关系，使学生认识问题的层次逐步递进，最终认识到：是合外力做功与动能改变量之间的关系，从而，得到动能定理这个结论。我们来看一下关于模型与科学研究的进一步解释。

“学生探究活动的最终目的应该是构建一种解释方案或者是建立一个模型”。

“科学解释就是把现有的科学知识和来自观察、实验或者模型的新证据组合成具有内在已知的、符合逻辑的说明。或者说，科学解释就是用科学的概念框架解释、说明事物的含义原因。

关于用动能定理课的教学目标及整体设计

蔡老师：刚才就动能定理这节课，我们依据课标的要求，讨论了关于实验探究在定理研究中的作用、动能概念的教学设计、模型在科学研究中的建构、在模型的基础上不断增加变量研究了做功与动能变化关系，这四个重点问题。根据我们的理解，设定了如下的教学目标：

知识与技能

1、理解动能的概念；

2、知道动能的定义式，会用动能的定义式进行计算；

3、理解动能定理及其推导过程，知道动能定理的适用范围。过程与方法

1、建立物理模型的方法，学会用物理模型来解决生活问题

2、运用演绎推导方式推导动能定理的表达式。

3、通过实验研究恒力做功与动能变化的关系。

3、理论联系实际，培养学生分析问题的能力。情感态度和价值观

通过动能的得出和动能定理的推导与实验探究，培养学生的科学素养。

张帆：下面我们先来看一下关于探究动能和动能定理实验探究教学的一个整体设计方案。

1.创设情景，提出问题，说明在研究有些问题时牛顿定律是比较困难的，从而引出本节课的研究主题：探究做功与能量变化的关系

2.通过对汽车启动实例的定性分析，建立物理模型，并进行定量研究

3.探究动能的物理意义，以及对动能概念的进一步理解 4.做功与动能变化的深入研究 5.动能定理的得出

6.动能定理的应用

事件5张老师：首先我们来看一下第一个教学环节的教学片段 播放第一段教学片段

蔡老师：在这个环节中，为探究动能的定义，我们创设了一个运动的情景，设计这个情景的目的之一是，我们要使学生意识到，牛顿定律解决绝大部分机械运动还是比较方便的，但在解决有些机械运动特别是含有其他运动形式，比如热运动时会不方便，也让学生了解了研究动能和动能定理的目的。目的之二，为后来从牛顿定律到恒力做功与动能变化关系的数学表达式的变形做好了铺垫，为这种变形提供了灵感，使得这种变化更加自然。

翟老师： 可以看出，这段设计中的实例也是精心设计的，第一个是动力功使物体的动能增加的运动；第二个是动能全部转化成内能；第三个是子弹出枪膛化学能转化为动能。这三个情境可以让学生经过分析，进入教师设定的情景，从而明确我们今天要探究的问题是与动能的转化有关系的。

张帆：归纳起来说：第一个环节的目的是：创设情景，提出问题。下面我们看一下有关建模的第二段教学片段。

播放第二段教学片段

蔡老师：第二阶段是从汽车启动这个实例出发，经过简化从中抽象出第一个简单模型，就是只在恒力作用下做匀加速直线运动的质点，利用牛顿定律，通过对这个运动的研究，得到了他所遵循的数学表达式，同时，再利用实际的汽车启动过程，对其遵循的规律进行检验，结果若是符合实际情况的，这个表达式就能够描述物体的运动规律。

翟老师：在这个教学环节中，蔡老师充分展示了建模的物理过程： 1.创设情景实验

2.建立运动物理的实体模型 3.减少变量

4.用牛顿定律描述物体的运动规律

5.建立一个描述水平运动物体的具有一定数学规律的与实验测量高度结合在一起的一个物理模型。我们在教学中要注重培养学生对实际问题物理过程的分析，养成建立模型解决问题的良好习惯，学会利用建模的方法研究物理问题。这样，学生在遇到新类型的问题时，就能自己建模并解答问题，这样会提高学生理论联系实际的能力。

张帆：其次，使学生尽量运用建模的方法来分析解决问题也是跳出“题海战术”的误区、解决时间紧任务重的有效方法之一。另外有些问题也绝对不是靠简单的死记硬背书本知识和套用物理公式就能解决的，往往需要借助建模才能方便地解决。当然，在解决实际问题的过程中，学生的建模能力也将得到进一步地训练和发展。

蔡老师：在有了这个模型的基础上，通过引导学生思考、分析表达式中的FS的意义，进而给出动能的定义，请大家看第三部分动能意义的课堂教学片段。

播放第三段、播放第四段教学片段

蔡老师：在这个环节中，通过对所建立的模型的数学表达式的分析，引导学生发现与能量相关的物理量，这就是FS，并通过对汽车启动实例的分析，知道做功与能量变化的关系，进而找到动能的意义，给出动能的定义，为了使学生能够理解动能的意义，进一步从做功与动能变化的关系出发理解动能的单位和标量。

张帆：看来蔡老师在给出动能这个环节中，是从模型的数学推导中，结合举例给出动能的定义，这里面暗含了功能关系的因素。为后面分析动能定理的本质也起到了一个铺垫的作用。

翟老师：这个环节中，如果直接通过定性的实例分析，再给出动能的概念，事实上在教学上是降低了难度，通过一些实际的情景让学生去体会动能的意义，同样可以达到理解动能与物体的质量、速度的平方有关的目的。

那样处理，就很容易直接探究做功与动能之间变化关系。学完动能定理以后，经过老师适当的点拨，也可以帮助学生进一步理解动能的概念。

蔡老师：给出动能的概念后，下一环节就将进入动能定理的教学了，请看视频 播放第五段、第六段教学片段 张帆：可以看出，刚才蔡老师在这一段设计中，体现了前面翟老师所提到的，通过不断改变变量，使模型不断升华，从而使这个模型逐渐靠近动能定理，进而得到动能定理。

蔡老师：确实也是这样考虑的，因为单独一个恒力做功与动能变化的关系，不能等同与动能定理，所以需要，逐步深化，将模型由一个力到多个力，由只有动力做功到含有阻力做功，由正功到负功，使学生逐渐认识最终的模型应该是合外力做功与动能变化的关系。

翟老师：这里不断增加变量的研究方法，其意义不仅仅在于我们设计了有摩擦和无摩擦两种情况的探究实验，更主要的目的是让学生了解，一个实验结论的得出，远不是象完成一组实验就可以得出结论那么简单，需要不断增加变量分析各种情况，并且收集更多的证据，才能够得出结论。

学生分组测量的这个教学环节中，蔡老师也注意到了在设计实验方案、测量哪些物理量、怎样测量等问题时都介绍的比较清楚，并重点介绍了测量拉力方法的改进，使学生不仅知道了要测量哪些物理量，还了解了通过这套传感器的实验仪器是怎样实现测量拉力的。这样以后学生也能够自己设计改进实验方案了。

张帆：这个实验中需要测量的物理量比较多，有：质量、初速度、末速度、位移、拉力，如果用传统的仪器是可以完成这个实验的，但是，课上我们要用大量的时间进行数学运算，完成表达式的两边测量结果相等的任务。而采用了传感器并经过计算机的计算，就可以很快处理完数据，把精力放到实验探究的过程上来。

我发现，在改变变量的过程中，没有涉及到变力做功，是什么原因呢？

蔡老师：把变力做功纳入到变量的一种情况，当然是好，但是考虑到高中阶段变力做功比较难研究，取证上也比较困难，所以把该环节略掉，放到了动能定理得出之后，侧重让学生运用动能定理解决变力做功问题。

张帆：由此看来，动能定理结论的得出，也还是不能把所有的情况都探究以后才得出定律。翟老师： 其实，这个环节把问题倒过来，得出结论后，提出变力做功问题让学生思考，学生会发现，在用动能定理解决变力做功的问题时，完全可以用初、末两个状态量的变化即动能的变化来计算。这样就学会了另外一种除了牛顿定律以外的解决这类问题的新方法。

其实通过物理学史的回顾，我们应该进一步认识到，物体模型第一步水平恒力做功能量只是在机械能之间变化，并没有发生质的改变。而当汽车减速，把动能转化为内能以后，能的性质发生了质的转化，因此，正像恩格斯认为运动的不灭不能仅仅从数量上去把握，而且还必须从质的转化上去理解。它在《反杜林论》中指出：

“如果说，新发现的、伟大的运动基本规律，十年前还仅仅概括为能量守恒定律，仅仅概括为运动不生不灭这种表述，就是说仅仅从量的方面概括它，那么，这种狭隘的、消极的表述日益被那种关于能的转化的积极的表述所代替，在这里，过程的质的内容第一次获得了自己的权利。

恩格斯指出，在不发生机械运动“消失”而产生其他形式的运动的情况下（如简单机械平衡条件下的运动传递，完全弹性碰撞）运动的传递和变化都可以用动量mv去量度。当发生机械运动的“消失”而其他形式的运动产生，即机械能和其他形式的能（包括势能、热能、电磁能、化学能）相互转化的过程，在所有这些情况下，都应以1/2mv2去量度。

在这里，我想这个设计应该是想 着重强调做功使动能转化成为其他性质的能了。

张帆：按照课程标准的要求，还要用动能定理解释生活和生产中的现象。作为一线教师，得出动能定理之后，下一环节一般就是用动能定理来解题，会忽略用它来解释生产生活中的物理现象，关于这一点，在课堂上，蔡老师是怎么解决的呢？

蔡老师：我认为，课程标准中所说的，用动能定理解释生活和生产中的现象，重在理解动能定理所反映出来的本质问题，这就是能量转化问题，不仅仅是一种数学关系，如果，忽视这一点，重在解题训练，对学生理解动能定理的本质问题是不利的，那只是一种数学关系的套用。所以我认为，在得出动能定理之后，还是先让学生用动能定理解释生活和生产中的现象，初步认识其本质，然后再进行适当的定量运算，把动能定理的模型应用到实际生活中去，再次加深对动能定理的认识，这样做的效果可能会更好一些。

在这个环节上，我是这样设计的，请看教学片段 播放第七段教学片段

张帆：看了这一段之后，我感觉，在应用这一阶段，学生在分析现象时，侧重点放在了分析做功与动能变化的关系上，没有深入探讨出能定理所包含的本质，也就是能量转化问题，与刚才蔡老师所说的有所偏离。

后面的实验很不错，它其实是我们在习题中经常遇见的一个模型，在这里让学生亲自动手体验、测量，并利用所学知识来解释这个物理过程、计算相关的物理量，学生既有一种成就感，又加深了对动能定理的理解，今后再解决此类过程的相关问题时就会变的游刃有余。

蔡老师：我在课后的教学反思中也发现了这个问题，就是在对动能定理本质的挖掘上，做的不够，与教学设计有一定的差距。这一点在今后教学中需要改进的地方。

翟老师：这个环节还可以这么理解，是否有意识的培养学生用动能定理去解释生产生活现象，对于学生科学素养的培养至关重要的。

通过本节课的学习，我们试图通过物理学史的回顾，帮助教师理解有关动能、动能定理揭示的有关做功与动能变化之间关系的本质。

如果我们把教科书中的物理规律看作是物理科学发展的历史留给后人的精神文化传承物，我们就不会把“发现”物理规律作为科学探究的目标，而是探究物理规律的意义，当学生经历了物理实验过程，观察了实验现象，建立了物理模型，测量了各种参量的数据，这种体验就会改变学生理解规律的处境，并产生自己创造性的理解，而且，每个人会有不同的理解。因此，这样的科学探究的研究对学生来说是很有意义的。学习物理规律也可以反过来促进对事实的理解。在探究物理规律的过程中，实验中变量之间的关系更加清晰，影响实验测量精度的因素得到控制，实验事实和实验结果也被描述得更加确切，促进了学生对事实的理解。

“科学课程”中，推行“依据证据的解释”。在高中物理课程中，科学解释要求运用定律、定理、理论、模型等更多的科学知识、逻辑证据、深入的分析，并更加清楚的展示逻辑、证据及物理规律和理论知识之间的关系。就像动能定理这一节课，我们经历了创设情境实验、建立物理实体模型、实验获得证据、数学推理与实验结论的结合，建立了研究问题的模型，并不断增加变量，使其逐渐接近动能定理的内容。因此，在物理课程中，对科学解释提出了更高的要求，既有对物理现象及过程定律的解释，还有对物理规律及模型的解释。

这个教学案例与真实的课堂教学是会有一定的距离的，我们今天的讨论试图是对一个比较复杂的科学探究的问题进行尝试性的研究，主要是科学探究思想方法上的一次尝试。

7.案例分析《勾股定理》 篇七

1 现行教材上分析证明方法存在的不足之处

最大功率传递定理指出,当负载电阻等于电源的内阻时,负载获得的功率最大。目前一般教材的分析方法普遍采用微分法,通过对最大功率函数求导,当一阶导数为零时,得到最大功率和获得最大功率时的负载电阻。大多数教材都有具体分析证明过程,这里就不再详细说明。但微分法分析证明功率传递定理相对来说比较复杂,同时某些教材的分析证明的方法还不够严密,认为负载功率函数表达式的一阶导数为零时负载获得功率最大[1,2]。事实上,一阶导数为零只是函数取得最大值的必要条件,不是充要条件,不能说明负载此时获得的功率一定是最大值。负载获得功率最大的充要条件,还必须证明此时函数的二阶导数小于零。所以,用微分法分析证明需要同时求解一阶和二阶导数,分析证明比较复杂。特别是对大专、中专等高等数学基础较差的学生来说,用这种方法进行分析证明是比较难理解的。怎样使分析证明更简单,本文探索了一种更简单、更直观、更易懂的分析证明方法。

2 最大功率传递定理更简易的分析证明方法

2.1 直流电路的最大功率传递定理的分析证明

直流电路最大功率传递定理电路如图1所示。

设电路中内电阻R0为定值,负载电阻RL为可调的电阻,则负载电阻的功率为:

undefined

从式(1)可以看出,负载的最大功率为:undefined。

在式(1)中,由于RL,R0均大于等于零,R0,US为定值,在式中取等号的条件是:RL=R0。

所以,从上述分析可以看出,当负载电阻等于电源的内阻时,负载获得的功率最大。该分析证明方法只用了中学不等式的基本知识,不需要进行一阶、二阶微分,同时能很直观地看出负载获得最大功率的条件和获得最大功率的大小,比一般教材上的分析方法更简单、更直观。

2.2 正弦交流电路最大功率传递定理的分析证明

正弦交流电路(负载部分的电阻和电抗均独立可调)最大功率传递定理电路如图2所示。

电路中内阻抗Z0=R0+jX0为定值,负载阻抗Z1=R1+jX1为R1和X1值均独立可调的阻抗,则负载的消耗的功率(有功功率)为:

undefined

同样从上式可以看出,当两式均取等号时,负载获得的功率最大,负载的最大功率为:undefined。

在式(2)中,当X0+X1=0时,第一个“≤”处取等号,PR1的最大值undefined;由于R1,R0均大于等于零,R0,US为定值,当R1=R0时,第二个“≤”处取等号,得到undefined的最大值为undefined。由于负载阻抗Z1=R1+jX1的R1和X1值均独立可调,所以2个条件可以同时满足;则当2个条件X0+X1=0和R1=R0同时成立时,两个“≤”处均能取等号,此时负载消耗的功率最大。

由上述分析可以看出,当负载阻抗中的电阻部分等于电源的内阻抗的电阻值,负载阻抗中的电抗部分与电源内阻抗中的电抗相反,即R1=R0和X1= - X0时,负载获得的功率最大。即:

最大功率为:undefined。最大功率的条件为:R1=R0,且X1= - X0。

该交流电路的分析证明方法同样只用了中学不等式的基本知识,不必进行一阶、二阶微分计算,也能很直观地看出负载获得最大功率的条件和获得最大功率的大小。

3 结 语

通过上述分析,本文提出的方法使最大功率传递定理的分析证明更简单、更直观,减少了很多高数分析计算。在实际教学中,针对不同的教学对象,同样的问题可以采用不同的分析证明方法,学生更能够理解和掌握,能够收到更好的教学效果,有效地提高了教学质量,对低层次学生的电工电子技术教学效果更为明显。

参考文献

[1]王鸿明.电工技术与电子技术(上册)[M].北京:清华大学出版社,1999.

[2]Jams W.Lilsson,Sosan a.Riedel.电路[M].7版.北京:电子工业出版社,2005.

[3]崔玉超,孙运强.射频放大电路的优化及仿真[J].现代电子技术,2007,30(23):93-94,96.

[4]杨森斌,贺少华,李大斌.智能型无功补偿控制器的研究与设计[J].现代电子技术,2006,29(2):134-136.

8.案例分析《勾股定理》 篇八

关键词：高中数学;案例描述;教学反思

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）24-107-1

一、案例描述

1.设置情境。利用投影展示：如图，一条河的两岸平行，河宽d=1km，因上游突发洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及人员用船转运到正对岸的码头B处或其下游1km的码头C处。已知船在静水中的速度|vl|=5km/h，水流速度|v2|=3km/h。

2.提出问题。师：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑一下有关的问题，将各自的问题经小组（前后4人为一小组）汇总整理后交给我。

待各小组将题纸交给老师后，老师筛选几张有代表性的题纸通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的5个问题：

（1）船应开往B处还是C处？（2）船从A开到B、C分别需要多少时间？（3）船从A到B、C的距离分别是多少？（4）船从A到B、C时的速度大小分别是多少？（5）船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？

师：大家讨论一下，应该怎样解决上述问题？

大家经过讨论达成如下共识：要回答问题（1），需要解决问题（2），要解决问题（2），需要先解决问题（3）和（4），问题（3）用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题（4），问题（4）与问题（5）是两个相关问题，因此，解决上述问题的关键是解决问题（4）和（5）。

师：请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。

生：船从A开往B的情况，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小|v|及v1与v2的夹角θ。

生：船从A开往C的情况，|AD|=|v1|=5，|DE|=|AF|=|v2|=3，易求得∠AED=∠EAF=45°，还需求θ及v。我不知道怎样解这两个问题，因为以前从未解过类似的问题。

师：请大家想一下，这两个问题的数学实质是什么？

部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。

师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题？

……

3.解决问题。师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？

众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中试探一下。

师：请各小组研究在Rt△ABC中，任意两边及其对角这4个元素间有什么关系？

多数小组很快得出结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC。

师：a/sinA=b/sinB=c/sinC在非Rt△ABC中是否成立？

众学生：不一定，可以先用具体例子检验。若有一个不成立，则否定结论;若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。

师：这是个好主意。请每个小组任意做出一个非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各边的长和各角的大小，用计算器作为计算工具，具体检验一下，然后报告检验结果。

几分钟后，多数小组报告结论成立，只有一个小组因测量和计算误差，得出否定的结论。教师在引导学生找出失误的原因后指出：此关系式在任意△ABC中都能成立，请大家先考虑一下证明思路。

生：想法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。

生：因为要证明的是一个等式，所以应先找到一个可以作为证明基础的等量关系。

师：在三角形中有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？

学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：1.三角形的面积不变;2.三角形同一边上的高不变;3.三角形外接圆直径不变。

师：据我所知，从AC+CB=AB出发，也能证得结论，请大家讨论一下。

……

师：同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，请大家留意身边的事例，正弦定理能够解决哪些问题。

二、教学反思

在本课的教学中，教师立足于高效课堂模式，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。