三角函数的学习论文

三角函数的学习论文（共12篇）

1.三角函数的学习论文 篇一

首先是基础打牢。把课本看熟，不要以为数学就不用管课本，很多时候就是因为基本概念没掌握所以解题速度和正确率严重下降。没事的时候就把书一字一字的看，理解透，从基础题做起，不要一直钻难题，当然也不能天天就做基础练习，那样考试的时候什么都不会，要慢慢提高。

其次是题海战术。不要以为坐着就可以提高成绩，理科是需要大量做题来巩固知识并且熟练解答各种类型的题目。题海战术也不是无穷无尽的做题，一个类型的就没有必要做个三四十题了，要精做，每过一段时间把以前自己没掌握牢的题再做一次，不要看答案，自己思考，复习自己错过的题是很重要的。

最后是解题方法。光死做是不行的，关键是掌握解题方法，数学题是无穷无尽的，唯有掌握解题方法才能以不变应万变。高中必须用一个笔记本专门记载数理化的解题方法与思路，技巧，易犯错的等等。2和3并不矛盾，应配合使用，光掌握解题方法不行，给你一个题，告诉你方法，你没练习过那个方法，做起来还是很慢，甚至不会用。所以数学应该通过做题来掌握解题方法。

2.三角函数的学习论文 篇二

1. 已知角 α, β, γ 为锐角, 且, 试求tanαtanβ + tanβtanγ + tanγtanα 的值.

解: 这类求关系式的值的问题一般的解题策略为, 先特值确定所求关系式的一个值, 然后猜想所求关系的值为该值, 再证明.

首先分别令α, β, γ都为π/6, tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1,

于是猜想tanαtanβ + tanαtanγ + tanβtanγ 的值为1.

对猜想的结论进行证明:

二、开放性问题

例2设函数f ( x) = sin2x, 若f ( x + t) 是偶函数, 则t的一个可能值是______.

解法1:由已知得f (x+t) =sin2 (x+t) =sin (2x+2t)

又因f ( x + t) 是偶函数

所以sin (2x+2t) =sin (-2x+2t)

所以2cos2tsin2x=0恒成立

所以, k∈Z.

解法2:f (x+t) 是由f (x) 平移得到的, f (x+t) 是偶函数,

所以可以设f (x+t) =cos2x

而cos2x=sin (2x+π/2) =sin2 (x+π/4) =f (x+π/4) , 所以t可以为π/4.

例3已知函数试写出它的一个性质________.

分析: 中学数学讨论的函数性质有函数的定义域, 值域 ( 包括最大值和最小值) , 单调性, 奇偶性, 周期性等, 函数, 是由两个十分常用的函数y = sinx和y = cosx组成, 在同一坐标系中画出这两个函数的图象即可得到函数f (x) 的图象, 根据图象便可以讨论该函数的性质.

解: 据该函数的图象 ( 图象略) 可以得到如下结论:

( 1) 此函数的定义域是R;

(2) 该函数的值域是;

( 3) 该函数是以2π 为最小正周期的周期函数;

(4) 当且仅当x=2kπ和x=2kπ+π/2 (k∈Z) 时, 该函数取得最大值1;

(5) 当且仅当时, 该函数取得最小值.

(6) 在上是增函数, 在是减函数,

在上是增函数, 在是减函数.

以上各性质只需回答其一.

三、判断真假性问题

例4采用如下方法判断函数的奇偶性是否正确.

因为是奇函数, 所以f (x) 是奇函数.

解:此解答是错误的.由于简化过程中约去了分子、分母的公因式, 使得y=f (x) 和因定义域不同而不是同一个函数, 故不能应用约分后的函数直接求约分前函数的奇偶性, 本例的正确解答是:

令, 得一特解, 考查和π/2的函数值.

因为无意义.

所以函数f (x) 的定义域关于原点不对称.

故函数f (x) 既不是奇函数也不是偶函数.

四、模仿解答问题

例5阅读下面例题解法:实数x、y满足4x2-5xy+4y2=5, 设S=x2+y2, 求的值.

解:设代入4x2-5xy+4y2=5,

化简后得:4S-5Ssinαcosα=5,

因为-1≤sin2α≤1, 所以3≤8-5sin2α≤13.

试用上述解法解下列问题:已知x2+4y2=4, 求M=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值.

解:因为x2+4y2=4, 设x=2cosθ, y=sinθ (-π≤θ≤π)

M=4cos2θ+2·2cosθsinθ+4sin2θ+2cosθ+2sinθ=4+4sinθcosθ+2 (sinθ+cosθ)

设sinθ+cosθ=t,

所以M=4+2 (t2-1) +2t=2 (t+1/2) 2+3/2.

因此当时, M有最大值.

五、运用方程思想解答问题

例6已知sinθ+cosθ=1/5, θ∈ (0, π) , 求cotθ.

分析:sinθ+cosθ=1/5和同角三角比的关系式sin2θ+cos2θ=1联立形成一元二次方程求出sinθcosθ, 这样sinθ, cosθ为一个一元二次方程的两个解, 再求.

解:因为sinθ+cosθ=1/5,

所以,

因为 θ ∈ ( 0, π) .

所以sinθ<0<sinθ且sinθ, cosθ是一元二次方程的两个解sinθ=4/5, cosθ=-3/5, 所以cotθ=-3/4.

例7已知sin4θ+cos4θ=5/9且α为第三象限角, 求sinα与cosα.

解:sin2α+cos2α=1, 因为α为第三象限角,

所以sinα<0, cosα<0,

由此可得.

所以sinα, cosα为关于x的方程的两个解.

六、追溯条件性问题

例8请你写出一个关于 α 的等式并加以证明, 要使得等式

是你给出的等式中当α=20°和α=15°时的情形.

分析: 注意到这两个等式中三角函数之间的运算方式相同, 每个等式中的两个角之间都是相差30°, 根据这些特征便可构建一个关于 α 和 α + 30° 角所满足的等式.

解:命题:sin2α+cos2 (α+30°) +sinαcos (α+30°) =3/4.

说明: 归纳概括一系列数学等式所具有的共同性质, 从而猜想并证明具有一般意义的数学结论, 使得原有的结论成为特例, 这种由特殊到一般的推广, 是数学研究中常用的方法之一.

七、有关数学建模问题

例9如图1, 某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地, △ABC外的地方种草, △ABC的内接正方形PQRS为一水池, 其余的地方种花.若BC=a, ∠ABC=θ, 设△ABC的面积为S1, 正方形的面积为S2.

( 1) 用a, θ 表示S1和S2;

(2) 当a固定, θ变化时, 求S1/S2取最小值时θ的值.

解: (1) 因为BC=a, ∠ABC=θ

所以AB=acosθ, AC=asinθ

又因为PQ+PQcotθ+PQtanθ=a

所以2θ=π/2, θ=π/4有最小值, 最小值为9/4.

八、在物理中的应用问题

例10已知电流I与时间t的关系式为: I = A·sin ( ωt + φ)

(1) 图2是I=A·sin (ωt+φ) ω>0, |φ|<π/2在一个周期内的图象, , 试根据图中数据求I=A·sin (ωt+φ) 的解析式;

( 2) 如果t在任意一段秒的时间内, 电流I = A·sin ( ωt + φ) 都能取得最大值和最小值, 那么 ω 的最小正整数值是多少.

(2) 因为.

所以 ωmin= 943.

摘要：本文归纳总结了三角函数常规问题以外的8类问题, 改变数学问题的形式, 使数学试题的练习增加了数学知识及数学能力以外的一般能力训练的功能, 更好的发挥了数学的学科育人价值.

关键词：探索性,开放性

参考文献

[1]高级中学课本《数学》高中一年级第二学期 (试用本) , 上海教育出版社, 2007.

3.浅析三角函数的学习存在的问题 篇三

关键词：高中数学；三角函数；应对策略

中图分类号G633.6

三角函数问题在我们实际生活中不是很常见，有些脱离我们的实际生活，但是它灵活多变，同学们感到难以应对。近些年来，高考命题组越来越多地考查三角函数的抽象性、恒等变换，而这些考查重点都是我们不擅长的，也就导致了三角函数学习出现了很多问题。同学们在学习三角函数问题的过程中不应有心理障碍，只要掌握一些基本的方法和策略，这样许多问题都会迎刃而解。新课程标准下，三角函数作为基本初等函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考考查的重点内容之一，也是高考的热点之一，在高考中，客观题和主观题均有所体现，并且以中低档题目的考查为主，对同学们来说是很重要的得分点。

一、主要的学习问题

实行新课标以来，三角函数的知识体系变化比较明显，我们高中生要采用和初中不同的学习策略才能有效地应对这一变化。在初中时期，我们接触到的函数全部是一对一型的函数，而三角函数是我们上高中以来第一次接触到的一对多型函数，它具有明显的周期性，它代表着一类函数。三角函数与其他函数知识紧密相关，学好三角函数对其他知识的学习有着巨大的指导意义。

总体来说三角函数的难度还是不大的，它渗透着数形结合的思想，掌握了这一本质特征，学好三角函数还是比较容易的。但是我们高中生学习三角函数的过程当中还是存在很多问题的。好多同学反映三角函数并非书中所述的那样简单，甚至陷入了学习三角函数的困境。因为三角函数是我高中数学的起始环节，这种困境长期持续下去，会造成更为深层次的影响，会影响我们的学习动机和对数学的学习态度。

（一）概念模糊

任何一个知识点的学习几乎都是从概念开始的，可是很多同学并没有理解三角函数的定义。直角三角形问题是三角函数问题的一部分，我们初中的时候就能轻松掌握。可是到了高中我们依然运用初中的知识去解答此类问题，虽然得到了正确的答案，但是与学习的初衷相背离。这也就间接地导致了我们对三角函数的概念的理解出现严重的偏差，甚至有些含糊不清。

（二）用错公式

公式众多，紧密联系是三角函数最大的特点。三角函数知识中涉及的公式数量非常大，包括弧度数的绝对值公式，弧长公式，扇形面积公式，诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式，倍角公式，需要掌握的总共 22 个。三角函数的公式不仅数量多，而且变换灵活，例如诱导公式中角的奇偶性变化、正负取值，两角和与差公式中角的组合变化等，角发生变化取值就相应改变，三角函数的公式就应用了多种方式展现出来，这就让同学们寻不到规律，不知道该用什么公式解题。

（三）数学思想理解不到位

简单的三角函数蕴含着多重的数学思想，如数形结合思想、等价转化思想、函数与方程思想等。同学们经常大量的做题，而不去总结，许多数学思想根本体会不到。题做得再多，数学思想没有学到，遇到相似的问题还是无从下手。三角函数知识体系较为抽象，各个函数间密切联系、变换灵活，我们必须掌握公式的本质特征、课下勤加练习才能灵活运用。

三、简单的应对措施

（一）摒弃形式化

我们来到高中对知识的理解经常以自己经验加以判断，缺乏理性思考，我们的水平不高，对抽象的三角函数只是记住了形式，造成了生搬硬套、死记硬背的尴尬局面。我们应将公式和图像相结合的学习，注重数学结合的思想。学会单位圆的应用，运用它掌握三角函数的定义；例如，正弦函数的学习，我们学会借助图像巧妙的掌握，能画出 y = sinx的图象，通过图像观察其周期性；借助图象理解正弦函数在[0，2π]的性质等，如单调性、奇偶性等

（二）形成有效的学习方法

我们学习数学效率低，速度慢大部分原因是方法不恰当，三角函数的学习也是一样的，我们很多高中生对待三角函数不够重视，更别提方法了。三角函数各个知识点联系非常密切，可是大多数同学只是孤立的学习，不懂得把知识点串联起来，这就无法形成体系，只是混乱，不能融会贯通。所以，学习过程中，我们要懂得将知识作对比，善于复习，找到学习三角函数的有效途径。

（三）训练基本的数学技能

解决好三角函数的问题，化简很重要。它是做题的第一步，而且是最为关键的一步。许多同学做不出三角函数的题目，就在化简的过程中出现了错误，所以同学们要在课下训练化简、运算等基本技能。

三、结语

总而言之，发现自己学习三角函数的问题，结合自身的特点，制定相应的学习策略，灵活应对，学好三角函数还是较容易的。

[参考文献]

[1] 王冬岩.高中生对三角函数概念的理解[D].上海：华东师范大学，2010.

[2] 刘洋.高中数学新旧两版教科书三角函数部分的对比研究[D].长春：东北师范大学，

4.《三角形边的关系》学习体会 篇四

八郎小学 吕振影 2013年5月

《三角形边的关系》的听课心得体会

2013年5月8日，我有幸在县实验小学参加前郭县小学“更新教学理念，提高教学实效”主题教学研培会，上午共听了三节数学课，感觉教师的设计理念新、把学生真正放在了学习的主体地位。其中四年级于海燕老师执教的《三角形三边的关系》这节课,给我最大的感受是活、教材处理灵活；动、注重动手操作；放、放飞学生想象。注重引导学生在亲身参与实验的过程中体验探索的乐趣，总结整个教学环节新颖、科学、成熟。

一、按学生的“习惯性”，思维安排教学环节

1.教学中首先复习了“三角形”的概念，充分体现在“极大尊重学生认知特点。

2.在摆小棒实验环节中，教师强调实验规则：从三根小棒摆一个三角形，把摆的结果及小棒长度记录在表格中。

二、“开放式”教学的有效性

1.于老师大胆放手，给学生提供了充足的活动空间。2.实物的运用给本堂课起到了实质性的帮助作用。运用演示“4厘米、5厘米和9厘米”的一组小棒能否摆成三角形？由于学具的原因，学生在摆这组小棒时都认为可以摆成。教师如果说不能摆，学生可能不会相信。但通过课件的演示让学生突破了这一教学难点。

三、在引导学生探索、观察、发现的过程中体会科学的探索方法 1.首先，在循序渐进引导学生探索“怎样的三根小棒才可以摆成三角形”时，充分的渗透了实验操作、分类比较、观察发现、抽象概括的科学思想与方法。

2.其次，人们的实验结果往往要受到实验器材、操作的误差等客观因素的影响。要求学生养成细致认真、善于观察、勤于思考的科学态度。

5.实变函数学习心得 篇五

在本学期上半阶段我们主要跟邓博士学习了第一章距离空间和第二章Banach空间上的有界线性算子。在距离空间里最主要是掌握距离空间的定义。 定义:设X是一集合， 是x × x到Rn的映射，满足：

(1) (非负性) (x,y)≥0 且 (x,y)=0,当且仅当x=y

(2) (对称性) (x,y)= (y,x)

(3) (三角不等式) (x,z)≤ (x,y)+ (y,z)

则称X为距离空间，记为(X, )，有时简记为X。

由距离空间可以进一步定义出线性距离空间，线性赋范空间，接着进一步研究距离空间的完备性，其中度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间之间关系弄清楚了那么本节课也就掌握了;

度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间的区别与联系。

赋范线性空间一定是度量空间，反之不一定成立。度量空间按照加法和数乘运算成为线性空间，而且度量空间中的距离如果是由范数导出的，那么这个度量空间就是赋范线性空间。

赋范线性空间与巴拿赫空间的联系与区别：完备的赋范线性空间是巴拿赫空间。巴拿赫空间一定是赋范线性空间，反之不一定成立。

巴拿赫空间一定是度量空间，反之不一定成立。巴拿赫空间满足度量空间的所有性质。巴拿赫空间由范数导出距离，而且满足加法和数乘的封闭性。满足完备性，则要求每个柯西点列都在空间中收敛。

度量空间中距离要满足三个性质：非负线性、对称性、三点不等式，因此距离 (x,y)的定义是重点。赋范线性空间中范数要满足：非负性、正齐性、三角不等式，距离定义和范数的定义是关键。

在第一章中还有两个重要的空间，内积空间和希尔伯特空间，内积空间是特殊的线性赋范空间，而完备的内积空间被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。因此只要弄清楚了度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间，内积空间和希尔伯特空间学习第一章就没什么难度了。

有界线性算子及其范数，在两个线性赋范空间上定义一个映射，这个映射就是线性赋范空间的线性算子，由线性算子又派生出有界线性算子，由范数的计算导出算子空间，第一二章就由线性赋范空间紧密串联起来。

6.函数概念教学学习体会解读 篇六

义务教育阶段的数学课程将致力于使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实（包括数学知识、数学活动经验），以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。函数是中学数学的核心内容，以函数思想来贯穿中学数学内容更有利于提高数学教学质量。在培养学生的创新精神和应用数学知识解决实际问题的过程中，函数思想方法具有其它思想方法所不及的指导作用。

通过学习我了解了函数形成的简要历史：

1、函数是从研究各种运动问题中产生的。

2、函数概念经历了这样几个阶段：①把研究的曲线当作函数；②把由一个变量和一些常量以任何方式形成的解析表达式作为函数；③用对应关系定义的函数；④用集合定义的函数。实际上函数概念到此还没有终结，还在发展。分析函数概念的形成历史，我们可以看出几点：

1、函数概念的形成是由研究静止现象到研究运动、变化现象的结果；

2、函数概念的形成是人类活动不断深化的结果，是人类思维能力和认识能力提高的结果。基于函数形成的历史，使我们认识到要使学生形成清晰的函数概念，必须使学生经历由常量数学到变量数学的转变，而要使学生实现这种观念上的质的飞跃，必定要经历一个困难的过程。困难主要表现在：①长时间处理常量数学问题使学生形成了静止、孤立、片面看问题的固定思维方式；②思维能力水平的制约。初中学生的整体思维能力还不高，一方面，初中学生的思维从预初到初三由借助于具体形象，具体的事例进行思维活动向抽象思维发展；另一方面，在学生学习了推理后，学生的思维由杂乱向有序发展，随着概念的不断丰富，推理能力的不断提高，学生逐步形成了逻辑思维能力，但要使学生理解函数概念，只是具备这些条件是不行的，学生还必须具有辨证思维的能力。函数概念由模糊到清晰经历了近300年就说明了困难的程度。我们都知道，观念上的转变是非常困难的，所以要使学生实现观念上的转变，首要的任务是使学生接触运动现象，认识运动现象，思考运动现象，这样才能使学生认识变量的存在，然后逐步使学生理解变量的意义，实现由常量到变量的转变。然后使学生认识到运动变化过程中确实存在相互联系的量，实现由习惯于处理静止现象到处理运动现象的过渡，促进学生运动观的形成，这样才有可能使学生理解函数的意义；另外，还必须切实提高学生的思维水平。

教材在处理函数概念时，把函数概念分为两个阶段：初中阶段和高中阶段。对初中学生来说，只要使初中学生认识到：（1）问题中所研究的两个变量是相互联系的。（2）其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化。（3）两个变量之间有确定的依赖关系。初中阶段主要使学生能处理能用解析式表达的函数，要使学生掌握几类简单的函数：一次函数、反比例函数、简单的二次函数，理解他们的定义，知道它们的图象和性质，会用它们的图形和性质解答一些生活和其他学科中的简单问题。基于以上分析，作为一名初中教师，在实施函数教学时，要把握好初中函数教学的度，要根据初中学生的思维特点和知识结构进行教学过程设计。

一、函数概念是学生难学的内容之一，那么怎样才能让学生掌握这一重要概念呢？我认为，可按“早、实、清”3个字进行导学。

所谓“早”，是指在起始阶段的教学中，抓住相关内容及早向学生渗透函数的思想方法。我们知道，函数在本质上反映了2个集合中元素之间的一种对应关系。在初中起始阶段的教学内容中，2个变量之间对应关系的例子是相当多的。我们在教这些内容时，可以很容易地向学生们渗透函数的思想方法，在学生的知识结构中产生朦胧的变化意识。例如，对字母表示数的认识，是学生体验、认识变量的开端，在这段内容的教学中教师要促使学生感受到变量的意义，体验变量的概念。在代数式的值的教学中再强化变量的意义，再让学生通过代数式的值与代数式中字母取值的之间的相互依赖关系，感受到变量之间的相互联系。再在方程特别是二元一次方程的学生中，进一步促进学生认识两个量之间是相互关联的，体会到两个变量之间的相互依存关系。在几何教学中，函数关系的例子也非常多，像中点的定义、角的平分线的定义就揭示两个量之间的关系；还有两个角互余、互补，揭示的都是两个变量之间的关系。如果教师能注意在学习与函数有关的知识时，经常地向学生渗透“对应”的观点，那么到学习函数概念时，学生就不会感到生疏和突然，他们就能顺利地接受函数概念，并把函数知识尽快地内化到自己已有的知识结构中去。

所谓“实”，是指由实例引入函数概念。由实例引入概念，反映了概念的物质性和现实性，符合学生的认识规律，给学生留下的印象比较深刻和长久。这样教学，学生能够认识到函数概念是从客观现实中抽象出来的，有利于学生更好地理解函数概念。在学习函数概念时，可用概念形成的方式，按以下的步骤进行：第一，让学生分别指出下列例子中的变量以及变量之间关系的表达方式，概括出它们的共同属性：（1）匀速运动中的路程和时间的关系；（2）圆的面积和半径之间的关系；（3）n边形的“内角和”与边数间的对应关系；（4）用表格给出某水库的储水量Q与水深h之间的对应关系；（5）某一天的气温随时间变化的规律图。

第二，引导学生对以上实例进行分析、比较、从诸多的属性中找出它们的共同属性：（1）在某一特定的变化过程中都有2个变量（变量A和变量B）；（2）变量A可在某一允许范围内取值；（3）对于该范围内变量A和变量B之间有确定的依赖关系。第三，在得出这些变化过程中的基本属性之后，可以及时地给出函数定义。第四，为了加深学生对函数概念的理解，进一步明确概念的内涵与外延，可让学生做一些辨别练习，以使学生在“积极避免概念混淆中突出概念的形象”，使函数概念的形象更加清晰明确。第五，通过例题、练习等形式，对函数概念形成一个完整的认识，至此，函数概念已在学生已有的概念系统中占有一席之地，已基本完成了概念的形成过程。

所谓“清”，是指一定要向学生讲清函数定义的“语言框架”。有人形象地把整个数学知识比作一张“渔网”，那么函数定义就是一个非常重要的“网结”。函数是我们在初中遇到的第一个用“数学关系概念定义法”给出的概念。揭示它的本质（对应关系）的叙述方式与先前所学的诸多数学概念的叙述方式是不一样的，让学生有一种“咬嘴的”的感觉，所以，我们一定要向学生讲清楚函数定义的语言叙述特点，讲清楚“…某一过程2个变量，一个变量…取值范围，另一个变量…确定的依赖关系”的意义。

二、函数教学要掌握火候，逐步渐进

学习函数的方法与以前学习代数和几何的方法有着明显的不同。如函数的表达方式就是多样化的，有列表法，图像法，解析式法等，学生在一开始会不适应，所以在教学时要使学生逐渐适应这种多样化，使学生逐渐认识到这些方法的作用。数形结合法是学习函数的重要方法，这和前面的代数方法和几何方法明显不同，对这种方法的适应需要一定的时间，因为学生对一个式子和一个几何图形之间的对应还不适应，在教学时要使学生逐渐认识到一个解析式和一个图形之间的关系，在一次函数、反比例函数、二次函数的学习过程中使学生认识到具体的对应关系，通过这几类特殊的函数的学习使学生不断认识到图像的作用，从而逐渐适应这种方法，体会到这种方法的优点：解析式准确简洁，图像形象直观，通过数形结合法使学生认识到代数方法和几何的方法各自的作用及相互结合的优点。

总之函数概念的学习既要有观念上的转变，又要具备更强的抽象思维能力，提高学生的抽象思维能力和学生的认识能力是使学生形成函数思想的基础，所以教师在代数和几何教学过程中要切实把提高学生的思维能力和认识能力作为一项重要任务，把知识传授和思维能力培养有机结合起来，既促进学生形成知识结构，又使学生形成相应的能力结构，实现观念的转变。这就要求教师要从整体上把握教材，有一个整体教学计划，使教学活动成为一个有机整体，这样才能在教学活动中真正有效的提高学生的素质。

位育初级

7.三角函数的学习论文 篇七

一给出三角函数值的求角

在教学中发现, 学生面对此类问题通常会存在如下几个困惑:一个三角函数值可能对应着多个或无数个角, 不知道该先求哪个角?不能准确地写出已知要求的那个范围的角, 下面结合例题加以解释说明:

二根据三角函数的单调性比较大小

三利用正、余弦定理解三角形

在△ABC中, 设∠A、∠B、∠C的对边长分别为:a、b、c。

余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A;b2=a2+c2-2accos B;c2=a2+b2-2abcos C。

此定理内容及变形学生们都非常熟悉, 但在解题时却鲜有学生能灵活运用, 本文从两道例题中介绍下如何解答此类题型。

例5, 在△ABC中, 已知a=7, b=10, c=6, 求A、B、C (精确到1°) 。

8.锐角三角函数学习导引 篇八

一、深入理解锐角三角函数的概念

1.理解锐角三角函数的定义.

（1）正切、正弦和余弦的概念是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与其所在的直角三角形的大小无关；

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角三角函数值[ab]、[ac]和[bc]都随锐角A的大小变化而变化，也都随锐角A的确定而唯一确定，因此它的大小仅与角的大小有关，而与所在的直角三角形的边的长短无关；

（3）正切tanA、正弦sinA和余弦cosA是一个完整的符号，tanA不是tan与A的积，离开了∠A，“tan”就没有意义了，只有合起来，tanA才表示∠A的正切，sinA、cosA也是如此；

（4）符号tanA表示∠A的正切，在符号tanA中，习惯省去角的符号“∠”，当用希腊字母α、β等表示角时，其正切中角的符号习惯上也省去，但当用三个英文字母或阿拉伯数字表示角时，角的符号“∠”不能省略，sinA、cosA也是如此，如tanα、sin∠ABC、cos∠1等.

2.应用锐角三角函数的定义.

例1 （2016·甘肃兰州）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=[35]，BC=6，则AB=（ ）.

A.4 B.6 C.8 D.10

【分析】先画出图形，如图1，在Rt△ABC中，由锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入即可求出AB的长.

【评注】熟练掌握锐角三角函数的基本概念是解好本题的关键，做题时边读题边画一个直角三角形，数形结合、看图说话，可避免主观出错.

二、理解记忆特殊角的三角函数值

任意角的三角函数值都可以由计算器获取，但由于特殊角的三角函数值常见常用，所以应当记忆，这样便于我们运用它们进行计算、求值和解直角三角形.

另外，观察表格，我们还有收获.横着看：正弦值、正切值，随着角度的增大而增大（其中tan30°?tan60°=1=tan45°）；余弦值，随着角度的增大而减小.这个规律是不是一般规律？对所有的锐角三角函数都成立吗？有兴趣的同学可借助于计算器验证一下自己的发现.竖着看：sin45°=cos45°；斜着看：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°.学习数学，要善于观察、思考，这样才能不断提升自己.

例2 式子2cos30°-tan45°-[1-tan60°2]的值是（ ）.

A.[23]-2 B.0 C.[23] D.2

【分析】将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案.原式=2×[32]-1-[1-3]=0.

【评注】本题考查了特殊角的三角函数值，因此，一些特殊角的三角函数值需要我们在理解的基础上熟练记忆.

例3 已知tanA=[23]，∠A为锐角，则∠A的取值范围是（ ）.

A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<45°

C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90°

【分析】要确定∠A的取值范围，只要确定[23]在哪两个特殊角的三角函数值之间即可.因为[33]<[23]<1，所以tan30°

【评注】解答本题不仅要熟记特殊角的三角函数值，还要理解“锐角三角函数的正切值随着角度的增大而增大”这个规律.

三、解直角三角形及其应用

1.直角三角形各元素之间的关系.

如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A的对边、∠B的对边和∠C的对边.除直角外的五个元素之间有如下的关系：

三边之间的关系：a2+b2=c2；

两个锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；

边角之间的关系：sinA=cosB=[ac]；cosA=sinB=[bc]；tanA=[1tanB]=[ab].

2.解直角三角形的基本类型及解法.

由此我们知道：在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素，只要知道两个元素（其中至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素.解直角三角形的知识广泛应用于生活，尤其在测量过程中用于计算距离、高度、长度和角度等.

例4 （2016·江苏苏州）如图3，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（ ）.

A.[23]m B.[26]m

C.（[23]-2）m D.（[26]-2）m

【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可.

【解答】在Rt△ABD中，sin∠ABD=[ADAB]，

∴AD=4sin60°=[23]m，

在RtΔACD中，sin∠ACD=[ADAC]，

∴AC=[23sin45°]=[26]m，故选B.

【点评】解直角三角形的关键是抓住已知条件，利用已知的边和角求出未知的边，进而解决问题.

例5 （2016·四川巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图4所示，则下列关系或说法正确的是（ ）.

A.斜坡AB的坡度是10°

B.斜坡AB的坡度是tan10°

C.AC=1.2tan10°米

D.AB=[1.2cos10°]米

【分析】坡度反映了斜坡的陡峭程度（这个度的意义不是角度），它是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，是一个比值，一般用i表示，常写成i=h∶l的形式.把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=tanα.

【解答】根据坡度是坡角的正切值得斜坡AB的坡度是i=[BCAC]=tan10°，选：B.

【点评】本题考查了解直角三角形应用中的基本概念：坡度、坡角，理解坡度的含义是解题的关键.

例5 （2016·山东菏泽）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，如图5，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20[（1+3）]海里的C处，为了防止某国巡警干扰，就请求我国A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离.

[图5][图6]

【分析】本题属于解直角三角形的应用——方向角问题，认真审题，理解方向是解题的关键.如图6，过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD=x，利用解直角三角形的方法，可得出AD，进而可得出BD，结合题意BC=CD+BD可列出方程，解出x的值后即可得出答案.

【解答】如图6，∠ACD=45°，∠ABD=30°.

设CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，

在Rt△ABD中，可得BD=[3x]，

又∵BC=20[（1+3）]，CD+BD=BC，

即x+[3x]=20[（1+3）]，

解之得：x=20，

∴AC=[2x]=[202]（海里）.

答：A、C之间的距离为[202]海里.

【点评】此题考查了关于方向角方面的实际应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型运用方程求解.

（作者单位：江苏省东台市实验中学教育集团南校区）

9.Perl函数(子程序)学习笔记 篇九

一、函数定义

子程序即一段分离的代码,它可以使减少重复代码且程序易读.perl中,子程序可以出现在程序的任何地方.但一般放在程序的开始或结尾.

代码如下:

sub subroutine{

statements;

}

sub开始,子程序名同变量的命名规则,可与变量同名,最好不要与内部函数同名,如果与内部函数同名则用$subroutine区分,不用&是内部函数,用&是定义函数,但省略&时混淆.

带有原型说明的子程序定义:

代码如下:

sub subroutine($$){  #需要两个简单变量的参数

statements;

}

说明:

1.中的符号表示参数的类型,以一个字符表示一个参数.

2.$ 简单变量  @ 列表 % 散列 & 匿名子程序  * 引用

3.前加为强制类型一致,;分隔必须的参数和可选参数.

4.@$;$表示第一个参数为列表,第二个参数为简单变量,第三个参数简单变量可选.

二、函数返回值

1.缺省子程序中最后执行的一个语句的值将用作返回值,如果在if块中为最后执行的语句,虽然不是子程序的最后一句,也是返回值.

代码如下:

$a=1;

不用等于,直接$retval;

代码如下:

split(/:/,@a) 返回数组.

2.语句return(retval) 退出子程序并返回值retval,retval可以为列表.

3.返回错误

return 返回错误undef

用eval(‘subroutine‘) 函数,错误由$@变量中取得.

三、函数参数传递

形式:

代码如下:

$sub1($num1,$unm2,$num3);    调用

sub sub1{

my($num1,$unm2,$num3)=@_;

}

my $num1=shift;

my $num2=shift;

my $num3=pop;

说明:

1.所有参数在数组@_中,每个元素为$_[0],$_[1]

2.@_,$_[]为局部变量,当子程序内再调用子程序时,@_不改变,会新生成另一份@_.

3.改变@_内元素的值如$_[0]会改变主程序的参数值.

10.解三角形研究性学习报告 篇十

——研究性学习报告

研究班级：高二（12）班 小组组长：张学栋

小组成员：唐亮 钱智年 徐金玉 史子军 刘晶琳

陈敬荣 张金年 赵峒山 李超 丁晓瑞

秦海龙

指导老师：潘金

实施时间：2014年10月15日至2015年1月4日

一、背景说明：

在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事。明月高悬，我们仰望星空，会有无限遐想。不禁会问，遥不可及的月球离地球到底有多远？1671年，两个法国天文学家测出大约距离为385400千米。他们是怎样测出的呢？在数学发展史上，受到天文测量、航海测量和地理测量等方面实践活动的推动。解三角形的理论不断发展，并被用于解决许多测量问题方面。

二、课题目的和意义：

三角形是基本的几何图形，三角形中的数量关系是基本的数量关系，有着极其广泛的应用。我们将在以前学习的有关三角形、三角函数和解直角三角形的知识基础上，通过对于任意三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的变长与角度之间的数量关系，并解决一些实际问题。学而不思则罔，只有通过自己的独立思考才能真正学会数学，同时应当掌握科学的思维方法，特别是学习类比、推广等数学思考方法，提高我们的数学思维能力。

三、研究内容：

在生产、生活、科技和技术中，我们都会看到许多数学的应用，我们小组主要研究高中数学中以解三角形为中心的一系列问题。其中包括正弦定理、余弦定理、以及解三角形在实际生活中的一些应用，有天文测量、航海测量和地理测量。还有解三角形中的一些特殊问题——海伦公式和秦九韶独出的“三斜求积”公式。

四、研究方法：

主要采用数学归纳法、合情推理、建立数学模型、数形结合法、类比、化归、推广等数学思考中常用的逻辑方法。

五、活动步骤及计划安排：（包括成员分工）

1、确定研究课题——解三角形的进一步讨论

2、成员分工：

组长：张学栋，负责与指导教师联系，获取课题信息和研究方法指导，积极协同课题组成员共同研究。

成员：钱智年、徐金玉、唐亮负责收集课题材料。

史子军、刘晶琳、陈敬荣负责对所收集的材料进行分类、整理。

秦海龙、张金年、赵峒山负责对收集的材料的综合整理，完成对研究性学习报告表的填写。

李超、丁晓瑞负责制作幻灯片，撰写论文。对研究性学习成果的统一整理，并进行修正。

3、由指导老师和课题组共同填写《研究性学习开题评价表》、《研究性学习过程性评价表》、《研究性学习结题评价表》。

4、进行研究性学习反思。

5、研究性学习学分认定评价，并填写评价表。

六、研究性学习成果简介：

利用这次的研究性学习，我们分析并发现了在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情

形，我们对此进行了研究讨论。结果如下： [探索研究] 例1．在ABC中，已知a,b,A，讨论三角形解的情况

分析：先由sinBbsinA可进一步求出B；

a则C1800(AB)从而casinC

A1．当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。2．当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；

如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若absinA，则有两解；（2）若absinA，则只有一解；（3）若absinA，则无解。

通过以上的研究，我们不难发现在学习接三角形问题的时候，掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用是非常重要的。

同时，我们也为这次研究性学习制做了相应的学习模型，利用数形结合的方法，帮助我们更好更高效的学习解三角形的相关实际问题。

七、研究性学习反思：

1、存在的问题和不足：在进行研究性学习的过程中，出现许

多问题。比如说：提供研究型学习资料不足，而且现有的学习资料内容不丰富，与研究性学习不相等，可利用的资源太少。比如说网络资源、实践器材。在实践活动中，组员配合不积极，从而降低了本有的效率。

2、针对问题和不足的对策：针对研究过程中的资料不足问题，我们组不采取集中收集资料的方法，而是将小组成员分配，分头搜集研究性学习资料，让有条件的同学在网络上搜索，查阅有关内容，并且由组长负责协调各组员积极配合，高效率、高质量的完成任务。

3、收获和感言：

11.初中生的函数学习与发展 篇十一

一、义务教育阶段，函数課程的设计特点

1. 按照学生认知发展规律设定课程内容：在新课程中，函数的变量、函数概念，表示方法、一次函数、及他们在实际生活中的应用在八年级学习，二次函数及其应用在九年级学习。

对函数内容的学习本身就是难点，分年级设置可以分散学习难点，有助于学生理解和接受，符合中学生心理发展规律。

2. 注重生活中实例的理解：初中生学习函数的概念是困难的，原因是函数的概念和符号过于抽象。新课程中函数课程的设计强化了实例的作用，在整个的函数学习过程中都体现了引入实例的重要性，首先让学生直观地认识生活中的实例，然后再逐步把函数的基础知识抽象出来，这样设计符合学生的心理特点。

3. 注重实例中培养学生数学建模思想。透过现象看到问题中蕴含的数学本质。

二、初中生对函数概念认知易产生错误的原因

1. 函数概念本事复杂，不易理解。函数刻画了两个变量以及这两个变量之间的关系。以集合、对应关系的方式定义函数都不易理解。

2. 函数的表示方法多种多样。在初中数学中，函数概念的呈现方式是多样的。它既可以用解析式表示，也可以用表格表示，更可以用图像来表示。尤其是函数的解析表示，学生存在一定的困难。

3. 初中生处在辩证逻辑思维形成的初期。初中生处于形式运算阶段，对抽象的数学符号及数量关系理解不到位，通过多年的函数教学实践，我们得到以下结论：首先，有些学生变量、常量不易区分的，之前学习的方程是静态概念，函数本身是动态概念，处理好自变量和因变量因果关系才能更好的理解函数关系。

4. 部分教师在函数概念教学中缺少切实有效的策略。

三、函数概念教学质量关系到后续课程和知识发展，函数数学思想的形成对学生为未来发展也极其重要

1. 函数内容本身就具有层次性和联系性。在函数课程的整体安排和设计上要考虑到内容和知识点安排的多少、难易程度。函数概念是初中数学教材中关注的首要问题。初中教材应用变量给函数定义，有些学生机械理解函数概念，不会用概念理解、解释生活中存在的数学现象，会用函数解决实际问题（包括生活中、生产中、数学中的）出发，引入函数概念。基于视觉感知的概念，逐渐理解函数本质，函数的表示方法多种，解析式表示比较抽象，而表格和图像较直观。初中应加强表格和图像的理解。初中生抽象能力还比较弱，对抽象数学概念的认知要借助直观。建议初中函数课程对函数三种表示方法的使用比重重新分配，同等重视。

2. 注意应充分考虑函数与本学科以及其它相关学科知识间的联系。初中学生对函数、不等式、方程之间的理解模糊、易混淆。而且也是物理等学科的基础尤其在八年级学习电学、力学前应解决一次函数和反比例函数，否则会给学生学习带来困难和障碍。

3. 初中生辩证思维能力有一定发展但这还不够，简单的函数及性质应在初中学习，但对有些性质应逐渐渗透。

四、对初中函数教材编写的几点建议

1. 加强对函数的知识结构与内容编排的重视。学生认识函数是循序渐进的，某一内容经过几个循环，逐渐加深发展过程。函数概念应以螺旋上升和直线上升相结合，编排中应注意：第一，课程的安排和一些数学概念，适当铺垫，为后面埋下伏笔，难点分解。其次，加强实例的引入及实际问题中蕴含函数关系的理解，加深学生理解，逐渐渗透函数思想及方法。再次，建立新旧知识间的联系和区别，易于学生形成完整的知识系统。

2. 初中生对不同函数的理解有一定的差异，这就要求我们在教材编写中呈现函数的例子应注重多种表示方法：函数的解析式、列表法、图像法。特别要重视两种直观的表示方法：列表法、图像法。

12.初中生函数学习的困难及教学策略 篇十二

一、初中生学习函数存在的问题

(1) 听, 顾此失彼。课堂上, 部分学生听课抓不住要点, 听不入门, 导致顾此失彼, 精力分散, 久而久之会产生厌学心理, 听课效率下降, 考试成绩不理想。

(2) 思, 循规蹈矩。初中生刚刚开始接触函数, 常常不能很好地理解函数概念, 对函数产生错解或者曲解, 对于函数关系, 不能运用灵活的思维去理解。大部分学生只认识函数解析式, 却不能很好地理解函数的本质。他们只知道根据给出点的坐标进行简单画图, 并且根据课本上所讲的方法对解析式进行求解, 并且求出相应的坐标, 对于函数概念和性质的理解就不那么深刻了。无论课堂上还是课外有多数同学在思考问题时常常固守小学或初中算数中的思维定式, 不善于去分析、转化和进一步深入思考, 以致思考问题不全面、思路狭窄, 不利于后继学习。

(3) 记, 死记硬背。对于公式及概念的识记与理解, 机械记忆的成分较多, 理解记忆的成分较少。尤其是公式的记忆, 只注重结果的记忆而不注重其过程的推导, 更谈不上简单的概括与串联, 从而不能完善地形成自己的知识网络结构。

(4) 练, 多而不精。有许多学生在课堂或课外练习时, 追求做题数量而忽视做题质量, 对于解答题也不在乎其过程与思路而只解其结果, 以致作业或考试书写、格式混乱, 尤其是几何解证, 条理不清, 逻辑不明, 作图失准, 缺乏应有的严谨性、逻辑性和规范性。

(5) 函数概念理解不透彻。

(6) 函数意识比较薄弱。对于初中生而言, 他们还是比较习惯利用题目所给的等量关系来列方程, 然后进行求解, 很少会考虑到用函数, 他们的函数意识还比较薄弱。如果在做题时, 遇到变量间存在函数关系时, 由于函数思想没有深入学生的思维中, 他们很难找到问题中存在的函数关系, 有的同学干脆回避这个问题, 自己欺骗自己, 仍然沿用以前旧思想, 只建立起等量关系。还有的同学认为, 只要我能解出这道题, 无所谓方法, 不用函数知识也行。其实不然, 我们在学习函数时, 就要力争用函数的思想去解决问题。这样, 对于函数知识, 我们才可能得到很好的训练, 才能使我们更好地掌握函数这门工具。

二、初中数学函数教学策略

(1) 注重函数概念的教学。在初中数学函数教学过程中, 作为教师, 我们应该采取一些行之有效的方法, 来增强学生对函数概念的理解。第一, 在教学前期就要注意渗透。比如, 一个含有字母的代数式, 我们就可以把它看成是所含字母的函数, 这是因为这个字母就是自变量, 这个代数式的值是由这个字母唯一确定的, 符合函数的定义。由此可见, 在代数式的教学过程中, 可以有意识地渗透函数概念。第二, 要注重函数概念的形成过程。基于变量之间关系的研究, 产生了函数, 函数是用来描述数学和现实问题的有效工具。第三, 重视函数概念的引入, 老师可以通过举例引入函数的概念, 对每个例子进行分析, 展示其共同点。除此之外, 我们还可以采取其他一些有效策略来帮助学生理解函数概念。

(2) 增强学生主体意识。在数学学科中, 有很多的数学定义并不是一朝一夕就能理解透彻, 就能够学会的, 都是需要一个慢慢认识, 细细消化的过程, 在理解这些定义和概念的基础上掌握它们, 在积累数学知识的过程中不断提高自己认识。所以, 在函数学习过程中, 一定要注重积累。作为教师, 我们应该结合初中数学实践和数学的生活情景, 培养学生热爱函数, 积极主动地参与到函数运用的实际问题中, 充分发挥学生的主体意识, 尽可能地给学生展示自我的机会, 使学生不断地去尝试, 亲身体验函数带来的快乐。教师要设法创设数学教学情境, 增强学生的主体意识, 使学生主动参与, 合作交流, 让学生在轻松的学习氛围中得到进步, 在不知不觉中爱上函数。

(3) 创设问题情境。我们在函数学习时, 难免会遇到这样那样的问题。由于学生对很多生活和社会问题不懂, 所以需要在具体的实际应用中来解决函数问题。这就要求我们的数学老师要善于创设问题情境, 让学生在问题情境寻求困难的突破口, 使学生的思维活跃起来, 学生在分析问题的过程中再一次对知识进行加深巩固。设置问题环节, 可以给学生思考的空间, 转换思维, 由具体的问题转换到函数概念以及函数关系的理解, 这是一个形象到抽象的过渡。例如, 教师在对函数概念和性质进行综合时, 可以创设问题情境来启发学生, 引导学生积极思考, 努力克服困难, 使学生树立自信心, 在探索和挑战函数问题的过程中体验成功的愉悦。

总而言之, 初中生在学习函数时, 或多或少存在着一些困难。但是, 作为中学数学教师, 我们要相信, 只要我们努力积极寻求策略, 不断探索, 不断总结经验, 在总结的基础上不断创新进取, 一定可以帮助学生学好函数, 一定会开启初中数学函数的新篇章。