解三角形应用举例教案

解三角形应用举例教案（共11篇）

1.解三角形应用举例教案 篇一

解三角形应用举例

教材：普通高中课程标准实验教科书·人教B版·必修5·1.2

一、教学目标 1 知识与技能目标

初步运用正弦定理、余弦定理解决某些与测量和几何计算有关的实际问题． 2 过程与方法目标

（1）．通过解决“测量一个底部不能到达的建筑物的高度”或“测量平面上两个不能到达的地方之间的距离”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形问题的方法；

（2）．进一步提高应用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解

决实际问题的能力． 情感、态度与价值观目标

（1）．通过学生亲自实施对“测量” 问题的解决，体会如何将具体的实际问题转化为抽象的数学问题，体验问题解决的全过程；

（2）．发展学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力，以及交流与合作的能力，着重学生多元智能的发展。

二、教学重点、难点 重点是如何将实际问题转化为数学问题，并利用解斜三角形的方法予以解决． 分析、探究并确定将实际问题转化为数学问题的思路是难点和关键．

三、教学方法与手段 教学方法：运用认知建构教学理论和多元智能发展观，在教学中采用自主探究与尝试指导相结合，引导学生通过分析实践、自主探究、合作讨论得出转化（解决）问题的方法． 学习方法：在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华知识。教学手段：实际模拟、合作学习、多媒体（投影仪）

四、教学过程

【教学环节一：复习回顾】 教学内容： 完成下列两个小题：

① 在△ABC中，已知A=30, B=30, c =

0

0，则a =_______，c =_______。

② 如图，为了测量某障碍物两侧A、B两点间的距离，给定下列四组数据，测量时最好选用数据（），最好不要选用数据（）

(A)

(B)

(C)

(D)

师生互动：学生独立完成上面两个小题，并作出回答，回答时阐明作答依据。

设计意图：（1）复习：①正、余弦定理；②解斜三角形的方法。

（2）为本节课重点知识的学习做一些知识准备。

【教学环节二：问题一的提出与解决】

教学内容：怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？

<问题一> 我校科技楼顶矗立着一座天文观测台，如何通过测量，求得天文台顶距地面的高度？

师生互动：分析、探究、讨论、归纳。

① 教师带领学生一起分析题目背景――天文台顶到地面的距离指天文台顶（记为点A）到它在地面上的正射影（记为点B）这两点间的距离，而在这里显然B点无法到达，故不能

直接测量。

② 发动学生分组讨论解决方案：既然不能直接测量A、B两点的距离，我们是否可以考虑利用可测量的其它数据得出所需数据？

③ 讨论过程1：可在适当的地方（能看到顶点A的可到达的一点）选取一点C，对AB进行测量，如图1－A，设CC1表示测量仪器的高，在△AB1C1中只能测得∠AC1B1（即在C1点测的点A的仰角，记为）。要求得AB，须再选取另一点D。设测得CD = a，∠B1C1D1＝，∠C1D1B1＝,则在本题中可抽象出两个空间关系的三角形，其中△AB1C1是直角三角形。在△B1C1D1中，由、a根据正弦定理可求得B1C1，在Rt△AB1C1中，由

问题得解。即：

和B1C1可求得AB1，在△B1C1D1中，即，所以

在△AB1C1中，AB1＝B1C1·tan，于是，天文台顶距地面的高度为AB=AB1＋CC1.④ 实施方案：学生用自制的仪器对天文台实施测量（可在课下进行），得数据如下：

测点距地面1.5m。

在满足精确度为0.1m的前提下，请同学们计算所求距离。

过程：易解得

所以

因此天文台顶距地面的高度约为

⑤ 反思完善：

米。

提问：下面请同学们回顾刚刚我们的实际操作过程，有无问题存在？

学生经过讨论，（一般会）发现有两个问题，一是在测量过程中的B点或B1点不可到达，实际操作时是大体估计的位置，准确度差；二是学生会觉得还有更简方法。

<发动学生讨论改善方法> 学生分组讨论，然后发表讨论结果。

<讨论过程2> 如图1－B，由于B点或B1点不可到达，所以不考虑图1－A中的∠B1C1D1和∠C1D1B1，而点A是可见的，于是我们可以准确测量出∠AC1D1＝，∠AD1C1＝, CD = a，这样，在△AC1D1中，由、a根据正弦定理可求得AC1，在Rt△AB1C1中，由AC1可求得AB1，问题得解。即：

和在△AC1D1中，即，所以

在△AB1C1中，AB1＝AC1·sin

，于是，天文台顶距地面的高度为AB=AB1＋CC1

评：这个方法应该是完全可行的，只是计算还有些麻烦。具体的测量和计算由学生课

下完成，写成实践报告。

<讨论过程3> 我们可以做如下测量，在可到达的地方取C、D, 使这两点与点A在地面上的垂线在同一平面内（这样可以保证B、C、D三点共线），如图2，设CC1表示测量仪器的高，在C1点和D1点分别测得A点仰角为，C1D1＝a，于是，在△AC1D1中，我们可以利用正弦定理求

求出AB1，最后求出AB=AB1＋B1B.得AC1，再在Rt△AB1C1中，利用

评：此法比较容易操作，但C、D两点的选取多少需要些技巧。

⑥归纳总结：学生对照问题及三种解决方案总结解决该问题的方法及注意事项，并建议学生阅读教材问题一及处理方法，加深对上述方法的认识。

设计意图：从获取数据开始，使学生亲身经历并体验如何将实际问题转化为数学问题，从而得到解决。在讨论过程中，引导学生利用所学知识分三步层层发掘，探寻解决问题的最佳方案，感受数学的应用价值、人文价值、美学价值。在这一环节的教学中，采用认知建构教学理论和合作学习，在学生获取解决问题的方法的同时，注意了学生多元智能的发展。

【教学环节三：问题二的提出与解决】

教学内容：怎样测量平面上两个不能到达的地方之间的距离？ <问题二> 设A、B是两个海岛，如何在岸边测量它们之间的距离？

师生互动：

①合作探究：学生分组讨论，探寻解决问题的方案。以下是讨论内容与过程：与问题一类似，如果只选一个观测点C，在△ABC中只能测得∠ACB的大小，问题不能得到解决。因此需要再选择一个测点D，构造出一个能测出其一条边长的△BCD。要求出AB，还应先求

出AC和BC，为此应先解△ACD和△BCD。

②演练方案：按照上面讨论的方案，各组同学进行模拟演练：如图3，在岸边适当选取点C、D，使A、B、C、D共面（即保持在同一水平面上），测得

在△BCD中，由正弦定理，可以得到:，同理，在△ACD中也可以得到在△ABC中，由余弦定理，得

.，从而求得AB。

设计意图：深化将实际问题转化为数学问题的过程与方法，加强学生的合作意识，培养学生探寻解决问题的方法的思路与策略，提高学生应用所学知识解决问题的能力。【教学环节四：课堂练习】

练习内容：教材第16页，练习A，1

师生互动： ① 学生独立完成练习

② 教师展示答案：先利用投影仪把有代表性的几个学生的解答过程展示在大屏幕上，由学生自由讲评，教师总结。

设计意图：

通过反馈矫正，初步了解学生对本节教学内容的掌握情况，并及时给予调整。

【教学环节五：教学评价】

1、让学生先进行分组总结，思考三个问题：

① 本节课我们研究了什么？提出了什么问题？问题解决了吗？

② 本节课你学到了哪些方法？掌握了哪些技能？

③ 你认为自己对本节课内容掌握的好不好？课后打算怎样进一步巩固？

2、学生代表发表讨论的课堂总结，互相补充。

3、教师进行总结，要点如下：

① 两个问题：怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？

怎样测量平面上两个不能到达的地方之间的距离？

② 运用数学知识解决实际问题的基本思路：首先要在理解题意的基础上将实际问题数学化，然后再利用有关定理、性质、公式解决之。步骤如下：

③ 提高实践能力（如测量的精确度）。

【课后作业】

1、教材P16，练习A，2； 教材P16，练习B，1、2

2、各小组利用自制的仪器，在我们周围选一较高建筑物用本节学习的方法测量其高度。

写出测量报告。附：教学设计说明

一、教学内容的特点及处理

根据教学内容的特点，这一课时的教学重点是解决两个与测量有关的问题。在教学设计时，对教学的每一个环节都强调了学生的主体地位。对每一个问题的解决，从问题的分析、方案的讨论、数据的获取、信息的分析、结论的得出、方法的总结，无一不是由学生亲自参与，合作完成的，而教师很好的充当了指导者和合作伙伴的角色，形成了一个自由的、开放的生态化课堂。

二、教学目标的确定

根据本节课教学内容的实践性强的特点，在确定教学目标时注重了三方面的要求：一是初步运用正弦定理、余弦定理解决某些与测量和几何计算有关的实际问题这一知识与技能的要求；二是强调了学生从实践过程中发现积累知识这一认知建构主义教学模式；三是明确提出了学生要从经历问题解决的全过程中学习这一体验性目标。

三、教学方法的选择

根据上述分析，本节课就特别适用建构主义教学模式下的分析实践、自主探究、合作学习这一十分有利于学生多元智能发展的教学方法。

四、教学过程的说明

高中新课程标准强调教师要在教学中帮助学生形成积极主动的学习态度，要将学习过程变为学生学会学习、学会合作、学会生存、学会做人的过程。

在进行教学设计时，我把教材中的问题一做了小小的改变：测量故宫的角楼改为测量本校天文台顶到地面的距离。这样，学生可以直接参与方案的探寻、数据的获取与分析、结论的得出全过程，可以“从实践中直接获取知识”，在获得真实的过程体验同时，掌握了解决测量问题的方法。而且，这样的实践，学生非常乐于参加，自然有了积极主动的学习态度。通过对问题一解决方案的不断优化，使每一个参与者都深深地感受到了数学应用的灵活性、开放性和数学的简单化原则。当解决了方案一的瓶颈后，当得到了简单的方案三后，我们从精神上得到了彻底的满足，数学的应用价值和美学价值在这一刻获得了清晰地体现。

2.解三角形应用举例教案 篇二

一、在力学中的应用

例1有一个直角支架AOB,AO水平放置,表面粗糙,OB竖直向上,表面光滑.AO上套有小环P,OB上套有小环Q,两环质量均为m,两环间由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连,并在某一位置平衡,如图1所示.现将P环向左移一小段距离,两环再次到达平衡,那么将移走后的平衡状态和原来的平衡状态比较,AO杆对P环的支持力N和细绳上的拉力T变化情况是()

(A) N不变,T变大

(B) N不变,T变小

(C) N变大,T变小

(D)N变大,T变大

解析:可以先将P、Q看作一个整体,可以知道AO杆对P环的支持力N=2mg,为恒力.

隔离Q受力分析如图2,顺次连接各力,构成封闭的力的三角形.该三角形与ΔPOQ相似.

所以,将P环

向左移一小段距离,PQ长度不变,OQ变大,T变小.

故答案为(B).

点评:解答力平衡问题的方法很多,利用相似三角形法求解有时会得到很好的效果.

二、在运动学中的应用

例2已知O、A、B、C为同一直线上的四点,AB间的距离为l1,BC间的距离为l2,一物体自O点由静止出发,沿此直线做匀加速运动,依次经过A、B、C三点,已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等.求0与A的距离.

解析:作出物体由0运动到C的v—t图像,如图3,设t0、t0+t、t0+2t时,物体的速度依次为vA、vB、vC、OA段的距离为l,由v一t图像“面积”的含义及△OPQ～△ONE得:

AB、BC段所用时间都为t,BC段比AB段多走的位移就是阴影部分的面积:

l2-l1=(vB-vA)t.

梯形PMHQ的面积是AC段的位移,即

l1+l2=vB×2t.

联立以上三式得:

点评:本题使用了v—t图像来解,注意到图像中面积的含义及三角形相似的特点,比公式法形象、直观,达到了简解、巧解的目的.

三、在电学中的应用

例3如图4,两个带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB,质量mA=mB,都用长为L的绝缘细线悬挂于0点,静止时,小球A紧靠于墙壁,OA=OB=L,A、B相距为d.要使小球A、B平衡时间距减为d/2,以下可行的办法是()

(A)把两个带电小球A、B的质量都增加到原来的2倍

(B)把小球B的质量增加到原来的2倍

(C)把两个带电小球A、B的电荷量都减小到原来的1/2,同时小球B的质量增加到原来的2倍

(D)把两个带电小球A、B的电荷量都增加到原来的2倍,同时小球B的质量减小到原来的1/2

解析:对小球B受力分析,如图5,由B受到的三力与△OAB相似得:

又由库仑定律,

所以

即(C)正确.

点评:本题是电场中的常考题型,用相似三角形解,比正交分解法来解要简洁、明了,避免了较复杂的运算.

四、在热学中的应用

例4如图6,理想气体处于A态时温度为T1,沿直线AB变化到温度为T2的B态,然后沿直线BC变化到C态,再沿直线CA回到A态,试求C态的温度T3?

解析:设A态的状态参量为PA、vA,B态的状态参量为PB、vB,C态的状态参量为PC、vC,由P—v图像,vA=vB,PB=PC.

A→B,由查理定律得:.①

B→C,由盖吕萨克定律得:,②

B→C,由理想气体状态方程得:

把直线AB反向延长与v轴交于D点,如图6,由△ABC～△OAD得:

即:⑤

由①②③⑤可得:.

点评:题目解到③时,三个方程式只有两个独立,是无法求出T3的,而巧妙应用了相似三角形后,起到了柳暗花明的效果.

五、在光学中的应用

例5如图7所示,一点光源S,它距离竖直墙的水平距离为L,现从S处以水平速度v0抛出一小球P,P在墙上形成的影子为B,在球做平抛运动中,其影子的速度v是多少?

解析:要求影子的速度,首先要知道影子做什么运动,即知道影子的运动规律,进而运用运动学公式求出速度v.

设小球做平抛运动的水平位移是x,竖直位移为y,影子在竖直墙上的位移为y',如图7所示,设P是运动中的任一点,延长SP与墙壁交于点M,由△SPA～△SMB知:

,即.

设小球到P点用时间为t,由运动学公式有:

由以上三式可知:

而在本题中L和v0都是一定的,y'与t成正比.因此可知影子在竖直墙上做匀速运动,其速度是一恒量.

即.

3.三角函数线学习要点及应用举例 篇三

运用三角函数线来解决数学问题，必须正确找出各个三角函数线，并能正确用符号表示这些三角函数线的数量.第一，规范特殊点的书写符号，如点（1，0）是单位圆与x轴正向的交点，就用A来表示；终边与单位圆的交点固定用P来表示，过P作x轴的垂线的交点记为M，则MP就是正弦线，OM就是余弦线.第二，由于三角函数线是有向线段，因而在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒.凡含原点的有向线段，均以原点为起点；不含原点的有向线段，均以坐标轴上的点为起点.符号表示的规范化和程式化，便于解题过程中正确使用.

一、 三角函数线在三角函数学习中的应用

1. 解释三角函数定义

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），则OM=x，MP=y与sin α=y，cosα=x相对照.用单位圆上三角函数线来解释三角函数，可以使正弦函数、余弦函数从自变量（角的弧度数）到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更清楚、简单，突出了三角函数的本质，也使三角函数反映的数形关系更直接明了，为后面讨论其它问题奠定基础.

2. 方便记忆三角函数在各个象限内的符号

由三角函数线的作法和三角函数的定义可知，某一个三角函数在同一个象限内的符号是一样的.如正弦的符号取决于P点的纵坐标y的符号，余弦的符号取决于横坐标x的符号，若P点在第二象限，x＜0，y＞0.事实上，当P点在第二象限时，正弦线MP的方向是向上的，数量为正，余弦线OM的方向是向左，数量为负，因此第二象限的正弦为正，余弦为负；同样可得正切是负的.其余各象限内的三角函数的符号也可一一确定.

3. 明晰三角函数的定义域

对任意角α，正弦线和余弦线总是存在，只是其数量和方向会发生变化，因此它们的定义域是R.但当P点落在y轴上时，终边OP所在的直线就是y轴，与单位圆过A（1，0）的切线AT没有交点，从而正切线（有向线段）就不存在，因此当终边落在y轴上时，正切没有意义，也即y=tanx的定义域为{x|x≠kπ+π2，k∈Z}.

4. 加深对三角函数性质的理解

当点P从A（1，0）开始，按照逆时针方向旋转时，终边OP对应的角按照0→π2→π→3π2 → 2π→ …→4π→…的规律周而复始地变化着，正弦线MP的数量按照 0→ 1→ 0→-1→ 0 → …的规律周而复始地变化着，余弦线OM按照1→0→-1→0→1→…的规律周而复始地变化着，正切线AT按照 0→+∞→0→-∞→0→ …的规律周而复始变化着.当点P沿着单位圆按逆时针方向运动时，它的各个三角函数线的数量则显现出周期性的变化.特别的，正切线是由终边所在的射线或是它的反向延长线与单位圆的切线AT的相交得到的有向线段，它在P点沿着圆周运动一周时，正切线AT的数量重复变化了两次，从而正切函数的周期是正弦和余弦的周期的一半.

同样，当角α从-π2→-π4→0→π4→π2变化时，其正弦线的数量从-1→-22→0→22→ 1逐渐增大（长度变化：长→短→长，方向变化：负→正），即随着角α值的增大，正弦值相应增大，从而正弦函数在-π2，π2上是单调递增的.正弦函数在其他区间上的单调性、其他函数的单调性也都可以从它们相应的三角函数线的变化过程中得到验证.

5. 辨别同角三角函数的基本关系

由单位圆中构造出以任意角α的正弦线MP、余弦线OP为直角边的Rt△OMP和以OA、正切线AT为直角边的Rt△OAT.

在Rt△OMP中，MP2+OM2=1，得出同角三角函数的基本关系之一：sin2α+cos2α=1；

由Rt△OMP∽Rt△OAT，MPOM=ATOA，得出同角三角函数的基本关系之二：sinαcosα=tanαα≠kπ+π2，k∈Z.

6. 推导三角函数的诱导公式

由于单位圆具有很好的对称性，因此可以通过对单位圆上对称点对应的角的三角函数线来推导诱导公式.下面我们以诱导公式（二）：f（π+α）=±f（α）为例来进行探究.

图1

如图1，设角α的终边OP与单位圆的交点为P，则P点关于原点O的对称点P′也在单位圆上，且终边OP′对应的角是π+α.观察角α和π+α的各三角函数线，正弦线分别是MP和MP′，余弦线分别是OM和OM′，正切线都是AT，且MP =-MP′，OM =-OM′，AT=AT，即有：sin（π+α）=-sinα，cos（π+α）=-cosα，tan（π+α）= tanα.

除了上面的一些应用外，三角函数线还有很多用处.比如，用三角函数线作三角函数的图象，并由此讨论三角函数和各项性质;用三角函数线推导三角公式等等，本文不再一一例举.

二、 三角函数线在解决数学问题中的应用

1. 求三角函数的值

例1已知cosα=-35，求sinα，tanα的值.

图2

解由cosα=-35，即余弦线OM=-35，如图2，作直线x=-35，与单位圆有两个交点P-35，45和P′-35，-45，可得到α是第二或第三象限的角，则由几何关系得正弦线MP=45，MP′=-45，AT=-43，AT′=43.即当α在第二象限时，sinα=45，tanα=-43;当α在第三象限时，sinα=-45，tanα=43.

2. 比较三角函数值的大小

例2设0＜α＜π2，试比较sinα与cosα的大小关系.

图3

解如图3，在单位圆中，sinα=MP，cosα=OM.

因为0＜α＜π2 ，所以sinα＞0，cosα＞0，即MP＞0，OM＞0，所以sinα=|MP|，cosα=|OM|.

当0＜α＜π4时，π4＜∠OPM＜π2，所以∠OPM＞α，所以|OM|＞|MP|，所以cosα＞sinα；

当π4＜α＜π2时，0＜∠OPM＜π4，所以α＞∠OPM，所以|MP|＞ |OM|，所以sinα＞cosα；

当α=π4时，α=∠OPM，所以|OM|＞|MP|，所以sinα=cosα.

综上，当α∈0，π4时，cosα＞sinα；α∈π4，π2时，sinα＞cosα；当α=π4时，sinα=cosα.

3. 求三角函数的定义域

例3求函数y=sinx+cosx-12的定义域.

图4

解由sinx≥0，cosx-12≥0，得sinx≥0，cosx≥12，

如图4，图中阴影部分（1）（x轴上方的半圆部分）和阴影部分（2）（扇形OPP′）的公共部分对应的角即为不等式组的解.

所以函数的定义域为x |2kπ≤x≤2kπ+π3，k∈Z.

4. 证明等式和不等式

例4证明：cosx1-sinx=1+sinxcosx.

图5

证明将正弦和余弦值分别用正弦线和余弦线的数值代入，由图5知，本题即证OM1-MP=1+MPOM.作PR⊥y轴于R，即证RPRB=B′RRP.

而此式是Rt△PBB′中的射影定理，故所证命题成立.

例5已知α∈0，π2，求证：sinα＜α＜ tanα.

图6

证如图6，因为0＜α＜π2，所以 sinα=MP＞0，cosα= OM＞0，tanα=AT＞0.

因为S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，所以12OA·MP＜12·α·|OA|2＜12OA·AT，

即MP＜α＜AT，所以sinα＜α＜ tan α.

5. 解决三角综合问题

例6求证：cos （α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ.

图7

证明如图7，∠AOB =α，∠BOP =β，作PQ⊥OB于Q，PM⊥OA于M，QN⊥OA于N，QG⊥MP于G，则GQ∥OA，所以∠AOB=∠OQG =α.

又因为PQ⊥OB，所以∠QPM= α，由三角函数线定义，有

cos （α+β） =OM=ON-MN=ON-GQ=OQcosα-QPsinα=cosαcosβ-sinαsinβ.

三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种几何表示方法，它是数形结合思想在三角函数中的充分体现，熟练掌握三角函数线的概念及应用，对于开阔思路、提高解决问题的能力，很有益处.

巩 固 练 习

1. （1） 函数y=sinx|sinx|+|cosx|cosx+tanx|tanx|的值域为.

（2） sin1，cos1，tan1的大小关系是.

（3） 满足|cosα| ＞|sinα|的α的取值范围.

（4） 设MP和OM分别是角11π18的正弦线和余弦线，则给出以下不等式：① OM＜0＜MP；② MP＞OM＞ 0；③ OM+MP＞0；④ MP+OM ＞1.

其中正确的是.

2. 求函数y=lg（2sinx-1）+1-2cosx的定义域.

3. 证明：若α为锐角，则sinα+cosα＞1.

4. 证明：1+tan2α=1cos2α.

5. 若sin2x＞cos2x，求x的范围.

4.解三角形应用举例教案 篇四

本节课学生在富有故事性和现实性的数学情景问题中学会运用两个三角形相似解决实际问题，在解决实际问题中经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力．在教学中突出了“审题→画示意图→明确数量关系→解决问题”的数学建模过程，培养了学生把生活中的实际问题转化为数学问题的能力，利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）．测量某些不能直接度量的物体的高度，是综合运用相似知识的良好机会，通过本节知识的学习，可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，发展学生的应用意识，加深学生对于相似三角形的理解和认识．一节课上下来基本达到了预期目标，大部分学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题．

教学过程中充分发挥学生主体作用，始终以问题的形式引导学生主动参与，在师生互动中，做到了分解难点和突出重点，从而使学生在获得知识与技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程．从课堂练习、回答问题、小组讨论可以看出本节课的教学目标达成度非常高．（真正意义上发现生活数学，喜欢数学．）

5.28.2.1解直角三角形教案 篇五

西湖中学 黄 勇

一、内容和内容解析

1、内容：解直角三角形的意义，直角三角形的解法。

2、内容解析：本节是学习锐角三角函数之后，结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形的问题。本课内容既能加深对锐角三角函数的理解，又能为后续解决与其相关的实际问题打下基础，在本章起到承上启下的作用。

二、目标和目标解析

1．了解解直角三角形的意义和条件．

2．能根据直角三角形中的角角关系、边边关系、边角关系解直角三角形，能运用解直角三角形的知识解决有关的实际问题．

目标解析：达成目标1的标志是，知道解直角三角形的内涵，能根据直角三角形中已知元素，明确所有要求的未知元素。达成目标2的标志是根据元素的关系，选择适当关系式，求出未知元素。

三、学情分析

在直角三角形的边角关系中，三边之间的关系、两锐角之间的关系比较直接，而两边的比与一个锐角的关系，学生通过学习锐角三角函数，有了一定的基础，但在具体的直角三角形中，根据已知条件选择恰当的锐角三角函数，还是有些困难，且解直角三角形往往需要综合运用勾股定理及三角函数的知识，具有一定的综合性。

CB

四、教学过程

1、实例引入，初步体验

本章引言提出的比萨斜塔倾斜程度的问题。设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A，过点B向垂直中心线引 垂线，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A的度数。

sinA=BC5.2≈0.0954 AB54.5A一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个角，由已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．

解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如下图：

角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B＝90°；

222边边关系：勾股定理，即abc；

边角关系：锐角三角函数，即：

a,cosAcbsinB,cosBcsinAb,tanAca,tanBca,cotAbb,cotBabaab

解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；

(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．

用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：

把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．

借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．

例1 在△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形． AC2,BC6解这个直角三角形。

思路与技巧

求解直角三角形的方法多种多样，可以先求AB，也可以先求∠A，依据都是直角三角形中的各元素间的关系，但求解时为了使计算简便、准确，一般尽量选择正、余弦，尽量使用乘法，尽量选用含有已知量的关系式，尽量避免使用中间数据． 解答

tanABC63AC2

A60o

B90oA90o60o30o AB2AC22A

C B 例2 如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，BC23，CD22,求AC，AB，∠A，∠B(精确到1′)．

思路与技巧 在Rt△ABC中，仅已知一条直角边BC的长，不能直接求解．注意到BC和CD在同一个Rt△BCD中，因此可先解这个直角三角形．

解答 在Rt△BCD中

BDBC2CD21282

sinBcosBCD226BC323BD23BC323

用计算器求得 ∠B＝54°44′ 于是∠A＝90°-∠B＝35°16′ 在Rt△ABC中，ABBC3236cosB36263 ACABsinB6

五、课堂小结

1、直角三角形中，除直角外，五个元素之间的关系。

2、什么是解直角三角形。

六、课堂练习

在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形。

6.解三角形应用举例教案 篇六

（一）沅陵七中 黄有圣

2016.12.3 ●教学目标

知识与技能：1.梳理解三角形的知识点，及时查找知识点的漏洞，建立知识之间的联系，形成知识体系。

2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题。

过程与方法：采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确解三角形，帮助学生逐步构建知识框架，并通过练习、训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯，让学生在具体的实践中结合图形灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，有利地进一步突破难点。

情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验

●教学重点

1.正弦定理，余弦定理的掌握。

2.应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化问题（内角和的灵活运用）。

●教学难点

让学生转变观念，由记忆到理解，由解题公式的使用到结合图形去解题和校验。●教学过程（课件上课）【复习导入】 1． 正弦定理: abc2R（2R可留待学生练习中补充）sinAsinBsinC111absinCbcsinAacsinB.222 S余弦定理 ：a2b2c22bccosA b2a2c22accosB

c2a2b22abcosC

222222a2b2c2bcaacb求角公式：cosA cosB cosC

2ab2bc2ac 2．思考：各公式所能求解的三角形题型？

正弦定理: 已知两角和一边、两边和其中一边的对角，求其他边角

余弦定理 ：已知两边和夹角、已知三边、两边和其中一边的对角，求其它边角

注意：由公式出发记忆较为凌乱，解题往往由条件出发。【合作探究】 5 注：求三角形的边角时，应注意挖掘隐含的条件上。如第3题的角A只能是锐角这个隐含条件。【战高考】

【一题多变】

【归纳小结】

1． 应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化问题，要注意公式及题目的隐含条件。2． 解三角形问题要注意结合图形，特别是三角形的相关性质(内角和、边角关系)3.正确选择正弦定理和余弦定理是解决问题的关键。

【课后练习】（难度取舍不同，各班可按实际情况安排）、在 ＡＢＣ中，AC=3,A45,C75,则BC A.2,B.3,C.2，D.5.ＡＢＣ中，a,b,c分别为A、B、C的对边，如果 a、b、c成等差数列，B=30，ABC的面积 3 2，那么b等于

1３为23,D.23 2 abc4.在ABC中，若,则ABC是conAconBconC

A.直角三角形，B.等边三角形，A.3,C.13,B.12C.钝角三角形，D.等腰直角三角形

9.在ABC中，已知（abc)(abc)3ab，且2cosAsinBsinC,试确定ABC的形状

10.tanC37 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，（）求1cosC

5（2）若CACB，且ab9，求c2

7.解三角形应用举例教案 篇七

1.运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法

(1) “由形化数”:就是借助所给的图形, 仔细观察研究, 提示出图形中蕴含的数量关系, 反映几何图形内在的属性.

例1函数f (x) =sinx+2sinx, x∈[0, 2π]的图像与直线y=k有且仅有2个不同的交点, 则k的取值范围是 () .

分析本题根据函数解析式, 画出图像, 可以直观而简明地得出答案, 大大地节约时间, 提高解题的效率.

由图像可知:1

(2) “由数化形”:就是根据题设条件正确绘制相应的图形, 使图形能充分反映出它们相应的数量关系, 揭示出数与式的本质特征.

本式可以看成A (cos 40°, sin 40°) , B (cos 20°, sin 20°) 两点连线的斜率, 如图, 借助单位圆, 则∠AOB=20°, ∠OAB=80°, ∠MOB=20°, ∠MOA=40°, 设AB倾斜角为α, 则α=∠MOA+∠OAB=120°,

(3) “数形转换”:就是根据“数”与“形”既对立又统一的特征, 观察图形的形状, 分析数与式的结构, 引起联想, 适时将它们相互转换, 化抽象为直观并揭示隐含的数量关系.

例3求方程lgx-sinx=0的解的个数.

分析此方程解的个数为y=lgx的图像与y=sinx的图像的交点个数.

因为sinx≤1, lgx≤1, 所以0

在平面直角坐标系中作出两个函数的图像, 如图, 形中觅数, 可直观地看出两曲线有3个交点.

2.用数形结合求函数的最值

求函数的最值的类型题有很多种, 例如:给出函数, 根据其定义域求最值, 这种题型与求函数的值域是相类似的.另一种求最值的题型则是给出x, y所满足的方程, 再求另一个关于x, y的函数式的最值, 我们常用数形结合来解这类问题, 正确地作出图像, 必要时还要配合一定的计算.

分析对于这种特殊的函数, 应注意观察, 利用其特殊的性质, 把函数看作是定点 (-3, -2) 与单位圆上的点P (cosx, sinx) 连线的斜率.

这可以看作是定点A (-3, -2) 与单位圆上的点P (cosx, sinx) 连线的斜率.因此, y的最值就是当直线AP与单位圆相切时的斜率.

通过以上几个方面的探讨, 我们初步领略了数形结合在解题中的美妙所在了.数形结合思想, 就是用联系的观点, 根据数的结构特征, 构造出与之相适应的图形, 利用图形的性质和规律, 解决“数”的问题;或将图形的部分信息或全部信息转化成“数”的信息, 弱化或消除“形”的推理, 从而将“形”的问题转化成数量关系来解决.

摘要：数形结合思想是重要的数学思想方法之一, “数”和“形”是事物本质的两个表现形式, 也是一对矛盾体, 理解并领悟这点是数学学习的重要方面, 并极有利于解决问题;要注意正确地应用它, 才能达到应有的目的.

8.解直角三角形的应用教学反思 篇八

本节课的复习目标是：掌握直角三角形的边角关系并能灵活运用;会运用解直角三角形的知识，利用已知的边和角，求未知的边和角;能结合仰角、俯角、坡度等知识，综合运用勾股定理与直角三角形的边角关系解决生活中的实际问题。因为是中考一轮复习，所以我先将课前自主复习部分让学生课前独立完成教师批阅，这样在上课前授课老师能做到心中有数，再针对课前自主复习部分的题目有侧重性的讲，真正做到有惑必解，有疑必答。

本节课我共设计了3条例题，一是台风中心的运动问题，涉及到了仰角和俯角问题;第2题是一条20xx年的中考题，我将题目变式为3小题，将坡角、坡度、以及基本图形的渗透都融合在一题中，让学生学会分析、类比，并能独立归纳出此类题的解法，抓住题中的基本图形进行解题;第3题是一条设计方案题，目的让学生选择测量工具运用解直角三角形的知识测量出塔的高度，并适当变式，如果当塔的底部不能直接到达测量时，如何设计方案求出塔高。

课上完后，我认真总结了本节课的得与失，本节课的主要失误的地方有两点，一是例1的处理上，应将点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系结合例1一起来处理，这样学生对于为什么作出AD这条辅助线就很明晰了，效果将会更好，;二是小结时较仓促，应该让学生总结归纳出此类题的一般解法，找出基本图形，这样才有助于让学生知识形成体系，进一步得以提高。

《课程标准》中指出“教学中应当有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会数学之间的联系，感受数学的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力”，对于初三一轮复习，注重对学生对知识间的沟通与联系进行讲解，将这些知识点灵活组合，通过综合性题目所提供的信息，搜寻解决问题的相关知识点，找出解决问题的方法。在平时教学中能讲到中考一模一样的题目的可能性微乎其微、那怎么办，教给学生思考方法和解题的策略往往更有用、这样可以与一反三，会一题可能就会掌握一类题，并在学生理解之后及时复习巩固，努力把新方法新技巧纳入到原有的知识体系中。在解题中应该尽量的让题目一题多解，或者多提一解，尽量在学生思维的的转折点处进行点拨，这样最有效。

9.指数对数函数应用举例教案 篇九

编写

林建国

审核

高一数学教研组

第1页

4.5.3对数函数的应用举例

教学目的：掌握利用指数函数和对数函数的有关知识解决一些简单的函数应用问题。教学重点：利用指数函数和对数函数的有关知识解决一些简单的函数应用问题。

教学难点：通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义；根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，根据实际问题建立数学模型。

教学方法：学导式教学法 教学过程： 1.复习

数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．今天我们就一起来探讨几个有关指数函数和对数函数的应用问题。例1.现有人口100万，根据最近20年的统计资料，这个城市的人口的年自然增长率为1.2%，按这个增长率计算：

(1)10年后这个城市的人口预计有多少万？(2)20年后这个城市的人口预计有多少万？

(3)在今后20年内，前10年与后10年分别增加了多少万人？

分析：按年自然增长率为1.2%，计算1年后该城市的人口总数为100+100×1.2% =100（1+1.2%）（万人）2年后该城市的人口总数为 100（1+1.2%）+100（1+1.2%）1.2%=100（1+1.2%）（万人）

依此…n年后该城市的人口总数为 100（1+1.2%）（万人）

解：（1）10年后该城市的人口总数为 100（1+1.2%）≈112.67（万人）

20（2）20年后该城市的人口总数为 100（1+1.2%）≈126.94（万人）（3）前10年增加的人口为112.67-100=12.67（万人）

后10年增加的人口为126.94-112.67=14.27（万人）答：…

例2.1995年我国人口总数是12亿，如果人口的自然增长率控制在1.25%。问哪一年人口总数将达到14亿？

解：设x年后人口总数将达到14亿，则有12（1+1.25%）=14 即：1.0125=两边取常用对数可得：x=log1.012510

n14 1214 ≈12.4 12 答：13年后即2008年我国人口总数将达到14亿。

例3.库存的某种商品的价值是50万元，如果每年的损耗是4.5%，那么经过多少年，它的价值将为20万元？ 对数函数的应用教案

编写

林建国

审核

高一数学教研组

第2页

解：设经过x年它的价值将为20万元，依题意有：50（1-4.5%）=20 50×0.955=20  0.955=0.4 xlog0.9550.4  x≈20

2.小结：解决数学实际问题的关键是根据实际建立数学模型。

10.解三角形应用举例教案 篇十

云南省曲靖市第一中学 李德安

一、数学归纳法的地位与作用

1．数学归纳法在教材中的地位与作用

数学归纳法是证明与正整数有关命题的一种重要的证明方法，它起源于正整数的归纳公理或最小数原理，而演变成各种形式。《数学归纳法及其应用举例》是人教版高中数学新教材第三册第二章“极限”中第一部分的知识。通过对数学归纳法的学习，可对中学数学中的许多重要结论，如等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、二项式定理以及中小学很多思维上开拓创新的题目可以进行很好地证明，使很多数学结论更加严密，也为后继学习打下了良好的基础。

2．数学归纳法对思维发展的地位与作用

人类对问题的研究，结论的发现认同，思维流程通常是观察→归纳→猜想→证明。猜想的结论对不对，证明是尤为关键的。运用数学归纳法解题时，有助于学生对等式的恒等变形，不等式的放缩，数、式、形的构造与转化等知识加强训练与掌握。对数学归纳法原理的理解，蕴含着递 归与递推，归纳与推理，特殊到一般，有限到无限等数学思想和方法，对思维的发展起到了完善与推动的作用。

二、数学归纳法的本质与教学目标定位

数学归纳法体现了递推的思想，数学归纳法的本质就是利用递推思想去证题的一种方法。一堂精彩的课不仅仅是传授给学生知识，更重要的是对学生能力的培养和情感的熏陶。根据本节课的特点及布鲁纳的教学目标，特设置一条明线：如何验证等差数列通项公式的正确性；一条暗线：如何验证由不完全归纳法得到的与正整数有关命题的真假。将本节课的教学目标定为三重目标：①认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法与技巧；②能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力；③情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。

三、学法、教法特点及预期效果

1．学法指导

高中学生具有一定的逻辑思维和推理演算能力，并且对事物的认识逐步的由感性上升到理性，个体的发展由外显转化为内隐，这些都是我们学好本节的有利因素。但不足的是，学生考虑问题的全面性及课堂气氛的活跃性还不够好。为此，根据教育学家奥苏伯尔关于学科和认知结构组织的假设及其“先行组织者”技术与美国心理学家布鲁纳倡导的发现法教育理论，在学法方面我采用“导—思—点拨—练”的学习过程，让学生自主参与知识的发生、发展、形成过程。在这个过程中对学生进行以下学法指导。

（1）温故知新法

引导学生回顾等差数列通项公式的推导过程，从而引出归纳法的概念，其又分为完全归纳法和不完全归纳法，如何验证等差数列通项公式的正确性呢？进而引出数学归纳法。

（2）体验感悟法

让学生认真观看多米诺骨牌实验，从而感悟数学归纳法原理。（3）质疑法

引导学生主动质疑，解决问题，得到方法。（4）练习法

通过类比，练习用数学归纳法证题，进一步体会数学归纳法原理。2．教学特点 本节课在教法上贯彻如下两个原则：

一是建构主义原则。学生是教学的主体，学生学习数学是一种再创造过程，他们通过吸收与融合原知识的过程来建立理解的层次结构。皮亚杰的认知结构学说：“所有的认知结构，结构再构建，构成复杂的结构，不断发展。”数学知识不能从一个人迁移到另一个人，一个人的数学知识必须基于个人对经验的归纳、交流，通过反思来主动建构，这就是建构主义的数学学习观。为此教学设计是通过等差数列通项公式的证明及多米诺骨牌实验引导学生积极主动的进行建构。

二是寓教于乐原则。实践证明，学生在积极愉快的情形下，学习效率会大幅提高；在宽松的情形下，能够最大限度地激发其聪明才智和创造性。结合本节课特点，将知识性与趣味性相结合，以吸引学生喜欢数学，自觉地学习数学，以调动学生的“心理场”。比如，通过讲员外儿子学写数字，引进了归纳法的概念，同时学生也体会到通过观察、归纳、猜想一些结论，是很好的一个思维流程，但其结果不可靠。通过多米诺骨牌玩法的演示，诠释了递推思想。

3．预期效果

通过学法指导，教法特点实现三重目标。

四、教学诊断与评价

1．教学诊断

证明数学归纳法的第一步是容易实现的，第二步是重点也是难点，在验证nk1命题的正确性时，极易脱离归纳假设，为此应重申递推思想，总结出证题技巧“一凑假设，二凑结论”。

2．教学评价

11.解三角形应用举例教案 篇十一

本节教学的重点是掌握用代入法解三元一次方程组，教学难点是解法的灵活运用.能够熟练的解三元一次方程组是进一步学习一次方程组的应用，以及一次不等式组的解法的基础.

二、教法、学法

1. 解三元一次方程组时，由于方程较多，学生容易出错.因此，应提醒学生注意，在消去一个未知数得出比原方程组少一个未知数的二元一次方程组的过程中，原方程组的每一个方程一般都至少要用到一次.

2. 消元时，先要考虑好消去哪一个未知数.开始练习时，可以先把要消去的未知数写出来，然后再进行消元.

3. 学法：三元一次方程组比二元一次方程组要复杂些，有些题的解法技巧性较强，因此在解题前必须认真观察方程组中各个方程的系数特点，选择好先消去的“元”，这是决定解题过程繁简的关键.一般来说应先消去系数最简单的未知数.

三、教学目标

1.知道什么是三元一次方程.

2.会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组.

3.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的`思路.

4.培养学生分析能力，能根据题目的特点，确定消元方法、消元对象.

四、教学步骤

(一)明确目标

1.知道什么是三元一次方程组.

2.学习如何求三元一次方程组的解.

(二)教学过程

1.复习导入

(1)解二元一次方程组的基本方法有哪几种?

(2)解二元一次方程组的基本思想是什么?

(3)请快速写出方程组 的解： ;

(4)请快速写出方程组 的解： ;

(5) 以上两个方程组都是 方程组，第一个方程组用 法较便捷，第二个方程组用 法较便捷，不管那一种方法，它们的目的都是为了 ，从而把二元一次方程组转化为 方程来解。

教学思路：通过复习二元一次方程组的相关知识为接下来解三元一次方程组的讨论学习做铺垫。

2. 探索新知

请观察下面方程组

(1)这个方程组有什么特点?

(2)这个方程组含有 个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做 方程组。

(3)三元一次方程组如何解呢?对比二元一次方程组的解法，你想到了解决办法了吗?认真阅读课本完成下列填空：

解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行_____，把“三元”化为“____”，使解三元一次方程组转化为解____________，进而转化为解______________.

即三元一次方程组 _______方程组 _________ 方程

(4)尝试解三元一次方程组：

解：把(3)分别代入(1)、(2)得：

(4)

(5)

把方程(4)、(5)组成方程组

解这个方程组，得

把 代入(3)，得

因此，三元一次方程组的解为

教学思路：利用学案步步引导学生直观的认识解三元一次方程组的概念及解题步骤。

3.初步尝试

仿照练习： 解三元一次方程组：

教学思路：通过模仿让学生了解熟悉用代入法解三元一次方程组。

4.小结：这节课同学们有什么收获?

5.当堂测评：

(1)下列方程组不是三元一次方程组的是( )

A. B.

C. D.

(2)将三元一次方程组 ，经过步骤(1)- (3)和(3)×4+(2)消去未知数 后，得到的二元一次方程组是( )

A. B.

C. D.

6.课后作业：课本P114 第1.(1)题