二项式定理及其应用

二项式定理及其应用（共15篇）

1.二项式定理及其应用 篇一

一类生态系统演化模型的极限定理及其应用

生态系统演化模型有着重要的应用.首先定义了一类生态演化模型,然后给出了时间趋向于无穷大时,系统的总人口数的.期望是爆炸(即为无穷大),还是灭绝(即为有限)的充分必要条件.并且作为一个应用,证明了系统的总人口数的期望有限等价于一类随机游动具有一个正速度.

作 者：王华明 WANG Hua-ming  作者单位：北京联合大学,商务学院,北京,100025 刊 名：北京联合大学学报（自然科学版） 英文刊名：JOURNAL OF BEIJING UNION UNIVERSITY(NATURAL SCIENCES) 年，卷(期)： 23(3) 分类号：Q141 关键词：生态模型   数学期望   爆炸   随机游动  

 

2.二项式定理及其应用 篇二

关键词：勾股定理,逆定理,应用

勾股定理,又称毕达哥拉斯定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,在许多数学分支、建筑以及测量等方面,有着广泛的应用,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用.著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.这一著名的定理,是每年中考命题的必选内容,命题形式变化多端.现举几例,供大家赏析.

例1如图,已知AD=4,CD=3,∠ADC=90°,AB=13,BC=12,求四边形ABCD的面积.

点评本题考查了勾股定理及逆定理的运用,求证△ABC是直角三角形是解题的关键.

例2如图所示,圆柱的高等于16 cm,底面半径等于4 cm.在圆柱的下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A相对的C点的食物,需要沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少(π取整数3)?

解将圆柱体展开,连接A,C,△ABC是直角三角形,根据两点之间线段最短,AC为所求最短路程.根据题意可得:

点评本题是一道趣味题,将圆柱体展开,得到一个矩形,运用勾股定理解答即可.

例3如图,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处,已知CE=3 cm,AB=8 cm,则图中阴影部分面积为多少?

解∵CE=3,AB=8,∴EF=DE=5,从而CF=4,设BF=x,则AF=AD=BC=x+4,在直角三角形ABF中,由勾股定理,得82+x2=(x+4)2,解得x=6,故阴影部分的面积

点评在折叠前后,折痕两边能够完全重合的部分是全等图形,它们的对应线段相等、对应角相等.找到直角三角形利用勾股定理建立一元一次方程解决.

例4如右图是“水浒影视城”的圆弧形门,张帆同学到影视城游玩,很想知道这扇门的相关数据.于是她从景点管理人员处打听到:这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=20 cm,BC=200 cm,且AB,CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮助张帆同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少.

答:这个圆弧形门的最高点离地面的高度为520 cm.

点评本题解决的关键是利用垂径定理构造直角三角形,进而运用勾股定理求出圆弧形门所在圆的半径.

例5 如图所示,在一次夏令营活动中,小亮从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500 m到达目的地C点.

(1)求A,C两点之间的距离.

(2)确定目的地C在营地A的什么方向.

解(1)过B点作BE∥AD,如图,∴∠DAB=∠ABE=60°,∵30°+∠CBA+∠ABE=180°∴∠CBA=90°,即△ABC为直角三角形.

由勾股定理可得:AC2=BC2+AB2,

(2)在Rt△ABC中,∵BC=500 m,AC=1000 m.

∴∠CAB=30°,∵∠DAB=60°,∴∠DAC=30°,即点C在点A的北偏东30°的方向.

点评本题是一道利用方位角的实际题目,从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形,利用勾股定理是解决问题的关键.本题还涉及平行线的性质的知识及直角三角形中30°的判定.

勾股定理及其逆定理揭示了直角三角形中的三边之间的数量关系,是从“形”到“数”的飞跃,是几何计算、证明的重要工具.中考中单纯考查勾股定理的题目不多,它是解决含有直角三角形或能构造直角三角形的题目的主要方法,所以同学们一定要牢固掌握并熟练运用.

参考文献

[1]吴敏.位置与数量关系:几何入门教学的用力点——以七年级“相交线”教学设计为例[J].中学数学,2015(18).

[2]赵尔书,陈昌.浅议数量关系在数学问题解决中的地位、作用及教学[J].教育革新,2015(12).

[3]田载今.整式、分式可以表达同一数量关系[J].中学生数理化(八年级数学)(配合人教社教材),2015(12).

[4]朱亚邦.说说余角和补角[J].中学生数理化(七年级数学)(配合人教社教材),2015(11).

3.勾股定理及其逆定理的应用 篇三

一、判断三角形的形状

例1已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断△ABC的形状。

解析要判断△ABC的形状须先求出三边a，b，c的长，再利用勾股定理逆定理进行判断。

∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，

∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0。

∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0，∴a-3=0，b-4=0，c-5=0。即a=3，b=4，c=5。

∴a2=9，b2=16，c2=25，则a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形。

点评在由一个等式求三角形的三边长时，往往把等式化为A2+B2+C2=0的形式，再由A＝0，B＝0，C＝0，求得三角形三边之长，最后利用计算来判断△ABC是不是直角三角形。

二、探索勾股数

例2观察下面的表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c。

⑴试找出它们的共同点，并说明你的结论；

⑵当a=21时，求b,c的值。

解析只要能够发现每组内三个数之间的规律即可，而这需要从不同的角度去观察，运用从特殊到一般的思想来分析。

⑴各组数的共同点是:

①各组数均满足a2+b2=c2;

②最小数(a)是奇数，其余的两个数b,c是连续的正整数；

③最小奇数的平方等于另外两个连续正整数的和。

由以上特点我们可猜想并说明这样一个结论：设x为大于1的奇数，将x拆分为两个连续正整数之和，即x2=y+(y+1),则x,y,y+1就构成一组勾股数。

∵ x2=y+(y+1)(x为大于1的奇数),∴x2+y2= y+(y+1)+y2=y2+2y+1=(y+1)2,

∴ x,y,y+1是一组勾股数。

⑵运用以上结论，当x=21时，212=441=220+221, ∴b=220,c=221。

点评此题的实质是揭示了寻找勾股数的一种方法：先选一个大于1的奇数，然后把这个奇数的平方写成两个连续正整数的和，则由这个奇数和分成的两个连续正整数就构成了一组勾股数，运用此法可以得到许多勾股数。

三、构造直角三角形

例3如图1，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°， ∠ADC=150°， 已知四边形ABCD的周长为32，求四边形ABCD的面积。

解析四边形ABCD是一个不规则的四边形，要求其面积，可设法变成特殊的三角形求解。

连接BD，∵ AB=AD，∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形。

∴∠ADB=60°， BD=AD=AB=8。又∵∠ADC=150°， ∴∠BDC=90°，故△BDC是直角三角形。

因为四边形ABCD的周长为32， AB=AD=8，

∴BC+DC=32-16=16，BC=16-DC。

在Rt△BDC中，BD2+DC2=BC2，即82+DC2=(16-DC)2。解得DC=6。

四、解决存在性探索题

例4是否存在这样的直角三角形，它的两直角边长为整数且周长与面积相等？若存在，求出它的直角边长；若不存在，请说明理由。

解析题中条件较少，先假设存在这样的三角形，根据题中的等量关系及勾股定理列出方程，经讨论分析即可得证。

假设存在符合要求的直角三角形，设边长分别为a，b，c，且c为斜边，a，b为正整数，由题意，得a2+b2=c2①， ∵ a为正整数，∴b-4=1,2,4,8,即b=5,6,8,12。

把b代入④中得a=12,8,6,5,且c=13,10,10,13。

所以符合条件的直角三角形有两个，边长分别为：6，8，10；5，12，13。

五、用于解实际应用题

例5如图2，公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

解析要求AE的长度，在Rt△ADE中应用勾股定理可求，但只知道DA=15km，不能求AE的长度。同时我们发现，在这个图形中有两个直角三角形，可以分别在这两个直角三角形中都利用勾股定理。在Rt△ADE中，根据勾股定理得：ＡD2+AE2=DE2，在Rt△CBE中，根据勾股定理得：CB2+BE2=CE2，而DE=CE，从而得到等式AD2+AE2=CB2+BE2，列方程问题就可以解决了。

设AE=x，则BE=25-x，在Rt△ADE中，根据勾股定理得AD2+AE2=DE2。在Rt△CBE中，根据勾股定理得：CB2+BE2=CE2。

因为现在要在公路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等。由DE=CE，知DE2=CE2，所以AD2+AE2=CB2+BE2。

即152+x2=102+(25-x)2，解得：x=10。

因此E站应建在离A站10km处。

例6如图3，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”。他们仅仅少走了几步路（假设两步为1米），却踩伤了花草。求他们少走了多少步路？

解析本题是一道新颖的实际问题。要算出少走了几步，则需要求出路AB等于多少米。观察图形知AB是Rt△ABC的斜边。因为AC=3m,BC=4m, 根据勾股定理可解决问题。

在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=32+42=25,所以AB=5m。

根据假设可知5m需要走10步，则沿B→A走需要10步。而沿B→C→A走需要14步，可见他们仅仅少走了4步路,却踩伤了花草。

4.垂径定理及其逆定理的评课稿 篇四

本节课夏老师先复习了上节课学习的圆的概念及弧、弦等概念。然后比较三幅图，找出共同点---轴对称图形。这节课的目的性很强，围绕一个知识系统“垂径定理及其逆定理”展开。首先，夏老师让学生画圆折纸，设计的问题都是典型问题，而且巧妙开放，层层递进，有效的调动学生学习兴趣，唤起学生的求知欲，激起了学生的积极思考。整节课抓住相关的基本图形、基本辅助线、基本几何结论的应用，使学生的思维得到训练和提升。

夏教师的课堂调控能力很强，课堂中问题的处理过程，大都是学生先有一定的时间自己思考，提出想法并向大家展示交流，然后共同解决问题，教师绝不包办，很好地体现了以学为主体的课标要求。教师肯花时间让学生大胆说出自己在思考过程中遇到的困难和障碍，呈现学生的思维盲点，然后通过学生之间的合作交流和教师的点拨启发帮助学生理清思路。

在教学方法与教材处理方面, 夏老师能根据现在的教材特点及学情,在新课标理念的指导下,让学生在课堂上多动手、多观察、多交流，最后得出定理，这个方法符合新课程理念观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。

5.二项式定理及其应用 篇五

1.首先引导学生回顾探究线段垂直平分线性质定理的过程，为利用全等三角形对其证明提供思路，然后再师生一起结合图形写出定理的已知和求证，最后让学生完成证明过程。

2.引导学生回顾逆命题和逆定理的有关知识，让学生写出这个定理的逆命题，师生再一起完成证明过程，最后得出这个定理的逆定理。

6.切割线定理及其推论说课稿 篇六

1.1教材的地位与作用

“切割线定理及其推论”是学生在已经掌握“相交弦定理”的基础上，进一步学习与圆有关的线段之间的比例关系。它既以相似三角形为基础，又是对相似三角形的深化。它又是在圆一章中求线段长的有力工具。

1.2教学目的

知识目标：让学生掌握切割线定理及其推论的证明与初步运用它们进行计算和证明。

能力目标：培养学生类比、归纳、方程的数学思想和动手初中能力。

情感目标：唤醒学生的主体意识，使学生获得积极的情感体验。如：探究的好奇心理，主动学习的心理素质等。

1.3教材的重点与难点

7.中心极限定理及其应用举例 篇七

1.1独立同分布下的中心极限定理

林德伯格-莱维中心极限定理:设{Xn}是独立同分布的随机变量序列, 且E (Xi) =μ, D (Xi) =σ2>0, (i=1, 2, …n) , 记, 则对任意实数y, 有

也可记作.

1.2二项分布的正态近似

棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理:设n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中出现的概率为p (0<p<1) , 记μn为n次试验中事件A出现的次数, 且记, 则对任意实数y, 有

也可记作.

棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理是概率论历史上的第一个中心极限定理, 它是专门针对二项分布的, 因此又被称为“二项分布的正态近似”, 与泊松定理给出的 “二项分布的泊松近似”相比, 一般地, 当p较小时, 用泊松分布近似较好, 而当np>5时, 用正态分布近似较好.

2.应用举例

2.1社会保险问题

例1.某地有2500人参加人寿保险, 每人在年初向保险公司交付保险费12元, 若在这一年内死亡, 则由家属从保险公司领取2000元, 设该地人口死亡率为2‰, 求保险公司获利不少于10000元的概率?

解:设X表示“投保中死亡的人数”, 则X-B (2500, 0.002) , , 由中心极限定理, 公司获利不少于10000, 必须满足:2500×12-2000X>10000, 即X<10

即保险公司盈利不少于10000元的概率大约是0.9874, 这个概率还是挺大的.

2.2商品订购问题

例2.某商店负责供应某地1000人的商品, 此种商品在一段时间内每人需用一件的概率为0.7, 问商店至少要进多少件商品才能以99%的把握不脱销?

解:设Xi表示第i个人购买与否, 则

设商店备货a件, X=X1+X2+…+Xn (n=1000) , 则X~B (1000, 0.7) , E (X) =np=700, , 由中心极限定理,

查正态分布表得, 故a取731.

2.3医药测试问题

例3.某药厂断言, 该厂生产的某种药品对于医治某种疾病的治愈率为0.9, 医院化验员随机抽查100个服用此药品的病人, 如果多于85人治愈, 就接受这一断言, 否则就拒绝接受.如果检查结果是这种疾病的治愈率为0.9, 则接受这一断言的概率是多少?

解:设X表示其中治愈病人的人数, 则X~B (100, 0.9) , E (x) =np=90, , 由中心极限定理,

故接受这一断言的概率为0.952.

中心极限定理在实际中应用广泛, 以上仅说明了其在三个方面的应用. 中心极限定理就是用来描述随机变量和的概率分布的极限定理, 阐述了一些原来并不服从正态分布的独立随机变量, 它们的和的分布近似服从正态分布.正是这个定理使得正态分布在概率统计中占有重要地位.

参考文献

[1]李子强.概率论与数理统计教程.科学出版社, 2012:137-138.

8.三角函数·正、余弦定理及其应用 篇八

1. 在[△ABC]中，三个内角[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]，若[a=2，b=22，C=π12]，则内角[A]的值为（ ）

A. [π3]或[2π3] B. [π6]或[5π6]

C. [π3] D. [π6]

2. 在[△ABC]中，角[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]，若[a2=b2+bc+c2]，则角[A]等于（ ）

A. [2π3] B. [π3]

C. [3π4] D. [π6]

3. 三角形两条边长分别为2和3，其夹角的余弦值是方程[2x2-3x+1=0]的根，则此三角形周长为（ ）

A. [7] B. [7]

C. [5+7] D. [5+23]

4. 若[△ABC]的三个内角成等差数列，三边成等比数列，则[△ABC]是（ ）

A. 直角三角形

B. 等腰直角三角形

C. 等边三角形

D. 钝角三角形

5. 已知[△ABC]中，[a=4]，[b=43]，[∠A=30°]，则[∠B]等于（ ）

A. 30° B. 30°或150°

C. 60° D. 60°或120°

6. 已知[△ABC]的面积为[32，][AC=3，][∠ABC=π3]，则[△ABC]的周长等于（ ）

A. [3+3] B. [33]

C. [2+3] D. [332]

7. 下列判断中正确的是（ ）

A. [ΔABC]中，[a=7]，[b=14]，[A=30°]，有两解

B. [ΔABC]中，[a=30，b=25，A=150°]，有一解

C. [ΔABC]中，[a=6，b=9，A=45°]，有两解

D. [ΔABC]中，[b=9，c=10，B=60°]，无解

8. 已知[ΔABC]中，[AB=3，AC=1]，且[B=30]°则[ΔABC]的面积等于（ ）

A. [32] B. [34]

C. [32或3] D. [34或32]

9. 若[ΔABC]的三边[a，b，c]，它的面积为[a2+b2-c243]，则角[C]等于（ ）

A. [30°] B. [45°]

C. [60°] D. [90°]

10. 已知[a，b]为[△ABC]的边，[A，B]分别是[a，b]的对角，且[sinAsinB=23]，则[a+bb]的值为（ ）

A. [13] B. [23]

C. [43] D. [53]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 已知[△ABC]中，[A∶B∶C=1∶2∶3]，[a=1]，则[asinA]= .

12. 设[△ABC]的三个内角[A，B，C]所对的三边分别为[a，b，c]，若[△ABC]的面积为[S=a2-（b-c）2]，则[sinA1-cosA]= .

13. 如图，在[△ABC]中，[AB=AC=2]，[BC=23]，点[D]在[BC]边上，[∠ADC=75?]，则[AD]的长为 .

14. 给定下列命题：①半径为2，圆心角的弧度数为[12]的扇形的面积为[12]；②若[α]，[β]为锐角，[tan（α+β）=-3]，[tanβ=12]，则[α+2β=3π4]；③若[A]，[B]是[△ABC]的两个内角，且[sinA

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）[△ABC]中，己知[A>B>C]，且[A=2C]，[b=4，a+c=8]，求[a，c]的长.

16. （10分）已知[a，b，c]是[△ABC]中[A，B，C]的对边， 关于[x]的方程[b（x2+1）+c（x2-1）-2ax=0]有两个相等的实根， 且[sinCcosA-cosCsinA=0]， 试判定[△ABC]的形状.

17. （12分）已知[A，B，C]是[△ABC]的三个内角，且满足[2sinB=sinA+sinC]，设[B]的最大值为[B0].

（1）求[B0]的大小；

（2）当[B=3B04]时，求[cosA-cosC]的值.

18. （12分）设[△ABC]的内角[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]. 已知[b2+c2=a2+bc]，求：

（1）[A]的大小；

（2）若[a=2]，求[△ABC]面积的最大值.

9.垂径定理及其推论的说课稿 篇九

二、教学目标的确立

根据本课的具体内容、学生的实际情况，我确立了如下的教学目标：

1、通过直观演示了解圆的轴对称性。

2、通过“试验——观察——猜想——证明”掌握垂径定理及其推论。

3、运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。 4、培养学生的数学直觉能力、抽象概括能力。激发学生的探索精神。

三、教学方法与手段的选择

在教学方法方面:本节课主要采用了教师启发引导下的学生自主探究、小组合作学习以及分层教学、分层评价的方法。

在教学过程中，遵循“实验-观察-猜想-证明-讨论-总结-应用”这一思路，使学生由感性认识上升到理性认识，再到实际应用。遵循“阶梯式发展”原则，引导学生在独立分析、认真思考的基础上，以小组讨论等形式合作探究，进而解决问题、掌握方法。同时，考虑到不同层次学生的学习需要，在所提问题、例题、习题的设置上，均力争使每名学生都有所得。

在教学手段方面：我采用教(学)具直观演示与计算机辅助教学，以提高课堂教学效率。

四、教学过程的设计

1、坚持一条原则：学生是主体，教师是教学过程的组织者、引导者、合作者。

2、围绕一个目的：落实教学目标

3、突出一个特点：通过“实验-观察-猜想-证明-应用”帮助学生实现由感性认识到理性认识的过渡

4、采用一种手段：借助教具的直观性和计算机辅助教学，启发引导学生发现定理，从而抽象概括出定理

5、收到一个效果：使学生通过本节课的学习，能够理解定理的内涵，学会运用定理解决问题。同时使学习知识、培养能力和优化思维品质融为一体。

学法指导：

动手操作、 观察猜测、 交流讨论、 分析推理、 归纳总结，在此过程中使学生积极参与，交流互动。

本课的教学过程包括：

以旧引新、引导探究——动手操作、观察猜想——指导论证、引申结论——多方练习、分层评价——反思小结、布置作业五个环节。

(一)以旧引新、引导探究

人类认识事物大多遵循由感性认识到理性认识，由旧知到新知的上升过程，为此我先引导学生复习与本课新知识有关的旧知识，出示如下两个问题：

(1)什么是轴对称图形

(2)观察下列图形哪些是轴对称图形?并指出对称轴条数。

其中第一题的目的在于唤起学生记忆，明确轴对称图形的概念。进而选取几种常见的几何图形让学生判断，其中的平行四边形是从反面强化对轴对称图形的理解。 第二组是有关车标图案的轴对称图形，使学生知道我们身边随时随地都有轴对称图形的存在，此时可让学生再举几个实际例子，以激发学生的兴趣。

然后出示圆，提问：圆是轴对称图形吗?

它有几条对称轴?

对称轴在什么位置?

进而通过学生折叠圆形纸片、

教师投影演示明确：

圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

这样通过创设问题情境，激发学生的求知欲，以旧引新，引出本课课题——圆的轴对称性。

(二)动手操作，观察猜想

首先让学生按要求在事先准备好的圆形纸片中画图折叠、观察、猜想。 ⅰ 画出⊙O的一条弦AB

ⅱ 过O画AB的垂线交⊙O于C、D两点，垂足为E.

问题1：过O点垂直AB的直线有几条?(说出理由)

设计意图：明确垂直于弦的直线有且只有一条。

问题2：直径CD还有什么性质?(投影)

1、引导学生将⊙O纸片沿直径CD折叠，观察重合部分，猜想结论

2、小组交流猜想结论。

3、教师投影演示与学生共享猜想结论

设计意图：通过调动学生的多种感官功能，使学生在动手动脑中强化思维品质。同时为用“叠合法”证明垂径定理起铺路搭桥的作用。

(三)指导论证，引申结论

在师生共同得出猜想结论后，教师追问质疑：猜想的结果是否正确，必须要加以证明，将学生的活跃思维从实验猜想拉回到对猜想的严格证明中。 教学安排：

学生回答已知、求证后教师投影。

随后指导学生从圆的轴对称性入手，讨论出联结OA和OB后，抓住只要能够证出直径CD既是等腰三角形OAB的对称轴，又是圆的对称轴，即可利用圆的`轴对称性证明出结论。进而让学生试述，教师板书证明过程。

进而总结出垂径定理的内容。并引导学生分析出定理的题设和结论。说明知道了题设的两个条件，就可以得出三个结论。

此时出示判断题

(1)过圆心的直径平分弦(×)

(2)垂直于弦的直线平分弦(×)

(3)⊙O中，OE⊥弦AE于E，则AE=BE(√)】

引导小组讨论，允许争论，关键要让学生说明理由，举反例。交流讨论、统一思想后，教师要充分利用评价机制鼓励学生，并强调垂径定理 圆的轴对称性——垂径定理及其推论题设中的两个条件缺一不可。同时说明垂径定理条件中的“直径”是指过圆心的直线，但在应用该条件时可以不为直径，如半径、圆心到弦的距离照样可以得到平分弦的结论。

然后再次通过提问：如果将题设中的两个条件改为“直径平分弦”，能否得出其它三个结论呢?自然的引出对例1的教学：

【例1：已知:如图，在⊙O中，直径CD交弦AB于E，AE=BE

求证：CD⊥AB, 】

通过教师引导、小组讨论分析证明出垂径定理的推论：平分弦(非直径)的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。使学生初步认识到将定理中题设的两个条件之一与三个结论之一交换一个，也可得出其它三个结论。然后再次出示小组讨论题，

【小组讨论：下列命题是否正确?说明理由

1、弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧。(√)

2、平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，且平分弦所对的另一条弧(√)】

进一步强化刚才的初步认识，进而归纳总结出其中规律：五个条件，知二推三。在整个过程中教师要及时引导学生通过画图分析、讨论，说明理由，辨别正误，从而有效的突破难点，突出重点。

O

(四)多方练习，分层评价

【例2、已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。】

1、选题意图

至此，学生们对垂径定理及其推论的基本知识应该掌握了，为了使学生再上一个台阶，更好的将知识点落到实处。我安排了例2，试图通过此例，使学生明确：在解决有关弦、半径(直径)、圆心到弦的距离等问题时，通常是将垂径定理和勾股定理结合起来。达到一通百通的目的。并为例3的教学铺平道路。

2、教学安排

ⅰ 解决问题：此题先提醒学生审清题意，思考如何构造出圆的半径及圆心O到弦AB的距离。在个人独立思考建立图形以后，进行小组交流、讨论。最后各组派代表展示学习成果并说明理由，教师点拨，最后投影出完整解题步骤。 ⅱ 反思拓展：提问：在解答此题的过程中，你用到了几个定理?

通过讨论，使学生体会到：在解决有关弦、半径(直径)、圆心到弦的距离等问题时，通常是通过构造直角三角形将垂径定理和勾股定理结合起来。

然后，趁热打铁，通过三个难度不同的练习，进一步巩固刚才讨论得出的成果。

【 A组 在圆中某弦长为8cm，圆的直径是10cm，则圆心到弦的距离是( 3 )cm B组 在圆O中弦CD=24，圆心到弦CD的距离为5,则圆O的直径是( 26 ) C组 若AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，AE=16，BE=4,则CD=( 16 )】 ⅲ 分层评价：学生的认知水平是不同的，所以我有意识的将题目按由易到难的顺序分成了A、B、C三组，其中A组题是为学困生编写的;B组题绝大多数同学应该掌握;C组题难度稍大，但稍微动一动脑，也不是不能做出的，是为中上等同学准备的。

需要说明的是：学生每做对一组题就可获得一个满分，教师此时巡视指导并及时评判各组当中做完的同学，而且不管是谁只要做对了题，都可以为本组同学判题打分。这样安排，使不同层次的学生都学有所得，调动学生的学习热情。

然后各组请代表说明解题思路。热身之后，出示例3：

【例3、已知⊙O的直径为4cm，弦AB=，求∠OAB的度数】

1、选题意图：在巩固例2成果基础之上，出示例3，是为了将解直角三角形与垂径定理的知识衔接起来，使知识之间融汇贯通——你中有我，我中有你。

2、教学安排：

ⅰ 解决问题：提问：求角度问题，可否通过解直角三角形的问题解决? 学生自然会联想到构造直角三角形，进而作出正确的辅助线。然后利用特殊角的三角函数值求出锐角的度数。学生展示成果后，教师出示完整解题格式，并追问：还有没有其它的解题方法?此时 圆的轴对称性可能有的学生通过得出弦心距的长度，利用在直角三角形中，若一条直角边等于斜边一半，则该直角边所对角为30°，亦可。教师要给予充分的肯定和鼓励性评价。然后再通过一道证明题，

【练习：已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC=BD 】

再一次的巩固垂径定理及辅助线的做法。

ⅱ 反思拓展：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。

(五)反思小结、布置作业

这个环节主要让学生谈谈本节课的收获和体会。我根据情况适当补充。然后仍按照学生层次布置分层作业。这样最大限度的调动学生学习的积极性，使不同层次的学生都有所获，在原有的基础上得以发展、提高。

10.正弦余弦定理应用定理 篇十

一、选择题(共20题，题分合计100分)

1.已知在△ABC中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,那么cosC的值为

A.

14B.14C.23D.23

2.在△ABC中，a=λ,b=

λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是

A.0 个B.1 个C.2个D.无数个

3.在△ABC中，bcosA=acosB，则三角形为

A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

4.已知三角形的三边长分别为x2

+x+1,x2

-1和2x+1(x＞1)，则最大角为

A.150°B.120°C.60°D.75°

5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+23则边|

|等于

A.5B.5-23C.52D.523

6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形

7.在△ABC中，若b2

sin2

C+c2

sin2

B=2bccosBcosC，则此三角形为

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

8.正弦定理适应的范围是

A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△

9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=

A.10+B.10（-1）C.（3+1）D.103

10.在△ABC中，bsinA＜a＜b，则此三角形有

A.一解B.两解C.无解D.不确定

11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2

-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.4

12.在△ABC中，a2

=b2

+c2

+bc，则A等于

A.60°B.45°C.120

D.30°

13.在△ABC中，则△ABC是

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形

14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于

A.2B.22C.+1D.(1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sinAsinC等于

A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B

17.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为

A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

18.△ABC中，sin2

A=sin2

B+sin2

C，则△ABC为

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形

19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为

A.B.C.D.20.在△ABC中，,则k为

11.二项式定理及其应用 篇十一

关键词 FC度量空间； 匹配； 重合；抽象经济； 平衡.

中图分类号O177.91文献标识码A

1引言

1999年， Yuan[1]研究了超凸空间中有限度量开值GMKKM映射和Ky Fan匹配定理，Park[2]获得了超凸空间中开值映射的Ky Fan匹配定理. 2006～2008年，文献[3-5]进一步研究了超凸空间中的Ky Fan匹配定理. 2007年以来，文献[6-8]建立了完备L凸度量空间中的Ky Fan匹配定理.2010年至今，文献[9-11]引入了FC度量空间，并研究了其中的RKKM定理、Browder不动点定理、重合定理以及抽象经济和定性对策的平衡存在定理等.

本文的目的是研究FC度量空间中转移紧开值映射的Ky Fan匹配定理，作为应用，进一步研究FC度量空间中的Ky Fan重合定理、抽象经济和定性对策的平衡存在定理.本文结论统一、改进和推广了一些近期文献的已知结果.

2预备知识

熟知，每一个开（相应地， 闭）值集值映射是转移开（相应地， 闭）值的，同时也是紧开（相应地， 闭）值的； 每一个转移开（相应地， 闭）值或紧开（相应地， 闭）值集值映射是转移紧开（相应地， 闭）值的， 但反之不然.

3主要结果

参考文献

[1]Xianzhi YUAN. The characterization of generalized metric KKM mappings with open values in hyperconvex metric spaces and some applications[J]. J Math Anal Appl， 1999， 235（1）： 315-325.

[2]S PARK. Fixed point theorems in hyperconvex metric spaces[J]. Nonlinear Anal， 1999， 37（4）： 467-472.

[3]文开庭. A Ky Fan matching theorem for transfer compactly open covers and the application to the fixed point[J]. 数学物理学报，2006， 26（A）（7）： 1159-1165.

[4]文开庭. A new Ky Fan type matching theorem for compactly open covers and its applications[J]. 数学进展， 2007，36（4）：407-414.

[5]文开庭. Ky Fan matching theorems for transfer compactly open covers and its application to the equilibrium for abstract economies[J]. 工程数学学报， 2008，25（1）：149-154.

[6]文开庭. A Ky Fan matching theorem in complete Lconvex metric spaces and its application to abstract economies[J]. 应用数学， 2007，20（3）：593-597.

[7]文开庭. A new Ky Fan matching theorem for transfer open covers with some applications in Lconvex metric spaces[J]. 应用泛函分析学报，2008，10（4）：305-312.[8]文开庭，李和睿，曾凡培. MLC映射的Ky Fan匹配定理及其对极大极小不等式和鞍点的应用[J]. 数学物理学报，2011， 31 （A） （4）： 1077-1082.

[9]文开庭. FC度量空间中的RKKM定理及其对抽象经济的应用[J]. 西南师范大学学报：自然科学版， 2010，35（1）：45-49.

[10]文开庭. FC度量空间中的RKKM定理及其对变分不等式和不动点的应用[J]. 应用泛函分析学报， 2010， 12（3）： 266-273.

[11]文开庭. 有限度量紧开值映射的RKKM定理及其对不动点的应用[J]. 西南大学学报，2011，33（10）：110-113.

[12]Xianzhi YUAN. KKM theory and applications in nonlinear analysis[M]. New York： Marcel Dekker Inc， 1999.

[13]Huili ZHANG. Some nonlinear problem in hyperconvex metric spaces[J]. J Appl Anal， 2003， 9（2）： 225-235.

[14]W A KIRK， B SIMS， Xianzhi YUAN. The KnasterKuratowski and Mazurkiewicz theory in hyperconvex metric spaces and some of its applications[J]. Nonlinear Anal.， 2000， 39（5）： 611-627.

[15]陈凤娟，沈自飞. Continuous selection theorem and coincidence theorem on hyperconvex spaces[J]. 数学进展， 2005， 34（5）： 614-618.

[16]S PARK. Fixed point theorems in locally Gconvex spaces[J]. Nonlinear Anal.， 2002， 48（6）： 869-879.

12.二项式定理及其应用 篇十二

如图1, 在梯形ABCD中, 点E、F分别在腰AB、CD%上, EF%∥AD, AE:EB=m:n%.求证: (m+n) EF=m BC+n AD。这是九年义务教材初中几何第二册第219页B组的第2题。

现先证明如下:过点A作DC的平行线, 交EF于点G, 交BC于点H.则由题设易知:

, 所以 (m+n) EG=m BH, % (1)

又因为HC=GF=AD, 那么 (m+n) GF= (m+n) HC, (2)

而EF=EG=GF,

所以 (1) + (2) 得 (m+n) EF=m BC+n AD.

如图2, 三角形ABC中任一平行于底边的直线截两腰于点E、F, 若AE:EB=m:n, 则

特别地, 若m=n, 则EF是三角形中位线, .

因此公式 (1) 可以看作是三角形中位线公式的推广, 解决有关问题时, 灵活运用公式 (1) 很方便、快捷。

接下来, 我们以中考试题为例说明这一公式的应用。

例1: (2008年沈阳市中考题) 如图3, 已知梯形ABCD的上底为7, 下底为16, 过AD、BC的各三等分点的连线为MN、PQ, 则长度等于13的线段是 ( )

(A) MN (B) PQ

解:作辅助线DG∥BC, 分别交MN、PQ、AB%于点E、F、G%.因为MD:MA=1:2, 那么由公式 (1) 得, PF=2ME=6.故MN=10, PQ=13, 选 (B) .

例2: (2008年辽宁大连中考题) 如图4, 已知AD%∥EF∥BC, 且AD=15, BC=21, 又EB=2AE, 则EF=.

解:作辅助线AH∥DC, 交EF、BC于点G、H.

因为EB=2AE, 所以AE:EB=1:2.

例3: (2008年江苏省徐州市中考题) 点E、F%分别是梯形ABCD两腰上的点, 且DC∥EF∥BC, 若%DC=12, EF=19, AB=12, 则DE:EA=.

解:如图5, 作辅助线DH∥BC, 交EF、AB于点G、H.

设DE:EA=m:n, 由公式 (1) ,

所以m:n=7:9.

例4: (2006年黑龙江省中考题) 如图6, DC∥AB, AC、BD交于点O, 过O作EF∥AB交AD、%BC于点E、F, 求证:.

解:设DE:EA=m:n, 因为EF∥AB∥DC,

由公式 (1) OE=%OF=m, OF=n%%

综上例题的解题过程可知:注意对三角形中位线推广定理应用的研究, 符合新课程改革关于“让学生的思维活跃起来”的理念要求, 有利于提高学生的专题总结水平和解题速度, 有利于学生在研究总结的过程中, 拓展视野、启迪思维, 有利于学生系统灵活地掌握所学的知识内容, 对于帮助学生理解课本内容, 培养探索精神和创新意识, 提高接替水平和发展思维能力, 均有益处。

摘要：三角形中位线定理揭示了中位线与第三边之间的位置关系与数量关系, 但是在解题过程中往往不能只通过单一的中位线定理来进行解题。本文对三角形中位线定理进行推广, 并结合一些题目予以说明推广定理在中考解题时的应用。熟练掌握三角形中位线推广定理, 能够大大缩短解题时间, 简化解题过程, 使学生在解答该类型题目时能够一目了然。

13.动能定理的应用教案 篇十三

汾阳二中物理组 梁建新

目标要求

1.掌握动能定理的表达式；

2.理解动能定理的确切含义，应用动能定理解决实际问题。

3.分析解决问题理论联系实际，学习运用动能定理分析解决问题的方法、步骤。

4.通过运用动能定理分析解决问题，感受成功的喜悦，培养学生对科学研究的兴趣。教学重点

动能定理及其应用。教学难点

对动能定理的理解和应用。教学过程

一、引入课题：

教师活动：直接给出动能定理的表达式：

W112mv2mv1222有了动能的表达式后，前面我们推出的，就可以写成WEk2Ek1其中Ek2表示一个过1212mv2mv1E程的末动能2，k1表示一个过程的初动能2。上式表明，力在一个过程中对物体所作的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这个结论，叫做动能定理。动能定理可以帮助我们解决很多实际的问题，今天我们就学习动能定理的应用。

二、推进新课：

是正功还是负功。

（3）找出研究过程中物体的初、末状态的动能（或动能的变化量）（4）根据动能定理建立方程，代入数据求解，对结果进行分析、说明或讨论。

2、求变力做功问题：

例3：运动员踢球的平均作用力为200N,把一个静止的质量为1kg的球以10m/s的速度踢出,水平面上运动60m后停下,则运动员对球做的功? 学生活动：学生讲解自己的解答，并相互讨论；教师帮助学生总结用动能定理解题的要点、步骤，体会。

教师点评：如果我们所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。

例4：一列货车的质量为5.0×105kg,在平直轨道以额定功率3000kw加速行驶,当速度由10m/s加速到所能达到的最大速度30m/s时,共用了2min,则这段时间内列车前进的距离是多少? 学生活动：学生讲解自己的解答，并相互讨论；教师帮助学生总结用动能定理解题的要点、步骤，体会。

教师点评：有关机械恒定功率启动类问题中涉及变力牵引力做功可以Pt求

3、多过程问题

例5：质量为m的铁球从高H处掉入沙坑,已知铁球在陷入沙坑的过程中受到沙子的平均阻力为铁球重力的20倍,则铁球在沙中下陷深度h为多

教师点评：一般来说，用牛顿运动定律和运动学知识能够求解的问题，用动能定理也可以求解，而且往往运用动能定理求解更加简捷。可是，有些可用动能定理求解的问题，却无法应用牛顿运动定律和运动学知识求解。

三、课堂拓展：

1.质量为m=2kg的物体，在水平面上以v1= 6m/s的速度匀速向西运动，若有一个F=8N、方向向北的恒定力作用于物体，在t=2s内物体的动能增加了（）

A．28J B．64J C．32J D．36J 2.质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内作半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，此后小球继续作圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（）

3.在平直公路上，汽车由静止开始作匀速运动，当速度达到vm后立即关闭发动机直到停止，v-t图像如图所示．设汽车的牵引力为F，摩擦力为f，全过程中牵引力做功W1，克服摩擦力做功W2，则（）A．F：f = 1：3 B．F：f = 4：1 C．W1：W2= 1：1 D．W1：W2 = 1：3

四、板书设计：

1、动能定理A内容 B表达式C适用范围

2、应用动能定理的一般思维程序：

五、教学反思

14.勾股定理的应用 篇十四

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边（如c）（2）验证c与a+b则△ABC不是直角三角形。

3、勾股数 满足c=a+b的三个正整数，称为勾股数 如（1）3，4，5；（2）5，12，13；

（3）6，8，10；（4）8，15，17（5）7，24，25（6）9, 40, 412、三角形的三边长为abcba2)(22+=+,则这个三角形是()

A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形

3.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）

（A）25（B）14（C）7（D）7或25

6.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是()（A）钝角三角形

（B）锐角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形.7.如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是()

（A）25（B）12.5（C）9（D）8.54、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱 形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取 值范围是（）．

A．h≤17cmB．h≥8cmC．15cm≤h≤16cmD．7cm≤h≤16cm3、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B下降 至B′，那么BB′（）．

A．小于1mB．大于1mC．等于1mD．小于或等于1m11、如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后 分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少 海里

15.勾股定理及其逆定理的易错点探究 篇十五

易错点一:盲目套用勾股定理

例1:已知在△ABC中, a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边, 且a=3, b=4, 且b<c.若c为整数, 则c=____.

错解:由勾股定理得

错解分析:上面的解法受“勾3、股4、弦5”的影响, 没有认真审题, 错在没有注意到题目中的三角形是否为直角三角形, 就把△ABC当成直角三角形, 盲目套用勾股定理进行计算, 导致错误.解题时应注意已知条件, 要注意勾股定理只在直角三角形中才成立.由于题目中没有明确给出三角形为直角三角形时, 只能利用三角形的三边关系定理解题.

正确解法:由三角形三边关系定理:两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边,

∵c为整数, ∴c为5或者6.

评注:应用勾股定理解题的前提是在直角三角形中, 否则勾股定理是不适用的.掌握勾股定理要注意以下三点:一是勾股定理所揭示的是直角三角形三边之间平方关系的定理, 它反映了直角三角形三条边之间的数量关系;二是在直角三角形中如果已知两边就可以求出第三条边, 但在运用勾股定理解决问题时, 一定要分清已知的边是直角边还是斜边;三是勾股定理只对直角三角形适用, 而不适用于锐角三角形或钝角三角形.

易错点二:考虑不全面出现漏解

例2:已知三角形两边的长为5和12, 如果这个三角形是直角三角形, 求这个三角形第三边的长.

错解:设第三边的长为x, 则由勾股定理可得52+122=x2.

解得x=±13, 又∵x>0, ∴x=13, 即这个三角形第三边的长为13.

错解分析:此题中已知直角三角形的两边长, 但并未明确这两条边是直角边还是斜边, 因此长度为12的边既可以是直角边, 也可以是斜边 (注:由于5<12, 根据直角三角形的斜边是三边中最长的边可知, 长度为5的边不可能是斜边) , 从而求这个三角形的第三边长时必须分类讨论.上述解法中误认为所求的第三边即为斜边, 导致计算漏解而产生错误, 这应引起同学们的注意.

正确解法:设这个三角形的第三边长为x.

(1) 当x为斜边时, 则由勾股定理可得52+122=x2,

解得x=±13, 又∵x>0, ∴x=13, 即这个三角形第三边的长为13.

(2) 当x为直角边时, 则长度为12的边为斜边, 则由勾股定理可得52+x2=122,

解得即这个三角形第三边的长为

综合 (1) 、 (2) 知, 这个三角形第三边的长为13或

评注:在应用勾股定理解题时, 要全面地考虑问题, 注意问题中存在的多种可能性, 避免漏解.

易错点3:不理解勾股数的概念

例3:下列各组数能构成勾股数的是____.

错解: (1) 、 (2) 、 (4) .

错解分析:首先, 勾股数必须是一组正整数, 其次是勾股数要满足两个较小数的平方和等于最大数的平方.将 (1) 、 (4) 选上主要是对勾股数概念不理解, 出现概念错误.

正确解法: (2) .

评注:若a、b、c满足a2+b2=c2, 且a、b、c均为正整数, 则a、b、c是一组勾股数.

易错点4:对勾股数想当然

例4:以下各组数为三边长的三角形中, 是直角三角形的有 () .

(1) 3, 4, 5; (2) (3) 32, 42, 52;

(4) 6, 8, 10.

A.1组B.2组C.3组D.4组

错解:选D.

错解分析:由于3, 4, 5是一组勾股数, 故把这组数同时扩大相同的倍数, 所得一组数仍为勾股数, 但将这组数同时开方或平方, 得到的数就不是勾股数, 因此和32, 42, 52不是勾股数.

正确解法:选B.

评注:判断一组正整数是不是勾股数, 就是运用勾股定理的逆定理, 将两条较短的线段的平方和a2+b2与最长的线段的平方c2作比较, 看它们是否满足a2+b2=c2, 这样才能判断它们是否是勾股数, 以这样的三条线段能否构成直角三角形, 千万不要出现认为和32, 42, 52是勾股数这样的想当然的错误.

易错点5:忽视区分直角边和斜边

例5:已知在△ABC中, a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边, 且a=5, b=13, c=12, 试判断△ABC是直角三角形吗?

错解:△ABC不是直角三角形.

理由:在△ABC中, 因为a2+b2=52+132=194, c2=144, 则a2+b2≠c2, 故△ABC不是直角三角形.

错误分析:本题中虽然a2+b2≠c2, 但我们不能因此就认定这个三角形就不是直角三角形.我们首先应该分析一下这个三角形的三条边长, 如果这个三角形是直角三角形, 边长最长的应该是斜边, 由于b=13最长, 即b有可能为斜边, 所以应该验证两条较短的边a和c的平方和是否与b的平方相等.若相等, 则就可得△ABC为直角三角形, 否则△ABC就不是直角三角形.

正确解法:△ABC是直角三角形.

理由:在△ABC中, 因为a2+c2=52+122=169, b2=169,

则a2+c2=b2, 故△ABC是直角三角形.

评注:勾股定理的逆定理是利用三角形的三边之间的数量关系来判定一个三角形是否为直角三角形的定理, 我们在做题的时候一定要正确区分哪两条边有可能为直角边, 哪条边有可能为斜边.

易错点6:仅凭直觉记忆模糊解题

例6:已知在△ABC中, a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边, 且 (a+b) (a-b) =c2, 则 () .

A.∠A为直角B.∠C为直角

C.∠B为直角D.不是直角三角形

错解:选B.

错解分析:错解错在受思维定势的影响:在通常情况下, 将直角标注为∠C.因而有的学生就习惯性的认为∠C所表示的角就是直角, 导致对已知条件粗略地分析了一下, 得出存在平方关系之后就习惯性地认为边c的对角∠C就是直角, 出现直觉错误.该题中的条件应转化为a2-b2=c2, 根据这一关系, 利用勾股定理的逆定理进行判断.

正确解法:∵a2-b2=c2, ∴b2+c2=a2,

∴a边所对的角∠A为直角, 故选A.

评注:我们在判断直角三角形哪一个角是直角的时候, 不能因为思维定势, 看到数量之间的平方关系, 就得到某个角是直角的结论, 这样很容易产生直觉错误, 丢掉不该丢的分.它告诫我们在审题时一定要仔细, 防止由于思维定势而产生会做却做不对的情况发生.

易错点7:忽视运用勾股定理逆定理判定三角形的形状

例7:在B港有甲、乙两艘渔船, 若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进, 乙船沿南偏东某处角度以每小时15海里的速度前进.2小时后, 甲船到达M岛, 乙船到达P岛, 两岛相距34海里, 你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?

错解:甲船航行的距离为BM=8×2=16 (海里) , 乙船航行的距离为BP=15×2=30 (海里) .

(海里) , 且MP=34 (海里) ,

∴△MBP为直角三角形, ∴∠MBP=90°,

∴乙船是沿着南偏东30°的方向航行的.

错解分析:本题最终判断的结果虽然也是正确的, 但是在解题的过程中忽略了对使用勾股定理的前提条件的证明, 犯了运用上的错误.本题考查的重点是对三角形形状的判定, 应该先应用勾股定理的逆定理, 判定三角形的形状, 再求出乙船的航行方向.

正确解法:甲船航行的距离为BM=8×2=16 (海里) , 乙船航行的距离为BP=15×2=30 (海里) .

∵162+302=1156, 342=1156, ∴BM2+BP2=MP2, ∴△MBP为直角三角形, 且∠MBP=90°,

∴乙船是沿着南偏东30°的方向航行的.

评注:已知三角形为直角三角形求其边的关系时, 应用直角三角形的勾股定理;知道三角形的三边关系判定三角形是否为直角三角形时, 应用勾股定理的逆定理。在解题时要分清这两个定理的使用方法.通过本题告诉我们, 掌握勾股定理的逆定理要注意以下两点:一是勾股定理的逆定理是利用三角形三边之间的数量关系来判定一个三角形是否直角三角形的定理;二是只要一个三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方, 就可以判定这个三角形是直角三角形, 反之, 这个三角形就不是直角在角形.

易错点8:给定三角形不分析形状就运用勾股定理

例8:已知在△ABC中, AB=13, AC=15, BC边上的高AD=12, 求△ABC的周长.

错解:根据题意画出示意图, 如图1所示.根据勾股定理得,

错解分析:本题并没有说明△ABC的形状, 所以△ABC可能是锐角三角形, 也可能是钝角三角形.本题的错误为只讨论了△ABC为锐角三角形而忽视了它还可能为钝角三角形的情况.

正确解法: (1) 当△ABC为锐角三角形时, 解法如上, 可得△ABC的周长为42.

(2) 当△ABC为钝角三角形时, 其示意图如图2所示.根据勾股定理得,

∴△ABC的周长为AB+BC+AC=13+4+15=32.

综合 (1) 、 (2) 知, 这个三角形△ABC的周长为42或者32.