应用函数极限

应用函数极限（11篇）

1.应用函数极限 篇一

定理:如果函数f (x) 在含有0x的某个开区间 (a, b) 内具有直到 (n+1) 阶的导数, 则对任一x∈ (a, b) 有

其中时, 称为带有佩亚诺 (Peano) 余项的n阶泰勒公式。

特别地, 如果x0=0

则

为佩亚诺余项的麦克劳林 (Maclaurin) 公式[1]。

2 泰勒公式在求函数极限中的应用

解:分析当x→0时, 此函数为型未定式, 满足罗必达法则求极限。若直接用罗必达法则就会发现计算过程十分复杂, 稍不注意就会出错。现用泰勒公式将分子展开, 再求极限就会简洁的多。

解:分析当x→∞时, 此函数为∞-∞型未定式。虽然可以通过变换把其化为型, 再用罗必达法则, 但计算量较大。现利用泰勒公式将展开, 再求其极限。

通过例1、例2, 我们不难发现, 在求一些未定型的极限时, 如果用罗必达法则, 求导次数较多或化简过程较繁时, 不妨用泰勒公式来求。但是在用泰勒公式时, 并不需要把各函数展到n阶, 那么函数到底应该展到几阶, 成为求解极限的关键。

3 函数展开的阶数

当极限为分式时, 若分子或分母中只需展开一个, 那么只需把其展到另一个的同阶无穷小的阶数;若分子和分母都需要展开, 可分别展到其同阶无穷小的阶数, 即合并后的首个非零项的幂次的次数。

当极限不是为分式时, 展开的阶数应与函数中最高次幂相同。

解:分析因为分子、分母都需要展开, 比较一下分母为两个函数的乘积, 先展分母, 再把分子展开到分母的同阶无穷小。

通过上面的几个例子, 可以看出利用泰勒公式求解某些函数的极限具有简洁、方便的作用, 从而准确、高效的解决一些数学问题。

摘要：泰勒公式是高等数学中非常重要的公式, 利用它可以解决很多问题。文章利用带佩亚诺余项的泰勒公式来求些函数的极限。

关键词：泰勒公式,极限,阶数

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2001.139-145

[2]华东师范大学数学系.数学分析 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 2002.

2.极限思想在函数题型中的应用 篇二

【关键词】极限思想  函数  导数  函数值域  最值

【中图分类号】G633.6                            【文献标识码】A      【文章编号】2095-3089（2016）11-0011-02

在高中学习中，我们接触了极限这一概念.极限在高中第一次被真正应用是在选修2-2（理科）中，用于引入导数.极限思想是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。如果接触足够多的函数与导数有关题目时，会发现极限的使用不仅仅局限于极限的定义，而是更为广泛，如求函数值域、最值等。在解题过程中用好极限思想，能大大减少运算量，优化解题过程，降低解题难度.因此我认为，有必要对极限有更进一步的认识。

一、 求简单函数极限的方法

极限的严格定义我们会在大学学习，在这里我们的目标只是求出函数某个值的极限。

（1）简单的极限题目如下：

此类题只需将值代入计算即可。

（2）还有一些极限略显复杂，如：

，由于0不能做分母，而x=1时，x3-x=0.但 x2-2x+1与x3-x有公因式x-1，故先因式分解再约分最后代入计算：

但如果分子与分母没有公因式呢？我们将会在第三部分一起探究。

二、运用极限的运算法则求一些复杂函数的极限

设，存在，且令则有以下运算法则，

加减：

数乘：

乘除：

冥运算

有了运算法则，我们可以进行一些复杂函数的极限运算，如：

对于分子分母都是多项式的函数，求x→∞的极限，我们可以分子分母同除以自变量的最高次幂：

由此，我们还可以得出结论：同类题目只需比较两个多项式最高次幂的系数。除此之外，还有许多不同类型的求极限题目，有不同的解题思路，如出现了根号，且出现了无穷减无穷，则可以考虑分子有理化等。

三、巧用洛必达法则，化繁为简

洛必达法则是利用导数来计算或形式的极限的方法，巧用洛必达法则求函数极限，可以使问题简化。

洛必达法则：设函数满足：

以下是洛必达法则在高考中的应用：

（2010年全国新课标理）设函数

综合得a的取值范围为

原解在处理第（2）问时较难想到，利用洛必达法则可简便处理：

由洛必达法则知

故

综上，可知a的取值范围为.

对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中求分离出来的函数式的最值问题有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值。

3.函数极限与连续 篇三

一、基本题

1、函数f

xln6x的连续区间ax2x2x

12、设函数fx，若limfx0，且limfx存在，则 x1x1x12axb

a-1，b

41sin2x

3、limx2sin-2x0xx

4、n2x4/(√2-3)k

5、lim1e2，则k=-1xx

x2axb5，则a3，b-

46、设limx1x

17、设函数fx2xsinx1,gxkx，当x0时，fx~gx，则k

ex2x0

8、函数fx2x10x1的定义域R ；连续区间(-oo,1),(1,+oo)3x1x1

1xsinx

a9、函数fx1xsinbxx0x0在x0处连续，则a1，b1x010、函数fxe

1e11

x1x的间断点为x=0，类型是 跳跃间断点。

11、fx,yx2y2xycosx，则f0,1ft,1y12、fxy,xyx2y2，则fx,yy^2+x13、函数zln

2x2y2的定义域为 {(x,y)|1=0}

14、1e2xylim-12；x,y0,0x2y2exyx,y0,01x2y2x2y2lim

3-12；lim12xyx15、x0

y0

二、计算题

1、求下列极限

（1）0

0型：

1）limexex2x

x0xsin3x；=0

2）limexx

1x0x1e2x;=-1/

43）limtan3xln12x

x01cos2x;=-

34）limtanxsinx

x0xsin2x2;=1/4

（2）

型：

1）lnsin3x

xlim0lnsin2x=1

lim2n13n1

2）n2n3n=3

（3）型：

1）lim11

x0xex1=1/

22）lim

x111x1lnx=-1/2

3)xlimarccosx=π/3

4)xlimx=-1 x0y2

（4）0型：

1）limxarctanx=1x2

2)limx1tanx1x2=-π/2

（5）1型：

21）lim1xx3x2=e^(-6)

4x23x12）limx3x2

3)lim12xx0 =e^(-4)=e^(2/5)1sin5x

14)limcos=e^(-1/2)xx

（6）00型：1）limxsinx=1 x0x2

方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)

公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))

（7）型：1）limx20x

x1x=2

同上

2、已知：fxsin2xln13x2limfx，求fx x0x

f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+

2(方法：两边limf(x)x->0)

x2x3、求函数fx的间断点，并判定类型。2xx1驻点x=0,x=1,x=-

11）当x=0+时，f(x)=-1；当x=0-时，f(x)=1 跳跃间断点

2）当x=1时，f(x)=oo;第二类间断点

3）当x=-1时，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去间断点

sin2xx

4、设函数fxa

ln1bx1e2xx0x0在定义域内连续，求a与b x0

Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-

45、证明方程：x33x29x10在0,1内有唯一的实根。（存在性与唯一性）证明：

1）存在性：

令f(x)=x^3-3x^2-9x+1

f(0)=1>0;

f(1)=-10<0;

因为f(0).f(1)<0所以在（0,1）内存在一个实根

2）唯一性

f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

所以f(x)在(0,1)内为单调减函数

4.函数极限的定义证明 篇四

1.根据函数极限的定义证明:

(1)lim(3x1)8;x3

(2)lim(5x2)12;x2

x244;(3)limx2x2

14x3

(4)lim2.x2x12

1证明(1)分析 |(3x1)8||3x9|3|x3|, 要使|(3x1)8| , 只须|x3|.3

1证明 因为 0, , 当0|x3|时, 有|(3x1)8| , 所以lim(3x1)8.x33

1(2)分析 |(5x2)12||5x10|5|x2|, 要使|(5x2)12| , 只须|x2|.5

1证明 因为 0, , 当0|x2|时, 有|(5x2)12| , 所以lim(5x2)12.x25

(3)分析

|x(2)|.x24x24x4x24(4)|x2||x(2)|, 要使(4), 只须x2x2x2

x24x24(4), 所以lim4.证明 因为 0, , 当0|x(2)|时, 有x2x2x2

(4)分析 14x31114x312, 只须|x()|.2|12x2|2|x()|, 要使2x12x1222

14x31114x3

2, 所以lim证明 因为 0, , 当0|x()|时, 有2.12x12x122x2.根据函数极限的定义证明:

(1)lim1x3

2x3

sinxx1;2(2)limxx0.证明(1)分析

|x|1

1x32x311x3x322x312|x|3, 要使1x32x311, 只须, 即322|x|2.证明 因为 0, X(2)分析

sinxx0

12, 当|x|X时, 有1x

1x32x311x31, 所以lim.x2x322

1x

, 即x

sinxx

|sinx|x

, 要使

sinx

证明 因为0, X

2, 当xX时, 有

xsinxx

0, 只须



.0, 所以lim

x

0.3.当x2时,yx24.问等于多少, 使当|x2|<时, |y4|<0.001？

解 由于x2, |x2|0, 不妨设|x2|1, 即1x3.要使|x24||x2||x2|5|x2|0.001, 只要

|x2|

0.001

0.0002, 取0.0002, 则当0|x2|时, 就有|x24|0.001.5

x21x

34.当x时, y

x21x23

1, 问X等于多少, 使当|x|>X时, |y1|<0.01?

解 要使1

4x23

0.01, 只|x|

3397, X.0.01

5.证明函数f(x)|x| 当x0时极限为零.x|x|

6.求f(x), (x)当x0时的左﹑右极限, 并说明它们在x0时的极限是否存在.xx

证明 因为

x

limf(x)limlim11,x0x0xx0x

limf(x)limlim11,x0x0xx0limf(x)limf(x),

x0

x0

所以极限limf(x)存在.x0

因为

lim(x)lim

x0

x0

|x|x

lim1,x0xx|x|xlim1,xx0x

lim(x)lim

x0

x0

lim(x)lim(x),

x0

x0

所以极限lim(x)不存在.x0

7.证明: 若x及x时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则limf(x)A.x

证明 因为limf(x)A, limf(x)A, 所以>0,x

x

X10, 使当xX1时, 有|f(x)A|;X20, 使当xX2时, 有|f(x)A|.取Xmax{X1, X2}, 则当|x|X时, 有|f(x)A| , 即limf(x)A.x

8.根据极限的定义证明: 函数f(x)当xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性.设f(x)A(xx0), 则>0, 0, 使当0<|xx0|< 时, 有

|f(x)A|<.因此当x0

|f(x)A|<.这说明f(x)当xx0时左右极限都存在并且都等于A.再证明充分性.设f(x00)f(x00)A, 则>0,1>0, 使当x010, 使当x0

| f(x)A|< ,即f(x)A(xx0).9.试给出x时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x时函数极限的局部有界性的定理 如果f(x)当x时的极限存在 则存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M

证明 设f(x)A(x) 则对于 1 X0 当|x|X时 有|f(x)A| 1 所以|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|

5.函数极限习题与解析 篇五

一、填空题

1、设f(x)2xlglgx，其定义域为。

2、设f(x)ln(x1)，其定义域为。

3、设f(x)arcsin(x3)，其定义域为。

4、设f(x)的定义域是[0，1]，则f(sinx)的定义域为。

5、设yf(x)的定义域是[0，2]，则yf(x2)的定义域为。

x22xk4，则k=。

6、limx3x3x有间断点，其中为其可去间断点。sinxsin2x8、若当x0时，f(x)，且f(x)在x0处连续，则f(0)。

xnnn22)。

9、lim(2nn1n2nn7、函数y

10、函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0连续的条件。

(x31)(x23x2)。

11、limx2x55x312、lim(1)n2nkne3，则k=。

x2113、函数y2的间断点是。

x3x

214、当x时，1是比x3x1的无穷小。x15、当x0时，无穷小11x与x相比较是无穷小。

16、函数ye在x=0处是第类间断点。

31x17、设yx1，则x=1为y的间断点。x118、已知f13，则当a为时，函数f(x)asinxsin3x在x处连续。

333sinxx02x19、设f(x)若limf(x)存在，则a=。

1x0(1ax)xx0xsinx2水平渐近线方程是。20、曲线yx221、f(x)4x21x12的连续区间为。

xa,x022、设f(x) 在x0连续，则常数

cosx,x0a=。

二、计算题

1、求下列函数定义域（1）y

（3）ye ；

2、函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？（1）f(x)lnx

（2）f(x)x

（3）f(x)1, 21 ；（2）ysinx ； 1x21x,g(x)2lnx ； ,g(x)x2 ；

g(x)sec2xtan2x ；

3、判定函数的奇偶性

（1）yx2(1x2)；

（2）y3x2x3 ；

（3）yx(x1)(x1)；

4、求由所给函数构成的复合函数（1）yu

2（2）yu

（3）yu2,usinv,vx2 ； ,u1x2 ； ,uev,vsinx ；

5、计算下列极限（1）lim(1n111123(n1)n)；

（2）lim ；

n242n2

x25x22x1（3）lim ；

（4）lim ； 2x1x2x3x

111x32x2（5）lim(1)(22)；

（6）lim ； 2xx2xx(x2)

1x21（7）limxsin ；

（8）lim ； 2x0x

（9）2xlimx(x1x)；

6、计算下列极限（1）limsinwxx0x ；

（3）limx0xcotx ；

（5）limx1x(x1)x1 ；

7、比较无穷小的阶

（1）x0时，2xx2与x2x3 ；

（2）x1时，1x与1(1x22)；

x13x1x2）limsin2xx0sin5x ；

4）lim(xx1x)x ； 16）lim(1x)xx0 ；

（（（8、利用等价无穷小性质求极限

tanxsinxsin(xn)（1）lim ；

（2）limx0x0(sinx)msinx39、讨论函数的连续性

(n,m是正整数)；

x1,x1 f(x)在x1。3x,x

110、利用函数的连续性求极限

（1）limln(2cos2x)；

（2）lim(xxx2xx2x)；

6（3）limlnx0sinx12x ；

（4）lim(1)；

xxx

（5）设f(x)lim(1)nxnn,求limf(t11)； t

1（6）limxln(xx1)； x1

ex,x011、设函数f(x)

ax,x0应当怎样选择a，使得f(x)成为在(，)内的连续函数。

12、证明方程x3x1至少有一个根介于1和2之间。

5（B）

1、设f(x)的定义域是[0，1]，求下列函数定义域（1）yf(ex)

（2）yf(lnx)

0,xo2、设f(x)x,x0求

0,x0 g(x)2x,x0f[g(x)],g[f(x)] f[f(x)],g[g(x)]，3、利用极限准则证明：（1）lim1n11（2）limx[]1 ；

x0xn

（3）数列2,4、试比较当x0时，无穷小232与x的阶。

5、求极限

（1）limx(x1x)；

（2）lim(xx22,222,的极限存在 ；

xx22x3x1)； 2x

1（3）limx0tanxsinx ； 3x

axbxcxx（4）lim()x0

31(a0,b0,c0)；

1,x0xsin6、设f(x)

要使f(x)在(,)内连续，x2ax,x0应当怎样选择数a ？

x11,x0

求f(x)的间断点，并说明间断点类型。

7、设f(x)eln(1x),1x0

（C）

1、已知f(x)ex2,f[(x)]1x，且(x)0，求(x)并写出它的定义域。

2、求下列极限：

1x)coslnx] ；（1）、lim[cosln(（2）、milxx01xnisxcosx ；

xxax3x252)9，求常数a。sin ；（3）、求lim（4）、已知lim(x5x3xxax（5）、设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)a,f(b)b，证明：在开区间(a,b)内至少存在一点，使f()。

第一章 函数与极限习题 解 析

（A）

一、填空题（1）(1,2]

（2）(1,)

（3）[2，4]

（4）x2kx(2k1)（6）-3

（7）xk,kz（10）充分

（11）,kz

（5）[2,;x0

（8）2（9）1

2]

3（12）

（13）x=1 , x=2（14）高阶 22（15）同阶

（16）二

（17）可去

（18）2

（19）-ln2（20）y=-2

（21）[2,1](1,2]

（22）1

二、计算题

1、（1）

(,1)(1,1)(1,)

（2）

[0,)

（3）(,0)(0,)

2、（1）不同，定义域不同

（2）不同，定义域、函数关系不同

（3）不同，定义域、函数关系不同

3、（1）偶函数

（2）非奇非偶函数

（3）奇函数

24、（1）y(sinx2)

2（2）[y1x]

（3）[ye2sinx] 

5、（1）[ 2 ]

（2）[]

（3）-9

（4）0

（5）2（6）

（7）0

（8）2（9）

6、（1）w

（2）2121 2212

1（3）1

（4）e

（5）e

（6）e 5237、（1）2xx是xx的低阶无穷小

（2）是同阶无穷小

0,mn1

8、（1）

（2）1,mn

2,mn

9、不连续

10、（1）0

（2）1

（3）0

（4）e

（5）0

（6）-2

211、a=1

（B）

1、（1）提示：由0e1 解得：x(,0]

（2）提示：由0lnx1解得：x[1,e]

2、提示：分成xo和x0两段求。f[f(x)]f(x)，g[g(x)]0，xf[g(x)]0 , g[f(x)]g(x)

4、（1）提示：11111111

（2）提示：x(1)x[]x

xxxnn

（3）提示：用数学归纳法证明：an222

2x3x22x13x1x

5、提示：

令21t（同阶）

xxx（2）提示：除以2x ；e 21

（3）提示：用等阶无穷小代换 ；

26、（1）提示：乘以x21x ；axbxcxx（4）提示：()

33xxxxxxa1b1c1a1b1c113ax1bx1cx13x1（3abc）

7、提示：limf(x)limf(x)f(0)

（a0）

x0x0

8、x1是第二类间断点，x0是第一类间断点

（C）

1、解：因为fxe2(x)1x，故(x)ln(1x)，再由ln(1x)0，x0。得：1x1，即x0。所以：(x)ln(1x)1xsinxsin2x1xsinxcos2x2、解：原式=lim=lim

x0x0x(1xsinxcosx)2xsinx(xsinx)=0 x0x223、解：因为当x时，sin~，xx=lim123x2523x2526x2106sin=lim=lim2则lim=

x5x3xxx5x3x5x3x5a1xaxeax=a=e2a)=lim

4、解：因为：9=lim(aexxax1x所以e2ax9，aln3

5、证明：令F(x)f(x)x，F(x)在a,b上连续，且

6.函数极限的运算方法 篇六

1 通过变化整理直接运用定义法则求函数的极限

例1:

例2:

方法总结:a.消去“0”因子。

b.将“无穷大”变成“无穷小”

2 利用公式求函数的极限

例3:

例4:

方法总结:两个重要极限:

a.

b.

3 利用等价无穷小可互相代替的方法求极限

例5:

解:因为当x→0时, tan2x~2x, sin5x~5x,

所以

方法总结:求极限时, 分子分母的无穷小因子可用等价无穷小代替

4 利用洛必达法则求函数的极限

例6:

例7:

方法总结:将各种类型不定式化成或型未定式, 再用洛必达法则求值。

摘要：函数极限的运算在高等数学的基础中占据较重要的位置, 正确而熟练地掌握求极限的方法, 也是学好高等数学的重要因素之一。

关键词：极限运算法则、公式,两个重要极限,等价无穷小的互相替代,洛必达法则

参考文献

[1]张嘉林.高等数学[M].北京:中国农业出版社, 2002.

[2]惠淑荣.李喜霞.高等数学[M].北京:中国农业出版社, 2006.

7.关于求函数极限方法的讨论 篇七

关键词：函数极限；恒等

中图分类号：O171 文献标识码：A文章编号：1007-9599 (2011) 03-0000-01

Discussion on Limit of Function Methods

Jiang Yan

(Chongqing Vocational College of Architecture Engineering,Chongqing 400039,China)

Abstract:The function of higher mathematics made to limit summarized in more detail.Eight methods described in five points,and explains the difference and contact between each method.

Keywords:Functional limit;Identity

極限的思想贯穿于整个微积分的课程之中，掌握好求极限的方法是十分必要的。由于极限的求法众多，且灵活性强，不是每一种方法都适用于求任意函数的极限，或者某个函数的极限可以用多种方法求出，那么就可以选择比较简单的方法求之。因此有必要对极限的求法加以归纳总结。

一、利用极限的四则运算法则和函数的连续性求极限

一般情况下，可以利用函数连续性求解极限的函数，就可以用极限的四则运算法则来求解，而通过以下对比，可发现，利用函数的连续性求解会方便很多。

（一）极限的四则运算法则

若 ，

则：

法则本身比较简单，要注意两点：1、函数的个数有限，且每个函数的极限要存在；2、作为除数的函数极限不为零。因此大多数函数求极限往往不能直接利用法则，需要进行恒等变形，常用的方法有分子分母因式分解、分式的通分或约分、分子分母有理化、三角函数的恒等变形、或者先求其倒数的极限等等。

例1

解：

例2

解：原式

由例2可总结以下结论

（二）利用函数的连续性求极限

若函数 在 处连续，则 ，而初等函数在其定义区间内都是连续的，所以求初等函数在其定义区间内任意一点处的函数极限值，只需求函数在该点处的函数值，可以直接代入计算。如果是求定义区间以外点处的极限，则可以通过恒等变形将函数化为在该点处连续的函数，再代值计算。这里的恒等变形和四则运算里面的变形用方法是类似的，并且有时候使用函数的连续性求极限比利用函数的四则运算简洁许多。例如前面的例1可求解为：

例3

解：因为 在其定义域以内，所以函数在 处连续

二、利用两个重要极限、无穷小量的性质和等价无穷小代换求极限

重要极限中的弧弦之比其实也说明了一个等价的问题，而利用等价无穷小量代换求解会方便很多。

（一）利用重要极限求函数的极限

两个重要极限的标准形式为： （弧弦之比）， 或 。一个是利用三角公式找到原函数和 的关系，另一则主要用在形如 的函数极限的求解（后面会提到形如 的函数极限的求解）。它们的扩展形式为： ， 或 （ ）利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的恒等变形，将所求极限的函数变形为重要极限或者重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则或函数的连续性求解。

例4

解：原式

例5

解：原式

例6

解：原式

（二）利用无穷小的性质求函数的极限

无穷小量的极限为零且无穷小量有以下性质：

（1）有限个无穷小量的代数和为无穷小量；

（2）有界函数（常量）与无穷小量之积为无穷小量：

（3）有限个无穷小量之积为无穷小量。

在关于函数极限的求解中使用最多的是性质（2）。

例7 求

解： 原式 。

（三）利用等价无穷小代换求函数的极限

等价无穷小量的定义为：若 是同一极限过程的无穷小量，即 ， ，且 ，则称 是等价无穷小量，记作 。等价无穷小量在求极限中的应用的相关定理为：设 使同一极限过程的无穷小量，且 存在，则有 。而重要极限中的 ，就说明了 ，除此以外，常用的等价无穷小量有： ， ， 。由此，例4和例5可另解为： 及 。

在使用时要注意的一点是：相乘（除）的无穷小量都可以用各自的等价无穷小量来代换，但是相加（减）的无穷小量的项是不但能作等价代换的。

三、利用夹逼准则求极限

函数极限的夹逼准则为：设有三个函数 ， ， 在点 的某去心邻域内有定义，且满足条件：（1） ；（2） ；则极限 存在，且等于 。

例8 求极限

解：

四、利用导数的定义求极限

若函数 在 处可导，则有 ，除此以外还有另外两种形式（1） ；（2）

利用这个定义，若所求极限的函数具有函数导数的定义式或者可以化为导数的定义式，则可利用导数的定义来求极限。

例9 若 存在，求 。

解：

原式

五、利用罗比达法则求函数的极限

罗比达法则为：如果函数 和 满足：

（1） （取相同的极限过程且极限相等）；

（2） 都可导，且 ；

（3） ，

则 。

（一）“ ”型和“ ”型

罗比达法则主要用来求解“ ”型和“ ”型这两种未定式的极限。利用罗比达法则求极限，由于分类明确，规律性强，而且可以连续进行运算，可以简化一些复杂的函数求极限的过程，但运用时需要注意条件。

例10求

解：

注意：遇到 不存在也不是 时，并不能说明原式 不存在，此时应另找他法，如 ，属于“ ”型，使用罗比达法则以后变为求 ，显然不存在。可先变形，再利用前面提到的有界函数和无穷小量另解为

（二）“ ”型

对于函数 属于“ ”型未定式，可做适当变型化为“ ”型或“ ”型，即： 或 ，再使用罗比达法则。至于究竟化为哪一种应视情况而定，看哪一种化法更容易求解，简单来说，就是看变型以后的分子分母分别求导相对简单一些。

例11 求

分析： 显然变形为“ ”型再利用罗比达简单一些：即方便分子分母分别求导数。

解：原式

（三）“ 型”

一般情况下，为分式相减的，先通分；为根式相减的，先根式有理化：最终仍是化为 或 ，再使用罗比达法则求解。

例12 求

解：原式

（四） 型

这三种形式均为幂指函数求极限，即： ，因为 ，可先求出 ，而 ，从而化为求 函数的极限，接着用前面的介绍的方法求解。使用关键在于要注意变型的恒等，也就是很多人计算时往往把所求极限函数的对数的极限计算以后就结束了，实际上此时的极限和只是原式变型以后指数的极限。

例13 求

解：

例 14

解：

原式

“ ”在可化为“ ”时还可以直接利用重要极限中的 （ ）。

（五）罗比达法则与等价无穷小代换的综合使用

有时候罗比达法则和等价无穷小代换综合使用效果更好。

例14求

分析：此题为两对数乘积，且为 型，若直接变型使用罗比达会有麻烦，此时可先利用无穷小量等价代换化为熟悉的问题。

解：原式

例15求

解：

原式

六、结论

总之，以上各种求极限的方法要根据不同的情况来选择，记住一些结论或标准的形式对于求解和选择恰当的方法帮助会很大。各个方法之间其实不是孤立的，有时求解一道题可以使用多种方法，而各个方法的使用中几乎都提到了恒等变形，这是很重要的一个原则。

参考文献:

[1]龙辉.高职数学[M].电子科技大学出版社.2007

[2]龙辉.高职数学辅导与练习[M].电子科技大学出版社,2008

8.利用函数极限定义证明11 篇八

1.利用函数极限定义证明:

(3).limxsinx01x0;

x|1，则当 0|x| 时, 有 证明: 对于任意给定的正数 0, 取 , 因为 |sin

x1x1xxsin|x|sin|x|，所以limxsinx00.2．利用无穷大量定义证明：

（1）lim1x

4x；

1x

4证明：对于任意给定的正数 G0, 取 M4G1, 则当 |x|M 时, 有 |

所以 lim1x

4.|G，x

5．证明：若limf(x)A，则lim|f(x)||A|.xx0xx0证明：对于任意给定的正数 0, 由于limf(x)A，存在0，使得当

xx0

0|xx0|时, 都有|f(x)A|，而

9.多元函数的极限与连续 篇九

第16章

多元函数的极限与连续

计划课时：

0 时

第16章

多元函数的极限与连续(1 0 时)

§ 1

平面点集与多元函数

一.平面点集:平面点集的表示: E{(x,y)|(x,y)满足的条件}.余集Ec.1.常见平面点集:

⑴

全平面和半平面 : {(x,y)|x0}, {(x,y)|x0}, {(x,y)|xa}，{(x,y)|yaxb}等.⑵ 矩形域: [a,b][c,d], {(x,y)|x||y|1}.⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分.极坐标表示, 特别是 {(r,)|r2acos}和{(r,)|r2asin}.⑷ 角域: {(r,)|}.⑸ 简单域: X型域和Y型域.2.邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集

{(x,y)|0|xx0| , 0|yy0|}的区别.3． 点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:

（1）内点、外点和界点：

内点：存在U(A)使U(A)E

集合E的全体内点集表示为intE,.外点：存在U(A)使U(A)E

界点：A的任何邻域内既有E的点也有不属于E的点。E的边界表示为E

集合的内点E, 外点E , 界点不定.例1 确定集E{(x,y)|0(x1)(y2)1 }的内点、外点集和边界.例2 E{(x,y)|0yD(x), x[ 0 , 1 ] } , D(x)为Dirichlet函数.确定集E的内点、外点和界点集.（2）(以凝聚程度分为)聚点和孤立点:

聚点：A的任何邻域内必有属于E的点。

孤立点：AE但不是聚点。孤立点必为界点.例3 E{(x,y)|ysin }.确定集E的聚点集.解

E的聚点集E[ 1 , 1 ].221x 2 4．区域：

（1）(以包含不包含边界分为)开集和闭集: intE E时称E为开集 , E的聚点集E时称E为闭集.intE 存在非开非闭集.（3）有界集与无界集:

（4）

点集的直径d(E)： 两点的距离(P1 , P2).（5）

三角不等式：

|x1x2|（或|y1y2|）或(P1,P2)R2和空集为既开又闭集.（2）(以连通性分为)开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域.(x1x2)2(y1y2)2 |x1x2||y1y2|.(P1,P3)(P2,P3)

二.R2中的完备性定理:

1． 点列的极限:

设Pn(xn , yn)R2, P0(x0 , y0)R2.PnP0的定义(用邻域语言)

定义1。

limn0,N,nNPnU(P0,)或(P0,Pn)

例4(xn , yn)(x0 , y0)xnx0, yny0,(n).例5 设P0为点集E的一个聚点.则存在E中的点列{ Pn }, 使limPnP0.n

2．R2中的完备性定理：

（1）Cauchy收敛准则:

.（2）.闭域套定理:（3）.聚点原理: 列紧性 ，Weierstrass聚点原理.（4）有限复盖定理:

三．二元函数:

1.二元函数的定义、记法、图象：

2.定义域： 例6 求定义域：

ⅰ> f(x,y)3.二元函数求值: 例7 例8 9x2y2x2y21;ⅱ> f(x,y)lny.2ln(yx1)yf(x,y)2x3y2, 求 f(1 , 1), f(1 ,).xf(x,y)ln(1x2y2), 求f(cos , sin).4.三种特殊函数: ⑴ 变量对称函数: f(x,y)f(y,x),例8中的函数变量对称.⑵ 变量分离型函数: f(x,y)(x)(y).例如

zxye2x3y, zxy2xy2, f(x,y)(xyy)(xyx)等.(xy)2 4 但函数zxy不是变量分离型函数.⑶ 具有奇、偶性的函数

四．n元函数

二元函数 推广维空间 记作R n

作业 P9—8.§ 2 二元函数的极限

一.二重极限

二重极限亦称为全面极限

1.二重极限

定义1 设f为定义在DR上的二元函数，P0为D的一个聚点，A是确定数 若 0,0,或

2PU0(P0,)D,f(P)A则limf(P)A

PP0(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A

例1 用“”定义验证极限

(x,y)(2,1)lim(x2xyy2)7.xy20.例2 用“”定义验证极限 lim2x0xy2y0例3 x2y2,(x,y)(0,0),xyf(x,y)x2y2

0 ,(x,y)(0,0).f(x,y)0.(用极坐标变换)

P94 E2.证明

(x,y)(0,0)lim2.归结原则：

定理 1

limf(P)A, 

对D的每一个子集E , 只要点P0是E的聚点 , PP0PD就有limf(P)A.PP0PE

推论1

设E1D, P0是E1的聚点.若极限limf(P)不存在 , 则极限limf(P)也不存在.PP0PE1PP0PD

推论2

设E1,E2D, P0是E1和E2的聚点.若存在极限limf(P)A1，PP0PE1PP0PE2limf(P)A2, 但A1A2, 则极限limf(P)不存在.PP0PDPP0PD

推论3

极限limf(P)存在,  对D内任一点列{ Pn }, PnP0但PnP0, 数列{f(Pn)}收敛.通常为证明极限limf(P)不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限PP0不相等, 或证明极限与方向有关.但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等  全面极限存在

例4 xy ,(x,y)(0,0), 证明极限limf(x,y)不存在.f(x,y)x2y2(x,y)(0,0)0 ,(x,y)(0,0).6 例二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限: ⅰ>

(x,y)(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)(3,0)yx2y2 ⅲ>

3．极限(x,y)(0,0)limxy11ln(1x2y2);ⅳ> lim.22(x,y)(0,0)xyxy(x,y)(x0,y0)limf(x,y)的定义:

2定义2．设f为定义在DR上的二元函数，P0为D的一个聚点，若 M0,0,或

PU0(P0,)D,f(P)M则limf(P)

PP0(x,y)(x0,y0)limf(x,y)

其他类型的非正常极限，(x,y)无穷远点的情况.例7 验证(x,y)(0,0)lim1.222x3y二.累次极限

二次极限

1.累次极限的定义:

定义3．设Ex,EyR,x0,y0分别是Ex,Ey的聚点，二元函数f在集合ExEy上有定义。若对每一个yEyyy0存在极限limf(x,y)

记作(y)limf(x,y)

xx0xExx0xE若Llim(y)存在，则称此极限为二元函数f先对x后对y的累次极限

yy0yEy记作Llimlim(y)

简记Llimlim(y)

yy0xx0yEyxExyy0xx0例8 f(x,y)xy, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.x2y2 7 例9 x2y2, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.f(x,y)22xy11ysin, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.yx例10 f(x,y)xsin2.二重极限与累次极限的关系:

⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等.(例9)⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数f(x,y)xsin1在点(0 , 0)的情况.y

⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在.例如例10中的函数, 由 , y)(0,0).可见全面极限存在 , 但两个累次极限均不存在.|f(x,y)|  |x||y|0 ,(x

⑷ 两个累次极限存在(甚至相等)

二重极限存在.(参阅例4和例8).综上 , 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.定理2 若二重极限

推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时 , 三者相等.推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时 , 二重极限不存在.但两个累次极限中一个存在 , 另一个不存在 

二重极限不存在.参阅⑵的例.(x,y)(x0,y0)limf(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在 , 则必相等.xx0yy0

作业提示: P99 1、2、4

§ 3 二元函数的连续性(4 时)

一． 二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入.1.连续的定义:

定义

用邻域语言定义相对连续.全面连续.函数f(x,y)有定义的孤立点必为连续点.例1 xy22 , xy0 ,22xy

f(x,y)m , x2y20.1m2证明函数f(x,y)在点(0 , 0)沿方向ymx连续.1 , 0yx2, x ,例2

f(x,y)

([1]P124 E4)0 , 其他.证明函数f(x,y)在点(0 , 0)沿任何方向都连续 , 但并不全面连续.函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性.函数在区域上的连续性.2.二元连续(即全面连续)和单元连续 :

定义

(单元连续)

二元连续与单元连续的关系: 参阅[1]P132 图16—9.3.连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性.仅证复合函数连续性.二.二元初等函数及其连续性:

二元初等函数 , 二元初等函数的连续性.三.一致连续性: 定义.四.有界闭区域上连续函数的性质:

1.有界性与最值性.(证)

2.一致连续性.(证)

3.介值性与零点定理.(证)

Ex

[1]P136—137 1 ⑴—⑸，2，4，5；

P137—138

10.巧用极限思想探究函数图象的走向 篇十

例1（2013年高考山东卷·文9理8）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）.

A.B.C.D.

分析因为函数y=xcosx+sinx是奇函数，所以其图象关于原点对称，这样可排除B.又当x=π时，y=-π<0，这时可排除A.当x是一个无限接近于0的正数时，y>0，故可排除C.因此选D.

评注（1）此题用极限思想来解答的亮点是，当x是一个无限接近于0的正数时，y>0.（2）判断函数的图象问题，往往要把函数的性质（单调性、奇偶性）、最值、在某区间上的函数值的正负、特殊点和极限思想综合起来考虑.（3）此题不用极限思想也易解答，y=xcosx+sinx是奇函数，否定B.当00，否定C.当π

例2（2012年高考山东卷·文10理9）函数y=cos6x2x-2-x的图象大致为（）.

A.B.C.D.

分析因为函数f（x）是奇函数，所以排除A.当x→0+（x从y轴的右边无限趋近于0）时，4x-1无限趋近于一个

很小的正数，如图1，且（12）x无限趋近于1

（4x-1）·（12）x无限趋近于一个很小的正数图1

1（4x-1）·（12）x无限趋近于一个很大的正数，即

1（4x-1）·（12）x→+∞.又12x-2-x=1（4x-1）（12）x，所以

12x-2-x无限趋近于一个很大的正数，即12x-2-x→+∞，又当x→0+（x从y轴的右边无限趋近于0）时，cos6x→+1（cos6x从y轴的右边无限趋近于1）.综上，12x-2-x·cos6x→+∞（12x-2-x·cos6x无限趋近于一个很大的数）.

当x→+∞时，12x-2-x→0，而|cos6x|≤1，所以当x→+∞时，12x-2-x·cos6x→0，即f（x）→0.故选D.

评注（1）此题虽然可用函数的性质（奇偶性、单调性）、零点及函数值的正负来解答，但是由此不容易看出函数图象的走向.（2）用函数的性质、零点及函数值的正负可有如下解答：因为函数是奇函数，所以其图象关于原点对称，由此排除A.令y=0得cos6x=06x=π2+kπ（k∈Z）x=π12+kπ6（k∈Z）函数有无穷多个零点，所以可排除C.因为函数y轴右侧的第一个零点为π12，又函数y=2x-2-x为增函数，所以当00，cos6x>0，所以y=cos6x2x-2-x>0，由此排除B.故选D.

例3（2010年高考山东卷·文11理11）函数y=2x-x2的大致图象是（）.

A.B.C.D.

分析由函数y=2x-x2可知2与4是其函数的两个零点，由此可排除B和C.又当x→-∞（x从一个很大的负数向很小的负数无限趋近）时，2x→0，-x2→-∞2x+（-x2）→-∞，即2x-x2→-∞，即y→-∞，从而选A.

评注由函数y=2x-x2可知2与4是其函数的两个零点，由此可排除B和C.又f（-1）=2-1-（-1）2=-12<0，由此可排除D.故选A.这种解答思路看不出函数y=2x-x2的图象的走向.

例4（2009年高考山东卷·文6理6）函数y=ex+e-xex-e-x的图象大致为（）.

A.B.C.D.

分析若使函数有意义，必须使ex-e-x≠0x≠0，所以函数的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，由此可排除C和D.又因为y=ex+e-xex-e-x=e2x+1e2x-1=1+2e2x-1，所以当x→0+（x从y轴的

右边无限趋近于一个很小的正数）时，e2x-1

趋近于一个很小的正数，如图2图2

2e2x-1→+∞1+2e2x-1→+∞，即y→+∞，

故选A.

评注（1）由函数的定义域为{x|x∈R，且x≠0}可排除C和D.当x=12时，y=1+2e-1>2，由此可排除B.故选A.这种解法看不出函数图象的走向.（2）也可从x→0-入手.

有些题目表面上看虽然与极限无关，但是若用运动变化的观点，灵活地运用极限思想来思考，往往可避免复杂的运算，优化解题过程和解题方法，降低解题难度.极限思想也是一种探索解题思路或切入点的有效武器，在解题过程中有良好的导向作用.

极限思想的精髓是逼近、趋近、无限接近.利用这种变化趋势，我们可以更形象、更直观、更细致地认识函数的图象，由此也就更深刻地认识了函数的性质.在高中数学教学中，特别是在高三数学复习教学中，教师应该予以足够重视.作者简介武增明，男，1965年5月生，云南易门人，中学高级教师，玉溪市数学学科带头人，玉溪市劳模.在省级及其以上数学专业刊物上发表教育教学论文140余篇.主要从事高中数学教学及其研究.

11.高等数学中函数极限计算方法 篇十一

一、利用左、右极限求极限

左、右极限常用来求分段函数在分段点处的极限, 需要注意的是左、右极限也可以用来求含有绝对值表达式的函数的极限。

二、利用极限运算法则求极限

定理已知limf (x) , limg (x) 都存在, 极限值分别为A, B, 则

注意极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件, 当条件不满足时, 常常要对函数进行恒等变形或化简。常用的方法有分式的约分或通分、分式有理化、三角函数的恒等变形等。

三、利用两个重要极限求极限

不仅要能够运用这两个重要极限本身, 还应注意运用它们的变形形式:

四、利用无穷小求极限

定理无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小。

定理当x→0时, 下列函数都是无穷小且相互等价, 即有:

需要注意当上面每个函数中的自变量x换成g (x) 时 (g (x) →0) , 上面的价关系成立。

解:∵x→0时, 1n (1+3x) ~3x, arctan (x2) ~x2,

注:下面的解法是错误的:

要注意对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用等价无穷小代换。

五、利用连续性求极限

定理一切连续函数在其定义去间内的点处都连续, 即如果x0是函数f (x) 的定义去间内的一点, 则有

注意利用连续函数求极限时, 对于复合函数f (u) 在u=a处连续, 且则

六、利用导数的定义求极限

七、利用洛比达法则求极限

洛比达法则:当自变量x趋近于某一定值 (或无穷大) 时, f (x) 和g (x) 满足:

1) f (x) 和g (x) 的极限都是0或都是无穷大;

2) f (x) 和g (x) 都可导, 且g (x) 的导数不为0;

用该法则求极限时, 应注意条件是否满足, 只要有一条不满足, 洛比达法则就不能应用。特别要注意条件1) 是否满足, 即验证所求极限是否为“”型或“”型;条件2) 一般都满足, 而条件3) 则在求导完毕后可以知道是否满足。洛比达法则可以连续使用, 但每次使用之前都需要注意条件, 且将极限中非零的乘积因式求极限后提出, 这样可以使计算简化。

正确解法:

解:该极限是“”型, 但用洛比达法则后:, 此极限不存在, 而原来极限却是存在的。正确做法如下:

由此可以看出, 求极限方法灵活多样, 要想熟练掌握各种方法, 必须多做练习, 在练习中体会。这对于掌握极限的运算是非常有帮助的。

参考文献

[1]姚允龙.数学分析[M].上海:复旦大学出版社, 2002.

[2]同济大学应用数学系.高等数学 (第五版, 上册) [M].北京:高等教育出版社, 2005.

[3]田大增.极限计算中应注意的几个问题[J].河北大学成人教育学院学报, 2006.