函数单调性教案(简单)

函数单调性教案(简单)（共12篇）

1.函数单调性教案(简单) 篇一

教学基本信息
课题	函数的单调性
学科	数学	学段	高中	年级	高一
相关 领域	函数
教材	书名：《普通高中课程标准实验教科书数学1·必修B》 出版社：人民教育出版社      出版日期：4月
1.指导思想与理论依据
建构主义认为，学习者的知识是在一定的情境下，借助他人的帮助，如人与人之间的协作、交流、利用必要的信息等等，通过意义建构而获得的。建构主义数学观认为，教学设计要根据学生原有知识和思维习惯设计数学活动，创设情境，让学生实现意义建构。 《普通高中数学课程标准(实验)》指出：“高中数学课程应倡导自主探索等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程。” 要求学生“理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。”
2.教学背景分析
学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数的基础上对函数的增减性有一个初步的感性认识，在此学习单调性是对函数概念的延续和拓展，对进一步探索、研究函数的其它性质有着示范性的作用，又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础。 单调性起着承上启下的作用，一方面，是初中学习内容的深化，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识。另一方面，函数的单调性为后面学习指数函数、对数函数、三角函数及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值，导数等都有着紧密的联系。 通过初中对函数的学习，学生已具备了一定的观察事物能力，抽象归纳的能力和语言转换能力。在此学习单调性，有助于学生从感性思维到理性思维的过渡。
3.教学目标(含重、难点)
知识与技能： （1）从形与数两方面理解单调性的概念 （2）绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法 过程与方法： （1）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力 （2）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法 （3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程 情感态度价值观： 通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证的观点思考问题 教学重点：函数单调性的概念形成和初步运用 教学难点：函数单调性的概念形成
4、教学流程示意
5.教学过程
环节	教师活动	学生活动	设计意图
创 设情境 引入新课 6 分钟	问题1：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图象，并且观察函数变化规律？ 描述完前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。 二次函数的增减性要分段说明 提出问题： 二次函数是增函数还是减函数？ 问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数？	观察图象，利用初中的函数增减性质进行描述 学生会指出： y=2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而增大 y=-2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而减小 y=x2+1在（-∞，0]上y随x增大而减小，在（0，+∞）上y随x增大而增大 学生可能回答：既是增函数又是减函数或有时增函数有时减函数 讨论得出：单调性是函数的局部性质 结合单调性是局部性质，用直观描述回答：在一个区间里，y随x增大而增大，则是增函数；y随x增大而减小就是减函数	数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”，因此在本环节的设计上，从学生熟知的一次函数和二次函数入手，从初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的直观感受。 通过一次函数认识单调性，再通过二次函数认识单调性是局部性质，进而完善感性认识。
环节	教师活动	学生活动	设计意图
初步探索 概念形成 8 分钟	问题三：（以y=x2+1在 (0，+∞)上单调性为例）如何用精确的数学语言来描述函数的单调性？ 分三步： 提问学生什么是“随着” 如何刻画“增大”？ 对“任取”的理解 进而得到增（减）函数的定义 进一步提问:如何判断 f(x1) 得到求差法后提出记△x= x2-x1 △y= f(x2)-f(x1)= y2-y1	学生交流、提出见解，提出质疑，相互补充 回归函数定义解释 要表示大小关系，学生会想到取点，比大小 讨论应该如何取值。学生可能会提到多取一些，也可能会想到将取值区间任意小，进一步讨论得出“任取”二字。	通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到 “文字语言”到 “符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。另外，在此强调“任意性”的理解，从而达到突破难点，突出重点的目的。 在此还提出求差法比较大小，为后面的证明和判断扫清障碍
概念深化 延伸拓展 12分钟	问题四：能否说f(x)=在它的定义域上是减函数？ 从这个例子能得到什么结论？ 给出例子进行说明： 进一步提问： 函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，何时函数在A∪B上也是增（减）函数 再一次回归定义，强调任意性	思考、讨论，提出自己观点 学生提出反例，如x1=-1，x2=1 进一步得出结论： 函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，函数在A∪B上不一定是增（减）函数 将函数图象进行变形（如x<0时图象向下平移）	通过上面的问题，学生已经从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对严谨的数学语言学生还缺乏准确理解，因此在这里通过问题深入研讨加深学生对单调性概念的理解。
环节	教师活动	学生活动	设计意图
	拓展探究：已知函数 是 （-∞，+∞）上的增函数，求a的取值范围	利用单调性定义解决问题	在问题四的背景下解决本题，体会在运动中满足任意性。
证法探究 应用定义 13 分钟	例1：证明函数 在（0，+）上是增函数 证明：任取且 ∴函数在（0，+）上是增函数 例2：判断函数在（0，+∞）上的单调性 进一步提问：如果把（0，+∞）条件去掉，如何解这道题？ （作业）	根据单调性定义进行证明 讨论，规范步骤 设元 作差 变形 断号 定论 根据定义进行判断 体会判断可转化成证明 课后思考	本环节是对函数单调性概念的准确应用，本题采用前面出现过的函数，一方面希望学生体会到函数图象和数学语言从不同角度刻画概念，另一方面避免学生遇到障碍，而是把注意力都集中在单调性定义的应用上。 课标中指出“形式化是数学的基本特征之一，但不能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真”因此本题不再从证明角度，而是让学生再次从定义出发，寻求方法，并体会转化思想。
小结评价作业创新 6分	从知识、方法两个方面引导学生进行总结. 作业（1、2、4必做，3选做） 1、  证明：函数在区间 [0，+∞)上是增函数。 2、课上思考题 3、求函数的单调区间 4、思考P46 探索与研究	回顾函数单调性定义的探究过程；证明、判断函数单调性的方法步骤；数学思想方法 完成课堂反馈	使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识，体会到数学概念形成的主要三个阶段：直观感受、文字描述和严格定义 作业实现分层，满足学生需求
6.学习效果评价设计
学习效果预测： 在本节课学习中，学生能理解单调性的定义，绝大多数学生能按照单调性的证明步骤进行证明，能判断函数的单调性 学习效果评价方式： 1、  课堂反馈：证明：函数在（0，+∞）上是减函数 2、  教师评价：课堂发言反映的思维深度；课堂发现问题的角度、能力；课堂练习的正确性；课堂学习的积极性 3、  学生自评：本节课学习兴趣；独立思考的习惯；合作交流的意识；对知识、方法等收获的程度
7.本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)
1、在情境设置中，严格按照课标要求以二次函数y=x2+1为例，经历画图、描述图象、找单调区间、形成单调性定义、证明其单调性的过程，将学生对单调性的认识从感性上升到理性，并将定义进行应用。 2、在教学过程中，创设一个探索的学习环境，通过设计一系列问题，使概念得到形成和深化，学生亲身经历数学概念的产生与发展过程，从而逐步把握概念的实质内涵，深入理解概念。 3、概念深化时，在研究是否满足任意性时引入函数图象的运动，为前面学习的集合中的运动进行巩固，为后面函数的学习进行铺垫。 4、课标要求“高中数学课程应该返璞归真”，因此在例题的设计中避免了过度形式化，注重问题的多样性，注重学生对概念本质的理解。 5、作业设计既可巩固基础又提供给学生充足的思考空间

 

2.函数单调性教案(简单) 篇二

函数的单调性是函数的重要性质之一, 在解题时若能合理巧妙地加以运用, 定会给你带来快捷的解题思路.本文举例谈谈函数的单调性在解题中的多方面应用.

一、用于比较两个数的大小

例1 比较 log2 (x+1) 与 log2 (2x+3) 的大小.

分析:从题设的两个对数式, 便联想起 y=log2u在 (0, +∞) 上是单调函数, 因此只要比较两个真数的大小, 原题就可获解.

解:由

$\{\begin{array}{l}x+1＞0‚\\ 2x+3＞0‚\end{array}$

解得 x>-1.

当 x>-1时, 有0<x+1<2x+3.

又因为函数 y=log2u 在 (0, +∞) 上单调递增, 所以 log2 (x+1) <log2 (2x+3) .

二、用于证明不等式

例2 已知 a、b、c∈R+, c<a+b 且 c>a-b, 求证$\frac{c}{c+1}＜\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}.$

分析:观察题中的$\frac{c}{c+1}‚\frac{a}{a+1}‚\frac{b}{b+1}$的特征, 自然会考虑函数$f(x)=\frac{x}{x+1}$.然后利用此函数在 (0, +∞) 上是增函数, 可获结论.

证明:构造函数$f(x)=\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$, 由此可知 f (x) 在 (0, +∞) 上是单调递增函数.

又由 c<a+b, 有 f (c) <f (a+b) ,

$\begin{array}{l}\text{即}\frac{c}{c+1}＜\frac{a+b}{(a+b)+1}\\ =\frac{a}{(a+b)+1}+\frac{b}{(a+b)+1}\\ ＜\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}‚\end{array}$

故$\frac{c}{c+1}＜\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}.$

三、用于求函数的最值

例3 求函数$f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-3}$的最大值.

$\begin{array}{l}\text{解}:\text{由}f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-3}\\ =\frac{4}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-3}}‚\end{array}$

知函数$f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-3}$在其定义域[3, +∞) 上是减函数, 所以函数$f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-3}$的最大值是 f (3) =2.

四、用于求解方程

例4 解方程2x+3x+6x=7x.

解:原方程可变形为

$(\frac{2}{7}){}^x+(\frac{3}{7}){}^x+(\frac{6}{7}){}^x=1.$

设$f(x)=(\frac{2}{7}){}^x+(\frac{3}{7}){}^x+(\frac{6}{7}){}^x$,

因为$0＜\frac{2}{7}‚\frac{3}{7}‚\frac{6}{7}＜1$,

所以$f(x)=(\frac{2}{7}){}^x+(\frac{3}{7}){}^x+(\frac{6}{7}){}^x$在R内单调递减.

$\begin{array}{l}\text{而}f(2)=(\frac{2}{7}){}^2+(\frac{3}{7}){}^2+(\frac{6}{7}){}^2\\ =\frac{4+9+36}{49}=1‚\end{array}$

所以要使$f(x)=(\frac{2}{7}){}^x+(\frac{3}{7}){}^x+(\frac{6}{7}){}^x=1=f(2)$, 有且只有 x=2, 所以原方程的解为 x=2.

五、用于求不等式的解集

例5 设 f (x) 是定义在 (0, +∞) 上的增函数, 且$f(\frac{x}{y})=f(x)-f(y)‚f(3)=1$, 求解不等式$f(x)-f(\frac{1}{x-3})＞2.$

解:由于$f(\frac{x}{y})=f(x)-f(y)$,

所以$f(x)-f(\frac{1}{x-3})=f(x{}^2-3x).$

令 x=9, y=3, 则

f (3) =f (9) -f (3) ,

故 f (9) =2f (3) =2, 原不等式即为

f (x2-3x) >f (9) .

由于 f (x) 是定义在 (0, +∞) 上的增函数, 故原不等式等价于

$\{\begin{array}{l}x＞0‚\\ x-3＞0‚\\ x{}^2-3x＞9.\end{array}$

解得$x＞\frac{3+3\sqrt{5}}{2}.$

所以原不等式解集为$\{x|x＞\frac{3+3\sqrt{5}}{2}\}.$

六、用于求参数的取值范围

例6 设函数

$f(x)=\lg \frac{1+2{}^x+3{}^x+\cdots +(n-1){}^x+n{}^{x}a}{n}(a\in \mathbf{R}‚n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*}‚n\ge 2)$.若当 x∈ (-∞, 1]时, f (x) 有意义, 求 a 的取值范围.

解:由 f (x) 有意义, 则

1+2x+3x+…+ (n-1) x+nxa>0,

于是$a＞-[(\frac{1}{n}){}^x+(\frac{2}{n}){}^x+(\frac{3}{n}){}^x+\cdots +(\frac{n-1}{n}){}^x](n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*}‚n\ge 2)$在 x∈ (-∞, 1]上恒成立.

设$g(x)=-[(\frac{1}{n}){}^x+(\frac{2}{n}){}^x+(\frac{3}{n}){}^x+\cdots +(\frac{n-1}{n}){}^x]$,

由$-(\frac{m}{n}){}^x(m=1‚2‚3‚\cdots ‚n-1)$在 x∈ (-∞, 1]上均为增函数, 知 g (x) 在 (-∞, 1]上为增函数.

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}g(x)\le g(1)\\ =-(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+\cdots +\frac{n-1}{n})\\ =\frac{1-n}{2}.\end{array}$

所以当$a＞\frac{1-n}{2}$时, a>g (x) 在 x∈ (-∞, 1]上恒成立, 从而得 a 的取值范围是$(\frac{1-n}{2}‚+\infty ).$

七、用于求值

例7 实数 x, y 满足$(x+\sqrt{x{}^2+1})(y+\sqrt{y{}^2+1})=1$, 求 x+y 的值.

解:设$f(t)=t+\sqrt{t{}^2+1}(t\in \mathbf{R})$, 则 f (t) 在R上单调递增.由题设等式可得

$\begin{array}{l}x+\sqrt{x{}^2+1}=\frac{1}{y+\sqrt{y{}^2+1}}\\ =-y+\sqrt{(-y){}^2+1}‚\end{array}$

所以 f (x) =f (-y) ,

即 x=-y, 故 x+y=0.

八、用于求值域

例8 求函数$y=\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{2}+\frac{2}{\text{s}\text{i}\text{n}x}(0＜x＜\text{π})$的值域.

解:令$\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{2}=t$, 则$f(t)=t+\frac{1}{t}‚t\in (0‚\frac{1}{2}].$

又 f (t) 在$(0‚\frac{1}{2}]$上单调递减, 则 f (t) 的最小值是$f(\frac{1}{2})=\frac{5}{2}$.故函数$y=\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{2}+\frac{2}{\text{s}\text{i}\text{n}x}(0＜x＜\text{π})$的值域为$[\frac{5}{2}‚+\infty ).$

从上述各例不难看出, 运用函数的单调性解题, 关键在于合理的利用题设条件, 构造出相应的函数, 并将原问题进行等价转换, 通过函数的单调性使问题得以解决.

江苏省南京市溧水县第二高级中学

3.“函数的单调性”教学设计 篇三

认识目标：掌握函数单调性的概念；会判断一些简单函数的单调性。

能力目标：培养学生的分析、归纳和总结能力；培养学生运动变化和数形结合的数学思想；培养学生理论联系实际的辩证唯物主义思想。

情感目标：营造亲切、活跃的课堂气氛，实施多元化评价，激励学生，使学生尝试成功，以点燃学生的学习热情。

教学重点、难点

重点：函数单调性概念和函数单调性的判断。

难点：判断函数的单调性。

教学过程设计与分析

创设问题情境

多媒体：学校的简介。（利用Flash进行演示）

提出问题：学校准备建造一个长方形的花坛，面积设计为16平方米。由于周围环境的限制，其中一边的长度长不能超过10米，短不能少于4米，求花坛半周长的最小值和最大值。

教师说明：此环节为创设情境。我们学校是上海市投资新建的郊区四所寄宿制重点高中之一，有着一流的硬件设施，绿化建设正在进行之中。抓住这一点，我设计了这节课的引例，切合实际，让学生有种亲切感。提出问题后，让学生思考、讨论下列问题：如何把实际问题归结为数学问题？经过思考、讨论，估计学生可以把问题归结为：设受限制一边长为x米，4≤x≤10，则另一边为16/x米，求半周长y＝x＋16/x（4≤x≤10）的最小值和最大值。如何求最小值？——运用基本不等式。如何求最大值？经过思考、讨论，最后大家一致认为利用y＝x＋16/x（4≤x≤10）的图像可以得出结论。

多媒体：利用Flash演示y＝x＋16/x（4≤x≤10）的图像,如图1所示。

教师说明：利用Flash给出函数的图像，从函数图像可以直观地得出结论，但是缺乏理论依据。指出缺乏理论依据的结论是站不住脚的，所以问题转化为寻找其理论依据，从而引入课题。这样可以培养学生严谨的治学态度。

揭示课题，引入新课

1.几何画板演示，点明课题。

多媒体：利用几何画板演示y＝x＋16/x（4≤x≤10）的动态的变化过程。用鼠标从左向右缓慢拖动y＝x＋16/x（4≤x≤10）上的A点，引导学生观察A点的纵坐标的变化情况（随着自变量x的增大，函数值y也在增大），如图2所示。

2.请学生根据自己的理解给出增函数定义。

一般地，对于给定区间上的函数f(x)：如果对于属于这个区间的自变量的任意两个值x₁和x₂，当x₁＜x₂时，都有f(x₁)＜f(x₂)，那么就说函数f(x)在这个区间上是增函数。

3.请学生通过类比得出减函数的定义。

教师说明：在减函数定义的教学过程中，我改变了以往“灌输结论”的做法，让学生通过对增函数定义的理解从而得到减函数的定义，培养了学生的类比的重要数学思想方法，对于学生学习新知识、新概念有很大的帮助。

巩固新知，深化扩展

1.一次函数的单调性问题。

[例1]证明函数f(x)＝3x＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数。

引申：探索一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)在区间(－∞，＋∞)上的单调性。

2.二次函数的单调性问题。

[例2]判断函数f(x)＝x₂－2x的单调区间，并加以证明。

教师说明：例题的给出由简单的一次函数到二次函数，遵循了学生一般的认知规律，使学生容易接受，易于理解。在二次函数f(x)＝x²－2x的单调性的证明中，分工合作，第一、二组的学生完成函数在[1，＋∞)上的证明；第三、四组的学生完成函数在(－∞，1]上的证明，倡导自主学习、合作学习的新的学习方式。通过例1、例2的解决，让学生归纳判断函数单调性的基本步骤，培养学生分析、归纳和总结的能力。

判断函数单调性的基本步骤：

第一步，设x₁、x₂是区间内的任意两个实数，且x₁＜x₂。

第二步，比较f(x₁)、f(x₂)的大小。

第三步，给出结论。

自主解决——[引例]的解决

教师说明：有了上述理论作基础，一开始提出的问题就能迎刃而解：证明函数y＝x＋16/x在区间[4，10]上是增函数；得出结论，当x=10时，y_max=11.6。此环节起到了首尾呼应的作用，让学生体会到数学源于生活又服务于生活，体会到数学的魅力，并指出，函数单调性的研究为解决函数的最值问题提供了又一重要方法，可见研究函数的单调性是非常有必要的。那么我们为何不乘胜追击，探索更一般的情况，研究函数y=x+k/x(k∈Ｒ)的单调性。

多媒体：利用Authorware进行探索、总结y=x+k/x(k∈Ｒ)图像，寻找一般的结果。（从特殊到一般）如图3、4所示。

学生总结、教师归纳

教师说明：提出问题，这节课你学到了哪些数学知识？学生一一罗列：函数单调性的概念、判断函数单调性的常用方法、证明函数单调性的基本步骤。进一步提出问题：整堂课体现了哪些重要的数学思维？自问自答：从特殊到一般的研究方法；从大胆的猜想到严格的证明；数形结合、类比的思想。利用计算机使我们探索数学问题的过程更加直观、简洁和生动。

（作者单位：上海市南汇中学 201300）

点评

“问题是数学的心脏”。一个好的问题能引起学生兴趣，启迪学生的思考，将思维引向深刻。闵丽红老师的“学校花坛问题”是一个很好的实际问题：在学校绿化建设中，如何建造其费用最省？闵老师通过引导学生观察问题、发现问题、提出问题、探究和解决问题，使学生感受到数学源于生活又服务于生活，以培养学生形成科学观，培养学生的创新精神和实践能力。

这节课最大的特点是贯穿始终的现代软件技术的应用，娴熟地运用了PowerPoint、Authorware、Flash和几何画板等多种教学媒体和手段，通过直观的画面和动态的影像，将数学知识的发生和发展淋漓尽致地展现在学生面前。尤其在利用Authorware进行探索、总结图像的过程中，首先，研究特殊情况（当k=2时）,使用列表描点、几何绘图两种方法，利用计算机动态地绘画出它的图像。紧接着，探索、总结其一般结果：随机地输入k的值，随即电脑显示相应函数的图像。最后，显示所有情况，一目了然，使每位学生对于图像都有了清晰的、精确的认识。利用多媒体处理这一部分达到的效果，是传统教学所不及的，充分地体现了现代技术的优越性。

4.高一数学教案：函数单调性 篇四

会运用图象判断单调性;理解函数的单调性，能判断或证明一些简单函数单调性;注意必须在定义域内或其子集内讨论函数的单调性。

重 点

函数单调性的证明及判断。

难 点

函数单调性证明及其应用。

一、复习引入

1、函数的定义域、值域、图象、表示方法

2、函数单调性

(1)单调增函数

(2)单调减函数

(3)单调区间

二、例题分析

例

1、画出下列函数图象，并写出单调区间：

(1)(2)(2)

例

2、求证：函数 在区间 上是单调增函数。

例

3、讨论函数 的单调性，并证明你的结论。

变(1)讨论函数 的单调性，并证明你的结论

变(2)讨论函数 的单调性，并证明你的结论。

例

4、试判断函数 在 上的单调性。

三、随堂练习

1、判断下列说法正确的是。

(1)若定义在 上的函数 满足，则函数 是 上的单调增函数;

(2)若定义在 上的函数 满足，则函数 在 上不是单调减函数;

(3)若定义在 上的函数 在区间 上是单调增函数，在区间 上也是单调增函数，则函数 是 上的单调增函数;

(4)若定义在 上的函数 在区间 上是单调增函数，在区间 上也是单调增函数，则函数 是 上的单调增函数。

2、若一次函数 在 上是单调减函数，则点 在直角坐标平面的()

A.上半平面 B.下半平面 C.左半平面 D.右半平面

3、函数 在 上是___ ___;函数 在 上是__ _____。

3.下图分别为函数 和 的图象，求函数 和 的单调增区间。

4、求证：函数 是定义域上的单调减函数。

四、回顾小结

1、函数单调性的判断及证明。

课后作业

一、基础题

1、求下列函数的单调区间

(1)(2)

2、画函数 的图象，并写出单调区间。

二、提高题

3、求证：函数 在 上是单调增函数。

4、若函数，求函数 的单调区间。

5、若函数 在 上是增函数，在 上是减函数，试比较 与 的大小。

三、能力题

6、已知函数，试讨论函数f(x)在区间 上的单调性。

5.三角函数单调性数学教案 篇五

关键点1。学生 学习函数单调性的认知基础是什么?

在这个内容之前，已经教学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数，函数的变量定义和映射定义，以及函数的表示。对函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念，也已经形成初步认识。接踵而来的任务是对函数应该继续研究什么。在数学研究中，建立一个数学概念的意义就是揭示它的本质特征，即共同属性或不变属性。对各种函数模型而言，就是研究它们所描述的运动关系的变化规律，也就是这些运动关系在变化之中的共同属性或不变属性，即“变中不变”的性质。按照这种科学研究的思维方式，使得当前来讨论函数的一些性质，就成为顺理成章的、必要的和有意义的数学活动。至于在多种函数性质中，选择这个时机来讨论函数的单调性而不是其他性质，是因为函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质。

就中小学生与单调性相关的经历而言，学生认识函数单调性可以分为四个阶段： 第一阶段，经验感知阶段(小学阶段)，知道一个量随另一个量的变化而变化的具体情境，如“随着年龄的增长，我的个子越来越高”，“我认识的字越多，我的知识就越多”等。

第二阶段，形象描述阶段(初中阶段)，能用抽象的语言描述一个量随另一个量变化的趋势，如“y随着x的增大而减少”。

第三阶段，抽象概括阶段(高中必修1)，能进行脱离具体和直观对象的抽象化、符号化的概括，并通过具体函数，初步体会单调性在研究函数变化中的作用。

第四阶段，认识提升阶段(高中选修系列

1、2)，要求学生能初步认识导数与单调性的联系。

基于上述认识，函数单调性教学的引入应该从学生的已有认知出发，建立在学生初中已学的一次函数、二次函数以及反比例函数的基础上，即从学生熟悉的常见函数的图象出发，直观感知函数的单调性，完成对函数单调性定义的第一次认识.。

让学生分别作出函数数值有什么变化规律?

的图象，并且观察自变量变化时，函在学生画图的基础上，引导学生观察图象，获得信息：第一个图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大;第二个图象从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小.然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数. 第三个函数图象的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的.

在此基础上，教师引导学生用自己的语言描述增函数的定义： 如果函数在某个区间上的图象从左向右逐渐上升，或者如果函数

在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数.

关键点2。为什么要用数学的符号语言定义函数的单调性概念?

对于函数单调性概念的教学而言，有一个很重要的问题，即为什么要进一步形式化。学生在初中已经接触过一次函数、反比例函数、二次函数，对函数的增减性已有初步的认识：随x增大y增大是增函数，随x增大y 减小是减函数。这个观念对他们而言是易于接受的，很形象，他们会觉得这样的定义很好，为什么还要费神去进行符号化呢?如果教师能通过教学设计，让学生感受到进一步符号化、形式化的必要性，造成认知冲突，则学生研究的兴趣就会大大提高，主动性也会更强。其实，数学概念就是一系列常识不断精微化的结果，之所以要进一步形式化，完全是数学精确性、严密性的要求，因为只有达到这种符号化、形式化的程度，才可以进行准确的计算，进行推理论证。

所以，在教学中提出类似如下的问题是非常必要的：

右图是函数函数吗?

的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减

对于这个问题，学生的困难是难以确定分界点的确切位置.通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究,使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式. 关键点3：如何用形式化的语言定义函数的单调性?

从数学学科这个整体来看，数学的高度抽象性造成了数学的难懂、难教、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律：在需要和可能的情况下，尽量做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象，即数学的思考方式。恰当运用图形语言、自然语言和符号化的形式语言，并进行三者之间必要的转化，可以说，这是学习数学的基本思考方式。而函数单调性这一内容正是体现数学基本思考方式的一个良好载体，教学中应该充分关注到这一点。长此以往，便可使学生在学习知识的同时，学到比知识更重要的东西—学会如何思考?如何进行数学的思考?

一般说，对函数单调性的建构有两个重要过程，一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述。对函数单调性的意义，学生通过对若干函数图象的观察并不难认识，因此，前一过程的建构学习相对比较容易进行。后一过程的进行则有相当的难度，其难就难在用数学的符合语言来描述函数单调性的定义时，如何才能最大限度地通过学生自己的思维活动来完成。这其中有两个难点：

(1)“x增大”如何用符号表示;同样，“f(x)增大”如何用符号表示。 (2)“‘随着’x增大，函数f(x)‘也’增大”，如何用符号表示。

用数学符号描述这两种数学意义的最大要害之处，在于要用数学的符号来描述动态的数学对象。

6.函数单调性教案(简单) 篇六

体验回顾 ：

1. 函数 满足 对任意定义域中的x1, x2成立，则实数a的取值范围是_______________；

2.设函数 ，若对于任意  ，

不等式 恒成立，则实数 的取值范围是       ．

经典训练 ：

【题型一】解抽象函数不等式问题

例1：定义在实数集 上的偶函数 在区间 上是单调增函数，若 ，则 的取值范围是______．

练习：设 是定义在（ 上的增函数，且满足 ．若 ，且 ，求实数 的取值范围．

练习：函数 是定义在 上的奇函数，且为增函数，若 ，求实数a的范围。

练习; 设 是定义在r上的奇函数，且当 时， ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是        ．

解析：因为 且 ，所以 ，又 ，所以 ，再由 可知，  ．又因为 是定义在 上的增函数，从而有 ，解得： ．故所求实数 的取值范围为 ．

解： 定义域是       即

又

是奇函数

在 上是增函数     即

解之得    故a的取值范围是

【题型二】数列中的单调性

例2：数列 的通项 ，为了使不等式 对任意 恒成立的充要条件．

解：∵ ，

则 ，

欲使得题设中的不等式对任意 恒成立，

只须 的最小项 即可，

又因为 ，

即只须 且 ，

解得 ，

即 ，解得实数 应满足的关系为 且 ．

练习：数列 满足： ，记 ，若 对任意的 恒成立，则正整数 的最小值为                        。10；

易得： ，令 ，而

，为减数列，

所以： ，而 为正整数，所以

练习:设函数 数列 的通项 .满足

（1）.求数列 的通项公式.

（2）.数列 有没有最小项.

课后作业：

1.定义在 ，且 ，若不等式 对任意 恒成立，则实数a的取值范围

解：依题设 ,且 ,则

则 ( )

所以 ,即 ,从而函数 在 单调递减

所以不等式

即 恒成立,又 ，从而 ，从而 ，又 ，所以 ，从而实数a的取值范围为

2. 已知 ，t是大于0的常数，且函数 的最小值为9，则t的值为         ．4

3.已知数列 是由正数组成的等差数列， 是其前 项的和，并且 .

（1）求数列 的通项公式；

（2）求使不等式 对一切 均成立的最大实数 ；

（3）对每一个 ，在 与 之间插入 个 ，得到新数列 ，设 是数列 的前 项和，试问是否存在正整数 ，使 ？若存在求出 的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）设 的公差为 ，由题意 ，且

，

数列 的通项公式为

（2）由题意 对 均成立

记

则

，

∴ ，∴ 随 增大而增大

∴ 的最小值为

∴ ，即 的最大值为

（3）

∴在数列 中， 及其前面所有项之和为

，即

又 在数列 中的项数为：

且 ，

7.典型函数单调性题解法大观 篇七

题型一求函数的单调区间: 因为函数的单调性是一个局部概念, 因此函数的单调区间是函数定义域的子集, 求函数的单调区间前应先求函数的定义域.

例1函数y =f ( x) 在区间 ( -3, 3) 上是增函数, 则y =f ( x + 5) 的递增区间是__________.

分析本题是求抽象函数的单调性问题, 当然也可以看成函数y =f ( x) 图像向左平移5个单位而得到函数y =f ( x + 5) 的图像.

例2函数f ( x) = log4 ( x2+ 4x - 5) 的单调增区间为_____________.

分析本题是求复合函数单调区间问题, 按照“同增异减”原则只要求内函数u = x2+ 4x - 5的单调增区间, 这里须提醒的是注意定义域.

例3已知函数的单调增区间为_________ .

分析本题是分段函数求单调区间问题, 一定要注意两段函数的端点值, 本题增区间为 ( -∞ +∞) ; 若将第二段改为f ( x) =x+1, 那么单调增区间为 ( -∞, 1) 和 (1, +∞) .

题型二证明函数的单调性: 证明函数的单调性须用函数单调性的定义进行证明, 它与判断函数的单调性有根本的区别.

例4证明:函数的单调性.

分析本题用单调性的定义证明, 在用定义证明前最好将原式变形为: f ( x) =1 -2/ (2x+ 1) .

例5设函数f ( x) =x +p/x ( p >0) 在 (0, 2) 上是单调减函数, 求p的范围.

题型三比较函数的大小: 利用函数单调性比较大小时须将变量化到同一个单调区间内才能比较大小.

例6 (1) 已知函数f ( x) 在区间 (0, +∞) 上是减函数, 则f ( x2+ x + 1) 与f (3/4) 的大小关系是__________ .

(2) 定义在R上的偶函数y = f ( x) 满足f ( x + 1) =- f ( x) 且在[- 1, 0]上单调递增, 设f ( 3) = a, f ( 2) = b, f (1/2) = c, 则a, b, c的大小关系为_____ .

分析 ( 1) 判断x2+ x + 1与3/4的大小关系即可以比较大小了.

( 2) 必须将a, b, c对应的变量化到同一单调区间上来才能比较大小, 又偶函数y =f ( x) 在[-1, 0]上单调递增, 所以y =f ( x) 在[0, 1]上单调递减, 函数y = f ( x) 满足f ( x +1) = - f ( x) , 说明函数的周期为2, 这样a = f ( 3) = f ( 1) , b =f ( 2) = f ( 0) 就可以比较大小了.

题型四解不等式: 利用函数的单调性解不等式注意单调区间的限制条件.

例7 (1) 已知, 则不等式的解集为 _______.

(2) 已知偶函数y =f ( x) ( x∈[-1, 1]) 在区间[0, 1]上是单调递增函数, 若f ( m -1) ≥f (1 -2m) , 则实数m的取值范围为__________.

例8 (1) 已知奇函数f ( x) 在 (0, +∞) 上为增函数, 且f ( 1) = 0, 则不等式 (f ( x) - f ( - x) ) /x< 0的解集为 __________.

(2) 已知函数f ( x) 是R上的增函数, A ( 0, -1) , B ( 3, 1) 是其图像上的两点, 那么不等式| f ( x) | < 1的解集是____________.

分析 ( 1) (f ( x) - f ( - x) ) /x< 0可化为xf ( x) < 0, 结合函数图像可以得解集.

( 2) |f ( x) | <1可化为 -1

题型五单调性的逆运算.

例9 ( 1) 若函数f ( x) = mx2+ x + 5在 [- 2, + ∞ ) 上是增函数, 则m的取值范围是________.

( 2) 已知y =loga (2 -ax) 在[0, 1]上是x的减函数, 则a的取值范围是__________.

分析①注意讨论m =0, m >0, m <0这三种情形或用求导方法求m的范围.

②此函数为复合函数, 内函数u = 2 - ax为减函数, 由“同增异减”知外函数y = logau为增函数, 所以a > 1, 此时必须考虑内函数u =2 - ax在[0, 1]上恒大于零, 因此a的取值范围是 ( 1, 2) .

例10已知是 ( - ∞, + ∞ ) 上的减函数, 则实数a的取值范围是 _________.

8.《函数的单调性》课例研究 篇八

【摘 要】 函数的单调性是函数的几大重要性质之一，它直观且有效地反映了函数的变化趋势，是我们研究函数问题的重要内容和研究其它性质的重要手段，它的应用非常的广泛，比如我们可以应用函数的单调性来估计生活中的股票和经济情况的变化趋势，从而更准确的抓住这些信息，有利于帮助投资者作出决策和选择；在数学中，利用单调性求函数的最值往往是最直观和最容易的方法；单调性的题目在各种考试和高考中经常的出现，尤其是有关单调性的证明，复合函数的单调性的应用等，更是让许多考生苦不堪言，所以学好函数的单调性至关重要。本文结合我的教学课堂，以课后总结式的形式写此文章，重在体现新课标和新课改的大环境和要求下的教学新观念，将课堂还给学生，学生是教学的主体，老师要变教为导，变教授为自学，多设置情境和问题，激发学生的学习热情和探究问题的能力，由于经验不多，还在学习摸索中，本文权当记录一次课堂教学的同时，总结经验和不足促使我以后的课堂教学更有效。

【关键词】 增函数减函数；单调性；单调区间

【中图分类号】G63.25【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2016）18-0-02

函数是描述事物运动变化规律的数学模型，因此如果我们掌握了函数的变化规律，也就基本掌握了相应事物的变化规律。函数的单调性的学习，就是要学生通过观察已知的熟悉的函数的图象，得出函数图象的上升和下降的整体直观的感受，并且能够根据图象口头叙述函数的上升和下降的情况。下面是教学教案中的一部分，主要记录的是课堂实际的实施情况。

请同学们做出的图象。

观察函数的图象，请你说出它们的上升和下降的情况。

生：的图象一直在上升，而的图象先是下降后是上升。

师：好。能否说的更具体和完整一点？

生：的图象由左至右一直在上升，而的图象在y轴的左侧是下降的，在y轴的右侧是上升的。

师：很好。大家的叙述很准确。结合我们以前学过的函数，我们知道函数中有许多函数的图象具有这样的上升和下降的性质，我们把函数在图象上表现出来的这种上升和下降的性质叫做函数的单调性。这就是我们今天要研究的函数课题。

那么，请同学们结合图（2），我们如何描述函数图象的上升和下降呢？

生：图象在y轴的左侧下降，也就是在区间上，随着x的增大，相应的f（x）随着减小；图象在y轴的右侧上降，也就是在区间上，随着x的增大，相应的f（x）随着增大。

师：很好，这是我们的纯粹的自然语言来叙述，是我们在图象的基础上直观的表达出图象特征。在我们以后的学习中，我们会遇到很多函数是以解析式的形式给出，其中有些还不一定能够用手工作出函数图象，我们又怎样来判断其单调性呢？为此我们就要用数学语言来给函数的单调性下个定义。

请同学们研究函数的图象，计算f（1）、f（2）、f（3），并将它们标在函数的图象上。

生：发现f（1）

师：那么a>b>0时，f（a）与f（b）的大小关系是？

生：f（a）>f（b）。

师：思考一般的结论是什么？

生：在区间上，只要，就有。

师：同学们回答的很好。我将大家的叙述总结起来就是：对于二次函数，我们可以这样描述：在区间上，随着x的增大，相应的f（x）随着增大。也就是在区间上任取，得到，当时，总有。这时我们就说函数在区间上是增函数。

请同学们试着用我们的数学语言定义函数f（x）的单调性。

生：对于函数f（x），如果对于任意的，当时，有，则称函数f（x）为单调增函数。

师：请同学们对照教材中增函数的定义，看看有什么不同？为什么？

生：教材定义：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说函数f（x）在区间D上是增函数。

师：教材定义中为什么要说“对于定义域I内某个区间D”呢？

这是因为函数在其定义域内其单调性并不是一成不变的。如的定义域为，当时是减函数，而时却是增函数，显然，其单调区间。这也说明了函数的单调性是函数的局部性质。

请同学们仿照增函数的研究方法，研究并定义减函数。

生：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说函数f（x）在区间D上是增函数。

师：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=（x）在这一区间具有单调性，区间D叫做函数y=f（x）的单调区间，其对应的区间D称之为单调增区间或单调减区间。

例1：下图是定义在[-5，5]上的函数y=f（x），根据图象说出函数的单调区间，并指出在每一个单调区间上是增函数还是减函数？

解：函数y=f（x）的单调区间有（-5，-2），[-2，1），（1，3），[3，5]。其中y=f（x）在区间（-5，-2），（1，3）上是减函数；在区间[-2，1），[3，5]上是增函数。

生甲：老师，在两个区间的公共端点处，比如x=1处，这个函数是增函数还是减函数？

师：这个问题提的很好，请大家对照我们的定义想一想这个问题，有没有哪位同学可以回答这个问题？

生乙：我认为在x=1处，不具有单调性，因为由定义知函数的单调性是在某个区间D上具有单调性。

师：回答正确。这里我还要补充说明一点，虽然对于这个函数y=f（x）在区间（-5，-2），（1，3）上是减函数，但我们不能说函数在区间上是减函数。

这次教学采用师生问答的形式，老师旨在引导，学生充分自主，以学生自主的学习为主，意在适应新课改理念下的课堂教学，以突出平等、合作与交流、相互理解、转变角色等新观念，使师生间的教与学相互促进。具体的突出了研究函数时我们常用的数形结合的思想和研究函数性质的步骤，即第一步，观察图象，描述函数图象特征；第二步，结合图、表，用自然语言描述函数图象特征；第三步，用数学符号的语言定义函数的性质。在增函数的研究过程中，让学生自己用自己的语言描述，再用数学语言定义，大胆的让学生去尝试，重在锻炼学生的将实际问题抽象成数学语言的概括能力、语言的严密性和准确性。在研究减函数时完全将课堂交给了学生，让学生学会用类比的思想方法处理问题的技巧和能力，例题的目的在于使学生能够结合定义，根据图象能够用数学语言解决问题，进一步巩固知识和加强应用能力。在学生参与的同时有效地完成了教学目标。

参考文献：

1.汪江松主编，重难点手册高中数学1，华中师范大学出版社；

2.人民教育出版社数学教材必修1；

3.人民教育出版社数学教材必修1教师教学用书.

9.函数单调性教案(简单) 篇九

教学过程： 【引 例】

1、确定函数yx24x3在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？ 解：yx24x3(x2)21，在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数。问：

1、为什么yx24x3在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数？

2、研究函数的单调区间你有哪些方法？

都是反映函数随自（1）观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）

变量的变化情况。（2）利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义）

322、确定函数f(x)=2x－6x+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？

（1）能画出函数的图象吗？那如何解决？试一试。提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）

（2）（多媒体放映）

【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不

32知道函数的图象的时候，如函数f(x)=2x－6x+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。

（研究的必要性）事实上用定义研究函数yx24x3的单调区间也不容易。【探 究】

我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。

32问：如何入手？（图象）从函数f(x)=2x－6x+7的图象吗？

1、研究二次函数yx4x3的图象；（1）（2）（3）（4）（5）学生自己画图研究探索。

提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？（开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。

提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？ 学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）： ①该函数在区间(,2)上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负； 在区间(2,)上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；

注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？

②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？

2、先看一次函数图象；

3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）（1）观察三次函数yx的图象；（几何画板演示）

（2）观察某个函数的图象。（几何画板演示）

指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数

专心

爱心

用心

∴y=x－9x+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4 32.∴y=x－9x+24x的单调减区间是(2，4)322(2)解：y′=(3x－x)′=3－3x=－3(x－1)=－3(x+1)(x－1)令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.3∴y=3x－x的单调增区间是(－1，1).令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.3∴y=3x－x的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)

2、设yf(x)是函数yf(x)的导数, yf(x)的 图象如图所示, 则yf(x)的图象最有可能是()32小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？ 【课堂小结】

1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导, ′如果f(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.【思考题】

32对于函数f(x)=2x－6x+7 思考

1、能不能画出该函数的草图？ 思考2、2x76x在区间（0，2）内有几个解？ 【课后作业】 3课本p42习题2.4 1,2

专心

爱心

10.函数的单调性证明 篇十

一．解答题（共40小题）

1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数．

2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增．

3．证明f（x）=

在定义域为[0，+∞）内是增函数．

4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数．

第1页（共23页）

5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数．

6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性．

7．证明：函数y=

在（﹣1，+∞）上是单调增函数．

8．求证：f（x）=

在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．

9．用函数单调性的定义证明函数y=

在区间（0，+∞）上为减函数．

第2页（共23页）

10．已知函数f（x）=x+．

（Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若

＞0对任意x∈[4，5]恒成立，求实数a的取值范围．

11．证明：函数f（x）=

在x∈（1，+∞）单调递减．

12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数．

13．判断并证明f（x）=

在（﹣1，+∞）上的单调性．

14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性．

第3页（共23页）

15．求函数f（x）=的单调增区间．

16．求证：函数f（x）=﹣

﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．

17．求函数的定义域．

18．求函数的定义域．

19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+

（2）f（x）+2f（）=3x．

20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）．

第4页（共23页）

21．求下列函数的解析式

（1）已知f（x+1）=x2求f（x）

（2）已知f（）=x，求f（x）

（3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）

（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）

22．已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）．

第5页（共23页）

23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）．

24．已知函数f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函数f（x）．

25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）．

26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，则求f（x）的解析式．

27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）．

28．已知函数f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式．

第6页（共23页）

29．若f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式．

30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）

31．求下列函数的解析式：

（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；

（2）已知f（）=，求f（x）．

32．已知二次函数满足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式．

33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）．

34．已知一次函数f（x）满足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函数f（x）的解析式．

第7页（共23页）

35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式．

36．已知函数f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函数f（x）的解析式．

37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）

38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式．

39．若函数f（）=+1，求函数f（x）的解析式．

40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0．

第8页（共23页）

第9页（共23页）

函数的单调性证明

参考答案与试题解析

一．解答题（共40小题）

1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数． 【解答】证明：设x1＜x2＜0，则：

；

∵x1＜x2＜0；

∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0； ∴f（x1）＞f（x2）；

∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．

2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增． 【解答】证明：设0＜x1＜x2＜，则f（x1）﹣f（x2）=（4x1+）﹣（4x2+）=4（x1﹣x2）+

=（x1﹣x2）（），又由0＜x1＜x2＜，则（x1﹣x2）＜0，（4x1x2﹣9）＜0，（x1x2）＞0，则f（x1）﹣f（x2）＞0，则函数f（x）在（0，）上递减，设≤x3＜x4，同理可得：f（x3）﹣f（x4）=（x3﹣x4）（又由≤x3＜x4，第10页（共23页）），则（x3﹣x4）＜0，（4x3x4﹣9）＞0，（x1x2）＞0，则f（x3）﹣f（x4）＜0，则函数f（x）在[，+∞）上递增．

3．证明f（x）=在定义域为[0，+∞）内是增函数．

【解答】证明：设x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，则：

=∵x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2； ∴∴f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在定义域[0，+∞）上是增函数．

4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数． 【解答】证明：任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=

﹣（=

；

；

因为0＜x1＜x2＜2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＜4，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）=x+在（0，2）上为减函数．

5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数． 【解答】解：设x1＜x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）=2x1﹣﹣2x2+

=（x1﹣x2）（2+∵x1＜x2＜0，），第11页（共23页）

∴x1﹣x2＜0，2+

＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即：f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数．

6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性． 【解答】解：任取0≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==（x1+x2）（x1﹣x2）

因为0≤x1＜x2，所以x1+x2＞0，x1﹣x2＜0，故原式f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以原函数在[0，+∞）是单调递增函数．

7．证明：函数y=

在（﹣1，+∞）上是单调增函数．

=1﹣

在在区间（﹣1，+∞），【解答】解：∵函数f（x）=可以设﹣1＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=1﹣∵﹣1＜x1＜x2＜0，﹣1+=

∴x1+1＞0，1+x2＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0

∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在区间（﹣∞，0）上为增函数；

8．求证：f（x）=在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．

第12页（共23页）

【解答】证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，﹣（﹣）=﹣=，∴若x1＜x2＜0，则x1x2＞0，此时f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此时函数单调递增．

若0＜x1＜x2，则x1x2＞0，此时f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此时函数单调递增． 即f（x）=

9．用函数单调性的定义证明函数y=【解答】解：∵函数y=可以设0＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数；

10．已知函数f（x）=x+．

（Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若＞0对任意x∈[4，5]恒成立，求实数a的取值范围．

﹣

=

＞0，在区间（0，+∞）上为减函数． 在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．

在区间（0，+∞），【解答】（Ⅰ）证明：任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=，∵2≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞4，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）=x+在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）解：∵＞0对任意x∈[4，5]恒成立，第13页（共23页）

∴x﹣a＞0对任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜x对任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜4．

11．证明：函数f（x）=

在x∈（1，+∞）单调递减．

【解答】证明：设x1＞x2＞1，则：

；

∵x1＞x2＞1；

∴x2﹣x1＜0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0； ∴即f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在x∈（1，+∞）单调递减．

12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数． 【解答】证明：①在（0，1）内任取x1，x2，令x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣

；）﹣（）），∵x1，x2∈（0，1），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣

＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=x+在（0，1）上是减函数． ②在[1，+∞）内任取x1，x2，令x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）

第14页（共23页）

=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣），∵x1，x2∈[1，+∞），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣

＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）=x+在[1，+∞]上是增函数．

13．判断并证明f（x）=【解答】解：f（x）=证明如下：

在（﹣1，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=

﹣

=，在（﹣1，+∞）上的单调性． 在（﹣1，+∞）上的单调递减．

∵x1，x2∈（﹣1+∞），x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=

14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性． 【解答】解：任意取x1，x2∈（0，2）且0＜x1＜x2＜2 f（x1）﹣f（x2）=x1+∵0＜x1＜x2＜2

∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜4，即x1x2﹣4＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．

第15页（共23页）

在（﹣1，+∞）上的单调递减．

﹣x2﹣=（x1﹣x2）+

﹣

=（x1﹣x2），所以f（x）在（0，2）上是单调减函数．

15．求函数f（x）=的单调增区间．

=1﹣的单调递增区间为【解答】解：根据反比例函数的性质可知，f（x）=（﹣∞，0），（0，+∞）

故答案为：（﹣∞，0），（0，+∞）

16．求证：函数f（x）=﹣

﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．

【解答】证明：设x1＜x2＜0，则：

；

∵x1＜x2＜0；

∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0； ∴；

∴f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．

17．求函数的定义域．

【解答】解：根据题意，得，解可得，故函数的定义域为2≤x＜3和3＜x＜5．

18．求函数的定义域．

第16页（共23页）

【解答】解：由故函数定义域为{x|x＜}

．

19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+

（2）f（x）+2f（）=3x． 【解答】解：（1）f（x+）=x2+

=（x+）2﹣2，即f（x）=x2﹣2，（x＞2或x＜﹣2）（2）∵f（x）+2f（）=3x，∴f（）+2f（x）=，消去f（）得f（x）=﹣x．

20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）． 【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x+2…①，用﹣x代替x，得：

3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x+2…②； ①×3﹣②×2得：

5f（x）=（6x+6）﹣（﹣4x+4）=10x+2，∴f（x）=2x+．

21．求下列函数的解析式（1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求f（x）

（3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）

【解答】解：（1）∵已知f（x+1）=x2，令x+1=t，可得x=t﹣1，∴f（t）=（t﹣

第17页（共23页）

1）2，∴f（x）=（x﹣1）2．（2）∵已知f（）=x，令

=t，求得 x=，∴f（t）=，∴f（x）=

．

（3）已知函数f（x）为一次函数，设f（x）=kx+b，k≠0，∵f[f（x）]=kf（x）+b=k（kx+b）+b=9x+1，∴k=3，b=，或k=﹣3，b=﹣，求 ∴f（x）=3x+，或f（x）=﹣3x﹣．

（4）∵已知3f（x）﹣f（）=x2①，∴用代替x，可得3f（）﹣f（x）=由①②求得f（x）=x2+

22．已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）． 【解答】解：∵2f（x）+f（）=2x① 令x=，则2f（）+f（x）=②，①×2﹣②得： 3f（x）=4x﹣，∴f（x）=x﹣

23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）． 【解答】解：∵3f（x）+2f（）=x，① 等号两边同时以代x，得：3f（）+2f（x）=，② 由①×3﹣2×②，解得 5f（x）=3x﹣，∴函数f（x）的解析式：f（x）=x﹣

24．已知函数f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函数f（x）．

第18页（共23页）

②，．

．

（x≠0）．

【解答】解：∵x＞0时，x+≥2且函数f（x+）=x2+（）2=设t=x+，（t≥2）； ∴f（t）=t2﹣2；

即函数f（x）=x2﹣2（其中x≥2）．

=2，﹣2；

25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）． 【解答】解：∵2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，∴2f（x）+f（﹣x）=﹣3x﹣1，联立消去f（﹣x），可得f（x）=﹣3x﹣．

26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，则求f（x）的解析式． 【解答】解：∵2f（x）+f（﹣x）=3x+1…①，用﹣x代替x，得：

2f（﹣x）+f（x）=﹣3x+1…②； ①×2﹣②得：

3f（x）=（6x+2）﹣（﹣3x+1）=9x+1，∴f（x）=3x+．

27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）． 【解答】解：∵4f（x）﹣5f（）=2x…①，∴4f（）﹣5f（x）=…②，①×4+②×5，得：﹣9f（x）=8x+∴f（x）=﹣x﹣

第19页（共23页），．

28．已知函数f（【解答】解：令t=则由f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式． +2，（t≥2），x=（t﹣2）2．

+2）=x2+1，得f（t）=（t﹣2）4+1．

∴f（x）=（x﹣2）4+1（x≥2）．

29．若f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式． 【解答】解：f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，…①，可得3f（﹣x）+2f（x）=﹣4x…②，①×3﹣②×2可得：5f（x）=20x． ∴f（x）=4x．

f（x）的解析式：f（x）=4x．

30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）【解答】解：∵f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，∴a（ax+b）+b=9x+8，即a2x+ab+b=9x+8，即，解得a=3或a=﹣3，若a=3，则4b=8，解得b=2，此时f（x）=3x+2，若a=﹣3，则﹣2b=8，解得b=﹣4，此时f（x）=3x﹣4．

31．求下列函数的解析式：

（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；（2）已知f（）=，求f（x）．

【解答】解：（1）令2x+1=t，则x=（t﹣1），∴f（t）=（t﹣1）2+1，第20页（共23页）

∴f（x）=（x﹣1）2+1；（2）令m=（m≠0），则x=，∴f（m）==，∴f（x）=（x≠0）．

32．已知二次函数满足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式． 【解答】解：（1）令2x+1=t，则x=则f（t）=4（）2﹣6•

；

+5=t2﹣5t+9，故f（x）=x2﹣5x+9．

33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）． 【解答】解：令t=2x，则x=t，∴f（t）=t2﹣t﹣1，∴f（x）=x2﹣x﹣1．

34．已知一次函数f（x）满足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函数f（x）的解析式． 【解答】解：设f（x）=ax+b，∴f（f（x）=a（ax+b）+b，∴f（f（f（x））））=a[a（ax+b）+b]+b=2x﹣3，∴，解得：，∴f（x）= x﹣．

第21页（共23页）

35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式． 【解答】解：f（x+2）=x2﹣3x+5，设x+2=t，则x=t﹣2，∴f（t）=（t﹣2）2﹣3（t﹣2）+5=t2﹣7t+15，∴f（x）=x2﹣7x+15．

36．已知函数f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函数f（x）的解析式． 【解答】解：令x﹣2=t，则x=t+2，代入原函数得 f（t）=2（t+2）2﹣3（t+2）+4=2t2+5t+6 则函数f（x）的解析式为f（x）=2x2+5x+6

37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x…①，用﹣x代替x，得：

3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x…②； ①×3﹣②×2得：

5f（x）=6x﹣（﹣4x）=10x，∴f（x）=2x．

38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式．

【解答】解：设∴x=（t﹣1）2； ∵f（+1）=x2+2+1=t，则t≥1，∴f（t）=（t﹣1）4+2（t﹣1），∴f（x）=（x﹣1）4+2（x﹣1），x∈[1，+∞）．

39．若函数f（【解答】解：令）=

+1，求函数f（x）的解析式．

=t（t≠1），则=t﹣1，第22页（共23页）

∴f（t）=2+（t﹣1）2=t2﹣2t+3，∴f（x）=x2﹣2x+3（x≠1）．

40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0．

【解答】解：（1）变形可得f（x﹣1）=（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣∴f（x）的解析式为f（x）=x2﹣2x﹣3；

（2）方程f（x+1）=0可化为（x+1）2﹣2（x+1）﹣3=0，化简可得x2﹣4=0，解得x=2或x=﹣2

第23页（共23页）

11.浅谈高中数学函数的单调性 篇十一

关键词：高中数学；函数；单调性；难点；对策

函数的单调性是高中数学中基础的教学内容，其贯穿于整个高中数学教学中。学好函数的单调性才能够支撑学生学习更深层次的高中数学。

因此，提高函数单调性的教学质量是高中数学教师不得不正视的问题。基于此，本文在此浅谈高中数学函数的单调性的学习难点，并提出相应的应对策略，以期能为有关人士提供有益参考。

一、高中数学函数的单调性的学习难点

1.学生没有掌握数形结合的学习方法

数形结合是一种非常重要的数学学习方法，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

但大部分学生并没有这种习惯和意识，没有掌握数形结合的正确方法。而函数的单调性仅依靠学生的想象是难以理解的，没有这种正确的学习方法会极大地阻碍学生的学习。

2.对定义域的理解较为抽象

定义域作为函数中非常重要的一个组成部分，在函数单调性中的作用不可忽视。定义域往往决定了函数的单调性，但学生对定义域的理解较为抽象，没有深刻领悟到定义域的内涵和其对于函数单调性的重要作用。

例如，已知函数f（x2）的定义域为-1≤x≤1，求函数f（x）的定义域。在这种复合函数中，学生难以理解定义域，难以得到正确的答案，也就无法进一步确定函数的单调性。

二、高中数学函数的单调性学习难点的应对策略

1.养成学生画图的习惯

首先，教师要针对学生的数学学习方法进行重点突破，也就是要让学生学会数形结合的重要方法，养成看题画图、以形解题的习惯和意识，要培养学生将抽象的条件通过直观的图形表现出来，并以此为根据进行正确的分析。

在函数单调性的教学中，教师就要引导学生制作坐标轴，必须要将函数绘制在坐标系中，将各种限制条件如函数的定义域等等标注出来，再以此为背景进行解题。通过直观的坐标系学生对函数的分析更加透彻，也更容易通过观察得出函数的单调性，并且不容易遗忘定义域的限制，最终得出正确答案。

要养成学生画图的习惯关键就在于教师的引导，教师应该引导学生在读题的同时进行绘制，将题中的条件一一标注出来。通过不断地引导和培养，学生就能够在日后读题的时候养成数形结合的习惯和意识。

2.通过一定的练习提高学生的能力

要提高函数单调性的教学质量，单纯的书面讲解是绝对行不通的，特别是针对函数定义域这种难以理解的抽象知识，必须要通过一定的练习，让学生在练习中发现问题、解决问题和总结问题。

只有在反复练习的过程中，学生才能够逐步理解相关题型的解题技巧，并且对定义域这一类知识有更深的领悟。

教师需要注意的是，学生的练习并不是盲目的，必须要有目的性和针对性，不能将不同的题型混在一起，这样容易让学生思维混乱，进一步阻碍学生的学习。因此，教师必须做好引导工作，要为学生安排好练习的题目，最好是以专题训练的方式对学生的弱点进行集中练习。

另外，教师必须要重视课后总结，也就是要让学生在练习后总结和回顾，而不是一味的反复练习，只有通过不断总结，才可以不断提升，避免出现重复的问题并且对知识体系进行梳理和总结，达到巩固的效果。

总的来说，高中数学中函数的单调性是基础性的教学内容，其对于学生的难点就在于定义域这一类抽象的知识难以把握，而且学生没有掌握数形结合这种正确的学习方法。要提高学生学习函数单调性的效率就必须针对这两个难点，通过引导和练习的方式让学生养成使用数形结合方法的意识和习惯，并且得到解题技巧，在练习和总结中进步。

参考文献：

12.指数函数单调性的应用 篇十二

当0<a<1时, 在定义域 (-∞, +∞) 上单调递减;

当a>1时, 在定义域 (-∞, +∞) 上单调递增.

利用指数函数的单调性可以解决以下的典型问题.

1. 比较幂的大小

比较大小的常用方法:

(1) 作差 (商) 法;

(2) 函数单调性法;

(3) 中间值法.

例1比较下列各组数的大小:

分析要先判断能够转化为哪类函数, 再结合函数的单调性来解决, 如果不能看成同一函数的两个值, 则可借助于中间量来比较.

解 (1) 因为函数y=1.7x在R上是单调递增函数,

且2.5<3,

所以1.72.5<1.73;

(2) 因为指数函数y=0.8x在R上是单调递减函数,

且-0.1>-0.2,

所以0.8-0.1<0.8-0.2;

(3) 由指数函数的性质得

2. 解指数方程或不等式

对于形如af (x) =ag (x) (a>0, a≠1) 及af (x) >ag (x) (a>0, a≠1) 等问题, 这类问题往往可以归纳为指数方程或指数不等式, 需要观察底数的范围, 结合指数函数的单调性来解题.

(2) 解不等式ax2-5x>ax+7 (a>0, a≠1) .

分析 (1) 方程可以化为af (x) =ag (x) 的形式, 则底数相等, 指数也相等. (2) 可分为a>1与0<a<1两种情况分类讨论.

解 (1) 原方程可以化为

(2) 若当a>1时, ax2-5x>ax+7,

则x2-5x>x+7,

也即x2-6x-7>0,

得到x<-1或x>7;

若当0<a<1时, ax2-5x>ax+7, 则

综上, 当a>1时, 不等式的解集为

当0<a<1时, 不等式的解集为