正弦定理证明

正弦定理证明（共10篇）

1.正弦定理证明 篇一

正弦定理

1.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，且等于其外接圆半径的两倍，即

abc2R sinAsinBsinC

证明：如图所示，过B点作圆的直径BD交圆于D点，连结AD BD=2R, 则 D=C，DAB90 在RtABD中 A sinCsinDc 2RD

b c c2R sinCab同理：2R,2R

sinAsinBabc所以2R

sinAsinBsinC2.变式结论

1）a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC 2）sinAC

a

B abc ,sinB,sinC2R2R2R3）asinBbsinA,asinCcsinA,csinBbsinC 4）a:b:csinA:sinB:sinC

例题

在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若(3bc)cosAacosC，求cosA的值.解：由正弦定理 a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC得

(3sinBsinC)cosAsinAcosC

3sinBcosAsin(AC)sin(AC)sinB3sinBcosAsinBB(0,)0sinB1cosA33

2.正弦定理证明 篇二

一、定理引出

利用直角三角形中的边角关系引出正弦定理.

二、定理的证明

正弦定理的证明方法很多, 本文仅就锐角三角形从传统几何证法和向量证法两方面进行探讨.

1.传统几何证法

证法一:利用三角形的高进行证明.

点评:这种证法体现了解决问题的一般思路, 将未知转化为已知, 即将非直角三角形问题转化为直角三角形问题解决, 关键是利用边角关系表示CD并变形.

证法二:利用三角形的面积证明.

点评:这种证法建立在三角形面积用两边及其夹角正弦乘积的一半表示基础上, 否则就要以证法一为基础.

证法三:利用三角形的外接圆证明.

点评:这种证法就是利用同弦所对的圆周角相等, 将问题向直角三角形转化, 同时建立起比值与外接圆直径的关系, 这是一种很好的关系, 有利于正弦定理的变形应用.

证法四:利用余弦定理证明.

又由海伦公式知

点评:正、余弦定理都是阐述三角形边角关系的定理, 本证法说明他们相互之间是有联系的, 同时建立起比值与三角形三边乘积及其面积的关系, 但计算量大, 不适于课堂教学.

证法五:利用角平分线定理和锐角三角函数定义证明.

点评:这种证法将正弦定理中的比例关系与角平分线定理中的比例关系建立联系, 再用直角三角形中的三角函数进行转化, 完成定理的证明.

2.向量证法

证法六:利用向量投影证明.

点评:向量投影在教材上只作了简单的介绍, 没有说明它的应用, 实际上向量投影的用处是很大的, 突出应用于立体几何中.本证法实质上与证法一相同.

证法七:利用向量数量积证明.

如图2, 在△ABC中, AAAC+CAAB=AAAB, 两边同取与向量CAAD的数量积运算, 得到CAAD· (AAAC+CAAB) =CAAD·AAAB,

点评:正弦定理表达了三角形中的边角关系, 而向量中的数量积则涉及边角关系, 从而考虑用数量积证明.为了同时达到消元的目的, 构造与三角形的一边垂直的向量, 自然选用图2中的向量CAAD, 当然也可以构造其他向量.

证法八:利用向量坐标运算证明.

如图5, 以AB所在直线为x轴, 以点A为原点建立直角坐标系, 作AAAD=BAAC, 则有A (0, 0) , B (c, 0) , C (bcos A, bsin A) , D (acos (π-B) , asin (π-B) , 则:

点评:这种证法通过建立直角坐标系, 确定点坐标, 由向量的坐标运算及向量相等来证明.关键是找到一对相等向量.

证法九:利用三角形外接圆和向量知识证明.

点评:比值与外接圆直径的关系也可以利用向量证明.

证法十:利用向量知识和余弦定理证明.

点评:在a2+b2-2abcos C=4R2sin2C中, 用c=2Rsin C代换, 即得余弦定理, 所以正、余弦定理也可以说是等价的.

3.现行教材中的证法比较

笔者翻阅了六套高中数学教材, 在人教大纲版教材中, 正弦定理在第五章“平面向量”中出现, 在湘教课标版教材中, 正弦定理在必修四中出现, 在其余四套课标教材 (人教课标A版和B版、北师大课标版、苏教课标版) 中, 正弦定理均在必修五中出现.除湘教版外, 其余五套教材均利用直角三角形中的锐角三角函数关系引出正弦定理, 但证法各不相同.

人教大纲版利用向量数量积证明, 但没有利用证法七中的向量C D, 而是过A作了垂直于AB的单位向量j来证明 (如图7) , 也没有探讨比值与外接圆直径的关系.这样的处理不是很自然, 不易想到, 较难接受.不探讨比值与外接圆直径的关系, 对正弦定理的变形应用有一定影响.

人教课标A、B版教材采用证法一, 比值与外接圆直径的关系在习题1.1B组中以习题形式出现, “证明:设△ABC的外接圆半径是R, 则a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C.”

北师大课标版教材首先说明正弦定理在等边三角形中成立, 然后利用向量投影证明, 但没有采用证法六, 而是在直角坐标系中给出钝角三角形ABC (如图8) , 利用A C、B C在y轴上的投影相同证明.并利用证法三探讨了比值与外接圆直径的关系.这种处理没有发挥坐标系的作用, 建立坐标系自然会想到点坐标, 但在证明过程中没有用到坐标.

各版本教材的证明各有特色, 人教课标A、B版, 证法简单, 最容易被学生接受.苏教课标版的处理思路清晰自然, 既考虑最佳方法, 又兼顾向量方法;既巩固向量知识, 突出向量的工具性, 又开启学生的思维, 将学习延伸到课后.人教大纲版和北师大课标版的证法不是很理想.笔者赞同将正弦定理的比值与外接圆直径的关系纳入课堂教学, 这个关系的探讨不太难, 学生易接受, 体现了数学的和谐、神奇, 既是一次正弦定理的深入理解和变形应用, 也是一次对学生进行数学美、数学精神教育的机会.特别指出的是湘教课标版的教材体系不同于其余四套课标教材体系, 更接近人教大纲版教材体系, 以向量为主线, 以“问题解决”为驱动, 揭示数学知识的内在联系和数学知识中隐藏的思想、方法, 正弦定理的处理突出重点知识, 内容展开简洁明快, 易教易学, 容易实现课堂的高效化.

3.正弦定理证明 篇三

[关键词]微课；教学设计；正弦定理

正弦定理是高中数学一个重要的定理。对定理的由来和把握应是我们教学的一个重点。前一段时间看了一个教师的微课教学设计。在此提出来与大家共享。

教学背景

本节课是苏教版必修4第一章“解三角形”的第一节课的内容。“正弦定理”是初中“解直角三角形”内容的直接延伸。进一步揭示了任意三角形的边与角之间的客观规律。是三角函数知识和平面向量知识在三角形中的交汇运用。也是解决实际生活中三角形问题的重要工具。具有广泛的应用价值

对于定理的学习。在以往的教学中发现大部分学生只关注定理的内容本身和其解决相关问题的应用。而根本没注意定理是如何被发现及证明的。本节课分为两课时。本次微课是正弦定理的前奏。其目的和主要任务是发现和引入并证明正弦定理。而正弦定理的应用放到第二课时。这样学生才能真正地把握正弦定理。对帮助他们发现几何现象。并且自主探究、处理问题有一定的积极意义。

学情分析

学生学习本节课之前。已经掌握了如何解直角三角形，并学习了平面几何、三角函数、三角恒等变换、向量等知识，也具备了一定的观察分析、解决问题的能力。但学生对前后知识间的联系、理解以及综合应用所学知识上还有所欠缺，思维也不够缜密。尤其向量、三角函数知识学过的时间较长，学生不容易把三角函数和向量自然地连接在一起。所以设置了本节微课的教学目标：

（1）知识与技能：通过对三角形的边长和角度关系的探索。发现并证明正弦定理。

（2）过程与方法：经历完整的发现和证明正弦定理的过程。让学生体会分类讨论、化归、类比、猜想以及由特殊到一般等数学思想方法。提高他们解决问题的能力。

（3）情感态度与价值观：通过利用向量证明正弦定理。了解向量的工具性。体会知识的内在联系，体会事物之间的相互联系与辩证统一。

（4）教学重点：正弦定理的形成和获得过程。

（5）教学难点：正弦定理的证明方法。

教学方法

采用探究式教学模式。在教师的启发引导下。以“正弦定理的发现过程”为基本探究内容。让学生的思维由问题开始，到得出猜想，探究猜想，推导定理，并逐步得到深化。借助多媒体和几何画板。激发学生学习的兴趣。设计符合学生知识水平和学习心理的教学。鼓励学生大胆猜想。积极探索。

学法分析

指导学生掌握“观察-猜想-证明-应用”这一思维方法。将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。增强学生由特殊到一般的数学思维能力。形成实事求是的科学态度。

教学过程

1。展示图片。引出课题

展示生活中的三角形图片。回忆初中所学三角形中经常用到的结论。如“大边对大角。小边对小角”。是定性地研究三角形中的边角关系。我们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系呢？从而引出课题。

[设计意图]从联系的观点，从新的角度看过去的问题。使学生对于过去的知识有了新的认识。同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上。形成良好的知识结构。

2。观察特例。发现猜想

（1）探讨直角三角形中角与边的关系。得出直角三角形中各个边与它所对的角之间存在着某一确定的数量关系。提出猜想：对于任意一个三角形，关系式成立吗？

[设计意图]以直角三角形这个特例作为切入点。符合从特殊到一般思维的过程。

（2）对于猜想用几何画板进行验证。任意画出一个三角形。度量出三边的长度和三个角的度数。计算显示出一组的值，然后不断拖动三角形的一个顶点，改变三角形的形状。观察各组比值的变化。

[设计意图]通过几何画板的演示。学生能直观且主动地投入到数学发现的过程中来。另外。注意引导学生数学实验只能作为对数学猜想的检验。不能作为猜想的证明。

3。证明猜想。得出定理

用平面几何“作高法”对猜想进行证明，分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三大类分别证明。得出正弦定理的文字叙述和符号表达。

[设计意图]通过作辅助线，把斜三角形转化为直角三角形。把学生不熟悉的问题转化为熟悉的问题。引导学生体会利用已有知识解决新的知识的数学思想。让学生感受“观察-猜想-证明”的科学研究问题的思路。

4。探求其他证明方法

（1）向量法：向量融长度和角度于一体。借向量为载体证明正弦定理

（2）外接圆法：利用外接圆法不仅可以证明正弦定理。而且可以得出各个比值等于三角形外接圆的直径2R。

[设计意图]了解向量的工具性，体会知识间的内在联系。

5。课堂小结

（1）正弦定理的发现过程：由特殊到一般。观察-猜想-检验-证明。

（2）正弦定理的证明过程：①作高法：②向量法：③外接圆法。

[设计意图]明确本节课所学的知识和数学思想方法。

6。课后思考题

（1）你还能用其他方法证明正弦定理吗？

[设计意图]除了本节课介绍的三种证法。启发学生还可以考虑用其他方法。比如面积法等证明正弦定理。

（2）正弦定理可以解决哪类实际问题呢？请举例说明。

[设计意图]此问题既为正弦定理的应用。也为下节课做铺垫。

7。教学总结

本节课的设计使学生经历了“观察-猜想-检验-证明-应用”的思维历程。让学生学会研究数学问题的基本思想方法。从初中学习过的三角形的边角定性关系出发。对三角形的边角关系进行定量探索。从特殊的直角三角形人手。结合学生的已有知识经验。进行发散式猜想与探究。提出猜想。并通过几何画板进行检验其次。在证明猜想的教学环节。通过建立新旧知识的有机联系。力求引导学生寻求合理的证明思路与策略。在证明过程中，让学生体会分类讨论、数形结合等数学思想方法。并提高运用所学知识解决实际问题的能力。

教学特色

运用PPT的动态效果和几何画板的直观显示，激发学生学习的兴趣：设计符合学生知识水平和学习心理的教学。使学生掌握“观察-猜想-检验-证明-应用”的研究数学问题的基本思想方法：通过让学生经历正弦定理的发现过程。让学生体会类比、猜想以及由特殊到一般等数学思想方法：运用多种方法证明正弦定理。让学生掌握知识之间的内在联系，体会分类讨论、化归、数形结合等思想。提高解决问题的能力。

从上面的微课设计可以看出。一节好的微课应体现在：①微课的选题。这位教师选择的这个课题能够紧扣课本和教材，与教学实际相关，值得肯定。②微课的理解。筆者认为微课应该是指利用较短时间。讲解一个非常单一化的知识点、考点或概念或是处理某一具体问题的一种微型教学方式。它可以用于课堂的新知识教学的前奏和后延。是一种不受时间、空间限制的一种课堂组织形式。本节课就是本着正弦定理的前奏展开的。③微课的目的在于培养学生自主学习、自主探索的优良学习习惯，实现学生个性化学习。从而唤起学生内心的自信和自主学习的需求。从设计方案和事实的流程看。本节课的目的也达到了。正如德国教育家斯普朗格所说：“教育的最终目的不是传授已有的东西。而是要把人的创造力量诱导出来，将生命感、价值感唤醒。唤醒。是一种教育手段。父母和教师不要总是叮咛、检查、监督、审查他们。孩子们一旦得到更多的信任和期待，内在动力就会被激发出来，会更能干、聪明、有悟性。”比如有些数学概念的教学。完全可以设置成一个微课。数学概念是学生学习数学、接受新知识的基础。准确而又彻底地理解和掌握数学课堂学习中的概念是学生学好数学的必备条件。如何能让学生在彻底理解的基础上把概念记牢。重要的是要把概念翻译得通俗易懂，能够举一反三、融会贯通。从而理解概念的内涵和外延。这一点可以利用微课做到。把概念用通俗易懂的语言录制好视频。让学生可以随时随地地回顾概念。对学生掌握数学概念很有帮助。再比如。某些重要的定理。课本上也许是简单地处理一下。但是学生对这个定理的掌握可能就不清晰了。这种不清晰会影响到其他内容的学习。如果我们能通过微课的形式加以处理。效果就会不一样了。

综上所述。我们平常的教学，应针对学生掌握知识过程中的薄弱的地方。开展一些微课的尝试。使得微课教学和课堂教学相互补充。真正有益于学生的学习。

4.正弦定理的证明 篇四

用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

SINc^2=1-COSc^2

SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

得证

正弦定理：三角形ABC中 BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC

证明如下：在三角形的外接圆里证明会比较方便

例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到：

2RsinD=BC (R为三角形外接圆半径)

角A=角D

得到：2RsinA=BC

同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB

这样就得到正弦定理了

2

一种是用三角证asinB=bsinA

用面积证

用几何法，画三角形的外接圆

听说能用向量证，咋么证呢?

三角形ABC为锐角三角形时，过A作单位向量j垂直于向量AB，则j 与向量AB夹角为90，j与向量BC夹角为(90-B),j与向量CA夹角为(90+A),设AB=c,BC=a,AC=b,

因为AB+BC+CA=0

即j*AB+J*BC+J*CA=0

|j||AB|cos90+|j||BC|cos(90-B)+|j||CA|cos(90+A)=0

所以asinB=bsinA

3

用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

SINc^2=1-COSc^2

SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

得证用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2 COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab SINc^2=1-COSc^2 SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2 同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2 得证

4

5.正弦定理余弦定理练习 篇五

一、选择题

1、已知ABC中，a4,b43,A300,则B=（）

A.300B.300或1500 C.600D.600或12002、已知ABC中，AB6,A300,B1200,则SABC()

A.9B.18C.93D.1833、已知ABC中，a:b:c1:3:2，则A:B:C（）

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:24、已知ABC中，sinA:sinB:sinCk:(k1):2k(k0)，则k的取值范围是（）

A.2,B.,0C.二、填空题

1、已知ABC中，B300,AB23,AC2,则SABC

2、已知ABC中，b2csinB,则角

3、设ABC的外接圆的半径为R，且AB4,C450,则R=

4、已知SABC32,b2,c3,则角1,02D.1,2 A=

5、已知ABC中，B450,C600,a2(31)，则SABC

三、简答题

01、在ABC中，若B30,AB23,AC2,求SABC.2、已知ABC中，C60,BCa,ACb,ab6.(1)写出ABC的面积S与a的函数关系式；(2)当a等于多少时，Smax？并求出Smax.23、已知ABC中，aa2(bc),a2b2c3,若sinC:sinA4:，求a,b,c.04、a,b,c是ABC的三内角A,B,C的对边，4sin

6.《正弦定理和余弦定理》教学反思 篇六

《正弦定理、余弦定理》教学反思

我对教学所持的观念是：数学学习的主要目的是：“在掌握知识的同时，领悟由其内容反映出来的数学思想方法，要在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”数学学习的有效方式是“主动、探究、合作。”现代教育应是开放性教育，师生互动的教育，探索发现的教育，充满活力的教育。可是这些说起来容易，做起来却困难重重，平时我在教学过程中迫于升学的压力，课堂任务完不成的担心，总是顾虑重重，不敢大胆尝试，畏首畏尾，放不开，走不出以知识传授为主的课堂教学形式，教师讲的多，学生被动的听、记、练，教师唱独角戏，师生互动少，这种形式单一的教法大大削弱了学生主动学习的兴趣，压抑了学生的思维发展，从而成绩无法大幅提高。今后要改变这种状况，我想在课堂上多给学生发言机会、板演机会，创造条件，使得学生总想在老师面前同学面前表现自我，让学生在思维运动中训练思维，让学生到前面来讲，促进学生之间聪明才智的相互交流。

三角形中的几何计算的主要内容是利用正弦定理和余弦定理解斜三角形，是对正、余弦定理的拓展和强化，可看作前两节课的习题课。本节课的重点是运用正弦定理和余弦定理处理三角形中的计算问题，难点是如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。在求解问题时，首先要确定与未知量之间相关联的量，把所求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来。为了突出重点，突破难点，结合学生的学习情况，我是从这几方面体现的：我在这节课里所选择的例题就考常出现的三种题型：解三形、判断三角形形状及三角形面积，题目都是很有代表性的，并在学生练习过程中将例题变形让学生能观察到此类题的考点及易错点。这节课我试图根据新课标的精神去设计，去进行教学，试图以“问题”贯穿我的整个教学过程，努力改进自己的教学方法，让学生的接受式学习中融入问题解决的成份，企图把讲授式与活动式教学有机整合，希望在学生巩固基础知识的同时，能够发展学生的创新精神和实践能力，但我觉得自己还有如下几点做得还不够：①课堂容量中体来说比较适中，但由于学生的整体能力比较差，没有给出一定的时间让同学们进行讨论，把老师自己认为难的，学生不易懂得直接让优等生进行展示，学生缺乏对这几个题目事先认识，没有引起学生的共同参与，效果上有一定的折扣；②没有充分挖掘学生探索解题思路，对学生的解题思维只给出了点评，而没有引起学生对这一问题的深入研究，例如对于运用正弦定理求三角形的角的时候，出了给学生们常规方法外，还应给出老教材中关于三角形个数的方法，致少应介绍一下；③没有很好对学生的解题过程和方法进行点评，没起到“画龙点睛”的作用。④ 00

7.正弦定理证明 篇七

1 教学实录

1.1 创设情境，提出问题

情境在我国古代就有嫦娥奔月的故事．宁静的夜晚，明月高悬，当你仰望夜空，欣赏这美好夜色的时候，会不会想要知道月亮离我们究竟有多远？早在1671年两个法国天文学家就借助数学上的解三角形原理近似测出了地球和月球之间的距离．解三角形主要用于测量，例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等．（投影图片）

师：许多实际问题都可以转化为求三角形的边或角的问题，那么你对三角形中的边角知识知多少？

（学生思考、交流、讨论后回答）

生众：……“大角对大边，大边对大角”．

师：这是定性地研究三角形中的边角关系，我们能否从定量的角度研究三角形中的边角关系？

1.2 观察特例，发现猜想

师：我们依直角三角形为例，看边角之间是什么定量关系？

生1：因为,sin C=1，所以

又因为

所以

1.3 数学实验，检验猜想

师：上面结论在任意三角形中还成立吗？（借助几何画板通过拖动点A演示任意三角形中上述各边角关系比值的变化）

a=4.15厘米b=4.90厘米c=5.02厘米

A=49.53°B=63.71°C=66.76°

师：同学们观察后发现了什么结论？

1.4 证明猜想，形成定理

师：猜想我们感情上是完全可以接受的，但数学需要理性思维，如何通过严格的数学推理，证明这个猜想呢？

（学生先思考几分钟，然后在小组内交流、验证，教师巡视）

生2：因为正弦定理在直角三角形时是成立的，所以我把斜三角形转化为直角三角形处理，即用化“斜”为“直”的策略来处理．

师：想法很好．你上黑板给我们展示一下证明过程好吗？

生2展示：不妨设△ABC为锐角三角形，则过点A作AD⊥BC于D（图3），此时有

所以

csin B=bsin C,

同理过点B作BE⊥AC于E，可得

所以

师：该学生是作边上的高把斜三角形转化为两个直角三角形，利用高相等得到的，如果△ABC是钝角三角形，结论还成立吗？

生3展示：不失一般性，不妨设角C为钝角，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D（图4），根据锐角三角函数的定义，有且

由此，得

同理可得

故有

师：通过证明我们发现，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即这就是本节课我们要sin Asin Bsin C

学习的正弦定理（引出课题）．

师：以上我们通过构造直角三角形的方法，分锐角，直角，钝角3种情况证明了正弦定理，感觉比较麻烦，有没有其他更好的办法证明正弦定理呢？

（学生摇头，从学生眼神中看出没有其它思路）

启发1解三角形处理的是三角形中的边长、角度等度量问题（属于代数范畴），而三角形中的边、角是几何概念．因此，我们必须寻找代数与几何的纽带．自然会想到一种方法是……

生5：老师，我知道是解析法，放在坐标系中研究．

师：太聪明了！解析法就是用代数方法研究几何问题，它是把几何中的基本元素———点，赋予代数含义———坐标，从而使数与几何元素实现了相互转化，因此，任意几何图形的性质可以用坐标法来研究，当然也可以证明正弦定理，有兴趣的同学课后可以证明一下．

启发2我们还学过哪个知识把长度与方向融为一体？

生众：向量．

追问1：真棒！根据向量加减法的三角形法则，对于任意一个三角形，我们可以抽象出来具体的向量等式是什么？

追问2：这3个等式本质是一样的，不妨以为例．此关系式如何转化为数量关系？

生众：作数量积．

追问3：很好！那如何转化？

（学生小组交流、讨论，教师巡视，让学生代表上台展示）

生7展示：在向量两边同时点乘得

即bcos A+acos B=c2.

生8展示：向量等式两边平方，可以得到

师：这两个结论虽然不是正弦定理的结论，但也是解三角形中的重要结论．

启发3：所证变形后得到什么？你会联想到向量的什么知识？

生9：即证

师：在三角形中怎样出现垂直向量？

生众：作高．

追问：如何出现向量积？

师：哪位学生上来证明一下？

生11展示：不妨设∠C为最大角，过B作BD⊥AC于D（图5），因为

所以

同理，过C作可得

所以

师：刚才同学们的证明是假设∠C为锐角或直角时定理是成立的，那么当∠C为钝角时请大家课后再证明一下．

1.5 解读定理，加深理解

师：这个定理在结构上有何特征？

生12：各边与其对角的正弦严格对应，体现了数学的对称美、和谐美．

师：正弦定理可以写成几个等式？

生13:3个：

师：如果用方程的观点，需要知道几个量，才能求出其他量？

生14：每个方程含有4个量，知其三求其一．

1.6 数学应用，深化理解

例在△ABC中，已知A=30°，B=135°，a=2，解三角形．

师：一般地，把三角形的3个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形．

变式将a=2改成c=2结果如何？

探究通过本例，利用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？

生15：已知三角形的任意两个角与一边，可求其他边和角的解三角形问题，其解具有唯一性．

1.7 回顾总结，提炼方法

师：通过本课的学习，同学们有什么新的收获和体会？可以从知识、方法、数学思想等方面来谈．

生16：知识方面我们学习了正弦定理：研究问题的方法是观察→猜想→检验→证明→应用，数学思想是转化与化归、分类讨论、从特殊到一般．

师：这种研究方法是一种常用的科学研究问题的思路与方法，希望同学们在今后的学习中一定要注意这样的一个过程．

2 教学反思

教学贵在自然、本质，学习意在简单、深刻．课堂是以师生相互交流为载体，以最贴近学生思维“最近发展区”为支点，探究新知的动态生成过程．本节课教师本着“以生为本”的教学理念，将教材中静态的数学知识还原成动态的生成过程，尽可能地为学生提供一种思考、交流、探究的时间和空间，让学生在学习中体验定理的产生、形成过程，在体验和感悟中培养积极探索、勇于发现的精神，从而使其知识、能力和素养不断得到丰富和提升．

2.1 理解学生，研究学情

要使课堂教学本真、有效，那么就应该以钻研教材、理解学生、研究学情开始．课堂教学的主体是学生，而学生的认知水平、知识经验是有差异的，所以课堂教学如果不深入钻研教材、研究学情、理解学生，就无法做到因材施教、有的放失．正弦定理从发现、证明到应用，每一步都需要大量的思考，必要的运算，各种信息的整合，思维方向的调整，直到抽象概括出定理．课堂上每一个问题的提出，都是学生思维活动的开始，教师只需在思维发展的十字路口，当好引导者，适时点拨、启发、指导，探究活动就能取得实效．如在正弦定理的证明探究中，根据已有知识经验学生能想到构造直角三角形来证明定理，但对向量法和坐标法证明定理学生基本想不到，教师应启发学生如何想到用向量法和坐标法证明定理，怎样用向量法和坐标法证明定理．

2.2 发挥教师的引领作用，让学生真正参与到课堂中来

张建跃博士说过，“要通过恰到好处的提问，提好的问题，引导他们主动、有兴趣地学，富有探索地学，逐步培养学生的创新精神．”因而在教学中，引领学生在课堂中互动的最基本而有效的策略应该是设置问题，有了问题，学生就有了展示的机会，课堂也就会真正动起来．课堂中问题如何呈现，才能引发学生深度的思维是需要我们深思的问题．本节教学中，教师做了有心的追问者，适时、恰当、有度的追问可引发学生主体内心的冲突，打破主体已有的认知结构的平衡状态，从而唤起学生的思维，激发内驱力，使其真正进入学习活动之中．本节课在设置问题时充分依据“最近发展区”原理，构建问题串，知识链，刺激学生诉求的欲望与冲动，激发学生思维积极主动地、愉悦地投入，使“定理的发现和证明”成为学生自己主动思维的结果．

2.3 重视定理的建构过程，促进学生心智的发展

苏霍姆林斯基说过，“学生要想牢固地掌握数学，就必须用内心创造与体验的方法来学习数学．”因此，引导学生在体验中学习，在体验中自主探究、自主发展是学好数学的关键．在整个教学中，教师通过创设情境、设置问题、情感交流等多种途径引导学生经历从具体问题抽象出定理的过程，拉长定理形成的思维过程，让学生经历完整的探究过程，让师生、生生在这个过程中达到和谐共振的境界，使学生知其然，知其所以然．这样设计，一方面还原了数学结论的历史真相，另一方面也激发了学生学习数学的兴趣，重要的是让他们从中体验数学家概括形成定理的心路历程，领悟数学家用数学的观点看待和认识世界的思想真谛，即学会了知识又启迪了智慧．

参考文献

[1]章建跃,陶维林.注重学生思维参与和感悟的函数概念教学[J].数学通报,2009,(6):19-24,(7):29-31.

[2]巨申文.余弦定理教学中的几点思考[J].中学数学教学参考(上旬),2014,(1-2):31-34.

8.用好正弦、余弦定理 篇八

例1

已知在△ABC中，A=45°， C=30°， c=10，求a， b和B.

分析已知两角A， B，可由A+B+C=180°求出角C，再用正弦定理求出其他角和边.

解因为A=45°， C=30°，

所以B=180°-（A+C）=105°.

由asinA=csinC得a=csinAsinC=10×sin45°sin30°=102.

由bsinB=csinC得b=csinBsinC=10×sin105°sin30°=20sin75°=20×6+24=56+52.

所以a=102， b=56+52， B=105°.

评注

解三角形问题要注意正弦定理、余弦定理和三角形内角和定理的综合应用.有时解三角形的方法不一定只有一种，如本例中b也可以用余弦定理来求.

例2

在△ABC中，已知a=2， b=22， C=15°，求角A，B和边c的值.

分析由条件和角C为边a， b的夹角，自然应先由余弦定理求边c的值.

解由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC=8-43，所以c=6-2.

再由正弦定理asinA=csinC，得sinA=asinCc=12，因b＞a，故A=30°，所以B=180°-A-C=135°.

评注已知两边及其夹角解斜三角形可运用余弦定理.求出第三边后，再灵活选用正弦、余弦定理求角.若选用正弦定理来解，要注意避免增解的情况，一般根据大边对大角的性质判断出较小的角，先求小角，后求大角；本题求角也可用余弦定理，由于余弦函数在［0， π］上单调递减，这种方法还不需要讨论角的大小，有兴趣的同学不妨动手一试.

已知△ABC中，a∶b∶c=2∶6∶（3+1），求△ABC的各角度数.

分析题目中给出三边的比例，却没有给出一条线段的长度，余弦定理还使用不起来，引入一个字母k，用k表示a， b， c，再由余弦定理求解各角.

解因为a∶b∶c=2∶6∶（3+1），所以令a=2k， b=6k， c=（3+1）k（k＞0）.

由余弦定理有cosA=b2+c2-a22bc=22，所以A=45°.故cosB=a2+c2-b22ac=12，故B=60°.

所以C=180°-A-B=75°.

评注根据问题给出的条件a∶b∶c=2∶6∶（3+1），设a=2k， b=6k， c=（3+1）k（k＞0），为使用余弦定理求角创造条件，这里应充分肯定k的桥梁作用！一桥飞架南北，天堑变通途！

例4

在△ABC中，已知a=3， b=2， B=45°，求边c.

分析本题是已知三角形的两边及其中某一边的对角，求第三条边，一种方法是先由正弦定理求出另一边所对的角，再由内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求第三条边；另一种方法是直接由余弦定理建立方程然后求解.

解法1因为asinA=bsinB，

所以sinA=asinBb=3×sin45°2=32.

又b＜a，所以B＜A.所以A=60°或120°.

当A=60°时，C=75°，

c=bsinCsinB=2sin75°sin45°=6+22；

当A=120°时，C=15°，

c=bsinCsinB=2sin15°sin45°=6-22.

解法2因为b2=a2+c2-2accosB，所以2=3+c2-23cos45°c，即c2-6c+1=0.解得c=6±22.

评注① 已知三角形的两边及其中某一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解.

② 解三角形时，主要用到两种数学思想方法：一是利用图形和三角形几何性质进行分类讨论的思想方法；二是函数方程的思想方法.

1. 已知在△ABC中，A=30°， B＝30°.

（1） 若a=1，求b， c和C；

（2） 若c=1，求a， b和C.

2. 已知在△ABC中，a=3， b=2.

（1） 若A=60°，求边c；

（2） 若B=30°，求边c.

（2） C=180°-A-B=120°， a=c•sinAsinC=33， b=c•sinBsinC=33.

2 （1） 因为a2=b2+c2-2bccosA，所以3=2+c2-22c•cos60°，即c2-2c-1=0，解得c=2+62；

9.正弦定理证明 篇九

§5.5 正弦定理、余弦定理的应用

基础自测

1.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,C点的俯角为70°，则∠BAC=.答案 130°

2.从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则、的大小关系为.答案 =

3.在△ABC中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinC=2sinAcosB,则△ABC是 三角形.答案 等边

4.已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A、C两地的距离为 km.答案 107

5.线段AB外有一点C，∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以 50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始 h后，两车的距离最小.答案 70 43例题精讲

例1 要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距3 km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD= 45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求A、B之间的距离.解 如图所示，在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，∴AC=CD=3 km.在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.∴BC=2AB=(3)+(3sin7562=.△ABC中，由余弦定理，得

sin602262262)-2×3××cos75°=3+2+3-3=5，22∴AB=5(km).∴A、B之间的距离为5 km.159 例2．沿一条小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50°，距离是3 km，从B到C方位角是110°，距离是3 km，从C到D,方位角是140°，距离是（9+33）km.试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）.解 示意图如图所示，连接AC，在△ABC中，∠ABC=50°+(180°-110°)=120°,又AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=30°.由余弦定理可得

1AC=AB2BC22ABBCcos120= 99233()

2=27=33(km)，在△ACD中，∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°, CD=33+9.1由余弦定理得AD=AC2CD22ACCDcos120= 27(339)2233(339)()

2=9(26)(km)2CDsinACD=AD(339)由正弦定理得sin∠CAD=

32=2.292962∴∠CAD=45°,于是AD的方位角为50°+30°+45°=125°, 所以，从A到D的方位角是125°，距离为

9(26)km.2例3 如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C在AB 的延长线上，BC=1，点P为半圆上的一个动点，以 DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC 的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.解 设∠POB=，四边形面积为y，则在△POC中，由余弦定理得

160 PC=OP+OC-2OP·OCcos=5-4cos.∴y=S△OPC+S△PCD=∴当-1353×1×2sin+（5-4cos）=2sin(-)+.3244222553=，即=时，ymax=2+.326453.4所以四边形OPDC面积的最大值为2+巩固练习

1.某观测站C在A城的南偏西20°的方向.由A城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人距C为31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A城？ 解 设∠ACD=，∠CDB=.在△BCD中，由余弦定理得 cos=

143BD2CD2CB2202212312==-，则sin=，72BDCD220217而sin=sin(-60°)=sincos60°-cossin60° =1153433×+×=, 27142721AD21sin=,∴AD==sin60sinsin6021在△ACD中，由正弦定理得

5314=15(千米).32答 这个人再走15千米就可到达A城.2.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得 ∠BCD=，∠BDC=，CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.解 在△BCD中，∠CBD=--，由正弦定理得所以BC=CDsinBDCssin=

sinCBDsin()BCCD=，sinBDCsinCBD在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=

stansin.sin()3.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图

161 所示，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比 AB长0.5米.为了使广告牌稳固，要求AC的长度越短越 好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多 少米？

解 设BC=a（a＞1）,AB=c，AC=b，b-c=

12221122

2.c=a+b-2abcos60°，将c=b-代入得(b-)=a+b-ab, 222化简得b(a-1)=a-21.由a＞1,知a-1＞0.b=4a231(a1)22a234=(a-1)+4= 4(a1)a1a1+23+2, 当且仅当a-1=33时，取“=”号，即a=1+时，b有最小值2+3.4(a1)2答 AC最短为(2+3)米，此时，BC长为(1+

3)米.2回顾总结 知识 方法 思想

课后作业

一、填空题

1.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成 75°视角，则B、C的距离是 海里.答案 56

2.为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是 m.答案 20(1+3)33.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km, 162 灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为 km.答案 3a

4.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 海里/小时.答案 176 25.如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，，是可供测量的数据.下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜 的是（填序号）.①c和②c和b③c和④b和 答案 ④

6.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相 距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后,又测得灯塔在 货轮的东北方向,则货轮的速度为 海里/小时.答案 20(6-2)7.在△ABC中，若∠C=60°，则答案 1 8.（2008·苏州模拟）在△ABC中，边a,b,c所对角分别为A,B,C，且答案

nisaAab+=.bcca=

cosBcosC

=,则∠A=.cb

2二、解答题

9.在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，设f（x）=ax-（a-b）x-4c.（1）f（1）=0且B-C=

2，求角C的大小；（2）若f（2）=0，求角C的取值范围.3222

2解（1）∵f（1）=0，∴a-(a-b)-4c=0，∴b=4c，∴b=2c，∴sinB=2sinC，163 又B-C=.∴sin(C+)=2sinC，∴sinC·cos+cosC·sin=2sinC，3333∴353sinC-cosC=0，∴sin(C-)=0，又∵-＜C-＜，∴C=.6666622222

2（2）若f（2）=0，则4a-2(a-b)-4c=0，∴a+b=2c，∴cosC=又2c=a+b≥2ab，∴ab≤c，∴cosC≥2222

a2b2c2c2=，2ab2ab1，又∵C∈（0，），∴0＜C≤.323.410.（2008·泰安模拟）在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边.已知a=1,b=2,cosC=(1)求边c的值；（2）求sin(C-A)的值.解（1）c=a+b-2abcosC=1+2-2×1×2×22222

3=2，∴c=2.4（2）∵cosC=3ac17，∴sinC=.在△ABC中，=,即=

sinAsinCsinA44274.∴sinA==

5214,∵a＜b,∴A为锐角，cosA=.∴sin(C-A)=sinCcosA-cosCsinA

8852371414×-×=.48481611.如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧

AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=，求△POC面积的最大值及此时的值.解 ∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=60°-，∠OCP=120°.在△POC中，由正弦定理得又OPCP2CP4=，∴=，∴CP=sin.sinPCOsinsin120sin32OC4=，∴OC=sin（60°-）.因此△POC的面积为

sin(60)sin1203S（）==11443CP·OCsin120°=·sin（60°-）× sin·2223343sinsin（60°-）=43sin（1232

cos-sin)=2sin·cos-sin

223=sin2+

332333cos2-=sin(2+)-.∴=时，S（）取得最大值为.6633333164 12.在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A（3-1）n mile的B处 有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的

缉私船奉命以103 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以 10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方 向能最快追上走私船？

解 如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD=103t，BD=10t.在△ABC中，222∵AB=3-1，AC=2，∠BAC=120°,∴由余弦定理，得BC=AB+AC-2AB·AC·cos∠BAC

10.正弦定理2学案 篇十

一、学习目标1.熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用 2.探究三角形的面积公式

3.能根据条件判断三角形的形状

4.能根据条件判断某些三角形解的个数

二、学法指导

1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用；

2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数的有关公式，得出角的大小或边的关系。

三、课前预习

1.正弦定理____________________=________ 2.正弦定理的几个变形

(1)a =________ ,b=_________ ,c=_________

(2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______(3)a:b:c =____________________.3.在解三角形时，常用的结论

（1）在ABC中，A>B______________________(2)sin(A+B)=sinC

四、课堂探究 1.正弦定理：（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA,bksinB,cksinC；

（2）正弦定理的变形形式：

1）————————————————————； 2）————————————————————； 3）————————————————————．

（3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：1）____________________________________________________ 2）____________________________________________________ 一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一(4)三角形的面积公式：

______________________________________________

例1仿照正弦定理的证法一，证明S1

ABC

absinC，并运用此结论解决下面问题：（1）在ABC中，已知a2，b3，C150，求SABC；

（2）在ABC中，已知c10，A45，C30，求b和SABC；

五、数学运用

例2(2005年北京春季高考题)在ABC中，已知2sinAcosBsinC，那么ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形

变式练习：ABC中，已知abcosAcosBc

cosC，试判断三角形的形状.六、巩固训练

（一）当堂练习

1.在ABC中，若a3,A60,那么ABC的外接圆的 周长为________ 2.在ABC中,cbcosCcosB,则ABC的形状为______ 3.在ABC中，若A600,a3，则

abc

sinAsinBsinC

_______

4.ABC中，tanAsin2

BtanBsin2

A，那么ABC一 定是_______

5.ABC中，A为锐角，lgblg

c

lgsinAlg2，则 ABC形状为_____