全等的简单证明

2024-10-22

全等的简单证明（共12篇）

1.全等的简单证明篇一

三角形全等的证明学案

（1）条件充足时直接应用

例1 已知：如图1，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，ABD、CE交于点O，且AO平分∠BAC．

那么图中全等的三角形有___对．

（2）条件不足，会增加条件用判别方法

解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步 A例2 如图2，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个）_____．B

C（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线选用判别方法 A

例3 已知：如图3，AB=AC，∠1=∠2．

求证：AO平分∠BAC．

12OBC

（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法 C例4 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF． DE求证：∠ADC=∠BDF．

BAF

说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．

练习：

1．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE=FE．求证：AE=CE．

2．如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知∠ABD=∠ACD，∠BDE=∠CDE．

A求证：BD=CD．

BCE

3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法：如图所示，先在∠AOB的两边上取OP=OQ，A再取PM=QN，连接PN、QM，得交点C，则射线OC

平分∠AOB．你能说明道理吗？M

OQNB

4．如图，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G．试在图10中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．

P A

ACDBBC

5．已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．所添条件为__________，你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____．

A7．如图，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABD≌△ACD．

8．如图14，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．CD

9．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证：EG=GF．A

C BG F

A10．已知：如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．

BECFD

2.全等的简单证明篇二

情形一简单组合“SAS”条件进行判定

例1 已知：如图1，E是BC的中点，∠1=∠2，AE=DE.

求证：AB=DC.

【分析】就本题图形与已知条件来看，要证得AB=DC，只要证得两个三角形全等即可. 从所给的条件来看，已知中直接给定了一组角与一组边对应相等，好像少一组边对应相等，实际上∠1=∠2的另一组夹边以“E是BC的中点”的形式给出了，这三个条件基本上是以比较直接的形式给出的，具体证明只要简单组合一下这三个条件就可以了.

证明：∵E是BC的中点，

∴BE=CE.

在△ABE和△DCE中，

∵BE=CE，∠1=∠2，AE=DE，

∴△ABE≌△DCE.

∴AB=DC.

【反思】这种只要直接组合已知条件证明三角形全等的题主要考查基础知识，给出证明时注意几何语句的书写规范.

情形二探寻“夹角”相等实现“SAS”判定

例2 已知：如图2，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD.

求证：AB=CD.

【分析】由题意，我们只要证得△AOB≌△COD即可得到结论.这两个三角形全等的条件已直接给出了两组边对应相等，是不是能找到它们的夹角呢？显然，题目已知条件给了“OP是∠AOC和∠BOD的平分线”，能给我们以帮助，可以得到∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP，进而由角的差可以得到两个三角形的∠AOB=∠COD，从而获得三角形全等的必要条件.

证明：∵OP是∠AOC和∠BOD的平分线，

∴ ∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP.

∴∠AOB=∠COD.

在△AOB和△COD中，

OA=OC，

∠AOB=∠COD，

OB=OD，

∴△AOB≌△COD. ∴AB=CD.

【反思】本题也是比较典型的考查全等三角形的基础问题，只要经过简单的探究就能得到一个间接给出的有效条件从而实现问题的解决，解题时注意题目中一些间接信息的转译，一些间接信息是发现有效条件的来源.

情形三探寻一组“有效的边”相等应用“SAS”判定

例3 如图，点C，E，B，F在同一直线上，∠C=∠F，AC=DF，EC=BF.求证：△ABC≌△DEF.

【分析】由题意，题中直接给出一组对应角、一组对应边相等，还差一组对应边（BC=EF）就可以应用“SAS”判定两个三角形全等了.观察所给的条件EC=BF，我们可以利用线段的和得到有效的一组对应边BC=EF，于是问题获得解决.

证明：∵EC=BF，

∴EC+BE=BF+BE，即BC=EF.

在△ABC与△DEF中，

AC=DF，

∠C=∠F，

BC=EF，

∴△ABC≌△DEF（SAS）.

【反思】本题寻找另一组“有效的对应边”也是通过题目中间接信息得出的，这种给出一组非对应边的线段相等，从而根据线段的和及等式性质得到对应边相等的解题思路（或意识）是非常重要的，同学们要注意积累.

最后链接一道新考题，帮助同学们巩固本文所讲内容.

小试牛刀

（2015·重庆卷）如图4，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB∥EF. 求证：BC=FD.

3.全等的简单证明篇三

具体体现如下：

一是在复习回顾，引入新课环节做的很实在，不做花架子。如图，在RtABc中，∠B=90°和RtDEF中，∠E=90°，要使ABcDEF，还需要添加哪些条件？你的依据是什么？

此题属于开放性试题，旨在通过此次的解决来复习回顾三角形全等的判定方法，说明所有判定方法都适合直角三角形全等的判定，同时，激发探究欲望，明确探究方向，引入课题。在具体处理的过程中，学生根据已有经验添加条件后，教师适时引导总结属于添加的是：“两条直角边分别相等”、“一锐角和一直角边别相等”，还是“一锐角和斜边分别相等”，至此，教师适时抛出问题：既然直角三角形是特殊的三角形，那它有没有特殊的判定方法就是这节课要探讨的课题，显得的水到渠成。

二是在诱导尝试，探索发现环节。通过学生独立画图、裁剪、比较、总结、归纳的过程，体会判定两个直角三角形全等的简便方法——“斜边、直角边”的形成过程。在这一流程中，学生画图操作处理的很不到位。一方面，在读题并简单分析已知条件后，学生便开始动手画图，居多的学生画出了所要的三角形，但是，上黑板的学生只画了一部分，待另一学生起来回答又出现错误（利用角边角画）时，教师发现了问题所在是没有审清题意，这时又回头看题后，起来回答作图的学生接连出了错误，教师便直接给出答案，代替学生回答。这一处理，显得很是急躁，急于得出结果。另一方面，体现出教师教学机智不灵活，就是担心上不完而急于推进。事实上，追求高效的同时，有时候让课堂慢下来特别重要。

三是在变式练习的处理过程中，发现变式题的设置有重复现象，备课需要再细致。

4.三角形全等的判定教学反思篇四

1、教学设计整体化，内容生活化。在课题的引入方面，然学生动手做、裁剪三角形。既提问复习了全等三角形的定义，又很好的过度到确定一个三角形需要哪些条件的问题上来。把知识不知不觉地体现出来，学得自然新鲜。数学学习来源于生活实际，学生学得轻松有趣。

2、把课堂充分地让给了学生。我和学生做了些课前交流，临上课前我先对他们提了四个要求：认真听讲，积极思考，大胆尝试，踊跃发言。其实，这是一个调动学生积极性，同时也是激励彼此的过程。在上课过程中，我尽量不做过多的讲解，通过引导让学生发现问题并通过动手操作、交流讨论来解决问题。

5.全等的简单证明篇五

根据《课标》要求，针对八年级学生的认知结构和心理特征，以及他们的学习基础，本节教学设计以问题为主线，活动为载体，在不破损学科知识的科学性、系统性的前提下，对教科书相关内容进行了适当整编重组形成具有一定层次的问题序列，并通过“我回顾，我思考”“我探索，我发现”“我掌握，我应用”“我收获，我总结”“我实践，我提高”这五项活动既暗示本节教学思路，又体现“我学习我做主”。

具体体现如下：

三是在变式练习的处理过程中，发现变式题的设置有重复现象，备课需要再细致。

6.《三角形全等的条件》测试题篇六

——亨利•庞加莱(19世纪、20世纪法国数学家)

一、填空题（每小题3分，共27分）

1．图1中有三个直角三角形，其中全等的两个三角形是__.

2．如图2，若AB=AC，AE=AD，则△ACE≌△ABD，其推理依据是__.

3．如图3，已知∠1=∠2，AB⊥AC，BD⊥DC，AC、BD相交于点E，则图中的两对全等三角形分别是__，__.

4．如图4，已知AB=AD，添加一个条件__，就可得△ABC≌△ADC，根据是__.

5．数学课上，何老师出了这样一道题：如图5，已知∠A=∠D，∠1=∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出什么条件？乐乐同学说：“∠E=∠B.”明明同学说：“ED=BA.”晓晓同学说：“AB=EF.”玫玫同学说：“AF=DC.”你认为说得正确的同学是__.

6．如图6，点A、E、F、C在同一条直线上，AB∥CD，DE∥BF，BF=DE，且AE=2，AC=10，则EF=__.

7．如图7，已知AB⊥BD，垂足为点B.ED⊥BD，垂足为点D. AB=CD，BC=DE.则∠ACE=__.

8．如图8，BE和CD是△ABC的高，它们相交于点O，且BE=CD，则图中有__对全等三角形.

9．如图9，已知AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点E.由这些条件写出三个你认为正确的结论：__，__，__.

二、选择题（每小题3分，共27分）

10．下列情况的三角形：①三边固定；②三角固定；③两边及一角固定；④两角及一边固定．其中能完全确定三角形大小和形状的是（）.

A． ① B． ①③ C． ①④ D． ①②③④

11．如图10，△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，要证明△ABD≌△ACE，需补充条件（）.

A. ∠B=∠CB. ∠D=∠E

C. ∠DAE=∠BACD. ∠CAD=∠DAE

12．对图11，小玉同学想利用“ASA”证明△ABC与△DCE全等.她了解到AB∥DC，C是BE的中点，她还要知道（）.

A. AB=DC B. ∠A=∠D

C. AC∥DE D. AC=DE

13．如图12，AB∥DC，AD∥BC，O是AC的中点.EF经过点O，分别交AB、DC于点E、F.连接AF、CE.图中共有全等三角形（）.

A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对

14．某三角形材料裂成三块（如图13），现要配制与原来一模一样的三角形材料，应该拿材料③去，这样做是利用三角形全等的判定方法之中的（）.

A. 边角边B. 角角边

C. 角边角 D. 边边边

15．如图14，有四个论断：①BC=B′C；②AC=A′C；③∠A′CA=∠B′CB；④AB=A′B′.任取三个为条件，余下的一个为结论，最多可以组成真命题（）.

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

16．如图15，AC=DF，∠ACB=∠F，下列条件中不能判定△ABC≌△DEF的是（）.

A. BE=CFB. ∠A=∠D

C. AB=DE D. AB∥DE

17．下列结论中，错误的是（）.

A. 一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等

B. 一锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

C. 两锐角对应相等的两个直角三角形全等

D. 有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等

18．如图16，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再过D点作出BF的垂线DE，且使点A、C、E在同一直线上.这样就可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB.因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是（）.

A. 边角边 B. 角边角

C. 边边边D. 斜边、直角边

三、解答题

19．（8分）如图17，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.请问：△ABD与△ACE全等吗？

20．（8分）要说明命题“全等三角形对应角的平分线相等”是真命题，通常先将此命题改用数学语言表述.

已知：如图18，△ABC≌△A′B′C′，AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′.求证：AD=A′D′.

请你完成证明过程.

21．（8分）如图19，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明.

22．（10分）如图20，∠BAC=90°，AB=AC，ED经过A点，且CE⊥ED于E，BD⊥ED于D.若CE=4，BD=2，求ED的长.

23．（10分）如图21，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AD=AE；②AM=AN；③AB=AC；④AD⊥DC，AE⊥BE.试以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏，剩下的一个论断为结论，填入下面的“求证”栏，使之组成一个真命题（只填序号）.并请写出证明过程.

已知：如图21，在△ABE和△ACD中，__.

求证：__.

四、拓展题

24．（10分）如图22，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B+∠D=180°.

求证：AE=AD+BE.

7.三角形全等的判定评课稿篇七

尊敬的各位领导、教育同仁：

大家好!我来自于北安管理局龙门农场中学，首先，还是感谢总局教师进修学院于辉老师给我们提供了这个学习的机会及展示和交流的平台，下面我就九三一队刘璐老师执教的《三角形全等的判定(二)》这一节课及结合我听课的感受作一下点评。

听了刘璐老师的课感受非常深，有一种受益非浅的感觉，学到了很多教学经验，课讲得非常务实，非常实用。没有花架子，听起来没有作秀的感觉。

首先，我从总体上对刘老师的课进行一下点评。刘老师在授课的过程中教态非常自然，举止从容，热情，有亲和力，这为学生课堂学习创造了一个宽松、和谐的课堂气氛，使学生能大胆地猜想、思考，不受拘束，敢于向困难挑战，发表自己的见解。

其次，刘老师的课语言准确清楚，精练，没有废话，说的全是普通话，学生易理解，而且生动形象，快慢适度。

再次，刘老师基本功比较扎实，这一点体现在板书上，板书的设计条理清晰，字迹工整。

下面在细节方面，我将从四个方面来评价。

一、评教学目标：

教学目标是教学的出发点和归宿，刘老师的三维教学目标确立的比较明确，而且整堂课都是围绕教学目标进行，并且能体现在各个教学环节当中。教学手段都是围绕教学目标进行。本节课主要让学生学会三角形全等的判定，并会用SAS来判定三角形全等，同时，通过学生的合作探究，动手实践培养学生分析问题和解决问题的能力，实践和探索能力。

二、评教材处理：

刘老师对教材的处理很精心，由于现在我们使用的是新教材，新教材给我们提供的是一种教学素材，是一个纲，知识点比新教材难度有所降低，但要求的高了，所以需要我们老师要对教材重新进行整合，使之符合自己学生的知识水平和自己的教学特点，刘老师在这一点上做得很好，并不是就教材讲教材，同时，在教学中能结合具体问题使重点得到突出，难点得到突破。

三、评教学程序：

刘老师的课教学环节比较齐全，教学思路比较清晰，而且有创新意识，课堂结构安排比较严谨，环环相扣，知识点过度比较自然，时间分配合理，特别是在重点内容上能够给学生充足的时间去探究。

四、评教学方法和手段：

刘老师在授课当中能根据知识的内容合理地运用教学方法，采用先学后教的高效课堂教学方法，敢于向新教学方法挑战，同时也体现了有书就得让学生读，方法要让学生归纳、结论要让学生去发现，符合新的课程标准，这是刘老师这一节课的亮点。同时，刘老师能亲自走下讲台，和学生进行互动，启发，引导，体现了学生是学习的主体，教师是学生学习的合作者，组织者和引导者，学生回答的.问题给予表扬和鼓励，使学生产生自信的心理。刘老师在授课当中能运用现代化教学手段，优化了课堂教学，增大了课堂容量，同时，通过图形的动画，使学生对问题的理解形象、直观。也巧妙地激发了学生的学习兴趣。

下面我就刘老师这一节课提两点个人看法，第一点，我认为应把三角形全等的判定的内容写在黑板上，放在主板书的位置，因为，主板书体现的是这一节课的重点内容，学生在归纳总结的时候，从板书上看一目了然，并能明确这一节课学习到了哪些知识，这一节课的重点内容是什么，所以不应省略。第二点，导入这一环节，使用的是俄罗斯西伯利亚的“和平钻石矿坑”，这一教学素材，形式上很好，能体现出数学于现实生活，同时又反作用于现实生活，数学在我们身边无处不在，但是，这一素材，离我们生活实际太远，学生对此问题会有疑问，另外，此素材实际操作起来也比较困难，所以我认为还是选取我们身边的素材比较好。

8.三角形全等的条件教学案例分析篇八

一、教学设计：学习方式：

对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一步。它是两个三角形间最简单，最常见的关系。它不仅是学习后面知识的基础，并且是证明线段相等、角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据。因此必须熟练地掌握全等三角形的判定方法，并且灵活的应用。为了使学生更好地掌握这一部分内容，遵循启发式教学原则，用设问形式创设问题情景，设计一系列实践活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维，使学生经历从现实世界抽象出几何模型和运用所学内容，解决实际问题的过程，真正把学生放到主体位置。学习任务分析：

充分利用教科书提供的素材和活动，鼓励学生经历观察、操作、推理、想象等活动，发展学生的空间观念，体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动经验。培养学生有条理的思考，表达和交流的能力，并且在以直观操作的基础上，将直观与简单推理相结合，注意学生推理意识的建立和对推理过程的理解，能运用自己的方式有条理的表达推理过程，为以后的证明打下基础。学生的认知起点分析：

学生通过前面的学习已了解了图形的全等的概念及特征，掌握了全等图形的对应边、对应角的关系，这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。另外，学生也具备了利用已知条件作三角形的基本作图能力，这使学生能主动参与本节课的操作、探究成为可能。4 教学目标：

（1）学生在教师引导下，积极主动地经历探索三角形全等的条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。

（2）掌握三角形全等的“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”的判定方法，了解三角形的稳定性，能用三角形的全等解决一些实际问题。

（3）培养学生的空间观念，推理能力，发展有条理地表达能力，积累数学活动经验。5 教学的重点与难点：

重点：三角形全等条件的探索过程是本节课的重点。

从设置情景提出问题，到动手操作，交流，直至归纳得出结论，整个过程学生不仅得到了两个三角形全等的条件，更重要得是经历了知识的形成过程，体会了一种分析问题的方法，积累了数学活动经验，这将有利于学生更好的理解数学，应用数学。

难点：三角形全等条件的探索过程，特别是创设出问题后，学生面对开放性问题，要做出全面、正确得分析，并对各种情况进行讨论，对初一学生有一定的难度。

9.三角形全等的判定SSS教学反思篇九

[授课流程反思]

通过学生全过程的`画图、观察、比较、交流等，逐步探索出最后的结论------边边边，在这个过程中，学生不仅得到了两个三角形全等的条件，同时增强了数学体验。

[讲授效果反思]

证明中的每一步推理都要有依据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、定力等。

[师生互动反思]

10.全等的简单证明篇十

一、教学目的和要求

熟练掌握角边角公理，能正确找出公理的条件，从而证明两个三角形全等，进而由三角形全等还可以得出对应边相等和对应角相等。利用三角形全等解决证明边相等或角相等的问题。

二、教学重点和难点

重点：对于证明两个三角形全等条件的正确运用，可以由两角和夹边对应相等的条件证明三角形全等，在图形较复杂的情况下，对应关系应当找对，同时对角角边公理应加以重视。

难点：例题难度加强了，使学生能够经过几步推理逐渐找到解题最佳途径。证明两次全等，运用不同判定公理时，要思路清楚。

二、教学过程

(一)复习、引入

提问：

1.我们已经学习了角边角公理，“角、边、角”的含义是什么？

（两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等）。

2.已知两个三角形有两个角相等，能否推出第三个角也对应相等？为什么？由此可以得到哪个判定公理？

（第三个角也应相等，因为三角形内角和等于180，由此可以得到角角边公理）。

3.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个三角形全等吗？为什么？

（全等，由AAS公理可得出）

4.两个直角三角形中，有一条直角边和它的对角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？

（全等，由AAS公理可得出）

5.两个直角三角形中，有一条直角边和与它相邻的锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？

（全等，由AAS公理可得出）

(二)新课

刚才同学们能很快运用ASA和AAS公理证明三角形全等，但是有些题目的条件比较隐蔽，需经过分析方能找到解题的思路，这类题目能锻炼同学们的思维能力，请特别注意，下面我们看几个例题：

例1 已知：如图67，1＝2，AD＝AE

求证：OB＝OC

A D 1 2 E O B C

分析：这题与书中例1图相同，但改变了已知条件，难度有所增加，所求线段OB和OC分别在BOD和COE中，但直接证这两个三角形全等，条件不够，需要从另两个三角形全等中创造条件。根据已知条件，可证明ABE  ACD。

证明：

在ABE和ACD中 AA(公共角)

AEAD(已知)

21(已知)图67

ABE  ACD（ASA）

AB＝AC（全等三角形对应边相等）

B＝C（全等三角形对应边相等）

又∵AD＝AE（已知）

BDCE

1＝2

BDO＝CEO

在BOD和COE中 BDO＝CEO(已证)

BDCE(已证)

BC(已证)

BOD  COE（ASA）

OB＝OC（全等三角形对应边相等）

例2 已知：如图68，1＝2，3＝4

求证：ADC＝BCD。

D C 3 4 1 2 A B 图68

分析：所要求证相等的两个角分别在两个三角形中，即ACD和BDC中，欲让此两三角形全等有已知3＝4，这时可有两种思路：若用边角边公理，则应找到AD＝BC，AC＝BD，若用角边角公理则应证出AC＝BD，ACD＝BDC，经过分析，用第一种思路较好。

证明：∵1＝2，3＝4

1＋3＝2＋4

即BAD＝ABC

在ABD和BAC中 21(已知)

ABBA(公共边)

BADABC(已证)

ABD  BAC(ASA)

AD＝BC，BD＝AC（全等三角形对应边相等）

在ADC和BCD中 ADBC(已知)

34(已证)

ACBD(已证)

ADC  BCD(SAS)

ADC＝BCD（全等三角形对应角相等）

例3 已知：如图69，AB//CD，AB＝CD，AD、CB交于O点。

求证：OE＝OF。

C E D O A E B 图69

分析：此题可以开发学生一题多解的思维，即COD与BOA全等既可以用“AAS”，又可以用“ASA”，进一步再证OCF  OBE即可。

证明：∵AB//CD（已知）

C＝B，D＝A（两直线平行内错角相等）

在OCD和OBA中 CB(已证)

CDBA(已知)

DA(已证)

OCD  OBA（ASA）

此时可提问学生：还有没有其他办法证这两个三角形全等？

OC＝OB（全等三角形对应边相等）

在OCF和OBE中

CB(已证)

OCOB(已证)

FOCEOB(对顶角相等)

OCF  OBE（ASA）

OF＝OE（全等三角形对应边相等）

例4 已知：如图70，在ABC中，ADBC于D，CFAB于F，AD与CF相交于G，且CG＝AB。

求证：BCA的度数。

A F G B D C 图70

分析：图形比较复杂，图中三角形较多，正确分析已知条件后可知应当证明AB和CG所在的三角形，即ABD和CGD全等，然后可知对应边AD＝DC，则ADC为等腰直角三角形，BCA＝45。

证明：∵ADBC，CFAB

B＋BAD＝B＋DCG＝90（直角三角形两个锐角互余）

BAD＝DCG

在BAD和GCD中

BADDCG(已证)

ADBCDG(垂直定义)

ABCG(已知)

BAD  GCD(AAS)

AD＝CD（全等三角形对应边相等）

∵RtADC中

BCA＝45(三)巩固练习

1.已知：如图71，1＝2，C＝D

求证：AC＝AD。

D A 1 B 2 C 图71

2.已知：如图72，点B、F、C、E同在一条直线上，FB＝CE，AF＝DC，AFB＝DCE。

求证：AB＝DE；AC＝DF。

A B F C E D 图72

(四)小结

1.三角形全等公理2与推论有同等重要的地位，应牢记。只要两个三角形有两个角和一条边对应相等，就可以证出全等三角形，但对应关系应当找对，不能一个三角形是AAS，而另一个三角形是ASA。

2.在求边相等或角相等的题目中，应首先观察所要求证相等的边或角在哪两个三角形中，若直接用三角形全等，条件不够，则应当考虑先证其他三角形全等，得出所需的条件，因而可以解决问题，也就是要证两次全等的类型题目。

(五)作业

1.已知：如图73，ABC中，N是AB中点，BCMN是平行四边形

求证：AP＝PC。

A N P M B C 图73

2.已知：如图74，ABC中，BDAC，CEAB

垂足分别是D、E。ABC＝ACB，BD和CE相交于O。

求证：OD＝OE。

A E D B C 图74

3.已知：如图75，点E、F在BC上，BE＝CF。

AB＝DC，B＝C，AF和DE相交成60角，且AF、DE相交于O点，求：DFE和AFE的度数。

A D O B E F C 图75

答案及揭示

巩固练习

1.证明：在ABD和ABC中 12(已知)

ABAB(公共边)

DC(已知)

ABD  ABC（ASA）

AC＝AD（全等三角形对应边相等）

2.证明：在ABF和DEC中 FBCE(已知)

AFBDCE(已知)

AFDC(已知)

ABF  DEC（SAS）

ABDE（全等三角形对应边相等）

B＝E（全等三角形对应角相等）

BF＋FC＝EC＋FC（等量加等量和相等）

在ABC和CEF中

ABDE(已证)

BE(已证)

BCFE(已证)

ABC  DEF（SAS）

AC＝DF（全等三角形对应边相等）

作业：

1.证明：∵N是AB中点

AN＝BN（中点定义）

∵BCMN是平行四边形

BN＝CM＝AN

∵AB//MC（平行四边形对边平行）

ANP＝M（两直线平行内错角相等）

在ANP和CMP中

ANPM(已证)

ANCM(已证)

APNCPM(对顶角相等)

ANP  CMP（AAS）

AP＝PC（全等三角形对应边相等）

2.证明：∵BDAC，CEAB（已知）

BEC＝CDB（直角定义）

在BCD和CBE中 BECCDB(已证)

ABCACB(已知)

BCBC(公共边)

BCD  CBE（AAS）

BE＝CD（全等三角形对应边相等）

在OBE和OCD中

BEOCDO(已证)

EOBDOC(对顶角相等)

BECD(已证)

OBE  OCD（AAS）

OD＝OE（全等三角形对应边相等）

3.解：∵BE＝CF（已知）

BE＋EF＝FC＋EF（等量加等量和相等）

即BF=CE

在ABF＝DCE中 ABDC(已知)

BC(已知)

BFCE(已证)

ABF  DCF（SAS）AFEDEC（全等三角形对应边相等）

11.全等的简单证明篇十一

昨天对三角形全等进行复习，教学目的是：使学生能灵活运用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”和“HL”来判定三角形全等;体会文字命题转化为数学符号语言的过程，掌握文字命题的证明。

对于本单元的知识内容，学生很容易掌握，但是，与单纯的知识内容相比，更重要的是利用这些知识内容解决问题。因此，本课的复习就是重在证明题的分析方法上。

这一课的教学案设计是这样的，预习导学部分安排复习了定义、性质、判定方法;安排复习三角形全等的条件思路;安排复习找三角形全等的条件时经常见到的.隐含条件;三个对应相等的条件不能使三角形全等的情况及其反例。前置学习第二部分的三个选择题，有效地复习了“对应相等”、“两边夹角”、“边边角”和“角角角”不能的注意点。又安排了两次全等的证明题，并由命题的证明归纳文字命题：“等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等”，为学习文字命题的证明作好了准备，也训练了学生语言表达能力。

在前置学习的基础上，我让学生上台叙述例题1的证明思路，并由两条题目的分析思路的探究体会怎样分析和总结证题时常有的合理联想，如“由垂直想互余，互余多了自有同角或等角的余角相等”、“由角平分线想折叠”等等。接着学习例2和练习学习文字命题的证明步骤：根据题意画图形，结合图形写“已知”和“求证”，认真分析得“证明”。

这一课复习安排的内容比较多，学生思维训练很充分，证明和分析方法体会得不少，学生动手写证明的全过程偏少，文字命题的训练占全课的比重较小。

收获：

利用学生主动的探究，学生对三角形判定和性质掌握比较好，而且由于学生对每一个判定和性质都进行了数学语言和符号语言的书写练习，因此提高了学生的书写能力，在习题课上大部分的学生都能写出比较完整的证明过程。

不足：

1、学生识别图形的能力差、如：“ASA”与“AAS”“HL”判别不清。

2、几何证明题一直是学生的一个弱点。学生存在会分析，但是书写不规范的情况。

3、构造三角形全等的能力不足。如：适当添加辅助线解决问题。

12.三角形全等的条件说课稿篇十二

本节课主要是学习“边边边”定理的证明及其应用，下面分别从教材、教法与学法、教学程序、板书设计四个方面来说明：

一、教材分析 1.教材的地位和作用。

《三角形全等的条件（第一课时）》是义务教育课程标准实验教科书，八年级上册第十三章第二节中的第一课时。本节课在本章甚至本学期的教学内容中，占有不可替代的重要地位。

首先，全等三角形是研究图形的重要工具,学生只有掌握好全等三角形的内容,并且能灵活运用它们,才能学好四边形、圆等内容，在几何知识的学习中具有广泛的应用。其次，“边边边”定理在教材中起着承上启下的作用。一方面，“边边边”定理是 “全等三角形的对应边相等”这一性质的逆定理，与其有着密切的联系；另一方面，在学习了“边边边”定理之后，学生可以以此为依据。类比探究三角形全等的其他条件，为学习SAS、AAS、ASA等打下基础。

另外，在探究三角形是否全等时，学生需要不断的观察、分析、归纳，所以，学习三角形全等的条件，有利于提高学生观察分析、归纳联想的能力以及综合运用知识的能力，有利于提高学生的数学素养。2.教学目标: 根据学生已有的认知基础、心理特征，以及上述的教材的地位、作用,依据教学的大纲，我确定了如下教学目标:(1)知识目标: 掌握三角形全等的“边边边”条件,了解三角形的稳定性,初步体会并运用综合推理证明命题。

(2)能力目标:经历探索三角形全等条件的过程,体验分类讨论的数学思想,体会利用操作、归纳出数学结论;让学生学会思考、并注重书写格式的养成。

(3)情感目标:通过探究三角形全等的条件的活动,培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质，以及发现问题的能力。

3.教材重点：三角形全等的“边边边”条件的探索和运用。

4.教材难点: 探究三角形全等的条件的过程, 三角形全等的证明及书写格式 5.解决重点的方法主要是:(1)分类提问:一个条件、两个条件情况,让学生猜想,小组讨论,老师用课件展示画三角形的情形,学生归纳,满足一个或两个条件是不能说三角形全等的。自然转到三个条件的探索,三个角行吧,显然不行;三条边呢?教师让学生从实践入手,给定三角形三边,学生在薄纸上画,然后小组的同学看所画三角形能否重合,探索归纳、形成结论,得到“ 边边边”判定。(2)教师用多媒体展示现实生产生活中的实际例子:菜架、桥梁、铁塔、自行车中的三角形结构,再次说明三角形三边固定,三角形的形状、大小就固定了,这就是三角形的稳定性,也就是说三边对应相等的三角形全等。

(3)注重分析思路,让学生学会思考问题,注重书写格式,让学生学会清楚地表达思考的过程。在证明例1的结论“△ABD≌△ACD”以前,首先指出证题的思路:“要证△ABD≌△ACD,可看这两个三角形的三条边是否对应相等.”为了清楚地表达上述思考过程,引入“∵”“∴”及综合法证明的格式,把证明的过程简明地表达出来。这样,既为学生运用“边边边”判定埋下伏笔,也为学生理解和书写证明过程减缓坡度。

6.要突破学生理解和学会书写证明过程这个难点,又采取如下措施:(1)在学生归纳出“边边边”后,教师提问:如何用符号语言来表达呢?幻灯出示两个三角形,引导学生口述,教师介绍,多媒体强化学生的感知。

(2)例题由老师板书示范证明过程;接着幻灯出示变式,让学生尝试书写证明过程。(3)幻灯出示两道补充证明条件的填空题,进一步强化证明过程的理解和书写。

二、学情分析

初二学生活泼好动、好奇心和求知欲都非常强,并且在初一基础上初二学生有一定的分析力,归纳力和进行简单说理能力。生产生活中的全等形,激发了学生探究三角形全等的热情。教师联系生活实际、结合本节课特点、挖掘适合学生的学习材料,注重激发学生的求知欲,让他们真正理解这节课是在学习了三角形全等概念基础上,如何用较少的条件来判断三角形全等,并且把推理过程正确书写出来。通过“边边边”条件探究和运用,培养学生动手、动口、和思考能力;通过对探究过程的反思,进一步强化对分类和化归思想的认识。

三、教法设计:

1、为了充分调动学生的学习积极性,使数学课上得有趣、生动、高效,教学中引导学生从实践入手,采取提问、猜测、探索、归纳等教学手段总结三角形全等的“边边边”判定,采用启发式教学与分层训练法,用讨论法、讲授法为辅助。

2、在教学中采用多媒体教学手段,穿插小组讨论,增强教学的直观性、趣味性,加大课堂密度,提高教学效率。

3、进一步让学生感受到数学产生于生活,与生活密切相关,学生观察生产生活中三角形稳定性的应用,了解三角形的稳定性,并加深对“边边边”条件的理解。

4、在探究三角形全等的条件过程中,采用小组讨论归纳的方法,培养学生互助、协作的精神。

5、让学生自己尝试证明变式题,培养学生会思考,会推理,会书写三角形全等的证明。

四、学法指导: 数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科。教学中应在实践的基础上重视数学概念和规律的形成过程,激励学生与老师一道积极投身教学实践,引导学生掌握科学的学习方法,使学生从“学会”转变成“会学”,变被动为主动,充分体现老师的主导作用和学生的主体作用。这节课在老师的启发下,通过自己实践、猜想、讨论、模仿等学习方法,学会自己观察、探索、归纳和发现结论,并且善于运用结论,培养学生动手、动口、动脑的能力,从而进一步认识和理解“探索-归纳-运用”的数学思想。

五、教学程序

创设情境------导入新课--------引导探究------归纳运用------尝试练习-------巩固迁移-------学生小结------布置作业

[提问]全等三角形的定义、性质?幻灯出示满足六个条件的两个三角形,问同学们是否全等,幻灯动态展示能够重合。教师反问引入探究:一个条件、两个条件、三个条件。

[探究]一个条件,学生猜想,老师动画展示;两个条件,学生小组讨论,老师动画验证;三个边,教师口述画法,幻灯打出画图步骤,学生画三角形。

[归纳]学生小组活动,实践发现、归纳“边边边”判定。教师举例运用,学生观察模仿。三角形的稳定性,例1。

[尝试]简单变式练习,总结证明全等的书写格式。[迁移]两道补充证明条件的练习和教材96页思考题。

【小结】知道三角形三边的长度怎样画三角形;三边对应相等的两个三角形全等;体验分类讨论的思想;初步学会理解证明的思路。

【作业】

出示例题例

1、已知:如图,△ABC是一个钢架, AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架。求证:△ABD≌△ A C D.变式练习:如果AB=AC,BD=CD,那么△ABD和△ACD全等吗?为什么?(上图变为燕尾型)补充证明过程条件的填空思考练习:如图,已知AC=FE、BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上,AD=FB.要用“边边边”证明△ABC≌△FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以外,还应该有什么条件?怎样才能得到这个条件? 教学小结

老师在多媒体打出,学生回忆,看知道吗。

本节课主要采用了探索、归纳、分类讨论的思想方法,探究现实生活中的数学问题,体现了数学产生于生活而又用于生产生活的思想,并且注重学生动手、动口、动脑能力的培养,充分发挥学生的主观能动性,体现了学生是学习的主体,真正成为学习的主人,转变了角色。

六、板书设计:

三、说教学程序

学生是教学的主体，教师起主导作用，这一节课的教学程序如下：

1、复习提问

提问学生：什么是全等图形？它有什么性质？为下一步教学作好铺垫。设计意图：在于抛出新知识时，让学生回忆所学过的知识。古代教育家孔夫子说：“温故而知新，可以为师矣”。

2、导出新课

由全等三角形得出：对应边相等，对应角相等。反过来是否也成立？若对应角相等是否有两个三角形，若对应边相等是否有两个三角形全等，让学生动手画这样图形，老师巡视，发现问题可提示学生。

设计意图：引出本节课的学习内容，让学生积极参与教学活动，从而突破重、难点。让学生投入学习中，培养学生自学作图的能力。

3、展示目标

用小黑板展示本节的学习目标