面面垂直的判定课

面面垂直的判定课（精选11篇）

1.面面垂直的判定课 篇一

两平面垂直 布吉高中 庄 素 娟

教案：1.2.4平面与平面垂直

一、教学目标

1． 知识目标：使学生理解和掌握面面垂直的定义、判定定理及性质定理，并能应用定理解决相关问题

2．能力目标：加深学生对化归思想方法的理解及应用．

3． 情感目标：通过实物模型及计算机软件演示来陶冶学生的数学情操．在数学与实际问题密切联系中，激发学生的学习欲望和探究精神，在课堂学习中，学生既有独立思考，又有合作讨论，有意识、有目的地培养学生自主学习的良好习惯以及协作共进的团对精神。

二、教学重点、难点

重点：两个平面垂直的判定定理； 难点：两个平面垂直的性质定理及应用

三、教学方法与教学手段

教学方法：本节课采用“问题探究式”教学法，通过观察、归纳、启发探究，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动．．

教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大教学容量，提高效率。

四、教学过程

2.面面垂直的判定课 篇二

利用向量方法判断空间位置关系, 其难点是线面平行与面面垂直关系问题.应用下面的两个定理, 将可建立一种简单的程序化的解题模式.

定理1 设$\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}A}}$、$\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}B}}$不共线, $\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}Q}}=x\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}A}}+y\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}B}}(x‚y\in \mathbf{R})$, 则

① P∈平面MAB⇔PQ⊂平面MAB;

② P平面MAB⇔PQ//平面MAB.

定理2 设向量$\overrightarrow{{\displaystyle AB}}$、$\overrightarrow{{\displaystyle AC}}$不共线, $\overrightarrow{{\displaystyle DE}}$、$\overrightarrow{{\displaystyle DF}}$不共线, 则:平面ABC⊥平面DEF⇔存在实数λ, μ, 使$\overrightarrow{{\displaystyle AB}}\cdot (\lambda \overrightarrow{{\displaystyle DE}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle DF}})=0$, 且$\overrightarrow{{\displaystyle AC}}\cdot (\lambda \overrightarrow{{\displaystyle DE}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle DF}})=0.$

例1 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中, O是B1D1的中点, 求证:B1C//平面ODC1.

证明:设$\overrightarrow{{\displaystyle C{}_{1}B{}_1}}=\mathit{a}‚\overrightarrow{{\displaystyle C{}_{1}D{}_1}}=\mathit{b}‚\overrightarrow{{\displaystyle C{}_{1}C}}=\mathit{c}$, 则

$B{}_{1}C=\mathit{c}-\mathit{a}‚\overrightarrow{{\displaystyle C{}_1{\rm O}}}=\frac{1}{2}(\mathit{a}+\mathit{b})‚\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D{}_1}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{\displaystyle B{}_{1}D{}_1}}=\frac{1}{2}(\mathit{b}-\mathit{a})‚\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D{}_1}}+\overrightarrow{{\displaystyle D{}_{1}D}}=\frac{1}{2}(\mathit{b}-\mathit{a})+\mathit{c}.$

若存在实数 x, y, 使$\overrightarrow{{\displaystyle B{}_{1}C}}=x\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D}}+y\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}C{}_1}}‚$则

$\begin{array}{l}\mathit{c}-\mathit{a}=x[\frac{1}{2}(\mathit{b}-\mathit{a})+\mathit{c}]+y[-\frac{1}{2}(\mathit{a}+\mathit{b})]\\ =-\frac{1}{2}(x+y)\mathit{a}+\frac{1}{2}(x-y)\mathit{b}+x\mathit{c}.\end{array}$

因为 a、b、c 不共面,

所以

得$x=1‚y=1‚\overrightarrow{{\displaystyle B{}_{1}C}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D}}+\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}C{}_1}}.$

又因为B1平面ODC1,

所以B1C//平面ODC1.

例2 在斜三棱柱ABC—A1B1C1中, 侧面AA1B1B⊥底面ABC1, 侧棱AA1与底面ABC成60°角, AA1=2, △ABC是边长为2的正三角形, 其重心为G, E是线段BC1上一点, 且$BE=\frac{1}{3}BC{}_1$.求证:G1E//侧面AA1B1B.

证明:因为侧面AA1B1B⊥底面ABC,

所以侧棱AA1与底面ABC所成的角就是∠A1AB, ∠A1AB=60°.

由A1A=AB=2, 知△A1AB为正三角形.

取AB中点O, 则A1O⊥底面ABC, OC⊥AB.于是建立如图2的空间直角坐标系, 则$A(0,-1,0),B(0,1,0),C(\sqrt{3},0,0),A{}_1(0,0,\sqrt{3}).$

$\begin{array}{l}\text{由}\overrightarrow{{\displaystyle CC{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle BB{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle AA{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm O}}}+\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}A{}_1}}=(0,1,\sqrt{3}),\\ \overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}C{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}C}}+\overrightarrow{{\displaystyle CC{}_1}}=(\sqrt{3},1,\sqrt{3}),\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}+\overrightarrow{{\displaystyle BB{}_1}}=(0,2,\sqrt{3}),\end{array}$

知$C{}_1(\sqrt{3},1,\sqrt{3}),B{}_1(0,2,\sqrt{3}).$

因为G为△ABC的重心, 所以$G(\frac{\sqrt{3}}{3},0,0).$

因为$\overrightarrow{{\displaystyle BC{}_1}}=(\sqrt{3},0,\sqrt{3}),\overrightarrow{{\displaystyle AB{}_1}}=(0,3,\sqrt{3}),$

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}E}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}+\overrightarrow{{\displaystyle BE}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{{\displaystyle BC{}_1}}\\ =(\frac{\sqrt{3}}{3},1,\frac{\sqrt{3}}{3}),\\ \overrightarrow{{\displaystyle GE}}=\overrightarrow{{\displaystyle G{\rm O}}}+\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}E}}=(0,1,\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{1}{3}\overrightarrow{{\displaystyle AB{}_1}}\\ =\frac{1}{3}\overrightarrow{{\displaystyle AB{}_1}}+0\overrightarrow{{\displaystyle AB}}\end{array}$

(或$\overrightarrow{{\displaystyle GE}}=(0,1,\frac{\sqrt{3}}{3})=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}A{}_1}}).$

又GE⊄平面AA1B1C,

所以GE//平面AA1B1B.

例3 (2004年湖南) 如图3, 在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中, $\angle ABC=60°,{\rm P}A=AC=a,{\rm P}B={\rm P}D=\sqrt{2}a$, 点E在PD上, 且PE ∶ED=2∶1.

在棱PC上是否存在一点F, 使BF//平面AEC?证明你的结论.

解:设$\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}=\mathit{a},\overrightarrow{{\displaystyle AC}}=\mathit{b},\overrightarrow{{\displaystyle AD}}=\mathit{c}$.并设$\overrightarrow{{\displaystyle CF}}=\lambda \overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}(0<\lambda <1)$, 则

$\begin{array}{l}\overrightarrow{{\displaystyle BF}}=\overrightarrow{{\displaystyle BC}}+\overrightarrow{{\displaystyle CF}}=\overrightarrow{{\displaystyle AD}}+\lambda (\overrightarrow{{\displaystyle CA}}+\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}})\\ =\lambda \mathit{a}-\lambda \mathit{b}+\mathit{c},\\ \overrightarrow{{\displaystyle AE}}=\overrightarrow{{\displaystyle AD}}+\overrightarrow{{\displaystyle DE}}=\overrightarrow{{\displaystyle AD}}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{{\displaystyle DA}}+\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}})\\ =\frac{1}{3}\mathit{a}+\frac{2}{3}\mathit{c}.\end{array}$

令$\overrightarrow{{\displaystyle BF}}=m\overrightarrow{{\displaystyle AC}}+n\overrightarrow{{\displaystyle AE}},$

即$\lambda \mathit{a}-\lambda \mathit{b}+\mathit{c}=\frac{1}{3}n\mathit{a}+m\mathit{b}+\frac{2}{3}n\mathit{c},$

则由 a、b、c不共面, 得

$\{\begin{array}{l}\lambda =\frac{1}{3}n‚\\ -\lambda =m‚\\ 1=\frac{2}{3}n.\end{array}$

解得$\lambda =\frac{1}{2}‚m=-\frac{1}{2}‚n=\frac{3}{2}.$

所以$\overrightarrow{{\displaystyle CF}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}‚$且$\overrightarrow{{\displaystyle BF}}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{{\displaystyle AC}}+\frac{3}{2}\overrightarrow{{\displaystyle AE}}.$

又因为B平面AEC,

所以当F为PC中点时, BF//平面AEC.

例4 在四棱锥P—ABCD中, PD⊥平面ABCD, PA与平面ABCD所成的角为60°, 在四边形ABCD中, ∠ADC=∠DAB=90°, AB=4, CD=1, AD=2.若PB的中点为M, 求证:平面AMC⊥平面PBC.

证明:建立如图4所示的坐标系, 易得A (2, 0, 0) , C (0, 1, 0) , B (2, 4, 0) .

由PD⊥面ABCD, 得∠PAD为PA与面ABCD所成的角, 从而, 在Rt△PAD中,

$\angle {\rm P}AD=60°,{\rm P}D=AD\tan 60°=2\sqrt{3},$

得${\rm P}(0,0,2\sqrt{3}),{\rm M}(1,2,\sqrt{3}).$

所以$\overrightarrow{{\displaystyle CA}}=(2,-1,0),\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm M}}}=(1,1,\sqrt{3}),\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}=(0,-1,2\sqrt{3}),\overrightarrow{{\displaystyle CB}}=(2,3,0).$

设$\mathit{p}=\lambda \overrightarrow{{\displaystyle CA}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle C{\rm M}}}=(2\lambda +\mu ,-\lambda +\mu ,\sqrt{3}\mu )(\lambda ,\mu \in \mathbf{R})$, 令

$\{\begin{array}{l}\mathit{p}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}=(\lambda -\mu )+6\mu =0‚\\ \mathit{p}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle CB}}=(4\lambda +2\mu )+(-3\lambda +3\mu )=0‚\end{array}$

得λ+5μ=0.

取λ=5, μ=-1, 得

$\begin{array}{l}(5\overrightarrow{{\displaystyle CA}}-\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm M}}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}=0‚\\ (5\overrightarrow{{\displaystyle CA}}-\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm M}}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle CB}}=0.\end{array}$

所以平面AMC⊥平面PBC.

例5 如图5, 四边形ABCD是边长为2的正方形, PA⊥平面ABCD, DE//PA, PA=2DE=AB, 求证:平面PEC⊥平面PAC.

证明:由DE//PA, PA⊥平面ABCD, 得DE⊥平面ABCD, 于是建立如图的直角坐标系.易知,

$\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}=(0‚0‚2)‚\overrightarrow{{\displaystyle AC}}=(2‚-2‚0)‚\overrightarrow{{\displaystyle E{\rm P}}}=(0‚2‚1)‚\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}C}}=(2‚-2‚-2)$.令

$\{\begin{array}{l}(\lambda \overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle AC}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle E{\rm P}}}=0‚\\ (\lambda \overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle AC}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}C}}=0‚\end{array}$

得2μ-λ=0.

取λ=2, μ=1, 得

$\begin{array}{l}(2\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}+\overrightarrow{{\displaystyle AC}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle E{\rm P}}}=0‚\\ (2\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}+\overrightarrow{{\displaystyle AC}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}C}}=0‚\end{array}$

所以平面PEC⊥平面PAC.

3.面面垂直的判定课 篇三

（二）教学目标：

通过本节教学提高学生解决问题能力；进一步提高学生认知图形能力、空间想象能力；从多角度解答问题过程中，感悟等价转化思想运用；创新精神，实践能力在数学中的体现、渗透。

教学重点：

两个平面所成二面角的棱寻求、角的求解。

教学难点：

找求问题解决的突破口，转化思想渗透。

教学过程：

1．复习回顾：

1）二面角的平面角找法依据.2）三垂线定理及逆定理.2．讲授新课：

［师］前面研究了如何找一个二面角的平面角，解决的途径有定义法、三垂线法、垂面法，除此外又给了面积射影法求二面角.本节主要研究无棱二面角的求解思路、方法.近几年的高考试题涉及无棱二面角问题的题目也较突出.找无棱二面角的棱依位置可分二类，例1：如图，在所给空间图形中ABCD是正方形，PD⊥面ABCD，PD=AD.求平面PAD和面PBC所成二面角的大小.［师］面PAD和面PBC图中只给出一个公共点，那么怎样找棱呢？请思考.［生］作线在面内进行，BC∥AD则经BC的平面与 面PAD的交线应平行，由此想到经P作BC或AD平行线，找到棱后的主要问题就是找平面角.解法如下：

解：经P在面PAD内作PE∥AD，AE⊥面ABCD，两线相交于E，连BE ∵BC∥AD 则BC∥面PAD

∴面PBC∩面PAD＝PE ∴BC∥PE

因PD⊥面ABCD，BC⊥CD 那么BC⊥PC，BC⊥面PDC 即有PE⊥面PDC PE⊥PD，PE⊥PC

∠CPD就是所求二面角的平面角 因PD＝AD，而AD＝DC

⊥面AC1，E∈BB1，AA1＝A1B1，求面A1EC与面ABC所成二面角的大小.［师］此题显然依上述方法去找平行线已不可能.由图B1C1与CE不平行.但与前两个问题的相同点还是两面从图形看到的只有一个公共点，依公理我们只有去找另一公共点，观察图我们可看到CE与B1C1是同一平面内线，突破口就选在面B1C1CB内，找到点后，二面角的棱也就找到.请同学思考并表述过程.解：∵A1是平面A1EC与平面A1B1C1的一个公共点，∴只需找到另一个公共点，即可.因AA1＝A1B1＝A1C1，连AC1 则AC1⊥A1C，AC1∩A1C＝O 取BB1的中点E，连EO

因面ABC是正三角形，则经B作BG⊥AC有 BG⊥面AC1，OE∥BG ∴OE⊥面AC1

因面A1EC⊥面AC1，故E是BB1中点

1那么EB1∥

CC1

＝2∴CE与B1C1延长后必交于一点F，即F为面A1EC，面A1B1C1的另一个公共点

连A1F，则A1F为面A1EC与面A1B1C1所成二面角的棱 因FB1＝B1C1＝A1B1，∠A1B1F＝120° ∴∠FA1B1＝30°

那么∠C1A1F＝90°即A1C1⊥A1F 那么CA1⊥A1F（三垂线定理）

∠CAC1为面A1EC与面A1B1C1所成二面角的平面角.∠CA1C1＝45°，因AA1∥ BB1∥ CC1

＝＝而面ABC∥面A1B1C1

∴面A1EC与面ABC所成二面角大小为45°.［师］找公共点F是解此题关键，例1、2是通过公共点作棱，例3是通过再找公共点而得棱.因题条件不同而采用不同作法.例1、2找棱的方法不妨叫“作平行线”，例3的方法叫“找公共点”.［师］问题的解决不一定就一种思路，一条途径，只要多去想条件涉及到的知识点，解决方法总会找到，“柳暗花明又一村”的境界一定能达到.3．课时小结：

4.线面平行、面面平行的判定作业 篇四

“直线∥平面”的主要条件是“直线∥直线”，而“直线∥直线”一般是利用三角形的中位线平行于底边或平行四边形的对边平行来证明。

“平面∥平面”的主要条件是“直线∥平面”，可转化为“直线∥直线”来解决。

[注意]

书写的格式规范，3个条件(线面平行)或5个条件(面面平行)要写全。

例1.下列命题中正确的是()

① 若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 ③若一个平面内任何一条直线都平行于零一个平面,则这两个平面平行 ④若一个平面内的两条相交直线分别平行于零一个平面,则这两个平面平行

A.①③B.②④C.②③④D.③④

例2.已知m,n是两条直线, ,是两个平面,以下命题: ①m,n相交且都在平面,外,m∥,m∥, n∥,n∥,则∥;②若m∥, m∥,则∥;③m∥,n∥, m∥n, 则∥.其中正确命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3练习2:设a,b是两条直线, ,是两个平面,则下面推理正确的个数为

(1)a,b,a∥, b∥,∥.(2)∥,a,b,a∥b

(3)a∥,l, a∥l

(4)a∥, a∥∥.例3:已知四棱锥P-ABCD中,地面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别为PA,BD,PD上的中点,求证:平面MNQ∥平面PBC

【练习

求证：

例4.分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC

【练习4】:在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F求证：EF∥平面BB1D1D

AC

ABC

D

练习5 正方体ABCD-A1B1C1D1,中,M,N,E,F分别为棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点,求证:平面AMN∥平面EFDB

A1

C1

A

D

C

5.面面垂直的性质定理（范文模版） 篇五

教学目标：1.掌握垂直关系的性质定理,并会应用。

2.通过定理的学习，培养和发展空间想象能力、推理论证能力、运用图形

语言进行交流的能力、几何直观能力。

3.通过典型例子的分析和自主探索活动，理解数学概念和结论形成过程，体会蕴涵在其中的思想方法.重 难 点： 垂直关系的性质定理是重点也是难点。

课时安排：1课时.教学手段：多媒体.教学过程：

一、复习引入

线线垂直线面垂直 面面垂直

二、性质定理的引入

（一）问题探究一

为了改善小区电力供应，政府决定在大雄家外的马路边立两根电线杆，如果你是工程师，你有办法保证这两根电线杆平行吗？

答：令它们都垂直于地面！

【抽象概括】

定理6.3如果两条直线同垂直与一个平面，那么这两条直线平行.（文字描述）

ab

a,ba//b（数学语言，学生归纳）

※归纳线面垂直的性质：

1、线线垂直

2、线线平行（图形符号）

【练习】

表示平面，则下列命题 若m、n表示直线，中，正确的命题序号有__________.(1)m,nm//

n

(2)m//n,mn

(3)m,n//mn(4)m//,mnn

（二）问题探究二

在探究一中，如果大雄家有一面在马路边而且垂直于地面的围墙，那么你怎么保证电线

杆都垂直于地面呢？

答：令每一条电线杆紧贴墙面且都垂直于墙面与地面的交线！

【抽象概括】

定理6.4 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们交线的直线垂直于另

一个平面.(文字描述)m ,l mm(数学语言，学生归纳)ml 

（图形符号）※归纳面面垂直性质：线面垂直线面垂直面面垂直

【练习】

设两个平面互相垂直，则（）

A.一个平面内的任何一条直线都垂直与另一个平面

B.过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面上

C.过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面

D.分别在两个平面上的两条直线互相垂直 C1 例1在长方体ABCDA1B1C1D1中，MN在BA1 N平面B1BCCMNBC于M1内，且 DC（1）判断MN与AB的关系，说明理由（MN垂直的所有平面与直.线A 2）找出与

P

例2如图，在四面体PABC中，PA面ABC，面PAB面PBC，求证：BCAB.C分析：利用逆向思考的方法寻找证明思路.B

四、小结：面面平行

1、线线垂直线面垂直 面面垂直

2、几何证明中常常使用逆向思考的方法.五、作业：P49B3、P70C2

6.面面垂直习题（模版） 篇六

解：如图，过B作BE⊥AC于E，过E

作EF⊥PA于F，连接BF

∵PC⊥平面ABC，PC平面PAC

C ∴平面PAC⊥平面ABC ,∴BE⊥平面PAC

由三垂线定理，有BF⊥PA,∴∠BFE是二面角B-PA-C平面角，设PC=1,由E是AC的中点，BE

32,EF

12sin450B

24tgBFE

BE

EF6

例2:如图, PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AF⊥PC于F.求证:

AF⊥平面PBC.证明:∵PA⊥平面ABCBC 平面ABC

∴ PA⊥BC

又AC⊥BC PA∩AC=A

∴ BC⊥平面PAC

平面PAC又BC P F A C B∴平面PBC⊥平面PAC

平面PAC,∵AF⊥PCAF

平面PBC∩平面PAC=PC

∴ AF⊥平面PBC

如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，求证：平面ADE⊥平面ACE.E

D

C

A

B

如图在空间四边形ABCS中，SA平面ABC，平面SAB 平面SBC

(1)求证：ABBC ；

(2)若设二面角SBCA为45，SA＝BC，求二面角ASCB的大小

S

E

a

A 2aC

已知线段AB的两端点在直二面角CD的两个面内,且与、分别成30和45角，求AB和CD所成的角

C

如图PA垂直于矩形ABCD所在平面，E是AB的中点，二面角PCDB 为45求证：平面PEC平面PCD

G C

7.怎么证明面面垂直 篇七

一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。这是解析几何的方法。

证:连接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD为正方形=>AC垂直BD.而BD是PB在面ABCD内的射影=>PB垂直AC.PD垂直AC=>AC垂直面PBD.AC属于面ACE=>面PBD垂直面ACE 2 1利用直角三角形中两锐角互余证明

由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。2勾股定理逆定理

3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

二、高中部分

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法 两条直线的方向向量数量积为0 2斜率 两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线

一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理 如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

8.面面垂直的判定课 篇八

【学习目的】

1.理解和掌握两个平面垂直的性质定理及其应用；

2.进一步理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化及转化的数学思想.【学习重点】平面与平面垂直的性质定理；

【学习难点】平面与平面垂直的性质定理的应用；

【学习过程】

一、复习回顾：

复习1：面面垂直的定义是什么？

复习2：面面垂直的判定定理是什么？

二、新课探究：

（一）探究：平面与平面垂直的性质

问题1：观察两垂直平面中,一个平面内的直线与另一个平面的有哪些位置关系?

问题2：概括结论：

新知：平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.反思：这个定理实现了什么关系的转化?

（二）概念巩固

练习：已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l，判断下列命题的正误.(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β（）

(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β（）

(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β（）

波利亚：从最简单的做起。

三、典型例题讲

例1：如图，已知平面,，，直线a满足a，a，求证：a∥面.例2： 如图，四棱锥P

ABCD的底面是个矩形，AB2,BCPAB是等边三角形，且侧面PAB垂直于底面ABCD.⑴证明：侧面PAB侧面PBC；

⑵求侧棱PC与底面ABCD所成的角.变式练习：如图,已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB。C

四、总结提升

※ 学习小结

※ 知识拓展

两个平面垂直的性质还有：

⑴如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面； ⑵三个两两垂直的平面，它们的交线也两两垂直.⑶如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线,必在这个平面内；

你能试着用图形和符号语言描述它们吗?

五、课堂作业

课本73页，A组5

9.线面垂直的判定定理说课 篇九

大家好！今天我说课的内容是《线面垂直的判定定理》。下面，我将从教材分析、教法学法分析、教学流程等方面阐述我对本节课的理解。

一 教材分析

《线面垂直的判定定理》是人教版高中数学《必修二》第二章第三节的内容。本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。直线与平面垂直的是直线与平面相交中的一种特殊情况，它是空间中线线垂直位置关系的拓展。它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！因此线面垂直是空间中垂直位置关系间转化的重心，它是点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。在教材中起到了承上启下的作用。基于以上考虑，我将本节课的教学目标定为：

(1)知识与技能：1.经历对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；

2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并

能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；

(2)过程与方法：1.通过类比空间的平行关系提高提出问题、分析问题的能力．

2.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时

感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂

直”、“无限转化为有限”等化归的数学思想．

3.尝试用数学语言(文字、符号、图形语言)对定义和定理进行准确表

述和合理转换．

(3)情感态度价值观：经历线面垂直的定义和定理的探索过程，提高严谨与求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度．

另外，我将本节课的重点定为：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。难点定为：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

二、教学与学法

教法：本节课以“感知—探究—归纳”为主线，通过实例，引导学生利用手中的工具自助探究，总结规律，发现概括线面垂直的定义和判定定理。在教学中以引导启发为主，层层设疑，激发学生的学习兴趣，在学生自助地动手实验、观察比较的基础上，师生以对话形式共同研究探讨，步步深入，完成本节课的教学任务，从而实现“教师引导，学生探究、师生互动、探求新 知”的教学模式。

学法：教师的“教”就是为了学生的学，课堂教学要体现以学生的发展为本的精神。本节课通过创设具体的问题情境，教会学 生主动“观察猜想、实验确认、总结规律”的学习方法。让学生积极地参与到 教学的全过程中，使学生在教师的指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。在学习中体会研究数学规律的一般过程，体会研究数学问题的乐趣。

三、教学流程：

（1）复习引入、导入课题；

（2）引导探究、获得性质；

（3）应用迁移、交流反思；

（4）拓展升华、发散思维；

10.线面、面面垂直性质测试题 篇十

一、选择题

1在空间，如果一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，那么这两个角的关系是()

A.相等B.互补C.相等或互补D.无法确定

2下列命题正确的是…………………………………………()

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

3.知下列命题：

（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；

（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；

（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；

（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（）．

A．（1）、（2）B．（2）、（3）C．（3）、（4）D．（2）、（4）

4.列图形中，满足唯一性的是（）．

A．过直线外一点作与该直线垂直的直线B．过直线外一点与该直线平行的平面

C．过平面外一点与平面平行的直线D．过一点作已知平面的垂线

5.平面α、β与另一平面所成的角相等，则()

A.α∥βB.α与β相交C.α∥β或α与β相交D.以上都不对

6.个平面,,，之间有，，则与（）(B)平行(C)相交(D)以上三种可能都有(A)垂直

7.，是两个平面，直线l，l，设（1）l，（2）l//，（3），若

以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数是（）(A)0(B)1(C)2(D)

38.一点的三条直线两两垂直,则它们确定的平面互相垂直的对数有(D).A.0B.1C.2D.3

9.线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：

①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α，则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是()

A.0B.1C.2D.310.在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是……………………………………()

A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC

11.四个命题：①若直线a//平面，则内任何直线都与a平行；

②若直线a平面，则内任何直线都与a垂直；

③若平面//平面，则内任何直线都与平行；

④若平面平面，则内任何直线都与垂直．其中正确的两个命题是()Ａ．①与②Ｂ．②与③Ｃ．③与④Ｄ．②与④

12.如图、—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是…()

A.AC⊥SBB.AB∥平面SCD

C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

二、解答题

13.已知平面α⊥平面β，交线为BC，P∈α，A∈β，且AC⊥BC，AC＝6cm, BC＝8cm,PA＝PB＝7cm.求点P到平面β的距离.14.如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝

a，F、G分别为EB和AB的中点。

（1）求证：FD∥平面ABC；（2）求证：AF⊥BD；

15.如图，（1）求证：（2）求证：（3）若

矩形

平面，求证：

平面

所在平面，分别是

和的中点.17.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD

18.如图,AB是圆O的直径, PA垂直于圆O所在的平面, C是圆周上不同于

A, B的任意一点,（1）求证:平面PAC⊥平面PBC

（2）若A在PB、PC上的射影分别为E、F，求证：EF⊥PB

19.如图,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点(1)MN//平面PAD(2)PA=AD时,MN⊥平面PCD

AB,PD的中点，又二面角PCDB的大小为45，21.已知△

BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

22.如图，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2,AD4将 沿BD折起到EBD的位置，使平面EDB平面ABD

求证：ABDE

CBD

11.面面垂直性质定理 篇十一

【学习目标】

1．掌握平面与平面垂直的性质定理；平面与平面垂直的性质编辑：

2.能运用平面垂直的性质定理解决一些简单问题；

3.了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。

【学习重点】掌握平面与平面垂直的性质定理并能运用解决一些简单问题

【数学思想】转化的思想

【知识回顾】

1.两个平面互相垂直的定义：

2.两个平面互相垂直的判定定理：符号表示：

【新知导航】

线面平行面面平行线面垂直面面垂直（面面垂直判定定理）

面面垂直线面垂直 ？

【探究1】黑板所在平面与地面垂直，你能否在黑板上画几条与地面垂直的直线？你为什么这么画？你能归纳总结出这些直线有什么共同点吗？

【探究2】下图正方体中，平面ADD1A1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD，平面ADD1A1内的直线A1A与平面ABCD垂直吗？

A1B

1探究结论：（）

【新知学习】两个平面互相垂直的性质定理

定理的证明：（由文字语言转化为符号语言证明）已知： 求证： 证明：

【探究3】过平面外一点作已知平面的垂线，你能做出几条来？

探究结论（）【尝试练习1】如图，已知平面,,，直线a满足a,a，试判断直线a与平面的位置关系.【尝试练习2】如图，已知平面平面，平面平面，a，求证：

a.【课堂小结】

1、请归纳一下本节课你学习了什么性质定理，其内容各是什么？

2、类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？

【达标检测】

1、下列命题中，正确的是（）

A、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直 B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直 C、若a,b异面，过a一定可作一个平面与b垂直

D、a,b异面，过不在a,b上的点M，一定可以作一个平面和a,b都垂直.2、已知直线l,m，平面,，且l,m，给出下列命题：（1）//lm（2）lm//（3）l//m（4）l//m其中正确的命题是

BCAB

3、在三棱锥P—ABC中，平面PAB平面PBC，求证：PA面ABC，4、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN面A1DC，求证：（1）MN//AD1