双曲线的几何性质说课

双曲线的几何性质说课（通用11篇）

1.双曲线的几何性质说课 篇一

第四节：双曲线的几何性质

习题精选

一、选择题

1．经过点 且与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程是（）．

A． ；

B． ；

C． ；

D．

2．已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的（）．

A．焦距为10

B．实轴和虚轴长分别是8和6

C．离心率是 或

D．离心率不确定

3．若方程 表示的曲线是一组双曲线，则这组双曲线（）．

A．有相同的实轴和虚轴

B．有共同的焦点

C．有共同的准线

D．有相同的离心率

二、填空题

4．双曲线 上一点 到左焦点距离为8，则它到右准线距离为_________．

5．对称轴为坐标轴的双曲线的准线与渐近线的一个交点是 _____________．，则双曲线方程是6．设双曲线 的半焦距为，直线 过，两点，已知原点到直线的 的距离为，则双曲线的离心率为__________．

三、解答题

7．已知双曲线的两条渐近线方程为，一条准线方程为，求双曲线方程．

8．过双曲线 点，以 的左焦点，斜率为 的直线 与两准线交于，两为直径的圆过原点，且点（3，2）在双曲线上，求双曲线方程．，9．过点（2，2）的双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，且它的右准线方程是 求（1）双曲线的离心率；（2）双曲线右焦点的轨迹方程．

10．过点 作直线，使它恰好与双曲线

参考答案：

有一个交点，求直线方程．

一、选择题：1．B； 2．C； 3．B；

二、填空题：4． ； 5． 或 ； 6．2；

三、解答题：7． ； 8． ；

9．（1）即 ；（2）设双曲线的右焦点为

．，由双曲线定义有，10．、典型例题（例1～例4）

例1 求与双曲线 共渐近线且过 点的双曲线方程及离心率．

解法一：双曲线 的渐近线方程为：

（1）设所求双曲线方程为

∵，∴ ①

∵ 在双曲线上

∴ ②

由①－②，得方程组无解

（2）设双曲线方程为

∵，∴ ③

∵ 在双曲线上，∴ ④

由③④得，∴所求双曲线方程为： 且离心率

解法二：设与双曲线 共渐近线的双曲线方程为：

∵点 在双曲线上，∴

∴所求双曲线方程为：，即 ．

评述：（1）很显然，解法二优于解法一．

（2）不难证明与双曲线 共渐近线的双曲线方程 ．

一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程．

求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数

（3）以上优美巧妙的解法，达到了化繁为易的目的．教学中，要引起重视．

例2 作方程 的图象．

分析：∵

∴方程图象如右图，∴，∴

即表示双曲线 的右支．

例3 作方程 的图象．

分析：∵

∴方程图象应该是圆 完成．）

及双曲线 在 轴上方的图象．（画图请自行

评述：在根据方程作出相应图象时，应遵循：“如果曲线 的方程是，那么点 在曲线 上的充要条件是 ”这一原则；另外，须注意方程变形的未知数的允许值可能会扩大，而原方程的曲线只能取原方程允许值范围内的那一部分．

例4 求以曲线

实轴长为12的双曲线的标准方程．

和 的交点与原点的连线为渐近线，且

分析：先求出渐近线方程，确定出其斜率，结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数．

解：∵，∴ 或，∴渐近线方程为

当焦点在 轴上时，由 且，得 ．

∴所求双曲线方程为

当焦点在 轴上时，由，且，得 ．

∴所求双曲线方程为

评述：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握．

（2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解，请读者自行完成．

典型例题（例5～例10）

例5 已知双曲线的渐近线方程为 标准方程．，两条准线间的距离为，求双曲线

分析：可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程．

解：∵双曲线渐近线方程为

（1）若，则，∴设双曲线方程为

∴准线方程为：

（2）若，则，∴，∴

∴准线方程为：，∴，∴

∴所求双曲线方程为： 或

评述：（1）准确及进地应用有相同渐近线的双曲线系方程给我们的求解过程带来了方便．

（2）通过待定系数法求出参数

例6 中心在原点，一个焦点为 标准方程．

． 的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为，求双曲线

解：设双曲线的标准方程为，则，解得

∴ 为所求双曲线的标准方程．

评述：以上方法是求双曲线标准方程的通用方法，注意其中的运算技巧．

例7 求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点

且离心率为 的双曲线标准方程．

解：设所求双曲线方程为：，则，∴，∴，∴所求双曲线方程为

评述：（1）以上巧妙简捷的设法是建立在一个事实的基础上的，即离心率 线的等轴双曲线的充要条件，它的证明如下：

是双曲

设等轴双曲线

∴，则，∴，∴

反之，如果一个双曲线的离心率 ．

∴

∴，∴，∴，∴双曲线是等轴双曲线

（2）还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等．

例8 已知点 值最小．

解：∵，，在双曲线 上求一点，使 的，∴，∴

设点 到与焦点 相应准线的距离为 则

∴，∴

至此，将问题转化成在双曲线上求一点，使 到定点 的距离与到准线距离和最小．即到定点 的距离与准线距离和最小为直线 垂直于准线时，解之得，点

评述：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．

例9 已知：

求：点

是双曲线、的距离．

上一点．

到双曲线两焦点

分析：利用双曲线的第二定义．

解：如图，设点 到相应焦点、的准线的距离为、．

当 点在双曲线的右支上时，且有

∴，当点 在双曲线的左支上时，且有

∴，评述：以上结论称为双曲线的焦点半径公式，它在解题过程中发挥着很大的优越性，可使解题过程的运算量简化，从而得到避繁就简效果．例如：

在双曲线 点 的一支上有三个不同点 的值．、、与焦的距离成等差数列，求

解：直接利用焦半径公式，得：，∴，∴，即

注意：一般地，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题，应用焦半径公式是一种简单快捷的方法．

例10 如图所示，已知梯形 过、、三点，且以、中，为焦点，当、，点 满足，双曲线

时，求双曲线离心率的取值范围．、的坐标及双曲线的方程求解． 轴，建立直角坐标系，则、关

分析一：依题意，建立恰当的坐标系，并通过

解法一：以直线 于 轴对称．

为 轴，以、的垂直平分线为、轴，因双曲线过点，且以 为焦点，由双曲线的对称性可知

设 的高．、、，其中 为双曲线的半焦距，是梯形

由，即，得，设双曲线方程为，则离心率为 ．

由点、在双曲线上，将、的坐标和，代入双曲线方程得

由①得，将③代入②式中，整理得：

∴

∴，又∵，∴，∴双曲线的离心率取值范围为

分析二：建立直线

．

方程，再与双曲线方程联立，借助一元二次方程根与系数关系解题．

解法二：前面部分同解法一．

可求得直线 方程为，将其代入双曲线方程

中，得

又∵、为上述二次方程的两根，∴ ①

又∵ 在双曲线上，∴

②

∵

③

将②③代入①中，得：

∵，∴

以下同解法一

分析三：借助焦半径公式解题．

∵，∴

①

∴，由焦半径公式，得：

②

将①代入②，得：

∵，∴

以下同解法一

评述：（1）此题的关键是：弄清应设定几个量之间关系（如：、、如何自始至终保持思路清晰，有条不紊．、）．难点：

（2）比较以上三种方法不难发现：解法二虽思路简单自然，但由于采取了联立方程消元的思想，也就导致了解题过程的运算繁琐，这对于学生的计算能力要求是很高的，解法三因巧妙地运用了焦半径公式，使得求解过程变得简洁快捷，而且给人以一种心满意足的感觉，这表明善于记忆一些中间结果对我们的学习帮助很大．

2.双曲线的几何性质说课 篇二

( 一) 创设情境

问题1前面我们根据双曲线的定义建立了双曲线的标准方程, 现在已知双曲线的标准方程是x2 /4- y2= 1, 请你准确画出此双曲线的图形.

设计意图接着上节课学的内容提出问题, 给学生留下了思维的空间, 有利于调动学生自主学习的积极性. 通过先独立作图后协作交流, 学生能相互补充. 学生在列表计算过程中, 通过具体数据的计算, 对双曲线的性质有了直觉性的体验. 在引导学生反思画图的过程中, 深化对图像特征的认识. 让学生感受研究双曲线范围、顶点、对称性等性质的必要性.

( 二) 制定策略, 自主探究

问题2如何比较准确地画出双曲线x2 /4- y2= 1向远处延展的方向呢?

设计意图双曲线顶点及附近的点准确地描出来没有问题, 但双曲线向远处是如何延展的学生就不是很清楚了!双曲线渐近线的学习是本节课的难点, 渐近线带领双曲线向远处正确的道路上延展, 不会走向错误的道路. 引导双曲线渐近线性质从学生在列表时给出的第一象限函数4的图像与直线y =1/2x的关系入手.

问题3一般的, 标准方程是x2 /a2-y2 /b2 = 1 ( a > 0, b > 0) -的双曲线有哪些几何性质? 你打算如何来研究? 标准方程y2 /a2 -x2 /b2 是 - = 1 ( a > 0, b > 0) 的双曲线呢?

设计意图类比研究椭圆几何性质的方法, 让学生由一般到特殊, 自主探究, 汇报交流, 展现思维过程, 相互评价, 相互启发, 促进反思, 归纳一般双曲线的几何性质, 明确研究的内容与方法, 从总体上认识研究的目标与手段.

问题4椭圆的离心率是刻画椭圆的扁平程度的一个量, 双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征?

设计意图通过与椭圆的类比提出双曲线的离心率问题, 再由渐近线的开口大小与b/a的关系、c/a与b/a的关系来展开研究的过程, 有利于学生进一步对双曲线几何性质的认识.

( 三) 新知运用, 巩固深化

例求双曲线9x2- 16y2= 144的实虚轴长、点坐标、离心率及渐近线方程.

设计意图通过具体问题掌握求双曲线性质的基本方法, 达到巩固作用.

( 四) 概括总结, 提升思想

问题5回顾我们的研究过程, 我们是怎样研究双曲线几何性质的?

设计意图整理本节课所学知识与方法, 回顾学习过程, 提炼研究圆锥曲线性质的一般方法和思想———从方程入手用代数方法研究几何问题的方法以及类比和数形结合的思想.

教后反思回顾

3.双曲线的几何性质说课 篇三

同学们可以参考本文进行更深入的研究.例如，研究离心率为2的双曲线具有哪些性质，研究离心率为5-12的椭圆（又叫做“优美椭圆”、“黄金椭圆”）具有哪些性质，研究离心率变小时，曲线是怎样从双曲线变为抛物线，又变为椭圆，最后变为圆的（取一系列离心率的值、作一系列曲线并比较）……

性质一若双曲线C是“优美双曲线”， 则a，b，c成等比数列.

证明因为双曲线C是“优美双曲线”，所以ca=5+12，即c=5+12a，所以b2=c2-a2=5+122a2-a2=5+12a2=ac，所以a，b，c成等比数列.

另外，性质一的逆命题也成立.证明如下：由b2=ac及b2=c2-a2，得ac=c2-a2.设e是双曲线C的离心率，即e=ca，则e2-e-1=0.又因为e＞1，所以e=5+12，即双曲线C是“优美双曲线”.

性质二若双曲线C是“优美双曲线”，设F（c，0），B（0，b），A（-a，0），则△ABF为直角三角形.

证明在△ABF中，AB2=a2+b2,BF2=b2+c2,AF2=(a+c)2,

所以AB2+BF2=a2+2b2+c2.

因为双曲线C是“优美双曲线”，所以b2=ac，

所以AB2+BF2=a2+2ac+c2=AF2，所以△ABF为直角三角形.

性质二的逆命题也成立.证明如下：因为△ABF为直角三角形，显然∠BAF≠90°且∠BFA≠90°(否则，a=0或c=0，矛盾)，所以AB2+BF2=AF2，即a2+b2+b2+c2=(a+c)2，所以b2=ac,所以双曲线C是“优美双曲线”.

性质三若双曲线C是“优美双曲线”，设B1（0，-b），B2（0，b），F1（-c,0）,F2(c,0),

则菱形B1F1B2F2

的内切圆过双曲线C的顶点.

证明直线B2F2的方程为xc+yb=1，即bx+cy

=bc，故点（0，0）到直线B2F2的距离d=bcb2+c2.又因为双曲线C是“优美双曲线”，所以d2=b2c2b2+c2=acc2ac+c2=ac2a+c=a(b2+a2)a+c=a(ac+a2)a+c=a2，故d=a.而点（0，0）到双曲线C的顶点的距离也为a，所以双曲线C的顶点在菱形B1F1B2F2的内切圆上.

性质三的逆命题也成立.

事实上，由d=bcb2+c2=a，将b2=c2-a2代入,化简得a4-3a2c2+c4=0，即e4-3e2+1=0.又因为e＞1，所以e=5+12，即双曲线C是“优美双曲线”.

性质四若双曲线C是“优美双曲线”，P,Q为双曲线C上任意两点，M为线段PQ的中点，且PQ与OM的斜率都存在，分别为kPQ,kOM，则kPQkOM=5+12.

证明设M（x0，y0），P（x0+m，y0+n），则Q（x0-m，y0-n），kOM=y0x0，kPQ=nm.

因为点P,Q都在双曲线C上，

所以(x0+m)2a2-(y0+n)2b2=1，

(x0-m)2a2-(x0-n)2b2=1.

两式相减,得4x0ma2-4ny0b2=0,则ny0mx0=b2a2.

所以kPQkOM=nm·y0x0=b2a2=c2-a2a2=e2-1=5+12.

性质四的逆命题也成立.事实上，由kPQkOM=nm·y0x0=b2a2=c2-a2a2=e2-1=5+12，又e＞1,可得e=5+12，所以双曲线C是“优美双曲线”.

*性质五若双曲线C是“优美双曲线”，P为双曲线C上任意一点，P在x轴上的射影为M，双曲线C在点P处的法线（即切线的垂线）交x轴于点N，则ONOM=5+122（O为坐标原点）.

证明设P（x0，y0），则点P处的切线方程为x0xa2-y0yb2=1，故切线斜率k=x0b2y0a2,故法线斜率为-1k=-y0a2x0b2，则法线方程为y-y0=-y0a2x0b2(x-x0).令y=0，得x=a2+b2a2x0=ON.又OM=x0，所以ONOM=c2a2=5+122.

性质五的逆命题也成立.证明略.

巩 固 练 习

1. 双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的虚轴端点和焦点分别为B1（0，-b），B2（0，b），F1(-c,0)，F2(c,0).若四边形B1F1B2F2的内切圆恰好过该双曲线的顶点，则该双曲线的离心率为.

2. 已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的离心率为1+52，F (-c,0)为其左焦点.设点A为(a,0)，B为（0，b），则角∠ABF=.

3. 已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的离心率为1+52，P,Q为其上任意两点，O为坐标原点，在直线PQ上取一点M.若PQ与OM的斜率存在,分别为kPQ,kOM，且kPQkOM=5+12,则点M（）

A. 是线段PQ的中点

B. 是线段PQ的三等分点

C. 是线段PQ的四等分点

D. 在线段PQ的延长线上

4.双曲线的简单几何性质教学反思 篇四

双曲线的简单几何性质教学反思

圆锥曲线是高考的热点和高考试题的压轴题，主要是对圆锥曲线几何性质的考查，因此，课堂教学时应重视对圆锥曲线几何性质的归纳和运用.有效教学要在学生已有认知基础上，寻找学生最近发展区促进学生更深层面上思维和理解。本节课学习活动是以学生对椭圆几何性质的认知基础上进行的，利用方程讨论曲线的性质的这种方法，学生在学习讨论椭圆的性质时已经尝试探讨过，所以这节课主要是对照椭圆几何性质，让学生通过类比的思想方法得出双曲线的几何性质.充分调动学生学习的积极性，使学生更清楚地区分两者曲线，找出“共性”和“个性”.有效教学要使学生建立良好的知识网络体系。良好知识结构应把知识及知识形成发展的脉络及蕴含的数学思想方法、知识间的内在联系、结论的推导证明线索融合成一个有机整体，也只有这样的知识才有利于转化成长期记忆，才能够在需要时被自如调用。本课突出展现了双曲线几何性质的获得过程.当然在课堂教学的实际活动中，有一些不尽人意，一是与椭圆的类比不到位，二是知识网络的形成欠缺，三是由于应用多媒体，客课容量是增加了，但个别知识容易造成一带而过，引不起足够重视，四是时间分配上存在误差，练习时间减少。

在教学活动中，学生的思维活动主要是在问题的驱动下进行的。能有效促进学生数学思维发生的问题应具备如下特点：（1）从学生知识可接受性的实际出发，确定合理的难度和适当的思维强度，即，问题使学生处于似会非会、似能解决又不能解决的感觉。（2）问题要有利于引起学生的认知冲突和学习心向，激发学生学习兴趣，促进学生积极参与。（3）问题的序列设置要使数学内容的呈现合理、自然，有情理之中的感觉，要有利于学生领悟数学的本质，提炼数学思想方法，灵活运用所学。（4）从数学方法论的角度出发，问题要具有启发性，如：你认为该问题可能涉及哪些知识？解决该问题需要什么条件？我们还疏漏了什么没有？…….促进学生自己提出问题、发现问题，对数学有所感悟，实现学生思维深度参与的自动发生机制。（5）问题要有利于引领、促进学生有效反思自己的学习行为，及时整理、内省自己的思维过程，提升对知识、方法的认识。如：问题是怎样得到解决的？使用了哪些思维方法？该问题的解决方法有推广价值吗？可推广到哪些方面？……..这在实际教学活动确实有所体现，但是还有一定的欠缺，这需要在教学实践中不断的去摸索经验，此外在教学设计中还应更加细致，预先设置的更细致些，会有更好的效果。

5.双曲线焦点三角形的几何性质 篇五

在椭圆中，焦点三角形中蕴含着很多性质，这些性质都可以类比到双曲线焦点三角形中：x2y2设若双曲线方程为221,F1,F2

ab分别为它的左右焦点，P为双曲线上任意一点，则有：

性质

1、若F1PF2则SF1PF2b2cot2特别地，当F1PF290时，有

SF1PF2b2

性质

2、焦点三角形PF1F2在P处的内角平分线，过F2作平分线的垂线，设垂足为Q，则Q点的轨迹是？

性质

3、以r1,r2为直径做一个圆与大圆（以A1A2为直径的圆）相切。

性质

4、双曲线焦点三角形的内切圆与F1,F2相切于实轴顶点；且当P点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P点在双曲线右支时，切点为右顶点。

x2y2证明：设双曲线221的焦点三角形的内切圆且三边F1F2，PF1，PF2于点A,B,C，ab双曲线的两个顶点为A1,A2

||PF1||PF2||||CF1||BF2||||AF1||AF2|| ||PF||AF1||PF2||2a,1||AF2||2a

所以A点在双曲线上，又因为A在F1F2上，A是双曲线与x轴的交点即点A1,A2

性质

5、在双曲线中A，B在双曲线上且关于原点对称，P为椭圆上任意一点，则kPAkPBa22 b性质

6、P点在x=c上移动的过程当中，张角APB的取值范围（A，B为两顶a点）。[0,arctan]

b性质

7、双曲线离心率为e，其焦点三角形PF1F2的1F2的旁心为A，线段PA的延长线交F延长线于点B，则|BA|e |AP|证明：由角平分线性质得

|BA||F1B||F2B||F1B||F2B|2ce |AP||F1P||F2P||F1P||F2P|2a性质

8、双曲线的焦点三角形PF1F2中，PF1F2,PF2F1

e1

22e1e1当点P在双曲线左支上时，有cottan

6.双曲线及其简单几何性质作业 篇六

学之导教育中心作业

———————————————————————————————学生:

授课时间：________年级：

教师：求满足下列条件的双曲线的标准方程

（1）焦点是（-4,0），（4,0），过点（2,0）

（2）离心率为54，半虚轴长为2（3）两顶点间的距离是6，两焦点连线被两顶点和中心四等分过双曲线x2-y23=1的左焦点F1，作倾斜角为

6的弦为AB，求：（（2）F2AB的周长（F2为双曲线的右焦点）

1）

AB 3 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（-3,0），一条渐近线的方程为（1）求双曲线C的标准方程

5x2y0、（2）若以k（k不为0）的斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标围成的三角形的面积为

7.双曲线的几何性质说课 篇七

◆ 知识与技能目标

了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义．

◆ 过程与方法目标

（1）复习与引入过程

引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养．①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过P56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．2．2双曲线的简单几何性质．

（2）新课讲授过程

（i）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质． 提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？

通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质．（ii）双曲线的简单几何性质

①范围：由双曲线的标准方程得，yb22xa2210，进一步得：xa，或xa．这说明双曲线在不等式xa，或xa所表示的区域；

②对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；

③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；

④渐近线：直线ybax叫做双曲线

xa22yb221的渐近线；

⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比e（iii）例题讲解与引申、扩展

ca叫做双曲线的离心率（e1）． 例3 求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．

分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y轴上的渐近线是y扩展：求与双曲线离心率．

解法剖析：双曲线22abx．

2x16y291共渐近线，且经过A23,3点的双曲线的标准方及

x216y22y291的渐近线方程为y34x．①焦点在x轴上时，设所求的双曲线为x16k9k1，∵A23,3点在双曲线上，∴k214，无解；②焦点在y轴上时，设所求的双曲线为x2216ky229k21，∵A23,3点在双曲线上，∴

k214，因此，所求双曲线的标准方程为

y94x241，离心率e53．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为x216y29mmR,m0．

例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m）．

解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为xa22yb221，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．

引申：如图所示，在P处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路PA或PB送到呈矩形的足球场ABCD中去铺垫，已知AP150m，BP100m，BC60m，APB60．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．

解题剖析：设M为“等距离”线上任意一点，则PAAMPBBM，即BMAMAPBP50（定值），∴“等距离”线是以A、B为焦点的双曲线的左支上的一部分，容易“等距离”线方程为x2625y23750135x25,0y60．理由略．

165例5 如图，设Mx,y与定点F5,0的距离和它到直线l：x数54的距离的比是常，求点M的轨迹方程．

2分析：若设点Mx,y，则MFx5y2，到直线l：x距离dx165165的，则容易得点M的轨迹方程．

引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线

若点Mx,y与定点Fc,0的距离和它到定直线l：xecaa2c的距离比是常数ca0，则点M的轨迹方程是双曲线．其中定点Fc,0是焦点，定直线l：2xac相应于F的准线；另一焦点Fc,0，相应于F的准线l：xa2c．

◆ 情感、态度与价值观目标

在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．

◆能力目标

（1）分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．

（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．

（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．

8.圆锥曲线的光学性质及其应用 篇八

尹建堂

一、圆锥曲线的光学性质

圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质，因而为正确理解与掌握其光学性质，就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。

设P（上一定）为圆锥曲线点，则

在该

点

处的切

（A、B、C不同时为零）线

方

程

为

：

。（该方程与已知曲线方程本身相比，得到的规律就是通常所说的“替换法则”，可直接用此法则写出切线方程）。

该方程的推导，原则上用“△法”求出在点P处的切线斜率斜式写出切线方程，进而用点，则在点P处的法线方程为。

1、抛物线的切线、法线性质

经过抛物线

上一点作一条直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法

。线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。如图1中

事实上，设

为抛物线

上一点，则切线MT的方程可由替换法则，得，即，斜率为，于是得在点M处的法线方程为

令，得法线与x轴的交点N的坐标为，所以

又焦半径 所以，从而得

即

当点M与顶点O重合时，法线为x轴，结论仍成立。所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。

也可以利用点M处的切线方程求出，从而得也可以利用到角公式来证明，则，又故抛物线的这个性质的光学意义是：“从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴”。

2、椭圆的切线、法线性质

经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。如图2中

证明也不难，分别求出，然后用到角公式即可获证。

椭圆的这个性质的光学意义是：“从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上”。

3、双曲线的切线、法线性质

经过双曲线上一点的切线，平分这一点的两条焦点半径的夹角，如图3中可利用到角公式获证。

。仍

这个性质的光学意义是：“从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。

二、圆锥曲线光学性质的应用

光学性质在生产和科学技术上有着广泛地应用。这里仅举例说明这些光学性质在解圆锥曲线的有关问题中的应用。

应用圆锥曲线光学性质解题，特别是切线问题是十分方便的。其间要注意一个基本关系式的应用，即“过投射点的曲线的切线与入射线、反射线成等角”。如图4，MN切曲线C于点P，则∠APM＝∠BPN。这是很容易由物理学的“入射角等于反射角”及平面几何中“等角的余角相等来证明的。

例1 求证：椭圆和双曲线在交点处的切线互相垂直。

分析：如图5，用圆锥曲线光学性质证明∠1＋∠3＝90°即可。

证明：如图5，两曲线的公共焦点PR分别为椭圆、双曲线的切线，连∠2；由双曲线光学性质，得∠3＝∠4。，并延长，设P为两曲线的一个交点，PQ、，由椭圆光学性质，推得∠1＝ 又∠2＝∠5，∠4＝∠6（对顶角相等），所以∠1＝∠5，∠3＝∠6（等量代换）。

又∠1＋∠3＋∠5＋∠6＝180°，所以∠1＋∠3＝90°，即PQ⊥PR，命题得证。

评注：（1）本题也可采用代数运算证出的方法来证明，但比较复杂。这里采用光学性质证明法则直观简捷。（2）由本题得到一个一般性命题：焦点相同的一个椭圆与一双曲线在交点处的切线互相垂直，于是有定义：两圆锥曲线在交点处的两条切线互相垂直，叫做这两曲直交。

例2 如图6，已知是椭圆的焦点，为定值；（2）求

分别是在椭圆任一切线CD上的射影。（1）求证：的轨迹方程。

分析：（1）欲证质推得

为定值，即证），从而知应用余弦定理于分别为定值即知其轨迹，易得轨迹方程。

证明：（1）设Q为切线，由椭圆光学性质推知

所以又，则在 中，设为，则为定值（由光学性即可获证。）（2）求出

则所以

为常数，即定值。

（2）设点O在CD上的射影为M，则OM是直角梯形的中位线，于是有。

在中，同理所以

例3 设抛物线的焦点为F，以F与A（4，4）为焦点作椭圆，使其与已知抛物 的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆，其方程为

线有公共点（如图7），当长轴最短时，求椭圆方程。

分析：求解的关键是光线FP的反射线PA平行于x轴。

解：设以点A（4，4）、F（4，0）为焦点的椭圆为长）。①

再设P 为抛物线与椭圆的公共点，由椭圆第一定义知： ②

（a为长半轴 即长轴长2a等于抛物线上一点P到两定点A、F距离之和，若2a最小，当且仅当椭圆与抛物线相切。此时，由圆锥曲线的光学性质知，光线FP的反射线PA平行于x轴。

所以P（1，4）。由②知

所以所求的椭圆方程为

例4 如图8，已知探照灯的轴截面是抛物线，平行于对称轴的光线于此抛物线上的入射点、反射点分别为P、Q，设点P的纵坐标为点P到反射点Q的路程PQ最短？，当a为何值时，从入射

分析：设函数，由抛物线光学性质知PQ过焦点，求出最小值条件a即可。，故可用弦长公式建立目标 解：由抛物线光学性质知光线PQ必过其焦点程为，设点，则直线PQ的方

将方程 ① 代入①，消去x，得

或

故知点Q坐标为 则

当且仅当，即时，等号成立。

9.双曲线的几何性质说课 篇九

北师大大兴附中数学组

韩颖 1、指导思想与理论依据：

以“培养学生的创新精神和实践能力”，“倡导自主探索，动手实践，合作交流，教 育教学理念”，采用“以学生为主体，以问题为中心，以活动为基础，以培养学生提出问 题分析问题和解决问题能力”的合自主探究、体验式教学模式，通过创设符合学生认知 规律的问题情景，挖掘学生内在的研究问题的巨大潜能，使学生在做的过程中学习，在 学的过程中思考，亲身体会创造过程，充分展示思维差异，培养学生的自主探究能力，逻辑推理能力，提高学生的思维层次，掌握获取知识的方法和途径，真正体现学生学习知识过程中的主体地位。让教师落实：授人于鱼不如授人于渔。让学生做到：临渊羡鱼 不如退而结网。2

、教学背景分析：

学习内容分析：

10.立体几何判定定理及性质定理汇总 篇十

一线面平行

线面平行判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。线面平行性质定理

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行． 二面面平行

面面平行判定定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 推论 一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行．

面面平行性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行．

三线面垂直

判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面平行． 线面垂直性质定理1

如果一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线．

线面垂直性质定理2

垂直于同一个平面的两条直线平行．

四面面垂直

面面垂直判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

面面垂直性质定理1

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．

面面垂直性质定理2

11.双曲空间中椭圆的一些几何性质 篇十一

关于双曲空间中椭圆的一些几何性质

在双曲空间中,考察椭圆的包含关系,对弧长元素、测地曲率、曲率、面积及全曲率等几何量做出细致考察.

作 者：王幼宁 吴英丽 Wang Youning Wu Yingli 作者单位：北京师范大学数学科学学院,100875,北京刊 名：北京师范大学学报(自然科学版) ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF BEIJING NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE)年，卷(期)：43(4)分类号：O1关键词：双曲空间 椭圆 测地曲率 全曲率