等量关系式（12篇）
1.等量关系式 篇一
常见的两种数量关系练习题
1.学校买钢笔，一支钢笔6元钱，一共用了612元，买了几只钢笔?
2.妈妈买衣服用了680元，买了8件一样的衣服，求一件衣服多少钱?
3.一本漫画书15元，买110本漫画书多少钱?
4. 3个本子18元，6个本子多少钱?
5.6个文具盒48元，100元最多可以买几个文具盒?
6.故事书27元可以买3本，科技书32元可以买4本，哪种书贵?贵多少钱?
7.幼儿园要购买毛巾被120床，每床被子125元，0元够吗?
8.张老师去超市采购体育用品，篮球138元一个，足球116元一个，排球56元一个，计划购买篮球25个，足球30个，排球18个，张老师一共要花多少钱?
9.小汽车一共行驶了336米，
用了6分钟，每分钟可以行驶多少米?
10.小明每分钟可以跑250米，跑15分钟能跑多少米?跑2500米要花多长时间?
11.丽丽骑单车行了280米，用了5分钟，求丽丽骑单车的速度?
12.甲乙两地相距240千米，一辆汽车的速度是60千米/时，这辆车早上7时从甲地出发，什么时候能到乙地?
13.小明骑电动车的速度是20千米/时，从甲地到乙地要4小时，那么甲乙两地相距多少千米?
14.飞机每分钟可以飞12千米，飞1200千米要多长时间?
15.甲船3时行驶60千米，乙船5时行驶90千米，哪条船行的快?
16.从甲城到乙城的铁路长760千米，一列火车只用了8时就从甲城到达了乙城，火车每小时可以行驶多少千米?
17.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行50千米，6小时可以到达，返回时，每小时行60千米，几小时可以到达?
18.甲乙两地相距240千米，一辆汽车从甲地开往乙地，2小时行了80千米，照这样计算，行完全程需要几小时?
19.甲乙两地相距360千米，去时4小时到达，返回时，每小时少行30千米，返回需要几小时?
20.一架飞机飞行了半个小时，每分钟可以飞行12千米，这架飞机一共飞行了多少千米?
21.蜜蜂飞行的速度是每分钟500米，可以写作
22.大象奔跑的速度可达每小时80千米，可以写作。
2.等量关系式 篇二
一、概念型问题
1. 解一元一次方程
例1 (2012·湖南郴州) 一元一次方程3x-6=0的解是______.
【分析】根据一元一次方程的解法, 移项, 系数化为1即可得解:
移项得, 3x=6, 系数化为1得, x=2.
【答案】x=2.
【考点指导】解一元一次方程一般难度不大, 只要牢记解一元一次方程的步骤, 就能求出正确的解.
2. 一元一次方程的解
例2 (2011·广东湛江) 若x=2是关于方程2x+3m-1=0的解, 则m的值等于______.
【分析】使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解.将方程的解代入方程可得关于m的一元一次方程, 从而可求出m的值.
【答案】-1.
【考点指导】中考中对一元一次方程的解的考查, 以填空题的形式居多.该题是已知一元一次方程的解, 求未知字母的值.解决此类问题的思路是:将解代入原一元一次方程, 从而转化成关于未知字母的方程, 进而求解.
二、应用型问题
学习本章时, 要深刻理解方程的思想, 即未知量可以和已知量一起表示数量关系.只要找到数量之间的等量关系就可列方程, 即建立数学模型.
例3 (2011·山东日照) 某道路一侧原有路灯106盏, 相邻两盏灯的距离为36 m, 现计划全部更换为新型的节能灯, 且相邻两盏灯的距离变为70 m, 则需更换的新型节能灯有 () .
A.54盏B.55盏
C.56盏D.57盏
【分析】可设需更换的新型节能灯有x盏, 根据等量关系:两种安装路灯方式的道路总长相等, 列出方程求解即可.
解:设需更换的新型节能灯有x盏, 则
则需更换的新型节能灯有55盏.故选B.
【考点指导】本题考查了一元一次方程的应用, 解题关键是根据题目给出的条件, 找出合适的等量关系, 列出方程再求解.
例4 (2013·台湾) 图 (1) 为一正面白色、反面灰色的长方形纸片.今沿虚线剪下分成甲、乙两长方形纸片, 并将甲纸片反面朝上粘贴于乙纸片上, 形成一张白、灰相间的长方形纸片, 如图 (2) 所示.若图 (2) 中白色与灰色区域的面积比为8∶3, 图 (2) 纸片的面积为33, 则图 (1) 纸片的面积是 () .
C.42 D.44
【分析】设每一份为x, 则图 (2) 中白色部分的面积为8x, 灰色部分的面积为3x, 根据图 (2) 纸片的面积为33的等量关系建立方程, 求出其解即可.
解:设每一份为x, 则图 (2) 中白色部分的面积为8x, 灰色部分的面积为3x, 由题意, 得
8x+3x=33, 解得:x=3.
∴灰色部分的面积为:3×3=9,
∴图 (1) 纸片的面积为:33+9=42.
故选C.
【考点指导】本题考查了比例问题在解实际问题中的运用以及一元一次方程解法的运用, 解答时根据条件建立方程求出灰色部分的面积是关键.
例5 (2011·江苏常州) 把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体 (且没有剩余) , 其中棱长为1的正方体的个数为_________.
【分析】从三种情况进行分析: (1) 只有棱长为1的正方体; (2) 分成棱长为3的正方体和棱长为1的正方体; (3) 分成棱长为2的正方体和棱长为1的正方体.
解:棱长为4的正方体的体积为64, 如果只有棱长为1的正方体就是64个, 不符合题意排除;如果有一个3×3×3的立方体 (体积27) , 就只能有1×1×1的立方体37个, 37+1>29, 不符合题意排除;所以应该是有2×2×2和1×1×1两种立方体.
设棱长为1的有x个, 则棱长为2的有 (29-x) 个, 可得x+8× (29-x) =64,
解得:x=24.
所以小明分割的立方体应为:棱长为1的24个, 棱长为2的5个.故答案为:24.
【考点指导】本题考查了一元一次方程的应用和立体图形的求解, 解题的关键是分三种情况考虑, 根据符合题意的情况列方程求解.
三、新定义题型
近年来, 中考考查一元一次方程的题目形式呈多样化发展趋势.“新定义”型问题成为中考数学命题的亮点, 许多同学看到一些没见过的符号或定义就慌了手脚其实“新定义”题型关键是审清题意, 具体说就是把符号语言转化为简练、准确的文字语言.
A.40 B.45
C.51 D.56
答案:C.
3.注重引导学生学会找出等量关系 篇三
一、注重进行多项基础训练，为突破难点作好铺垫
进行多项基础训练主要指用字母列式表示数量关系。通过训练，使学生理解和掌握用字母表示数的意义、规律和方法，培养小学生抽象概括能力和列方程解应用题的基本功。
1.用含有x的式子表示数量关系。例如：20与x的和；x的5倍与8的和；x的9倍。
2.用数学语言叙述式子的意义。例如：x-8；2x；70-3x；x÷4÷6。
3.用字母写出下面的关系。V表示速度，T表示时间，S表示路程。如：路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度。
4.根据数量的相等关系列方程。x与80的差等于41；x的5倍是80；40比x多15。
5.根据题意把方程数量的相等关系补充完全。
①小军买钢笔和蓝墨水共用去2.5元，买钢笔用去x元，买蓝墨水用去0.25元。 ___________________=2.5。
②一个车间要做零件750个，平均每天做x个，做了7天还剩下330个。 ___________________=330。
二、多借助直观图及表格来引导学生寻找出等量关系
为了帮助学生弄清题中条件和问题之间的相等关系，我经常利用图示法和表格法来引导学生分析数量关系，使他们从感知中逐步找出等量关系。
例如：学校合唱队64人，比舞蹈队人数的两倍多16人，舞蹈队有多少人？
①引导学生复述已知条件和要求的问题，画出下列线段图：
■
②看图思考舞蹈队人数和合唱队人数的关系，得出等量关系式：舞蹈队人数的2倍+还多的人数=64。
③对号填数：2x+16 =合唱队人数（ 64），得出方程2x+16=64。
通过直观图或表格分析，把内容具体化，就能促使学生用简练的内在语言概括出等量关系，这是引导学生理清思路，正确、迅速解题的重要前提。
三、注重引导学生分析应用题的内容特点，学会从中寻找出等量关系
例如，①一位顾客在商店买了6尺白布，4尺花布，一共付了3.54元。每尺白布的售价是0.31元，每尺花布的售价是多少元？
引导学生分析：这题的数量关系是“总数和部分之间的关系”，一共付了3.54元是总数，白布和花布的价钱分别为部分数，根据总数和部分之间的关系可得下列三个等量关系：白布的价钱+花布的价钱=总价；总价-白布的价钱=花布的价钱；总价-花布的价钱=白布的价钱。
对号填数分别得：0.31×6+4x=3.54；3.54-0.31×6=4x；3.54-4x=0.31×6。
②某自行车厂，原来每天可以装配自行车85辆，现在要装2400辆自行车，要求20天完成，每天需要多装配多少辆？
引导学生分析：这题的数量关系是常用数量“工作效率，工作时间，工作总量”的应用，要装2400辆自行车是工作总量，20天完成是工作时间，实际每天装的（85+x）是工作效率。可得出等量关系：工作效率×工作时间=工作总量；工作总量÷工作时间=工作效率；工作总量÷工作效率=工作时间。
对号填数就分别得下列方程：（85+x）×20=2400；2400÷20=85+x；2400÷（85+x）=20。
③大型喷气式客机每小时飞行1080公里，它比普通飞机每小时飞行公里数的3倍还多30公里。普通飞机每小时飞行多少公里？
引导学生分析：这题的数量关系是属“甲、乙两数之间的关系”，甲数是大型喷气式客机的速度，乙数是普通飞机的速度，甲数大、乙数小，根据大数、小数、相差数之间的关系得出：普通飞机的3倍+比普通飞机还多的=喷气式飞机的；喷气式飞机的-比普通飞机还多的=普通飞机的3倍；喷气式飞机的-普通飞机的3倍= 比普通飞机还多的。
对号填数分别得：3x+30=1080；1080-30=3x；1080-3x =30。
通过以上几方面的训练，引导学生逐步掌握了多种寻找等量关系的思考方法，他们在列方程解应用题时，学会了运用多种方法从不同的思路分析推理出多种等量关系来列方程，从而较好地突破了列方程解应用题的难点。
（责编 金 铃）endprint
列方程解应用题是小学数学教学中的难点。由于小学生对用算术解应用题的思路和方法已经比较熟悉，但列方程解应用题时往往受算术解法的影响，列出与算术解法完全一样的特殊方程，即将未知数x单独放在等号的一边，而另一边全是已知数。所以，引导学生学会找出应用题中数量间的等量关系，是突破列方程解应用题难点的关键。在教学中，如何引导学生寻找等量关系，进而列出方程解应用题呢？下面结合教学实践谈谈我的一些做法。
一、注重进行多项基础训练，为突破难点作好铺垫
进行多项基础训练主要指用字母列式表示数量关系。通过训练，使学生理解和掌握用字母表示数的意义、规律和方法，培养小学生抽象概括能力和列方程解应用题的基本功。
1.用含有x的式子表示数量关系。例如：20与x的和；x的5倍与8的和；x的9倍。
2.用数学语言叙述式子的意义。例如：x-8；2x；70-3x；x÷4÷6。
3.用字母写出下面的关系。V表示速度，T表示时间，S表示路程。如：路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度。
4.根据数量的相等关系列方程。x与80的差等于41；x的5倍是80；40比x多15。
5.根据题意把方程数量的相等关系补充完全。
①小军买钢笔和蓝墨水共用去2.5元，买钢笔用去x元，买蓝墨水用去0.25元。 ___________________=2.5。
②一个车间要做零件750个，平均每天做x个，做了7天还剩下330个。 ___________________=330。
二、多借助直观图及表格来引导学生寻找出等量关系
为了帮助学生弄清题中条件和问题之间的相等关系，我经常利用图示法和表格法来引导学生分析数量关系，使他们从感知中逐步找出等量关系。
例如：学校合唱队64人，比舞蹈队人数的两倍多16人，舞蹈队有多少人？
①引导学生复述已知条件和要求的问题，画出下列线段图：
■
②看图思考舞蹈队人数和合唱队人数的关系，得出等量关系式：舞蹈队人数的2倍+还多的人数=64。
③对号填数：2x+16 =合唱队人数（ 64），得出方程2x+16=64。
通过直观图或表格分析，把内容具体化，就能促使学生用简练的内在语言概括出等量关系，这是引导学生理清思路，正确、迅速解题的重要前提。
三、注重引导学生分析应用题的内容特点，学会从中寻找出等量关系
例如，①一位顾客在商店买了6尺白布，4尺花布，一共付了3.54元。每尺白布的售价是0.31元，每尺花布的售价是多少元？
引导学生分析：这题的数量关系是“总数和部分之间的关系”，一共付了3.54元是总数，白布和花布的价钱分别为部分数，根据总数和部分之间的关系可得下列三个等量关系：白布的价钱+花布的价钱=总价；总价-白布的价钱=花布的价钱；总价-花布的价钱=白布的价钱。
对号填数分别得：0.31×6+4x=3.54；3.54-0.31×6=4x；3.54-4x=0.31×6。
②某自行车厂，原来每天可以装配自行车85辆，现在要装2400辆自行车，要求20天完成，每天需要多装配多少辆？
引导学生分析：这题的数量关系是常用数量“工作效率，工作时间，工作总量”的应用，要装2400辆自行车是工作总量，20天完成是工作时间，实际每天装的（85+x）是工作效率。可得出等量关系：工作效率×工作时间=工作总量；工作总量÷工作时间=工作效率；工作总量÷工作效率=工作时间。
对号填数就分别得下列方程：（85+x）×20=2400；2400÷20=85+x；2400÷（85+x）=20。
③大型喷气式客机每小时飞行1080公里，它比普通飞机每小时飞行公里数的3倍还多30公里。普通飞机每小时飞行多少公里？
引导学生分析：这题的数量关系是属“甲、乙两数之间的关系”，甲数是大型喷气式客机的速度，乙数是普通飞机的速度，甲数大、乙数小，根据大数、小数、相差数之间的关系得出：普通飞机的3倍+比普通飞机还多的=喷气式飞机的；喷气式飞机的-比普通飞机还多的=普通飞机的3倍；喷气式飞机的-普通飞机的3倍= 比普通飞机还多的。
对号填数分别得：3x+30=1080；1080-30=3x；1080-3x =30。
通过以上几方面的训练，引导学生逐步掌握了多种寻找等量关系的思考方法，他们在列方程解应用题时，学会了运用多种方法从不同的思路分析推理出多种等量关系来列方程，从而较好地突破了列方程解应用题的难点。
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列方程解应用题是小学数学教学中的难点。由于小学生对用算术解应用题的思路和方法已经比较熟悉，但列方程解应用题时往往受算术解法的影响，列出与算术解法完全一样的特殊方程，即将未知数x单独放在等号的一边，而另一边全是已知数。所以，引导学生学会找出应用题中数量间的等量关系，是突破列方程解应用题难点的关键。在教学中，如何引导学生寻找等量关系，进而列出方程解应用题呢？下面结合教学实践谈谈我的一些做法。
一、注重进行多项基础训练，为突破难点作好铺垫
进行多项基础训练主要指用字母列式表示数量关系。通过训练，使学生理解和掌握用字母表示数的意义、规律和方法，培养小学生抽象概括能力和列方程解应用题的基本功。
1.用含有x的式子表示数量关系。例如：20与x的和；x的5倍与8的和；x的9倍。
2.用数学语言叙述式子的意义。例如：x-8；2x；70-3x；x÷4÷6。
3.用字母写出下面的关系。V表示速度，T表示时间，S表示路程。如：路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度。
4.根据数量的相等关系列方程。x与80的差等于41；x的5倍是80；40比x多15。
5.根据题意把方程数量的相等关系补充完全。
①小军买钢笔和蓝墨水共用去2.5元，买钢笔用去x元，买蓝墨水用去0.25元。 ___________________=2.5。
②一个车间要做零件750个，平均每天做x个，做了7天还剩下330个。 ___________________=330。
二、多借助直观图及表格来引导学生寻找出等量关系
为了帮助学生弄清题中条件和问题之间的相等关系，我经常利用图示法和表格法来引导学生分析数量关系，使他们从感知中逐步找出等量关系。
例如：学校合唱队64人，比舞蹈队人数的两倍多16人，舞蹈队有多少人？
①引导学生复述已知条件和要求的问题，画出下列线段图：
■
②看图思考舞蹈队人数和合唱队人数的关系，得出等量关系式：舞蹈队人数的2倍+还多的人数=64。
③对号填数：2x+16 =合唱队人数（ 64），得出方程2x+16=64。
通过直观图或表格分析，把内容具体化，就能促使学生用简练的内在语言概括出等量关系，这是引导学生理清思路，正确、迅速解题的重要前提。
三、注重引导学生分析应用题的内容特点，学会从中寻找出等量关系
例如，①一位顾客在商店买了6尺白布，4尺花布，一共付了3.54元。每尺白布的售价是0.31元，每尺花布的售价是多少元？
引导学生分析：这题的数量关系是“总数和部分之间的关系”，一共付了3.54元是总数，白布和花布的价钱分别为部分数，根据总数和部分之间的关系可得下列三个等量关系：白布的价钱+花布的价钱=总价；总价-白布的价钱=花布的价钱；总价-花布的价钱=白布的价钱。
对号填数分别得：0.31×6+4x=3.54；3.54-0.31×6=4x；3.54-4x=0.31×6。
②某自行车厂，原来每天可以装配自行车85辆，现在要装2400辆自行车，要求20天完成，每天需要多装配多少辆？
引导学生分析：这题的数量关系是常用数量“工作效率，工作时间，工作总量”的应用，要装2400辆自行车是工作总量，20天完成是工作时间，实际每天装的（85+x）是工作效率。可得出等量关系：工作效率×工作时间=工作总量；工作总量÷工作时间=工作效率；工作总量÷工作效率=工作时间。
对号填数就分别得下列方程：（85+x）×20=2400；2400÷20=85+x；2400÷（85+x）=20。
③大型喷气式客机每小时飞行1080公里，它比普通飞机每小时飞行公里数的3倍还多30公里。普通飞机每小时飞行多少公里？
引导学生分析：这题的数量关系是属“甲、乙两数之间的关系”，甲数是大型喷气式客机的速度，乙数是普通飞机的速度，甲数大、乙数小，根据大数、小数、相差数之间的关系得出：普通飞机的3倍+比普通飞机还多的=喷气式飞机的；喷气式飞机的-比普通飞机还多的=普通飞机的3倍；喷气式飞机的-普通飞机的3倍= 比普通飞机还多的。
对号填数分别得：3x+30=1080；1080-30=3x；1080-3x =30。
通过以上几方面的训练，引导学生逐步掌握了多种寻找等量关系的思考方法，他们在列方程解应用题时，学会了运用多种方法从不同的思路分析推理出多种等量关系来列方程，从而较好地突破了列方程解应用题的难点。
4.等量关系式 篇四
教学目标：
1、结合具体情境，在用多种方法表示等量关系的活动中了解等量关系，知道同一等量关系有不同的表现形式。
2、初步体会等量关系在日常生活中的广泛应用。教学重点： 找等量关系。教学难点：
寻找和表达等量关系的方法。教具准备： 课件 教学过程：
一、情景导入，呈现目标
白板出示教科书中连环图。提出问题：你能说出三幅图分别表示什么意思吗？跷跷板怎样就平衡了？你能尝试表示这组相等的关系吗？
强调这个等式，就是一个等量关系式。
二、探究新知
（一）交流自学情况
活动一：姊妹俩和姚明身高的关系，找出等量关系。看书回答问题：
1、我比妹妹高20厘米，有哪两个量？如何表示？
2、姚明的身高是我的2倍，有哪两个量？如何表示？
3、根据对话画出线段图。活动二：看书（他们还找出了这样的等量关系，你能看懂吗？）
姚明身高÷2=妹妹身高
笑笑身高-20厘米=妹妹身高
所以，姚明与笑笑身高的关系是：
姚明身高÷2=笑笑身高-20厘米
1、明确3个等量关系。
2、哪些是同一等量关系的不同表现形式？
（一）小组展示成果，适时导学
1、组内交流收获和疑问.2、小组汇报。
三、达标反馈
1、长方形的长、宽、周长、面积分别用a、b、C、S表示，你能写出那些等量关系？
2、完成教材第65页1、2、3题练习
1、第1题：什么时候相等？你能说出等量关系吗？
100克+一个樱桃重量=一个苹果的重量
2、第2题：请你表示下列数量间的等量关系。
指名说出等量关系。
一个苹果重量+一个梨的重量=200克+100克
一个鸡蛋重量×2=100克
一本<数学故事>的单价×3=15.6元
3、第3题：学生读题，了解题意。
在练习本上，写一写等量关系式，学生可能只写一个，告诉学生同是三个数量可以写出不同的数量关系式。
四、课堂总结 这节课你有什么收获和不明白的地方?
五、布置作业
1、当堂作业：省略。
2、课后作业：练一练第4、5题。板书设计：
等量关系
妹妹身高×2=姚明身高
妹妹身高+20厘米=笑笑身高
姚明身高÷2=妹妹身高
笑笑身高-20厘米=妹妹身高
所以，姚明与笑笑身高的关系是：
姚明身高÷2=笑笑身高-20厘米
课后反思：
5.等量关系式 篇五
1、可以通过姚明与妹妹的身高学会解方程，进一步理解方程的意义 。
2、会学会用方程解决简单的实际问题。
教学重点：学会解答简单的方程。
教学难点：学会用画线段图来分析、理解和解决含有两未知的数学问。
教 法：发现法、尝试法。
学 法：自主探究法
教具准备：小黑板、课件。
教学过程
一、情景导入 呈现目标
同学们今天我们一起来通过姚明的身高，算一算这姊妹两个的身高。板书课题：等量关系
二、探究新知
(一)、交流自学情况
活动一：姊妹两跟姚明身高的关系找出等量关系。
看书回答下列问题：
1、我比妹妹高20厘米。这句话中隐含了什么?
2、姚明的身高是我的2倍，这句话中隐藏了什么?
3、这题的等量关系是：
活动二：画线段图列方程
1、你会根据他们的对话画出线段图吗?
2、根据线段图列方程并解答。
3、你可以根据其他的条件找出别的等量关系吗?试试看
(二)、小组展示成果，适时导学(展示部分)
1.、小组内交流自学的收获和疑问。
2、展示汇报学习情况。其他小组补充完善，评价病可以提出疑问，由展示组优先解惑，有问题其他组补充，最后由组
长做总结发言。组内交流、解疑、个别汇报、老师点拨。
四、点拨升华
五、课堂总结
通过本节课的学习你有什么收获或不明白的地方? 先小组内说一说，最后班上交流。
六、达标检测
1、我能行。
(1).果园里有桃树a棵，平均每棵桃树收桃子360千克，果园共收桃子( )千克。
(2).打字员小王每分钟打字90个，一份稿件她打了m分钟还剩c个字没打。这份稿件一共有( )个字。
(3).苹果和香蕉的单价分别是每千克4.5元和6元，买x千克苹果和y千克香蕉共需要( )元。
(4).五个连续的整数，其中最小的数是n，这五个连续的整数的和是( )。
2、完成练一练第2题，并交流。 先独立做，最后组内交流。
七、拓展提高
甲乙两人共写了200个大字，其中甲写的是乙的4倍，求甲乙两人各写了多少个大字? 先独立做，最后组内交流。
6.等量代换教案 篇六
一：课前活动
师：我听说咱们班的同学个个都是最棒的，老师觉得耳闻不如眼见，所以，今天我带来几道智力测试题，想考考大家，你们同意吗？好，请认真听题: 1.小智和天天同岁，天天和小平同岁，请问小智和小平谁大？ 2.红红和小亮同岁，小亮比思思大，红红和思思谁大？ 学生积极回答。
师：果然名副其实。售货员阿姨碰到了一个小问题，有一位小朋友想把100元换成零钱，请大家帮帮忙，他可以怎样换？
学生积极回答。
师：同学们都是爱动脑筋的好孩子，希望大家在课堂上积极思考，大胆发言，老师期待你能有更出色的表现。
二：故事导入
老师给大家带来一个小故事《曹冲称象》，我们一起来听一听，然后说一说曹冲是用什么办法称出了大象的重量的？（学生汇报，课件演示称象过程）
1.曹冲让人把大象赶到了船上，在船舷边上画出水的印记。2.曹冲让大家往船上装石头，直到水升到船舷边上画好印记的位置。3.曹冲让大家把石头一块一块地称出来，最后把每块石头的重量加起来。4.石头的重量就是大象的重量了。
师：在这里，石头的重量和大象的重量是相等关系的量，这叫等量，（板书等量）因为当时没有那么大的称能直接称出大象的重量，所以曹冲就用和大象重量相等的石头来代换，（板书代换）聪明的曹冲在称象的过程中运用了一种重要的数学思想——等量代换，这节课我们一起来深入的了解他，并应用他。
三：探究推理
星期天，爸爸想带明明出去玩，我们一起来看一看他们是怎么安排这一天的行程的。（出示课件）先去买水果，再去吃早餐，最后去动物乐园玩。
（一）买水果
明明和爸爸来到水果店买西瓜，（出示课件）水果店的老板用的是什么称？你对天平有哪些了解？（当天平平衡时，天平左右两边的物体是等量的）说的真好，请同学们仔细观察大屏幕，你获得什么信息？
1.一个西瓜的重量=四千克砝码的重量 2.一千克砝码的重量=4个苹果的重量 3.一个西瓜可以换？个苹果？
师：在很久很久以前，没有钱币，人们想要获取自己所需的物品，都是用等量的物品来交换，今天就让我们穿越时空的隧道，学一回古人，进行一次物品的交换。
现在请大家拿出学具，在小组内进行交换活动，并说一说，你是怎样想的。活动之前，请大家参考交换小提示。（出示课件）
学生以小组为单位活动，讨论，汇报交换过程。
1.因为一千克砝码和四个苹果是等量的，所以四个砝码就和16个苹果是等量的，把四个砝码换成16个苹果，就可以知道一个西瓜可以换16个苹果。
2.一个西瓜的重量等于4个砝码的重量，一个砝码又可以换4个苹果，4个砝码总共要换四次，即四个四，16个苹果。
小结：根据重量相等，曹冲用石头的重量代换了大象的重量，刚才，我们借助砝码这个中间量，得出一个西瓜的重量等于16个苹果的重量。在生活中借助中间量进行等量代换的数学思想一致运用到现在。
顺利的换完西瓜和苹果，明明又买了一个橙子和一串葡萄，共400克，这时，爸爸发话了，再拿一个苹果吧，然后重量由400克变成了550克，小朋友，你可以知道哪种水果的重量呢? 在这里，我们要学会以不变应万变，天平左边多了一个苹果，天平右边多了150克，说明150克就是苹果的重量了。
（二）吃早餐
父子俩买好水果，一起来到德克士餐厅，餐厅的阿姨正跟小朋友玩换物游戏呢！答对的小朋友可以获得免费的早餐。同学们，来，我们一起努力吧!1.两个汉堡可以换四个鸡腿，一个鸡腿可以换3个冰激凌，3乘4等于12，所以两个汉堡可以换12个冰激凌。2.一个汉堡可以换 两个鸡腿，一个鸡腿可以换3个冰激凌，那么，两个鸡腿可以换6个冰激凌，2乘6等于12，所以两个汉堡可以换12个冰激凌。小结：同学们，解决问题的方法是多种多样的，只要我们肯动脑筋，就可以想出与众不同的解决办法。
（三）游动物乐园 在大家的帮助下，明明吃到了美味的汉堡，这真是令人愉快的一天。现在，父子俩来到动物乐园。动物乐园门口，智慧老人不卖门票，只解决问题，说只有答对问题的孩子才有资格进园游玩。你们有信心帮明明获得通行证吗？ 小组讨论回答：
一个三角形和三个正方形是等量的，我们可以用 三个正方形换一个三角形，就得到了四个正方形 的和是240，那么，一个正方形是60，三个正方形是180，即一个三角形为180.明明顺利过关，爸爸可就没有那么容易了，大家一起来帮忙吧!小组讨论回答：
三个三角形和两个圆的和于41是等量的。我们用41 代换 三个三角形和两个圆的和，就可以得到41加两个三角形的和是59，用59减41得到两个三角形的和为18，一个三角形就是9，接着用9代换三角形，就可以得到两个圆的和是14，那么，一个圆就是7。（1）明明和爸爸终于进了动物乐园，里面真热闹，猪，牛，羊正吵得热火朝天，他们遇到了什么问题呢？让我们一起去看一看。请看大屏幕，你获得什么数学信息？你会怎样解决这个问题？
一头牛的重量等于4头猪的重量，一头猪的重量又等于两只羊的重量，4头猪总共要换四次，即四个二只羊，一头牛的重量等于八只羊，那么两头牛的重量等于16只羊。
一头牛的重量等于4头猪的重量，两头猪的重量又等于三只羊的重量，4头猪里有两个两头猪，即两个三只羊，所以，一头牛的重量等于6只羊。两头牛的重量相当于12只羊。（2）刚解决完这边的问题，那边就又发出求救信号。走近一瞧，原来是鸭和鸡在比重量。同学们，你知道鸭和鸡到底谁重一些吗？ 请看大屏幕，你获得了什么信息？
（2只鸭的重量=1只鹅的重量，4只鸡的重量比2只鹅的重量轻一些）现在，请小组讨论一下，鸭和鸡到底谁重一些。
讨论小提示：直接比较一只鸭和一只鸡比较困难，我们可以转化为2只鸭和2只鸡，或4只鸭和4只鸡的比较。汇报交流：
方法一.我是转化成2只鸭和2只鸡进行比较的，2只鸭的重量=1只鹅的重量，2只鸡的重量＜1只鹅的重量，所以2只鸡的重量＜2只鸭的重量，即 1只鸡的重量＜1只鹅的重量。
方法二.我是转化成4只鸭和4只鸡进行比较的，1只鹅的重量=2只鸭的重量，2只鹅的重量=4只鸭的重量，2只鹅的重量＞4只鸡的重量。所以4只鸭的重量＞4只鸡的重量，即1只鸭的重量＞1只鸡的重量。小结：同一个问题我们可以从不同的角度去思考，去解决。
四：回顾总结
同学们，今天你有什么收获？
7.等量关系式 篇七
1. 有些题目中会明显的出现建立等量关系的词。如: “等于”“是”“一样”等这类词。这也是最简单的一类题。
例1 小芳和小丽同时采摘樱桃, 小芳平均每小时采摘8 千克, 小丽平均每小时采摘7 千克, 采摘结束后小芳从她采摘的樱桃中取出0. 25 千克给了小丽, 这时两人的樱桃一样多, 她们采摘了多少时间?
分析: 本题给出等量关系的句子是 “采摘结束后小芳从她采摘的樱桃中取出0. 25 千克给了小丽, 这时两人的樱桃一样多”, 也就是说几个小时采摘结束后, 小芳减去0. 25 千克, 小丽加上小芳给的0. 25 千克, 两个人就一样多了, 所以得到的等量关系是: 小芳采摘总量- 0. 25 千克= 小丽采摘总量+ 0. 25 千克。
解:设她们采摘了x小时, 由题意得:
8x-0.25=7x+0.25
解得:x=0.5
答: 她们采摘了0. 5 小时。
2.有些题目, 虽然没有明显的字或词来说明等量关系, 但暗含着我们已知得公式, 这也是一种等量关系。如:“路程=速度×时间”等等这样的关系。
例2某工程队承包了某段过江隧道施工任务。甲、乙两组班分别从东西两端同时掘进, 已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米, 经过5天施工, 两组共掘进了45米, 求甲、乙两个班组平均每天掘进多少米?
分析:如果设甲组每天掘进x米, 那么乙组就每天掘进 (0.6-x) 米, 也就等于题中告诉了甲的工作效率为x, 乙的工作效率为 (0.6-x) , 题目中的5天为甲、乙的工作时间, “共掘进45米”为甲、乙的工作总量。那么, 我们知道工作总量=工作效率×工作时间, 从而我们就可得到总工效×总工作时间=总工作量, 即 (甲工效+乙工效) ×合作时间=合作总量
解:设甲每天掘进x米, 则乙每天掘进 (x-0.6) 米, 由题意得:
[x+ (x+0.6) ]×5=45
解得:x=4.8
∴x-0.6=4.8-0.6=4.2
答:甲每天掘进4.8米, 乙每天掘进4.2米。
3. 有些题目无明显表示等量关系的词, 也没有暗含公式性的等量关系, 那么这时就需要我们分析题意来寻找等量关系。
例3某中学的学生自己动手整修操场, 如果让七年级学生单独工作, 需要7. 5 小时完成; 如果让八年级学生单独完成, 需要5 小时完成; 如果让七、八年级学生一起工作1 小时, 再由八年级学生单独完成剩余部分, 则八年级再需要多长时间完成剩余部分?
分析: 通过分析这道题可以发现, 本题可以由两种思路来分析: 第一种思路是, 整修操场这项工作是被分了两部分组成, 一部分由七八年级共同完成, 另一部分由八年级单独完成, 这时候得到的等量关系是 “七八年级工作总量+ 八年级剩余工作量= 1”; 第二种思路是, 整修操场这项工作共由七、八年级两个年级的学生共同来完成, 这时, 我们又得到了一个等量关系是 “七年级工作总量+八年级工作总量= 1”, 最后, 我们又可结合工作总量= 工作效率 ×工作时间来完成此题。
思路一:
解: 设八年级需要x小时来完成剩余部分, 由题意得:
解得:x= (10) /3
答:甲再需要 (10) /3小时来完成剩余部分。
思路二:
解: 设八年级需要x小时来完成剩余部分, 由题意得:
解得:x= (10) /3
答:甲再需要 (10) /3小时来完成剩余部分。
8.等量关系式 篇八
每次教到列方程解应用题时这一环节时，大多数学生都抱怨太难，面对问题束手无策，不知从何下手，列方程解应用题真的像有的同学说的那么难吗？其实，只要学生抓住了问题的关键，找出题目中的等量关系，问题便迎刃而解。那么如何才能使学生快速而准确地找出题目中的等量关系呢？笔者认为列方程解应用题找等量关系，可以从以下几个方面入手。
一、根据熟悉的公式找等量关系
常见的公式有：单价X数量=总价；单产量 总数量=总产量；路程=速度 时间；工作总量=工作效率 工作时间；利润=售价-进价等等，另外几何图形周长、面积公式都是列方程解应用题的工具。
例1：一件商品按成本价提高100元后标价，再打8折销售，售价为240元，求这件商品的成本价？
等量关系：（成本价+100） 80﹪=售價
例2：新华商场销售某中冰箱，每台进货价为2500元，调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当现售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少？
分析：本题的主要等量关系是：每台冰箱的销售利润 平均每天销售冰箱的数量=5000元
如果设每台冰箱降价X元，那么每台冰箱的定价就是（2900-X）元，每台冰箱的销售利润为（2900-X-2500）元，平均每天销售销售冰箱的数量为（8+4X）台，这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决。
二、根据总量等于各分量的和找等量关系
例：古希腊数学家丢番图，他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年，在过去七分之一的年龄，他建立了幸福的家庭，五年后他儿子出生了，不料儿子竞先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半，晚年丧子老人真可怜，悲痛之中，渡过了风烛残年，请你算一算丢番图活到多大和死神见面？
等量关系：总年龄等于各年龄之和
设丢番图活了X岁，根据题意得
解得X=84
答：丢番图活了84岁。
三、根据生活经验找等量关系
比如说在计算顺流逆流问题时，同学们可以从生活中骑车的过程中体会，当你顺风骑车时很省力，速度也比较快，这时的速度应该是骑车的速度加上风的速度。当你逆风骑车时很费力，速度又慢，这时的速度是骑车的速度减去风速。由同样的原理可以知道，轮船顺水速度是船速加水速，逆水速度是船速减水速。由此可见，平时积累的经验在数学应用题中起到了很好的作用。因此要做好应用题，还要使学生学会多观察，多总结。
四、根据数形结合的直观性找等量关系
数形结合能将抽象、难懂且逻辑性强的代数关系简化为学生容易理解，具体形象或直观的几何图像或现实模型，由此增加学生的理解能力。实践证明数形结合是帮助学生分析实际问题，找出正确关系的最有效方法。所以初中数学方程应用题的教学应当积极帮助学生利用自己的美术能力和素养，将美术课程与数学完美整合，通过画线段图，画简图及直接欣赏，观察实物模型等来获取对实际问题的直观认识，从而确定方程的等量关系。
例：操场上有一环形跑道长400米，甲乙两人为了参加体育比赛，一起到这里跑步训练，已知甲平均每秒跑8米，乙平均每秒跑6米，两人相距20米（甲在乙前面）甲乙两人同时同向出发，你能求出两人首次相遇的时间吗？
分析：学生虽然能够发现本题隐含的公式 速度X时间=路程就是本题所要确定的等量关系式，因为题目中条件太多，所以要快速准确地找出等量关系，最好的办法就是通过画简图的形式，即将环形跑道抽象为一个圆环曲线，解答由图可知。假设两者还未出发，因为甲在乙的前面，所以甲要追上乙需多行的路程为（400-20）的整数倍米。由题意知，甲比乙速度快（8-6）米，所以如果假设两人首次相遇时间为X秒，甲走的路程一定比乙多（400-20）米，所以等量关系式为8X-6X=400-20X=190 因而第一次相遇应当是共同走了190秒。
总之，面对列方程应用题这个数学学习中的难关，我们需要花一定时间去克服，列方程应用题不是一蹴而就的，不能急于求成。持之以恒是攻克一切难关的不二之法，对于提高解应用题能力的长期性和艰巨性，我们还要做好充足的思想准备，进而更好地完成二期课改对于初中阶段的如加强数学探究，培养数学思考，发展数学能力的要求。
（甲在乙前面）甲乙两人同时同向出发，你能求出两人首次相遇的时间吗？
分析：学生虽然能够发现本题隐含的公式 速度X时间=路程就是本题所要确定的等量关系式，因为题目中条件太多，所以要快速准确地找出等量关系，最好的办法就是通过画简图的形式，即将环形跑道抽象为一个圆环曲线，具体如图所示，解答由图可知。假设两者还未出发，因为甲在乙的前面，所以甲要追上乙需多行的路程为（400-20）的整数倍米。由题意知，甲比乙速度快（8-6）米，所以如果假设两人首次相遇时间为X秒，甲走的路程一定比乙多（400-20）米，所以等量关系式为8X-6X=400-20X=190 因而第一次相遇应当是共同走了190秒。
当然应用题的理解能力不是一下子能培养的，只有多读多练多思考，根据不同的问题找出恰当的等量关系，才能减轻学生对于应用题的陌生感和恐惧感，当学生经过锻炼后，渐渐达到自己熟练解题的程度时，自然而然，他对于应用题兴趣就会提高。
9.等量代换教学反思 篇九
阆中师范附属实验小学校
何国锋
一、创设情境，初步感知
本节课内容设计贴近生活，首先借助学生熟悉的历史故事——“曹冲称象”，建构了数学模型，使等量代换这个抽象的数学思想方法，变为学生自己可感受的形式呈现出来，感知等量代换在解决实际问题时存在的价值。
二、激发兴趣，培养能力
充分挖掘教材，灵活处理教材，提供了学生常见的水果、体育用品，以及学生喜爱的小动物，调动起学生的兴趣，让学生根据水果之间的关系进行简单的推理，以学生自主探究为主，放手让他们自己观察，充分地与小伙伴交流，并让学生说一说换的过程，激发学生的学习兴趣，帮助学生探究等量代换的具体策略。让他们具体的情境中观察事物之间的关系，初步体会等量代换的思想。通过鸡、鸭、鹅体重的比拼练习，进一步拓展学生的思维，拓宽解题思路，培养学生认真审题、仔细分析、灵活应用的解题能力。通过练习，让他们运用数学知识解决生活中的问题，感受数学与生活的密切联系，感受用数学解决问题的乐趣。
三、尊重个性，主动参与
整节课我把探索知识的主动权交给学生，充分调动起学生的积极性和主动性，有意识地挖掘学生的潜能，引导学生大胆尝试、大胆猜测，提出合适的问题，做出合理的分析。同时，鼓励算法多样化，鼓励学生通过小组合作解决问题。
10.等量齐观造句 篇十
2、加入了糖全脂牛奶和奶油，冰咖啡的卡路里含量已能够与饱餐一顿的热量等量齐观。
3、沂南汉画像石墓的设计文化最突出之处有二：一是反映了与第宅建筑等量齐观的设计思想，二是体现了处处见安排的设计思路。
4、商场不应把名牌与普通产品等量齐观。
5、在以往的研究中，有的学者认为明清的朝审和秋审是现行死缓制度的萌芽形式，也有的误将二者等量齐观。
6、上海市的经济总量基本上与北京和天津经济总量之和等量齐观。
7、如果失败后，勇士和懦夫的可悲程度被等量齐观，那么足球就没有期望了。
8、甲乙两人的成绩相差那么远，怎样可能等量齐观，一律叙奖，这是很不公允的。
9、明确规定企业劳动者的法律地位，使劳动权利在公司治理结构层面上还原为劳动权力，并获得与资本权力等量齐观的法律地位，在公司监事会中加大职工代表监事的比例。
10、每个人的基本道德生而不一样，不可等量齐观。菲茨杰拉德
11、就当前情景来看，事实上，在调动群众的进取性上没什么能够与打打官僚腐朽等量齐观，尽管它本身不无毛病。
12、在这个年龄段的人思想上要想和他等量齐观的人还真的不是很多。
13、他专研网站研究已经有十余年了，所以在中国很少能够找到人能够和他等量齐观的。
14、此刻我们班上在数学成绩上能够和你等量齐观的人已经不多了。
15、鸡鹜与凤雏，岂能等量齐观?
16、拟制理论真正想说明的问题，其实是法人这种法律上的人在哲学说明意义上不能和个人等量齐观，不具有根本性价值，反映到私法上，即法人的权利本事并非理所当然。
17、这几种作法可能导致的结果不一样，当然要审慎评估，绝不能等量齐观。
18、做事要懂得分轻重缓急先后次序，不能一律等量齐观，全部混淆在一齐。
19、天地间事物本来就参差不齐，怎样能够等量齐观呢?
20、成功的人都是极少数，所以能够和那些成功人士等量齐观的人不是很多。
21、但景观的形态与功能并非总是等量齐观协调一致。
22、我们不要做与大部分人都等量齐观的人，所以我们要做出类拔萃的人。
23、这两样东西虽然看起来差不多，但材质不一样，是不能等量齐观的。
24、把我和学者们等量齐观，那太抬举我了。
25、这么一大堆事，必然有个主次轻重，岂可等量齐观，混为一谈。
26、啊，怎样能把这么一颗钻石跟那粒假宝石等量齐观呢?
27、他们二人的工作成绩不可等量齐观。
28、可是这些批评并没有将其与其他范式和框架等量齐观地来看待。
11.在天平中找等量，在问题中建模型 篇十一
一、以天平为载体，感受等量关系
方程思想的首要方面是“能根据具体问题中的等量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”。因此，教学应通过设计丰富的情境，让学生经历建立方程模型的过程。在教学认识方程时，教师就要有“建模”意识。
天平是最直观能感受平衡与相等关系的载体，教材的第一幅图就是呈现天平图，用天平感受等量关系。深入研究教材质的编写意图，在教学中充分利用“天平图”创设情境，为学生建立一个具体的生活“模型”，有利于学生建立“等式”的概念。
学生在第一环节认识天平后，课件紧接着出示5幅天平图，要求学生根据呈现的天平图列数学式子。这5幅天平图的出现，使学生对天平的平衡有了深刻的认识。接着课件出示用电子秤称月饼的情境，从天平过渡到秤。这时学生的心中已经有了一架小天平，想到这时左边放的是什么，右边又是什么，等量关系很快就找到了。找到等量关系后，再告诉学生：“一个月饼的质量是Z克，你能列出式子吗？”学生只要把等量关系中一个月饼的质量用未知数Z来代入就可以了。又通过电子秤过渡到倒开水的情境，但有了天平的模型在心中，相等的关系也很快找到。
二、以问题导学，建立方程的模型
天平的情境确立了，那如何引导学生在情境中找等量关系，建立方程的模型，这离不开我们教师导的作用。当第一次出示情境图时让学生仔细观察，同时提问：“看到了什么？你能把看到的用一个数学式子表示吗？”第二个情境图出示师紧接着提问：“现在我在天平的左边放上一颗草莓，这时天平怎么样呢？”课件出示等量关系。并读一读等量关系。师：“从图中我们看到天平平衡了，左边的质量就等于右边的质量。”这样问题层层深入，在第4个天平后是让学生先列式子，再说一说式子说表示的意思，这又是一个数学到生活的过程，同时方程的模型也在慢慢建构。接着出现不是天平的情境，通过教师三个层次的问题，学生已感受到方程在解决实际问题过程中建立模型的过程。
三、以形式丰富的练习，掌握建立等量关系的技巧
基于对方程的认识和模型的建构，只要找到等量关系便可列出方程。数学从生活中来，到生活中去，因此，在练习的设计中给学生丰富的情境，尝试新的思路来解决问题。在练习中发现学生的方程模型已经初步的建立，能用代数思想解决问题。
1.提炼生活，通过形式多样的情境让方程意识根植于心
在前面的情境中学生已能尝试用代数法解题，那在练习中我们就要努力帮助学生逐步建立和发展分析模式、应用模式、建构模式的能力。也就是用最简约的手法，用最本质的东西，为学生的知识建模。
学生在这些丰富的情境中提炼方程，那么在以后的应用过程中就会更加得心应手，这种解题的意识也就悄然在学生的心中发芽。
2.找简单的数量关系
学生在前面的学习中已经积累了一些基本的数学关系，如“速度×时间=路程”“單价×数量=总价”等等，这些常见的数量关系式就成了解决问题的关键，通过这个就可以顺利地找到等量关系。
12.等量关系式 篇十二
当微灌系统中使用完全压力补偿式灌水器或微管调压灌水器时, 在灌水器工作压力范围内, 灌水器流量变化非常微小, 可以认为毛管为等量出流多孔管, 毛管压力沿程变化, 流量恒定, 灌水器的流量及灌水均匀度也就可以得到保证。采用等量出流灌水器时, 灌水器和毛管大都是独立制造的, 可以根据使用要求选择不同管径的毛管在生产车间在线安装或在施工现场进行安装。相对于灌水器和毛管一次成型的产品, 设计中补偿式等量出流灌水器可以选择的毛管管径空间要大得多。毛管是向灌水器分配流量的微灌系统最末级管道, 其投资在微灌系统投资中占有较大的比重, 研究等量出流毛管的优化方法, 指导微灌工程的设计, 能有效提高微灌系统的灌水质量, 降低工程造价及运行费用。
目前国内外学者在毛管的水力计算方面, 已取得许多研究成果[1,2]。基于灌水器连续出流假定的能坡线法[3], 基于毛管水头线多段折线模型的水力特征量计算方法[4,5];应用计算机采用进步法或退步法逆推逐步逼近的试算方法[6];中孔水头比法[7], 图解法[8,9,10], 经验系数法[11] , 遗传算法[12]等。在等量出流毛管优化设计方面的研究相对较少, 本文在前人研究成果基础上, 应用遗传算法理论和方法, 提出一种微灌等量出流毛管管径优化设计方法。
1 数学描述
1.1 水力计算
要分析毛管沿程压力分布, 就必须知道毛管上任一点的压力与管道水头损失的关系。等量出流多孔管沿程压力变化主要受2个因素的影响, 一个是管道沿程水头损失, 另一个是地面坡度。按照图1所示给孔口和管段编号, 则任一孔口的压力水头可按下式计算:
式中:hi为各灌水器的压力, m;Ii为各管段的地形坡度 (下坡为负) ;Si为第i管段管道的长度, m;α为局部水头损失加大系数;q为灌水器流量, L/h;f、m、b是与管材有关的水头损失计算系数;H为毛管进口压力水头, m; n为毛管管段数。
1.2 优化数学模型
等量出流毛管管径的设计分2种情况讨论:①等量出流灌水器一般是采用稳压或稳流的方式使出流量均等, 稳流和稳压都需要损失一定的水头才能实现, 灌水器工作压力及范围都较大。选择不同管径的毛管, 其进口压力有可能相差很大, 毛管运行费用也相差很多。此时设计的任务是在保证毛管上孔口压力满足灌水器允许工作压力的条件下, 寻求使毛管年费用最小的管径, 并设计毛管入口压力。②当灌水器工作压力范围较小时, 选择不同管径的毛管, 其进口压力相差不大, 毛管运行费用也相差不多。此时设计的任务是在满足灌水器允许工作压力的条件下, 寻求毛管的最小管径, 确定毛管入口压力。
1.2.1 年费用最小
微灌系统主要由首部枢纽、干管、支管及毛管等4个部分组成, 其年费用也由相应部分所发生的费用组成。对于等量出流毛管管径优化问题而言, 首部枢纽、干管、支管的年费用可以看作是常量, 不影响毛管管径优化的结果。因此, 可以1条毛管的年费用为目标函数, 毛管管径及进口所需压力为优化变量, 建立如下形式的优化数学模型:
s.t. hmax≤hcmax; hmin≥hcmin (5)
1≤j≤M
式中:F为1条毛管的年费用, 元/a;y为毛管折旧年限, a;r为年利率, %;B为年平均维修费率, %;C
1.2.2 管径最小
s.t. hmax≤hcmax; hmin≥hcmin (7)
式中符号意义同前。
1.3 求解方法
从式 (1) ～ (3) 可知, 只要知道h0, 由毛管末端向进口逆递推, 就可以求出毛管入口压力H及每个灌水器的压力。管道单价C与管径d有一一对应的关系, 上述2个模型的优化变量实际上都为d和h0, 优化目标分别是年费用最小和管径最小。可以先假设一个d, 给h0一个由大到小排列的序例, 分别由式 (1) ～ (9) 求出h0序列的每一个F、H、hmax、hmin。重复上述过程, 直到所有待选管径计算结束, 在满足约束条件的解中分别寻找使年费用或管径最小的解, 就是所求问题的最优解。上述方法是枚举的方法, 计算工作量很大, 本文应用遗传算法实现。
2 遗传算法模型
遗传算法一般要针对问题, 寻找一个客观的适应度函数, 对所涉及可能解进行个体编码, 设计相应的选择、交叉、变异等遗传算子。
2.1 构造适应度函数
由前面的数学描述可知, 模型的优化变量是管径d和毛管末端压力h0。应用遗传算法进行优化时, 可以将毛管管径和末端孔口压力作为种群中的个体, 种群中的每一个个体都代表一种可能的解。采用罚函数法对数学模型进行转化, 可得到如下无约束形式的目标函数。
2.1.1 年费用最小
2.1.2 管径最小
为满足遗传算法对适应度函数最大化要求, 采用倒数法可构造出2种模型共同形式的适应度函数:
式中:Fit为遗传算法适应度函数;μ为惩罚因子;其他符号意义同前。
2.2 编 码
该遗传算法的优化变量为 (d, h0) , 将管径d与标准商用管径的序号一一对应起来, 成为有序的整数, 采用整数编码方式。h0是一个连续的实数变量, 其值域为灌水器的工作压力范围, 考虑计算方便及精度要求, 采用4位小数的实数编码方式。
2.3 遗传算子
选择、交叉、变异是遗传操作的基本遗传算子。选择是建立在群体中个体适应度评价基础上的, 采用竞赛规模为2的锦标赛选择法, 随机从种群中选择2个个体, 将小的个体选作父个体, 重复这个过程直到完成个体的选择。在交叉概率Pc控制下, 将所选择的父个体随机配对分别进行算术交叉运算, 产生子代个体。在变异概率Pm控制下, 随机选择个体, 在解的可行域内随机产生新的值替换原个体的值, 采取实值变异的方式生成新个体。
2.4 算法实现
在 (d, h0) 的可行域内随机生成一定规模初始群体作为第一代遗传群体, 按照设计的遗传操作生成新一代群体, 直至找到最优解或满足优化准则为止。具体见图2所示的流程图。
3 实例计算
已知某微灌系统采用压力补偿式灌水器, 灌水器流量q=4.0 L/h, n=200, S=0.5 m, 毛管进口至第一个灌水器的间距为S/2, I=-0.1 (下坡为负) , hmax=40 m, hmin=5 m, y=6 a, r=6%, B=1%, E=0.45元/kWh, T=60 h, η=0.7, 毛管待选管径及单价见表1。
分别应用年费用最小和管径最小遗传算法, 寻求满足灌水器设计流量和工作压力范围要求的毛管管径, 并设计毛管入口压力及各孔口的压力。取种群规模为50, 最大遗传代数为30, pc = 0.8, pm = 0.05, 惩罚因子μ为10, 进行模拟计算。程序运行2 s, 模拟计算最优结果见表2, 孔口压力分布见图3。
表2和图3表明, 2种模型计算的最优结果, 进口端毛管水头损失坡降大于地形坡降, 最大压力出现在毛管进口, 其后压力逐渐降低, 分别至第79和48孔达到最小, 其后毛管水头损失坡降小于地形坡降, 至末端毛管孔口压力略有增加, 2个模型的最大、最小压力均在毛管允许工作压力范围内。
由表2可知, 年费用最小模型优化结果, 最优毛管管径为12 mm, 进口所需压力15.619 m, 一次性投入44.89元, 年费用9.00元。而管径最小模型优化结果, 最优毛管管径为10 mm, 进口所需压力39.514 m, 一次性投入39.9元, 年费用10.17元。说明当灌水器工作压力范围大时, 选用年费用最小模型优化计算较为合理。
考虑随机因素对算法求解性能评估的干扰, 将算法程序独立运行100次, 比较每次计算结果与最优解的年费用的相对偏差, 结果见表3。本文100次的计算结果中, 所得毛管管径与最优解完全相同, 毛管进口压力略有差异, 导致毛管年费用有一定的偏差。其中相对偏差小于0.11%的概率达到80%以上, 小于1%的概率达到100%, 说明算法计算结果稳定, 具有较高的求解效率、计算精度和可靠性。
4 结 语
本文提出的2种等量出流毛管管径优化设计方法, 只需要输入毛管的基本参数和已知条件, 算法程序即可完成毛管管径的优化, 具有较强的通用性。模型与算法求解速度快, 计算的精度及可靠性也很高, 还可应用于非均匀坡、变径毛管、灌水器不等间距毛管的优化设计, 具有较好的实用价值。具体应用时, 若灌水器工作压力范围较大, 应选择年费用最小模型进行优化设计;若灌水器工作压力范围较小, 则应选择管径最小模型进行优化设计。
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