初中数学《勾股定理应用》教学设计

初中数学《勾股定理应用》教学设计（精选16篇）

1.初中数学《勾股定理应用》教学设计 篇一

浅谈初中数学几何定理的教学策略

数学教师在教学上经常会遇到很多困难，特别在农村初中。其中比较突出的是有较多学生对几何定理的理解运用感到困难，思考时目的性不明确。本文针对这些情况，提出了以下教学方法供大家参考。

一、对几何定理概念的理解

我认为能正确书写证明过程的前提是学会对几何定理的书写，因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位。因而在教学中我们采取了“一划二画三写”的步骤，让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求。

例如定理：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

一划：就是找出定理的题设和结论，题设用直线，结论用波浪线，要求在划时突出定理的本质部分。如：“直角三角形”和“高线”、“相似”。

二画：就是依据定理的内容，能画出所对应的基本图形。

三写：能用符号语言表达。如：∵△ABC是RT△，CD⊥AB于D（条件也可写成：∠ACB＝90°,∠CDB＝90°等)∴△ACD∽△BCD∽△ABC。

二、对几何定理的推理模式

从学生反馈的问题看，多数学生觉得几何抽象还在于几

何推理形式多样、过程复杂而又摸不定，往往听课时知道该如何写，而自己书写时又漏掉某些步骤。怎样将形式多样的推理过程让学生看得清而又摸得着呢？为此经过归纳整理，总结了三种基本推理模式。

具体教学分三个步骤实施：

⑴精心设计三个简单的例题，让学生归纳出三种基本推理模式。

① 条件 → 结论 → 新结论（结论推新结论式） ② 新结论（多个结论推新结论式） ③ 新结论（结论和条件推新结论式）

⑵通过已详细书写证明过程 的题目让学生识别不同的推理模式。

⑶通过具体习题，学生有意识、有预见性地练习书写。

这一环节我们的目的是让学生先理解证明题的大致框架，在具体书写时有一定的模式，有效地克服了学生书写的盲目性。

三、组合几何定理

基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而在这一环节，我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式，然后由几个定理组合后构造图形，进一步强化学生“用定理”的意识。下面通过一例来

说明这一步骤的实施。

例：已知，四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线 AC与 BD 相交于E，且 AB ＝ AE·AC，BD＝ 8。求△BAD的面积。

证明：连结OB，连结OA交BD于F。

学生从每一个推测符号中找出所对应的定理和隐含的主要定理：

比例基本性质 →证相似 →相似三角形性质 →垂径定理 →勾股定理 →三角形面积公式

由于学生自己主动找定理，因而印象深刻。在证明过程中确实是由一个一个定理连结起来的，也让学生体会到把定理镶嵌在基本模式中，就能形成严密的推理过程。

四、联想几何定理

分析图形是证明的基础，几何问题给出的图形有时是某些基本图形的残缺形式，通过作辅助线构造出定理的基本图形，为运用定理解决问题创造条件。图形可以引发联想，对于识图或想象力较差的学生我们从另一侧面，即证明题的“已知、求证”上给学生以支招，即由命题的题设、结论联想某些定理，以配合图形想象。

例：⊙O1和⊙O2相交于B,C两点，AB是⊙O1 的直径，AB、AC的延长线分别交⊙O2于D、E，过B作⊙O1的切线交AE于F。求证：BF∥DE。

讨论此题时，启发学生由题设中的“AB是⊙O的直径”联想定理“直径所对的圆周角是90°”，因而连结BC；“过B作⊙O的切线交AE于F”联想定理“切线的性质”，得出∠ABF＝90°。从而构造出基本图形。由命题的结论“BF∥DE”联想起“同位角相等，两直线平行”定理，学生就易于思考了。

2.初中数学《勾股定理应用》教学设计 篇二

定理教学是数学教学中的重要内容,初中数学定理是证明的基础,也是学生探究学习的延续和发展。实事上,数学定理的教学不单纯是让学生知道和了解定理本身,更是学生探索发现、提升思维和发展能力的过程。因此,搞好定理教学至关重要。那么,如何搞好定理教学呢?

一、明确定理在教材中的地位,准确把握教学的重、难点

教师只有准确把握定理的价值取向和在整个知识体系中的地位,才能准确定位教学内容、把握教学尺度、选择教学方法,才能为学生学习定理和发展能力提供帮助,最大程度达成教学目标。

了解数学定理在章节中的位置及整个教材中的地位, 对教师进行课前教学设计起着重要的作用。也就是先明确 “定理的教材地位”,再确定“我教什么”或“学生学什么”,最后考虑“我怎么教”。只有知道了教学内容在整个教材中所处的地位,教师才能高瞻远瞩地设计教学,才能确定教学内容,选择适宜的教学方法。

如,“勾股定理”这节课是人教版八年级第十八章第一课时的内容,从教材地位上看,它是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的,是直角三角形的一条非常重要的性质,也是后续学习“解直角三角形”的基础, 在实际生活中用途很大。从学生方面看,初中学生已经具备一定的分析与归纳能力,初步掌握了探索图形性质的基本方法。但是,八年级学生对应用割补方法和面积计算证明数学命题的意识和能力都还比较欠缺,对数形结合的方法也还很陌生。所以在探索勾股定理时,主要通过直观的、学生乐于接受的拼图法去验证勾股定理。基于这些方面的分析, 笔者将本节定理教学的难点确定为:用面积法和补割法证明勾股定理。

二、解读相应内容的课程标准,准确定位教学能力要求

国家课程标准的基本思路提出:“根据本学科的内容特征和学生身心发展的状况划分学习水平,在不同的水平设置相应的能力目标”。因此,教师要在遵循学生的认知规律的基础之上,认真解读相应课程标准,准确定位教学内容对学生的能力要求。在具体教学中,若学生的接受能力强可以多讲,但练习时控制练习的难度,不可盲目地提高定理教学的要求,否则将超出学生的接受能力,欲速则不达。

如,“平行线的特征”是七年级下册的内容,其主题是平行定理的学习。平行定理是空间与图形领域的基础知识,是 “相交线与平行线”的重点,笔者结合自己所教学生的实际, 制订的课程标准是:运用平行线的特征简单地进行分析、表达,能达到“说点儿理”到“用符号表示推理”的目标。

三、重视定理教学的探究过程,注重培养学生的探索能力

揭示定理发现或发展的过程,有着不可忽视的教育价值。在数学定理的教学过程中,教师应该注重定理发现的教学,精心创设定理发现与发展的情境,舍得花时费力,引导学生去探索、去研究、去发现定理。笔者认为,每经过这样一次的过程,学生不仅创造出一个个新的发现,而且发展了思维能力。久而久之,学生就会自然地养成一种爱探索问题的良好习惯,同时还能提升和发展探索问题的能力。

四、整合定理教学的相关内容,适度拓展教学

3.初中数学《勾股定理应用》教学设计 篇三

关键词：初中数学；勾股定理；创新

为了丰富课堂教学，教师需要通过多媒体技术来营造轻松活泼的课堂氛围，学生在多媒体教学中，对学习内容的掌握更加有序，循序渐进地学习，不断思考知识点的运用，并提升实际运用的灵活度。在实践教学中，多媒体技术已经被大多数的学校和老师所认可，要想有效创新初中数学勾股定理教学方法，就需要分析传统的勾股定理教学内容，这样有利于更加灵活有效地使用多媒体技术。

一、利用多媒体切入勾股定理

初中数学教师要想提高课堂教学质量，首先就要找好教学的切入点，尤其是课堂教学活动开始的时候，如何设计教学方式才能吸引学生的注意力，让学生对教学内容产生更加清晰的认识是教师所要考虑的主要问题。初中生正处于身体和心理快速发展的阶段，因此，对多媒体的好奇心较强，教师需要利用多媒体来调动学生的好奇心，而后引入知识点，这样学生就能自然而然地进入角色中进行学习。例如，教师可以播放两组视频，第一组视频是：小刚持着一根两米二的竹竿上火车，按照中国铁路乘坐法规定，乘客在乘坐火车的时候，所携带的物品不能够超过两米，而乘警在发现小刚手持超过标准长度的竹竿上火车后却“视而不见”

这是怎么回事呢？第二组视频讲述的是：小红一家子准备搬家，但是在搬运过程中遇到了一个难题，由于橱柜非常高，所以，在搬运的时候无法垂直地抬进去，那么斜着是不是就可以抬进去了呢？小红在经过测量之后，准确地得出了结论，可以搬运，在实践中顺利地把橱柜搬入家中。教师在播放完视频后首先问学生：“同学们，在视频中的两位主人公都是与我们同龄的同学，他们都非常聪明，你们知道他们运用的是什么知识原理呢？我们接下来学习的内容就是视频中出现的知识原理，只要大家积极学习，也能像视频中的同学一样厉害。”通过视频的观看和教师的引导，学生就会对接下来的学习产生极大的热情，更加认真地学习接下来的

内容。

二、利用多媒体将抽象的勾股定理具体化

现如今大多数人评定一名学生的优劣都是依据考试成绩来判断的，但是在初中实践教学中不难发现，学生的学习过程更加重要，教师不能只重视学生的学习结果，只有调动学生在学习中对学习内容的热情，才能促进学生积极地学习相关知识，并且努力掌握学习方法，最终有效提高成绩，因此，教师需要重视培养学生的学习过程。勾股定理知识是初中数学中较为抽象的理论知识，具有较强的灵活性特征，因此，该知识点能够与其他知识点有机结合起来，综合地解决数学问题，因此，学生要想充分地掌握具有一定的难度。要想帮助学生突破知识点束缚，就可以将勾股定理具体化和形象化。教师在实际教学中，可以利用多媒体技术有机地将数学计算公式与声音、图像等融合起来，更为形象地表现教学内容，有利于帮助学生更加深入地理解勾股定理的相关知识，应用得更加灵活，在原有的基础上进一步地进行积累，丰富自身的知识结构。例如，利用勾股定理证明垂直问题的时候，教师就先提出问题：已知AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB垂直于AD，证明：BC垂直于BD。

在传统的教学中教师在黑板上板书，将计算过程演算出来，学生只需要跟着教师的脚步走就行，该教学方法十分枯燥，时常遇到学生听不懂，但是也不敢打断教师提问，所以教师在课堂上利用多媒体教学时，就可以具体地将验算过程显示出来，通过播放Flash引导学生一步步地理解勾股定理怎么计算，有利于调动学生对勾股定理的学习积极性。

随着现代社会的发展，电子信息技术逐渐深入到生活的方方面面，互联网时代的到来促使多媒体技术快速发展，要想有效创新初中数学勾股定理教学方法，就需要应用多媒体技术，不仅能够将抽象的数学知识具体化，还能充分调动学生的学习兴趣，并且有效利用多媒体技术还能够扩展学生的知识范围，让学生学习到除课本知识以外的知识内容，锻炼自身的自学能力，有利于培养学生的自我学习能力。在初中数学教学中勾股定理是教学的重难点，教师利用多媒体技术展开教学方法的创新，更有利于学生掌握该知识，并灵活地运用到实际中，为学生初中数学知识的掌握打下坚实的基础。

参考文献：

[1]曾喜萍.浅谈多媒体在高校数学教学中的运用[J].广西工学院学报，2005（1）.

[2]陈秋剑.大学数学教学中多媒体技术运用的思考[J].中国电力教育，2009（8）.

4.初中数学《勾股定理应用》教学设计 篇四

我的导入市让学生感受一些动手操作实验中误差，从而进一步认识到证明的必要性，引出本节所要研究的课题“三角形的内角和定理”，这个定理我们在初一的时候就已经学会运用了，但是这个定理到底如何证明呢?这时，本节的目标就已经明确下来了——三角形内角和定了的证明。证明的过程中，我通过课前准备好的三角形道具，让我的学生通过撕撕拼拼的方法，把三角形的三个内角拼成我们所熟悉的平角或者是同旁内角的关系，那么这个定理的证明过程就完全展示出来了，然后师生共同把我们自己的做法转化成准确的数学语言加以证明，在证明的过程之中，辅助线就自然而然的运用到其中。这时，本节的重点和难点也就自然而然地被突破，要让学生感觉辅助线不是由老师强加告之而明白证明的方法，而是由学生自己在拼图的过程中亲身感悟出来的知识。

课后我认为本节中的成功之处有以下几点

1、引入简单精炼，给了全体学生的自信心，能使所以学生的注意力迅速地集中到课堂上来;

2、利用拼图的方法来找到“三角形内角和定理”的证明方法的过程中，学生充分地配合，学生的思维得到了最大限度的发挥，而且采用此种方法来引出辅助线在几何中应用，巧妙地分散了本节的重点和难点，事实也证明学生的接受程度很好;

3、教师在多媒体上展示每个三角形都是用三种不同颜色的彩纸拼成的，学生在学习的过程中看起来会更加的清晰、醒目;

4、在本节“三角形内角和定理”的应用阶段，我设置了“你来讲”题目，而且此类题目的要求是哪位同学想尝试一下，等学生站起来准备好之后，教师再把题目投影出来，不仅要锻炼学生的思维速度，而且也间接地培养了学生的临考能力，同时得到结果后要为同学们讲解本题的解法。我个人认为，给同学们讲题目的过程中收获是更多的。

5、在本节课的整个流程中，师生之间的配合非常地默契，教师能够关注每一个学生，学生的思维也在短短的45分钟内得到了充分地发散和发挥，通堂的气氛活跃、轻松。

课后我认为本节课中的不足之处：

1、在学生拼图寻求“三角形内角和定理”证明之前的铺垫，有些过快，导致个别学生不太明白这些铺垫对于利用拼图来证明定理时有什么用途;

2、不完全相信学生的能力，比如在学生讨论拼图方法后，让学生到黑板上来展示作品的时候，我似乎不敢距离学生太远，恐怕中间会出现什么差错。而实践证明学生完全是通过自己来完成作品的展示的;

5.初中数学说课——勾股定理 篇五

各位领导，专家，你们好，今天我说课的课题是《勾股定理》

一、教材分析：

（一）本节内容在全书和章节的地位

这节课是人教版，八年级第十八章 第一节“勾股定理”第一课时。勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它可以解决直角三角形的主要依据之一，在实际生活中用途很大。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和观察分析问题的能力；通过实际分析，拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系比较，理解勾股定理，以便于正确的进行运用。

（二）三维教学目标：

1.【知识与能力目标】

⒈理解并掌握勾股定理的内容和证明，能够灵活运用勾股定理及其计算； ⒉通过观察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理的能力。

2.【过程与方法目标】在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学思想，并体会数形结合和从特殊到一般的思想方法。

3.【情感态度与价值观】通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国和热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感和钻研精神。

（三）教学重点、难点：【教学重点】勾股定理的证明与运用

【教学难点】用面积法等方法证明勾股定理

【难点成因】对于勾股定理的得出，首先需要学生通过动手操作，在观察的基础上，大胆猜想数学结论，而这需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，从而形成困难。

【突破措施】：

⒈创设情景，激发思维：创设生动、启发性的问题情景，激发学生的问题冲突，让学生在感到“有趣”、“有意思”的状态下进入学习过程；

⒉自主探索，敢于猜想：充分让自己动手操作，大胆猜想数学问题的结论，老师是整个活动的组织者，更是一位参入者，学生之间相互交流、协作，从而形成生动的课堂环境；

⒊张扬个性，展示风采：实行“小组合作制”，各小组中自己推荐一人担任“发言人”，一人担任“书记员”，在讨论结束后，由小组的“发言人”汇报本小组的讨论结果，并可上台利用“多媒体视频展示台”展示本组的优秀作品，其他小组给予评价。这样既保证讨论的有效性，也调动了学生的学习积极性。

二、教法与学法分析

【教法分析】

数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，因此在教学中，不仅要使学生“知其然”，而且还要使学生“知其所以然”。针对初二年级学生的认知结构和心理特征，本节课可选择“引导探索法”，由浅到深，由特殊到一般的提出问题。引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念紧随新课改理念，也反映了时代精神。基本的教学程序是“创设情景-动手操作-归纳验证-问题解决-课堂小结-布置作业”六个方面。

【学法分析】

新课标明确提出要培养“可持续发展的学生”，因此教师要有组织、有目的、有针对性的引导学生并参入到学习活动中，鼓励学生采用自主探索，合作交流的研讨式学习方式，培养学生“动手”、“动脑”、“动口”的习惯与能力，使学生真正成为学习的主人。

三、教学过程设计

（一）创设情景

多媒体课件演示FLASH小动画片：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队员能否进入三楼灭火？

问题的设计有一定的挑战性，目的是激发学生的探究欲望，老师要注意引导学生将实际问题转化为数学问题，也就是“已知一直角三角形的两边，求第三边？”的问题。学生会感到一些困难，从而老师指出学习了今天的这节课后，同学们就会有办法解决了。这种以实际问题作为切入点导入新课，不仅自然，而且也反映了“数学来源于生活”，学习数学是为更好“服务于生活”。

（二）动手操作

⒈课件出示课本P72图18.1-1：

阴影画出的三个正方形，你从中能够得出什么结论？

学生可能考虑到各种不同的思考方法，老师要给予肯定,并鼓励学生用语言进行描述，引导学生发现SP+SQ=SR（此时让小组“发言人”发言），从而让学生通过正方形的面积之间的关系发现：对于等腰直角三角形，其两直角边的平方和等于斜边的平方，即当∠C=90°，AC=BC时，则AC2+BC2=AB2。这样做有利于学生参与探索，感受数学学习的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想。

⒉紧接着让学生思考：上述是在等腰直角三角形中的情况，那么在一般情况下的直角三角形中，是否也存在这一结论呢？于是再利用多媒体投影出P100图19.2.2（一般直角三角形）。学生可以同样求出正方形P和Q的面积，只是求正方形R的面积有一些困难，这时可让学生在预先准备的方格纸上画出图形，再剪一剪、拼一拼，通过小组合作、交流后，学生就能够发现：对于一般的以整数为边长的直角三角形也存在两直角边的平方和等于斜边的平方。通过学生的动手操作、合作交流，来获取知识，这样设计有利于突破难点，也让学生体会到观察、猜想、归纳的数学思想及学习过程，提高学生的分析问题和解决问题的能力。

⒊再问：当边长不为整数的直角三角形是否也存在这一结论呢？

投影例题：一个边长分别为1.5，3.6，3.9这种含有小数的直角三角形，让学生计算。这样设计的目的是让学生体会到“从特殊到一般”的情形，这样归纳的结论更具有一般性。

（三）归纳验证

【归纳】通过动手操作、合作交流，探索边长为整数的等腰直角三角形到一般的直角三角形，再到边长为小数的直角三角形的两直角边与斜边的关系，让学生在整个学习过程中感受学数学的乐趣，使学生学会“文字语言”与“数学语言”这两种表达方式，各小组“发言人”的积极表现，整堂课充分发挥学生的主体作用，真正获取知识，解决问题。

【验证】先后三次验证“勾股定理”这一结论，期间学生动手进行了画图、剪图、拼图，还有测量、计算等活动，使学生从中体会到数形结合和从特殊到一般的数学思想，而且这一过程也有利于培养学生严谨、科学的学习态度。

（四）问题解决

⒈让学生解决开始上课前所提出的问题，前后呼应，让学生体会到成功的快乐。

⒉自学课本P101例1，然后完成P102练习。

（五）课堂小结

1.小组成员从内容、数学思想方法、获取知识的途径进行小结，后由“发言人”汇报，小组间要互相比一比，看看哪一个小组表现最佳。

2.教师用多媒体介绍“勾股定理史话”

①《周髀算径》：西周的商高（公元一千多年前）发现了“勾三股四弦五”这一规律。

②康熙数学专著《勾股图解》有五种求解直角三角形的方法，积求勾股法是其独创。

目的是对学生进行爱国主义教育，激励学生奋发向上。

（六）布置作业

课本P104习题19.2中的第1.2.3题。目的一方面是巩固“勾股定理”，另一方面是让学生进一步体会定理与实际生活的联系。

6.初中数学相关定理 篇六

2, 推论1直角三角形的两个锐角互余

3, 推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

4,推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

5, 全等三角形的对应边、对应角相等

6, 边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等7, 角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等8 推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等9, 边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等

7.初中数学《勾股定理应用》教学设计 篇七

——菲·蔡·约翰逊

数学教学实质上是数学思维活动的教学, 在数学教学中要充分调动学生的主体作用, 注重教学过程, 改变被动接受知识的局面, 实现课堂教学素质化, 才能真正提高课堂教学质量和效率。下面说说我在教学中的做法, 通过这个例子来具体地说明数学课上如何提高课堂效率。

课例:《勾股定理的证明》

教学目标:勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的。它是直角三角形的一条非常重要的性质, 是几何中最重要的定理之一;它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系;它可以解决直角三角形中关于边的计算问题, 是解直角三角形的主要根据之一, 在实际生活中用途很大。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力, 通过实际分析、拼图等活动, 使学生获得较为直观的印象;通过联系和比较, 理解勾股定理, 以便正确地进行运用。

例如, 勾股定理证明教学过程中, 教师可这样实施:

一、故事引入, 激发兴趣

为了激发学生学习勾股定理的兴趣, 可以由下列故事引入:三千多年前有个叫商高的人对周公说:把一根直尺折成直角, 两端连接得到一个直角三角形, 如果勾是3, 股是4, 那么弦等于5。

这样引起学生的学习兴趣, 激发学生的求知欲。

教师紧接着问:是不是所有的直角三角形都有这个性质呢?

教师要善于激疑, 使学生进入乐学状态。这样做将学生的注意力吸引到课堂上来, 学生全神贯注地听课, 课堂效率得到提高。

二、自学教材, 主动探究

教师将教材知识整合, 制作成幻灯片, 以此指导学生自学教材。通过自学感悟、理解新知, 体现了学生的自主学习意识, 锻炼了学生主动探究知识的能力, 养成了学生良好的自学习惯。

1. 通过自主学习, 教师设疑或学生提疑。如:怎样证明勾股定理?通过自学, 中等以上的学生基本都能掌握, 这时能激发学生的表现欲。

2. 通过合作探究, 引导学生摆脱网格的限制, 研究任意直角三角形三边的数量关系。渗透由特殊到一般的思想方法。

3. 教师引导学生按照要求进行拼图, 观察并分析; (学生每人准备四个大小一样的直角三角形) (1) 这两个图形有什么特点? (2) 你能写出这两个图形桔黄色部分的面积吗? (3) 你得到什么结论?

这时教师组织学生分组讨论, 调动全体学生的积极性, 达到人人参与的效果, 接着全班交流。先由某一组代表发言, 说明本组对问题的理解程度, 其他各组作评价和补充。教师及时进行富有启发性的点拨, 最后, 师生共同归纳, 形成一致意见, 最终解决疑难。

三、巩固练习, 强化提高

1. 出示练习, 学生分组解答, 并由学生总结解题规律。课堂教学中动静结合, 以免引起学生思维疲劳。

例1.某楼房三楼失火, 消防员赶来救火, 了解到每层楼高3米, 消防员取来6.5米长的梯子, 梯子的底部离墙基2.5米, 请问消防员能否进入三楼灭火?

2. 出示例1:学生试解, 师生共同评价, 以加深对例题的理解与运用。针对例题再次进行巩固练习, 进一步提高学生运用知识的能力, 对练习中出现的情况可采取互评、互议的形式, 在互评互议中出现的具有代表性的问题, 教师可以采取全班讨论的形式予以解决, 以此突出教学重点。

四、归纳总结, 练习反馈

引导学生对知识要点进行总结, 梳理学习思路。分发自我反馈练习, 学生独立完成。

五、课后作业

1. 课本第81页1、2、3题。

2. 通过报刊、资料或上网查阅中外名人对勾股定理的证明方法以及勾股定理的发展史。

教学反思:本节课教学目标明确, 重点突出, 注重对知识形成过程的教学。但是在准备这节课时还是不够充分, 比如引例比较简单, 可以适当增加。在本节课后, 我又搜集了一些关于勾股定理的典故, 充实本节课的内容。

勾股定理的典故:

1.5000年前的埃及人, 也知道这一定理的特例, 也就是勾3、股4、弦5, 并用它来测定直角, 之后才渐渐推广。

2.金字塔的底部, 四正四方, 正对准东西南北, 可见方向测得很准, 四角又是严格的直角。而要量得直角, 当然可以采用作垂直线的方法, 但是如果将勾股定理反过来用, 也就是说:只要三角形的三边是3、4、5, 或者符合的公式, 那么弦边对面的角一定是直角。

3. 到了公元前540年, 希腊数学家毕达哥拉斯注意到了直角三角形三边是3、4、5, 或者是5、12、13, 他想:是不是所有直角三角形的三边都符合这个规律?反过来, 三边符合这个规律的, 是不是都是直角三角形?他搜集了许多例子, 结果都对这两个问题作了肯定的回答。他非常高兴, 杀了一百头牛来祝贺。以后, 西方人就将这个定理称为“毕达哥拉斯定理”。

另外, 合作探究和拼图部分给学生留的时间太少, 应该给学生足够的时间进行思考, 让学生发现问题并解决问题。

总之, 本课意在创设愉悦和谐的乐学气氛, 优化教学手段, 借助电教手段提高课堂教学效率, 建立平等、民主、和谐的师生关系。加强师生间的合作, 营造一种学生敢想、敢说、敢问的课堂气氛, 让全体学生都能生动活泼、积极主动地学习, 在学习中培养创新精神和实践能力。

教学延伸:这节课中, 师生之间和生生之间的讨论取得了良好的效果。学生在自学的基础上充分发扬互助合作精神。每位同学在清楚地表明自己想法的同时, 也注意听取了其他同学的意见。在讨论的过程中, 教师为学生营造出宽松、和谐的民主教学氛围, 并通过组织与引导, 激发、鼓励学生去想、去说、去做。应该将这种和谐的教学氛围保持下去, 并且值得其他学科借鉴。本节课的一个遗憾是缺少对勾股定理发展史的介绍, 只是在作业中有所体现, 让学生主动收集勾股定理的证明方法, 到图书馆或上网查找资料, 将课堂延伸到课外, 变被动学习为主动学习, 变学生客体为主体, 大大激发学生的学习积极性。勾股定理应用广泛, 要逐步培养学生在日常生活中主动应用数学的意识, 将教学延伸到更为广阔的数学、人文、科学等领域。

摘要：本文详细讲述了勾股定理的证明过程。

8.浅谈初中数学定理运用与理解 篇八

【关键词】定理 定理的运用 定理的理解 证明 依据

数学教学是运用，应用的依据是定理，定理的掌握与运用是搞好数学学习的关键。知识来源于劳动生活实践的经验总结，知识总结与归纳，形成的定理。

教学是以重要的逻辑思维为特征的一门学科，而思维表达的内涵则是定理。因此我们在数学教学中应加强数学定理的教学与理解运用，达到不管怎样的题目，做法都离不开定理及知识点的运用，解答题目才有句据可依。无疑掌握和运用好数学中的定理，对提高数学教学质量具有十分重要的意义。

一﹑数学中定理的特征

1．定理的正确性

一个数学定理实际上是人们通过实践归纳出来或者是经过推理论证得到的结论，它分为条件和结论两部分，而且是一个真命题。而假命题就不能称之为定理了。而定理的正确性与高度概括性，就决定定理在证明中可用来作为解题的依据，而这样的真命题之所以成为定理，还与它对知识具有较高的概括性和正确性。数学语言力求精练，措辞精确而简单，准确而实用。如：“同位角相等，两直线平行”这一定理是在通过运用平移作平行线这一实践中得出的结论，而“内错角相等，两直线平行”这一定理是由上述定理推导出来的，在证明平行中具有较高的科学依据和实用性，是证明两条直线平行的一个重要依据。由此可见，定理是有很高的科学性和逻辑性，不是随意创造和乱下结论。是我们证明和解答数学题的重要参照物，必须正确无误。

2．定理是证明题目的依据

在数学问题中，一些解答题和证明题如果没有我们学过的公理和定理﹑定义，就无从下手，将不能解答与证明。如果有了定理这样才能按照所需定理一步一步地证明与解答，像检察机光一样有法可依。

二、如何在教学中教好定理与运用理解定理

1．加强理解是运用好定理的关键

运用好我们已经学过的定理必须要对每一个定理都要熟练，并能对它的含义和如何运用有一个完全的了解，只有这样才能运用好定理，并对定理产生深刻的理解。否则在证明过程中就会产生跳跃性的错误。

例如：已知：矩形ABCD；

求证：过矩形ABCD四个顶点能作一个圆。

这一题是证明过四个点作圆，需要运用到相关定理才能证明。

先连结矩形对角线AC﹑BD，交于O點。

∵四边形ABCD为矩形

∴AC=BD（矩形对角线相等）

AO=CO BO=DO（矩形对角线平分）

∴AO=CO=BO=DO

∴过矩形ABCD四个顶点可以作圆。

在练习过程中，学生如果用到“矩形对角线相等”这一定理就下结论，那么这样出现跳跃性的证明就是错误的证明。这就要求教师在教学中要引导学生很好地理解运用所学定理。

2．在教学中应该把相关联的定理有机地结合，让学生能理解与运用

首先，在我们初中学的数学定理中有许多是互为逆定理的，这要求我们在运用过程中要仔细分清。在初中数学中这样的互逆定理较多，如：平行四边形的性质定理与判定定理相关联，在教学过程中要强调清楚。当然，也有许多定理没有互逆定理，如：“对顶角相等”这一定理命题的逆命题是“相等的两个角角是对顶角”就是假命题。

其次，在同一内容中，有一些是几个定理对同一件事物的证明。例如：平行线的判定有三个定理从多方面论述的，其中有“同位角相等，两直线平行”；“内错角相，等两直线平行”；“同旁内角互补，等两直线平行”。而平行线的判定还可以用其它定理来加以论述。如“两直线与第三条直线平行，则这两条直线互相平行”。还可以用“平行四边行的对边平行”等定理来加以说明。这样定理教学就需要我们对同一种论证结论提出不同条件的情况都成立的定理加以有机的联系。对一个命题，分清它的逆命题与原命题之间的关系，并能理解哪些定理有逆定理，哪些没有。这就是一个知识点的纵向与横向联系，需要平时归纳理解好。

3．在证明题中用好定理，尽量简单地证明题目

在我们证明题时，同一个题有多种方法证明，那么这么多种方法到底选用哪种方法呢？也许有些题目使用不同的方法，解题步骤大致相同我们任选一种。而有些证明题使用不同的方法，其过程就会产生长短不一，相差甚远。

例如：如图，已知：AB=AC，AD=AE；求证：AD=AC。

一般来说，很多学生会采用证明两三角形全等的方法来证明，这样就比较复杂。而我在教学中就指导学生运用已学的线段垂直平分线的判定定理来证明。先过A点作AF⊥BC。

∵AB=AC AF⊥BC

∴BF=CF（到线段两边距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。）或者（等腰三角形三线和一。）

同理DF=EF

∴BF-DF=CF-EF

即BD=CE

这样把相关定理掌握好，能灵活运用，题目的证明就能准确有效。这就必须要求学生对所学定理能理解清楚，并灵活运用。只有这样，才能简单灵活地证明题目。

4．注意归纳，强化理解

对于一些相关联的定理在教学过程中一定要归纳总结清楚，这样学生在运用时才不会混淆，不知所云。归纳好了，实际运用就能信手拈来，不会弄错。例如：平行四边形的性质定理与判定定理，我们可归纳为一类。

因为它们都与平行四边形相关联，它们分别从平行四边形的对边﹑对角﹑对角线三个方面论述平行四边形，并且性质定理与判定定理又是互为逆定理。我们在证明一个四边形是否为平行四边形时就可以以对边﹑对角﹑对角线三个方面去考虑运用，而不至于乱用。要达到有效的﹑简单地证明题目，这就需要在教学中引导学生归纳理解初中所学定理，就像堆放杂物，不同类别放在不同地方，需要时能随手拿来。

5．加强对定理的理解，避免死记硬背

9.初中数学之韦达定理 篇九

韦达定理：对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，如果方程有两个实数根

bcx1,x2，那么x1x2,x1x2 aa

说明：定理成立的条件0

1.不解方程写出下列方程的两根和与两根差

（1）x23x100（2）3x25x10（3）2x43x220

2.如果一元二次方程x2mxn0的两根互为相反数，那么m；如果两根互为倒数，那么n=.3.若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为224.已知方程2x23x40的两根为x1，x2，那么x1x2

5.若方程x26xm0的一个根是32，则另一根是，m的值是 6.已知方程x23x20的两根为x1、x2，且x1 >x2,求下列各式的值:

2（1）x12x2；2（2）11 x1x2

（3）(x1x2)2；（4）(x11)(x21)7.已知关于x的方程x2(5k1)xk220，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。

8.关于x的方程2x28xp＝０有一个正根，一个负根，则p的值是（）

（A）0（B）正数（C）－8（D）－4

9.已知方程x22x1=0的两根是x1，x2，那么x12x2x1x221（）

(A)－7(B)3(C)7(D)－3

1110.已知方程2x2x30的两根为x1，x2，那么=（）x1x2

11(A)－(B)(C)3(D)－3 33

11.若方程4x2(a23a10)x4a0的两根互为相反数，则a的值是（）

(A)5或－2(B)5(C)－2(D)－5或2

12.若方程2x23x40的两根是x1，x2，那么(x11)(x21)的值是（）

115(A)－(B)－6(C)(D)－ 222

213.分别以方程x2x1=0两根的平方为根的方程是（）

（A）y26y10（B）y26y10

10.初中数学《勾股定理应用》教学设计 篇十

析)班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________ 1.已知等腰三角形的底边长为，腰长为，则这个三角形的面积为.【答案】12

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形 【解析】

试题分析：作底边上的高，根据等腰三角形三线合一和勾股定理求出高，再代入面积公式求解即可． 解：如图，作底边BC上的高AD，则AB=5cm，BD=×6=3cm，∴AD=，∴三角形的面积为：×6×4=12． 考点：1.勾股定理；2.等腰三角形的性质.2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．

【答案】2

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形 【解析】解：过点D作DH⊥AC，∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=∴EH=DH，∵EH+DH=ED，∴EH=1，∴EH=DH=1，又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC=，222

2，∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴AB=AE=2，∴AC=2+1+=3+，）+×1×（3+）=

． ∴S四边形ABCD=×2×（3+利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积．

3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是

A．5

【答案】D.B．10 C．12 D．13

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形 【解析】

试题分析：在Rt△CAE中，CE=5，AC=12，由勾股定理得：

又DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE=13.故选D.考点：1.勾股定理；2.线段垂直平分线的性质．

4.在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝9，则AB＝________．

【答案】15

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形 【解析】根据勾股定理，直接得出结果：AB＝

＝

＝

＝15.5.如图，在Rt△ABC∠B＝90°中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD＝1，则AC的长是()

A．2 C．4

B．2 D．4

【答案】A

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形 【解析】∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠ACB＝180°－30°－90°＝60° ∵DE垂直平分斜边AC ∴AD＝CD ∴∠A＝∠ACD＝30° ∴∠DCB＝60°－30°＝30° ∵BD＝1 ∴CD＝2＝AD AB＝1＋2＝3

在Rt△BCD中，由勾股定理得：CB＝在Rt△ABC中，由勾股定理得： AC＝故选A.＝2

.6.在Rt△ABC中，∠C=90,AC=“8,BC=6,” 则正方形ABDE的面积为（）0

A．10

【答案】D.B．25 C．28 D．100

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形 【解析】

试题分析：如图，∵∠C=90°，∴AB=BC+AC=100，即S正方形ABDE=100． 故选D.考点: 勾股定理.2227.在△ABC中,若AB=17,AC=8,BC=15,则根据______________可知∠ACB=_______________.【答案】勾股定理逆定理 90°

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】勾股定理逆定理是判定一个角是直角的重要方法，AC+BC=8+15=289=17=AB，根据勾股定理的逆定理说明AB的对角是90度.22

28.如图，在四边形ABCD中,AB=12cm,BC=3cm,CD=4cm,∠C=90°.(1)求BD的长;

(2)当AD为多少时,∠ABD=90°?

【答案】(1)5.(2)13

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】(1)在△BDC中，∠C=90°，BC=3cm，CD=4cm，根据勾股定理，BD=BC+CD，求得BD=5cm.(2)根据勾股定理的逆定理，三角形两边的平方和等于斜边的平方，则三角形是直角三角形，所以222AD=13时，可满足AD=BD+AB，可说明∠ABD=90°，AD==13.2

29.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（）A．1倍

【答案】B B．2倍 C．3倍 D．4倍

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】设原直角三角形的三边长分别是，且，则扩大后的三角形的斜边长为，即斜边长扩大到原来的2倍，故 选B.10.下列说法中正确的是（）

A．已知是三角形的三边，则B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方

C．在Rt△中，∠°，所以

D．在Rt△中，∠°，所以【答案】C

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】A.不确定三角形是不是直角三角形，故A选项错误；B.不确定第三边是否为斜边，故B选项错误；C.∠C=90°，所以其对边为斜边，故C选项正确；D.∠B=90°，所以，故D选项错误.11.已知两条线段的长分别为5cm、12cm，当第三条线段长为________时，这三条线段可以构成一个直角三角形.【答案】 cm或13 cm

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】根据勾股定理，当12为直角边长时，第三条线段长为第三条线段长为．

；当12为斜边长时，12.在△中，cm，cm，⊥于点，则_______.【答案】15cm

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】如图，∵ 等腰三角形底边上的高、中线以及顶角的平分线三线合一，∴∵∴.∵，∴.（cm）． 13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边

2长为7cm，则正方形的面积之和为___________cm.【答案】49

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】正方形A，B，C，D的面积之和是最大的正方形的面积，即49

．

14.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是 A．5，6，7

【答案】C

【考点】初中数学北师大版》八年级上》第一章 勾股定理》1.2 能得到直角三角形吗 【解析】

试题分析：根据勾股定理的逆定理依次分析各项即可.A、C、，B、，D、，均不能组成直角三角形； B．1，4，9 C．5，12，13 D．5，11，12，能组成直角三角形，本选项正确.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理

点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.15.请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于4+7？

【答案】等于

【考点】初中数学北师大版》八年级上》第一章 勾股定理》1.1 探索勾股定理 【解析】

试题分析：边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形.如图：

AC=4，BC=3，S正方形ABED=S正方形FCGH－4SRt△ABC =(3+4)－4××3×4=7－24=25 即AB=25，又AC=4，BC=3，AC+BC=4+3=25 ∴AB=AC+BC

S正方形ABED=S正方形KLCJ－4SRt△ABC=(4+7)－4××4×7=121－56=65=4+7 考点：本题考查的是勾股定理

点评：解答本题的关键是熟练掌握边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.2

11.初中数学《勾股定理应用》教学设计 篇十一

【关键词】拉格朗日中值定理 导数 单调性

1. 拉格朗日中值定理及其几何意义

拉格朗日中值定理是高等数学的一个重要定理，把该定理与高中数学的知识联系起来，这样不仅可以使我们加深对相关数学问题的理解，而且有助于我们更好的把握中学数学的本质，从而可以居高临下的处理教材，达到事半功倍的效果.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M]. 北京：高等教育出版社，2001.

[3]鲁凤娟.拉格朗日中值定理在高中数学证明不等式中的巧妙运用[J].数学通讯，2012，（2）：：31-32.

12.初中数学《勾股定理应用》教学设计 篇十二

一、“主题+例题”取解题之势

数学解题过程既包含了以获得问题答案为目标的大脑自适应工作加工过程[2],也包括了基于解决问题的方法感悟和总结的大脑自组织加工过程.数学解题学习是有意义学习,其实质应该是:数学的语言或符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当知识建立非人为的实质性的联系[3].因此,解题教学的“势”在于教会学生如何在新旧两方面之间建构起非人为和实质性的联系,这种联系包括新旧知识的同化与顺应、新旧问题意义的同化与顺应、新旧解题方法的同化与顺应、新旧解题策略的同化与顺应等.那在解题教学中具体该如何“取势”呢?

(一)明确主题顺势而为

数学解题教学要有“主题”,明确主题有利于细化目标、分解难度,可以避免杂乱无章与盲目重复.解题教学的“主题”可以从三个维度来确定.一是从知识系统的维度来选择“主题”,放眼全局保证解题教学不偏题;二是从重、难、易错点的维度来选择“主题”;三是从教育功能的维度来选择“主题”,发挥数学知识在解题中的工具作用,提升学生的解题思维层次[4].

向量是形与数的高度统一,它集几何图形的直观与代数运算的简捷于一身,在解决平面几何问题中有着奇特的功效.选择以“平面向量共线定理应用”为主题更是凸显了其在判断平面几何点、线之间位置关系上的工具作用.

(二)精选例题谋势而动

解题教学的主题是通过例题得以呈现的,例题选择也就显得尤为重要.选择例题不仅要考虑例题本身的教学价值,而且还要考虑学生已有的知识结构和理解能力.例题的选择一般遵循“入口宽,多层次”原则,即例题思考角度与解题方法的多样性,不会令学生感到无从下手;例题之间应具有层次性,由浅入深逐步展开,这种层次不仅体现在逻辑上,还应该体现出思维生成的层次性.

例1如图1,在平行四边形ABCD中,点E,F分别是AD,DC的中点,BE,BF分别与AC交于R,T两点,你能发现AR,RT,TC之间的关系吗(人教A版,P110)?

例2如图2,在△ABC中,,AD与BC交于M点,设

(1)试用a,b表示

(2)在线段AC上取一点E,线段BD上取一点F,使EF过M点,设

例3如图3所示,点A,B,C是半径为1的圆O上的三点,线段OC与线段AB交于圆内一点M,若,m+n=2,则OM的长度为____.

变式1给定两个长度为1的平面向量,它们的夹角为120°.如图4所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若,其中x,y∈R,则x+y的最大值是____.

变式2如图5所示,A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D,若,则m+n的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,+∞)

C.(-∞,-1)D.(-1,0)

意图:例1既可以用传统的几何法,又可以用向量法(共线定理),通过制造“解法选择”上的困惑,为后续的解题“造势”;例2用传统的几何法就很难有所作为,从而说明向量法在解题上更具一般性;通过变式,进一步熟悉共线定理的应用,达到熟能生巧的目的.

二、“尝试+碰撞”明解题之道

解题教学中的“非人为和实质性联系”不可能通过接受学习来获得,也不可能靠教师讲解几个例题,就可以依葫芦画瓢地解决所有的问题.它应该是学习者在解题过程中独立感悟出来的,是在亲身实践中积极探索、努力发现、不断概括、逐步积累才能获得,这就是解题教学之“道”.

(一)尝试解答自主求道

先让学生尝试解答,让学生在原有知识的基础上,通过自己努力寻求问题的解决之道.在尝试过程中,不仅可以暴露学生思维和潜在的问题,又可以使学生自主完成内化过程,而这正是教师把正确解法直接灌输给学生所无法实现的.

对于例1,易猜得AR=RT=TC,学生很容易想到传统的几何法:通过证明三角形相似或者联结BD,利用R,T重心性质就可以快速得到所需的结果.相比而言,向量法就不那么简洁.若教师为了快速达成解题目标,强行推销向量法,就显得“名不正言不顺”,反而无法使学生信服.本题起到抛砖引玉的作用,让学生认识到向量法可以解决平面几何问题.

(二)碰撞交流合作辨道

解答方法与策略并不是靠教师强行灌输,学生模仿接受就可以实现掌握和领悟的.解题方法的孰优孰劣要在思维的碰撞中,在比较辨别中才能见分晓.只有那些学生认为实用的,方便快捷的解题方法才会被主动纳入原有的认知结构中.

例2经过尝试,学生发现传统的几何法面对这类“点”位置不是特殊的图形就显得无能为力.借此机会,教师可以引导学生尝试用向量法,通过合作学习、成果展示的形式明确向量法的解题步骤.至此,学生发现向量法与几何法相比更具一般性与灵活性,从而明确了此类题目的“道”.

三、“熟用+活用”优解题之术

“术”的基本解释是方法、技艺,如技术、艺术、学术、战术、心术等,是知识、经验、技术、方法、手段等的集合体,“术”也可以是提高办事效果和效率的技巧[1]6.学生“明道”后,接下去就是把例题的解法提炼成一般的操作方法和策略,从而掌握“一类题目”或者“一堆题目”的解法,这就是解题教学中的“术”.

(一)熟用性质形成技术

在反复的运用相同的解题方法与技巧的过程中,学生会逐步领悟解题方法的精髓,进而不断总结相关规律与方法,最终形成完整的解题技术.

总结例2可以得到以下结论:解此类题目的关键是找到两组满足三点共线条件的点,然后联立方程,最后解方程;涉及的主要思想方法有待定系数法、基底思想、等价转化思想.至于例3,只要熟用共线定理就可解决.

方法1得OC的中点与A,B点共线.由于M是OC与AB的交点,所以M就是OC的中点,所以

方法2,因为A,B,M三点共线,所以

(二)活用变式优化战术

变式能够让事物非本质属性处于经常变换中,而使其稳定的本质属性得到凸显.变式训练,可以排除非本质属性的干扰,消除思维定式导致的思维僵化,从而使学生的解题思维趋向灵活.

变式与例3在解题思路上并无二致,当然,对于选择题与填空题还可以“小题小做”.

变式1找特殊位置,当点C位于弧AB的中点处,,此时x=y=1圯x+y=2.若C在其他位置,如图6所示,根据向量加法的平行四边形法则,作图发现x,y值呈现“一增一减”的变化,并且减少的幅度比增加的幅度大,所以x+y<2,猜得x+y最大为2.

变式2由于点C在OD的反向延长线上,可得m+n值必为负,排除A,B选项.考虑特殊情况,当垂直,∠AOB=60°时,容易求得所以选C.

通过变式,不仅使共线定理的应用得到优化,而且学生还有了新的收获:“找特殊位置,关注临界状态”是解决动态问题的简便方法.

最后需要指出,在解题教学中要辩证地看待“取势、明道、优术”的关系———“取势务虚,明道求实,虚实结合,方可行事;以道统术、以术得道,相得益彰[5].因此,取势、明道、优术并重,数学解题教学方能有所突破.

摘要：“取势”就是明确教学目标,甄选教学主题“;明道”就是分析问题特征,发现解题思路;“优术”就是优化解题方法,形成思维体系.在数学解题教学中,“取势、明道、优术”并重,方能有所突破.

关键词：解题教学,取势,明道,优术

参考文献

[1]章建跃,陈向兰.数学教育之取势明道优术[J].数学通报,2014(10).

[2]张奠宙,等.数学教育学[M].南昌:江西教育出版社,1996:128-129.

[3]徐学兵.基于有意义学习理论指导下的数学解题教学[J].数学教学通讯,2013(6):23-25.

[4]吕增锋.例谈数学复习课选题“三维度”[J].中学教学教学参考,2013(4):15-17.

13.八年级数学教学设计勾股定理 篇十三

(1)掌握勾股定理;

(2)学会利用勾股定理进行计算、证明与作图;

(3)了解有关勾股定理的历史.

2、能力目标：

(1)在定理的证明中培养学生的拼图能力;

(2)通过问题的解决，提高学生的运算能力

3、情感目标：

(1)通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;

(2)通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育.

教学重点：勾股定理及其应用

教学难点：通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育

教学用具：直尺，微机

14.初中数学《勾股定理应用》教学设计 篇十四

学科：数学

年级：八年级

实验区：青岛 课题名称：§ 教材所在页：第

一、简介

1、北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》是一个趣味性较强的课题，它通过探索勾股定理、验证勾股定理、探索直角三角形的条件等活动，让学生通过观察、实践、推理、交流等获得结论，发展空间观念和推理能力。

2、通过《勾股定理》一章的思考与回顾，让学生掌握相关直角三角形的知识，并结合实际，学会运用勾股定理。

关键信息：

勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值。勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

二、学习者分析：

1、学生的年龄特点和认知特点：

八年级的学生正处在探索社会、探索人生的阶段，这个年龄段的学生非常喜欢探索未知的领域，对自然规律充满了新奇，喜欢接触新事物，学生潜能的唤醒、开掘与提升正处于重要阶段，但学生很少能看到事物的本质，很少能从事物的表面现象提炼出规律性的东西，这就需要教师正确的引导和启发。我们在提出问题时要找到很好的切入点，要引起学生好奇的兴趣，主动想探讨，想参与到课堂教学中去，通过自己的观察、研究，总结出自然规律，从而通过特殊案理了解自然存在的普遍现象，将数学的思维方式运用到生活中去，用数学的方式思考，使学生更成熟、更理性。

2、学习者在学习本课之前应具备的基本知识和技能：

了解全章关于勾股定理的相关知识，掌握判断一个三角形是直角三角形的条件。

三、教学/学习目标及其对应的课程标准：

1、经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。

2、掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题。

3、掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题。

4、通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值。

四、教育理念和教学方式：

1、为了使学生能更好的认识勾股定理、发展推理能力，教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，同时又安排了用拼图的方法验证勾股定理的内容，试图让学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现的过程，同时也渗透了代数运算与几何图形之间的关系（如将）

2、勾股定理的逆定理也有着重要的地位，但本章中不要求学生从逻辑上对定理与逆定理进行一般的认识，因此，教科书中并没有给出勾股定理逆定理的名称，而是称之为直角三角形的判别条件。教科书以历史上古埃及人做直角的方法引入“三角形的三边长如果满足a2+b2=c2，是否能得到一个直角三角形”的问题，然后通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件。

3、为了让学生更好的体会勾股定理及逆定理在解决实际问题中的作用，教科书提供了较为丰富的历史的或现实的例子来展示它们的应用，体现了它们的文化价值。限于学生已有的知识，有关应用中涉及的数均为完全平方数，本章更多关注的是对勾股定理的理解和实际应用，而不追求计算上的复杂。在学生学习了无理数后，可以再利用勾股定理解决一些涉及无理数运算的实际问题。

五、教学媒体和教学技术选用：

1、本次教学需要实物教具和多媒体课件的辅助。教具模型由教师课前制作。

2、教具模型和多媒体课件分别在本课的引入、议一议、做一做、感悟与收获等环节中得到应用，它们的使用可以更好的帮助学生认识图形，丰富直观，用来验证学生的空间想象，是学生的学习资源更为丰富。

六、.教学和活动过程：

整个教学过程叙述： 注：

本节课主要为回顾式数学教学活动，对教材第一章《勾股定理》进行全面回顾，本节需40分钟完成。【师】：直角三角形的角之间存在着怎样的关系？ 有一个角是直角，另外两个角的和是90度。【师】：直角三角形的边之间存在着怎样的关系？ 【师】：怎样判别一个三角形是直角三角形？ 【师】：什么是勾股数？ 【师】：常见的勾股数？ 【师】：请同学们来看几个典型事例，你能用所学过的勾股定理的知识来解决它们吗？[幻灯片]

1、向南走50米，再向西走30米，此时离出发点有多远？

2、测湖的宽度P15 第2题

3、课本P15 试一试

4、蚂蚁怎样走最近

5、电梯中的竹竿最多有多长？（课本P18）

6、利用勾股定理逆定理测零件是否合格。P10

七、课后反思：

本章的回顾与思考提出了四个问题，希望通过对这几个问题的回答达到输理本章内容、建立一定知识体系的目的。教学时，应首先鼓励学生独立思考，自己回顾所学内容，并尝试回答这几个问题。在对问题进行回答时，教师应关注学生运用自己的语言结实字节答案的过程，关注学生运用例子说明自己对有关知识的理解，而不是简单复述书上的结论，学生在反思与交流的过程中可以整理出本章的主要内容。

在教学中，教师不仅要引导学生回顾本章的知识，同时应重温这些知识尤其是勾股定理的获得与验证的过程，体会在结论获得和严整过程中数形结合的思想方法。要让学生在回顾的过程中体会勾股定理机器逆定理的广泛应用，了解历史。

15.例说数学公式、定理的教学设计 篇十五

问题是数学的心脏, 有了问题, 思维才有方向。在课堂教学中, 教师要适时设计一些具有层次性、针对性的问题, 让问题贯穿整个教学活动中, 进而促进学生积极思维.例如, 教学“三角形的中位线定理”时, 可以设计如下问题:

问题1:你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?这四个全等三角形能拼凑成一个平行四边形吗?

学生想出了这样的方法:顺次连接三角形每两边的中点, 看上去就得到了四个全等的三角形.

问题2:你有办法验证吗?

生1: (如右图) 沿DE、DF、EF将画在纸上的△ABC剪开, 看所得三角形能否重合.

生2:分别测量四个三角形的三边长度, 判断是否可利用“SSS”来判定三角形全等.

生3:分别测量四个三角形对应的边及角, 判断是否可利用“SAS、ASA或AAS”来判定全等.

问题3:以上验证方法存在误差, 如何利用推理论证的方法验证呢?

值得注意的是:在实际教学中, 设计的问题必须具备启发性、探索性和开放性, 既要让学生能通过探索和学习达到基本要求, 又要注意问题的层次性.

二、以探究实现合作

新课标指出:“有效的数学学习不能单纯依赖模仿和记忆, 动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.”因此, 在课堂教学中, 应以学生的自主探究、合作交流为主线, 鼓励学生积极主动地进行探究式学习.

例如, 教学“三角形的中位线定理”时, 可以引导学生进行以下证明.

已知:如右图, DE是ABC的中位线, 求证:DE//BC且

学生独立思考后教师启发:要证明两条直线平行, 可以利用“三线八角”的有关内容进行转化, 而要证明一条线段的长度等于另一条线段长度的一半, 则可采用将较短的线段延长一倍, 或者截取较长线段的一半的方法.

生1:如图, 延长DE到F使EF=DE, 连接CF.由△ADE≌△CFE (SAS) 得四边形DBCF为平行四边形, 得

生2:过点C作CF//AB交DE的延长线于点F.

生3:将ADE绕E点沿顺 (逆) 时针方向旋转180°, 使得点A与点C重合.

三、以创新见证奇迹

新教材中的有些探究活动具有很大的开放性, 有利于发挥学生的个性, 能充分体现探究创新性学习的特点.教师不能设定一个具体的“目标”让学生达到, 要允许学生走弯路, 走错路, 进而开放学生的探索思路.

例如, “三角形的中位线定理”学生创新证明如下:

生5:如图, 过点D作DF//BC交AC于点F, 则△ADF∽△ABC, 可得因此AE=AF, 即E点与F点重合, 所以

四、以拓展实现高效

数学中的很多内容都是密切联系、息息相关的, 只要教师在设计教学的过程中“瞻前顾后”, 就可以使得教学走向高效.

例如, 教学“三角形的中位线定理”, 就可以进行这样的拓展训练.

问题:任意一个四边形, 将其四边的中点依次连接起来, 所得新四边形有什么特征?证明你的结论. (学生积极思考发言, 师生共同完成题目.)

拓展:如果将上例中的“任意四边形”改为“平行四边形、矩形、菱形、正方形”, 结论会怎么样呢?

16.初中数学《勾股定理应用》教学设计 篇十六

关键词：高中数学;案例描述;教学反思

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）24-107-1

一、案例描述

1.设置情境。利用投影展示：如图，一条河的两岸平行，河宽d=1km，因上游突发洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及人员用船转运到正对岸的码头B处或其下游1km的码头C处。已知船在静水中的速度|vl|=5km/h，水流速度|v2|=3km/h。

2.提出问题。师：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑一下有关的问题，将各自的问题经小组（前后4人为一小组）汇总整理后交给我。

待各小组将题纸交给老师后，老师筛选几张有代表性的题纸通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的5个问题：

（1）船应开往B处还是C处？（2）船从A开到B、C分别需要多少时间？（3）船从A到B、C的距离分别是多少？（4）船从A到B、C时的速度大小分别是多少？（5）船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？

师：大家讨论一下，应该怎样解决上述问题？

大家经过讨论达成如下共识：要回答问题（1），需要解决问题（2），要解决问题（2），需要先解决问题（3）和（4），问题（3）用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题（4），问题（4）与问题（5）是两个相关问题，因此，解决上述问题的关键是解决问题（4）和（5）。

师：请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。

生：船从A开往B的情况，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小|v|及v1与v2的夹角θ。

生：船从A开往C的情况，|AD|=|v1|=5，|DE|=|AF|=|v2|=3，易求得∠AED=∠EAF=45°，还需求θ及v。我不知道怎样解这两个问题，因为以前从未解过类似的问题。

师：请大家想一下，这两个问题的数学实质是什么？

部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。

师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题？

……

3.解决问题。师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？

众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中试探一下。

师：请各小组研究在Rt△ABC中，任意两边及其对角这4个元素间有什么关系？

多数小组很快得出结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC。

师：a/sinA=b/sinB=c/sinC在非Rt△ABC中是否成立？

众学生：不一定，可以先用具体例子检验。若有一个不成立，则否定结论;若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。

师：这是个好主意。请每个小组任意做出一个非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各边的长和各角的大小，用计算器作为计算工具，具体检验一下，然后报告检验结果。

几分钟后，多数小组报告结论成立，只有一个小组因测量和计算误差，得出否定的结论。教师在引导学生找出失误的原因后指出：此关系式在任意△ABC中都能成立，请大家先考虑一下证明思路。

生：想法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。

生：因为要证明的是一个等式，所以应先找到一个可以作为证明基础的等量关系。

师：在三角形中有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？

学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：1.三角形的面积不变;2.三角形同一边上的高不变;3.三角形外接圆直径不变。

师：据我所知，从AC+CB=AB出发，也能证得结论，请大家讨论一下。

……

师：同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，请大家留意身边的事例，正弦定理能够解决哪些问题。

二、教学反思

在本课的教学中，教师立足于高效课堂模式，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。