必修⑤《1.1.1正弦定理》教案(共2篇)
1.必修⑤《1.1.1正弦定理》教案 篇一
教学设计示例(第一课时)
一、教学目标
1.掌握正弦定理及其向量法推导过程;
2.掌握用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.
二、教学重点正弦定理及其推导过程,正弦定理在三角形中的应用;
教学难点正弦定理的向量法证明以及运用正弦定理解三角形时解的个数的判定.
三、教学准备
直尺、投影仪.
四、教学过程
1.设置情境
师:初中我们已学过解直角三角形,请同学们回忆一下直角三角形的边角关系: 生:RtABC中有abc 22
2acsinA
bcsinB
atanAb
AB90
ab sinAsinB
师:对!利用直角三角形中的这些边角关系对任给直角三角形的两边或一边一角可以求出这个三角形的其他边与其他角.
师:在直角三角形中,你能用其他的边角表示斜边吗?
生:在直角三角形ABC中,cabc。sinAsinBsinC
师:这个式子在任意三角形中也是成立的,这就是我们今天要学的正弦定理(板书正弦定理).
2.探索研究
(1)师:为了证明正弦定理(引导学生复习向量的数量积),ababcos,式子的左边与要证明的式子有相似之处吗?你能否构造一个可以用来证明的式子.
生:如图,在锐角ABC中,过A作单位向量j垂直于,则j与的夹角为90A,j与的夹角为90C。
由向量的加法可得
对上面向量等式两边同取与向量j的数量积运算,得到
j
ACCBjAB
9090C)
90A)
asinCcsinA
同理,过点C作与垂直的单位向量j,可得
cb sinCsinB
∴abc sinAsinBsinC
师:当ABC为钝角三角形时,设A90,如图,过点A作与AC垂直的向量j,则j与的夹角为A90,j与的夹角为90C,同样可证得
abc sinAsinBsinC
师:课后同学考虑一下正弦定理还有没有其它的方法证明?
师:请同学们观察正弦定理,利用正弦定理可以解什么类型的三
角形问题?
生:已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角;已知两边和其中一边的对角,可以求出三角形的其他的边和角。
(2)例题分析
例1在ABC中,已知c10,A45,C30,求b(保留两个有效数字)bc且B180(AC)105 sinBsinC
csinB10sin105∴b19 sinCsin30解:∵
例2在ABC中,已知a4,b42,B45,求A。abasinB1得sinA sinAsinBb2
∵ABC中ab∴A为锐角∴A30 解:由
例3在ABC中,B45,C60,a2(1),求ABC的面积S。解:首先可证明:SABC
这组结论可作公式使用。
其次求b边 1111ahabsinCbcsinAacsinB。2222
A180(BC)75
∴由正弦定理,basinBsinA2(31)(2)4 2
∴SABC11absinC2(31)4()623 222
3.演练反馈
(1)在ABC中,一定成立的等式是()
A.asinAbsinBB.acosAbcosB
C.asinBbsinAD.acosBbcosA
(2)在ABC中,若a
Acos2bBcos2cCcos2,则ABC是()
A.等腰三角形B.等腰直角三角形
C.直角三角形D.等边三有形
(3)在任一ABC中,求证a(sinBsinC)b(sinCsinA)c(sinAsinB)0 参考答案:(1)C;(2)D;(3)证:由于正弦定理:令aksinA,BksinB,cksinC代入左边得:左边=k(sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinBsinAsinCsinAsinCsinB)0=右边
4.总结提炼
(1)三角形常用公式:ABC;S
弦定理以及下节将要学习的余弦定理。111absinCbcsinAcasinB;正222
a2RsinAabc(2);b2RsinB;2R(外接圆直径)sinAsinBsinCc2RsinC
a:b:csinA:sinB:sinC。
(3)正弦定理应用范围:
①已知两角和任一边,求其他两边及一角。
②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。
③几何作图时,存在多种情况。如已知a、b及A,求作三角形时,要分类讨论,确定解的个数。
2.必修⑤《1.1.1正弦定理》教案 篇二
教学目的:
⑴使学生掌握正弦定理 教学重点:正弦定理
教学难点:正弦定理的正确理解和熟练运用
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、引言:在直角三角形中,由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数,——提出课题:正弦定理、余弦定理
二、讲解新课:
正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等,即abc== =2R(R为△ABC外接圆半径)sinAsinBsinC
ab,sinB=,sinC=1cc 1.直角三角形中:sinA=
即c=abcabc,c=,c=. ∴== sinAsinBsinCsinAsinBsinC
2.斜三角形中
111证明一:(等积法)在任意斜△ABC当中S△ABC=absinCacsinBbcsinA 22
21abc 两边同除以abc即得:== 2sinAsinBsinC证明二:(外接圆法)如图所示,∠A=∠D∴
同理 aaCD2R sinAsinDbc=2R,=2R sinBsinC证明三:(向量法)
过A作单位向量j垂直于AC由AC+CB=AB
两边同乘以单位向量j 得 j•(AC+CB)=j•AB
则•+•=•
∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=| j|•|AB|cos(90A)
∴asinCcsinA∴
ac
= sinAsinC
sinC
sinB
sinA
sinB
sinC
cbabc
同理,若过C作j垂直于CB得: =∴==
正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题:1.两角和任意一边,求其它两边和一角;
2已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况: ⑴若A为锐角时:
无解absinA
一解(直角)absinA
bsinAab二解(一锐, 一钝)
ab一解(锐角)
已知边a,b和A
a 无解 a=CH=bsinA仅有一个解 CH=bsinA ab无解 ⑵若A为直角或钝角时: ab一解(锐角) 三、讲解范例: 例1 已知在ABC中,c10,A45,C30,求a,b和B 解:c10,A45,C30∴B180(AC)10 5accsinA10sin450 2 由 得 a0 sinAsinCsinCsin30 由 bc 得 sinBsinC csinB10sin1050620b20sin75205652 0 sinC4sin30 例2 在ABC中,b3,B600,c1,求a和A,C bccsinB1sin6001解:∵,sinC sinBsinCb2bc,B600,CB,C为锐角,C300,B900 ∴ab2c2 2例3 ABC中,c6,A450,a2,求b和B,C accsinA6sin450解: ,sinC sinAsinCa22 csinAac,C600或1200 csinB6sin750 当C60时,B75,b31,sinCsin600 csinB6sin150 当C120时,B15,b1 0 sinCsin60 b1,B750,C600或b31,B150,C1200 (2010广东理数)11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若 则sinC= 解:由A+C=2B及A+ B+ C=180°知,B =60°. 由正弦定理知,1,sinA 3即sinA .由ab知,AB60,则A30,C180AB180306090,sinCsin90 1四、课堂练习: asinAABC中,bsinBc sinC k,则k为() RRR(R为△ABC外接圆半径) ABC中,sin2A=sin2B+sin 2C,则△ABC为() ABCcos2A中,求证: a2cos2Bb21 1a2b 参考答案:, bsinBsinAasinBb(sinAa)2(sinBb)2 sin2Aa2sin2B 1cos2Ab a21cos2Bb2 cos2Acosa22Bb21a21 b2 五、小结正弦定理,两种应用 六、课后作业: sinAABC中,已知 sinCsin(AB)sin(BC),求证:a2,b2,c 2证明:由已知得sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B)·sin(A-B) cos2B-cos2C=cos2A-cos2B2cos2B=cos2A+cos2C 2 1cos2B1cos2A1cos2B2222 ∴2sinB=sin2A+sin2 C由正弦定理可得2b2 =a2 +c2 即a2,b2,c2 七、板书设计(略) 八、课后记: 第二课时:教材P46页例 1、例 2、例3 【必修⑤《1.1.1正弦定理》教案】推荐阅读: 高中数学 《正弦定理》教案1 苏教版必修08-03 正弦定理证明07-31 河北省衡水中学高中数学 1.1.1集合的含义与表示(一)学案 新人教A版必修08-21 高一必修一教案07-05 必修2历史教案07-12 高二语文必修四教案07-19 语文复习教案必修一07-22 必修二荷塘月色教案08-04 高一语文必修1教案08-13 高一信息技术必修教案08-19