不等式典型练习题

不等式典型练习题（精选12篇）

1.不等式典型练习题 篇一

不等式的证明典型例题分析

例1 已知，求证：．

证明 ∵

∴，当且仅当时等号成立．

点评 在利用差值比较法证明不等式时，常采用配方的恒等变形，以利用实数的性质例2 已知均为正数，求证.．

分析 由于所证不等式两端都是幂和积的形式，且

证明

这时为不等正数，不失一般性，设，.为正数，可选用商值比较法.，.由指数函数的性质可知，所以

即

例3 已知

求证：..，．

分析 不等式的左端是根式，而右端是整式，应设法通过适当的放缩变换将左式各根式的被开方式转化为完全平方式．

证明 ∵

∴，．

即．

两边开方，得．

同理可得三式相加，得．． ．

例4 设，求证：

分析 当所证结论在形式上比较繁杂时，一般都可采用分析法.证明 要证明

只要证

因为，故只要证

由于函数故只要证

即证

只要证

即证

在上是减函数，这是显然成立的，故原不等式成立.点评 分析法是一种不断探求要证明不等式成立的充分条件的方法，表述证明过程时应予以注意.例5 已知都是正数，求证：

（1）

（2）

分析 用综合法证明.证明（1）∵

都是正数，则，∴

∴，即

（2）∵

都是正数，则，点评

变形.例6

证明

点评

∴

用不等式的平均值定理证明不等式时，要注意定理的条件，还要注意为运用定理而作出的适当已知，且，求证：（1）；（2）（1）∵，∴

（2）

其中的放缩是以给出的条件或已证结果被运用作为思考的目标.3

2.不等式典型练习题 篇二

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 证明:对一切正整数n, 不等式a1·a2…an<2·n!恒成立.

(2) 证法一:放缩法证明.

评析:对于求和或求积形式的数列不等式的证明, 往往从通项入手进行放缩以便求和求积.问题的关键在于观察通项的特征和所证结论, 适当调整放缩程度才能放缩得恰到好处, 以便求和求积, 这是解决数列综合问题的常用方法和技巧.

证法二:加强不等式后用数学归纳法证明.

用数学归纳法证明上述不等式成立.

(1) 当n=1时, 不等式显然成立.

评析:此解法通过加强不等式, 将所求证的不等式放缩为一个等比数列再求和, 操作起来比放缩法更容易入手, 理解起来也具有一定的规律性, 因此加强不等式后用数学归纳法可以使问题简单化, 不失为解决此类问题的好方法.

证法三:递推法证明.

3.不等式专题练习 篇三

1.已知a=x2—x，b=x—2，则a与b的大小关系为_____________.

2.如果正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是__________.

3.若a>0，b>0，a+b=2.则下列不等式：①ab≤1；②a+b≤2；③a2+b2≥2；④1a+1b≥2.其中成立的是__________.（写出所有正确命题的序号）.

4.已知0

5.已知x>0，求2—3x—4x的最大值为__________.

6.已知0

7.已知函数y=x+1x—1，x∈（1，+∞）的值域是_____________.

8.已知x>0，y>0且1x+9y=1，使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围是__________.

9.若x+y—1=0（x>0，y>0），则y+1x+1的取值范围是__________.

10.已知点（3，1）和点（—4，6）在直线 3x—2y+m=0 的两侧，则 m的取值范围为__________.

11.已知x≥1，x—y+1≤0，2x—y—2≤0 则x2+y2的最小值是_______.

12.已知a≥0，b≥0，a+b=1，则a+12+b+12的范围是__________.

13.当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4<0恒成立，则m的取值范围是__________.

14.若关于x的方程4x+a·2x+a+1=0有实数解，求实数a的取值范围__________.

二、解答题

15.（1）求y=x2+7x+10x+1（x>—1）的值域；（2）求函数y=x2+5x2+4的值域.

16.过点（1，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交与A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程.

17.如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且

PQ过点C，其中AB=30米，AD=20米.记三角形花园APQ的面积为S.

（Ⅰ）当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值.

（Ⅱ）要使S不小于1600平方米，则DQ的长应在什么范围内？

18.某工厂要制造A种电子装置45台，B电子装置55台，为了给每台装配一个外壳，要从两种不同的薄钢板上截取，已知甲种薄钢板每张面积为2平方米，可作A的外壳3个和B的外壳5个；乙种薄钢板每张面积3平方米，可作A和B的外壳各6个，用这两种薄钢板各多少张，才能使总的用料面积最小？

19.已知不等式2x—1>m（x2—1）.（1）是否存在实数m，使得不等式对任意x∈R恒成立？

（2）若对于m∈[—2，2]，不等式恒成立，求实数x的取值范围.

20.已知关于x的不等式（kx—k2—4）（x—4）>0，其中k∈R.当k变化时，试求不等式的解集.

参考答案

一、填空题

1. a>b.

2. ab≥9.

3. ①③④.

4. 1.

5. 2—43.

6. 4.

7. [3，+∞）.

8. （—∞，16].

9. （12，2）.

10. （—7，24）.

11. 5.

12. [2+62，2].

13. m≤—5.

14. a≤2—22.

二、解答题

15.（1）[9，+∞）（2）[52，+∞）

16.解析：设截距式方程为：xa+yb=1，由题意，a>0，b>0代入（1，2）得：1=1a+2b≥21a·2b得ab≥8，当1a=2b时取等号，即a=2，b=4时.故面积S=12ab≥4，当a=2，b=4时面积最小.此时直线为：2x+y—4=0.

17.解：（Ⅰ）设DQ=x米（x>0），则AQ=x+20，

∵QDDC=AQAP，∴x30=x+20AP，∴AP=30（x+20）x

则S=12×AP×AQ=15（x+20）2x=15（x+400x+40）≥1200，当且仅当x=20时取等号

（Ⅱ）由S≥1600，得3x2—200x+1200≥0解得0

答：（Ⅰ）当DQ的长度是20米时，S最小，且S的最小值为1200平方米.

（Ⅱ）要使S不小于1600平方米，则DQ的取值范围是0

18.解：设用甲、乙两种薄钢板各x张，y张，

则可做A种外壳3x+6y个，B种外壳5x+6y个，所用钢板的总面积为z=2x+3y.依题得线性约束条件为：

3x+6y≥455x+6y≥55x，y∈N+

作出线性约束条件对应的平面区域依图可知，目标函数取得最小值的点为（5，5），且最小值zmin=25

19.解：（1）令f（x）=mx2—2x+1—m，原题等价于f（x）<0对任意实数恒成立的实数m的取值.

①若m=0则f（x）=2x—1>0，不是对任意实数恒成立.

②m≠0时，f（x）=mx2—2x+1—m图像开口向下m<0且判别式=4—4m（1—m）<0显然不成立.所以不存在实数m，使不等式对任意x属于全体实数恒成立.

∴不存在

（2）设f（m）=（x2—1）m—（2x—1）

要使f（m）<0在[—2，2]上恒成立，当且仅当

f（2）<0f（—2）<0

∴—1+72

20.当k=0时，A=（—∞，4）；

当k>0且k≠2时，A=（—∞，4）∪（k+4k，+∞）；

当k=2时，A=（—∞，4）∪（4，+∞）；

4.不等式练习题 篇四

（二）1.已知两个正数a、b的等差中项是5，则a、b的等比中项的最大值为

A.10B.25C.50

2.若a>b>0，则下面不等式正确的是（）A.D.100 222ababab2ababB.ab ab22ab

ab2ab2ababC.D.abab2abab2

a13.已知不等式(xy)()9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值是 xy

x14.若变量x,y满足约束条件yx 则z=2x+y的最大值为

3x2y5

A.1B.2C.3D.4

x3y30,5.若实数x，y满足不等式组2xy30,且xy的最大值为9，则实数m

xmy10,

A.2B.1C.1D.2

6.若对任意x0,a恒成立，则a的取值范围是__________.x3x12

ab7若实数a,b满足ab2，则33的最小值为_______。

5.不等式性质练习题 篇五

一、选择题

1、已知ab0，下列不等式恒成立的是（）

A.a2

b2

B.ab1C.1111

abD.ab2、已知a0,b1，下列不等式恒成立的是（）

A.a

ababB.aaaaaab2baC.bb2aD.bab3、若a,b,c,d四个数满足条件：1dc;2abcd;3adbc，则（）

Ab.cdaB.adc bC.dba cD.bdc a4、如果a,b,c满足cba,且ac0,则以下选项中不一定成立的是（）

A.abacB.cba0C.cb2ab2D.acac05、下列命题中正确的是（）

Aa.b,kN*akbkB.ab,c1

c1c1

ba

C.ab,cdab

cd2

D.ab0,cd0abdc6、如果a,b是满足ab0的实数，则（）

A.ababB.aa bC.aa b

D.abab

7、若a0,b0,则不等式b1

x

a的解为（）

A.1bx0或0x1aB.111111axbC.xa或xbD.xb或xa

二、填空题

8、若m0,n0,mn0,则m,n,m,n的大小关系为

9、若1ab1,2c3,则abc的取值范围是

10、若0a1,给出下列四个不等式，其中正确的是

1○

1log111a111a1aloga1a○2loga1alogaa

a1a

○3aa○4aaa11、已知三个不等式：1ab02

cad

b

3bcad，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可以组成个正确的命题。、设x,y为实数，且满足3xy2

8,4x2y9,则x3

12y

4的取值范围是

三、解答题、（1）设2a3,4b3,求ab,ab,ab2

13b,ab,a的取值范围。

（2）设二次函数fx的图像关于y轴对称，且3f11,2f23,求f3的最大值和最小值。

14、（1）已知

1a0,A1a2,B1a211

2,C1a,D1a，试将A,B,C,D按从小到大的顺序排列，并说明理由。

bc0,比较aabbcc

与abc

abc

（2）已知a3的大小。

15、火车站有某公司待运的甲种货物1530t,乙种货物1150t。现用A,B两种型号车厢共50节

运送这批货物。已知35t甲种货物和

6.不等式组练习题2 篇六

3x32x1x,23 1[x2(x3)]1.2

x15x3,22.若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围． 2x2xa3

3.某零件制造车间有20名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．

(1)若此车间每天所获利润为y(元)，用x的代数式表示y．

7.一元一次方程和不等式巩固练习 篇七

8.如图4，一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2的图象相交于A（3，2），则不等式（k2-k1）x +b2-b1>0的解集为__________. 图4

9.如果x，y满足不等式组x≤3x+y≥0x-y+5≥0，那么你能画出点（x，y）所在的平面区域吗？

10.我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元则六折优惠.且甲乙两厂都规定一次印刷的数量至少是500份.

（1）分别求两个印刷厂收费y（元）与印刷数量x（份）的函数关系，并指出自变量x的取值范围.

8.基本不等式专项练习题高中数学 篇八

一、选择题

1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是

A．x＋12x B．x2－1＋1x2－1

C．2x＋2－x D．x(1－x)

答案：C

2．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是()

A．32－3 B．－3

C．62 D．62－3

解析：选D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)3(22－1)＝62－3.

3．已知m、nR，mn＝100，则m2＋n2的最小值是()

A．200 B．100

C．50 D．20

解析：选A.m2＋n22mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．

4．给出下面四个推导过程：

①∵a，b(0，＋)，ba＋ab2baab＝2；

②∵x，y(0，＋)，lgx＋lgy2lgxlgy；

③∵aR，a0，4a＋a 24aa＝4；

④∵x，yR，，xy＜0，xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]－2－xy－yx＝－2.

其中正确的推导过程为()

A．①② B．②③

C．③④ D．①④

解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．

①∵a，b(0，＋)，ba，ab(0，＋)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；

②虽然x，y(0，＋)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的；

③∵aR，不符合基本不等式的条件，

4a＋a24aa＝4是错误的；

④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．

5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()

A．2 B．22

C．4 D．5

解析：选C.∵1a＋1b＋2ab2ab＋2ab222＝4.当且仅当a＝bab＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.

6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()

A．最大值64 B．最大值164

C．最小值64 D．最小值164

解析：选C.∵x、y均为正数，

xy＝8x＋2y28x2y＝8xy，

当且仅当8x＝2y时等号成立．

xy64.

二、填空题

7．函数y＝x＋1x＋1(x0)的最小值为________．

答案：1

8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．

解析：1＝x＋4y4y＝4xy，xy116.

答案：大 116

9．(高考山东卷)已知x，yR＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．

解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y42xy12，xy3.

当且仅当x3＝y4时取等号．

答案：3

三、解答题

10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；

(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．

解：(1)∵x＞－1，x＋1＞0.

y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5

2 x＋14x＋1＋5＝9，

当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．

x＝1时，函数的.最小值是9.

(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1

＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，x－1＞0.

(x－1)＋9x－1＋22x－19x－1＋2＝8.

当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立，

y有最小值8.

11．已知a，b，c(0，＋)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)8.

证明：∵a，b，c(0，＋)，a＋b＋c＝1，

1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca2bca，

同理1b－12acb，1c－12abc，

以上三个不等式两边分别相乘得

(1a－1)(1b－1)(1c－1)8.

当且仅当a＝b＝c时取等号．

12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．

问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．

解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米．

总造价f(x)＝400(2x＋2200x)＋100200x＋60200

＝800(x＋225x)＋12000

1600x225x＋12000

＝36000(元)

当且仅当x＝225x(x＞0)，

9.一元一次不等式和分式练习题 篇九

1、已知2a和32a的值的符号相反，那么a的取值范围是：

2、.当m________时，不等式(2－m)x＜8的解集为x＞

82m

.3、生产某种产品，原需a小时，现在由于提高了工效，可以节约时间8%至15%，若现在所需要的时间为b小时，则____________< b <_____________.4、若干学生分宿舍，每间 4 人余 20 人，每间 8 人有一间不空也不满，则宿舍有（）间．

A、5 B、6C、7 D、8

5、x为何值时，代数式

6、设关于x的不等式组

2xm23x2m1

3(x1)的值比代数式

x13

3的值大.无解，求m的取值范围．

7、某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，•售价14.5万元．每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变．•现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元不高于200万元．

（1）该公司有哪几种进货方案？

（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？

8、当x时，分式

1a

1bx

x

4

x2

无意义；当x时，分式

x

4

x2的值为零．

9、已知3,求

2a3ab2ba2abb的值。

10、将分式

xy

中的x、y的值同时扩大3倍，则 扩大后分式的值（）

A.扩大3倍B.缩小3倍C.保持不变D.无法确定

11、关于x的方程

2x2



axx

4



3x2

会产生增根,则a的值。

12、一水池有甲乙两个进水管,若单独开甲、乙管各需要a小时、b小时可注满空池；现两管同时打开，那么注满空池的时间是()A．

2a2a1

1a



1b

B．

1ab

C．

x

1ab

D．

2x4x2

abab13、（1）(a1)

a1a2a

1（2）

2x4

x

(x2)

10.实数与数轴典型习题解读 篇十

一、实数与数轴

例1（1）如图1，数轴上表示数 的点是.

（2）如图2，数轴上点P表示的数可能是（）.

Ａ． Ｂ． - 3.2Ｃ． -Ｄ． -

（3）如图3，数轴上表示1， 的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（）.

A. 2 - B.- 2

C. - 1D. 1 -

解析：（1）点B.

（2）C.

（3）依题意，得CA = AB =- 1，

∴OC = OA - CA = 1 - （ - 1） = 2 - .故应选A.

点评：利用估算或借助计算器可迅速获得（1）“由数寻点”，（2）“由点找数”的结果；第（3）题要注意数形结合，利用中心对称图形的性质.从本题可体会到数轴上的点并不都表示有理数，有理数和数轴上的点不是一一对应的，从而加深对“实数与数轴上的点是一一对应的”这一性质的认识.

二、实数的分类

例2把下列实数按要求进行分类.

-， ，0.3， ±， ， -， 3.14， ， ，0.212 112 111 211 112…，5.181 881 888，0.

有理数：；

无理数：.

解析：实数可分为有理数和无理数两类，根据有理数（整数与分数）与无理数的意义进行分类.

有理数：0.3， ±， -， 3.14， ，5.181 881 888，0；

无理数： -， ， ， ，0.212 112 111 211 112….

点评：判断一个实数是有理数还是无理数，要根据其结果，而不是看它的形式.例如带根号的数不一定是无理数， ± =±就是有理数中的分数；写成分数形式的 ， 不是有理数中的分数，而是无理数.对无理数要抓住“无限”与“不循环”这两个特征，缺一不可.课本中学习的无理数主要是：①被开方数是开方开不尽的数，如 ， 等；②特定意义的数，如圆周率π；③还有一类是特定结构的无限不循环小数，如0.212 112 111 211 112….注意5.181 881 888是一个有限小数，属于有理数中的分数.

三、实数的计算

例3求值：+ - |π - |.（精确到0.01）

解析：可直接一次用计算器计算，最后按题目要求写出结果.原式≈2.17.

点评：有理数的运算性质及运算律在实数范围内仍然适用.用计算器求一个数的立方根时，应先按第二功能键，再按书写顺序按键.

四、本章亮点题

所谓“亮点题”，就是试题回归课本，突出基础，但题目的形式与提出问题的方式较为新颖或有所创新，体现一定的开放性与灵活性，体现对同学们能力的考查，体现新课程标准的基本理念.现以《数的开方》一章中的试题为例介绍如下.

1． 开放题

例4写出一个有理数和无理数，使它们都是大于 - 2的负数：.

解析：答案不唯一，如 - 1和 -等.

点评：这类试题对培养同学们的发散思维能力，概念辨析能力都十分有益.

2． 类比联想题

例5联想学过的平方根与立方根的意义，试求 ± = ，=.

解析：联想学过的平方根与立方根的意义，不难想到 ±应该表示625的四次方根，因为（ ± 5）= 625，所以 ± =± 5；应该表示 - 32的五次方根，因为（ - 2） = - 32，所以= - 2.

点评：开方的结果叫方根，《数的开方》一章中我们只学习了最简单的开平方与开立方，同学们如能通过学习、类比平方根与立方根，了解四次方根、五次方根，乃至n次方根的意义、性质及求法，才是新课程标准所希望的.

3． 新定义题

例6定义运算“@”的运算法则为:x @ y =，则（2 @ 6）@ 8 =.

解析：根据所给的运算法则，原式 = @ 8 = 4 @ 8 = =6.

点评：解这类题的关键，是读懂题意，利用转化这一重要的数学思想，把题目中新定义的运算法则，转化为我们学过的常规运算问题.

4． 探求规律题

例7图4中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤、…，则第n个等腰直角三角形的斜边长为.

解析：由图知，前4个等腰直角三角形的斜边长依次为 、=、=、=，因此，不难猜想第n个等腰直角三角形的斜边长为 .

例8用计算器计算， ，，…，请你猜测的结果为.

解析： 用计算器计算所给的三个算式，得= 10， = 100，= 1 000.

所以 =.

点评：探求规律的试题，是近年命题的一个热点.通过观察所给的算式，由特殊到一般进行分析、猜想、归纳，这是一种合情推理，有时还需要进行逻辑推理等探索过程.

5． 阅读理解题

观察以上计算结果，完成下列问题：

（1）（a为实数）一定等于a吗？你发现了其中的规律了吗？试用合适的语言描述出来.

（2）利用你总结的规律，化简 +（其中2 ＜ x ＜3）.

（3）实数a、b在数轴上的位置如图5，化简+ + |a + b|.

解析： 6，6，0，， .

（1） （a为实数）不一定等于a，其规律可用数学式子表达为 = |a|.

（2）因为2 ＜ x ＜ 3，所以x - 2 ＞ 0，x - 3 ＜ 0.故原式 = |x - 2| + |x - 3| =x - 2+3 - x = 1.

（3）观察数轴可知，a ＜ 0，b ＞ 0，a + b ＜ 0，故原式 = - a+b+（ - a - b） =

- 2a.

点评：本题以几道计算题为切入点，让同学们通过计算、观察，归纳出一般结论，再用所得的结论解决问题.考查了大家的阅读能力、归纳能力及应用所学知识解决问题的能力，渗透了由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的一般规律.

1. 课本中为说明数轴上的点并不都表示有理数，利用“边长为1的正方形的对角线为 ”，在数轴上找到了无理数所表示的点，如图6.那么这种利用图形直观说明问题的方式，体现的数学思想方法叫（）.

Ａ． 代入法Ｂ． 换元法

Ｃ． 数形结合Ｄ． 分类讨论

2. 在 -， ，π， - 1.010 010 001， 中，无理数的个数是（）.

A． 1B． 2C． 3D． 4

3.求下列各式的绝对值与相反数.

（1）1.73 -.（2）3.142 - π.

4. 用开平方或开立方的方法求下列各式中的x.

（1）（x+ 2）2 = 100.（2）（2 - x）3 + = 0.

5. 求值：+ - π.（保留两位小数）L

11.分式不等式练习 篇十一

f(x)f(x)f(x)00(或01）标准化：移项通分化为(或)；g(x)g(x)g(x)

f(x)0)的形式，g(x)

2）转化为整式不等式（组）

f(x)g(x)0f(x)f(x)0f(x)g(x)0；0 g(x)g(x)g(x)0

解分式不等式：

x52x3001、2、x4x2

2x312x104、3、x2x3

12.基本不等式专项练习题高中数学 篇十二

一、选择题

1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是

A.x+12x B.x2-1+1x2-1

C.2x+2-x D.x(1-x)

答案：C

2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()

A.32-3 B.-3

C.62 D.62-3

解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.

3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()

A.200 B.100

C.50 D.20

解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.

4.给出下面四个推导过程：

①∵a，b(0，+)，ba+ab2baab=2;

②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgxlgy;

③∵aR，a0，4a+a 24aa=4;

④∵x，yR，，xy<0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.

其中正确的推导过程为()

A.①② B.②③

C.③④ D.①④

解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑.

①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确;

②虽然x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;

③∵aR，不符合基本不等式的条件，

4a+a24aa=4是错误的;

④由xy<0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.

5.已知a>0，b>0，则1a+1b+2ab的最小值是()

A.2 B.22

C.4 D.5

解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.

6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()

A.最大值64 B.最大值164

C.最小值64 D.最小值164

解析：选C.∵x、y均为正数，

xy=8x+2y28x2y=8xy，

当且仅当8x=2y时等号成立.

xy64.

二、填空题

7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.

答案：1

8.若x>0，y>0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.

解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.

答案：大 116

9.(高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.

解析：∵x>0，y>0且1=x3+y42xy12，xy3.

当且仅当x3=y4时取等号.

答案：3

三、解答题

10.(1)设x>-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;

(2)求函数y=x2+8x-1(x>1)的最值.

解：(1)∵x>-1，x+1>0.

y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5

2 x+14x+1+5=9，

当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.

x=1时，函数的.最小值是9.

(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1

=(x-1)+9x-1+2.∵x>1，x-1>0.

(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.

当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，

y有最小值8.

11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.

证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，

1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，

同理1b-12acb，1c-12abc，

以上三个不等式两边分别相乘得

(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.

当且仅当a=b=c时取等号.

12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).

问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.

解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.

总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200

=800(x+225x)+1

1600x225x+12000

=36000(元)

当且仅当x=225x(x>0)，