一次函数单元测试题（共8篇）
1.一次函数单元测试题 篇一
一、选择题DBCAD ACDDB
二 、填空题
11.③⑥;
12.2;
13.(3，1);
14.y= ;
15.y= ;
16.4和6。
三、解答题
17.⑴I= ⑵R=20
18.不正确，应当设为k 、k
20.A (4,0) A (4 , 0) A (4 ，0)
21.(1)一次函数y=-x-1,反比例函数 y=- (2)图略
(3)当x-3或02时，一次函数的值大于反比例函数的值;
当-30或x2时，一次函数的值小于 反比例函数的值。
22.(1)y=- x+(2)
23.(1)A(-1,0)B(0,1)D(1,0)(2)y=x+1;y=
2.一次函数单元测试题 篇二
一、选择题
1.设等比数列{an}的前n项和为Sn, 若8a2+a5=0, 则下列式子中数值不能确定的是 () .
2.已知x>0, y>0, x, a, b, y成等差数列, x, c, d, y成等比数列, 则的最小值是 () .
(A) 4 (B) 2
(C) 1 (D) 0
3.若等比数列{an}的各项均为正数, 且a10a11+a9a12=2e5, 则ln a1+ln a2+…+ln a20等于 () .
(A) 50 (B) 25
(C) 75 (D) 100
4.设Sn是等比数列{an}的前n项和, 若, 则.
(A) 2 (B) 7/3
(C) 3/ (10) (D) 1或2
5.设Sn是等差数列{an}的前n项和, 且S1, S2, S4成等比数列, 则.
(A) 1 (B) 1或2
(C) 1或3 (D) 3
6.已知数列{an}满足a1=1, 且anan+1=2n, 则数列{an}的前20项的和为 () .
(A) 3×211-3 (B) 3×211-1
(C) 3×210-2 (D) 3×210-3
7.已知数列{an}满足 (n∈N*) , 则使不等式a2 016>2 016成立的所有正整数a1的集合为 () .
(A) {a1|a1≥2 016, a1∈N*}
(B) {a1|a1≥2 015, a1∈N*}
(C) {a1|a1≥2 014, a1∈N*}
(D) {a1|a1≥2 013, a1∈N*}
8.设数列{an}的前n项和为Sn, 且a1=a2=1, {nSn+ (n+2) an}为等差数列, 则{an}的通项公式an= () .
9.已知数列{an}满足:a1=1, (n∈N*) .若 (n∈N*) , b1=-λ, 且数列{bn}是单调递增数列, 则实数λ的取值范围是 () .
10.已知等差数列{an}中, a1>0, d>0, 前n项和为Sn, 等比数列{bn}满足b1=a1, b4=a4, 前n项和为Tn, 则 () .
(A) S4>T4 (B) S4<T4
(C) S4=T4 (D) S4≤T4
11.已知数列{an}的首项为a1=1, 且满足对任意的n∈N*, 都有an+1-an≤2n, an+2-an≥3×2n成立, 则a2 016= () .
(A) 22 015-1 (B) 22 015+1
(C) 22 016-1 (D) 22 016+1
12.在正项等比数列{an}中, , a6+a7=3, 则满足a1+a2+…+an>a1·a2·…·an的最大正整数n的值为 () .
(A) 12 (B) 10
(C) 8 (D) 6
二、填空题
13.在等差数列{an}中, a2=6, a5=15, 则a2+a4+a6+a8+a10=____.
14.已知等差数列{an}中, Sn为其前n项和.若a1+a3+a5+a7=-4, S8=-16, 则公差d=____;数列{an}的前____项和最大.
15.已知数列{an}满足a1=1, an=logn (n+1) (n≥2, n∈N*) , 定义:使乘积a1·a2·…·ak为正整数的k (k∈N*) 叫做“简易数”.
(1) 若k=3时, 则a1·a2·a3=____;
(2) 求在2 000内所有“简易数”的和为____.
16.将自然数按如下图排列, 其中处于从左到右第m列、从下到上第n行的数记为A (m, n) , 如A (3, 1) =4, A (4, 2) =12, 则A (1, n) =____;A (10, 10) =____.
三、解答题
17.已知等比数列{an}的前4项和S4=5, 且成等差数列.
(1) 求{an}的通项公式;
(2) 设{bn}是首项为2, 公差为-a1的等差数列, 其前n项和为Tn, 求满足Tn-1>0的最大正整数n.
18.已知数列{an}的前n项和为Sn, 且Sn+an=4, n∈N*.
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 已知cn=2n+3 (n∈N*) , 记dn=cn+logCan (C>0且C≠1) , 是否存在这样的常数C, 使得数列{dn}是常数列, 若存在, 求出C的值;若不存在, 请说明理由.
(3) 若数列{bn}, 对于任意的正整数n, 均有成立, 求证:数列{bn}是等差数列.
19.已知数列{an}的前n项和 (n=1, 2, 3, …) .
(1) 求a1的值;
(2) 求证: (n-2) an+1= (n-1) an-1 (n≥2) ;
(3) 判断数列{an}是否为等差数列, 并说明理由.
20. (理) 已知数列{an}的首项为1, 记f (n) =a1C1n+a2C2n+…+akCkn+…+anCnn (n∈N*) .
(1) 若{an}为常数列, 求f (4) 的值.
(2) 若{an}是公比为2的等比数列, 求f (n) 的解析式.
(3) 是否存在等差数列{an}, 使得f (n) -1= (n-1) 2n对一切n∈N*都成立?若存在, 求出数列{an}的通项公式;若不存在, 请说明理由.
(文) 在数列{an}中, a1=1, (n≥2, n∈N*) .
(1) 若数列{bn}满足 (n∈N*) , 求证:数列{bn}是等比数列;
21.已知直线ln:与圆Cn:x2+y2=2an+n交于不同的两点An, Bn, n∈N*.数列{an}满足:a1=1, .
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 若, 求数列{bn}的前n项和Tn;
(3) 记数列{an}的前n项和为Sn, 在 (2) 的条件下, 求证:对任意正整数n, .
22.已知数列{an}满足数列{an}的前n项和为Sn, bn=a2n, 其中n∈N*.
(1) 求a2+a3的值.
(2) 证明:数列{bn}为等比数列.
(3) 是否存在n (n∈N*) , 使得?若存在, 求出所有的n的值;若不存在, 请说明理由.
23.已知数列{an}的前n项和为Sn, 且an>0, (n∈N*) .
(1) 若bn=1+log2 (an·Sn) , 求数列{bn}的前n项和Tn;
(2) 若, 2n·an=tanθn, 求证:数列{θn}为等比数列, 并求出其通项公式;
九、不等式与线性规划
一、选择题
1.已知a>b>0, 则下列不等式成立的是 () .
2.已知p, q∈R, 则“q<p<0”是“”的 () .
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分又不必要条件
3.设a=log0.80.9, b=log1.10.9, c=1.10.9, 则a, b, c的大小关系是 () .
(A) a<b<c (B) a<c<b
(C) b<a<c (D) c<a<b
4.设a, b∈R, 则“ab>0且a>b”是“”的 () .
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分又不必要条件
5.若“x>0”是“不等式2a>a2-x成立”的必要不充分条件, 则正实数a的取值范围是 () .
(A) a>2 (B) a<4
(C) 2<a<4 (D) a>4
6.已知x, y∈ (0, +∞) , , 则的最小值为 () .
(A) 8/3 (B) 3
(C) 4 (D) 9
7.已知x, y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一, 则实数a的值为 () .
(A) 1/2或-1 (B) 2或1/2
(C) 2或1 (D) 2或-1
8.如果实数a, b满足条件则的取值范围是 () .
9.设关于x, y的不等式组表示的平面区域为D, 已知点O (0, 0) , A (1, 0) , 点M是D上的动点, , 则λ的取值范围是 () .
10.设变量x, y满足约束条件则z=|x-3y|的最大值为 () .
(A) 10 (B) 8
(C) 6 (D) 4
11.曲线y=1/x (x>0) 在点P (x0, y0) 处的切线为l, 若直线l与x, y轴的交点分别为A, B, 则△OAB的周长的最小值为 () .
12. (理) 已知满足条件x2+y2≤1的点 (x, y) 构成的平面区域的面积为S1, 满足条件[x]2+[y]2≤1的点 (x, y) 构成的平面区域的面积为S2, 其中[x], [y]分别表示不大于x, y的最大整数, 例如:[-0.4]=-1, [1.7]=1, 则S1与S2的关系是 () .
(A) S1<S2 (B) S1=S2
(C) S1>S2 (D) S1+S2=π+3
(文) 已知b>a>0, ab=2, 则的取值范围是 () .
(A) (-∞, -4] (B) (-∞, -4)
(C) (-∞, -2] (D) (-∞, -2)
二、填空题
13.一元二次不等式x2+ax+b>0的解集为x∈ (-∞, -3) ∪ (1, +∞) , 则一元一次不等式ax+b<0的解集为_____.
14.已知函数y=aex (其中a∈R) 经过不等式组所表示的平面区域, 则实数a的取值范围是____.
15.已知x, y满足条件若目标函数z=ax+y (其中a>0) 仅在点 (2, 0) 处取得最大值, 则a的取值范围是____.
16.已知函数f (x) 是R上的减函数, 且y=f (x-2) 的图象关于点 (2, 0) 成中心对称.若u, v满足不等式组则u2+v2的最小值为____.
三、解答题
17.已知命题p:方程表示焦点在y轴上的椭圆;命题q:双曲线的离心率e∈ (1, 2) .若p, q有且只有一个为真命题, 求实数m的取值范围.
18.一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比, 如果此船速度是10km/h, 那么每小时的燃料费是80元.已知船航行时其他费用为500元/时, 在100km的航程中, 航速为多少时船行驶的总费用最少?此时总费用为多少元?
19.某家电生产企业根据市场调查分析, 决定调整新产品生产方案, 准备每周 (按40个工时计算) 生产空调、彩电、冰箱共120台, 且冰箱至少生产20台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表:
问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台, 才能使产值最高?最高产值是多少? (以千元为单位)
20.设a为常数, 且a<1.
(1) 解关于x的不等式 (a2-a-1) x>1;
(2) 解关于x的不等式组
21.设函数, L为曲线C:y=f (x) 在点处的切线.
(1) 求L的方程;
(2) 当时, 证明:除切点之外, 曲线C在直线L的下方;
(3) 设x1, x2, x3∈R, 且满足x1+x2+x3=-3, 求f (x1) +f (x2) +f (x3) 的最大值.
十、三视图和立体几何
一、选择题
1.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3, 圆心角为的扇形, 则此圆锥的体积为 () .
2.a, b, c表示不同的直线, α表示平面, 下列命题正确的是 () .
(A) 若a∥b, a∥α, 则b∥α
(B) 若a⊥b, b⊥α, 则a⊥α
(C) 若a⊥c, b⊥c, 则a∥b
(D) 若a⊥α, b⊥α, 则a∥b
3.某几何体的三视图如图1所示, 该几何体的各面中互相垂直的面的对数是 () .
(A) 2 (B) 4
(C) 6 (D) 8
4.已知底面边长为1, 高为2的正六棱柱的顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为 () .
5.一个几何体的三视图如图2所示, 则这个几何体的体积为 () .
6.若某几何体的三视图如图3所示, 则此几何体的直观图是 () .
7.某四棱锥的三视图如图4所示, 其中正 (主) 视图是等腰直角三角形, 侧 (左) 视图是等腰三角形, 俯视图是正方形, 则该四棱锥的表面积是 () .
8.已知直线m和平面α, β, 则下列四个命题中正确的是 () .
(B) 若α∥β, m∥α, 则m∥β
(C) 若α∥β, m⊥α, 则m⊥β
(D) 若m∥α, m∥β, 则α∥β
9.某几何体的三视图如图5所示, 则该几何体的体积为 () .
(A) 48 (B) 32
(C) 16 (D) (32) /3
10.如图6, 在正四棱锥S-ABCD中, E, M, N分别是BC, CD, SC的中点, 动点P在线段MN上运动时, 下列四个结论:
①EP⊥AC;②EP∥BD;③EP∥平面SBD;④EP⊥平面SAC.
其中恒成立的为 () .
(A) ①③
(B) ③④
(C) ①②
(D) ②③④
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点E为底面ABCD上的动点.若三棱锥B-D1EC的表面积最大, 则E点位于 () .
(A) 点A处
(B) 线段AD的中点处
(C) 线段AB的中点处
(D) 点D处
12. (理) 如图7, 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, E, F分别是边AA1, CC1的中点, 点M是BB1上的动点, 过点E, M, F的平面与棱DD1交于点N, 设BM=x, 平行四边形EMFN的面积为S, 设y=S2, 则y关于x的函数y=f (x) 的解析式为 () .
(文) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, P为底面ABCD上一动点, 如果P到点A1的距离等于P到直线CC1的距离, 那么点P的轨迹所在的曲线是 () .
(A) 直线 (B) 圆
(C) 抛物线 (D) 椭圆
二、填空题
13.空间一线段的主视图、左视图、俯视图的长度均为, 则该线段的长度为____.
14.一个几何体的三视图如图8所示, 其中正 (主) 视图和侧 (左) 视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形, 则该几何体的外接球的表面积为____.
15.在四棱锥V-ABCD中, B1, D1分别为侧棱VB, VD的中点, 则四面体AB1CD1的体积与四棱锥V-ABCD的体积之比为____.
16. (理) 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, , BC=AA1=1, 点M为AB1的中点, 点P为对角线AC1上的动点, 点Q为底面ABCD上的动点 (点P, Q可以重合) , 则MP+PQ的最小值为____.
(文) 如图9, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点E是边BC的中点.动点P在直线BD1 (除B, D1两点) 上运动的过程中, 平面DEP可能经过的该正方体的顶点是____ (写出满足条件的所有顶点) .
三、解答题
17.如图10, 在四棱锥P-ABCD中, PD⊥平面ABCD, 又AD∥BC, AD⊥DC, 且PD=BC=3AD=3.
(1) 在图11所示的方框中画出四棱锥P-ABCD的正 (主) 视图;
(2) 求证:平面PAD⊥平面PCD;
(3) 求证:棱PB上存在一点E, 使得AE∥平面PCD, 并求PE/EB的值.
18.如图12, 在边长为12的正方形AA′A′1A1中, BB1∥CC1∥AA1, 且AB=3, 且BC=4, AA′1分别交BB1, CC1于点P, Q, 将该正方形沿BB1, CC1折叠, 使得A′A′1与AA1重合, 构成图13所示的三棱柱ABC-A1B1C1.在图13中:
(1) 求证:AB⊥PQ;
(2) 在底边AC上有一点M, 使得BM∥平面APQ, 求点M到平面PAQ的距离.
19.数学课上, 张老师用六根长度均为a的塑料棒搭成了一个正三棱锥 (如图14所示) , 然后他将其中的两根换成长度分别为的塑料棒, 又搭成了一个三棱锥, 陈成同学边听课边动手操作, 也将其中的两根换掉, 但没有成功, 不能搭成三棱锥, 如果两人都将BD换成了长为的塑料棒.
(1) 试问张老师换掉的另一根塑料棒是什么, 而陈成同学换掉的另一根塑料棒又是什么?请你用学到的数学知识解释陈成同学失败的原因.
(2) 试证平面ABD⊥平面BCD.
(3) 求新三棱锥的外接球的表面积.
20.在如图15所示的几何体中, 平面ACDE⊥平面ABC, CD∥AE, F是BE的中点, ∠ACB=90°, AE=2CD=2, AC=BC=1, .
(1) 求证:DF∥平面ABC;
(2) 求证:DF⊥平面ABE;
(3) 求三棱锥D-BCE的体积.
21.如图16, 在三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱AA1⊥底面ABC, M为棱AC的中点.AB=BC, AC=2, .
(1) 求证:B1C∥平面A1BM.
(2) 求证:AC1⊥平面A1BM.
(3) 在棱BB1上是否存在点N, 使得平面AC1N⊥平面AA1C1C?如果存在, 求此时BN/BB1的值;如果不存在, 请说明理由.
22.如图17所示, 在三棱柱ABC-A1B1C1中, AA1B1B为正方形, BB1C1C是菱形, 平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.
(1) 求证:BC∥平面AB1C1;
(2) 求证:B1C⊥AC1;
(3) 设点E, F, H, G分别是B1C, AA1, A1B1, B1C1的中点, 试判断E, F, H, G四点是否共面, 并说明理由.
十一、空间向量和立体几何
一、选择题
1.下列命题正确的是 () .
(A) 垂直于同一直线的两条直线互相平行
(B) 平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形
(C) 锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是钝角三角形
(D) 平面截正方体所得的截面图形不可能是正五边形
2.如图1, 在三棱锥D-ABC中, 点G是△ABC的重心, 记, 则用a, b, c表示.
3.已知平面α, β不重合, 直线, 那么“m⊥β”是“α⊥β”的 () .
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分又不必要条件
4.如图2, 在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中, 若.
(A) a+b+c
(B) 2a+2b+c
(C) a+2b+2c
(D) 2a+2b+2c
5.如图3, 一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发, 经正方体的表面, 按最短路线爬行到达顶点C1位置, 则图4中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正 (主) 视图是 () .
(A) ①② (B) ①③
(C) ②④ (D) ③④
6.在正三棱锥S-ABC中, M是SC的中点, 且AM⊥SB, 底面边长, 则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为 () .
(A) 6π (B) 12π
(C) 32π (D) 36π
7.某三棱锥的三视图如图5所示, 该三棱锥四个面的面积中最大的是 () .
8.如图6, 在四棱锥P-ABCD中, 其底面是边长为a的正方形, 已知PA⊥平面ABCD, 且PA=a, 则直线PB与平面PCD所成的角的余弦值为 () .
9.已知一个三棱柱, 其底面是正三角形, 且侧棱与底面垂直, 一个体积为的球与棱柱的所有面均相切, 那么这个三棱柱的表面积是 () .
10.三棱柱ABC-A1B1C1的直观图及三视图 (正 (主) 视图和俯视图是正方形, 侧 (左) 视图是等腰直角三角形) 如图7所示, D为AC的中点, 则二面角A-BC1-D的正切值为 () .
11.三棱锥S-ABC中, ∠SBA=∠SCA=90°, △ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形, 则以下结论中:
①异面直线SB与AC所成的角为90°;
②直线SB⊥平面ABC;
③平面SBC⊥平面SAC;
④点C到平面SAB的距离是.
其中正确结论的个数是 () .
(A) 1 (B) 2
(C) 3 (D) 4
12.如图9, 已知直线l⊥平面α, 垂足为O, 在△ABC中, BC=2, AC=2, , 点P是边AC上的动点.该三角形在空间按以下条件作自由移动: (1) A∈l, (2) C∈α, 则的最大值为 () .
二、填空题
13.如图10, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB⊥BC, AB=BC=BB1, 则平面A1B1C与平面ABC所成的二面角的大小为____.
14.点A, B, C, D在同一球面上, , AC=2, 若球的表面积为, 则四面体ABCD体积的最大值为____.
15.如图11, 在长方体ABCD-EFGH中, AD=2, AB=AE=1, M为矩形AEHD内的一点, 如果∠MGF=∠MGH, MG和平面EFG所成角的正切值为1/2, 那么点M到平面EFGH的距离是____.
16.如图12所示的一块长方体木料中, 已知AB=BC=4, AA1=1, 设E为底面ABCD的中心, 且, 则该长方体中经过点A1, E, F的截面面积的最小值为____.
三、解答题
17.如图13, 四边形ABCD是边长为2的菱形, ∠ABC=60°, PA⊥平面ABCD, AB=2PA.
(1) 求异面直线AC与PB所成角的余弦值;
(2) 求点A到平面PBC的距离.
18.如图14, PD垂直于梯形ABCD所在的平面, ∠ADC=∠BAD=90°.F为PA的中点, .四边形PDCE为矩形, 线段PC交DE于点N.
(1) 求证:AC∥平面DEF;
(2) 求二面角A-BC-P的大小;
(3) 在线段EF上是否存在一点Q, 使得BQ与平面BCP所成角的大小为π/6?若存在, 求出FQ的长;若不存在, 说明理由.
19.在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AA1=AB=AC=1, E, F分别是CC1, BC的中点, AE⊥A1B1, D为棱A1B1上的点.
(1) 证明:DF⊥AE.
(2) 是否存在一点D, 使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为?若存在, 说明点D的位置, 若不存在, 说明理由.
20.如图16, 已知等腰梯形ABCD中, AD∥BC, , E是BC的中点, AE∩BD=M, 将△BAE沿着AE翻折成△B1AE, 使平面B1AE⊥平面AECD.
(1) 求证:CD⊥平面B1DM;
(2) 求二面角D-AB1-E的余弦值;
(3) 在线段B1C上是否存在点P, 使得MP∥平面B1AD, 若存在, 求出的值;若不存在, 说明理由.
21.如图17, 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是平行四边形, PA⊥平面ABCD, 点M, N分别为BC, PA的中点, 且AB=AC=1, .
(1) 证明:MN∥平面PCD;
(2) 设直线AC与平面PBC所成角为α, 当α在 (0, π/6) 内变化时, 求二面角P-BC-A的取值范围.
十二、直线与圆、曲线与方程
一、选择题
1.已知直线l1:ax+y=1和直线l2:4x+ay=2, 则“a+2=0”是“l1∥l2”的 () .
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
2.若直线l1:2x+3y-1=0的方向向量是直线l2:ax-y+2a=0的法向量, 则实数a的值等于 () .
(A) 1 (B) 3/2
(C) 2 (D) 5/2
3.“|b|<2是“直线与圆x2+y2-4y=0相交”的 () .
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分又不必要条件
4.若经过点P (-1, 1) 的直线与圆x2+y2=2相切, 则此直线在y轴上的截距是 () .
(A) -2 (B) -1
(C) 1 (D) 2
5.已知圆C:x2+y2=4, 过点A (2, 3) 作C的切线, 切点分别为P, Q, 则直线PQ的方程为 () .
(A) 2x+3y+4=0 (B) 2x+3y-4=0
(C) 2x-3y-4=0 (D) 2x-3y+4=0
6.已知点A (-3, -2) 和圆C: (x-4) 2+ (y-8) 2=9, 一束光线从点A发出, 射到直线l:y=x-1后反射 (入射点为B) , 反射光线经过圆周C上一点P, 则折线ABP的最短长度是 () .
(A) 10 (B) 8
(C) 6 (D) 4
7.已知直线l:x, 点P (x, y) 是圆C: (x-2) 2+y2=1上的动点, 则点P到直线l的距离的最小值为 () .
8.已知圆C:x2+y2=1, 点M (t, 2) , 若C上存在两点A, B满足, 则t的取值范围是 () .
9.若直线与圆x2+y2=1相交于A, B两点, 则.
10.已知在圆M:x2+y2-4x+2y=0内, 过点E (1, 0) 的最长弦和最短弦分别是AC和BD, 则四边形ABCD的面积为 () .
11. (理) 已知曲线C:x2+y2+xy=1, 则下列说法中, 正确的个数有 () .
①曲线C关于x轴对称;②曲线C关于y轴对称;
③曲线C关于原点对称;④曲线C关于直线y=x轴对称.
(A) 1 (B) 2
(C) 3 (D) 4
(文) 已知两圆C1: (x+1) 2+y2=1与C2: (x-1) 2+y2=25, 动圆Μ与这两个圆都内切, 则动圆的圆心Μ的轨迹方程为 () .
12. (理) 如图1所示, 在平面直角坐标系xOy中, 点B, C分别在x轴和y轴非负半轴上, 点A在第一象限, 且∠BAC=90°, AB=AC=4, 那么O, A两点间距离的 () .
(A) 最大值是, 最小值是4
(B) 最大值是8, 最小值是4
(C) 最大值是, 最小值是2
(D) 最大值是8, 最小值是2
(文) 在平面直角坐标系xOy中, 圆C的方程为 (x-1) 2+ (y-1) 2=9, 直线l:y=kx+3与圆C相交于A, B两点, M为弦AB上一动点, 以M为圆心, 2为半径的圆与圆C总有公共点, 则实数k的取值范围为 () .
(A) 4 (B) 8
二、填空题
13.已知圆C的圆心在直线x-y=0上, 且圆C与两条直线x+y=0和x+y-12=0都相切, 则圆C的标准方程是____.
14.若圆C: (x-a) 2+ (y-a-1) 2=a2与x, y轴都有公共点, 则实数a的取值范围是____.
15.已知⊙O:x2+y2=1, 若直线y=kx+2上总存在点P, 使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直, 则实数k的取值范围是____.
16.动直线与曲线相交于A, B两点, O为坐标原点, 当△AOB的面积取得最大值时, k的值为____.
三、解答题
17.已知点F (-6, 0) , 直线l:x=-4与x轴的交点是圆C的圆心, 圆C恰好经过坐标原点O, 设G是圆C上任意一点.
(1) 求圆C的方程;
(2) 若直线FG与直线l交于点T, 且G为线段FT的中点, 求直线FG被圆C所截得的弦长.
18.如图2, 在平面直角坐标系xOy中, 点A (0, 3) , 直线l:y=2x-4, 设圆C的半径为1, 圆心在l上.
(1) 若圆心C也在直线y=x-1上, 过点A作圆C的切线, 求切线的方程;
(2) 若圆C上存在点M, 使MA=2 MO, 求圆心C的横坐标a的取值范围.
19.已知圆O:x2+y2=4, 点, 以线段AB为直径的圆内切于圆O, 记点B的轨迹为Γ.
(1) 求曲线Γ的方程;
(2) 直线AB交圆O于C, D两点, 当Β为CD的中点时, 求直线AB的方程.
20.在平面直角坐标系xOy中, 已知点A (-3, 4) , B (9, 0) , C, D分别为线段OA, OB上的动点, 且满足AC=BD.
(1) 若AC=4, 求直线CD的方程;
(2) 证明:△OCD的外接圆恒过定点 (异于原点O) .
21.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A, B.
(1) 求圆C1的圆心坐标;
(2) 求线段AB的中点M的轨迹C的方程;
(3) 是否存在实数k, 使得直线L:y=k (x-4) 与曲线C只有一个交点:若存在, 求出k的取值范围;若不存在, 说明理由.
十三、圆锥曲线
一、选择题
1.已知点P在焦点为F1, F2的椭圆上, 若∠F1PF2=90°, 则|PF1|·|PF2|的值等于 () .
(A) 10 (B) 20
(C) 30 (D) 40
2.若方程表示双曲线, 则实数k的取值范围是 () .
(A) (-2, 2)
(B) (3, +∞)
(C) (-2, 2) ∪ (3, +∞)
(D) (-2, +∞)
3.已知点A (3, 2) , F是抛物线y2=2x的焦点, 若点P在抛物线上运动, 当|PA|+|PF|取最小值时, 点P的坐标为 () .
(A) (2, 2) (B) (0, 0)
(C) (2, -2) (D) (1/2, 1)
4.双曲线 (a>0, b>0) 的一个顶点到一条渐近线的距离为a/2, 则双曲线的离心率为 () .
5.若双曲线 (a>0, b>0) 截抛物线y2=4x的准线所得线段长为b, 则a= () .
6.已知双曲线 (a>0, b>0) 与抛物线y2=4x有一个公共的焦点F, 且两曲线的一个交点为P.若|PF|=5/2, 则双曲线的渐近线方程为 () .
7.若直线ax+by-3=0与圆x2+y2=3没有公共点, 设点P的坐标为 (a, b) , 则过点P的一条直线与椭圆的公共点的个数为 () .
(A) 0 (B) 1
(C) 2 (D) 1或2
8.已知P是椭圆上的一点, 点M (m, 0) (m>0) , 则|PM|的最小值为 () .
9.已知双曲线C1: (a>0, b>0) 的离心率为, 一条渐近线为l, 抛物线C2:y2=4x的焦点为F, 点P为直线l与抛物线C2异于原点的交点, 则|PF|= () .
(A) 2 (B) 3
(C) 4 (D) 5
10.已知直线l:y=kx+3-k与双曲线有交点, 则实数k的取值范围是 () .
11.如图1, 已知双曲线C: (a>0, b>0) 的右顶点为A, O为坐标原点, 以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P, Q.若∠PAQ=60°且, 则双曲线C的离心率为 () .
12.已知双曲线C: (a>0, b>0) , 斜率为1的直线l过双曲线C的左焦点且与该曲线交于A, B两点, 若与向量n= (-3, -1) 共线, 则双曲线C的离心率为 () .
二、填空题
13.斜率为的直线与焦点在x轴上的椭圆 (b>0) 交于不同的两点P, Q.若点P, Q在x轴上的投影恰好为椭圆的两焦点, 则该椭圆的焦距为_____.
14.已知椭圆C: (a>0) 的左顶点、上顶点分别为A, B, 椭圆C的左焦点为F, 且△ABF的面积等于, 则椭圆C的方程为____.
15.点P到曲线C上每一个点的距离的最小值称为点P到曲线C的距离.已知点P (2, 0) , 若点P到曲线C的距离为.在下列曲线中:
符合题意的是_____ (填序号) .
16.已知椭圆C: (a>b>0) 的左、右顶点分别为A, B, 左、右焦点分别为F1, F2, 点O为坐标原点, 线段OB的中垂线与椭圆在第一象限的交点为P, 设直线PA, PB, PF1, PF2的斜率分别为k1, k2, k3, k4, 若, 则k3·k4=____.
三、解答题
17.已知椭圆C: (a>b>0) , 右焦点, 点在椭圆上.
(1) 求椭圆C的标准方程.
(2) 若直线y=kx+m (k≠0) 与椭圆C有且只有一个公共点M, 且与圆O:x2+y2=a2+b2相交于P, B两点, 问kOM·kPB=-1是否成立?请说明理由.
18.已知椭圆C: (a>b>0) , 经过点, 离心率是.
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 设直线l与椭圆C交于A, B两点, 且以AB为直径的圆过椭圆右顶点M, 求证:直线l恒过一定点.
19.已知椭圆C: (a>b>0) , 其左、右焦点分别为F1, F2, 右焦点在椭圆上.
(1) 求椭圆C的标准方程.
(2) 已知直线l:y=kx与椭圆C交于A, B两点, P为椭圆C上异于A, B的动点.
(i) 若直线PA, PB的斜率都存在, 证明:;
(ii) 若k=0, 直线PA, PB分别与直线x=3相交于点M, N, 直线BM与椭圆C相交于点Q (异于点B) , 求证:A, Q, N三点共线.
20.已知抛物线C的顶点为O (0, 0) , 焦点为F (0, 1) .
(1) 求抛物线C的方程;
(2) 过点F作直线交抛物线C于A, B两点.若直线AO, BO分别交直线l:y=x-2于M, N两点, 求|MN|的最小值.
21. (理) 已知椭圆C:, 点D为椭圆C的左顶点.对于正常数λ, 如果存在过点M (x0, 0) (-2<x0<2) 的直线l与椭圆C交于A, B两点, 使得S△AOB=λS△AOD, 则称点M为椭圆C的“λ分点”.
(1) 判断点M (1, 0) 是否为椭圆C的“1分点”, 并说明理由;
(2) 证明:点M (1, 0) 不是椭圆C的“2分点”;
(3) 如果点M为椭圆C的“2分点”, 写出x0的取值范围 (直接写出结果) .
(文) 已知椭圆C:x2+4y2=16.
(1) 求椭圆C的离心率;
(2) 设椭圆C与y轴下半轴的交点为B, 如果直线y=kx+1 (k≠0) 交椭圆C于不同的两点E, F, 且B, E, F构成以EF为底边, B为顶点的等腰三角形, 判断直线EF与圆x2+y2=1/2的位置关系.
参考答案
八、数列
1.D.
【变式】设等差数列{an}的前n项和为Sn, 若a5=5, 则S9= () .
(A) 9 (B) 45
(C) 90 (D) 不能确定
(答案:B.)
2.A.
【变式】已知x>0, y>0, x, a, b, y成等差数列, x, c, d, y成等比数列, 则的最小值是 () .
(A) 4 (B) 2
(C) 1 (D) 0
(答案:A.)
3.A.由a10a11+a9a12=2e5, 得a10a11+a10a11=2e5, 即a10a11=e5.又ln a1+ln a2+…+ln a20=ln (a1a2·…·a20) , 令T=a1a2·…·a20, 则T=a20a19·…·a1, 有T2= (a1a20) 20, 则T= (a1a20) 10= (a10a11) 10=e50, 从而ln T=50.
4.B.
【变式】设Sn是等比数列{an}的前n项和, 若.
(A) 2 (B) 6/5
(C) 0 (D) 0或6/5
(答案:D.)
5.C.
【变式】设Sn是等差数列{an}的前n项和, 且S1, S2, S4成等差数列, 则S9= () .
(A) 0 (B) 0或1
(C) 1或2 (D) 3
(答案:A.)
6.D.算得a1=1, a2=2, a3=2, a4=22, a5=22, …, a18=29, a19=29, a20=210, 所以.
【变式】已知数列{an}满足a1=1, 且an+an+1=3, 则数列{an}的前20项的和为 () .
(A) 1 (B) 2
(C) 30 (D) 90
(答案:C.提示:a1=1, a2=2, a3=1, a4=2, …, a19=1, a20=2, 所以S20=10 (1+2) =30.)
【点拨】把变形为 (an+1-1) 2- (an-1) 2=1, 构造等差数列{ (an-1) 2}求得 (an-1) 2后再求an, 是解决本题的基本思路, 也是解决此类问题的常用思路, 即把递推数列转化为基本数列 (等差数列、等比数列) 求通项, 常见有如下情形:
(1) an+1=pan+q, an+1=pan+kn+q, an+2=pan+1+qan型———通过待定系数法转化;
(2) an+1=pan+qn型———通过两边同除qn来转化;
(4) an+1=parn型———通过取对数转化.
【变式】已知数列{an}满足an+1=a2n-2an+2 (n∈N*) , 且a1=3, 则an= () .
(C) 2n-1 (D) 2n+1
【变式】设数列{an}中, a1=2, , 则通项an= () .
(A) n+1 (B) 2n
(C) 2+ln n (D) ln n
(答案:C.提示:累加法.)
【变式】已知 (n∈N*) , 则数列{an}的最大项是 () .
(A) a1 (B) a2
(C) a3 (D) a4
10.A.方法一:由a1>0, d>0, 得a1<a2<a3<a4, 有b1<b2<b3<b4, 则{bn}的公比q>1, 而b1=a1, b4=a4, 所以S4-T4= (a2+a3) - (b2+b3) = (a1+a4) - (b2+b3) = (b1+b4) - (b2+b3) =b1+b1q3-b1q-b1q2=b1 (q-1) (q2-1) >0, 即S4>T4.
方法二:取{bn}的前4项为1, 2, 4, 8;{an}的前4项为1, , 8, 则S4>T4.
【变式】已知{an}是等差数列, 记M=a1·a6, N=a3·a4, 则M, N的大小关系是 () .
(A) M>N (B) M<N
(C) M=N (D) M≤N
(答案:D.)
11.C.由an+1-an≤2n, 得-an+1+an≥-2n.而an+2-an≥3×2n, 两式相加, 得an+2-an+1≥3×2n-2n=2n+1, 即an+1-an≥2n.所以2n≤an+1-an≤2n, 则an+1-an=2n.又a1=1, 所以a1=1, a2-a1=21, a3-a2=22, …, anan-1=2n-1, 累加, 得.所以a2 016=22 016-1.
12.A.由, a6+a7=3, 得, 即q+q2-6=0, q>0, 所以q=2, 有an=2n-6, 数列{an}的前n项和Sn=2n-5-2-5, 而.于是, 由, 可求得n的最大值为12, 而当n=13时, 28-2-5>213不成立, 所以n的最大值为12.
13.90.
14.-2;3.
【变式】已知等差数列{an}的前n项和Sn=n2-7n, 则当n=____, Sn取得最小值.
(答案:3或4.)
15. (1) 2; (2) 2 035.a1·a2·a3=1×log23×log34=log24=2.
a1·a2·…·ak=1×log23×…×logk (k+1) =log2 (k+1) .
令log2 (k+1) =m, m≥2, m∈N*, 则k=2m-1.由k=2m-1≤2 000, 得m≤10.
所以在2 000内所有“简易数”的和.
16.;181.A (1, 1) =1, A (1, 2) -A (1, 1) =2, A (1, 3) -A (1, 2) =3, …, A (1, n) -A (1, n-1) =n, 则.所以.而A (2, 10) -A (1, 10) =10, A (3, 10) -A (2, 10) =11, A (4, 10) -A (3, 10) =12, …, A (10, 10) -A (9, 10) =18, 所以A (10, 10) =55+10+11+…+18=181.
【点拨】对于以数表形式出现的数列问题, 需要注意观察数表的呈现规律.如本题的数表, 发现第一列相邻两数之差依次为2, 3, 4, 5, …;第二列相邻两数之差依次为3, 4, 5, …;第一行相邻两数之差依次为1, 2, 3, 4, …;第二行相邻两数之差依次为2, 3, 4, 5, …;因而可运用累加法解之.事实上, 可得.
【变式】已知数列{an}是首项为1, 公比为1/2的等比数列.数列{bn}的项排列如下:
则数列{bn}的前n项和Sn=____ (用n表示) .
(2) 满足Tn-1>0的最大正整数为13.
18. (1) 由题意, 得a1=4-a1, 所以a1=2.
由Sn+an=4, 得当n≥2时, Sn-1+an-1=4.
所以数列{an}是以2为首项, 1/2为公比的等比数列.所以an=22-n (n∈N*) .
(2) 由于数列{dn}是常数列, 即dn=cn+logCan=2n+3+ (2-n) logC2=2n+3+2logC2-nlogC2= (2-logC2) n+3+2logC2为常数,
所以2-logC2=0, 解得, 此时dn=7.
所以数列{bn}是以为首项, 为公差的等差数列.
(3) 数列{an}是等差数列.理由如下:
因为n≥3, 所以an-2an-1+an-2=0, 即an-an-1=an-1-an-2 (n≥3) .
所以数列{an}是以1为首项, a2-1为公差的等差数列.
20. (理) (1) 因为{an}为常数列, 所以an=1 (n∈N*) .所以f (4) =C14+C24+C34+C44=15.
(2) 因为{an}是公比为2的等比数列, 所以an=2n-1 (n∈N*) .
所以f (n) =C1n+2C2n+4C3n+…+2n-1Cnn.
所以1+2f (n) =1+2C1n+22C2n+23C3n+…+2nCnn= (1+2) n=3n.
(3) 假设存在等差数列{an}, 使得f (n) -1= (n-1) 2n对一切n∈N*都成立.
设公差为d, 则f (n) =a1C1n+a2C2n+…+akCkn+…+an-1Cn-1n+anCnn,
且f (n) =anCnn+an-1Cn-1n+…+akCkn+…+a2C2n+a1C1n.
两式相加, 得2f (n) =2an+ (a1+an-1) (C1n+C2n+…+Ckn+…+Cn-1n) .
所以f (n) -1= (d-2) +[2+ (n-2) d]·2n-1= (n-1) 2n恒成立, 即 (d-2) + (d-2) (n-2) 2n-1=0, n∈N*恒成立.所以d=2.
故{an}能为等差数列, 使得f (n) -1= (n-1) 2n对一切n∈N*都成立, 它的通项公式为an=2n-1.
所以满足条件的最小正整数n等于15.21. (1) 圆Cn的圆心到直线ln的距离, 半径, 所以.
又a1=1, 所以{an}是首项为1, 公比为2的等比数列, 所以an=2n-1.
22. (1) 易得a2=1, a3=-3, 所以a2+a3=-2.
(2) bn+1=a2n+2=2a2n+1+4n=2 (-a2n-2n) +4n=-2a2n=-2bn.又b1=a2=1, 故数列{bn}是首项为1, 公比为-2的等比数列.
(3) 由 (2) 知bn= (-2) n-1, 所以b2n= (-2) 2n-1=-22n-1.
设cn=a2n+a2n+1 (n∈N*) , 则cn=-2n.
设f (x) =4x-2x2-2x-40 (x≥2) , 则g (x) =f′ (x) =4xln 4-4x-2, g′ (x) =4xln24-4>0 (x≥2) , 所以g (x) 在[2, +∞) 上单调递增.
所以g (x) ≥g (2) =f′ (2) >0, 即f′ (x) >0.所以f (x) 在[2, +∞) 上单调递增.
又因为f (1) <0, f (2) <0, f (3) =0, 所以仅存在唯一的n=3, 使得成立.
23. (1) 由题意, 得bn=1-2n, n∈N*, 其前n项和.
当n=1时, a1=S1, a1·a1=1/4.
因为an>0, 所以a1=1/2, tanθ1=1, θ1=π/4.
所以数列{θn}是等比数列, 首项为π/4, 公比为1/2, 其通项公式为, n∈N*.
(3) 由 (2) , 得, n∈N*, 它是个单调递减的数列.
对任意的n∈N*, cn≥m恒成立, 所以m≤ (cn) min.
所以数列c{}n是单调递增的, cn的最小值为c1=0, m≤ (cn) min=0.
因此, 实数m的取值范围是 (-∞, 0].
九、不等式与线性规划
1.D.
2.A.
【变式】已知a, b, c∈R, 则“a>b”是“ac2>bc2”的 () .
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分又不必要条件
(答案:B.)
3.C.
【变式】设a=log23, b=log34, c=log45, 则a, b, c的大小关系是 () .
(A) a<b<c (B) c<b<a
(C) b<a<c (D) c<a<b
4.A.5.C.
6.B.
【变式1】已知x, y∈ (-∞, 0) , 且x+y+3=0, 则的最大值为 () .
(A) - (8/3) (B) -3
(C) 8/3 (D) 3
(答案:B.)
【变式2】若两个正实数x, y满足, 且x+2y>a2-2a恒成立, 则实数a的取值范围是 () .
(A) (-2, 0) (B) (0, 4)
(C) (-2, 4) (D) (4, +∞)
(答案:C.)
7.D.由题意作出可行域如图1所示, 将z=y-ax化为y=ax+z, z相当于直线y=ax+z的纵截距.由题意, 得y=ax+z与y=2x+2或与y=2-x平行, 所以a=2或a=-1.故选D.
【变式】已知x, y满足则z=x+y取得最大值的最优解为 () .
(A) 1 (B) 2
(C) (0, 0) (D) (1, 1)
(答案:D.)
(A) (-1, 1]
(B) [-1, 1]
(C) (-∞, 1]
(D) [1, +∞)
(答案:B.提示:当x=0时, z=-1, 当x≠0时, 令单调递减, 则-1<z≤1.故-1≤z≤1.)
10.B.令b=x-3y, 则, 画出可行域知, 当直线过点 (-2, 2) 时, bmin=-2-3×2=-8;当直线过点 (-2, -2) 时, bmax=-2-3× (-2) =4.所以-8≤b≤4, 于是z=|b|∈[0, 8], 即zmax=8.
【变式】已知x, y满足|x|+|y|≤1, 则z=2|x|-|y|的最大值为 () .
(A) 2 (B) 3
(C) 4 (D) 6
(答案:A.提示:令X=|x|, Y=|y|, 则可行域变形为目标函数变形为z=2 X-Y.可知直线Y=2 X-z经过点 (1, 0) 时, zmax=2×1-0=2.)
13. (-∞, 3/2) .
【变式】一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为x∈ (-∞, -3) ∪ (1, +∞) , 则一元二次不等式cx2+bx+a>0的解集为____.
(答案: (- (1/3) , 1) .
14. (-∞, 1) .可行域Ω如图3中阴影部分所示, 函数y=aex的图象与y轴交于点 (0, a) .当a≥1时, y=aex不经过区域Ω;当a<1时, y=aex经过区域Ω.
【变式】若直线y=3x上存在点 (x, y) 满足约束条件, x≤m烅烄烆, 则实数m的取值范围是____.
(答案: (-1, +∞) .提示:x+y+4=0表示的边界为虚线.)
15. (3/2, +∞) .
【变式】已知x, y满足条件若存在无数组解 (x, y) 使得z=ax+y取得最大值, 则实数a的值等于____.
(答案:0或3/2.)
16.1/2.把函数y=f (x) 的图象向右平移2个单位长度得y=f (x-2) 的图象, 由y=f (x-2) 的图象关于点 (2, 0) 成中心对称, 知y=f (x) 的图象关于原点对称, 即f (x) 为奇函数且在R上单调递减.由
在uOv平面上画出可行域Ω, u2+v2为区域Ω上的点 (u, v) 与原点间距离的平方.而原点到直线u+v=1的距离, 于是u2+v2的最小值为.
【变式】已知奇函数f (x) 在R上单调递减, 且x, y满足则x2+y2+4y的取值范围为____.
(答案:[1, 37].提示:x2+y2+4y=[ (x-0) 2+ (y+2) 2]-4, 即点 (x, y) 与点 (0, -2) 间距离的平方, 再减去4.由图形 (图略) 知点 (x, y) 取 (1, 0) 时, 可得最小值, 取 (4, 3) 时, 可得最大值.)
17.实数m的取值范围是[1/3, 15) .
18.当航速为25km/h时, 总费用最少, 此时总费用为4 000元.
19.设每周生产空调x台、彩电y台, 则生产冰箱120-x-y台, 产值为z千元.
依题意, 得z=4x+3y+2 (120-x-y) =2x+y+240, 且x, y满足
可行域如图4所示.
让目标函数表示的直线2x+y+240=z在可行域上平移, 可得z=2x+y+240在M (10, 90) 处取得最大值, 即zmax=2×10+90+240=350 (千元) .
答:每周应生产空调10台, 彩电90台, 冰箱20台, 才能使产值最高, 最高产值是350千元.
②当时, 解原不等式, 得无解, 即其解集为;
(2) 依2x2-3 (1+a) x+6a>0, (*)
令2x2-3 (1+a) x+6a=0, (**)
可得Δ=9 (1+a) 2-48a=3 (3a-1) (a-3) .
①当时, Δ<0, 此时方程 (**) 无解, 解不等式 (*) , 得x∈R,
因此原不等式组的解集为{x|0≤x≤1}.
②当a=1/3时, Δ=0, 此时方程 (**) 有两个相等的实根,
解不等式 (*) , 得x≠1, 因此原不等式组的解集为{x|0≤x<1}.
ⅱ) 当a≤0时, 原不等式组的解集为Ø.
综上, 当a≤0时, 原不等式组的解集为Ø;当时, 原不等式组的解集为时, 原不等式组的解集为{x|0≤x<1};当1/3<a<1时, 原不等式组的解集为{x|0≤x≤1}.
因为5x2+16x+23>0,
所以只需证明, 5x3+11x2+7x+1<0恒成立即可.
令g′ (x) =0, 解得x1=-1, .
当x在上变化时, g′ (x) , g (x) 的变化情况如下表:
所以, 5x3+11x2+7x+1<0恒成立, 结论得证.
三式相加, 得.
因为x1+x2+x3=-3,
所以f (x1) +f (x2) +f (x3) ≤1/4, 且当x1=x2=x3=-1时取等号.
(ⅱ) 当x1, x2, x3中至少有一个大于等于时,
综上所述, 当x1=x2=x3=-1时, f (x1) +f (x2) +f (x3) 取到最大值1/4.
十、三视图和立体几何
1.B.
【变式】已知一个圆锥的侧面积为3π, 则其体积取得最大值时, 底面半径r= () .
2.D.
3.D.该几何体的直观图如图1所示 (可从正方体中截取) , 则与平面ABB1A1垂直的面有4个, 与平面DCC1D1垂直的面也有4个, 故互相垂直的面共有8对.
4.B.
【变式】正方体的外接球与内切球的体积之比为 () .
(答案:C.)
5.A.该几何体是一个底面半径为1, 高为的半圆锥与一个底面为边长是2, 高为的四棱锥的组合几何体, 其体积为.
【变式】已知某几何体的三视图如图2所示, 则该几何体的体积是 () .
(答案:D.)
6.B.
【变式】某三棱锥的正 (主) 视图如图3所示, 则这个三棱锥的俯视图是 () .
(答案:C.)
7.D.该四棱锥的直观图如图4, 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是对角线长为2的正方形, 高PA=2, 则BC⊥平面PAB⇒BC⊥PB, 而, 所以所求的表面积.
【变式】一个正四棱台的上、下底面是边长分别为2, 4的正方形, 高为1, 则该正四棱台的侧面积为 () .
(答案:B.)
8.C.
【变式】已知m和n是两条不同的直线, α和β是两个不重合的平面, 下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是 () .
(B) α⊥β且m∥α
(C) m∥n且n⊥β
(D) m⊥n且α∥β
(答案:C.提示:m∥n且n⊥β⇒m⊥β.)
9.B.
10.A.如图5, 设AC∩BD=O, AC∩EM=Q, 由AC⊥EM, AC⊥QN, EM∩NQ=Q, 得AC⊥平面EMN, EP⊂平面EMN, 有EP⊥AC, ①成立;由BD∥EM, EM∩EP=E, 得EP与BD异面, 则②不成立;可证得平面EMN∥平面BDS, EP⊂平面EMN, 得EP∥平面SBD, ③成立;当P与N重合时, ④不成立.
11.A.设正方体的棱长为1, 则为定值, 当点E在AD上时, S△BCE有最大值1/2, 当点E位于点A处时, S△BED1, S△CED1均取最大值, 这时三棱锥B-D1EC的表面积最大.
【变式】在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点E为底面ABCD上的动点.若三棱锥B-D1EC的体积最大, 则E点位于 () .
(A) 线段AB上
(B) 线段AD上
(C) 线段AB的中点处
(D) 线段BD上
(答案:B.提示:为定值, 考虑点E到平面BCD1距离的最大值.)
(文) A.方法一:设正方体的棱长为1, 点P到直线CC1的距离为PC=d, 则, 有PC2-PA2=1.以DA, DC分别为x轴, y轴的正半轴建立平面直角坐标系, 则A (1, 0) , C (0, 1) , P (x, y) , 有[x2+ (y-1) 2]-[ (x-1) 2+y2]=1, 即x-y=1/2为直线.
方法二:设正方体的棱长为1, 以D为原点, DA, DC, DD1分别为x轴, y轴, z轴的正半轴建立空间直角坐标系.设P (x, y, 0) , 而A1 (1, 0, 1) , C (0, 1, 0) , 由|PC|=|PA1|, 得|PC|2=|PA1|2, 即x2+ (y-1) 2= (x-1) 2+y2+1, 有x-y=1/2为直线.
13..在正方体ABCD-A1B1C1D1中, BD1的三视图分别为CD1, BC1, BD, 其长度均为 (a为正方体的棱长) .由, 得a=1, 这时.
【变式】空间一线段的主视图、左视图、俯视图的长度分别为, 则该线段的长度为___.
(答案:.提示:构造长方体.)
14.3π.该几何体是一个四棱锥 (正方体的一部分) , 其底面是边长为1的正方形, 高为1, 将其放置于一个棱长为1的正方体中, 则其外接球的直径, 球的表面积.
【变式】一个几何体的三视图如图6所示, 其中正 (主) 视图和侧 (左) 视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形, 则该几何体的内切球的半径为____.
【变式】设三棱锥A-BCD的体积为V, 以该三棱锥各棱的中点为顶点的多面体的体积为V′, 则.
16. (理) 34.要MP+PQ取得最小值, 点Q必在AC上, 且PQ⊥AC, 将平面AB1C1与平面ACC1翻折到同一个平面上 (如图7) , 则.
【变式】在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=2, BC=AA1=1, 点M为AB1的中点, 点P为对角线AC1上的动点, 点Q为底面ABCD上的动点 (点P, Q可以重合) , 则MP+PQ的最小值为____.
(答案:5/6.)
(文) A1, B1, D.平面A1DE、平面B1DE与直线BD1均相交, 而BD1∥平面C1DE (可取DC1的中点F, 通过BD1∥EF给出证明) , 于是平面DEP可能经过的该正方体的顶点是A1, B1, D.
17. (1) 图略.
(2) 证明略.
(3) 在棱PB上取一点E, 使得, 可使AE∥平面PCD.证明略.
18. (1) 由BB1⊥平面ABC, 得BB1⊥AB.
由AB=3, BC=4, AA′=12知, AC=5, 所以AB2+BC2=AC2, 即AB⊥BC.
又BC∩BB1=B, 所以AB⊥平面BCC1B1.
因为PQ平面BCC1B1, 所以AB⊥PQ.
(2) 因为BM∥平面APQ,
所以点M到平面PAQ的距离等于点B到平面PAQ的距离.
连结BQ, 构造三棱锥A-BPQ.
由△ABP为等腰直角三角形, 得BP=AB=3.
另一方面, 在题图12中, 由△ACQ为等腰直角三角形, 得CQ=AC=7.所以在题图13中, .
在△APQ中, 由余弦定理, 得.
设点B到平面PAQ的距离为d,
19. (1) 张老师换掉的另一根塑料棒是CD (或AD, BC, BA) , 而陈成同学换掉的另外一根塑料棒是AC.陈成同学想搭成的三棱锥中, 取AC中点E, 连结BE, DE.因为AB2+CB2=AC2=2a2, 所以BE是直角三角形ABC斜边上的中线, 得.同理.从而由, 不能构成三角形.
(2) 不妨设张老师换掉的另一根塑料棒是CD, 取BD中点F, 连结AF, CF.
因为△ABD是等腰三角形, 所以AF⊥BD.
又△BCD是直角三角形, 所以CF=BF=DF.
又AB=AC=AD, 所以△ABF≌△ACF, 从而AF⊥CF.又CF与BD确定平面BCD, 所以AF⊥平面BCD.又AF平面ABD, 所以平面ABD⊥平面BCD.
(3) 由 (2) 可知, 三棱锥的外接球的球心必在直线AF上.设球的半径为R, 因为, AB=a, 所以.由, 得R=a.
所以新三棱锥的外接球的表面积S=4πa2.
20. (1) 设M为AB的中点, 连结FM, CM.
在△ABE中, F为BE的中点, FM∥AE, FM= (1/2) AE.
又因为CD∥AE, 且, 所以CD∥FM, CD=FM.
所以四边形CDFM为平行四边形.所以DF∥CM.
因为DF平面ABC, CM平面ABC,
所以DF∥平面ABC.
(2) 在Rt△ABC中, AC=BC=1, 所以.
在△ABE中, AE=2, .
因为BE2=AE2+AB2, 所以△ABE为直角三角形.所以AE⊥AB.
已知平面ACDE⊥平面ABC, 平面ACDE∩平面ABC=AC.
又因为∠ACB=90°, 所以AC⊥BC.所以BC⊥平面ACDE.所以BC⊥AE.
又BC∩AB=B, 所以AE⊥平面ABC.因为CM平面ABC, 所以AE⊥CM.
在△ABC中, 因为AC=BC, M为AB的中点, 所以CM⊥AB.又AE∩AB=A, 所以CM⊥平面ABE.
由 (1) 知DF∥CM, 所以DF⊥平面ABE.
(3) 由 (2) 可知BC⊥平面ACDE, 所以BC为三棱锥B-CDE的高, 所以.
21. (1) 如图8, 连结AB1交A1B于O, 连结OM.
在△B1AC中, 因为M, O分别为AC, AB1的中点, 所以OM∥B1C.
又因为OM平面A1BM, B1C平面A1BM, 所以B1C∥平面A1BM.
(2) 因为侧棱AA1⊥底面ABC, BM平面ABC, 所以AA1⊥BM.
又因为M为棱AC的中点, AB=BC, 所以BM⊥AC.
因为AA1∩AC=A, 所以BM⊥平面ACC1A1.所以BM⊥AC1.
因为M为棱AC的中点, AC=2, 所以AM=1.
又因为, 所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中, .
所以∠AC1C=∠A1MA, 即∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°.
所以A1M⊥AC1.
因为BM∩A1M=M,
所以AC1⊥平面A1BM.
(3) 当点N为BB1的中点, 即时, 平面AC1N⊥平面AA1C1C.
设AC1的中点为D, 连结DM, DN, 如图9.
因为D, M分别为AC1, AC的中点,
所以DM∥CC1, 且.
又因为N为BB1的中点, 所以DM∥BN, 且DM=BN.所以四边形DMBN为平行边形边.所以BM∥DN.
因为BM⊥平面ACC1A1,
所以DN⊥平面ACC1A1.
又因为DN⊂平面AC1N,
所以平面AC1N⊥平面ACC1A1.
22. (1) 在菱形BB1C1C中, BC∥B1C1.
因为BC平面AB1C1, B1C1⊂平面AB1C1, 所以BC∥平面AB1C1.
(2) 连结BC1, 如图10.在正方形ABB1A1中, AB⊥BB1.
因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C, 平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1, AB⊂平面ABB1A1,
所以AB⊥平面BB1C1C.
因为B1C⊂平面BB1C1C, 所以AB⊥B1C.
在菱形BB1C1C中, BC1⊥B1C.
因为BC1∩AB=B, 所以B1C⊥平面ABC1.
因为AC1⊂平面ABC1, 所以B1C⊥AC1.
(3) E, F, H, G四点不共面.理由如下:
因为E, G分别是B1C, B1C1的中点, 所以GE∥CC1.
同理可证:GH∥C1A1.
因为GE⊂平面EHG, GH⊂平面EHG, GE∩GH=G,
CC1⊂平面AA1C1C, A1C1⊂平面AA1C1C,
所以平面EHG∥平面AA1C1C.
因为F∈平面AA1C1C,
所以F平面EHG, 即E, F, H, G四点不共面.
十一、空间向量和立体几何
1.D.2.D.3.A.4.B.
5.C.如图1, 通过翻折为平面的方法, 蚂蚁最短爬行路线有6种, ①中正方形内的线段应为虚线, ①错;②正确;排除A, B, D.③正方形内的线段应为实线.故选C.
6.B.在正三棱锥S-ABC中, 有SB⊥AC.又SB⊥AM, AC∩AM=A, 从而SB⊥平面SAC.由正三棱锥的对称性知SA, SB, SC两两互相垂直.将该正三棱锥放置于一个棱长为a的正方体中, 如图2.由2, 得a=2, 正三棱锥与正方体有相同的外接球.于是, 即, 外接球的表面积.
【变式】在正三棱锥S-ABC中, M是SC上一点, 且AM⊥SB, 底面边长, 则正三棱锥S-ABC的体积为 () .
(答案:B.提示:可得SA, SB, SC两两互相垂直, 所求体积.)
所以三棱锥四个面的面积中最大的是.
8.D.方法一 (补形作角法) :如图4, 将四棱锥补形为正方体, 取CE的中点M, 可证得BM⊥平面PECD.
所以∠BPM是直线PB与平面PCD所成的角, 而, 有.
方法三 (向量法) :设a=1, 以A为原点, AB, AD, AP分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系, 则.
设PB与平面PCD所成的角为θ, 则.
【点拨】“作角法”“距离法”“向量法”是求直线与平面所成的角的三种常用方法, 作角法是根据直线与平面所成角的定义, 作出其平面角再计算, 距离法是将其转化为距离, 通过sinθ=d/ PB求解, 向量法是通过求解.
9.C.设球的半径为r.由, 得r=1, 于是正三棱柱的侧棱长为2.
10.A.以B1为原点, B1C1, B1B, B1A1分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系, .
11.D.方法一 (几何法) :由∠SCA=90°, 得AC⊥SC.又△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形, 得AC⊥BC, SC∩BC=C, 所以AC⊥平面SBC.又SB⊂平面SBC, 所以SB⊥AC.而∠SBA=90°, 即SB⊥AB, AC∩AB=A, 从而SB⊥平面ABC, 知①②均正确.由AC⊥平面SBC, AC⊂平面SAC, 有平面SBC⊥平面SAC, ③正确.又SB⊥平面ABC, 可得平面ABC⊥平面SAB, 取AB的中点M, 有CM⊥AB.又平面ABC∩平面SAB=AB, 则CM⊥平面SAB, 知点C到平面SAB的距离为, ④也正确.
方法二 (向量法) :同方法一得SB⊥平面ABC, 知①②均正确;以B为原点, BA为y轴, BS为z轴, 垂直于平面SBA的方向为x轴建立空间直角坐标系.设BS=b, 则.
又平面SBC的法向量为, 则, ③正确.
平面SAB的法向量为n′= (1, 0, 0) , 点C到平面SAB的距离, ④也正确.
【点拨】研究空间角问题通常需将几何法与向量法结合在一起运用.如本题用几何法证得SB⊥平面ABC后才便于建立空间直角坐标系, 用向量法解决问题.另外, 在取值求法向量时, 需以降低运算量为原则.如由取x=b, 得n= (b, b, a) , 对后面的计算带来方便, 否则, 若取x=1, 得, 后面的计算量稍大.
12.C.△ABC为等腰直角三角形, 且∠ACB=90°, 而, 要取得最大值, 必有O, A, B, C四点共面, 以O为原点, OC为y轴, OA为z轴, 垂直于平面AOC的方向为x轴.设∠OAC=θ, 则∠BCy=θ, 有B (0, 2sinθ+2cosθ, 2sinθ) ,
13.π/4.
14.2/3.设球的半径为R, 由, 得R=5/4.由, AC=2, 得Rt△ABC外接圆的圆心为AC的中点O′, 设球心为O, 则.
当点D在O′O的延长线上时, 四面体ABCD的体积有最大值.
17. (1) 异面直线AC与PB所成角的余弦值为.
(2) 点A到平面PBC的距离为.
18. (1) 连结FN, 在△PAC中, F, N分别为PA, PC的中点, 所以FN∥AC.因为FN⊂平面DEF, AC平面DEF, 所以AC∥平面DEF.
(2) 如图5, 以D为原点, 分别以DA, DC, DP所在直线为x, y, z轴, 建立空间直角坐标系, 则, B (1, 1, 0) , C (0, 2, 0) .
设平面PBC的法向量为m= (x, y, z) ,
因为平面ABC的法向量n= (0, 0, 1) ,
由图可知二面角A-BC-P为锐二面角, 所以二面角A-BC-P的大小为π/4.
故在线段EF上存在一点Q, 且.
19. (1) 因为AE⊥A1B1, A1B1∥AB, 所以AB⊥AE.
又因为AB⊥AA1, AE∩AA1=A, 所以AB⊥平面A1ACC1.
又因为AC⊂平面A1ACC1, 所以AB⊥AC.
令z=2 (1-λ) , 所以n= (3, 1+2λ, 2 (1-λ) ) .
由题可知平面ABC的法向量m= (0, 0, 1) .
因为平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为,
解得λ=1/2或λ=7/4 (舍去) .
所以当点D为A1B1的中点时, 满足要求.
20. (1) 由题意可知四边形ABED是平行四边形, 所以AM=ME.又因为AB=BE, M为AE的中点, 所以BM⊥AE, 即DM⊥AE.
又因为AD∥BC, AD=CE=2, 所以四边形ADCE是平行四边形.
所以AE∥CD.所以CD⊥DM.
因为平面B1AE⊥平面AECD, 平面B1AE∩平面AECD=AE, B1M⊥AE, 所以B1M⊥平面AECD.
因为CD⊂平面AECD, 所以B1M⊥CD.
因为MD∩B1M=M, 所以CD⊥平面B1MD.
(2) 如图7, 以ME为x轴, MD为y轴, MB1为z轴建立空间直角坐标系, 则.
平面AB1E的法向量为.
设平面DB1A的法向量为m= (x, y, z) .
因为二面角D-AB1-E为锐角, 所以二面角D-AB1-E的余弦值为.
(3) 设在线段B1C上存在点P, 使得MP∥平面B1AD.
因为MP∥平面B1AD, 所以.
又因为MP平面B1AD,
所以在线段B1C上存在点P, 使得MP∥平面B1AD, 且.
21. (1) 取PD的中点Q, 连结NQ, CQ,
因为点M, N分别为BC, PA的中点, 所以NQ∥AD∥CM, , 四边形CQNM为平行四边形, 则MN∥CQ.
又MN平面PCD, CQ⊂平面PCD.
所以MN∥平面PCD.
(2) 连结PM.因为AB=AC=1, 点M分别为BC的中点, 则AM⊥BC.
又PA⊥平面ABCD, 则PM⊥BC.所以∠PMA即为二面角P-BC-A的平面角, 设为θ.以AB, AC, AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴, 建立的空间直角坐标系, 则A (0, 0, 0) , B (1, 0, 0) , C (0, 1, 0) , .
设平面PBC的一个法向量为n= (x, y, z) ,
因为0<α<π/6,
十二、直线与圆、曲线与方程
1.C.
【变式】已知直线l1:ax+y=1和直线l2:x+ay=2, 则“a+1=0”是“l1∥l2”的 () .
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分又不必要条件
(答案:A.)
2.B.
【变式】在下列直线中, 与非零向量n= (A, B) 垂直的直线是 () .
(A) Ax+By=0 (B) Ax-By=0
(C) Bx+Ay=0 (D) Bx-Ay=0
(答案:A.)
3.A.方法一 (几何法) :由直线与圆相交, 得, 则-2<b<6.
|b|<2成立-2<b<6成立, -2<b<6成立/|b|<2成立.
由直线与圆相交, 得Δ=12× (b-2) 2-4×4 (b2-4b) >0, 解得-2<b<6.|b|<2是-2<b<6的充分不必要条件.
【点拨】研究直线与圆的位置关系问题时, 一般而言, 用几何法运算量较低, 且直观, 更为方便.
【变式】若直线与曲线有两个不同的交点, 则b的取值范围是 () .
(答案:B.提示:由, 得x2+ (y-2) 2=4, y≤2, 表示半圆.当直线与相切时, 由, 得b=-2或b=6 (舍去) .当直线过点 (2, 2) 时, .)
4.D.
【变式】若经过点P (-2, 0) 的直线与圆x2+y2=2相切, 则此直线在y轴上的截距是 () .
(A) -2 (B) 2
(C) -2或2 (D) 4
(答案:C.)
5.B.方法一:以O (0, 0) , A (2, 3) 为直径端点的圆的方程为x (x-2) +y (y-3) =0, 即x2+y2-2x-3y=0, 与圆C:x2+y2=4相减, 得2x+3y-4=0.
所以直线PQ的方程为2x+3y-4=0.
方法二:设切点P (x1, y1) , Q (x2, y2) , 则, 则切线方程为, 即x1x+y1y=x21+y21=4, 其经过点A (2, 3) , 有2x1+3y1=4.同理2x2+3y2=4.
所以直线2x+3y=4过A, B两点, 即直线AB的方程为2x+3y-4=0.
【点拨】 (1) 方法一用到了下面的结论:①已知A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则以AB为直径的圆的方程为 (x-x1) (x-x2) + (y-y1) (y-y2) =0 (在圆上任取一点P (x, y) , ) ;
②圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交于点A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则直线AB的方程为 (D1-D2) x+ (E1-E2) y+ (F1-F2) =0.
(2) 以上两种方法在运算量方面相差不远, 但方法二对椭圆、双曲线、抛物线也适用.
6.A.
7.C.
【变式】已知点A是直线l:上的动点, 过点A作圆C: (x-2) 2+y2=1的切线, 切点为P, 则|AP|的最小值为 () .
(答案:B.)
8.C.设B (x1, y1) .由, 得A是MB的中点, 则,
所以圆O:x2+y2=1与圆O′: (x+t) 2+ (y+2) 2=4有公共点.
方法二 (几何法) :直线的倾斜角为30°, 于是在△AOB中, ∠A=∠B=30°, 从而∠AOB=120°, 则.
【变式】过点P (-1, -1) 的直线与圆O:x2+y2=1相交于A, B两点, 则.
(C) -1 (D) 1
(答案:D.提示:过点P作圆O的切线, 设切点为Q, 有|PQ|=1.由切割线定理, 得.)
10.D.
【变式】已知在圆M:x2+y2-4x+2y=0内, 过点E (1, 0) 的两条弦AC, BD互相垂直, 则四边形ABCD面积的最小值为 () .
(A) 4 (B) 8
(答案:B.提示:设圆心M (2, -1) 到弦AC, BD的距离分别为m, n, 则, 仅当m=n=1时取等号.)
11. (理) B.
(文) D.设圆M与圆C1内切于点A, 圆M与圆C2内切于点B, 圆M的半径为r, 则|C1M|=|AM|-|C1A|=r-1, |C2M|=|C2B|-|MB|=5-r, 有|C1M|+|C2M|=4, 所以点M的轨迹是以C1 (-1, 0) , C2 (1, 0) 为焦点的椭圆.设其方程为 (a>b>0) , 且2a=4, c=1, 有a=2, b2=a2-c2=3, 即.
(文) C.由圆M与圆C总有公共点, 得3-2≤|CM|≤3+2, 即1≤|CM|≤5.由于点M在圆C内, |CM|≤5显然成立, 故|CM|≥1.点M在直线l:kx-y+3=0上, 且直线l过定点 (0, 3) , 只需使直线l与圆 (x-1) 2+ (y-1) 2=1相切或相离, 所以.
13. (x-3) 2+ (y-3) 2=18.
【变式】已知圆C的圆心在直线x-y=0上, 且圆C与直线x+y=0相切, 直线x+y-12=0被圆C截得的弦长为, 则圆C的标准方程是____.
(答案: (x-4) 2+ (y-4) 2=32.)
15. (-∞, -1]∪[1, +∞) .设过点P的直线与圆相切于A, B两点, 则四边形PAOB是边长为1的正方形, 有, 于是直线y=kx+2与圆x2+y2=2有公共点, 所以, 得k2≥1, 即k≤-1或k≥1.
17. (1) 圆C的方程为 (x+4) 2+y2=16.
(2) 直线FG被圆C截得的弦长为7.
18. (1) 由得圆心C为 (3, 2) .
因为圆C的半径为1,
所以圆C的方程为 (x-3) 2+ (y-2) 2=1.
显然切线的斜率一定存在, 设所求圆C的切线方程为y=kx+3, 即kx-y+3=0.
所以所求圆C的切线方程为y=3或, 即y=3或3x+4y-12=0.
(2) 因为圆C的圆心在直线l:y=2x-4上, 所以设圆心C为 (a, 2a-4) ,
则圆C的方程为 (x-a) 2+[y- (2a-4) ]2=1.
设圆D:x2+ (y+1) 2=4, 所以点M应该既在圆C上又在圆D上, 即圆C和圆D有交点.
由5a2-12a+8≥0, 得a∈R;由5a2-12a≤0, 得.
所以a的取值范围为.
19. (1) 如图1, 设AB的中点为M, 切点为N, 连结OM, MN, 则|OM|+|MN|=|ON|=2, 取A关于y轴的对称点A′, 连结A′B, 故|AB|+|A′B|=2 (|OM|+|MN|) =4.
所以点B的轨迹是以A, A′为焦点, 长轴长为4的椭圆.其中, a=2, , b=1, 则曲线Γ的方程为.
(2) 如图2, 因为B为CD的中点, 所以OB⊥CD, 则.
又因为AC=4, 所以OC=1.所以.
所以直线CD的方程为, 即x+7y-5=0.
(2) 设C (-3m, 4m) (0<m≤1) , 则OC=5m, 则AC=OA-OC=5-5m.
因为AC=BD, 所以OD=OB-BD=5m+4.所以点D的坐标为 (5m+4, 0) .
又设△OCD的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
解得D=- (5m+4) , F=0, E=-10m-3.
所以△OCD的外接圆的方程为x2+y2- (5m+4) x- (10m+3) y=0.
整理, 得x2+y2-4x-3y-5m (x+2y) =0.
所以△OCD的外接圆恒过定点 (2, -1) .
21. (1) 由x2+y2-6x+5=0, 得 (x-3) 2+y2=4.所以圆C1的圆心坐标为 (3, 0) .
(2) 设M (x, y) .因为点M为弦AB的中点, 即C1M⊥AB,
所以kC1M·kAB=-1, 即.
所以线段AB的中点M的轨迹的方程为.
(3) 由 (2) 知点M的轨迹是以为圆心, 为半径的部分圆弧EF (图3所示, 不包括两端点) , 且.
又直线L:y=k (x-4) 过定点D (4, 0) ,
当直线L与圆C相切时,
十三、圆锥曲线
1.D.
【变式】已知椭圆C: (a>b>0) 的焦点为F1, F2, 若椭圆C上存在一点P, 使得∠F1PF2=90°, 则椭圆C离心率的取值范围是 () .
(答案:B.)
2.C.
【变式】若方程表示椭圆, 则实数k的取值范围是 () .
(A) (-∞, -2)
(B) (2, 5/2)
(C) (5/2, 3)
(答案:D.)
3.A.
【变式】已知点A (1, 1) , F是椭圆的左焦点, 若点P在椭圆上运动, 则|PA|+|PF|的最小值为 () .
(答案:C.)
4.D.
5.B.
【变式】设双曲线 (a>0, b>0) 的左、右焦点分别为F1, F2, 直线l经过F1且与双曲线交于两点A, B, 若△AF2B为正三角形, 则双曲线的离心率为 () .
(答案:C.)
7.C.由题意, 得, 则a2+b2<3, 即点P (a, b) 在圆x2+y2=3的内部.又圆x2+y2=3在椭圆的内部, 于是点P在椭圆的内部, 故过点P的一条直线与椭圆有2个公共点.
9.D.由, 得c2=2a2=a2+b2, 即a=b, 因此双曲线的一条渐近线为l:y=x.
由得P (4, 4) .而抛物线的准线为x=-1, 于是|PF|=4- (-1) =5.
10.D.
【变式】已知直线y=kx-k与双曲线x2-y2=4在右支有两个不同的交点, 则实数k的取值范围是 () .
(答案:D.)
15.①②④.16.- (3/8) .
17. (1) 椭圆C的方程是.
(2) kOM·kPB=-1不成立, 理由略.
(2) (i) 由题意可知, 直线l的斜率为0时, 不合题意.
(ii) 不妨设直线l的方程为x=ky+m.
因为以AB为直径的圆过点M (2, 0) , 所以.
将x1=ky1+m, x2=ky2+m代入上式,
综上, 直线l经过定点 (6/5, 0) .
故椭圆C的标准方程为.
两式作差, 得.因为直线PA, PB的斜率都存在, 所以x20-x21≠0.
所以当PA, PB的斜率都存在时, kPA·kPB=- (1/2) .
(ii) k=0时, P (x0, y0) , A (-2, 0) , B (2, 0) , 设PA的斜率为n, 则PB的斜率为.
直线PA:y=n (x+2) , M (3, 5n) , 直线PB:,
20. (1) 由题意可设抛物线C的方程为x2=2py (p>0) , 则p/2=1, 所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2) 由题意知, 直线AB的斜率存在.设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 直线AB的方程为y=kx+1.
同理点N的横坐标.
令4k-3=t, t≠0, 则.
综上所述, 当, 即时, |MN|的最小值是.
21. (理) (1) 点M (1, 0) 是椭圆C的“1分点”, 理由如下:
(2) 假设点M (1, 0) 为椭圆C的“2分点”, 则存在过点M的直线l与椭圆C交于A, B两点, 使得S△AOB=2S△AOD, 显然直线l不与y轴垂直.设l:x=my+1, A (x1, y1) , B (x2, y2) .
因为S△AOB=2S△AOD,
将④代入⑤中得, 无解.
所以点M (1, 0) 不是椭圆C的“2分点”.
(3) x0的取值范围为 (-2, -1) ∪ (1, 2) .
(文) (1) 椭圆C的离心率.
设点E, F的坐标分别为 (x1, y1) , (x2, y2) , EF的中点M的坐标为 (xM, yM) ,
因为△BEF是以EF为底边, B为顶点的等腰三角形, 所以BM⊥EF.
因此BM的斜率.
又点B的坐标为 (0, -2) ,
所以EF的方程为.
又圆的圆心O (0, 0) 到直线EF的距离为,
3.“三角函数”单元测试 篇三
1. 将分针拨快15分钟，则分针转过的弧度数是.
2. 设m＜0，角α的终边经过点P（-3m，4m），那么sinα+2cosα=.
3. 函数y=asinx+1的最大值是3，则它的最小值为.
4. 集合M=α|α=kπ2-π5，k∈Z，N={α|-π＜α＜π}，则M∩N=.
5. 已知tanα=-2，则sinα·cosα的值为.
6. 已知sinα=2m-5m+1，cosα=-mm+1，且α为第二象限角，则m为.
7. 函数y=cos2x-sinx的值域是.
8. 若f（cosx）=cos2x，则f（sin15°）的值为 .
9. sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β=.
10. 设函数f（x）=2sinπ2x+π5，若对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为.
11. 如右图，在一平面镜MN的同侧，有相距13 cm的两点A和B，它们与平面镜的距离分别是2 cm和7 cm，现要使由点A射出的光线经平面镜反射后经过点B，则光线入射角∠AOC的正弦值为.
12. 给出下列命题：（1） 存在实数x，使sinx+cosx=π3；（2） 若α，β是锐角△ABC的内角，则sinα＞cosβ；（3） 函数y=sin
23x-7π2是偶函数；（4） 函数y=sin2x的图象向右平移π4个单位，得到y=sin2x+π4的图象.其中正确命题的序号是.
二、 解答题
13. 已知在△ABC中，sinA+cosA=23.
（1） 判断△ABC的形状；
（2） 求tanA-1tanA的值.
14. 已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，若存在正实数m，n，使得h（x）=mf（x）+ng（x）恒成立，则称h（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数.若f（x）=sinx2，g（x）=cos2x.
（1） 判断函数y=sinkx（k∈R）是否为f（x），g（x）在R上的生成函数，并说明理由；
（2） 记l（x）为f（x），g（x）在R上的一个生成函数，若lπ3=1，l（π）=4，求l（x）.
第15题图
15. 如右图，摩天轮的半径为40 m，圆心O点距地面的高度为50 m.摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.
（1） 已知在时刻t（min）时点P距离地面的高度f（t）=Asin（ωt+φ）+h，求2 008min时点P距离地面的高度；
（2） 求证：不论t取何整数值，f（t）+f（t+1）+f（t+2）恒为定值.
巩固练习参考答案
《三角函数线学习要点及应用举例》
1. （1） {-1，3};（2） cos1＜sin1＜tan1;（3） （kπ-π4，kπ+π4）（k∈Z）;（4） ①③
2. 2kπ+π3，2kπ+5π6）（k∈Z）.
3. sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|，在Rt△OPM中，|OM|+|MP|＞|OP|，即sinα+cosα＞1.
4. 设α的正切线为AT，余弦线为OM，tanα=AT，cosα=OM，1+tan2α=1+AT2=OT2，又OTOP=OAOM，所以OT=OP·OAOM=1cosα，所以1 +tan2α=1cos2α.
5. 由于sin2x＞cos2x|sinx|＞|cosx|，由正弦线和余弦线知|MP|＞|OP|，易知x∈kπ+π4，kπ+3π4（k∈Z）.
《同角三角函数关系式在同角三角恒等式证明中的妙用》
1.左边=11+sin2α+11+csc2α+11+cos2α+11+sec2α+11+tan2α+11+cot2α
=11+sin2α+sin2α1+sin2α+
11+cos2α+cos2α1+cos2α+（cos2α+sin2α）
=1+1+1=3=右边.
2. 因为tanα=13，所以sinαcosα=13，设sinα=k，则cosα=3k，1=cos2α+sin2α=10k2，所以
左边=1cos2α-2sinαcosα+5sin2α
=10k29k2-6k2+5k2=54=右边.
3. 要证tanα·sinαtanα-sinα=tanα+sinαtanα·sinα，只需证tan2α·sin2α=tan2α-sin2α.
tan2α·sin2α=sin2αcos2α·sin2α
=（1-cos2α）sin2αcos2α
=sin2α-sin2αcos2αcos2α
=tan2α-sin2α.
故所证等式成立.
《三角函数图象综合问题选解》
1. 2+22
2. f（x）=sin2x+π4.
3. φ=π2，ω=23或ω=2.
《正、余弦函数有界性的三大应用》
1. ［-2，2］.2. ［-4，4］.3. -12-2，1.
4. （-2，2-1］.
5. 设∠AOB=θ，则AB=asinθ，OA=acosθ，
所以S=asinθ·2acosθ=a2sin2θ，
当sin2θ=1时，S取得最大值a2，此时θ=π4，OA=OD=22a.
6. 原式化为sinx-ycosx=2-2y，即sin（x-φ）=2-2y1+y2.故|2-2y|1+y2≤1，解得4-73≤y≤4+73.
所以ymax=4+73，ymin=4-73.
16. 已知函数f（x）=Asinωx-π3+B（A＞0，ω＞0）的一系列对应值如下表：
x-π6π35π6
4π311π67π317π6
y-1131-113
（1） 根据表格提供的数据，求函数f（x）的一个解析式；
（2） 根据（1）的结果，若函数y=f（kx）（k＞0）周期为2π3，当x∈0，π3时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围.
17. 函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f（x）=1-2sinxcosx+1+2sinxcosx的性质，并在此基础上，作出其在-π2，π2上的图象.
4.二元一次方程单元测试 篇四
姓名：
学号：
一、选择题:
1．以下各方程中，是二元一次方程的是〔 〕
A．
B．
C．
D．
2．假设方程组的解满足，那么的值为〔 〕
A．16
B．15
C．14
D．13
3．二元一次方程的正整数解的组数是〔 〕
A．一组
B．二组
C．三组
D．四组
4．关于、的方程组的解、的和为12，那么的值为〔 〕
A．14
B．10
C．0
D．－14
5．用一根绳子环绕一棵大树，假设环绕大树3周绳子还多4米;假设环绕大树4周绳子又少了3
米，那么环绕大树一周需要绳子〔
〕米。
A．5
B．6
C．7
D．8
6．如图，周长为68的长方形ABCD被分成7个大小完全一样的长方形，那么长方形ABCD的面积为〔
〕。
A．98
B．196
C．280
D．284
二、填空题:
7．假设，那么。
8．是二元一次方程，那么。
9．如果那么。
10．方程有两个解是，那么。
11．用含的代数式表示，那么=。
12．与是同类项，那么。
13．班上有男女同学32人，女生人数的一半比男生总数少10人，假设设男生人数为x人，女生人数为y人，那么可列方程组为
14．如果方程组有正整数解，那么的正整数值是。
三．解二元一次方程组:
15．16.17．
18.四、解答题
19.方程的解、的值也满足，且，求的值.20．某森林公园的门票价格如下表所示：
购票人数
1~50人
51~100人
100人以上
票
价
10元/人
8元/人
5元/人
某校初一年级甲、乙两个班共100多人去该公园野营活动，其中甲班有50多人，乙班缺乏50人。如果以班为单位分别购置门票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来组成一个团体购票，一共只要付515元。问：甲、乙两班分别有多少人？
21．甲、乙两从A地出发到B地，甲步行、乙骑车。假设甲走6千米，那么在乙出发45分钟后两人同时到达B地；假设甲先走1小时，那么乙出发后半小时追上甲，求A、B两地的距离。
22.为了保护生态平衡，绿化环境，国家大力鼓励“退耕还林、还草〞，其补偿政策如下表1，三峡库区上游某农户响应国家的号召，承包了一片山坡种树种草，所得到国家的补偿如下表2，问该农户种树、种草各多少亩？
种
树
种
草
补粮
150千克
100千克
补钱
200元
150元
表1
种树、种草每亩每年补粮、补钱情况表
表2
该农户收到镇政府下发的种树种草亩数及补偿通知单
种树、种草
补
粮
补
钱
30亩
4000千克
5500元
23.山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助。资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元。某校学生各级捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生和小学生人数的局部情况如下表：
年
级
捐款数额〔元〕
捐助贫困中学生数〔名〕
捐助贫困小学生数〔名〕
初三年级
4000
初二年级
4200
初一年级
7400
(1)求：a、b的值。
5.一次函数单元测试题 篇五
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后括号内)
1．在以下的式子中：x＋8＝3；12－x；x－y＝3；x＋1＝2x＋1；3x2＝10；2＋5＝7；
3其中是方程的个数为()．
A．3B．4C．5D．6
2．用“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为()．
A．5B．4C．3D．
23．下面四个方程中，与方程x－1＝2的解相同的一个是()．
A．2x＝6B．x＋2＝－
1C．2x＋1＝3D．－3x＝9
4．下列方程变形一定成立的是()．
A．如果S＝1Sab，那么b＝ 2a2
B．如果1x＝6，那么x＝3 2C．如果x－3＝2x－3，那么x＝0
5．若关于x的一元一次方程
A．D．如果mx＝my，那么x＝y 27 2xkx3k＝1的解是x＝－1，则k的值是()． 3213B．1C．D．0 11
6．甲比乙大15岁，5年前，甲的年龄是乙的年龄的2倍，则乙现在的年龄是()．
A．10岁B．15岁
C．20岁D．30岁
7．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(优惠10%)仍可获利10%(相对于进货价)，则该家具的进货价是()．
A．108元B．105元
C．106元D．118元
8．一架飞机飞行于两城市之间，风速为24千米/时，顺风飞行需要3小时，逆风飞行需要4小时，则两城市间的距离是多少？若设两城市间的距离为x千米，可列方程为()．
A．xx＋24＝－243
4C．3x＋24＝4x－24 xx－24 43xxD．2424 34B．
9．某出租车收费标准是：起步价6元(即行驶距离不超过3 km需付费6元)，超过3 km以后，每增加1 km加收1.5元(不足1 km按1 km计算)，小王乘出租车从甲地到乙地支付车费18元，那么他乘坐路程的最大距离是()．
A．7 kmB．9 km
C．10 kmD．11 km
10．元旦那天，6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节．如图，圆桌半径为60 cm，每人离圆桌的距离均为10 cm，现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等．设每人向后挪动的距离为x，根据题意，可列方程()．
2(6010)2(6010x)＝ 68
2(60x)260B． 86A．
C．2π(60＋10)×6＝2π(60＋π)×8
D．2π(60－x)×8＝2π(60＋x)×6
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．)
11.小李在解方程5a－x＝13(x为未知数)时误将－x看作＋x，得方程的解为x＝－2，则原方程的解为__________．
12．当x＝________时，2x11与x－1的差是.2
32413．a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算，＝ad－bc，那么当＝(1x)5cd
18时，x＝__________.14．一个三位数的百位数字是1，若把百位数字移到个位，则新数比原数的2倍还多1，则原来的三位数是__________．
15．有一数列，按一定规律排成1，－2,3,2，－4,6,3，－6,9，接下来的三个数为__________．
16．用72厘米的铁丝做一个长方形，要使长是宽的2倍多6厘米，则这个长方形的长和宽各是__________．
17．某品牌商品，按标价九折出售，仍可获得20%的利润．若该商品标价为28元，则商品的进价为__________． 18．一件工作，甲单独做需6天完成，乙单独做需12天完成，甲、乙合作2天后，剩下的由乙单独完成，还需__________天．
三、解答题(本大题共6小题，共46分)
19．解下列方程：(每小题4分，共12分)
(1)2(x－1)＋(3－x)＝－4.ab
2x110x11x.41
20.3x10.1x0.22.(3)0.20.5(2)
20．(6分)已知关于x的方程1(1x)1k的解与方程2
32k3(x1)(x1)(3x2)的解互为相反数，求k的值． 45102
21.(6分)为了节约开支和节约能源，某单位按以下规定收取每月的电费：用电不超过140度，按每度0.43元收费，如果超过140度，超过的部分按每度0.57元收费，若某用户四月份的电费平均每度0.5元，则该用户四月份应交电费多少元？
22.(6分)小明离家去市中心的体育馆看球赛，进场时发现门票忘在家中，此时离比赛开始还有45分钟，于是他立即步行(匀速)回家取票．在家取票用时2分钟，取到票后，他急忙骑自行车(匀速)赶往体育馆，终于在比赛开始前3分钟赶到体育馆门口，已知小明步行的速度是80米/分，骑自行车的速度是步行速度的3倍．你知道小明家离体育馆多远吗？
23．(8分)某乳制品厂，现有鲜牛奶10吨，若直接销售，每吨可获利500元；若制成酸
奶销售，每吨可获利1 200元；若制成奶粉销售，每吨可获利2 000元．本工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工鲜牛奶3吨；若制成奶粉，每天可加工鲜牛奶1吨(两种加工方式不能同时进行)．受气温条件限制，这批鲜牛奶必须在4天内全部销售或加工完成．为此该厂设计了以下两种可行方案：
方案一：4天时间全部用来生产奶粉，其余直接销售鲜奶；
方案二：将一部分制成奶粉，其余制成酸奶，并恰好4天完成．
你认为哪种方案获利最多，为什么？
24．(8分)惠民超市第一天以每件10元的价格购进某品牌茶杯15个，由于此种品牌商品价格看涨，第二天又以每件12元的价格购进同种茶杯35个，然后以相同的价格卖出，商店在销售这些茶杯时，要想利润率不低于10%，你觉得该如何定价？
参考答案
1答案：B 点拨：关键在于抓住含有未知数的等式这个核心．
2答案：A 点拨：1个三角形＝1个正方形＋1个圆，1个圆＝2个正方形．方法：通过替代找出它们之间的关系．
3答案：A
4答案：C
5答案：B 点拨：把x＝－1代入原方程，解以k为未知数的一元一次方程．解得k＝1.6答案：C 点拨：设5年前乙的年龄是x岁，则甲的年龄是2x岁，都增加5岁，甲比乙大15岁，列出方程2x＋5－(x＋5)＝15，解得x＝15.故乙现在的年龄是20岁．
7答案：A 点拨：设进货价为x元，根据题意，得(1＋10%)x＝132×(1－10%)，解得x＝108.8答案：D 点拨：顺风速度－风速＝逆风速度＋风速．
9答案：D 点拨：支付18元，一定超过3 km，设乘坐路程为x km，所以6＋1.5(x－3)＝18，解得x＝11.故选D.10答案：A 点拨：首先理解题意找出题中存在的等量关系：8人之间的距离＝原来6人之间的距离，根据等量关系列方程即可．设每人向后挪动的距离为x，则这8个人之间的距离是：2(6010x)2(6010)，6人之间的距离是：，根据等量关系列方程得：86
2(6010x)2(6010)＝.故选A.86
12x111 点拨：根据题意列方程－(x－1)＝，解得x＝.222311答案：x＝2 点拨：x＝－2就是5a＋x＝13的解，求出a＝3，再代入原正确方程求出x＝2.12答案：
13答案：3 点拨：由运算规律可列方程：10－4(1－x)＝18，解得x＝3.14答案：125 点拨：若设这个三位数的后两位数为x，原数为100＋x，新数为10x＋1，根据题意，得2(x＋100)＋1＝10x＋1，求得x＝25.15答案：4，－8,12 点拨：每三个数为一组，第一组分别是1，－2,3，第二组分别是2，－4,6，第三组分别是3，－6,9，则接下来的三个数为第四组，分别为4，－8,12.16答案：26厘米、10厘米 点拨：设宽为x厘米，那么长为(2x＋6)厘米，根据题意，得x＋(2x＋6)＝72÷2，解得x＝10.17答案：21元 点拨：设商品的进价为x元，那么28×0.9＝20%x＋x，解得x＝21.18答案：6 点拨：设还需x天完成，由题意，得
6天完成．
19解：(1)去括号，得2x－2＋3－x＝－4.移项，得2x－x＝－4＋2－3.合并同类项，得x＝－5.(2)去分母，得3(2x＋1)－12＝12x－(10x＋1)．
去括号，得6x＋3－12＝12x－10x－1.化简，得6x－9＝2x－1.移项，得6x－2x＝－1＋9.合并同类项，得4x＝8.系数化为1，得x＝2.(3)化为整数分母，得22x＝1，解得x＝6.所以还需612123x10x22.25
去分母，得5(3x－10)＝2(x－2)－20.去括号，得15x－50＝2x－4－20.移项，得15x－2x＝－24＋50.合并同类项，得13x＝26.系数化为1，得x＝2.1(1x)＝1＋k，2
11去括号得：x＝1＋k，2220解：
去分母得：1－x＝2＋2k，移项得：－x＝1＋2k，把x的系数化为1得：x＝－1－2k，32k3(x1)(x1)(3x2)，45102
去分母得：15(x－1)－8(3x＋2)＝2k－30(x－1)，去括号得：15x－15－24x－16＝2k－30x＋30，移项得：15x－24x＋30x＝2k＋30＋15＋16，合并同类项得：21x＝61＋2k，把x的系数化为1得：x＝612k，21
∵两个方程的解为相反数，∴－1－2k＋612k＝0，解得：k＝1.21
612k，再根据两个方程的解21点拨：首先分别解出两个方程的解为：x＝－1－2k，x＝
为相反数，可得－1－2k＋612k＝0，然后解出k的值即可． 21
21解：设四月份用电x度，根据题意，得
140×0.43＋(x－140)×0.57＝0.5x，解得x＝280，∴0.5x＝0.5×280＝140(元)．
答：该用户四月份应交电费140元．
点拨：平均每度0.5元，用电超过了140度．所以只有一种情况．
22解：设小明家离体育馆有x米，由题意，得xx＝(45－2－3)．解得x＝2 400.80803
答：小明家离体育馆2 400米．
点拨：回家时步行的用时＋去体育馆骑自行车的用时＋2＝45－3.解：方案一获利：000×4＋500×(10－4)＝8 000＋3 000＝11 000(元)．
设方案二将x吨鲜奶制成奶粉，(10－x)吨鲜奶制成酸奶，根据题意，得x＋10x＝4，3
解得x＝1.所以方案二获利为：2 000＋1 200×(10－1)＝2 000＋10 800＝12 800(元)．
因为11 000＜12 800，所以方案二获利最多．
点拨：因为制成奶粉，每天可加工鲜牛奶1吨，所以方案一共可以将4吨鲜奶加工成奶粉，其余直接销售鲜奶，由此可算出方案一的获利；方案二需要先根据条件算出奶粉和酸奶的吨数，再算其获得的利润，比较结果可判断哪种方案获利最多．
23解：设每个茶杯的最低售价为x元，由题意，得15(x－10)＋35(x－12)＝(15×10＋35×12)×10%，解得x＝12.54.答：商店在销售这些茶杯时每个茶杯的售价不能低于12.54元．
点拨：虽进价不同，但可运用总利润除以总进价得到利润率，即分别用(售价－进价)×
6.一次函数单元测试题 篇六
二元一次方程组
单元检测试题
班级：_____________姓名：_____________
一、选择题
（本题共计
小题，每题
分，共计24分，）
1.如果2x3-m=y是二元一次方程，则m是（）
A.2
B.3
C.4
D.1
2.某工程队共有27人，每人每天可挖沙4t或运沙5t，为使挖出的沙及时运走，应分配挖沙和运沙的人数分别是（）
A.12，15
B.15，12
C.14，13
D.13，14
3.下列方程组是二元一次方程组的是（）
A.xy=1x+y=2
B.5x-2y=31x+y=3
C.x=5x2+y3=7
D.2x+z=03x-y=15
4.若x=1y=2是方程2x-ay=4的解，则a的值为（）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
5.已知关于x，y的方程组x+2y=my=2m的解是二元一次方程-3x+4y=51的解，则m的值是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
6.关于x的方程2x+a=1与方程3x-1=2x+2的解相同，则a的值为（）
A.-5
B.-3
C.3
D.5
7.甲、乙两个药品仓库共存药品45吨，为共同抗击新型冠状病毒，现从甲仓库调出库存药品的60%，从乙仓库调出40%支援疫区．结果乙仓库所余药品比甲仓库所余药品多3吨，那么甲乙仓库原来所存药品分别为（）
A.24吨；21吨
B.21吨；24吨
C.25吨；20吨
D.20吨；25吨
8.如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，则图中阴影部分面积（单位：cm2）为（）
A.16
B.44
C.96
D.140
二、填空题
（本题共计
小题，每题
分，共计21分，）
9.已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8，则x-y=________，x+y=________．
10.方程组x-y=13x+y=7 的解为________．
11.某工厂去年的利润（总产值-总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值为________万元，总支出是________万元．
12.一个两位数的十位数字与个位数字的和为8，若把这个两位数加上18，正好等于将这个两位数的十位数字与个位数字对调后所组成的新两位数，则原来的两位数为________．
13.小纪念册每本5元，大纪念册每本7元．小明买这两种纪念册共花142元，则两种纪念册共买________本．
14.已知a、b、c满足a+2b+3c=0，3a+2b+c=70，则a+b+c=________．
15.老王家去年收入x元，支出y元，而今年收入比去年多15%，支出比去年少10%，结果今年结余30000元，根据题意可列出的方程为________．
三、解答题
（本题共计
小题，共计75分，）
16.解方程组5x+2y=53x+4y=3
17.按要求解下列方程组：
（1）3x+2y=192x-y=1（用代入消元法）（2）3x+2y=73x+y=5（用加减消元法）
18.有甲、乙、丙三种货物，购买甲7件、乙3件、丙1件，共需316元，购买甲10件，乙4件，丙1件，共需420元，购买甲、乙、丙各1件共需多少元？
19.甲、乙二人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙步行．如果乙先走20km，那么甲用1h就能追上乙；如果乙先走1h，那么甲只用15min就能追上乙．求甲、乙二人的速度．
20.一个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．把它的十位数字与个位数字对调，得到了一个新的两位数，这个新的两位数恰好也比原来的两位数大9．求原来的两位数.21.已知：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
11辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
2请你帮该物流公司设计租车方案；
3若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
22.奥运会跳水决赛的门票价格如下表：
等 级
A
B
C
票价（元/张）
未知
未知
150
小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，则购票款多出了200元；若购买5张A等票和1张B等票，则购票款还缺100元．
（1）若小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费多少元？
7.磁场单元检测试题 篇七
1.关于磁感应强度, 正确的说法是 ()
(A) 根据定义式, 磁场中某点的磁感应强度B与F成正比, 与IL成反比
(B) 磁感应强度B是矢量, 方向与电流所受安培力的方向相同
(C) 磁感应强度B是矢量, 方向与通过该点的磁感线的切线方向相同
(D) 在确定的磁场中, 同一点的B是确定的, 不同点的B可能不同
2.如图1所示, 在竖直向上的匀强磁场中, 水平放置着一根长直导线, 电流方向指向读者, a、b、c、d是以直导线为圆心的同一圆周上的四点, 在这四点中 ()
(A) a、b两点磁感应强度相同
(B) a点磁感应强度最大
(C) c、d两点磁感应强度大小相等
(D) b点磁感应强度最大
3.如图2所示, 直角三角形通电闭合线圈ABC处于匀强磁场中, 磁场垂直纸面向里, 则线圈所受磁场力的合力为 ()
(A) 大小为零
(B) 方向竖直向上
(C) 方向竖直向下
(D) 方向垂直纸面向里
4.用安培提出的分子电流假说可以解释下列哪些现象 ()
(A) 永久磁铁的磁场
(B) 直线电流的磁场
(C) 环形电流的磁场
(D) 软铁棒被磁化的现象
5.两个相同的圆形线圈, 通以方向相同但大小不同的电流I1和I2, 如图3所示.先将两个线圈套在固定光滑绝缘杆上, 问释放后它们的运动情况是 ()
(A) 相互吸引, 电流大的加速度大
(B) 相互吸引, 加速度大小相等
(C) 相互排斥, 电流大的加速度大
(D) 相互排斥, 加速度大小相等
6.如图4所示, 一金属直杆MN两端接有导线, 悬挂于线圈上方, MN与线圈轴线均处于竖直平面内, 为使MN垂直纸面向外运动, 可以 ()
(A) 将a、c端接在电源正极, b、d端接在电源负极
(B) 将b、d端接在电源正极, a、c端接在电源负极
(C) 将a、d端接在电源正极, b、c端接在电源负极
(D) 将a、c端接在交流电源的一端, b、d接在交流电源的另一端
7.一质子以速度v穿过互相垂直的匀强电场和匀强磁场区域而没有发生偏转, 如图5所示, 则 ()
(A) 若电子以相同速度v射入该区域, 将会发生偏转
(B) 无论何种带电粒子 (不计重力) , 只要都以速度v射入都不会发生偏转
(C) 若质子的速度v'
(D) 若质子的速度v'>v, 它将向上偏转, 其运动轨迹既不是圆弧也不是抛物线.
8.长方体金属块放在匀强磁场中, 有电流通过金属块, 如图6所示, 则下面关于金属块上、下表面电势高低的说法中, 正确的是 ()
(A) 金属块上、下表面电势相等
(B) 金属块上表面电势高于下表面电势
(C) 金属块上表面电势低于下表面电势
(D) 无法比较上、下表面的电势高低
9.如图7所示, 在加有匀强磁场的区域中, 一垂直于磁场方向射入的带电粒子轨迹如图所示, 由于带电粒子与沿途的气体分子发生碰撞, 带电粒子的动能逐渐减小, 则下列说法中正确的是 ()
(A) 带电粒子带正电, 是从B点射入的
(B) 带电粒子带负电, 是从B点射入的
(C) 带电粒子带负电, 是从A点射入的
(D) 带电粒子带正电, 是从A点射入的
10.如图8所示, 在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上, 有两个质量和电量均相同的正、负离子 (不计重力) , 从点O以相同的速度先后射入磁场中, 入射方向与边界成θ角, 则正、负离子在磁场中 ()
(A) 运动时间相同
(B) 运动轨迹的半径相同
(C) 重新回到边界时速度的大小和方向相同
(D) 重新回到边界的位置与O点距离相等
11.如图9所示, 匀强磁场的边界为矩形abcd, 已知ab>ac.一束带正电的粒子以不同的速度v沿cd边从c点射入磁场, 不计粒子的重力, 关于粒子在磁场中的运动情况下列说法中正确的是 ()
(A) 入射速度越小的粒子, 其运动时间越长
(B) 从ac边出射的粒子的运动时间都相等
(C) 从ab边出射的粒子速度越大, 运动时间越短
(D) 粒子不可能从bd、cd边出射
12.在绝缘光滑水平面内固定有一半径为R=0.50 m的绝缘光滑圆饼, 圆饼处在竖直向上的匀强磁场中, 磁感应强度为B=0.5 T, 有一质量为m=0.10 g的带负电的电量为q=1.6×10-3C的小球贴着圆饼的外侧做圆周运动, 如图10所示.则下列说法正确的是 ()
(A) 小球受到重力、水平面的支持力、洛伦兹力三个力的作用
(B) 小球运动的速度一定为4 m/s
(C) 若撤去圆饼, 小球运动的半径可能会减小
(D) 若撤去圆饼, 小球运动的周期不变
二、填空题 (共4个题, 每空2分, 共20分)
13.一质子及一α粒子, 同时垂直射入同一匀强磁场中,
(1) 若两者由静止经同一电势差加速, 则旋转半径之比为___________.
(2) 若两者以相同的动能进入磁场中, 则旋转半径之比为____________.
(3) 若两者以相同的速度进入磁场中, 则旋转半径之比为___________.
14.如图11所示, 若闭合电路abcd和ABCD所在平面均与匀强磁场B垂直, 面积分别为S1和S2, 且S1>S2, 但磁场区域恰好只有ABCD那么大, 则闭合电路abcd的磁通量Ф1和闭合电路ABCD的磁通量Ф2的大小关系为Ф1Ф2_________________ (填“<”、“=”或“>”)
15.如图12所示, a、b、c、d四种离子, 它们带等量同种电荷, 质量为ma=mb>mc=md, 以不等的速率va>vb=vc>vd进入速度选择器后, 有两种离子从选择器中射出, 进入磁感应强度为B2的磁场.由此可以判断射向D1的是__________离子. (不计重力)
16.如图13所示, 一带电为-q的小球, 质量为m, 以初速度v0竖直向上射入水平方向的匀强磁场中, 磁感应强度为B.当小球在竖直方向运动h高度时, 球所受的磁场力为______________.
17.一个电视显像管的电子束里电子的速度为v.这个显像管的位置取向刚好使电子水平地由南向北运动.已知地磁场的竖直向下分量为B, 则电子束偏向___________方向, 电子束在显像管里向北通过y距离时, 由于受洛伦兹力作用, 它将偏离原来入射方向的距离为_____________. (电子质量m, 电量e)
18.某一回旋加速器, 如图14所示, 两半圆形金属盒的半径为R, 它们之间的电压为U, 所处的匀强磁场的磁感应强度为B, 带电粒子的质量为m, 电荷量为q, 则所加交变电压的周期为___________, 带电粒子所能获得的最大动能为___________.
三、计算题 (3个题, 共32分)
19. (10分) 一根长L=0.2 m的金属棒放在倾角为θ=37°的光滑斜面上, 并通以I=5 A电流, 方向如图15所示, 整个装置放在磁感应强度为B=0.6 T, 竖直向下的匀强磁场中, 金属棒恰能静止在斜面上, 求:
(1) 该棒的重力为多少?
(2) 改变磁感应强度B, 也能使棒静止在斜面上, 问B至少多大?
20. (10分) 如图16所示, 等边三角形ABC有以B点为圆心的垂直于纸面的匀强磁场, 磁感应强度为B.一质量m、带电量q的粒子以速度v从A点沿AB方向射入磁场中, 要使该粒子飞出磁场后沿BC射出, 求圆形磁场区域的面积.
21. (12分) 竖直放置的半圆形光滑绝缘管道处在如图17所示的匀强磁场中, 磁感应强度为B=1.1 T, 管道半径为R=0.8 m, 其直径POQ在竖直线上, 在管口P处以v0=2 m/s的速度水平射入一个带电小球, 可把它视为质点, 其电荷量为q=10-4C (g=10 m/s2) , 试求:
(1) 小球滑到Q处的速度为多大?
(2) 若小球从Q处滑出瞬间, 管道对它的弹力正好为零, 小球的质量为多少?
答案参考
一、1. (C) 、 (D) 2. (C) 、 (D) 3. (A) 4. (A) 、 (D) 5. (B) 6. (A) 、 (B) 、 (D) 7. (B) 、 (D) 8. (C) 9. (B) 10. (B) 、 (C) 、 (D) 11. (B) 、 (C) 12. (C)
8.《相似图形》单元测试题 篇八
——爱因斯坦（1879 -1955）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1． 在△ABC中，AD是BC边上的中线，点G是重心.如果AG=6，那么线段DG的长为（）.
A. 2 B. 3 C. 6 D. 12
2． 下列四组线段中，不能成比例的是（）.
A. a=3，b=6，c=2，d=4 B. a=1，b=，c=，d=
C. a=4，b=6，c=5，d=10 D. a=2，b=，c=，d=2
3． 如图1，在△ABC中，边BC=12，高AD=6.正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则正方形边长为（）.
A. 6 B. 6 C. 4 D. 8
4． 如图2，△ABC中，点M在BC上，点N在AM上，CM=CN，=.下列结论中正确的是（）.
A． △ABM∽△ACB B． △ANC∽△AMB
C． △ANC∽△ACM D． △CMN∽△BCA
5． 如图3，在梯形ABDC中，AB∥CD，AB=a，CD=b.两腰延长线交于点M.过M作CD的平行线，交AD、BC的延长线于点F、E，则EF等于（）.
A．B．C．D．
6． 如图4，AD⊥BC于点D，现有下列条件：①∠B＋∠DAC＝90°；②∠B＝∠DAC；③CD∶AD=AC∶AB；④AB2=BD•BC.其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7． 如图5，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠AED＝∠B，AE＝4，AB＝12，则△ADE与△ABC的周长之比为（）.
A.B.C.D.
8. 下列命题中不正确的是（）.
A. 两个位似图形一定相似
B. 两个相似图形不一定位似
C. 两个图形的位似比就是相似比
D. 两个相似图形一定是位似图形
二、填空题（每小题5分，共40分）
9． 设== ，则=，=.
10． 把边长是10 cm的线段黄金分割，较短的线段长是 cm.
11． 直角三角形的两条直角边分别为a、b，则它的斜边上的高与斜边之比为.
12. 将一个矩形沿两条长边的中点连线对折，若得到的矩形与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是.
13． 已知a∶b∶c=3∶7∶2，则代数式的值是.
14． 若k===，则k=.
15． 如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD∶S△BOC＝1∶9，则S△DOC∶S△BOC=.
16. 两个相似多边形的面积比为9∶16，较小的一个多边形的周长为36 cm，则另一个多边形的周长为.
三、解答题
17． （10分）已知a、b、c为△ABC的三边长，并且a+b+c=60，==，求△ABC的面积.
18. （10分）如图7，△ABC中，BD是角平分线.过D作DE∥AB交BC于点E，AB=5 cm，BE=3 cm，求EC的长.
19. （10分）在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.请你在方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形 （要求:所画三角形为钝角三角形，标明字母，并说明理由）.
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