垂径定理教材分析

垂径定理教材分析（5篇）

1.垂径定理教材分析 篇一

《垂直于弦的直径》的教学反思

垂直于弦的直径也叫垂经定理，是初中九年级人教版第二十四章第2节内容，它是圆中有关计算方面比较重要的一节。

本节课主要经过了三个环节：第一个环节是让学生通过折自制的圆形图片得出圆是轴对称图形，每一条经过圆心的直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴。第二个环节是让学生通过探究得出垂经定理的内容。第三个环节是利用垂经定理解决有关方面的计算。其中，第二个环节是本节课的重点，也是我这节课的一个亮点。具体经过以下5个步骤：

（1）让学生拿出自己手中的圆形图片对折圆，找出圆心。（学生 很感兴趣，有些同学折的 是两条互相垂直的直径得出圆心，有些同学折的是两条斜交的直径得出圆心，但方法都很好。）

（2）让两条互相垂直的直径其中一条不动，另一条直径向下平移，变成一条普通的弦，并且和原来的一条直径仍然保持垂直关系。

（3）让学生在自己的图片上画出与直径垂直的弦，并让他们把圆形图片沿直径对折，问学生会发现什么结论？（平分弦，也平分弦所对的两条弧）

（4）问学生在什么样条件下得出这些结论的？

（5）最后引导学生归纳出垂经定理的内容，教师再补充、强调并板书。

通过这一探究过程，大部分学生参与到课堂中去，并培养了学生动手操作和创新的能力，也激发了学生探究问题的兴趣，学生就在这种轻松、愉快的活动中掌握了垂径定理，实现了教学的有效性，这是在这节课中我感觉最成功的地方。

当然，整节课也有许多不足之处。例如，在对垂经定理有关计算方面的安排上欠妥，具体表现在：

（1）把课本中赵州桥的问题作为第一个练习题让学生解决稍微偏难，应该先解决一些简单的类型题。比如：已知弦的长度和圆心到弦的距离，求圆的半径这类题，这样的话学生不但巩固了垂经定理，而且也能体会到成功的喜悦，等再处理赵州桥的问题就变成水到渠成的事情了。

（2）垂经定理中平分弦的证明过程尽量给学生留点时间让学生板书出来，这样可以防止学生缺少主动性，并且会有更多的学生参与到课堂中去。

（3）应该给学生渗透一些情感教育，让学生知道数学来源于生活，又应用于生活。

总之，在教学设计和课堂教学中应充分了解学生，研究学生，我们不仅要备教材，而且还要备学生。要真正树立以学生的发展为本的教学理念。只有这样，才能为学生提供充分的教学活动和交流的机会，使学生从单纯的的知识接受者变为数学学习的主人。

2.如何妙学垂径定理 篇二

关键词：垂径定理；积极性；理解；记忆；运用

学好垂径定理是学好圆的关键，对农村学生来说，要学好垂径定理，所花费的时间和精力就要比别人多得多。他们不能通过大量的资料查找，只能仔细地观察生活，从生活中提炼有关垂径定理的知识，并用于指导他们学会更好地生活。通过多次的学习与交流，我总结出了农村学生学好垂径定理的小小妙招。

一、激发学生的学习积极性

观察现实生活中与垂径定理有关的事物，组织编题，并提问，从而激发学生的学习兴趣，让他们愿意思考，勇于探索。例如，某地（当地地名）有一石拱桥是圆弧形，正常水位下水面宽是50 m，水面到桥拱的距离为12 m，每年端午节可能涨水，涨水时，水面到拱桥的距离不能低于2 m，否则就要采取应急措施，如果今年涨水时水面宽为25 m，请问是否要采取应急措施。这是学生生活中可能会遇到的问题，所以许多学生都会思考到底用什么知识来解答。遇到这样的问题可以让学生积极地交流、讨论。经过讨论，学生得出好几种实用的解决办法。

比如，（1）在拱桥中央用一根2 m长的竹竿去测。（2）在拱桥中央吊一根2 m的绳索去测，绳索接近水面的一端固定重物。学生各抒己见，与此同时我们要考虑拱桥足够高时又该怎么办，因此我也和学生交流一下我的方法（可以利用这个理论知识解决半径足够长时的圆的问题）：要求当涨水时，水面宽为25 m时是否采取应急措施，只要求出桥拱到水面的距离。当这距离小于25 m时，则无需采取应急措施，因此只有求出桥拱的半径R，然后运用几何代数式解求R。解：不需要采取应急措施。设桥拱的半径为R，则：R-（R-12）=25，解得R=32。当拱桥与水面距离为2 m时，水面宽应为2×32-（32-2）=24。∵25>24∴当水面宽为25 m时，水面与桥拱距离大于2 m，无需采取应急措施。

二、引导学生正确理解垂径定理

垂径定理是由圆具有对称性引申而来的。讲解垂径定理要先让学生复习弦、弧、直径、轴对称图形的性质，特别是对称轴垂直平分对应点的连线段。由对称轴垂直平分对应点的连线段引申到弦、弧、直径的关系。具体操作如下：①在纸上画一圆，标明直径AB；②沿AB对折，在两半圆上任找一重合点记为C与D；③打开，连接C、D；④把AB和CD的交点记作E，圆心记为O，根据轴对称图形的性质可知AB垂直平分CD，通过实际操作得AC与AD重合，BC与BD重合，CE与DE重合，由此可得出：若AB是直径，且AB⊥CD，则AC=AD，BC=BD，CE=DE。描述为：垂直于弦的直径平分弦所对的两弧（优弧和劣弧）。题设：圆的直径垂直于弦。结论：弦被直径平分，弦所对的两条弧也被平分。

三、巧妙记忆，推出垂径定理的推论

垂径定理包含五点内容：①过圆心的直径；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。其中任取两个作为题设，另外三个作为结论都是成立的。例如，已知平分于弦的直径，垂直于弦并且平分于弦所对的优弧和劣弧。

四、运用所学解决问题

在运用垂径定理解决问题时，我们往往会发现：

1.图形在变化，因此我们就必须掌握它有哪些变式？

①求平行弦之间的距离（弦在直径的同侧或异侧）。例如，把两根很直的木棍平行放在簸箕里，已知木棍的长度分别是1.2 m和0.8 m，而簸箕的半径为1 m。问：这两根木棍之间的距离是多少？这是现实生活中同学们常见的两样东西，所以他们会很快想出有两种方法，把簸箕看成一个圆。一种方法是把木棍放在直径的同侧；另一种是放在直径的两侧。方法想出后，请同学把实际问题抽象化，求出两根木棍间的距离。本题容易忽略第二种方法，本题体现了数学中常用的分类讨论思想，由于圆是轴对称图形，涉及圆内两平行弦的几何问题，在解题时一定要考虑全面，分类求解不能漏解。②垂径定理往往要与勾股定理结合。作图时常常要构造直角三角形，再利用勾股定理计算。

2.解题时，还需作辅助线，那就需要提供正确的添加辅助线的位置。

3.垂径定理及其逆定理的评课稿 篇三

本节课夏老师先复习了上节课学习的圆的概念及弧、弦等概念。然后比较三幅图，找出共同点---轴对称图形。这节课的目的性很强，围绕一个知识系统“垂径定理及其逆定理”展开。首先，夏老师让学生画圆折纸，设计的问题都是典型问题，而且巧妙开放，层层递进，有效的调动学生学习兴趣，唤起学生的求知欲，激起了学生的积极思考。整节课抓住相关的基本图形、基本辅助线、基本几何结论的应用，使学生的思维得到训练和提升。

夏教师的课堂调控能力很强，课堂中问题的处理过程，大都是学生先有一定的时间自己思考，提出想法并向大家展示交流，然后共同解决问题，教师绝不包办，很好地体现了以学为主体的课标要求。教师肯花时间让学生大胆说出自己在思考过程中遇到的困难和障碍，呈现学生的思维盲点，然后通过学生之间的合作交流和教师的点拨启发帮助学生理清思路。

在教学方法与教材处理方面, 夏老师能根据现在的教材特点及学情,在新课标理念的指导下,让学生在课堂上多动手、多观察、多交流，最后得出定理，这个方法符合新课程理念观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。

4.垂径定理教材分析 篇四

授课年级：九年级

学校：眉县青化中学 教师姓名：张亚雄

章节名称 垂径定理及其应用 计划学时 1 本节内容是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。另外，本节课通过“实验--观察--猜想——合作交流——证明”的途径，进一步培养学生的动手能力，观察能力，分析、联想能力、与人合作交流的能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育。

学习内容分析 因此，这节课无论从知识上，还是在从学生能力的培养及情感教育方面都起着十分重要的作用。通过分析，我们看到“垂径定理”在教材中起着重要的作用，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有广泛的应用,因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用。

由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏，所以，对垂径定理的题设与结论区分是难点之一，同时，对定理的证明方法“叠合法”学生不常用到，是本节的又一难点。因此，本节课的难点是：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。

而理解垂径定理的关键是圆的轴对称性。

学习者分析 处于这一阶段的学生，对于圆的弦、弧、圆心角、圆周角已经了解，但对于它们之间的关系还不太明白，还需要在课堂上进一步引导，达到教学目标。

课程标准：进一步理解垂径定理和灵活运用垂径定理。

知识与技能：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力

教学目标

过程与方法：教师播放动画、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦

情感、态度与价值观：通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。

教学重点及解决措施 教学重点：理解垂径定理和灵活运用垂径定理。解决措施：选用引导发现法和直观演示法。让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理。

教学难点及解决措施 教学难点：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。解决措施：让学生实验、观察并得出猜想，然后引导学生分析上述猜想的条和结论，并将文字语言转化为符号语言，写出已知、求证，为分清定理的题设和结论作好铺垫，从而达到解决难点的目的。

整个教学设计内容分七个环节来完成。

1、复习提问---创设情境教师演示动画：将一等腰三角形对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，复习轴对称图形的概念。并提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？这样了解了学生的认知基础，带领学生作好学习新课的知识准备并逐步引入新课。

2、引入新课---揭示课题：在引入新课的同时，运用教具与学具（学生自制的圆形纸片）演示，让每个学生都动手实验、观察，通过实验，引导学生得出结论：(1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。（出示教具演示）。然后再请同学们在自己作的圆中作图：(1)任意作一条弦 AB；(2)过圆心作AB的垂线得直径CD且交AB于E。（出示教具演示）引导学生分析直径CD与弦AB的垂直关系，说明CD是垂于弦的直径，并设问：它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？这样就很自然地导出本节课的课题，此时板书课题 7.3垂直于弦的直径。这样通过全体学生参与实验，逐步导出新课。

教学设计思

3、讲解新课---探求新知：首先让学生实验、观察并得出猜想，然后引导学生分析上述猜想路

得出结论，并将文字语言转化为符号语言，写出已知、求证，为分清定理的题设和结论作好铺垫，从而达到解决难点的目的。接下来再对学生引导分析，让学生合作讨论，展示成果。最后师生共同演示、验证猜想的正确性，同时利用动画得出证明方法，从而解决本节课的又一难点——叠合法的证题方法。此时再板书垂径定理的内容。为了强调定理中的条件，我出示题组训练一，让学生抢答，根据实际情况进一步强调“垂”与“径”缺一不可，最后进行定理变式

4、定理的应用：为了及时巩固，帮助学生对所学定理的理解与使用讲完定理及变式后，我依据本班学生的实际情况及他们的心理特点，设计了包括例1在内的有梯度的，循序渐进的与物理、代数相关的变式题组训练二，让学生尝试。

5、巩固练习----测评反馈：为了检测学生对本课教学目标的达成情况，进一步加强定理的应用训练，我设计了与代数、物理相关的反馈题组训练三，针对学生解答情况，及时查漏补缺。

6、课堂小结---深化提高：至此，估计学生基本能够掌握定理，达到预定目标，这时，利用提问形式，师生共同进行小结

7、布置作业结合学生的实际情况，为了更好地因材施教，我的作业题分为必做题与选做题，必做题。目的是调动学生学习积极性，提高学生思维的广度，培养学生良好的学习习惯及思维品质，让学有余力的学生进一步的提高。另外，作业限时20分钟，减轻学生的负担，提高学习效率。

板书设计为了使本节课更具理论性、逻辑性，我将板书设计分为三部分，第一部分为圆的轴对称性，第二部分为垂径定理及其变式，第三部分为测评反馈区（学生板演区）。

设计要突出的特色：为了给学生营造一个民主、平等而又富有诗意的课堂，我以新数学课程标准下的基本理念和总体目标为指导思想在教学过程中始终面向全体学生，依据学生的实际水平，选择适当的教学起点和教学方法，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的情感体验。通过“实验--观察--猜想--证明”的思想，让每个学生都有所得，我注意前后知识的链接，进行各学科间的整合，为学生提供了广阔的思考空间，同时辅以相应的音乐，为学生创设轻松、愉快、高雅的学习氛围，在学习中感悟生活中的数学美。

依据的理论 做中学、引导发现法、直观演示法和合作学习。信息技术应用分析 知识点 定理内容0.例

1、巩固练习教学过程（可续页）教学环节 教学内容 所用时间 教师活动

教师演示动画：将一等腰三角形对折，导入新

启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称课，以动复习提问---创设画为契机5分钟

情境

提出问

圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否题。

是轴对称图形呢？

问题：如果以这个等腰三角形的顶点为

题

图形，复习轴对称图形的概念。并提出

学生回答问

利用动画引入对

学生活动

设计意图

学习水平媒体内容与形式 理解 应用

计算机显示内容

使用方式 计算机显示内容

使用效果 较好

计算机显示内容、黑板演示。计算机显示内容、黑板演示 增大练习量

学生动手实验、观察，通过实验得出结论：(1)圆是轴

学生动手实

对称图形；(2)经引入新课---揭示引入新课 5分钟

课题

出示教具演示，导出本节课题。

学生回答问

直线（注：不能说

题。

直径）都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。学生实验、观察并得出猜想，然后引

学生动手实

导学生分析上述讲解新课---探求探求新知 15分钟

新知

书垂径定理的内容

学生回答问

将文字语言转化

题。

为符号语言，写出已知、求证。

定理巩固练习

设计了包括例1在内的有梯度的，循序----测评反馈： 定理的应用： 定理的应10分钟

用

练二

渐进的与物理、代数相关的变式题组训

解题

掌握定理

验分组讨论，猜想得出结论，并

5.勾股定理教材教法 篇五

本节将进一步运用勾股定理及直角三角形的性质来解题。

主要是运用勾股定理进行有关的计算和证明，在有关直角三角形求边的计算中，只要分析出两个条件。(其中至少一边)就能解。要注意有时要利用边与边之间的关系，设未知数通过列方程来解几何题。

在运用勾股定理进行证明时，要结合已知条件和所学过的各种图形的性质适当添加辅助线构成直角三角形，同时要加强分析。讲解一些关于辅助线如何做的技巧。添加辅助线利用勾股定理或逆定理解题关键是构造出直角三角形，或使添加辅助线后得到的三角形可用逆定理判明其为直角三角形。