几何证明的分析和书写

几何证明的分析和书写（共6篇）

1.几何证明的分析和书写 篇一

几何证明中得证明思路和方法

知识点1证明中的分析

证明步骤：

（1）仔细审题分清楚命题的“条件”和“结论”或“已知”和“求证”；

依据已知条件画出图形，标出字母记号，并把条件用明显记号表示出来，有时因观察、书写需要用<1，<2 等来简化角的表述。

（2）探索证明方法充分利用已知条件和图形的性质；

采用从“已知”到“未知”综合地推导，或者采用“未知”到“已知”进行分析推导，也可以采用两头同时进行，达到思路沟通；有时还需要有目的地添加辅助线，能把不易直接证明的命题转化为另一个较易证明的问题。

（3）写出证明过程经过探索，找到证明的途径，用综合方法，层次清楚地有根据地从已知到未知，把证明的全过程写下来。

知识点2几何证明中常用的证明方法

（1）证两线平行——利用平行性质和判定；到目前为止，只能用平行线的判定定理及

其推论来证，这是证明两条直线平行最基本的方法。也就是说，证明两条直线平

行问题的关键是证有关的角相等或互补。

（2）证两线相等——利用三角形全等性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定；

证明线段相等的四种常用方法：

一、如果两线段分别在两个三角形中，那么可证这两个三角形全等。当缺

少条件时，可再证一对三角形全等。

二、如果两线段分别在两个三角形中，但是这两个三角形不全等，那么可

以添加辅助线构造全等三角形来证。常作的辅助线有：平行线，垂线

或连结线段等。

如果两线段是一个三角形的两边，那么可证它们所对的角相等。

证明两线段都等于第三条线段。有时还需要添加第三条线段作媒介。

三、四、（3）

（4）注意：有时需要综合运用上述四种方法才能奏效。证两角相等——利用三角形全等性质和判定、利用平行线性质，利用等腰三角形的性质和判定； 证两直线互相垂直——利用垂直定义、利用等腰三角形三线合一性质；

证明两条直线垂直的常用方法：

一、直接运用垂直定义，证两条直线的夹角是900；

二、三、使要证的垂直关系归结到一个直角三角形中去，证这个三角形的两个锐角互余。运用等腰三角形的“三线合一”的性质证明。

（5）

其中方法一可转化为方法二。无论哪种方法，最终大多转化为证两个角相等的问题。证一线段等于另一线段的二倍（或一半）——利用加倍法、折半法，常常要作辅助线。

2.几何证明的分析和书写 篇二

人教A版必修2等角定理 (如果空间中两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补) 的推导过程得出:平面中的公理定理对于空间图形, 需要经过证明才能应用.作业中的证明过程必须以书本上出现的公理定理为基础, 不能以直观结论或自认为正确的结论作为证明依据.笔者在“直线与平面平行的判定和性质”教学中, 学生作业中出现了几个典型的错误证明.现例举如下:

例1 求证:如果一条直线和两个相交平面平行, 则这条直线和两个平面的交线平行.

已知:如图1, α∩β=b, a∥α, a∥β.

求证:a∥b.

错证设经过a的一个平面与α 相交于直线c, 因为a∥α, 所以a∥c.

又因为a∥β, , 所以c∥β.

又因为, α∩β=b, 所以c∥b.

又因为a∥c, 所以a∥b.

该证明过程中用到:

结论1 a∥c, a, , a∥β, 则c∥β.

因为学生可以直观地得出, 并能确定结论1是正确的, 于是就直接应用到几何证明中.这个结论并不是书本上的公理定理, 需要我们事先给出证明才能用在其他几何证明中.该题必须用到直线与平面平行的性质定理, 正解如下:

证明如图2, 经过a的一个平面与α相交于直线c, 因为a∥α, 所以a∥c.

同理, 设经过a的另一平面与β相交于直线d, 所以a∥d, 所以c∥d, 则c∥β.

又因为, α∩β=b, 所以c∥b.

又因为a∥c, 所以a∥b.

例2 图3 为一简单几何体, 其底面ABCD为正方形, PD⊥ 平面ABCD, EC∥PD, 且PD =AD =2EC, 求证:BE∥ 平面PDA.

错证作PD的中点F, 连接AF, EF.

因为

又因为∠ADF=∠BCE=90°, 所以

BE∥AF.

又因为AF平面PDA, BE平面PDA, 所以BE∥平面PDA.

由题设学生可以直观得出:

结论2 两全等的三角形两对应边分别平行且方向相同, 则两对应第三边平行.

这个结论也需要我们事先给出证明.该题的正解如下:

证法1 因为EC ∥PD, PD平面PDA, EC平面PDA, 所以EC ∥ 平面PDA.同理可得BC∥平面PDA.

因为EC∩BC=C, 所以平面BEC∥ 平面PDA.

又因为BE平面EBC, 所以BE∥平面PDA.

证法2 作PD的中点F, 连接AF, EF.

因为EFAB, 所以四边形ABEF为平行四边形, 所以BE∥AF.

又因为AF平面PDA, BE平面PDA, 所以BE∥平面PDA.

例3 已知线段AB, CD异面, CDα, AB∥α, E, F分别是线段AC, BD的中点.求证:EF∥α.

错证1 因为AB∥α, 过点D作DH ∥AB, 连结CH, AH;

作AH的中点G, 连结EG, FG (图4) .所以四边形ABDH为梯形.

又因为FG为梯形ABDH的中位线, 所以FG∥HD.所以FG∥α.

又因为EG为 △AHC的中位线, 同理:EG∥α.

又因为EG∩FG=G, 所以平面EFG∥α.

所以EF∥α.

由题设学生可以直观得出:

结论3 如果一条直线平行于一个平面, 过该平面上的一点有且只有一条直线平行于已知直线.

这个结论也需要我们事先给出证明.上述证明过程中产生DH的方法若改为:“设相交直线AB, BD确定的平面ABD满足:平面ABD∩α=DH, 因为AB∥α, 所以DH∥AB.”便是正确运用性质定理得出DH∥AB的方法.

错证2 如图5, 根据已知AB与CD为异面线段, 可得A, B, C, D不共面.连结AD, 并取AD中点G, 可得E, F, G不共线, 故E, F, G确定一个平面.

因为G是BD的中点, 所以FG∥AB.

又AB∥α, 所以FG∥α.

因为E是AC的中点, 所以EF∥CD.

又因为

因为EG∩FG=G, 所以平面EFG∥α.

所以EF∥α.

该证明过程中用到结论1“a∥c, a, a∥β, 则c∥β”, 因此也是错误的.

该题一正解如下:

证明如图6, 连结AF并延长交α 于G, 连结DG, CG.

因为AG∩CD=F, 所以AG, BD确定γ, 且AB∥α,

因为α∥β, 所以AB∥DG.

所以∠ABF=∠GDF.

又∠AFB = ∠DFG, BF = DF, 所以△ABF≌△GDF.所以AF=FG.

又因为AE=CE, 所以EF∥BG.

因为, 所以EF∥α.

2 原因

结论1是由公理4 (平行线的传递性) 类比得到;结论2是由等角定理类比得到;结论3是由“过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”类比得到.造成上述错误的根源是学生盲目地认为类比推理得出的结论是正确的便可直接应用, 不需要先证明再使用.

若上述结论1, 2, 3出现在选择题的选项中, 学生能够直接判断是正确的, 所以在几何证明题中他们会错误地认为这些结论也可以直接应用.因此, 作业中的选择填空的直观判断也会影响几何证明的推理.

当然, 有的老师在立体几何教学中缺乏必要的提醒和学生对新学的定义、公理定理缺乏分析对比、归纳概括, 也是学生产生上述错误的重要原因.

3 对策

学生将直观结论直接应用于逻辑证明在立体几何学习中屡见不鲜, 下面就防止上述错误证法谈几点看法.

3.1 提前预防提醒, 避免直接应用

在教学立体几何的初始就要正面引导、提前提醒学生.如在公理2 (过不在一条直线上的3点, 有且只有一个平面) 的3个推论教学中, 学生不难理解3 个推论 (如推论2:两条相交直线确定唯一一个平面) .很多老师们因为课时的原因, 并没有给出3个推论的证明.笔者认为:公理2的3个推论师生应该共同探讨, 得出详细的证明过程.这样做, 一有助于提醒学生书本上出现的公理是不需要证明的, 而定理是需要证明的.同时由公理2推论1推论2推论3的推理过程强调:在几何证明中, 只能以现有的、我们学过的公理定理为依据证明其他结论, 由几何直观得出的结论必须经过证明才可以应用, 从而避免直观结论直接应用于逻辑证明.二也有助于在立体几何的学习中培养学生思维的严谨性和书写的规范性 (如证明定理要写明已知、求证和证明) .

3.2 及时归纳整理, 注意运用模型

在立体几何的教学中, 还要有计划、有目的地启发学生对平面几何与立体几何中有关的定理公理进行对比分析和归纳整理, 使学生深刻理解有关概念、定理公理并能灵活运用, 防止出现学生自己类比“创造”的结论用在几何证明中.特别是在直线与平面、平面与平面平行和垂直的性质学习中, 学生容易“创造”出如结论1, 2, 3的性质.因此, 在性质的教学中, 教师应强调性质定理的模型作用, 防止出现上述证明错误.

3.3 强调转化思想, 强化转化意识

3.一组不等式的几何证明 篇三

有下列一道复习题:已知a≥b>0, 用不等号从小到大连结下列各式:$\sqrt{ab},b,\frac{a+b}{2},a.$

本题只要通过变形、代换等代数方法, 就可以得到:$b\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le a.$

如果作进一步探讨, 还可以看到一组十分重要且应用广泛的不等式:

$b\le \frac{2ab}{a+b}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a{}^2+b{}^2}{2}}\le a$ (*)

我们可以给这组不等式几种解释, 并用几何方法证明它, 使同学们能从中体会它的几何意义.

如图1, 设梯形ABDC的上底AB的长为b, 下底CD的长为a, 用四条平行于上、下底的线段去截这个梯形, 交两腰于K, K′, L, L′, M, M′, N, N′.其中KK′过梯形对角线的交点O, LL′分梯形为两个相似的小梯形, MM′为梯形的中位线, NN′分梯形为两个面积相等的小梯形.

(1) 我们先证明:${\rm K}{{\rm K}}^{\prime }=\frac{2ab}{a+b},L{L}^{\prime }=\sqrt{ab},{\rm M}{{\rm M}}^{\prime }=\frac{a+b}{2},{\rm N}{{\rm N}}^{\prime }=\sqrt{\frac{a{}^2+b{}^2}{2}}.$

证明:因为AB//KK′//CD, 所以$\frac{{\rm O}{\rm K}}{CD}=\frac{{\rm K}A}{AC}=\frac{{{\rm K}}^{\prime }B}{BD}=\frac{{\rm O}{{\rm K}}^{\prime }}{CD}$.从而

$\begin{array}{l}{\rm O}{\rm K}={\rm O}{{\rm K}}^{\prime }=\frac{1}{2}{\rm K}{{\rm K}}^{\prime }.\\ \frac{{\rm O}{\rm K}}{AB}=\frac{CD}{CA}\end{array}$

, 故$\frac{{\rm O}{\rm K}}{AB-{\rm O}{\rm K}}=\frac{C{\rm K}}{CA-C{\rm K}}=\frac{C{\rm K}}{{\rm K}A}.$

类似可以得到, $\frac{{\rm O}{{\rm K}}^{\prime }}{CD-{\rm O}{{\rm K}}^{\prime }}=\frac{{{\rm K}}^{\prime }B}{D{{\rm K}}^{\prime }}.$

因为$\frac{C{\rm K}}{{\rm K}A}=\frac{D{{\rm K}}^{\prime }}{{{\rm K}}^{\prime }B}$, 从而$\frac{{\rm O}{\rm K}}{b-{\rm O}{\rm K}}=\frac{a-{\rm O}{{\rm K}}^{\prime }}{{\rm O}{{\rm K}}^{\prime }}$, 即$ab=a\cdot {\rm O}{\rm K}+b\cdot {\rm O}{{\rm K}}^{\prime }=\frac{1}{2}(a+b){\rm K}{{\rm K}}^{\prime }$.故${\rm K}{{\rm K}}^{\prime }=\frac{2ab}{a+b}.$

因为梯形ALL′B与梯形ACDL′相似, 所以$\frac{AB}{L{L}^{\prime }}=\frac{L{L}^{\prime }}{CD}$, 即LL′2=AB·CD=ab.故$L{L}^{\prime }=\sqrt{ab}.$

因为MM′是梯形ABDC的中位线, 显然有${\rm M}{{\rm M}}^{\prime }=\frac{AB+CD}{2}=\frac{a+b}{2}.$

若a=b, 则有2NN′2=a2+b2.不妨设a≠b, 则CA与BD必相交.设交点是P, 则△PAB∽△PNN′∽△PCD.

设S△PCD=S.因为相似三角形的面积之比等于对应边平方之比, 所以

$\begin{array}{l}S{}_{△{\rm P}AB}=\frac{AB{}^2}{CD{}^2}S=\frac{b{}^2}{a{}^2}S,\\ S{}_{△{\rm P}{\rm N}{{\rm N}}^{\prime }}=\frac{{\rm N}{{\rm N}}^{\prime }{}^2}{CD{}^2}S=\frac{{\rm N}{{\rm N}}^{\prime }{}^2}{a{}^2}S.\end{array}$

因为SNCDN′=SANN′B, .

即S△PCD-S△PNN′=S△PNN′-S△PAB,

所以2S△PNN′=S△PCD+S△PAB.

即$2\frac{{\rm N}{{\rm N}}^{\prime }{}^2}{a{}^2}=1+\frac{b{}^2}{a{}^2},$

故2NN′2=a2+b2, 即${\rm N}{{\rm N}}^{\prime }=\sqrt{\frac{a{}^2+b{}^2}{2}}.$

(2) 设KK′, LL′, MM′, NN′分别把梯形ABCD的高截成的两条线段的比是k1, k2, k3, k4, 显然有$k{}_1=\frac{b}{a},k{}_3=1.$

$\begin{array}{l}\text{而}k{}_2=\frac{b}{L{L}^{\prime }}=\frac{L{L}^{\prime }}{a}=\sqrt{\frac{b}{L{L}^{\prime }}\cdot \frac{L{L}^{\prime }}{a}}=\sqrt{\frac{b}{a}},\\ k{}_4=\frac{\frac{2S{}_{A{\rm N}{{\rm N}}^{\prime }B}}{AB+{\rm N}{{\rm N}}^{\prime }}}{\frac{2S{}_{{\rm N}CD{{\rm N}}^{\prime }}}{{\rm N}{{\rm N}}^{\prime }+CD}}=\frac{{\rm N}{{\rm N}}^{\prime }+a}{{\rm N}{{\rm N}}^{\prime }+b}.\end{array}$

因为a≥b, 故$\frac{b}{a}\le \sqrt{\frac{b}{a}}\le 1\le \frac{{\rm N}{{\rm N}}^{\prime }+a}{{\rm N}{{\rm N}}^{\prime }+b},$

即k1≤k2≤k3≤k4, 从而推出KK′≤LL′≤MM′≤NN′ (当且仅当a=b时, 等号成立) , 这就得出不等式 (*) 的证明.

江苏省泰州外国语学校

4.初中几何证明探源 篇四

何谓证明?“一个命题的正确性需要经过推理, 才能做出判断, 这个推理过程叫做证明。”人教版, 七年级下册21页, 如是说。诚然, 这不能说其不对, 但也确实不够清楚。什么是“推理过程”?具体问题又该如何“推理”?从课本的这段话中, 我们恐怕不易弄清以上问题。许多初学几何的初中生虽能朗朗上口地背诵定理, 但却不能真正理解其含义, 更谈不上对其的运用。那么, 为何初中生都普遍觉得几何难学呢?问题究竟出在哪里?这些问题本文将稍后逐步探讨。

几何学是一门非常古老的学科, 早在古希腊时期几何学就已经非常繁荣, 比如欧式几何。时至今日, 我们所学的初等几何基本上都是建立在经历了两千多年的欧式几何的基础之上的, 由此可见其古老性之一斑。虽然几何学由来已久, 并经过了数千年的积淀和研究, 然而它仍然令一代又一代的学习者为之困惑, 缘何?笔者认为, 几何学之难 (尤其是几何证明) 关键在于其形式化的公理、定理、性质以及演绎推理等。所谓形式化, 即是用一系列约定的符号 (如逻辑符号) 来表示概念、符号化命题以及推理, 并将一定范围内的所有正确的推理形式 (逻辑规律) 都汇集在一个整体中。在此基础之上, 由几条公理及公设出发, 并规定一些初始符号和规则, 经过有效的逻辑推理, 得出若干新的、正确的、可靠的结论 (即命题) , 这些命题的集合就形成一个公理系统, 这就是形式化几何。初中几何主要研究的是平面几何的图形性质及其数量关系, 在欧式几何的公理体系和框架下, 早已经形成了许多有关平面几何的命题, 但是教师在教学的过程中绝不能只告诉学生们一个结果, 更多时候教师需要引导他们去探索并发现规律, 总结和证明他们发现的规律, 要证明就必然要弄清形式化的推理。

下面, 本文就从数理逻辑的角度来探讨何谓推理?何谓证明?为此, 需要介绍一些有关的数理逻辑概念和符号。

一命题与逻辑运算符

定义1:具有确定真假性的陈述句称为命题。

凡是命题都有真值, 命题的真值只有两种情况, 即取自集合{0, 1}, 具体情况是:真命题的真值为1, 假命题的真值为0。

定义2:具有唯一确定真值的陈述句称为命题。

要判断一个语句是不是命题, 需要注意两点:一是先判断其是否为陈述句;其次是看其真值是否唯一确定, 这两个条件缺一不可。例如, “x>5, x∈R”, 该语句虽然是陈述句, 但却无法判断真假。因为x是可变的, 当x取3时, 其为假命题;当x取7时, 其为真命题。这类语句可称之为命题变元或称之为命题变量, 值得注意的是命题变元不是命题, 原因是其真值是可变的, 时真时假。此外, 还要特别注意像“我正在说谎话”这样的陈述句, 这个语句无论你假设其真值为“1”还是“0”都会推出矛盾, 这样的语句称之为悖论。在数学中比较著名的有“罗素悖论”。

通常命题可分为简单命题和复合命题, 简单命题就是不能分解成更简单的陈述句的命题, 简单命题也称为原子命题。复合命题就是除简单命题外的命题, 复合命题也可以理解为是由逻辑运算符联结简单命题而成的。为了便于后面的讨论, 本文约定用小写的英文字母p、q、r…表示命题或命题变元。

比较常用的逻辑运算符有5种: (1) “¬”称为否定运算符, 读为“非”。 (2) “∧”称为合取运算符, 读为“且”或“与”。 (3) “∨”称为合取运算符, 读为“或”。 (4) “→”称为蕴含运算符, 读为“蕴含”。 (5) “↔”称为等价运算符, 读为“等价”。

以上5种逻辑运算有其优先级, 规定其优先顺序为: () 、¬、∧、∨、→、↔, 其中“ () ”的意思是有 () 的就先算, 然后再按照¬、∧、∨、→、↔的顺序来做运算, 对于同一优先级的运算符, 先出现者先算。

二推理和证明

定义3:命题公式递归定义如下: (1) 单个的命题常量或命题变量是命题公式; (归纳基) 。 (2) 若A、B是公式, 那么¬A、A∧B、A∨B、A→B和A↔B也是命题公式; (归纳步) 。 (3) 所有的命题公式都是有限次使用 (1) 和 (2) 得到的符号串; (最小化) 。

在这里可以使用大小写英文字母表示命题公式, 英文字母还可带下标。以后在没有二义的情况下, 将命题公式简称为公式。命题逻辑的推理理论就是利用命题逻辑公式研究什么是有效的推理。

定义4:推理就是从前提集合开始演绎出结论的思维过程, 前提集合是一系列已知的命题公式, 结论是从前提集合出发应用推理规则推出的命题公式。

若前提是一系列真命题, 并且推理中严格遵守推理规则, 则推出的结论也是真命题。在命题逻辑中, 主要研究推理规则。

定义5:称蕴含式 (A1∧A2∧…∧An) →B为推理的形式结构, A1, A2, …, An为推理的前提, B为推理的结论。若 (A1∧A2∧…∧An) →B为永真式, 则称从前提A1, A2, …, An推出结论B的推理正确 (或说有效) , B是A1, A2, …, An的逻辑结论或称有效结论, 否则称推理不正确。若从前提A1, A2, …, An推出结论B的推理正确, 则记为 (A1∧A2∧…∧An) ⇒B。

通俗地讲 (A1∧A2∧…∧An) ⇒B即是说, 若A1, A2, …, An都正确, 则B也正确。清楚了什么是推理以及推理的结构后, 下面来讨论什么是证明。

定义6:证明是一个描述推理过程的命题公式序列A1, A2, …, An, 其中的每个命题公式或者是已知的前提, 或者是由某些前提应用推理规则得到的结论, 满足这样条件的公式序列A1, A2, …, An称为结论An的证明。

在证明中常用的推理规则有3条: (1) 前提引入规则:在证明的任何步骤都可以引入已知的前提; (2) 结论引入规则:在证明的任何步骤都可以引入这次已经得到的结论作为后续证明的前提; (3) 置换规则:在证明的任何步骤上, 命题公式中的任何子公式都可用与之等值的公式置换, 得到证明的公式序列的另一公式。

以上是一些基本的逻辑推理规则, 如何运用这些规则进行推理和证明呢?在定义6中可以看到, 证明实质上就是要把已知的命题公式按照一定顺序排列起来, 那么具体问题的证明要如何来将那些已知的条件、公理、定理、推论以及性质等 (诸如此类在逻辑上都可视为命题公式) 按照怎样的顺序来排列呢?下面, 通过初中几何中的具体实例进一步体会理解证明的实质。

求证:DE=DF。

分析:由△ABC是等腰直角三角形可知, ∠A=∠B=45°, 由D是AB中点, 可考虑连接CD, 易得CD=AD, ∠DCF=45°。从而不难发现△DCF≌△DAE。

证明:连接CD。

∴△DCF≌△DAE。

上述证明的过程, 实质上就是一个命题的序列, 可以如下来看: (1) 等腰三角形△ABC两腰相等 (AC=BC) ; (2) 等腰三角形△ABC两底角相等 (∠A=∠B) ; (3) 已知条件 (∠ACB=90°, AD=DB) ; (4) 等腰三角形△DCB两腰及两底角相等; (5) 等量减等量得等量 (AE=CF) , (4) 得出的结论 (∠A=∠DCB, AD=CD) ; (6) 三角形全等的判定定理SAS (△DCF≌△DAE) ; (7) 全等三角形对应边相等 (DE=DF) 。

这里的 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 不就是一个序列吗?并且序列中的 (7) 就是要证明的结论, 其实所有的证明都是如此, 只要按照逻辑的推理规则构造出一个包含证明结论的序列即可。那么, 在这七步的序列中运用了哪些推理规则呢? (1) 前提引入规则; (2) 前提引入规则; (3) 前提引入规则; (4) 假言推理规则; (5) 置换规则和结论引入规则; (6) 假言推理规则; (7) 假言推理规则。

数学能够非常有效地训练人的逻辑思维能力, 它是其他学科无可替代的, 而数学证明又是最为有效的途径, 正如罗增儒先生所说, 数学证明有助于获得新的体验、发现新的结论;有助于增进理解, 只有清楚了一个命题的证明, 才能真正理解该命题的内容。对于几何证明, 首先应该弄清题意, 明确证明方向即把握好题目的已知条件和要证明的结论, 然后结合图形理清思路, 把和本题有关的命题搜索出来, 再来思考需要用到哪些定理, 将其罗列出来, 最后按照逻辑的思维方法把它们构造成一个包含要证明结论的序列, 这就完成了证明的过程。

摘要：本文主要是从逻辑的角度来探讨什么是几何的形式证明, 以及如何来进行推理、构造证明的过程。首先引入了命题逻辑的初步知识, 由此得到了相应的一些运算, 利用这些相关概念以及运算探讨了什么是形式证明如何推理, 最终从逻辑结构上弄清了证明的过程是一系列命题所组成的一个序列, 并通过初中几何证明的具体实例加以证实。

关键词：形式证明,命题,逻辑推理,序列

参考文献

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[2]张顺燕.数学的源与流[M].北京:高等教育出版社, 2004

[3]耿素云.离散数学[M].北京:清华大学出版社, 2008

[4]刘叙华、姜云飞等.离散数学[M].北京:中央广播电视大学出版社, 1993

5.几何证明的分析和书写 篇五

谈到数学教学中的写作, 笔者想到著名哲学大师培根的一句话, 即“写作使人精确”, 意思是说在写作的过程中, 由于写作者要将自己的思维、思路用文字符号表达出来, 因此写作的过程, 就是复杂的思维加工过程, 而在这个过程中, 人的思维会由模糊走向清晰, 因而就有了写作使人精确的说法。几何证明讲究的是用最简洁的语言去完成一个逻辑严密、丝丝入扣的证明过程, 写作是基本功, 精确是最终目的。因此, 从这个角度来看, 在几何证明的教学中加强数学写作能力的培养也是符合几何教学的规律的。

有鉴于此, 笔者在实际教学中给予几何证明以更多的注意, 在实践的基础上形成了一些理论思考。在此, 将自己的理论思考用文字表达出来, 以期与同行们分享。

一、建立几何图景, 数学写作能力培养的基础

几何证明的重要特点在于学生头脑中要有一个清晰的几何图景———当然, 这个清晰是需要一个过程的, 我们所说的清晰的几何图景是指思维加工的最终结果。而这个几何图景由模糊变清晰的过程, 往往就显示了学生在面对几何证明题时的思维加工过程。

几何证明最基本的模式就是给出已知条件, 然后让学生去求解或求证。从学习心理学的角度来看, 这实际上是给了学生问题解决的起点, 要学生通过自己的思维加工, 获得由已知到求解与求证之间的证明思路。思路往往是思维的体现, 但作为解题尤其是考试, 最终是要通过文字将思维过程表达出来的, 根据学习心理学的研究, 这里存在一个思维向文字转换, 而从经验的角度来看, 这正是写作的过程。几何图景在这一过程中所起的是一个中转站的作用, 即学生在思维加工的过程中, 会自然产生一个几何图景, 这个图景将成为学生写出证明过程的有效载体。

以证明三角形全等为例。证明三角形全等有多种方法, 其中, “三条对应边相等的三角形是全等三角形” (SSS) 是比较基本的。当学生在运用这一规律进行证明时, 学生头脑中的几何图景是什么呢?根据我们的调查以及相关的理论学习, 学生头脑中此时的几何图景就是两个对应边相应的三角形, 而且它们能够完全重合 (即全等) 。有了这一几何图景之后, 学生再去进行写作就方便多了。而如果学生头脑中没有几何图景或者几何图景不清晰, 他们的证明过程就会变得很困难, 自然笔下也就无物了。

二、图形文字共析, 数学写作能力培养的途径

几何证明中的写作, 伴随的是一个文字与图形的一一对应。在日常的几何证明教学中, 我们让学生做得比较多的是努力写出证明过程, 而在这一现象背后的学生思维是什么呢?正是学生对照着几何图形, 利用所学的几何规律进行逻辑推理, 将自己的思路变成文字的过程。显然, 几何证明的主要目标有两个:一是图形, 二是文字。因此, 我们可以通过图文共析, 来培养学生的写作能力。

如一道普通的几何证明题:在正方形ABCD中, 点P是AB的中点;连接DP, 并过B点作BE⊥DP的延长线于E, 连接AE, 过点A作AF⊥AE交DP于点F, 连接BF。求证:PF=EP+EB。

由于篇幅所限, 笔者这里就不呈现具体的证明过程了。对这一题能够有效证明的师生会有一种共同的感觉, 即在此题的证明过程中, 基于图形进行分析, 明确直角三角形AFD与AEB全等, 并利用其中的其他等量关系, 即可完成证明。对于相当一部分学生来说, 要将这些关系用精确的语言表达出来, 且不出现歧义、空缺, 有时并不是一件轻而易举的事情。笔者的经验是, 对于初学者, 可以引导他们先在草稿纸上完成思路 (有兴趣的老师可以结合思维导图来完成) , 其中要特别强调每一个步骤与上一步骤是否关系严密, 有没有漏写的, 有没有错写的。必要的时候, 还可以提供部分写作不严密的学生的写作过程作为范例进行剖析。最简单也是最重要的, 就是几何证明中的“因为……所以……” (当然实际过程中用的是符号) , “因为”后面跟哪些条件, 这些“因为”为什么会成立, “所以”后面写哪些结果, 都是非常严谨的, 需要在培养过程中下大力气。这样通过正面引导和错例剖析, 可以让学生形成一个好的推理意识, 从而使得基于几何证明的数学写作能够形成较强的能力。

三、教师点拨提升, 数学写作能力提升的关键

数学写作能力的形成与一般能力不同, 考虑到其在学生学习过程中的时效性、重要性, 我们认为这种能力的培养离不开教师的点拨提升, 也就是说不能完全依靠学生的自悟来自然形成。而事实上, 我们在数学课堂上是很少进行有意识的写作能力的培养的, 因此学生除了在语文课堂上能够得到写作训练之外, 针对数学特点的写作培训相对就显得比较少。而根据我们的观察研究, 很多学生能够学好包括语文在内的所谓文科, 而对数学在内的理科学习则会存在困难。其中的重要原因就是没有结合学生的数学思维进行数学写作能力的培养。

也许有人认为数学与写作没有关系, 但在我们看来这却犯了学科至上主义的错误。作为学习, 数学与其他学科存在许多共通的地方, 尤其是写作本身就是思维的产物, 而数学学科则是思维的体操, 因此理论上说数学与写作有着密切的关系。而在我们的实践中, 当我们通过培养学生的数学写作能力, 以促进学生的数学学习时, 效果也是比较明显的。

当然, 这里要特别注意的是, 数学写作不能异化为写作任务的完成, 否则对于学生来说就是一个灾难。也就是说, 在数学写作能力培养的过程中, 兴趣仍然是第一位的, 无论多好的培养目的, 离开了兴趣几乎将一事无成。我们的经验是, 针对学生在包括几何证明在内的数学学习中容易出现的问题, 分析他们思维上存在的困难并通过多种方式帮他们克服这种困难。当他们在思维上觉得顺了的时候, 就要通过写作来体现这种思维的结果。事实证明, 这种由内而外、由隐而显的方式, 可以促进学生对数学知识掌握的清晰化, 可以促进学生的缄默知识变成显性知识, 对于数学学习而言, 价值是非常大的。

6.几何证明的分析和书写 篇六

1. 用解析法证明与动点相关的定值问题

建立恰当的直角坐标系，将命题中涉及的量用动点坐标表示，经过运算总可以得到定值。

例1.在△ABC中，AB=AC=4, P为BC上的任一点，求证：AP2+BP·PC=16。

思路：命题结论中的三条线段均与动点P相关，用动点P的坐标表示AP、BP及PC，命题可证。

证明：以BC所在直线为x轴，等腰△ABC的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系(如图1)。

设动点P的坐标为(x, 0)，点B、C的坐标为(-a, 0)、(a, 0) (|x|≤a, a>0) , 则A点的坐标为 (0,

例2.M是以AB为直径之圆上不同于A、B的任一点，C是直径AB上的定点，过M作与CM垂直的直线交过A、B之切线于D、E，求证：AD、BE之积为定值。

思路：此命题中有垂直关系，利用它将点D、E表示为动点M的坐标，命题可证。

证明：以圆直径AB所在直线为y轴，圆心为原点建立平面直角坐标系(如图2)。

设圆的半径为R，则圆的方程为x2+y2=R2, 点A、B的坐标为 (0, -R) 、 (0, R) , 令M点坐标为 (x, y) , E、D点坐标为 (x1, R) 、 (x2, -R) , C点坐标为 (0, -c) (R>0, c>0) 。

由E、M、D三点共线, 有

例3.若C、D是线段AB的三等分点，以CD为直径作圆，P为圆上异于C、D的任一点，求证：则tan∠APC·tan∠BPD为定值。

思路：此命题的结论是两角正切值之积为定值，涉及两对直线的夹角，可以用平面解析几何求两直线夹角的计算公式。只需用动点P的坐标表示过动点的四直线PA、PB、PC、PD的斜率，命题可证。

证明：以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系(如图3)。

设以CD为直径的圆半径为R，则圆方程为x2+y2=R2, A、B、C、D的坐标分别为(-3R, 0)、(3R, 0)、(-R, 0)、(R, 0)。又设动点P的坐标为 (x, y) , 则

例4.两圆内切于A，在大圆上任取一点P引小圆的切线PQ，求证：不论P的位置如何，PA∶PQ为定值。

思路：以两圆连心线所在直线为x轴，两圆切点为原点，建立平面直角坐标系。动点P、Q分别在两圆上，且PQ是小圆的切线，用其与小圆半径垂直关系，即可将两动点坐标相联系，命题可证。

证明：以两圆连心线OO′所在直线为x轴，两圆切点A为原点，建立平面直角坐标系(如图4)。

设大圆半径为R，小圆半径为r，则两圆方程分别为(x+R) 2+y2=R2， (x′+r) 2+y′2=r2，可令动点P、Q的坐标分别为(x, y)及(x′，y′)，连结QO′，由于PQ是小圆的切线，则有PQ⊥QO′。

2. 用解析法证明含有垂直关系的与动点相关的几何命题

从与动点相关的定值问题的证明中我们可以看到，含有垂直关系的命题，用解析法比较容易找到证明思路。

例5.设P为正方形ABCD边BC上任一点，过P引AP的垂线交∠C的外角平分线于Q，求证：AP=PQ。

思路：利用AP与PQ的垂直关系，用动点P的坐标表示AP及PQ，命题可证。

证明：以正方形ABCD的邻边BC、AB所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系(如图5)。

设正方形的边长为a，则A、B、C、D的坐标分别为(0, a)、(0, 0)、(a, 0)、(a, a)。又设动点P、Q的坐标分别为 (x, 0) 、 (a+y, y) 。

由AP⊥PQ, 有整理得y=x。

于是点Q的坐标为(a+x, x)。

例6.已知M是Rt△ABC的斜边之中点，动点P、Q分别在BA、CA上，且满足PM⊥QM，求证:PQ2=PB2+QC2。

思路：此命题中有两个动点，用垂直关系把两动点P与Q的坐标联系起来，命题可证。

证明：以Rt△ABC两条直角边所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系(如图6)。设点A的坐标为(0, 0)，点B、C的坐标分别为(a, 0)、(0, b)，则斜边BC中点M的坐标为。设动点P、Q的坐标分别为(x, 0)、(0, y)。 (a2, b2)

例7.P是正方形ABCD的边CD上的任一点，过D作AP的垂线分别交AP、BC于Q、R, O是正方形的中心，求证：OP⊥OR。

思路：与例6思路相同，此命题的两个动点为P、R，利用垂直关系将P、R的坐标相联系，命题可证。

证明：以正方形ABCD的中心为原点，平行于两双对边的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系(如图7)。

设正方形的边长为2a, 则A、B、C、D的坐标分别为 (-a, -a) 、 (a, -a) 、 (a, a) 、 (-a, a) 。又设动点P、Q的坐标分别为 (x, a) 、 (a, y) 。

整理得y=-x。

故DP⊥OR。

例8.如图8，在正方形ABCD内任取一点E，连结AE、BE，在△ABE外分别以AE、BE为边作正方形AEMN和BFGE，连结NC、AF，求证：NC∥AF。

思路：根据正方形邻边的垂直关系，把动点E的坐标与N、F点的坐标联系起来，命题可证。

证明：连结ND、FC，以△ABE为中介，由欧氏几何易得△AND艿△BFC。

以正方形ABCD的邻边AB、BC所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系。

设正方形ABCD的边长为a，则A、B、C、D的坐标分别为(0, a)、(0, 0)、(a, 0)、(a, a)。又设动点E的坐标为(x, y), F点的坐标为(e，-f)。则N点坐标为(a-e, a+f)。

联立(1)、(2)，解得e=y, f=x。

于是F点的坐标为(y，-x),

N点坐标为(a-y, a+x)。

故NC∥AF。

从以上各例可以看到，与动点相关的几何命题，只要建立适当的直角坐标系，用动点坐标表示相关的量，就很容易找到用解析法证明的思路，特别是含有垂直关系的命题，用解析法证明，往往可以收到奇效。因此我们可以形象地说，垂直关系是桥梁，动点坐标是纽带。

参考文献

[1]陈圣德.平面几何一题多证[M].福州:福建人民出版社, 1985.

[2]祝本初.平面几何证题手册[M].南宁:广西民族出版社, 1991.

[3]李长明, 周焕山.初等数学研究[M].北京:高等教育出版社, 1995.