高考数学导数高考题（7篇）
1.高考数学导数高考题 篇一
考点七 导数及其应用(一)
一、选择题
1．(2020·山东滨州三模)函数y＝ln
x的图象在点x＝e(e为自然对数的底数)处的切线方程为()
A．x＋ey－1＋e＝0
B．x－ey＋1－e＝0
C．x＋ey＝0
D．x－ey＝0
答案 D
解析 因为y＝ln
x，所以y′＝，所以y′|x＝e＝，又当x＝e时，y＝ln
e＝1，所以切线方程为y－1＝(x－e)，整理得x－ey＝0.故选D.2.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为()
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 A
解析 如图，在区间(a，b)内，f′(c)＝0，且在点x＝c附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，所以函数y＝f(x)在区间(a，b)内只有1个极小值点，故选A.3．(2020·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()
A．y＝－2x－1
B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3
D．y＝2x＋1
答案 B
解析 ∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，∴f(1)＝－1，f′(1)＝－2，∴所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为()
A．0
B．－5
C．－10
D．－37
答案 D
解析 由题意知，f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x<0或x>2时，f′(x)>0，当0 x＋f′(x)的零点所在的区间是() A.B． C．(1,2) D．(2,3) 答案 B 解析 ∵f(x)＝x2－bx＋a，∴二次函数的对称轴为x＝，结合函数的图象可知，0 x＋f′(x)＝aln x＋2x－b在(0，＋∞)上单调递增．又g＝aln ＋1－b<0，g(1)＝aln 1＋2－b>0，∴函数g(x)的零点所在的区间是.故选B.6．(2020·山东泰安二轮复习质量检测)已知函数f(x)＝(x－1)ex－e2x＋ax只有一个极值点，则实数a的取值范围是() A．a≤0或a≥ B．a≤0或a≥ C．a≤0 D．a≥0或a≤－ 答案 A 解析 f(x)＝(x－1)ex－e2x＋ax，令f′(x)＝xex－ae2x＋a＝0，故x－aex＋＝0，当a＝0时，f′(x)＝xex，函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f′(0)＝0，故函数有唯一极小值点，满足条件；当a≠0时，即＝ex－e－x，设g(x)＝ex－e－x，则g′(x)＝ex＋e－x≥2恒成立，且g′(0)＝2，画出函数g(x)和y＝的图象，如图所示．根据图象知，当≤2，即a<0或a≥时，满足条件．综上所述，a≤0或a≥.故选A.7．(多选)若直线l与曲线C满足下列两个条件：①直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；②曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.则下列结论正确的是() A．直线l：y＝0在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝x3 B．直线l：y＝x－1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y＝ln x C．直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝sinx D．直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝tanx 答案 ACD 解析 A项，因为y′＝3x2，当x＝0时，y′＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0,0)处的切线．当x<0时，y＝x3<0；当x>0时，y＝x3>0，所以曲线C在点P附近位于直线l的两侧，结论正确；B项，y′＝，当x＝1时，y′＝1，在P(1,0)处的切线为l：y＝x－1.令h(x)＝x－1－ln x，则h′(x)＝1－＝(x>0)，当x>1时，h′(x)>0；当0 x，即当x>0时，曲线C全部位于直线l的下侧(除切点外)，结论错误；C项，y′＝cosx，当x＝0时，y′＝1，在P(0,0)处的切线为l：y＝x，由正弦函数图象可知，曲线C在点P附近位于直线l的两侧，结论正确；D项，y′＝，当x＝0时，y′＝1，在P(0,0)处的切线为l：y＝x，由正切函数图象可知，曲线C在点P附近位于直线l的两侧，结论正确．故选ACD.8．(多选)(2020·山东威海三模)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，xf′(x)－f(x)＝xln x，且f＝，则() A．f′＝0 B．f(x)在x＝处取得极大值 C．0 D．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 答案 ACD 解析 ∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，xf′(x)－f(x)＝xln x，即满足＝，∵′＝，∴′＝，∴可设＝ln2 x＋b(b为常数)，∴f(x)＝xln2 x＋bx，∵f＝·ln2 ＋＝，解得b＝.∴f(x)＝xln2 x＋x，∴f(1)＝，满足0 x＋ln x＋＝(ln x＋1)2≥0，且仅有f′＝0，∴B错误，A，D正确．故选ACD.二、填空题 9．(2020·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________.答案 1 解析 f′(x)＝＝，则f′(1)＝＝，整理可得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.10．(2020·山东新高考质量测评联盟高三5月联考)曲线f(x)＝asinx＋2(a∈R)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x＋2，则a＝________.答案 －1 解析 f(x)＝asinx＋2(a∈R)，则f′(x)＝acosx，故当x＝0时，f′(0)＝a，又函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x＋2，所以a＝－1.11．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使体积最大，则高为________ cm.答案 解析 设高为h cm，则底面半径r＝ cm，所以体积V＝r2h＝h(400－h2)，则V′＝(400－3h2)．令V′＝(400－3h2)＝0，解得h＝.即当高为 cm时，圆锥的体积最大． 12．(2020·吉林第四次调研测试)若函数f(x)＝mx2－ex＋1(e为自然对数的底数)在x＝x1和x＝x2两处取得极值，且x2≥2x1，则实数m的取值范围是________． 答案 解析 因为f(x)＝mx2－ex＋1，所以f′(x)＝2mx－ex，又函数f(x)在x＝x1和x＝x2两处取得极值，所以x1，x2是方程2mx－ex＝0的两不等实根，且x2≥2x1，即m＝(x≠0)有两不等实根x1，x2，且x2≥2x1.令h(x)＝(x≠0)，则直线y＝m与曲线h(x)＝有两交点，且交点横坐标满足x2≥2x1，又h′(x)＝＝，由h′(x)＝0，得x＝1，所以，当x>1时，h′(x)>0，即函数h(x)＝在(1，＋∞)上单调递增； 当x<0和0 当x2＝2x1时，由＝，得x1＝ln 2，此时m＝＝，因此，由x2≥2x1，得m≥.三、解答题 13．(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围． 解(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1，令φ(x)＝ex＋2x－1，则φ′(x)＝ex＋2＞0，故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0，故当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． (2)由f(x)≥x3＋1，得ex＋ax2－x≥x3＋1，其中x≥0，①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意； ②当x＞0时，分离参数a得a≥－，记g(x)＝－，g′(x)＝－，令h(x)＝ex－x2－x－1(x≥0)，则h′(x)＝ex－x－1，令H(x)＝ex－x－1，则H′(x)＝ex－1≥0，故h′(x)单调递增，h′(x)≥h′(0)＝0，故函数h(x)单调递增，h(x)≥h(0)＝0，由h(x)≥0可得ex－x2－x－1≥0恒成立，故当x∈(0,2)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增； 当x∈(2，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减． 因此，g(x)max＝g(2)＝，综上可得，实数a的取值范围是.14．(2020·山东济南6月仿真模拟)已知函数f(x)＝aln (x＋b)－.(1)若a＝1，b＝0，求f(x)的最大值； (2)当b>0时，讨论f(x)极值点的个数． 解(1)当a＝1，b＝0时，f(x)＝ln x－，此时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＝，由f′(x)>0得0 所以f(x)max＝f(4)＝2ln 2－2.(2)当b>0时，函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，f′(x)＝－＝，①当a≤0时，f′(x)<0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以此时f(x)极值点的个数为0； ②当a>0时，设h(x)＝－x＋2a－b，(ⅰ)当4a2－4b≤0，即0 时，f′(x)≤0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以此时f(x)极值点的个数为0； (ⅱ)当4a2－4b>0，即a>时，令t＝(t≥0)，则h(t)＝－t2＋2at－b，t1＋t2＝2a>0，t1t2＝b>0，所以t1，t2都大于0，即f′(x)在(0，＋∞)上有2个左右异号的零点，所以此时f(x)极值点的个数为2.综上所述，当a≤时，f(x)极值点的个数为0；当a>时，f(x)极值点的个数为2.一、选择题 1．(2020·山东省实验中学4月高考预测)已知函数f(x)＝3x＋2cosx，若a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是() A．a B．c D．b 解析 根据题意，函数f(x)＝3x＋2cosx，其导函数f′(x)＝3－2sinx，则有f′(x)＝3－2sinx>0在R上恒成立，则f(x)在R上为增函数．又由2＝log24 B．有3个极小值点 C．有1个极大值点和2个极小值点 D．有2个极大值点和1个极小值点 答案 D 解析 结合函数图象可知，当x0，函数y＝g(x)－f(x)单调递增；当a A．4f(－2)<9f(3) B．4f(－2)>9f(3) C．2f(3)>3f(－2) D．3f(－3)<2f(－2) 答案 A 解析 首先令g(x)＝x2f(x)，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，当x>0时，g′(x)>0，g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(x)是偶函数，所以4f(－2)＝g(－2)＝g(2) A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋ C．y＝x＋1 D．y＝x＋ 答案 D 解析 设直线l与曲线y＝的切点为(x0，)，x0＞0，函数y＝的导数为y′＝，则直线l的斜率k＝，直线l的方程为y－＝·(x－x0)，即x－2y＋x0＝0.由于直线l与圆x2＋y2＝相切，则＝，两边平方并整理得5x－4x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－(舍去)，所以直线l的方程为x－2y＋1＝0，即y＝x＋.故选D.5．(2020·山东青岛一模)已知函数f(x)＝(e＝2.718为自然对数的底数)，若f(x)的零点为α，极值点为β，则α＋β＝() A．－1 B．0 C．1 D．2 答案 C 解析 ∵f(x)＝∴当x≥0时，令f(x)＝0，即3x－9＝0，解得x＝2；当x<0时，f(x)＝xex<0恒成立，∴f(x)的零点为α＝2.又当x≥0时，f(x)＝3x－9为增函数，故在[0，＋∞)上无极值点；当x<0时，f(x)＝xex，f′(x)＝(1＋x)ex，当x<－1时，f′(x)<0，当x>－1时，f′(x)>0，∴当x＝－1时，f(x)取到极小值，即f(x)的极值点β＝－1，∴α＋β＝2－1＝1.故选C.6．(2020·山西太原高三模拟)点M在曲线G：y＝3ln x上，过M作x轴的垂线l，设l与曲线y＝交于点N，＝，且P点的纵坐标始终为0，则称M点为曲线G上的“水平黄金点”，则曲线G上的“水平黄金点”的个数为() A．0 B．1 C．2 D．3 答案 C 解析 设M(t,3ln t)，则N，所以＝＝，依题意可得ln t＋＝0，设g(t)＝ln t＋，则g′(t)＝－＝，当0 3<0，且g＝－2＋>0，g(1)＝>0，所以g(t)＝ln t＋＝0有两个不同的解，所以曲线G上的“水平黄金点”的个数为2.故选C.7．(多选)(2020·山东济宁邹城市第一中学高三下五模)已知函数f(x)＝x3＋ax＋b，其中a，b∈R，则下列选项中的条件使得f(x)仅有一个零点的有() A．a B．a＝ln (b2＋1) C．a＝－3，b2－4≥0 D．a＝－1，b＝1 答案 BD 解析 由题知f′(x)＝3x2＋a.对于A，由f(x)是奇函数，知b＝0，因为a<0，所以f(x)存在两个极值点，由f(0)＝0知，f(x)有三个零点，A错误；对于B，因为b2＋1≥1，所以a≥0，f′(x)≥0，所以f(x)单调递增，则f(x)仅有一个零点，B正确；对于C，若取b＝2，f′(x)＝3x2－3，则f(x)的极大值为f(－1)＝4，极小值为f(1)＝0，此时f(x)有两个零点，C错误；对于D，f(x)＝x3－x＋1，f′(x)＝3x2－1，易得f(x)的极大值为f＝＋1>0，极小值为f＝－＋1>0，可知f(x)仅有一个零点，D正确．故选BD.8．(多选)(2020·山东省实验中学4月高考预测)关于函数f(x)＝＋ln x，下列判断正确的是() A．x＝2是f(x)的极大值点 B．函数y＝f(x)－x有且只有1个零点 C．存在正实数k，使得f(x)>kx成立 D．对任意两个正实数x1，x2，且x2>x1，若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2>4 答案 BD 解析 函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数f′(x)＝－＋＝，∴在(0,2)上，f′(x)＜0，函数单调递减，在(2，＋∞)上，f′(x)＞0，函数单调递增，∴x＝2是f(x)的极小值点，故A错误；y＝f(x)－x＝＋ln x－x，∴y′＝－＋－1＝<0，函数在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)－1＝2＋ln 1－1＝1>0，f(2)－2＝1＋ln 2－2＝ln 2－1<0，∴函数y＝f(x)－x有且只有1个零点，故B正确；若f(x)＞kx，可得k<＋，令g(x)＝＋，则g′(x)＝，令h(x)＝－4＋x－xln x，则h′(x)＝－ln x，∴在(0,1)上，函数h(x)单调递增，在(1，＋∞)上，函数h(x)单调递减，∴h(x)≤h(1)＜0，∴g′(x)＜0，∴g(x)＝＋在(0，＋∞)上单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k，使得f(x)＞kx恒成立，故C错误；令t∈(0,2)，则2－t∈(0,2)，2＋t＞2，令g(t)＝f(2＋t)－f(2－t)＝＋ln (2＋t)－－ln (2－t)＝＋ln，则g′(t)＝＋·＝＋＝<0，∴g(t)在(0,2)上单调递减，则g(t)＜g(0)＝0，令x1＝2－t，由f(x1)＝f(x2)，得x2＞2＋t，则x1＋x2＞2－t＋2＋t＝4，当x2≥4时，x1＋x2＞4显然成立，∴对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＞4，故D正确．故选BD.二、填空题 9．(2020·山东高考实战演练仿真四)设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x3＋f′x2－x，则f′(1)＝________.答案 0 解析 因为f(x)＝x3＋f′x2－x，所以f′(x)＝3x2＋2f′x－1.所以f′＝3×2＋2f′×－1，则f′＝－1，所以f(x)＝x3－x2－x，则f′(x)＝3x2－2x－1，故f′(1)＝0.10．若f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1对x∈R恒成立，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为________． 答案 10x＋4y－5＝0 解析 ∵f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1，① ∴f(－x)＋3f(x)＝－x3－2x＋1，② 联立①②，得f(x)＝－x3－x＋，则f′(x)＝－x2－1，∴f′(1)＝－－1＝－，又f(1)＝－－1＋＝－，∴切线方程为y＋＝－(x－1)，即10x＋4y－5＝0.11．(2020·广东湛江模拟)若x1，x2是函数f(x)＝x2－7x＋4ln x的两个极值点，则x1x2＝________，f(x1)＋f(x2)＝________.答案 2 4ln 2－ 解析 f′(x)＝2x－7＋＝0⇒2x2－7x＋4＝0⇒x1＋x2＝，x1x2＝2，f(x1)＋f(x2)＝x－7x1＋4ln x1＋x－7x2＋4ln x2＝(x1＋x2)2－2x1x2－7(x1＋x2)＋4ln (x1x2)＝4ln 2－.12．(2020·山东济宁嘉祥县高三考前训练二)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且对任意的实数x都有f′(x)＝－f(x)(e是自然对数的底数)，且f(0)＝1，若关于x的不等式f(x)－m<0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是________． 答案(－e,0] 解析 ∵f′(x)＝－f(x)，∴[f′(x)＋f(x)]ex＝2x＋3，即[f(x)ex]′＝2x＋3.设f(x)ex＝x2＋3x＋c，∴f(x)＝.∵f(0)＝1，∴c＝1，∴f(x)＝，∴f′(x)＝＝－.由f′(x)>0，得－2 由f′(x)<0，得x>1或x<－2，∴函数f(x)在(－2,1)上单调递增，在(－∞，－2)和(1，＋∞)上单调递减，如图所示． 当x＝－2时，f(x)min＝－e2.又f(－1)＝－e，f(－3)＝e3，且x>0时，f(x)>0，由图象可知，要使不等式f(x) 三、解答题 13．(2020·江苏高考)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示，谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式h1＝a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式h2＝－b3＋6b.已知点B到OO′的距离为40米． (1)求桥AB的长度； (2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点)．桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价k(万元)(k>0)．问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？ 解(1)由题意，得|O′A|2＝－×403＋6×40，∴|O′A|＝80.∴|AB|＝|O′A|＋|O′B|＝80＋40＝120.答：桥AB的长度为120米． (2)设|O′E|＝x，总造价为f(x)万元，|O′O|＝×802＝160，f(x)＝k＋k ＝k(0＜x＜40)，∴f′(x)＝k.令f′(x)＝0，得x＝20(x＝0舍去)． 当0＜x＜20时，f′(x)＜0；当20＜x＜40时，f′(x)＞0，因此当x＝20时，f(x)取最小值． 答：当O′E＝20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.14.(2020·四川成都石室中学一诊)设函数f(x)＝x－sinx，x∈，g(x)＝＋cosx＋2，m∈R.(1)证明：f(x)≤0； (2)当x∈时，不等式g(x)≥恒成立，求m的取值范围． 解(1)证明：因为f′(x)＝－cosx在x∈上单调递增，所以f′(x)∈，所以存在唯一x0∈，使得f′(x0)＝0.当x∈(0，x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以f(x)max＝max＝0，所以f(x)≤0.(2)因为g′(x)＝－sinx＋m，令h(x)＝－sinx＋m，则h′(x)＝－cosx＋m.当m≥0时，m≤0，由(1)中的结论可知，－sinx≤0，所以g′(x)≤0，所以g(x)在x∈上单调递减，所以g(x)min＝g＝，满足题意． 当－ 当x∈时，h′(x)>0，g′(x)单调递增． 而g′(0)＝－m>0，g′＝0，所以存在唯一x2∈，使得g′(x2)＝0.当x∈(0，x2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减． 要使当0≤x≤时，g(x)≥恒成立，即⇒m≥，所以≤m<0.当m≤－，x∈时，h′(x)≤0，所以当x∈时，g′(x)单调递减，又g′＝0，所以g′(x)≥0，所以g(x)在x∈上单调递增，所以g(x)≤g＝，与题意矛盾． 综上，m的取值范围为. 例1 (2011年高考数学山东文科) 曲线y=x3+11在点P (1, 12) 处的切线与y轴交点的纵坐标是 () . 分析这是一道利用导数解决曲线的切线的问题.可以先求函数y=x3+11在x=1处的导数, 得到切线的斜率, 然后求出切线的方程, 再求出切线与y轴交点的纵坐标. 解∵y'=3x2, k=3, ∴切线方程是y-12=3 (x-1) , 即y=3x+9, 令x=0得y=9, 即切线与y轴交点的纵坐标是9, ∴选择C. 说明根据导数的几何意义, 函数f (x) 在x=x0处的导数f' (x0) , 就是函数f (x) 在其曲线上点 (x0, f (x0) ) 处的切线的斜率, 根据这一几何意义就可以利用导数求出切线的斜率, 再利用直线方程的点斜式就可以得到所求切线的方程;利用导数解决曲线的切线问题, 可以是选择题、填空题, 也可以是解答题, 但题目一般都不难, 属中档题或偏容易题. 例2 (2012年北京高考数学理科第18题) 设函数f (x) =ax2+1 (a>0) , g (x) =x3+bx. (1) 若曲线y=f (x) 与曲线y=g (x) 在它们的交点 (1, c) 处具有公共切线, 求a, b的值; (2) 当a2=4b时, 求函数f (x) +g (x) 的单调区间, 并求其在区间 (-∞, -1]上的最大值. 分析这是一道利用导数研究函数的单调性与最值的试题. 解 (1) 由 (1, c) 为公共切点可得: 又f (1) =a+1, g (1) =1+b, ∴a+1=1+b, a=b. 单调递减, 在 单调递增. (1) 若 , 即0 (2) 若 即2 (3) 若 , 即a≥6时, 最大值为 综上所述, 当a∈ (0, 2]时, 最大值为 当a∈ (2, +∞) 时, 最大值为 说明利用导数研究函数的单调性、极值及最值是每年高考必考内容, 在高考数学试卷中, 对于函数的解答题, 一般情况下都是利用导数来研究函数的单调性或最值, 这类题型一般都是中档题或偏难题. 例3 (2012年高考数学山东理科第12题) 设函数 若y=f (x) 的图像与y=g (x) 的图像有且仅有两个不同的公共点A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则下列判断正确的是 () . A.当a<0时, x1+x2<0, y1+y2>0 B.当a<0时, x1+x2>0, y1+y2<0 C.当a>0时, x1+x2<0, y1+y2<0 D.当a>0时, x1+x2>0, y1+y2>0 解析令 , 则1=ax3+bx2 (x≠0) , 设F (x) =ax3+bx2, F' (x) =3ax2+2bx. 令F' (x) =3ax2+2bx=0, 则 , 要使y=f (x) 的图像与y=g (x) 的图像有且仅有两个不同的公共点, 只需 整理得4b3=27a2, 于是可取a=±2, b=3来研究, 当a=2, b=3时, 2x3+3x2=1, 解得 , 此时y1=-1, y2=2, 此时x1+x2<0, y1+y2>0;当a=-2, b=3时, -2x3+3x2=1, 解得 此时y1=1, y2=-2, 此时x1+x2>0, y1+y2<0.答案应选B. （★★★★）必做1 定义在正实数集R+上的函数f（x）满足下列条件： ①存在常数a（0 ②对任意实数m，当x∈R+时，有f（xm）=mf（x）． （1）求证：对于任意正数x，y，f（xy）=f（x）+f（y）； （2）证明：f（x）在正实数集上单调递减； （3）若不等式f（log（4－x）+2）－f（loga（4－x）8）≤3恒成立，求实数a的取值范围． 破解思路 本题以抽象函数为背景，考查函数的性质． 第1问利用条件结合指数函数的性质可证；第2问通过构造x1=x2t（t>1），再运用第1问的结论证明；第3问先利用函数的单调性“脱”去f，再分离a3，结合均值不等式求a的取值范围． 精妙解法 （1）因为x，y均为正数，且0 又f（x）+f（y）=f（am）+f（an）=mf（ａ）＋ｎｆ（ａ）＝m+n，所以f（xy）=f（x）+f（y）． （2）任设x1，x2∈R+，x1>x2，可令x1=x2t（t>1），t=aα（α<0）． 则由⑴知f（x1）－f（x2）=f（x2t）－f（x2）=f（x2）+f（t）－f（x2）=f（t）= f（aα）=αf（a）=α<0，即f（x1） （3）令log（4－x）=t，原不等式化为f（t2+2）－f（8t）≤3，其中t>0． 因为f（x）－f（y）=f（x）+f=f且f（a）=1（0 极速突击 对于抽象函数问题，我们心中要有具体的初等函数与之对应，比如此题中的抽象函数便可与指数函数对应． 金刊提醒 函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用．因此，我们要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律．函数的图象是函数关系的一种表现形式，它从“形”的方面显示了函数的性质，刻画了函数的变化规律，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性．高考总是以几种基本初等函数的图象为载体来考查函数图象． 基本初等函数 （★★★★★）必做2 已知函数f（x）=ax2+（b－8）x－a－ab（a≠0），当x∈（－3，2）时， f（x）>0；当x∈（－∞，－3）∪（2，+∞）时， f（x）<0． （1）求f（x）在［0，1］内的值域； （2）c为何值时，不等式ax2+bx+c≤0在［1，4］上恒成立？ 破解思路 第1问，－3，2是方程ax2+（b－8）x－a－ab=0的两根，得f（x）的解析式；第2问，不等式恒成立问题的常见解法有数形结合法、分离参数与主元法． 精妙解法 由题意得x=－3和x=2是函数f（x）的零点且a<0，则0=a·（－3）2+（b－8）·（－3）－a－ab，0=a·22+（b－8）·2－a－ab，解得a=－3，b=5，所以f（x）=－3x2－3x+18． （1）函数f（x）的对称轴为x=－，结合图象知，其在［0，1］内单调递减．当x=0时，y=18；当x=1时，y=12，所以f（x）在［0，1］内的值域为［12，18］． （2）法1：令g（x）=－3x2+5x+c，则g（x）在，+∞上单调递减． 要使g（x）≤0在［1，4］上恒成立，则需g（x）max=g（1）≤0，即－3+5+c≤0，解得c≤－2． 法2：不等式－3x2+5x+c≤0在［1，4］上恒成立，即c≤3x2－5x在［1，4］上恒成立． 令g（x）=3x2－5x，显然g（x）在［1，4］上单调递增，则g（x）min=g（1）= －2，即当c≤－2时，不等式ax2+bx+c≤0在［1，4］上恒成立． 误点警示 （1）易忽视对二次项系数的讨论；（2）不会用独立参数法求取值范围． （★★★★）必做3 已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x－1）+g（1－x）=x2－2x－1，且g（1）=－1． 令f（x）=gx++mlnx+（m∈R，x>0）． （1）求g（x）的表达式； （2）设1 破解思路 本题以二次函数为背景，考查导数、不等式． 第1问用待定系数法求得g（x）； 第2问运用导数，构造函数、利用函数的单调性证明． 精妙解法 （1）设g（x）=ax2+bx+c，所以g（1－x）+g（x－1）=2a（x－1）+2c=（x－1）2－2，所以a=，c=－1． 又g（1）=－1，则b=－，所以g（x）=x2－x－1． （2）由（1）知f（x）=gx++mlnx+=x2+mlnx，H（x）=x2+mlnx－（m+1）x，所以H′（x）=，所以对x∈［1，m］，H′（x）=≤0，所以H（x）在［1，m］内单调递减． 于是H（x1）－H（x2）≤H（1）－H（m）=m2－mlnm－，H（x1）－H（x2）<1m2－mlnm－<1m－lnm－<0． 记h（m）=m－lnm－（1 极速突击 证明函数单调性的方法： 1． 定义法：设x1，x2∈A且x1 2． （多项式函数）用导数证明： 若f（x）在某个区间A内有导数，则f ′（x）≥0（x∈A）f（ｘ）在A内为增函数； f ′（x）≤0（x∈A）f（ｘ）在A内为减函数． 金刊提醒 二次函数作为最基本的初等函数，可以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其他平面曲线讨论相互之间的关系．三个“二次”一直是高考数学的热点． 导数及其应用 （★★★★★）必做4 设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是奇函数，它的图象记为曲线C，P（1， f（1））是曲线C上的一点，以P为切点与曲线C相切的直线方程是l：y=－2x+2． （1）求函数f（x）的解析式． （2）过P与曲线C相切的直线除了l外，还存在其他直线吗？若有，请再求出一条来；若没有，请说明理由． （3）是否存在这样的实数t，使过点Q（1，t）可以作三条直线与曲线C相切？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由． 破解思路 “三次型”函数的导数是二次函数，我们往往可以通过研究二次函数的根的分布来解决此类问题． 精妙解法 （1）f（－x）=－ax3+bx2－cx+d，由f（x）是奇函数知f（－x）=－f（x）对一切实数x恒成立，从而b=d=0，所以f（x）=ax3+cx， f ′（x）=3ax2+c． 点P在l上，则有f（1）=0，即a+c=0． 又f ′（1）= 3a+c=－2，解得a=－1，c=1，所以?摇f（x）=－x3+x， f ′（x）=－3x2+1． （2）存在其他切线m过点P． 设切点T（x0，－x+x0）且x0≠1，则kPT= f ′（x0），即=－3x+1，即2x－x0－1=0，x0=1（舍去），或x0=－，切点为－，－，可得切线方程为x－4y－1=0． （3）同（2），切点为T（x0，－x+x0），则有kQT=f ′（x0），即=－3x+1，t=2x－3x+1． 设g（s）=2s3－3s2+1－t，三条直线与曲线C相切，则函数g（s）=2s3－3s2+1－t必有三个不同的零点，也即g（s）的极大值为正，极小值为负． 由g ′（s）=6s2－6s=6s（s－1）知，g（s）在（－∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，则g（0）>0，g（1）<0，即1－t>0，－t<0，0 误点警示 求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“点P处的切线”的差异，在过点P的切线中，点P不一定是切点，也不一定在已知曲线上． 极速突击 求函数f（x）图象上点P（x0， f（x0））处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k，由导数的几何意义知k=f ′（x0），故当f ′（x0）存在时，切线方程为y－f（x0）=f ′（x0）（x－x0）. （★★★★★）必做5 已知函数f（x）=ln（2ax+1）+－x2－2ax（a∈R）． （1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值； （2）若y=f（x）在［3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围； （3）当a=－时，方程f（1－x）=+有实根，求实数b的最大值． 破解思路 本题考查运用导数的工具性研究函数的性质及方程的根． 第1问利用f ′（2）=0求值；第2问由f′（ｘ）≥0在区间［3，+∞）上恒成立，分类讨论求得a的取值范围；第3问先分离b=xlnx+x2－x3，再构造函数g（x）=xlnx+x2－x3，转化为求g（x）的值域． 精妙解法 （1）f ′（x）=+x2－2x－2a=． 因为x=2为f（x）的极值点，所以f ′（2）=0． 即－2a=0，解得a=0． 又当a=0时，f′（x）=x（x－2），从而x=2为f（x）的极值点，成立． （2）因为f（x）在区间［3，+∞）上为增函数，所以f ′（x）=≥0在区间［3，+∞）上恒成立． ①当a=0时， f ′（x）=x（x－2）≥0在［3，+∞）上恒成立，所以f（x）在［3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意． ②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1>0对x≥3恒成立，故a>0，所以2ax2+（1－4a）x－（4a2+2）≥0对x∈［3，+∞）上恒成立． 令g（x）=2ax2+（1－4a）x－（4a2+2），其对称轴为x=1－，因为a>0，所以1－<1，从而g（x）≥0在［3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可． 因为g（3）=－4a2+6a+1≥0，解得≤a≤． 又a>0，所以0 （3）若a=－时，方程f（1－x）=+可化为，lnx－（1－x）2+（1－x）=． 问题转化为b=xlnx－x（1－x）2+x（1－x）=xlnx+x2－x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2－x3的值域． 以下给出两种求函数g（x）值域的方法． 法1：因为g（x）=x（lnx+x－x2），令h（ｘ）=lnx+x－x2（x>0），则h′（x）=+1－2x=，所以当0 法2：因为g（x）=x（lnx+x－x2），所以g′（x）=lnx+1+2x－3x2． 设p（x）=lnx+1+2x－3x2，则p′（x）=+2－6x=－． 当0 当x>时，p′（x）<0，所以p（x）在，+∞上单调递减． 因为p（1）=0，故必有p>0． 又p=－2+1+－<－<0， 所以必存在实数x0∈，使得g′（x0）=0，所以当0 当x0 当x>1时，g′（x）<0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减． 又g（x）=xlnx+x2－x3=x（lnx+x－x2）≤xlnx+，当x→0时，lnx+<0，则g（x）<0，又g（1）=0． 所以当x=1时，b取得最大值0． 误点警示 直接由f ′（x0）=0不能确定f（x）在x=x0处是否取得极值，还必须看f ′（x）在x=x0左、右的函数值的符号情况，因此本题第1问易忽略验证的过程． （★★★★★）必做6 已知函数f（x）=ax+x2－xlna，a>1． （1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； （2）函数y=f（x）－t－1有三个零点，求t的值； （3）对x1，x2∈［－1，1］，f（x1）－f（x2）≤e－1恒成立，求a的取值范围． 破解思路 第1问只须证明f（x）的导函数在（0，+∞）上恒正． 第2问中，函数y=f（x）－t－1有三个零点等价于f（x）=t±1有三个根，涉及根的个数一般采用数形结合法解决，因此需要作函数y=f（x）的草图，作两条水平直线y=t±1并适当移动即可得出结论． 第3问中，f（x1）－f（x2）max≤e－1f（x）max－f（x）min≤e－1，求出f（x）的最大值和最小值并用a来表示，建立关于a的不等式． 由于结果是超越不等式，故其解法通常只有两种，图解法或构造函数法． 后者一般先用观察法看出对应方程的一个根，再用导数研究其单调性，最后写出结果． 精妙解法 （1）f ′（x）=axlna+2x－lna=2x+（ax－1）lna． 由于a>1，当x∈（0，+∞）时，lna>0，ax－1>0，所以f ′（x）>0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增． （2）令f ′（x）=2x+（ax－1）lna=0，得到x=0． x， f（x）， f ′（x）的变化情况如表1： 表1 因为函数y=f（x）－t－1有三个零点，所以f（x）=t±1有三个根． 又因为当x→∞时， f（x）→+∞，所以t－1=f（x）min=f（0）=1，故t=2． （3）由（2）可知f（x）在区间［－1，0］上单调递减，在区间（0，1］上单调递增，所以f（x）min=f（0）=1， f（x）max=max｛f（－1），f（1）｝． f（－1）=+1+lna， f（1）=a+1－lna， f（1）－f（－1）=a－－2lna． 记g（x）=x－－2lnx，则g′（x）=1+－=－1≥0（仅在x=1时取到等号），所以g（x）=x－－2lnx递增． 因为a>1，所以g（a）>g（1）=0，故f（1）－f（－1）=a－－2lna>0，所以f（1）>f（－1）． 于是f（x）max= f（1）=a+1－lna． 故对x1，x2∈［－1，1］，f（x1）－f（x2）max＝f（1）－f（0）＝a－lna． 再令h（a）=a－lna，因为a>1，所以h′（a）=1－>0，所以h（a）在（1，+∞）上递增． a－lna≤e－1可化为h（a）≤h（e），所以1 误点警示 a－lna≤e－1是一个超越不等式，无法常规求解，观察式子结构，通过函数单调性求解． 极速突击 构造函数的实质是构造一种新的数学形式，使得问题在这种新形式下得到解决，用它可以证明不等式，解不等式，求参数取值范围等． 比如要证明f（x）>g（x），x∈（a，b），可以转化证明f（x）－g（x）>0，x∈（a，b），由此构造函数F（x）=f（x）－g（x），对新函数求导，判断它的单调性，求出极值（最值），当F（x）min>0时，即可证得原不等式成立． 金刊提醒 数学一直是让很多同学头疼的问题，而其中的导数部分更是让一些同学思路不清，本次答疑过程中，众多同学对导数的解题思路提出了问题，另有多名同学询问了数学成绩应该如何学习和提高，下面是对本次答疑的情况汇总，希望对同学们的数学，尤其是导数部分的学习有所帮助。 一、数学应该怎样提高 问题1：数学0基础 姚瑶老师：如果0基础，那么我们就专攻几个简单易拿分的模块，比如复数、集合、线性规划、程序框图、三角函数与解三角形、简单的等差等比数列以及立体几何等，找出前几年的高考题，看看都考了哪些简单模块，一个模块练几十道，绝对会有效果的，别放弃，只要努力一定能看到进步! 问题2：老师，怎样构建数学知识模块体系，求方法 姚瑶老师：合上书本，拿出白纸，利用思维导图去整理数学中的知识点，以及你想起的和这个知识点有关的任何东西，比如常用的公式变型，考试考过的题型，这样会非常清晰的知道自己哪里熟练哪里薄弱哪里有漏洞，再拿着书本笔记去对照看看哪里漏了什么，把漏洞补上。这样就可以建立一个只属于你自己的个性化知识体系。建议可以一段时间整理一次，每一次都会有新的收获。 问题3：我大题都不会做 姚瑶老师：如果大题都不会做，那么选择填空问题可能也会比较多，我的建议是现在专攻几个简单易拿分的模块，比如复数、集合、线性规划、程序框图、三角函数与解三角形、简单的等差等比数列以及立体几何等，找出前几年的高考题，看看都考了哪些简单模块，一个模块练几十道，绝对会有效果的，别放弃，只要努力一定能看到进步! 问题4：数学明明好多题都做过!可是才考40多分 姚瑶老师：考试时发现很多题目都做过都很熟悉，但是自己不会做。有两种可能第一前一次做的时候会，现在不会了;第二前一次做的时候不会或者说是很不熟练半蒙半猜的做的，现在还不会。第一种情况看看是不是很长时间没有做过这个类型的题了，知识点有些遗忘，做题时有种心有余而力不足的感觉，这个时候我们要做的就是复习，把这个知识点涉及到的考试题型拿出来，大量练习找回感觉。如果是第二种，那就要问问自己当时有问题不会做，有没有弄懂，老师讲了或者看了答案之后是不是真的明白了，有没有合上答案自己重新做一遍，有没有做错题的“回访”，我们很多时候感觉自己会了并不是真的会，要在过一段时间之后，再做没有问题了才可以，因此要好好看看是不是之前的改错工作没有做到位。 问题5：老师，您好。对于第二轮复习，我是属于成绩较低下的学生，我就背公式，可实战效果还是不明显，最后的时间应如何实质信突破。谢谢。 姚瑶老师：公式确实要背，但是不能脱离题目去背，建议拿出前两年的高考题模拟题，把简单模块中每一道题考到的公式整理出来，看看是如何应用在解题过程中的。建议把集合、复数、平面向量、函数的奇偶性与单调性判断、线性规划、导数求切线、等差等比数列的基本题型、圆锥曲线标准方程、三角函数、统计概率、解不等式、点线面位置关系以及选做题等题型掌握，这些题型涉及到的公式定理知识点都属于比较容易掌握的类型。看到你和一位同学都是广东文科，所以把这几个模块也回答在你这里。加油!这个时候必须要坚持大量练习!把基础模块把握住。 问题6：姚姐姐你好，小弟数学一直以来都是90分无法突破，选择题通常错4个，填空2个，很想求教如何提高数学成绩，在此小弟不甚感激 姚瑶老师：首先解决选填问题，看看出错的原因是什么，是知识点有漏洞题目就是不会，还是审题或者计算出现问题，因为低级错误导致失分。如果是前者那么弥补漏洞，大量练习就可以了;如果是后者就要看看为何会出现粗心不认真的情况，把出错的计算单独拿出来，我们不会算错，为什么放到这个题目里我们就错了，有很大的可能是这个题目考察的知识点我们存在一些细节上的问题，导致看到题目从心理上就有些畏惧，把注意力更多的集中到了思路方法层面上，而对计算有些轻忽，导致出错，那么我们要从问题的本质入手，把这个题目涉及的知识点好好总结复习是解决问题的关键。还要提高做题速度，也是先解决知识点不熟练的本质问题。如果就是做题慢，那么提高速度只能靠平时多练习。建议我们在平时做选择填空练习的时候掐时间，每天练一套，经过一段时间的训练，一定会有进步。 方法和思路总结出来只是一个开端，建议找往年的真题进行练习，重要的是坚持!加油! 问题7：老师，我数学一点也不会，能考20分，只剩40多天了，压力特大，该咋办啊? 姚瑶老师：首先平稳心态，越级越容易出错，学习的效果也不好，然后建议拿出前两年的高考题模拟题，把简单模块中每一道题考到的公式整理出来，看看是如何应用在解题过程中的。建议把集合、复数、平面向量、函数的奇偶性与单调性判断、线性规划、导数求切线、等差等比数列的基本题型、圆锥曲线标准方程、三角函数、统计概率、解不等式、点线面位置关系以及选做题等题型掌握，这些题型涉及到的公式定理知识点都属于比较容易掌握的类型。加油，每种题型下功夫练上几十道，一定会有效果的。四十多天，那天每天只练会一个知识点做会一种题型，积累起来也是一个超级大的进步!别放弃，加油! 问题8：数学五六十分 姚瑶老师：这个时候专攻几个简单模块，建议拿出前两年的高考题模拟题，把简单模块中每一道题考到的公式整理出来，看看是如何应用在解题过程中的。建议把集合、复数、平面向量、函数的奇偶性与单调性判断、线性规划、导数求切线、等差等比数列的基本题型、圆锥曲线标准方程、三角函数、统计概率、解不等式、点线面位置关系以及选做题等题型掌握，这些题型涉及到的公式定理知识点都属于比较容易掌握的类型。加油，每种题型下功夫练上几十道，一定会有效果的。嗯，当然也可以同学们相互帮助!(ˉ▽￣～) ~~ 问题9：老师，现在大概100分左右的成绩应该把复习重点放在哪里?50天还可以提高到多少分?还有圆锥曲线总是不会怎么办?立体几何大题太耗时间了，如何可以快速做对做完? 姚瑶老师：100分，看看你出错的地方在哪里，肯定有基础题型没有拿到满分，建议先把这一部分处理一下。立体几何如果耗时间说明前面点线面位置关系的证明不够熟练，要把几个证明的定理在重新巩固复习一下。圆锥曲线第一问应该是必须拿分的，第二问根据题目判断是设直线还是设点，如果设直线，那么就联立，整理成一元二次方程形式，列出判别式和韦达定理，就能得到一半以上的分数，后面就是根据问题看如何使用韦达定理，进行运算，平时可以多总结需要联立的题型。如果是设点的题目，那么就根据题目里的已知条件和问题，写出数学式子，进行整理和变型。 五十天老师也不敢保证可以提高多少分，说一下老师自己的情况吧，高考，一模成绩600，高考成绩650。一切皆有可能!加油! 问题10：老师您好，我们是一名高一的理科生，但我的数学成绩非常差，每次总是倒数几名，我很担心自己，每次总是拿着一张低分数的试卷，默默的记着笔记，很伤心自卑，我想请教您，有没有可以学好数学的方法，谢谢 姚瑶老师：首先看看数学成绩不好是因为什么，不喜欢数学?哪个知识听不懂?计算容易出错?等等，希望你能先找到自己的问题所在，然后我们再一起研究如何解决。现在先提一个小建议，如果咱们数学考试成绩不好，那么能不能在改完错之后，隔一段时间重新做一遍整张卷子呢，也就是做一做错题的“回访”，看看是不是真的掌握了，咱们不要求以后的考试成绩必须考的多好，先把以前的错题真真正正的搞明白好吗?加油，刚刚高一，以后还有很长时间来让你进步的!千万不要放弃呀!加油!↖(^ω^)↗ 问题11：老师，我数学一般都能有100多，就是选填55左右，后面4个大题至少有3个多的分，然后最后两个的第一问拿分，最后一个导数最后一个小题就直接扔了 姚瑶老师：建议选填在多加把劲，如果选择题出现了问题，首先要判断错误原因，是知识点有漏洞题目就是不会，还是审题或者计算出现问题，因为低级错误导致失分。如果是前者那么弥补漏洞，大量练习就可以了;如果是后者就要看看为何会出现粗心不认真的情况，把出错的计算单独拿出来，我们不会算错，为什么放到这个题目里我们就错了，有很大的可能是这个题目考察的知识点我们存在一些细节上的问题，导致看到题目从心理上就有些畏惧，把注意力更多的集中到了思路方法层面上，而对计算有些轻忽，导致出错，那么我们要从问题的本质入手，把这个题目涉及的知识点好好总结复习是解决问题的关键。 至于做题时间，也是先解决知识点不熟练的本质问题。如果就是做题慢，那么提高速度只能靠平时多练习。建议我们在平时做选择填空练习的时候掐时间，每天练一套，经过一段时间的训练，一定会有进步。 后面前四道大题问题不大，导数和圆锥曲线看看是不是因为时间不够，那先去提升前面选填的速度和正确率。 问题12：老师您好，我想问一下，怎么利用这段时间再提高一下数学，有什么方法吗? 姚瑶老师：如果是基础薄弱的同学，建议把集合、复数、平面向量、函数的奇偶性与单调性判断、线性规划、导数求切线、等差等比数列的基本题型、圆锥曲线标准方程、三角函数、统计概率、解不等式、点线面位置关系以及选做题等题型掌握，这些题型涉及到的公式定理知识点都属于比较容易掌握的类型。 如果是本身成绩很好想拔高，可以做做往年的压轴题，这类题没有什么出题规律，但是可以通过往年的题目开拓一下思路。 最后就是要调整心态，加油!希望能帮到你! 问题13：最近注重公式和课本，但在实战依旧突破不了60??是我的方法错了，该如何调整? 姚瑶老师：注重课本是对的，我觉得你可能还是基础有问题，公式背下来还要背下来题型，建议把集合、复数、平面向量、函数的奇偶性与单调性判断、线性规划、导数求切线、等差等比数列的基本题型、圆锥曲线标准方程、三角函数、统计概率、解不等式、点线面位置关系以及选做题等题型掌握，这些题型涉及到的公式定理知识点都属于比较容易掌握的类型。分模块练习，会看到进步的。 问题14：感觉不会变通，只是死记方法的一些题会做，着急。。。 姚瑶老师：要思考，我们做完题要反思要总结，看看题目用的方法是什么，想想为什么用到这个题目里，并且要把这个题用到的知识点都整理出来，有时候我们的不会变通只是因为对老题理解的不透彻，对新题分析的不到位，那么我们就要强迫自己去做总结反思的工作。 问题15：老师你好! 请问一下我考试成绩稳定不了怎么办? 特别是数学 姚瑶老师：考试成绩不稳定说明知识点有漏洞，建议把每次考试成绩低的时候的错误都分析一下，看看有没有相同的地方，把错误的知识点好好整理复习一下，一定会有进步的。 问题16：老师，我的数学只有二三十分，时间不多了，求你帮帮我吧!老师，你怎么不回复我?老师，教教我吧! 姚瑶老师：咱们这个时候专攻几个简单模块，建议拿出前两年的高考题模拟题，把简单模块中每一道题考到的公式整理出来，看看是如何应用在解题过程中的。建议把集合、复数、平面向量、函数的奇偶性与单调性判断、线性规划、导数求切线、等差等比数列的基本题型、圆锥曲线标准方程、三角函数、统计概率、解不等式、点线面位置关系以及选做题等题型掌握，这些题型涉及到的公式定理知识点都属于比较容易掌握的类型。每种题型下功夫练上十几道二十道，一定会有效果的。而且越是到了关键的时候越是要放平心态，忙中出错呀!加油!希望你能在之后的这四十几天努力，还是有希望的! 问题17：老师我的数学很差有什么技巧可以提分么 姚瑶老师：建议把集合、复数、平面向量、函数的奇偶性与单调性判断、线性规划、导数求切线、等差等比数列的基本题型、圆锥曲线标准方程、三角函数、统计概率、解不等式、点线面位置关系以及选做题等题型掌握，不要失去信心，下狠心，把每一类题型都练个几十道一定有效果的，加油! 问题18：数学怎么样才能学好，多做题吗。请老师解说一下 姚瑶老师：多做题是一个方法，但是要理解要学会总结，找到做过的题目的共通的点，这样才能举一反三，毕竟我们的时间精力有限，不可能无限的做题，也总会遇到我们没有做过的，因此分析题目找共同点找方法是我们在学习中要做到的事情。 问题19：老师，文数应怎样复习～买了本真题～该怎样有效率的弄会呢 姚瑶老师：真题是套卷吗，如果现在时间比较紧张，可以把选填和大题分开来做。效率高是我们一直追求的，建议每次做题都要掐时间，判成绩，千万不要一道题不会就卡住想半天，或者看答案，把每一次做题都当做考试来对待，毕竟现在是考一次少一次了!加油! 问题20：老师我的数学真的好差好差，怎么办啊，只有60分，说出来都嫌丢人 姚瑶老师：什么时候都不要失去信心，这是第一件事。我们现在确实可能时间比较紧张，不要想着还有多少多少题不会做，从现在开始每天都多弄明白一个知识点多做对一道题，每一天都会有改进，到高考的时候一定会有很大的进步!给你一些模块的建议，集合、复数、平面向量、函数的奇偶性与单调性判断、线性规划、导数求切线、等差等比数列的基本题型、圆锥曲线标准方程、三角函数、统计概率、解不等式、点线面位置关系，这些模块比较基本，建议优先练习!萌萌哒妹纸，加油! 问题21：老师。考试的时候可以做不对但是到班级就算出来了，是紧张还是什么别的原因怎么才能克服呢 姚瑶老师：如果这种情况应该就是心理原因，我们高考考的不仅是知识点，更多的是心态，这件事老师帮不了你，你只能靠自己。平时在做题练习的时候尽量掐时间，模拟考试时的场景。对待错题更严格，保证错了的题认认真真的弄清楚，不要让自己心虚。有时候我们紧张也是因为一些知识点不熟练，可以看看到底是哪个题我们考试做不对，考完就会，平时对这些知识点多关照一些!我相信你是有实力也能够发挥出来的!加油! 问题22：老师，数学总是50多分，时间不多了，该怎么提高数学分数呢?教教我吧! 姚瑶老师：集合、复数、平面向量、函数的奇偶性与单调性判断、线性规划、导数求切线、等差等比数列的基本题型、圆锥曲线标准方程、三角函数、统计概率、解不等式、点线面位置关系以及选做题等题型掌握，这些题型涉及到的公式定理知识点都属于比较容易掌握的类型。加油，每种题型下功夫练上几十道，一定会有效果的。时间越是紧张，我们越要稳，忙中出错!每天看一点，有一点进步就是成功，一定要坚持到最后! 问题23：徘徊在110左右 感觉基础很牢的。求解 姚瑶老师：如果基础牢固，看看是不是见到的题型少导致分数没有达到预期，可以看看往年的高考模拟真题练习，见的题型多了思路才能打开，有时候我们做题往往是卡在了一个点上想不到，希望你回去好好分析一下以往的试卷，看看都是在哪些题目上拿不到分，然后有针对性的练习。 问题24：老师,艺术生应该怎么攻题 姚瑶老师：大题按照题型去练习，把选做、三角函数、概率、立体几何这几道题练会，可以把往年的真题模拟题都翻出来，就做这些。小题关注集合、复数、程序框图、线性规划、简单函数奇偶性与单调性的判断、二项式定理、统计、积分，都是把往年的题目进行汇编，坚持练习，会有效果的。 问题25：老师，数学在哪里能够拿分多一点啊，那些大题不奢望，本来数学就是渣渣，老师都没正眼看过我 姚瑶老师：集合、复数、平面向量、函数的奇偶性与单调性判断、线性规划、导数求切线、等差等比数列的基本题型、圆锥曲线标准方程、三角函数、统计概率、解不等式、点线面位置关系等，微微凉!加油啊!不要放弃呀! 问题26：老师，怎么才能让数学学好 姚瑶老师：这个问题好大，我们从小学一年级就开始学习数学，到了大学一些专业还是会有高数，但是也经常有同学问我，现实生活真的用得到导数吗?真的用得到三角函数吗?其实我们学习的过程远比结果重要。首先你要找到一个适合你的学习方法，然后你要能够养成一个良好的学习习惯，最后就是坚持!到最后你会发现数学成绩好只是一个顺带的结果。如果你觉得老师说的太假大空，那么我就提一个小小的建议，如果你在每天都认真学习数学的基础上，能保证当天的问题当天解决，也就是不带着问题入睡，那么你的数学一定很不错了! 问题27：老师我脑子笨 姚瑶老师：是容易忘记公式，还是一些知识点理解不了呢?确实有的同学就是智商高，天赋好，但是有句话叫勤能补拙啊!我不知道你今年高几，但是我希望你千万别放弃，不和别人比，也别看自己还差多少，看看自己每天能做多少!每天多记一个公式，每天多会一道题，积少成多，量变产生质变!加油! 问题28：老师，数学应该怎么做，感觉每一道题都会，等到做的时候又做不出来了 姚瑶老师：说明有漏洞，自己仔细想想，做的时候是卡在哪里做不出来了，现在查缺补漏是关键，建议找出做过的试卷，把试卷上的每一道题目涉及到的知识点方法都进行总结，确保自己真的会了!而不是看着答案会了。加油!我相信你有潜力的! 问题29：老师，考试时怎么分配好时间啊?特别是做到后面就急了，会做的做错了。。 姚瑶老师：一般来讲选填大概五十分钟以内完成，大题导数和圆锥曲线每道留十五分钟左右，其他题目每道十分钟左右，如果平时做题慢看看是不是知识点有漏洞?有时候知识点掌握的熟练程度也影响了我们的做题速度，这个时候查漏补缺是关键。 高考数学复习中的10大典型问题 问题1：老师，为什么我每一次写题目看这题目不知从何下手，但我们老师一讲，我就会，麻烦您解答一下，谢谢。 刘熹老师：是的，一道题老师讲懂可能是他的水平，但只有你理解了并能做才能真正变成你的东西，不知从和下手时，先看看有没有做过类似的例题，当时是怎么做的，以及试着去理解题目后面给的书面解答。你可能是“听觉型”的学生，但需要强化“视觉”和“感觉”技能。 问题2：高考前两三个月数学要怎么去复习，怎样提高分数，避免高考出错? 刘熹老师：最后两三个月，重点磨合解题技巧，熟悉做题的流程策略，设计好各类意外的处理预案，最后再针对能够提升的部分强化一下，然后做好最后一刻复习或者考前提醒的准备。 问题3：是刷题海，还是该注重基础知识记忆? 刘熹老师：注重基础知识，但不是记忆，应该是理解，仅靠记忆做好的数学题，不能牢靠和长久。 问题4：老师，有什么好的方法可以有助于把庞杂的知识体系整理清楚吗? 刘熹老师：有，每次用一张白纸把知识模块以“思维导图”的形式梳理出来，我不建议总看书上的知识框架而是自己总结，因为你总结完了拿给老师，老师能够告诉你哪里有漏洞，然后再针对性强化。 问题5：老师，对于基础只有50左右的，最好在哪下手补? 刘熹老师：50左右，根据大考常考题型，强攻一道大题，一道大题10分左右呢。练20个类似的怎么也掌握了。 问题6：错题集感觉没什么用，看了当时记得过了一久就忘记了，刷题也是一样，应该如何学习才更有效率?求回复 刘熹老师：有些学生用错题集是没有太大用的，如果是容易忘记，其实你更需要的是笔记，以及自己去梳理知识框架。然后错题留着检验，考前再做一遍看看复习是否有效就好。 问题7：老师好，可以推荐一些好的教辅吗? 刘熹老师：这边一般用五年高考三年模拟，然后还有王后雄学案，也有学校用创新方案，低年级有名师一号啥的。不过据另一位数学老师说，“教辅是个伪命题”，你去挑一本最喜欢的，然后吃透就可以了。 问题8：数学成绩不稳定，忽高忽低，主要是选择填空有时候错的太多。而且经常答不完数学。怎么样才能在限定的时间内是正确率上去，多做题吗?现在高三，很紧张。很害怕考数学，老师，求回复!!!! 刘熹老师：成绩不稳定，其实最需要的是稳定，选填错的太多，一般我给的建议都是练30套选填，关键是执行力!!!别害怕，我给你举个励志的例子，我新接了一个学生，给他分析了他的问题后，在期末考试中提高了40-50分，我就讲了一个小时，我和他说，你看你这几次竟然填空第一个都错了，那我就一个要求，你下次注意考试时，这道题必须做对，做不对，别来见我! 问题9：还剩140天左右，现在是刷综合卷重好呢，还是分考点专项训练比较好? 刘熹老师：其实是都要做的，每5套卷子，建议以3选填，1综合，3简单大题，3复杂大题，1综合的节奏，据测效率比较高。可以混合着刷的呀，然后要注意总结哦。 问题10：讨厌数学的要怎样学? 1.圆锥曲线 圆锥曲线题，第一问求曲线方程，注意方法(定义法、待定系数法、直接求轨迹法、反求法、参数方程法等等)。一定检查下第一问算的数对不，要不如果算错了第二问做出来了也白算了。 第二问有直线与圆锥曲线相交时，记住“联立完事用联立”，第一步联立，根据韦达定理得出两根之和、两根之差、因一般都是交于两点，注意验证判别式>;0，设直线时注意讨论斜率是否存在。 第二步也是最关键的就是用联立，关键是怎么用联立，即如何将题里的条件转化成你刚才联立完的x1+x2和x1x2，然后将结果代入即可，通常涉及的题型有弦长问题(代入弦长公式)、定比分点问题(根据比例关系建立三点坐标之间的一个关系式(横坐标或纵坐标)，再根据根与系数的关系建立圆锥曲线上的两点坐标的两个关系式，从这三个关系式入手解决)、点对称问题(利用两点关于直线对称的两个条件，即这两点的连线与对称轴垂直和这两点的中点在对称轴上)、定点问题(直线y=kx+b过定点即找出k与b的关系。 2.立体几何 立体几何题，证明题注意各种证明类型的方法(判定定理、性质定理)，注意引辅助线，一般都是对角线、中点、成比例的点、等腰等边三角形中点等等，理科其实证明不出来直接用向量法也是可以的。计算题主要是体积，注意将字母换位(等体积法); 线面距离用等体积法。理科还有求二面角、线面角等，用建立空间坐标系的方法(向量法)比较简单，注意各个点的坐标的计算，不要算错。 3.导数 高考导数压轴题考察的是一种综合能力，其考察内容方法远远高于课本，其涉及基本概念主要是：切线，单调性，非单调，极值，极值点，最值，恒成立，任意，存在等。 1.一般题目中会有少量文字描述，所以就会涉及文字的简单翻译。 2.题目中最核心的描述为各类式子：主要为普通类型：一般涉及三次函数，指对数，分式函数，绝对值函数，个别情况会涉及三角函数，特殊类型：主要含有x1,x2,f(x1),f(x2)类型。 解题思路：文字翻译处理一般较简单，核心为式子运算变形处理，对于特定式子主要通过模板解决，重点是导数压轴题中一般式子运算变形处理策略，同时会涉及一些复杂拓展图形的认识和快速作图能力。 高考数学考试需要注意什么 技巧：做题中要总结答题方法 大家都知道平时多做练习题可以提高做题速度，但有好多考生却没有好好的进行练习规划，导致学习效率不高。在此，刘业瀚提醒建议各位考生，平时练习尽量选择简单题和中等题来训练。并且顺序是从选择题开始，然后是简单、中等的解答题，而后是填空题，最后有时间了才去练习所谓的“最后一题”。在选择题训练上，减少死记硬算，多加入思考的比重。处理选择题上，思维和技巧摆在第一位。然后是中等题和简单题，我们要总结答题思路和解答步骤，你会发现即使是不同的题型，在解题思路上有太多的相似点。把这些相似点总结出来，你会发现可以应用到各个题型。 每一道题或每一套题都掐好时间，前面刚开始做题的时候可以放慢一些，多训练解题思维。当你总结完解题思维后，就需要尽量缩短做题时间。 准确率：考试中尽量不回头做检查 在考试当中，有一部学生喜欢检查，但准确率不高，也有一部分学生做完后不检查，而准确率很高。那么，是什么原因导致试题准确率不高呢?其实，最关键在细心。在检查到错误后许多学生会很庆幸因此挽回了分数，但是仔细想想为何会有错误答案，这多半是由于马虎、计算失误或者知识点掌握不牢，才会在考试时依赖检查。 在做数学试题时，首先要注意三点： 注意审清考试题目;计算步骤要计算细心;基础知识不可大意。其实这三点归根结底是要求考生要细心，避免不必要的丢分。从高考数学试题分布上来讲，考试时间有限，而且试题难易程度不等，考生要合理安排考试时间和答题策略。 草稿：一定要注重草稿的清晰度 打草稿，这一词想必大家都不陌生，在每科考试中都会用到草稿纸，尤其是在数学考试中用到的最多。草稿纸的主要作用是方便考生解题，避免在试卷上乱写乱画。在数学考试中，有一部分学生在答题时不注意草稿纸的清晰结构化，而是左一道题右一道题的进行计算，在做完试题后回头查看草稿纸时，却找不到试题的计算步骤了，导致又重新计算了一遍，这样不仅浪费了个人精力而且还浪费了考试时间。针对这一细节，刘业瀚提醒各位考生要养成一个好习惯，在考试中可以分区使用草稿纸，这样能够减少很多不必要的时间。 高考数学需要注意哪些问题 1.拓实基础，强化通性通法 高考对基础知识的考查既全面又突出重点。抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。 2.认真阅读考试说明，减少无用功 在平时练习或进行模拟考试时，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。 3.抓住重点内容，注重能力培养 高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。 4.关心教育动态，注意题型变化 由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复习与训练。一定要用新的教学理念进行高三数学教学与复习。 5.细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误 数学是人类文明的火车头,数学史是人类文化的重要组成部分.我国在1952年颁布的《中学数学教学大纲(草案)》就指出:在教学过程中应当让学生注意数学史在文化上的巨大价值.2003年颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》在关于课程的基本理念中,明确指出要体现数学史的文化价值:数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势;数学对推动社会发展的作用;数学科学的思想体系;数学的美学价值;数学家的创新精神. 随着课程改革的不断深入,数学的人文价值更明显地凸显出来,已普遍受到重视.纵观最近几年的高考,出现了一些以数学史为载体的高考试题,成为新课改理念下高考改革和发展的一道靓丽风景.尤其是湖北省,已经连续多年命制此类考题,逐渐形成了湖北高考数学卷的一大特色和亮点.这一方面是为学生在平时学习时关注数学史提供“导向”,另一方面数学史作为一种数学文化走进高考,让高考试卷平添了几分文化色彩与气息;使高考试卷不再是“枯燥无味”、“冰冷”的“人才考查”的一个工具,而是有趣有味的人文作品,读之赏心悦目,思之奥妙无穷,回味之意犹未尽. 1 试题扫描 查阅了部分省份近年来的高考数学试卷,其中含数学史料的题型(见表1): 从表1发现,几乎每年都会出现与数学史相关的试题,涉及数学题材的内容极为丰富,如古老的“毕达哥拉斯数”、“回文数”、“阿波罗尼斯圆”、“秦九韶算法”以及古籍文献中的立体几何的相关问题等. 高考试卷的题型有选择、填空、解答及推演论证,以期通过运用数学史来考查学生的学习能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力. 2 启示 2.1 体现稳定与创新并举 高考数学一直在贯彻“坚持稳定为主,注重基础考查,突出能力立意,着力内容创新,不一味迎合中学数学教学模式,因此,从实际出发,结合学生的实际与考试效度的需要,兼顾公平性与创新性,选择恰当的带有人文性的”数学史料题“便在高考中扎根发芽,并正在茁状成长. 2.2 教学改革铺砖垫瓦 高考中的数学史料题,素材新颖、构思精巧、立意高远、意隽味浓、视角独特、导向鲜明等特点都充分体现了新课改的理念. 高考试题中蕴含数学史料题的深意,绝不单纯是“秀”几道高考题这么简单,中学教师应加强数学史对数学课改的影响,为此,教学中应该重视数学史的教学与反思.运用历史发生教学原理,不仅可以启发学生思维,帮助学生掌握学科体系,而且可以激发学生的学习兴趣,培养学生的探究能力;因此在开展数学教学时,应当适当了解历史上相关问题的发展过程,分析哪些困难可以通过数学史的途径加以克服,然后再根据学生的需要设计教学,这样做,使数学史的应用深入到学生的认知层面,有利于培养学生的数学思维能力和数学问题意识.张奠宙教授指出:“数学史必须走进课堂,在实际教学中使得学生在学习数学的过程中真正感受到文化感染,产生文化共鸣,体会数学的文化品味和人情味.” 可以预见,数学史是一座有待开发的宝山,有待于我们从多角度、多方位进一步开发,进而引导高中数学教学和评价方式的改变,为教学改革铺砖垫瓦. 2.3 增强了数学的育人功能 数学教育是数学文化的教育,而数学史是数学文化的重要载体.通过对数学家发现问题、发明方法、创造思想的了解,可以激发学生学习数学的兴趣,从而培养学生的创造精神和创新能力;另一方面,数学科学的思想体系,数学的美学价值,数学家的创新精神,数学在人类文明发展中的作用,都将有利于学生逐步认识真实的数学以及形成正确的数学观和价值观. 苏州中学夏炎老师认为:今天,在高考这一现实背景下,我们倡导将数学看作是一种文化,其现实意义也就在于进一步加强数学的教育功能,从而构建以人为本的数学教育理念……特别是在数学课堂教学中,提供数学史料,创建文化氛围,挖掘文化内涵,从而加强数学文化的感染力和渗透力,增强数学的育人功能. 3 案例赏析 案例1 毕达哥拉斯图形数显风采. 毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家与数学家,他所创建的毕达哥拉斯学派,是在众多的数学学派中对“形数”的研究最为突出的学派,该项研究强烈地反映了他们将数作为几何思维元素的精神,有效地印证了“凡物皆数”的观点. 例1(2012年湖北文科第17题)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图1所示的三角形数: 将三角形数1,3,6,10,…记为数列{an},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}.可以推测: (Ⅰ)b2012是数列{an}中的第______项; (Ⅱ)b2k-1=______.(用k表示) 解析(Ⅰ)由题意可得, a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,…, 得a2-a1=2,a3-a2=3, a4-a3=4,…,an-an-1=n. 以上各式相加得, 因此, b1=a4=10,b2=a5=15, b3=a9=45,b4=a10=55,…, 由此归纳出 归纳出 毕达哥拉斯学派中的数学家非常喜欢用形表示数,如:他们曾用图2形象地说明 (1+2+…+n)2=13+23+…+n3. 案列2 对称美回文数. “回文”是我国古典文学作品中的一种有趣的特殊体裁,有回文诗、回文联等.回文的特点是:在一篇作品中,作者精心挑选字词,巧妙的安排顺序,使得一篇作品倒过来从头读起,也同样是有意义的作品.如“云边月影沙边雁,水外天光山外树”,倒过来读,便是“树外山光天外水,雁边沙影月边云”,其意境和韵味读来真是一种享受.数学与文学有着相似之处,在数学中也有“回文数”,如121,2002,12321,回文仍是原数.在数学里,无论从左读到右还是从右读到左,都是同一个数的正整数称为回文数. 例2 (2012年湖北理科第13题)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99.3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999.则 (Ⅰ)4位回文数有______个; (Ⅱ)2n+1(n∈N+)位回文数有______个. 解析 (Ⅰ)4位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第1位不能为0,有9(1—9)种情况,第2位有10(0—9)种情况,所以4位回文数有9×10=90种. 法1(Ⅱ)由上面多组数据研究发现,2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同,所以可以算出2n+2位回文数的个数.2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况,第1位不能为0有9种情况,后面n项每项有10种情况,所以个数为9×10n. 法2(Ⅱ)可以看出2位数有9个回文数,3位数90个回文数.计算4位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,…,99”,因此4位数的回文数有90个,按此规律推导S2n=10S2n-2,而当奇数位时,可以看成在偶数位的最中间添加0—9这10个数,因此S2n=10S2n,则答案为9×10n. 回文数体现了数学背景下的对称之美,回文数有趣而美妙的性质有: (1)除了11,1331以外,所有回文数的位数都是奇数. (2)在完全平方数、完全立方数中的回文数,其比例要比一般自然数中回文数所占的比例大的多;例如112=121,222=484,73=343,113=1331都是回文数. (3)迄今为止人们未能找到四次方、五次方,以及更高次幂的回文素数;于是数学家们猜想:不存在nk(k≥4,k,n∈N*)形式的回文数. 案列3魅力阿波罗尼斯圆. 一般地,平面内到两定点的距离之比为常数λ(0<λ≠1)的动点的轨迹是圆,这个圆叫做阿波罗尼斯圆;阿波罗尼斯是继欧几里得、阿基米德之后的又一代著名数学家,他们3个并称为亚历山大时期的数学三巨匠.以阿波罗尼斯圆为背景的高考试题屡见不鲜,据统计,在近10年高考中,出了13道考题,阿波罗尼斯圆的魅力体现的淋漓尽致. 例3(2014年湖北卷文科第17题)已知圆O:x2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b≠-2)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则b=______,λ=______. 解析1(一般化思想)设M(x,y),则 因为λ为常数,所以 解析2(三角换元)在圆O上任意取一点M(cosθ,sinθ),则由|MB|=λ|MA|可得 整理得 解析3 (特殊点)既然对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,使得λ与b为常数,那么我们何不把点M取为特殊点呢?取M(1,0)与M(0,1)代入|MB|=λ|MA|得: 点评 大部分考生想不到特殊化的数学思想解题,主要原因是他对特殊与一般的数学思想理解的不够深刻、不够到位,再加上平时训练的又较少甚至没有,故想不到简便的解题策略. 高考源于教材,高于教材.阿波罗尼斯圆的身影就在我们的教材中(人教A版必修2习题4.1B组第3题): 案例4 古色古香中国古文献. 据不完全统计,几乎每年都有以我国古代数学名著如《九章算术》、《数术九章》、《算数书》等为素材命制的中国古文化高考真题,它们大多与体积有关,以古代社会人们的生活和生产实际为背景(对考生来说比较陌生与新颖),并且是用古汉语描述的,这就要求考生能从试题的字里行间挖掘出数学要素,不断地经历直观感知、观察分析、归纳类比、空间想象、抽象概括、数据处理、运算求解、反思与建构等思维过程.一方面,引导考生对题目中所蕴含的数学知识、方法进行提取、推理、思考、判断,是考生解决问题能力的体现;另一方面我们也不得不惊叹古人的聪明、睿智以及对数学问题用古汉语诗意般的精彩论述. 例4(2013年湖北文科第16题)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是______寸. (注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 解析 如图3所示天池盆的半轴截面,那么盆中积水的体积为 盆口面积 S=196π(平方寸), 点评 本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力;其次,它体现了对数学文化的重视,它的意义和价值实际上已远远超过了试题本身. 例5(2015年全国Ⅰ文科第6题)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺”,问“积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图4,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有(). (A)14斛(B)22斛 (C)36斛(D)66斛 解析 设圆锥底面半径为r,则 所以米堆的体积为 从以上可以看出,关注数学史、数学文化以及数学科普知识,对我们有着一定的导向作用、教育功能,以及非常重要的现实意义;它们在一定程度上展示了原本数学的美,传达了一种勇于探索、锲而不舍的数学精神.因此,高考对数学史与数学文化的母子、亲情关系另眼相看,它们也一定会引领我们的日常教学,创建富有数学文化魅力的灵动课堂,让学生陶醉在数学史的历史长河中,享受在数学文化对人类文明的贡献中,真切体会数学的美、数学的精神、数学的伟大所在. 参考文献 [1]仓万林,史嘉.漫谈高考数学试题的文化情怀与教学渗透[J].数学通讯,2014,(11,12):78-81. [2]沈佳栋,蒋孝国.对近年高考频现“数学史料题”的选析与联想[J].中学数学(高中版),2014,(8):50-51. [3]王晓军,汪晓勤.HPM视角下的“图形旋转”问题探究[J].数学通报,2012,(5):16-19. 1．以解析几何题作为压轴题 以解析几何内容设置的压轴题，一般考查圆锥曲线的轨迹方程和定点定值问题、圆锥曲线中的变量的取值范围和最值问题． 例1 已知动直线[l]与椭圆[C]：[x23+y22=1]交于[Px1,y1、Qx2,y2]两不同点，且[ΔOPQ]的面积[SΔOPQ=62]，其中[O]为坐标原点． （Ⅰ）证明：[x12+x22]和[y12+y22]均为定值； （Ⅱ）设线段[PQ]的中点为[M]，求[OM⋅PQ]的最大值； （Ⅲ）椭圆[C]上是否存在三点[D、E、G]，使得[SΔODE=SΔODG=SΔOEG=62]？若存在，判断[ΔDEG]的形状；若不存在，请说明理由． 分析 对于（Ⅰ），注意到椭圆是对称图形，从特殊入手，当直线[l]的斜率不存在时，容易得到定值，然后以此为目标，在直线[l]的斜率存在中求解．对于（Ⅱ），注意[M]点是线段[PQ]的中点，考虑所求的目标和（Ⅰ）的联系．对于（Ⅲ），属于探索性问题，先假设存在，然后再进行探究． 解 （Ⅰ）（1）当直线[l]的斜率不存在时，[P、Q]两点关于[x]轴对称，则[x1=x2,y1=-y2]， 由[Px1,y1]在椭圆上，则[x123+y122=1]，而[SΔOPQ=x1y1=62]，则[x1=62,y1=1.] 于是[x12+x22=3]，[y12+y22=2]. （2）当直线[l]的斜率存在，设直线[l]为[y=kx+m]，代入[x23+y22=1]整理后有 [(2+3k2)x2+6k m+3m2-6=0]， 由[Δ>0]，有[3k2+2>m2], 且[x1+x2=-6k m2+3k2,x1x2=3m2-62+3k2.] 又[PQ=1+k2x1-x2=1+k2(x1+x2)2-4x1x2][=1+k2263k2+2-m22+3k2]，[d=m1+k2]， 所以[SΔPOQ=12⋅d⋅PQ=6m3k2+2-m22+3k2=62.] 解之得[3k2+2=2m2]，满足[Δ>0]， 此时有[x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2] [=(-6k m2+3k2)2-2×3(m2-2)2+3k2=3]， [y12+y22=23(3-x12)+23(3-x22)=4-23(x12+x22)=2,] 综上可知[x12+x22=3]，[y12+y22=2]. （Ⅱ）注意到[4OM2+PQ2] [=x1+x22+y1+y22+x2-x12+y2-y12] [=2x21+x22+y21+y22=10]， 所以[2OM⋅PQ≤4OM2+PQ22=102=5,] 即[OM⋅PQ≤52]， 当且仅当[2OM=PQ=5]时等号成立. （Ⅲ）假设椭圆上存在三点[D、E、G]，使得[SΔODE=SΔODG=SΔOEG=62]， 由（Ⅰ）知[xD2+xE2=3,xE2+xG2=3,xG2+xD2=3,] [yD2+yE2=2,yE2+yG2=2,yG2+yD2=2]. 解得[xD2=xE2=xG2=32],[yD2=yE2=yG2=1]， 因此[xD、xE、xG]只能从[±62]中选取，[yD、yE、yG]只能从[±1]中选取， 因此[D、E、G]只能从[(±62,±1)]中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与[SΔODE=SΔODG=SΔOEG=62]相矛盾， 故椭圆上不存在三点[D、E、G]，使得[SΔODE=][SΔODG=SΔOEG=62]. 点拨 （1）对于（Ⅰ），体现了由一般到特殊的转换思想.其解法是探求圆锥曲线中的定点、定值问题的一般方法. （2）对于（Ⅱ），用到了整体思维的方法，[M]点是线段[PQ]的中点，[M]点的坐标可以用[P、Q]的坐标表示，联想基本不等式的应用，先求出[4OM2+PQ2]，再求[OM⋅PQ]的最大值. （3）对于（Ⅲ），题设中的已知如果不加附加条件，往往是为后面的证明服务的，在这里，由（Ⅰ）中[x12+x22]和[y12+y22]均为定值，可以得到三点[D、E、G]的两两的横坐标和纵坐标的和均为常数，从而求出这三点的横坐标和纵坐标，再来探讨这三点的连线是否能够构成三角形. 2．以函数和导数的交汇问题作为压轴题 函数和导数交汇的题目，往往是利用导数作为工具去解决函数问题，涉及恒成立不等式内容的题目比较多. 例2 设函数[f(x)]＝[(x-a)2lnx]，[a∈R]. （Ⅰ）若[x]＝[e]为[y=f(x)]的极值点，求实数[a]； （Ⅱ）求实数[a]的取值范围，使得对任意的[x]∈[0,3e]，恒有[f(x)]≤4[e2]成立. 注：[e]为自然对数的底数. 分析 对于（Ⅰ），由条件有[f ′(e)=0]，容易求出[a].对于（Ⅱ），是恒成立不等式问题，问题转换为求[f(x)]的最大值. 解 （Ⅰ）求导得[f ′x=2x-alnx+(x-a)2x][=x-a2lnx+1-ax,]因为[x=e]是[fx]的极值点，所以[f ′e=e-a3-ae=0]，解得[a=e] 或[a=3e]，经检验，符合题意，所以[a=e] 或[a=3e]. （Ⅱ）（1）当[0 （2）当[1 解得[3e-2eln(3e)≤a≤3e+2eln(3e)] ， 注意到[3e-2eln(3e)>1]， 由（Ⅰ）知[f ′(x)=(x-a)(2lnx+1-ax)]， 令[h(x)=2lnx+1-ax]， 则[h(1)=1-a<0]，[h(a)=2lna>0]， 且[h(3e)=2ln(3e)+1-a3e≥2ln(3e)+1-3e+2eln(3e)3e] [=2(ln3e-13ln(3e))>0]，又[h(x)]在[0,+∞]内单调递增，所以函数[h(x)]在[0,+∞]内有惟一零点，记此零点为[x0]，则[1 所以要使[f(x)≤4e2]对[x∈(1,3e]]恒成立，只要 [f(x0)=(x0-a)2lnx0≤4e2,①f(3e)=(3e-a)2ln(3e)≤4e2,②] 成立， 由[h(x0)=2lnx0+1-ax0=0]， 知 [a=2x0lnx0+x0]. ③ 将③代入①得[4x02ln3x0≤4e2]，又[x0>1]，注意到函数[x2ln3x]在[1,+∞)内单调递增，故[1 由②解得，[3e-2eln(3e)≤a≤3e+2eln(3e)]， 所以[3e-2eln(3e)≤a≤3e.] 综上，[a]的取值范围为[3e-2eln(3e)≤a≤3e]. 点拨 解决此题的第（Ⅱ）问，注意几个关键点： （1）对于给定区间[0,3e]，可以分为两个区间[0,1]和[1,3e]进行讨论，因为在区间[0,1]内，显然有[fx<0]，只在区间[1,3e]进行讨论即可. （2）当[x∈1,3e]时，首先确定[a]的大致范围，由[f3e≤4e2]，解得[3e-2eln(3e)≤a≤3e+2eln(3e)]，进一步讨论要出现[3e-2eln(3e)>1]，这是为了确定零点[x0]的取值范围. （3）注意[f ′x]的因式[h(x)=2lnx+1-ax]的单调性，从而确定[fx]的单调性，找出函数[fx]可能取得最大值的点，进一步确定[a]的范围. 3．以创新题型作为压轴题 高考题对考生的创新意识和创新能力的要求都有了较大的提高．它要求考生“对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段分析信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．” 例3 在平面直角坐标系[xOy]上，给定抛物线[L]：[y=14x2]．实数[p、q]满足[p2-4q]≥[0]，[x1、x2]是方程[x2-px+q=0]的两根，记[φ(p、q)=max{x1,x2}.] （Ⅰ）过点[A(p0,14p20)][(p0≠0)]作[L]的切线交[y]轴于点[B]．证明：对线段[AB]上的任一点[Q(p,q)]，有[φ(p,q)=p02]； （Ⅱ）设[M(a,b)]是定点，其中[a、b]满足[a2-4b>0]，[a≠0]．过[M(a,b)]作[L]的两条切线[l1、l2]，切点分别为[E(p1,14p21)]、[E′(p2,14p22)]，[l1、l2]与[y]轴分别交于[F、F′]．线段[EF]上异于两端点的点集记为[X]. 证明：[M(a,b)∈X⇔p1>p2⇔φ(a,b)=p12]； （Ⅲ）设[D={(x,y)|y]≤[x-1]，[y]≥[14(x+1)2-54}].当点[(p,q)]取遍[D]时，求[φ(p,q)]的最小值 （记为[φmin]）和最大值（记为[φmax]）． 分析 对于（Ⅰ）（Ⅱ），要正确理解[p、q]和[x1、x2]之间的联系，特殊定义[φ(p,q)=max{x1,x2}]是解题过程中的一条主线．对于（Ⅰ）（Ⅱ），[φ(p,q)]均为定值，而对于（Ⅲ），[φ(p,q)]则为变量，处理不同的问题，要选用不同的方法． 解 （Ⅰ）[A(p0,14p20)]是抛物线[L]上的点，[y′=12x]，则切线的斜率[k=12p0.] 过点[A]的抛物线[L]的切线方程为[AB]：[y-14p02=12p0(x-p0)]，即[y=12p0x-14p02.] 因为[Q(p,q)]在线段[AB]上，则有[q=12p0p-14p02]， 所以[p2-4q=p2-4(12p0p-14p02)=(p-p0)2]≥[0.] 不妨设方程[x2-px+q=0]的两根为[x1=p-p2-4q2]，[x2=p+p2-4q2，] 则[x1=p-p-p02]，[x2=p+p-p02]． （1）当[p0>0]时，[0≤p≤p0]， [x1=2p-p02=p-p02]，[x2=p02]， 因为[-p02 故[φ(p,q)=max{x1,x2}=x2][=p02]． （2）当[p0<0]时，[p0≤p≤0]， [x1=p02]，[x2=2p-p02=p-p02]， 因为[p02≤x2<-p02]，所以[x1≥x2]， 故[φ(p,q)=max{x1,x2}=x1][=p02]． 综上所述，对线段[AB]上的任一点[Q(p,q)]，有[φ(p,q)=p02]． （Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线[L]在[(p0,14p20)]处的切线方程为[p02-2p0x+4y=0]． 因为切线恒过点[M(a,b)]， 则[p02-2ap0+4b=0]，所以[p1,2=a±a2-4b]． ① 当[a>0]时，由（Ⅰ）有 [M(a,b)∈X][⇔][0 ② 当[a<0]时，由（Ⅰ）有 [M(a,b)∈X][⇔][p1 综合①②可得[M(a,b)∈X][⇔][p1>p2]． 因为由（Ⅰ）可知，若[E(p1,14p21)]，点[M(a,b)]在线段[EF]上，有[φ(a,b)=p12]， 所以[M(a,b)∈X⇒][φ(a,b)=p12.] ③ 又由（Ⅰ）可知，方程[x2-ax+b=0]的两根[x1,2=p12]或[a-p12]，[x1,2=p22]或[a-p22]， 若[φ(a,b)=p12]，即[max{x1,x2}=p12]， 则[p12≥a-p12]、[p12≥p22]、[p12≥a-p22,] 所以[p1>p2]， 故[φ(a,b)=p12][⇒][|p1| > |p2|][⇒][M(a,b)∈X.] ④ 综合③④可得[M(a,b)∈X⇔][φ(a,b)=p12]． 综上所述， [M(a,b)∈X⇔p1>p2⇔φ(a,b)=p12]． （Ⅲ）由[y=x-1,y=14(x+1)2-54,]求得两个交点[(0,-1)、 (2,1)]，则[0≤p≤2]， 过点[G(p, q)]作抛物线[L]的切线，设切点为[N][(x0, 14x02)]，切线与[y]轴的交点为[H]， 由（Ⅱ）知[x02-2px0+4q=0]， 解得[x0=p±p2-4q]， （1）若[x0=p+p2-4q]，则点[G(p, q)]在线段[NH]上． 由[y≤x-1]，得[q≤p-1]， 所以[x0=p+p2-4q≥p+p2-4p+4=p+p-2=2,] 故[φmin=(x02)min=1]． 由[y≥14(x+1)2-54]， 得[q≥14(p+1)2-54=14p2+12p-1]， 所以[p2-4q≤4-2p]， 所以[x0=p+p2-4q≤p+4-2p]， 令[4-2p=t]，则[p=-12t2+2]，[0≤t≤2]， 所以[x0≤-12t2+t+2=-12(t-1)2+52≤52]， 故[φmax=(x02)max=54]． （2）若[x0=p-p2-4q]，则点[G(p, q)]在线段[NH]的延长线上， 方程[x2-px+q=0]的两根为 [x1=p-p-x02]，[x2=p+p-x02]， 即[x1,2=x02]或[p-x02]． 因为[x0≤p]，所以 [φ(p,q)=maxx1,x2=maxx02,p-x02=p-x02] [=p-p-p2-4q2=p+p2-4q2]， 同理可得[1≤φ(p,q)≤54]． 综上所述[φmin=1]，[φmax=54.] 点拨 （1）对于（Ⅰ），解题时要注意两点，其一是[p、q]的相互关系[q=12p0p-14p02]，其二是[p0]与[p]同号． （2）对于（Ⅱ），分为两部分进行证明．第一部分证明[M(a,b)∈X⇔p1>p2]，由（Ⅰ）的结论，可以证明；第二部分证明[M(a,b)∈X][⇔φ(a,b)=p12]，由（Ⅰ）的结论，容易证明[M(a,b)∈X][⇒φ(a,b)=p12]，而证明[φ(a,b)=p12⇒][M(a,b)∈X]时，列出方程[x2-ax+b=0]所有可能的根的情况进行比较，得到[φ(a,b)=p12][⇒][|p1| > |p2|][⇒][M(a,b)∈X]． 【高考数学导数高考题】推荐阅读： 数学高考题解析全国卷08-22 2023高考数学_(真题+模拟新题分类)_推理与证明_理10-30 高等数学导数证明题08-20 高考数学满分经验06-28 高考数学辽宁卷08-13 高考数学公式汇总09-30 高考数学月考卷11-07 高考数学命题预测分析06-20 高考数学解题方法总结07-06 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