高考数学数列专题训练

2024-11-15

高考数学数列专题训练（共9篇）

1.高考数学数列专题训练篇一

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2.高考数学数列专题训练篇二

一、高中数学中数列专题的概述

数列在高考考题中考查的内容是有固定范围的, 一般来说会分为三个方面:第一、用等差数列或者是等比数列的概念、性质、通用公式和求和公式来对数列求解;第二、等比数列或者是等差数列问题的判断与证明;第三、数列和其它数学知识相结合的综合解答题, 比如数列和不等式的、数列和函数的, 这是高考试题中最常见的一种题型。

二、数列专题的重点归纳

1、数列定义中“数的有序性”是其中的灵魂, 但是要注意分辨数列中的项与数集元素的异同。因此在研究数列的解题方法时要注意函数方法的普遍性和数列方法的特殊性。

3、求通项常用方法

①作新数列法作等差数列与等比数列

②累差叠加法最基本形式是:

③归纳、猜想法

4、数列前n项和常用求法

③裂项求和:将数列的通项分成两个式子的代数和, 即an=f (n+1) -f (n) , 然后累加时抵消中间的许多项应掌握以下常见的裂项:

④错项相消法和并项求和法

三、例题解析

1、有关数列的概念性例题

数列的概念性题是历年高考试题中不可缺少的一种题型, 不仅因为这是基础题, 也因为这是解决其他数列题型的基础, 包括数列中的等比数列、等差数列和两种数列的求和等方面, 所以这是我们一定要复习的数列题目。

例:已知等差数列{an}的通项公式为a4=5, a3=4, 求a9等于多少。

解析:从题目中可以看出, 这是一个数列基础定义的题型, 这道题目中主要考查我们对等差数列的概念是否已经掌握牢固, 解题思路也很简单, 直接套用等差数列的概念公式an=a1+ (n-1) d即可, 通过题目中给出的已知条件a4=5, a3=4可以得出关于a1和d的二元一次方程组, 继而得出a9的答案。

2、有关数列的证明题

数列的证明是高考中除却综合题型最重要的一种题目了, 它主要考查了我们对数列递推关系的掌握情况, 考查了我们对数列概念的掌握和应用情况, 还考查了数列和不等式结合求和的知识, 主要是为锻炼我们的分析转化能力和推理论证能力。

结语:

当然不管是哪种题型, 都是需要我们在进行数列专题的学习时打下坚实的基础, 所以在进行高中数学的专项练习时, 我们要充分的发挥自身的能动性, 学会自主分析题目。而且我们在学习过程中要不断提高知识水平、解题能力, 学会发散思维, 把知识点融会贯通, 形成系统的数学知识体系。

摘要：数学学习一直是我们高中学习中的一个难点, 因为我们不仅需要复习初中数学知识, 还需要学习高等数学的基础课程, 所以这是一个很重要的学习阶段, 在这一个阶段中知识扎实, 基础稳固的高中生在进入大学之后学习高等数学也会很轻松。高中数学作为一个承上启下的过渡阶段, 包含了很多的专题模块, 数列、函数、几何方程等等, 所以这不仅成为了老师教学过程中的一个难点, 也是我们在学习过程中需要克服的难题。

关键词：高中,数学,数列,专题

参考文献

[1]白晓洁.新课标下高中数学数列问题的研究[D].河南师范大学, 2013.

3.高考数学数列专题训练篇三

1．各项为正的等比数列

中，与的等比中项为，则

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】C

2．若记等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若a12,S36,则S4（）A． 10或8 B． 10 C． 10或8 D． 10或8 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为q，由于a12,S36，显然q1，S322q2q26

3，则

q2q20，q2，S4S3a1q362210，选C．

3．在递增等比数列an中，a2a38,a1a49，则a7 A． 32 B． 64 C． 128 D． 16 【答案】B

2【解析】由题易得： a1a48，a1a49，故a1，a4是一元二次方程x9x80的两个实根，又数列an是单调递增的，∴a11，a48，∴q3∴a7a1q62664．故选：B

a48，即q2，a114．设Sn为数列an的前n项和，a11，an12Sn，则数列的前20项和为（）

anA． 31713171 B． C． D．

19191818223443223443【答案】D 【解析】an12Sn，an2Sn1 相减得an13ann2 由a11得出a22,a23a1，an{1,n123n2,n2，1={11n2 an,n223-12D．2 【答案】D 【解析】 20

考点：等比数列的性质．

11．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a2_________．【答案】【解析】 16 3

考点：等比数列的通项和前n项和的知识及运用．

12．《九章算术》中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有恒厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，则m的值为，问何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进―尺，以后毎天加倍；小老鼠第一天也进―尺，以后每天减半，如果墙足够厚，Sn为前n天两只老打洞之和，则Sn 尺．【答案】2-【解析】 n1+1 2n-1

4.高考数学数列专题训练篇四

f(x)f(x)0的解集为 x，0)(1，)B．(，1)(0，1)C．(，1)(1，)D．(1，0)(01)，A．(11.奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式

2.设定义在R上的函数fx满足fxfx213，若f12，则f99

132D.213

3.定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)2xyf(1)2，则f(3)等于 A．13B.2C.A．2B．3C．6D．9

4.设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时f(x)是单调函数，则满足f(x)fx3的所有xx4

之和为A．3B．3C．8D．

5．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程

f(x)0在闭区间T,T上的根的个数记为n，则n可能为

A.0B.1C.3D.5

6.已知定义域为R的函数f(x)在(8,)上为减函数，且函数y=f(x+8)函数为偶函数，则（）

A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)

7.若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且对一切x＞0满足f(x/y)f(x)f(y),且

f(6)=1,则不等式f(x+3)-f(1/x)＜2的解集为.8.R上的单调函数fx,f3log23，对于任意的实数m、n∈R，都有f(m+n)＝f(m)＋f(n)

成立，若fk3xf3x9x20对于任意的实数R恒成立，则实数k的取值范围是.9.函数定义在R上，对任意实数m,n，恒有fmnfmfn，且当x0时，0fx1.若集合Ax,yfx2fy2f1,Bx,yfaxy21,aR，若AB，则实数a的取值范围

是.10.函数f(x)对任意x1,x2∈R,当x1+x2=1时,恒有f(x1)+f(x2)=1,且f(0)=0,若

an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+…+f(n-1/n),则an=

+11.设函数f(x)是定义域为R，且对任意的x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),，当且仅当x>1时，xf(x)>1成立，则不等式f(ax1)>f(a-3)(0

12.已知函数 fx满足：对任意的实数 fxyfxfy2xy1成立，且

等式fx22x3120的解集为（2）不f10;当x1时,fx0.（1）若anfn，则数列an的通项公式为13.已知Fx是R上的减函数，且fxxFx

（1）对于任意的x1,x2R,求证：fx1x1Fx1x2,，并判断 fx1fx2fx1x2是

否为Fx是R上减函数的必要条件；（2）如果（1）中判断成立，试将其推广一般情形

（不必证明）；若不成立，请写出一个正确的结论（不必证明）。

14.已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R，都满足f（ab）

=af（b）+bf（a）.⑴ 求f（0），f（1）的值；⑵ 判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；

n⑶ 若f（2）=2，Unf2（n∈N），求数列｛Un｝的前n项和Sn。

5.高考数学数列专题训练篇五

教学目标：学会利用放缩法证明数列相关的不等式问题教学重点：数列的构造及求和教学难点：放缩法的应用

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：例1求

k1n

24k

2

1的值例2.求证:1

2



1(2n1)





12(2n1)

(n2)

例3求证:1

4116

136



14n





14n

例4求证：1

4





例5已知an4n2n,Tn

a1a2an,求证:T1T2T3Tn

.直接放缩

1、放大或缩小“因式”：

例1.设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an5Sn1成立，记bn（I）求数列bn的通项公式；

（II）记cnb2nb2n1(nN*)，设数列cn的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn

例2.已知数列an满足a11,an12an1nN（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅲ）证明：

例3.设数列{an}满足a12,an1an

4an1an

(nN)。

32；

1a2



1a3



1an

1

nN3



1an

(n1,2,).证明an

2n1对一切正整数n成立

例4.已知数列an满足a1

4，an

an1

(1)an12

（n2,nN）。

（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅲ）设cnansin

anN．例5.数列xn由下列条件确定：x1a0，xn11xn,

2

xn

(2n1)，数列cn的前n项和Tn，求证：对nN,Tn

47。

（I）证明：对n2总有xn

圆锥曲线：

a

；(II)证明：对n2总有xnxn1

1.已知将圆xy8上的每一点的纵坐标压缩到原来的22

12,对应的横坐标不变,得到曲线C；设M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),直线l与曲线C交于A、B两个不同点.(1)求曲线C的方程；(2)求m的取值范围.2.设椭圆C1：

2

1(ab0)，抛物线C2：xbyb.(1)若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；(2)

设A(0,b),Q

54又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若AMN的垂心为B(0,b)，3

4且Qb)，MN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程

3.已知椭圆C的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y

（1）求椭圆C的方程；

2

（2）设A、B为椭圆上的两个动点，OAOB0，过原点O作直线AB的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．

4.设双曲线C：

21（a＞0，b＞0）的离心率为e，若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，2ab

△FPQ为等边三角形．

（1）求双曲线C的离心率e的值；

（2）若双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为

bea

2求双曲线c的方程．

课后作业： 1.求证：

2.已知数列{a}的前n项和S满足Sn2an(1),n1.n

1



3



（Ⅰ）写出数列{a}的前3项a1,a2,a3（Ⅱ）求数列{an}的通项公式

3.已知a为正实数，n为自然数，抛物线yx线在y轴上的截距，用a和n表示f(n)；

圆锥曲线作业： 1.已知椭圆

C1:

与x轴正半轴相交于点A，设f(n)为该抛物线在点A处的切



1(a＞b＞0)

与双曲线

C1:x

1

有公共的焦点，C1的一条渐近线与以

C1的长轴为直径的圆相

交于A,B两点，若

A．

a

恰好将线段AB三等分，则（）

B．a13

132

C．

b

D．b2

=4:3:2，则曲线r的离心率等

2.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足于()

1或3

PF1:F1F2:PF2

A．22B．3或2C．2

或

2D．3

或

3.若点O和点F(2,0)分别是双曲线的取值范围为()



y1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OPFP

A.)

B.[3)C.[-

74,)D.[

74,)

4.已知双曲线E的中心为原点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15),F(3,0)是E的焦点，则E的方程式为()(A)



61(B)



1(C)



1(D)



1

5.点A(x0,y0)在双曲线



1的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x0，则x0

6.已知点A、B的坐标分别是(1,0)，(1,0).直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;

6.高考数学数列专题训练篇六

课题名称

求数列通项（高三数学第一阶段复习总第1课时）科目高三数学年级

高三（7）班教学时间

2008年10月10日学习者分析高三文科班男生少女生多女生很认真

但太过于定性思维

成绩不太理想！数列通项是高考的重点内容必须调动学生的积极让他们掌握！

教学目标

一、情感态度与价值观

1.培养化归思想、应用意识.2.通过对数列通项公式的研究体会从特殊到一般

又到特殊的认识事物规律培养学生主动探索勇于发现的求知精神

二、过程与方法

1.问题教学法------用递推关系法求数列通项公式 2.讲练结合-----从函数、方程的观点看通项公式

三、知识与技能

1.培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力； 2.在领会函数与数列关系的前提下渗透函数、方程的思想

教学重点、难点

1.重点：用递推关系法求数列通项公式

2.难点：（１）递推关系法求数列通项公式（２）由前n项和求数列通项公式时注意检验第一项（首项）是否满足

若不满足必须写成分段函数形式；若满足则应统一成一个式子.教学资源

多媒体幻灯

教学过程

教学活动1 复习导入第一组问题：数列满足下列条件求数列的通项公式

（1）；（2）

由递推关系知道已知数列是等差或等比数列即可用公式求出通项

第二组问题：[学生讨论变式] 数列满足下列条件求数列的通项公式

（1）；（2）；

解题方法：观察递推关系的结构特征可以利用“累加法”或“累乘法”求出通项

（3）

解题方法：观察递推关系的结构特征联想到“？=？)” 可以构造一个新的等比数列从而间接求出通项

教学活动2

变式探究

变式1：数列中求

思路：设

由待定系数法解出常数从而

则数列是公比为3的等比数列

教学活动3

练习：数列中

求

思路一：模仿变式1 尝试“？=？)” 设

此时没有符合题意的x 引发认知冲突讨论新的出路

思路二：由得

故数列是公差为1的等差数列

解题反思：反思上面两个问题的区别和联系讨论变式1的第二种解题思路

变式1思路二：由得转化为我们熟悉的问题

变式2：数列中

求

思路：通过类比转化化归为以上类型即可求解

解题感悟：抓住递推关系的结构特征进行类比转化

1．分层次训练拓展思维培养能力

2．学生归纳总结：学到什么？会解决什么样的问题？哪些是难点？教学活动4

先反思提高

1、递推关系形如""的数列的通项的求解思路；

2、在复习的过程中

要注意提高自己在新的问题情境中准确、合理使用所学知识解决问题的能力；要了解事物间的联系与变化并把握变化规律

再巩固落实

1、（2007京）数列中

（是常数）

且成公比不为的等比数列．（I）求的值；（II）求的通项公式．

2、(2002年上海)若数列中 a1＝3 且an+ 1＝an2(n是正整数)则数列的通项an＝__________

3、数列中

求

4、数列中

求

5、思考（2007天津文）在数列中

．证明数列是等比数列；

经过纠错----释疑----老师小结：掌握数列通项公式的求法

如①直接（观察）法 ②递推关系法 ③累加法 ④累乘法 ⑤待定系数法等

7.高考数学数列专题训练篇七

高考阅读与写作讲座

（二）一·理解能力的提升

【导言】现代文阅读测试的含义往往不是词典义，而是具体语境中的具体含义。因此，结合具体语境理解词语是阅读的重要原则。现代文中的重要句子，可能显示文章主旨或要点，传达重要信息或材料，暗示作者感情或思想，标志文章转折或突破等。

【例】阅读下文，完成1～6题。

画虎朱湘

(1)“画虎不成反类狗，刻鹄不成终类鹜。”自从这两句话一出口，中国人便一天比一天没出息了。

(2)谁想得到这两句话是南征交趾的马援说的。听他说这话的侄儿，如若明白道理，一定会反问：“伯伯，你老人家当初征交趾的时候，可曾这样想过，征交趾如若不成功，那就要送命，不如作一篇《南下赋》罢。因为《南征赋》作不成，终究留得有一条性命。”

(3)这两句话为后人奉作至宝。单就文学方面来讲，一班胆小如鼠的老前辈便是这样警劝后生：学老杜罢，千万不要学李太白。因为老杜学不成，你至少还有个架子；学不成李的时候，你简直一无所有了。这学的风气一盛，李杜便从此不再出现于中国诗坛之上了。所有的只是一些杜的架子或一些李的架子。试问这些行尸走肉的架子，这些骷髅，它们有什么用?光天化日之下，(a)让这些怪物来显形，(b)一无所有反而好些。因为人真知道了无。才能创造有；拥着伪有的时候，决无创作真有之望。

(4)画不成的老虎，真像狗；刻不成的鸿鹄，真像鹜吗?不然，不然。成功了便是虎同鹄，不成功时便都是怪物。

(5)成功又分两种：一种是画匠的成功，一种是画家的成功。画匠只能模拟虎与鹄的形色，求到一个像罢了。画家他深知创形的秘密，发现这形后面有一个什么神，发号施令，在陆地则赋形为劲悍的肢体、巨丽的皮革，在天空则赋形为剽疾的翮翼、润泽的羽毛；他然后以形与色为血肉毛骨，纳入那神，抟成他自己的虎鹄。

(6)拿物质文明来说，研究人类科学的人如若只能亦步亦趋，最多也不过贩进一些西洋的政治学、经济学，既不合时宜，又常多短缺。实用物质科学的人如若只知萧规曹随，最多也不过摹成一些欧式的工厂商店，重演出惨剧，肥寡不肥众。日本便是这样：它古代模拟到一点中国的文化，有了它的文字、美术；近代模拟到一点西方的文化，有了它的社会实业：它只是国家中的画匠。我们这有几千年特质文化的国家不该如此。我们应该贯进物质文化的内心，搜出各根底原理，观察它们是怎样配合的，怎样变化的，再追求这些原理之中有哪些应当铲除，此外还有些什么原理应当加入，然后淘汰扩张，重新交配，重新演化，以造成东方的物质文化。

(7)东方的画师呀!麒麟死了，狮子睡了，你还不应该拿起那支当时伏羲画八卦的笔来，在朝阳的丹凤声中，点了睛，让困在壁间的龙腾越上苍天吗?(略有删节)

[注]朱湘(1904—1933)，中国现代诗人。

1．“画虎不成反类狗，刻鹄不成终类鹜”这两句话的比喻意义是___________________ ______________________________________。

2．对文章开首引用“画虎不成反类狗，刻鹄不成终类鹜”这两句话的作用理解最恰当-1-的一项是()

A．提出文章中心，表明作者的观点。

B．交代写作背景，说明与《南征赋》的关系。

C．激发读者兴趣，增添文章的文采。

D．引出本文话题，确定议论的线索。

3．“这学的风气一盛，李杜便从此不再出现于中国诗坛之上了。”对这一句话理解正确的一项是()

A．这学的风气一盛，李白、杜甫的诗从此不再被中国诗坛所重视了。

B．这学的风气一盛，中国诗坛上不再可能出现李白、杜甫这样杰出的诗人了。

C．这学的风气一盛，人们从此不再学习李白与杜甫的诗了。

D．这学的风气一盛，中国诗坛上从此不再有李白、杜甫的地位了。

4．填入第3自在段(a)(b)处恰当的虚词是(a)_________(b)_________。

5．第5自然段中“画匠的成功”与“画家的成功”有什么区别?

答：画匠的成功在于________________。

画家的成功在于____________________。

6．第6自然段画线部分的意思，就是指我们常说的对待外国文化应有的态度：______________________________________。

【牛刀小试】

阅读下文，回答l—2题。

1．即使穿过普通的透明材料，比如玻璃或水，光速也会略微降低，因为光会与组成材料的原子相互作用。但是在这种情况下，影响是微弱的，并且任何加强这种影响的试图都会导致光的吸收。因此重要的是使光的速度降低，而且不至于被吸收。韦尔奇博士通过小室做到了这一点。

文中画线处“影响”一词的意思是()

A．普通的透明材料使光的速度降低

B．光对于所通过材料的原子的作用

C．小室中热的铷原子减慢光速的效果

D．两束经过细微调节的激光的干扰

2．人类总是依据自身的利益评价外部事物，将之分成优劣好坏，而大自然则另有一套行为规范与准则。现在人们闻之色变的沙尘暴，即由于强烈的风将大量沙尘卷起，造成空气混浊，能见度小于千米的风沙天气现象，其实古已有之。它本是雕塑大地外貌的自然力之一，是大自然的一项工程，并且在全球生态平衡中占有一席之地。

下列对沙尘暴的解释，最准确的一项是()

A.沙尘暴是由于风将大量沙尘卷起，使空气混浊，能见度小于千米的风沙天气现象。

B．沙尘暴是雕塑大地外貌的自然力之一，是大自然保持全球生态平衡的一项工程。

C．从地质史上看，沙尘暴是风力对草原带的风化物质进行筛选分类的结果。

D．沙尘暴是那些颗粒适中的粗砂和细砂被大风吹移到附近就地聚集成沙漠形成的。

(一)阅读下面的文字。完成3—6题。

春之怀古

张晓风

春天必然曾经是这样的：绿意内敛的山头，一把雪再也撑不住了。噗嗤的一声，将冷脸

笑成花面，一首澌澌然的歌便从云端唱到山麓，从山麓唱到低低的荒村，唱入篱落，唱入一只小鸭的黄蹼，唱入软溶溶的春泥——软如一床新翻的棉被的春泥。

那样娇，那样敏感，却又那样混沌无涯。一声雷，可以无端地惹哭满天的云；一阵杜鹃啼，可以斗急了一城杜鹃花。一阵风起，每一棵柳都吟出一则则白茫茫、虚飘飘，说也说不清、听也听不清的飞絮；每一丝飞絮都是一株柳的分号。反正，春天就是这样不讲理、不逻辑，而仍可以好得让人心平气和。

春天必然曾经是这样的：满塘叶黯花残的枯梗抵死苦守一截老根，北地里千宅万户的屋梁受尽风欺雪扰犹自温柔地抱着一团小小的空虚的燕巢。然后，忽然有一天，桃花把所有的山村水郭都攻陷了，柳树把皇室的御沟和民间的江头都控制住了——春天有如鲜明的王师，因长期虔诚的企盼祝祷而美丽起来。

而关于春天的名字，必然曾有这样的一段故事：在《诗经》之前，在《尚书》之前，在仓颉造字之前，一只小羊在啮草时猛然感到的多汁，一个孩子在放风筝时猛然感觉到的飞腾，一双患风痛的腿在猛然间感到的舒活，千千万万双素手在溪畔、在塘畔、在江畔浣纱的时候所猛然感到的血脉……当他们惊讶地奔走互告的时候，他们决定将嘴噘成吹口哨的形状，用一种愉快的耳语的声量来为季节命名——“春”。

鸟又可以开始丈量天空了。有的负责丈量天的蓝度，有的负责丈量天的透明度，有的负责用那只翼丈量天的高度和深度。而所有的鸟全不是好的数学家，他们吱吱喳喳地算了又算，核了又核，终于还是不敢宣布统计数字。

至于所有的花，已交给蝴蝶去点数；所有的蕊，交给蜜蜂去编册；所有的树，交给风去纵宠，而风，交给檐前的老风铃去一一记忆，一一垂询。

春天必然曾经是这样，或者在什么地方，它仍然是这样的吧?穿越烟囱与烟囱的黑森林，我想走访那踯躅在湮远年代中的春天。

1．作者在第一自然段，使用了五个“唱”字，这样写在表达上有什么效果?文章多次写到“春天必然曾经是这样”，这样写有什么作用?

答：______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

2．第三自然段中提到的“长期虔诚的企盼祝祷”在文中的具体表现是什么?第四自然段中写关于春天名字的故事，这样写有什么作用?

答：______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

3．最后一个自然段写道“穿越烟囱与烟囱的黑森林，我想走访那踯躅在湮远年代中的春天。”联系全文看，这段文字所表达的意思是什么?

答：______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

4．下列对这篇散文的赏析，正确的两项是()

A．这篇散文选择了一个全新的视角，借古讽今，通过对春天的“怀古”，表达了作者对现实的独特看法

B．这篇散文运用比喻、拟人等修辞手法，借助富有诗意的语言，采取写实的手法，把曾经有过的春天写得美不胜收

C．第二自然段中“每一丝飞絮都是一株柳的分号”的意思是每一丝飞絮都是种子，在种子的基础上会生长出新的柳树

D．第三自然段中“桃花把所有的山村水郭„„都控制住了”，形象地体现了曾经有过的春天具有一视同仁、平等民主的特点

E．第五自然段写鸟的主要用意不是为了写鸟，而是为了表现春天天空的蔚蓝透明、深不可测，引人思考，发人深醒

（二）阅读下面的文章，完成1—4题。

谈生命（节选）

冰心

我不敢说生命是什么，我只能说生命像什么。

生命像向东流的一江春水。他聚集起许多细流，合成一股有力的洪涛，向海奔注，一路上他享受着他所遭遇的一切；有时候他遇到峭岩前阻，他愤激地奔腾了起来，直到冲倒了这危崖他才心平气和地一泻千里，有时候他经过细细的平沙，看见了夹岸的红艳的桃花，他快乐而又羞怯轻轻地度过这一段浪漫的行程，这时他只想憩息，只想睡眠，而那股前进的力量，仍催逼着他向前走……终于有一天，他远远地望见大海，啊！他已到了行程的终结，大海庄严地伸出臂儿来接引他，他一声不响地流入她的怀里。他消融了，归化了，说不上快乐，也没有悲哀！也许有一天，他再从海上蓬蓬的雨点中升起，飞向西来，再形成一道江流，再冲倒两旁的石壁，再来寻夹岸的桃花。

然而我不敢说来生，也不敢信来生！

生命又像一棵小树，他从地底聚集起许多生力，在冰雪下欠伸，在早春润湿的泥土中，勇敢快乐地破壳出来。他遇着骄奢的春天，他也许开出满树的繁花，蜂蝶围绕着他飘翔喧闹，小鸟在他枝头欣赏唱歌；他长到最茂盛的中年，他伸展出他如盖的浓荫，来荫庇树下的幽花芳草；他结出累累的果实，来呈现大地无尽的甜美与花的骄傲，也不是结果的快乐，而是成功的宁静和怡悦！终于有一天，他无力地在空中旋舞，在根下呻吟，大地庄严地伸出臂儿来接引他，他一声不响地落在她的怀里。他消融了，归化了，他说不上快乐，也没有裴哀！也许有一天，他再从地下的果仁中，破裂了出来。又长成一棵小树，再穿过丛莽的严遮，再来听黄莺的歌唱。

然而我不敢说来生，也不敢信来生。

宇宙是一个大生命，我们是宇宙大气中之一息。江流入海，叶落归根，我们是大生命中之一叶，大生命中之一滴。不是每一道江流都能入海，不流动的便成了死湖；不是每一粒种子都能成树，不生长的便成了空壳！生命中不是永远快乐，也不是永远痛苦，快乐和痛苦是相生相成的。在快乐中我们要感谢生命，在痛苦中我们也要感谢生命。快乐固然兴奋，苦痛又何尝不美丽？

1．作者虽然说“我不敢说生命是什么”，但事实实上已经作出回答。作者认为生命是什么？请结合全文回答。

2．“我不敢说来生，也不敢信来生”这句话在文中的含意是什么？

3．文章结尾说：“在快乐中我们要感谢生命，在痛苦中也要感谢生命。”为什么在快乐和痛苦中都要感谢生命？

4．下列对本文的赏析不正确的两项是（）

A．作者认为生命像东流的一江春水。又像一棵小树，意在展示生命前进和成长的过程。

B．“他消融了，归化了，他说不上快乐，也没有悲哀”一句，形象地表现经过奋斗的人在回顾生命历程时平和宁静的心境，也透出几分惆怅。”

C．“我不敢说未来，也不敢信来生”，这句话反复出现，意在强调，人根本没有来生，应该抓住今生，不断奋斗。

D．第二段末句连续使用四个“再”字，重现了“一江春水”拼搏不止的形象，展示了生生不息的生命力。

E．本文的写作意图是：阐述生命的内涵，并指出应该如何对待生命。

二·有文采，诠释语言光华

优秀范文一

感受乡村

拾一穗遗落在秋天原野上的麦芒，心底的某一个角落被触动；沾一滴椭圆形包裹着阳光的硕果，心底的某个角落被触动；拔一缕轻笼着湛蓝色天空的薄雾，心底的某个角落被触动。感受乡村，感受着乡村给我带来的无限浪漫与惊喜。

诗人霍尔顿曾如是说：“我愿做一个麦田的守望者，守望麦田，绵延生命。”诚如所言。

在一片金黄色的麦芒中，去田间垄上，默默地感受阳光的气息、泥土的芬芳，思绪变轻了，往事变近了，长久积压在心中的埋怨如今变得连自己也陌生了。

感受乡村，感受乡村给我带来的无限韵味与生机。

明代梅鼎祚面对宁静的田园，情不自禁地感喟：“半水半烟著柳，半风半雨催花。半没半浮渔艇，半藏半见人家。”

摇曳的野花，散发着迷人的气息，缱绻的，幽香的，沁入每一个细胞。

而此刻的乡村，此刻的烟柳、渔船，小桥流水，正被轻柔的风雨笼罩。

风怜惜地吹一池碎银，雨温暖地击打一树梨花。水灵动而跃，霎时生机卓尔；花欣然而绽，顷刻芳华满园。

感受乡村，感受着乡村给我带来的无限幸福与快乐。

凡高在给弟弟提奥的信中写道：“我躺在一棵老树干边上的沙地上，画这棵老树的素描。我穿着亚麻上衣，叼着烟斗，望着深蓝色的天空，望着沼泽和草地，这使我快乐。”正是乡村这些平凡质朴的事物，点燃了凡高生生不息的艺术之火。

当罗丹•莫提格里昂尼对着妩媚的美女模特时，凡高正在乡村中，支一方画架，执一支画笔，画这些巴黎大师们心所不屑的事物。

在乡村，我看到了凡高笔下的星空，那样庄严而深邃，让我迷恋，让我神往。

在乡村，我看到了凡高眼中的向日葵，正一丝一缕地将光线贮藏，瞬间迸发出灿烂的光芒。

白鹭飞来，点破一湖秋碧；杜鹃归去，踏残满地落红。朝暾夕月，草长莺飞，在生命的罅隙，感受静谧，感受乡村……

优秀范文二

带着感动出发

沙漠中没有路，驼铃依旧在响；天空中没有路，苍鹰依旧在飞；生活中没有路，我们带着感动出发，踏上征程。

从小就爱看书，因而了解了许多在历史上留下印记的人们的事迹，在翻动书页的刹那，我被他们的事迹和精神感动着。

谁能够看得见美人泪？谁能够听见昭君哭？谁能够笑谈着沧海桑田？别叹息，听我说——没有不老的红颜……

湛蓝的天空辽阔得让鸟儿绝望，金黄的大漠遥远得让游子的目光无法企及故乡，昭君的曲子在回荡……

离别长安城那柔美的月光，离别长安城那向上扬起的檐角，昭君的心里有些不舍，但她很快明白，凄冷的皇宫不是她真正的归宿，明争暗斗不是她一生的追求，或许在大漠，她的心才是另一番壮阔。于是，她带来先进的生产技术，教会这里的人们耕与织，在人们欢笑的眼神中，她明白了自己的归属。

经历了风沙，但却多了一份大漠女人的妩媚，这是另一番神圣的美。昭君的故事千古流传，她的事迹感动着我，江南水乡女子离开生她的地方，到遥远的大漠传播文化，为人们带去幸福，她的精神让人们学会感动，带着感动踏上征程……

万丈高楼坠足，扬子江心翻船。司马迁心惊肠断，铁链套头，镣铐加脚，狰狞磨刀，豺狼捋袖，一声惨呼，鬼神泣，天地愤……

本以为你奔赴黄泉，可你却活了下来，坚强如山，意志如铁，在岁月的风雨中，你带着你那如椽的大笔，走南闯北，记录下，历史的点点滴滴。一滴血，点石成金；两行泪，浇红花蕾。生命诚可贵，精神更动人。在你的选择中，促成了一座历史的丰碑……

于是，我又被感动了。人的生活不可能永远潮平两岸阔，偶然的暗淡，恰是天才进步的阶梯；风雨过后，眼前才会是鸥翔云游的天水一色。中秋之月不可能岁岁如水，偶然的朦胧，恰是镜子背后之面。带着感动出发，人生才会是积翠如云的空濛山色……

在风中，我流着泪，我发现自己其实不只是在感动的边缘泪流，而是在幸福的风中泪花如雨坠……

带着感动出发，人生无限美！

失误例文一

必须跨过这道坎

岁不寒，无以知松柏；事不难，无以成君子。从自然万物到人类历史，诸多事实毋庸臵疑地告诉我们：“要想成功，必须跨过这道坎。”因为逆境将会孕育出世间最壮丽的景象。前南非总统曼德拉从小生活在歧视黑人的社会，他的童年充满了苦难，长大后，又由于领导反种族歧视而被关进铁窗整整28年之久。可以说，他的一生是苦难不离身，面对这道“坎”，他并非郁郁寡欢，而是一直坚持致力于反种族歧视运动。最终，他的声音传遍了南非，并光荣地成为了诺贝尔和平奖的得主。

美国作家马克•吐温，早年投资的失败使得他倾家荡产，为了糊口，他做过多份苦力活，在贫民窟中常常能见到他忙碌的身影，生活的窘迫，并没有将这位作家打垮，面对眼前的这道生计之坎，他选择了继续。的确，这份“继续”之路使他获得了一份鲜活而真实的阅历，铸就他之后的《百万英镑》《汤姆•索亚历险记》等旷世名作。

“坎”不仅造就了那些伟人、作家的成功，同时，也能使平凡人，甚至是残缺的人发光、发亮。

令我印象最深刻的是前年春节联欢晚会上的节目《千手观音》，这是由一群残疾人所演绎的。《千手观音》是最难的舞蹈之一，而那场整齐划

一、天衣无缝的表演却达到了一个完美的极致，她们那娴熟端庄的气质，婀娜多姿的千手在梦与影的照耀下，显得格外迷人，引起台下无数的掌声。试想：对于常人来说，要做到这点尚且困难重重，而对于这些无法表达也听不到声音的演员来说，所付出的艰辛与努力是我们所无法想象的。在无声的世界中，她们用心去舞蹈；在无声的世界中，她们用自己顽强的意志和坚韧的精神跨过了这道阻碍在她们面前多年的“坎”，让世人享受了一次视觉盛宴。

树之所以挺拔，是因为它们在春天含苞欲放，在赤日炎炎的夏天枝繁叶茂，在萧瑟的秋风中抖落一身繁华，在寒冷的冬天静静等待下一季的到来，它只有跨过“四季”这道坎，才能毅然挺立于大街小巷，给喧嚣的城市带来一丝生机。

“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”人生漫漫，当遇到荆棘时，请勇敢地抬起你的双脚，因为想要成功，必须跨过这道坎，而坎的另一头连接着的是希望的曙光。失误例文二

面对挫折

人生道路漫漫，遇到挫折摔一跤，是在所难免的，毕竟路上有许多坎坷，面对挫折，应无所畏惧，愈挫愈勇。

古今伟人无一不是面对挫折愈挫愈勇的。

汉代史学家司马迁为写一部史书，从小研读文史书籍，在不幸遭受宫刑之后，他并没有因为世人的白眼、唾弃而选择放弃，而是愈挫愈勇，更加潜心钻研经史。他甚至不辞辛苦，走遍大江南北去对史实进行考证，为的是将更加真实的历史展现给后人。经过大半生不懈的努力，他终于写出了被后世喻为“史家之绝唱，无韵之离骚”的《史记》，成为了后世宝贵的文化遗产，千古流传。

文化英雄鲁迅用他那刀枪般犀利的文字与黑暗社会作斗争，虽然反动派对他痛恨入骨，对他进行迫害，但鲁迅仍毫无惧色，写出来的文章一篇比一篇捅得敌人心疼。

若不是司马迁面对挫折愈挫愈勇，怎会有惊世的《史记》？若不是鲁迅面对挫折愈挫愈勇，又怎么会有《呐喊》《彷徨》？

也有面对挫折退缩的，西楚霸王项羽，在乌江边退缩，吟诵着“虞兮虞兮奈若何”，自刎乌江，一道红光划破残阳，象征着霸王永久的失败。

面对挫折，愈挫愈勇是成功的先决条件。

当今社会有好多人不懂得这个道理，大多数是因为只有一个孩子，所以，对他们倍加宠爱与娇惯。当孩子摔了一跤后，家庭、学校、社会就发出一个共同的声音——“出事了吧！”他们不但在孩子摔跤后指责孩子，并且平时对孩子保护有加，不给孩子摔跤的机会。这对孩子的成长是不利的。

孩子天性好动，对一切都充满了好奇与新鲜感，他们想要站起来走路，想要跑出去捉蝴蝶，如果家长们剥夺孩子摔跤的权利，无异于剥夺他们长大的权利。

孩子们只有摔了跤才知道应如何正确地行走，才会更健康茁壮地成长。

正如一个国家，尤其是一个正在发展中的国家，经历错误才能找到正确的发展道路。不要害怕，面对挫折，愈挫愈勇，走向成功。

【作文练习】

阅读并全面理解下面的材料，但可以选择一个侧面、一个角度构思，写一篇不少于800字的作文。自主确定立意，确定文体，确定标题；不要脱离材料的含意作文，不要套作，不得抄袭。

8.高考数学数列专题训练篇八

一、教学目标

1.掌握等差、等比数列的性质；

2.能用类比的思想来研究等差、等比数列，体会它们的区别和联系；

3.理解等差数列前n项和Sn与二次函数的关系；掌握求等差数列前n项和最值的基本方法。

二、基础知识回顾与梳理

1、已知an是公差为d的等差数列，下列命题是否正确？

①a2,a4,...a12是等差数列；②an,an1,...a1是等差数列；③ca1,ca2,...can（c为常数）是等差数列．【教学建议】本题选自书本第35页习题，主要复习等差数列的概念，让学生学会用定义判断一个数列是否为等差数列．

2、设an是等比数列，下列命题正确吗？

2①an是等比数列； ②anan1是等比数列；③1是等比数列； ④lgan是等比数列； an⑤anan1是等比数列．

【教学建议】本题选自课本第60页习题，提问学生：如何判断一个数列是否为等比数列，学会用定义判断一个数列是否为等比数列，第⑤小题学生容易忽略等比数列各项不能为零．

3、下列说法是否正确？

①1与4的等比中项是2； ②等比数列an中a11,a54，则a32；

【教学建议】本题考察等比中项的概念，学生可能在概念上犯错，教师在讲解时不需要避免学生出错，让学生暴露问题，老师进一步理清概念．

4、数列1,x,x2,...xn1的前n项和Sn_________．

【教学建议】本题选自书本第56页习题，等比数列求和学生使用时很容易忘记讨论q1，主要让学生加深印象，对等比数列求和一定要考虑q1的特殊情形，进一步练习：等比数列an中，S33a3，则公比q______，说明一些特殊情况下可以回避用求和公式，避免讨论．

三、诊断练习

1、教学处理：数列小题解法较多，要重视学生自己思路解法。课前学生自主完成，黑板板演，老师点评学生思路方法，比较多种解法，比较优劣，归纳总结．

2、诊断练习点评

题1：在等差数列an中，若S1590，则a8=______________.【分析与点评】提出问题：条件S1590如何使用，引导学生思考用等差数列求和公式的两种表示形式来翻译条件，归纳思路：（1）完全化归为基本量表示，S1515a1寻求Sn和an的关系，S151514d90，化简得a8a17d6；（2）215(a1a15)90，利用性质2a8a1a15，解得a86．

2题2：公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，且3a,若a11，则S4＝________.a2,a3成等差数列，1答案为：20

【分析与点评】（1）等差等比数列的计算强调基本量的运算：化归为a1,d(q)的计算；（2）本题“递增”是关键，学生容易得到a11,a34q24q2，代入公式求解；也可以得到

a1a34,a1a35q24q2．

题3：等比数列an的各项均为正数,且a1a54,则log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5.第3题答案为：5

题4：：等差数列{an}的公差是2，若a2,a4,a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn第4题答案为：Sn_______ n(a1an)n(n1)2

3、要点归纳

（1）强化等差（比）数列的重要性质，对于下标和相等，等差（比）子数列的性质不同，要注意区别；（2）等差（比）数列的前n项和的性质也不同，特别注意有关等差数列前n项和Sn取最值问题，如“诊断练习”第3题；

（3）要重视等差（比）数列的性质在解题中的运用．

四、范例导析

例

1、数列an的前n项和为Sn，若a12且SnSn12nn2,nN

(1)求Sn；

(2)是否存在等比数列bn满足b1a1,b2a3,b3a9？若存在，求出数列bn的通项公式；若不存在，说明理由.【教学处理】让学生板演，了解学生读题后的第一想法，加以点评总结，同时规范学生的书写【引导分析与精讲建议】

1、第1问强调等差数列的证明,注意n1的验证；

2、第2问注重等差等比数列基本量的计算.解析:(1)因为SnSn12nn2,nN，所以有SnSn12n对n2,nN成立.即an2n对n2,nN成立，又a1S121，所以an2n对nN成立.所以an1an2a对nN成立，所以an是等差数列，所以有Sn(2)存在.由(1)知，an2n对nN成立，所以有a36,a918,又a12，所以有b12，b26,b318,则a1annn2n,nN.2b2b33，b1b2所以存在以b12为首项，以3为公比的等比数列bn.练习:（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10100，S10010，求S110；（2）已知等比数列{an}中，a1a2a37，a1a2a38，求an。

变式题：等差数列an的前m项和Sm30,前2m项和S2m100,求前3m项和S3m [点评]：这里变式题起到巩固知识的作用，引导学生用多种思路来求解．例2：已知数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)若数列{an}是等比数列,满足2a1式;(Ⅱ)是否存在等差数列{an},使对任意nN*都有anSn2n2(n1)?若存在,请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.第2题答案为：

解:(Ⅰ)设等比数列

a33a2, a32是a2,a4的等差中项,求数列an的通项公an的首项为a1,公比为q，a1(2q2)3a1q,(1)2a1a33a2,依题意,有即32aa2(a2).432a1(qq)2a1q4.(2)由(1)得 q23q20,解得q1或q当q当q2.1时,不合题意舍;2时,代入(2)得a12,所以,an22n12n

(Ⅱ)假设存在满足条件的数列{an},设此数列的公差为d,则

[a1(n1)d][a1nn(n1)d]2n2(n1),得 2d22331n(a1dd2)n(a12a1dd2)2n22n对nN*恒成立, 2222d222,32则a1dd2，21223aadd0,1212解得d2,d2,或此时an2n,或an2n.a2,a2.112故存在等差数列{an},使对任意nN*都有anSn2n(n1).其中an2n, 或an2n

例

3、已知等差数列{an}的首项a11，公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

（2）设数列cn对nN均有cc1c2nan1成立，求c1c2c2015． b1b2bn11an.22备用题：已知数列{an}的前n项和Sn与通项an满足Sn(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设fxlog3x,bnfa1fa2fan，Tn(3)若cnanfan，求cn的前n项和Un.111，求T2015； b1b2bn【教学处理】第（1）题，可由学生自行解答；第（2）题教师可引导学生进行观察和思考，教师点评时要侧重学生解题方法，注意运用函数的思想，注意对n1时情况的关注，培养学生严密的思维和严谨的学习态度。【引导分析与精讲建议】

（1）用方程思想求出首项和公差公比是解决问题的基础；

（2）对于等差等比综合问题学生会有困难，要引导学生抓住关键，注意等比数列证明方法；

（3）用函数的思想是解决第（2）题的关键所在，解题中要注意培养学生思维的严谨性，对表达中字母n的取值范围加以重视，注意对n1时情况的关注。

五、解题反思

9.高考数学数列专题训练篇九

递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。

一、利用公式法求通项公式

例1 已知数列{an}满足an12an32n，a12，求数列{an}的通项公式。解：an12an32n两边除以2n1，得故数列{an2nan12n1an2n32，则

an12n1an2n32，an2n}是以32a121221为首，以

32为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得

3212)2。

an12n11(n1)，所以数列{an}的通项公式为an(nn评注：本题解题的关键是把递推关系式an12an32n转化为列{an2nan2n32，说明数}是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出

an2n1(n1)32，进而求出数列{an}的通项公式。

二、利用累加法求通项公式

例2 已知数列{an}满足an1an2n1，a11，求数列{an}的通项公式。解：由an1an2n1 得an1an2n1

则an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1

[2(n1)1][2(n2)1](221)(211)12[(n1)(n2)21](n1)12(n1)n2(n1)1

所以数列{an}的通项公式为ann2

评注：本题解题的关键是把递推关系式an1an2n1转化为an1an2n1，进而求出(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1，即得数列{an}的通项公式。

例3 已知数列{an}满足an1an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。

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资料由大小学习网收集解：由an1an23n1 得an1an23n1

则an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1

(232(3n11)(23n2n221)(231)(231)3121n1

333)(n1)3n所以an23313n23nn1

评注：本题解题的关键是把递推关系式an1an23n1转化为an1an23n1，进而求出(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1，即得数列{an}的通项公式。

例4 已知数列{an}满足an13an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。解：an13an23n1两边除以3n1，得

an13n1an3nan3n232313n1，an1an123则故an13n113n1an3n(13an3nan1an1231)(1an23n2)(an23n223an33n3)(33a232a131)a13

(23n)(3)(n111313n2)(13132)

2(n1)3(3n3nn113n22)1

1因此an3n232(n1)3n3n123n(1313n1)12n312123n，则an3n12

评注：本题解题的关键是把递推关系式an13an23n1转化为an13n1an3a131n23a1313n1，进而求出(an3nan3nan13n1)(an13n1an23n2)(an23n2an33n3)+…+(a232)，即得数列{}的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。

三、利用累乘法求通项公式

例5 已知数列{an}满足an12(n1)5nan，a13，求数列{an}的通项公式。

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资料由大小学习网收集解：因为an12(n1)5nan，a13，所以an0，则则ananan1an1an2n1an1ann2(n1)5，a3a2a2a1a1

][2(21)5][2(11)5]3

3

21[2(n11)52n1][2(n21)5n2[n(n1)32]5(n1)(n2)21所以数列{an}的通项公式为

n(n1)an32n152n!

an1ann2(n1)5，进而评注：本题解题的关键是把递推关系an12(n1)5nan转化为求出 anan1an1an2a3a2a2a1a1，即得数列{an}的通项公式。

例6（2004年全国15题）已知数列{an}满足a11，ana12a23a3(n1)

(n1)an1(n2)，则{an}的通项an1，n1n!，n22解：因为ana12a23a3(n1)an1(n2)所以an1a12a23a3(n1)an1nan 所以②式－①式得an1annan 则an1(n1)an(n2)则an1ann1(n2)anan1an1an2a3a2n!2 ②

①

所以ana2

[n(n1)43]a2a2

③

由ana12a23a3(n1)an1(n2)，取n=2得a2a12a2，则a2a1，又知a11，则a21，代入③得

an1345nn!2。

an1an评注：本题解题的关键是把递推关系式an1(n1)an(n2)转化为进而求出anan1an1an2a3a2（n≥2），n1从而可得当n≥2时an的表达式，最后再求出数列{an}的a2，资料由大小学习网收集

资料由大小学习网收集通项公式。

四、利用待定系数法求通项公式

例7

已知数列{an}满足an12an35n，a16，求数列{an}的通项公式。解：设an1x5n12(anx5n)

④

将an12an35n代入④式，得2an35nx5n12an2x5n，等式两边消去nn1nn2x5，两边除以5，得3x52x，则x=－1，代入④式，2an，得35x5得an15n12(an5n)

1n ⑤

an15an5n1n由a15651≠0及⑤式，得an50，则2，则数列{an5n}是以a1511为首项，以2为公比的等比数列，则an5n12n1，故an2n15n。评注：本题解题的关键是把递推关系式an12an35n转化为an15n12(an5)，从而可知数列{an5}是等比数列，进而求出数列{an5}的nnn通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。

例8 已知数列{an}满足an13an52n4，a11，求数列{an}的通项公式。解：设an1x2n1y3(anx2ny)

⑥ 将an13an52n4代入⑥式，得

3an52n4x2n1y3(anx2ny)

整理得(52x)2n4y3x2n3y。令52x3x4y3yn1，则x5y2，代入⑥式，得

nan15223(an522)

⑦

由a15212112130及⑦式，得an5220，则nan152an52n1n223，故数列{an52n2}是以a1521211213为首项，以3为公比的等比数列，因此an52n2133n1，则an133n152n2。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an13an52n4转化为an152n123(an52n2)，从而可知数列{an52n2}是等比数列，进而求出数列{an52n2}的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。

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资料由大小学习网收集例9 已知数列{an}满足an12an3n24n5，a11，求数列{an}的通项公式。解：设an1x(n1)2y(n1)z

2(anxn2ynz)

⑧

将an12an3n24n5代入⑧式，得

2an3n224n5x(n1)y(n1)z 22(anxnynz)，则

22an(3x)n2an2xn2(2xy4)n(xyz5)

22yn2z2yn2z，等式两边消去2an，得(3x)n2(2xy4)n(xyz5)2xn3x2xx3则得方程组2xy42y，则y10，代入⑧式，得

z18xyz52zan13(n1)10(n1)182(an3n2210n18)

⑨

由a131210118131320及⑨式，得

an3n210n180

2则an13(n1)10(n1)18an3n2210n182，故数列{an3n210n18}为以a1311011813132为首项，以an3n22为公比的等比数列，因此10n18322n1，则an2n43n210n18。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an12an3n24n5转化为an13(n1)10(n1)182(an3n{an3n22210n18)2，从而可知数列10n18}是等比数列，进而求出数列{an3n10n18}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。

五、利用对数变换法求通项公式

例10 已知数列{an}满足an123na5n，a17，求数列{an}的通项公式。

解：因为an123na5所以an0，an10。在an123na5n，a17，n式两边取常用对数得lgan15lgannlg3lg

2⑩ 设lgan1x(n1)y5(lganxny)○11式，得5lganlg3lg2x(n1)y5(lgax将⑩式代入○ny)，两边消去nn5lgan并整理，得(lg3x)nxylg25xn5y，则

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lg3xlg3x5x4，故 lg3lg2xylg25yy16411式，得lga代入○n1lg34(n1)lg316lg24 ○5(lganlg34nlg316lg24)

lg34由lga1得lganlg34lg341lg316lg316lg24lg24lg3lg71lg316lg2412式，0及○n0，lg25，lgan1lg3则lgan4lg3164lg3lg2n4164(n1)所以数列{lganlg34nlg316lg24n1}是以lg7lg3164lg24lg36n15n1lg34lg3等比数列，则lganlgan(lg7n1lg34n1(lg7lg24n16lg34lg24lg316为首项，以5为公比的lg241)5n1，因此

1n1lg34lg3161lg24)5lg31n1(lg7lg34lg36lg24)5111111lg34lg316lg24[lg(73431624)]5n115n115n1lg34(31624)1lg(73431624)55n1n1n5n115n4n11lg34(31624)lg7(5n4n15n13431624)lg7(5n131624)，则an75n131624。

评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an123na5n转化为lgan1{lganlg34lg34(n1)nlg316lg316lg24lg245(lganlg34nlg316lg24)，从而可知数列

lg34nlg316lg24}的通项

}是等比数列，进而求出数列{lgan公式，最后再求出数列{an}的通项公式。

六、利用迭代法求通项公式

(n1)2，a15，求数列{an}的通项公式。例11 已知数列{an}满足an1a3n(n1)2解：因为an1a3，所以 nnnanan13n2n1[an23(n1)2n2]3n2n1

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资料由大小学习网收集 an23(n1)n23(n2)232(n2)(n1)[an3an3a13n1n3]3(n1)n22(n2)(n1)3(n2)(n1)n2(n3)(n2)(n1)

23(n2)(n1)n2n(n1)12(n3)(n2)(n1)3a1n1n!22n(n1)又a15，所以数列{an}的通项公式为an53n1n!22。

lgan1lgan评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式an1an3(n1)2n两边取常用对数得lgan13(n1)2nlgan，即

lganlgan1lgan1lgan2lga3lga2lga2lga1n3(n1)2，再由

n(n1)累乘法可推知lganan53n1lga1lg53n1n!22，从而n!2n(n1)2

七、利用数学归纳法求通项公式例12 已知数列{an}满足an1an式。

解：由an1ana2a1898(n1)(2n1)(2n3)22，a189，求数列{an}的通项公

8(n1)(2n1)(2n3)22及a189，得

8(11)(211)(213)242522

82925

8(21)a3a22425(221)(223)48498(31)(231)(233)8081(2n1)1(2n1)2222832549

a4a3484922844981

由此可猜测an，往下用数学归纳法证明这个结论。

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资料由大小学习网收集（1）当n=1时，a1(211)1(211)2289，所以等式成立。

(2k1)1(2k1)22（2）假设当n=k时等式成立，即akak1ak2，则当nk1时，8(k1)(2k1)(2k3)22

(2k1)1(2k1)228(k1)(2k1)(2k3)222222[(2k1)1](2k3)228(k1)(2k1)(2k3)2

8(k1)(2k1)(2k3)(2k3)(2k1)(2k3)22222(2k1)(2k3)(2k1)(2k1)(2k3)(2k3)1(2k3)222[2(k1)1]1[2(k1)1]22

由此可知，当n=k+1时等式也成立。根据（1）（2）可知，等式对任何nN*

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。

八、利用换元法求通项公式例13 已知数列{an}满足an1式。

解：令bn124an，则an故an11242116(14an124an)，a11，求数列{an}的通项公

124(bn1)116(14an124an)得

2124(bn11)，代入an111612422(bn11)[14(bn1)bn]

2即4b2n1(bn3)

因为bn124an0，故bn1124an10 则2bn1bn3，即bn112bn32，资料由大小学习网收集

资料由大小学习网收集可化为bn1312(bn3)，12所以{bn3}是以b13124a13124132为首项，以111222为公比的等比数

1列，因此bn32()n1()n2，则bn()n2+3，即124an()n23，得

2an21n1n1()()。3423评注：本题解题的关键是通过将124an的换元为bn，使得所给递推关系式转化bn112bn32形式，从而可知数列{bn3}为等比数列，进而求出数列{bn3}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。

九、利用不动点法求通项公式例1

4已知数列{an}满足an1解：令x21x244x121an244an1，a14，求数列{an}的通项公式。

21x244x1139，得4x220x240，则x12，x23是函数f(x)21an2423的两个不动点。因为an12an134an121an244an121an242(4an1)21an243(4an1)13an269an27。an2an3an2an3，所以数列{2(139)n1an2an3}是以

a12a1342432为首项，以

139为公比的等比数列，故，则an2(1139)n13。121x2421x24评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)两个根x12，x23，进而可推出列，再求出数列{

例15 已知数列{an}满足an1解：令x7x22x3an1an14x14x1213an2a2，从而可知数列{n}为等比数

39an3an3的不动点，即方程x的an2an3}的通项公式，最后求出数列{an}的通项公式。

7an22an3，a12，求数列{an}的通项公式。

3x14x7，得2x24x20，则x=1是函数f(x)15an52an3的不动点。

因为an117an22an3，所以

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资料由大小学习网收集 1an111a1112an35an525anan35121222，所以数列{(1)}是以

15an1an15an11an11(n1)2521以1为首项，25为公差的等差数列，则，故an2n82n3。

评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)x1，进而可推出

3x14x7的不动点，即方程x1an17x22x3的根1an111an125，从而可知数列{}为等差数列，再求出数列{1an1}的通项公式，最后求出数列{an}的通项公式。