高中数学《等比数列的前n项和》教案6 新人教A版必修

2024-09-13

高中数学《等比数列的前n项和》教案6 新人教A版必修（精选10篇）

1.高中数学《等比数列的前n项和》教案6 新人教A版必修篇一

课题: §3.3等差数列的前n项和

授课类型：新授课

（第２课时）

●三维目标

知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值；

过程与方法：经历公式应用的过程；

情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。●教学重点

熟练掌握等差数列的求和公式 ●教学难点

灵活应用求和公式解决问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1.等差数列的前n项和公式1：Snn(a1an)2n(n1)d 22.等差数列的前n项和公式2：Snna1Ⅱ.讲授新课

探究：——课本P51的探究活动

结论：一般地，如果一个数列an,的前n项和为Snpn2qnr，其中p、q、r为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？由Snpn2qnr，得S1a1pqr

当n2时anSnSn1=(pnqnr)[p(n1)q(n1)r]=2pn(pq)

22danan1[2pn(pq)][2p(n1)(pq)]=2p 对等差数列的前n项和公式2：Snna1n(n1)d可化成式子： 2Snd2dn(a1)n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 22[范例讲解] 等差数列前项和的最值问题

2.高中数学《等比数列的前n项和》教案6 新人教A版必修篇二

Snan(and)[an(n1)d]两式相加可得：2Snn(a1即Sn

an)

n(a1an)2将ana1(n1)d代入可得：Snna1综上所述：等差数列求和公式为：

n(n1)d

2Snn(a1an)n(n1)na1d 22师：下面来看一下求和公式的简单应用

例1：一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？

解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为an，其中a11,a120120，根据等差数列前n项和的公式，得

S120120(1120)7260

2答：V形架上共放着7260支铅笔。

例2：等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？解：设题中的等差数列为an，前n项为Sn 则：a110,d(6)(10)4,Sn54 由公式可得10nn(n01)454 2解之得：n19,n23（舍去）

∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54（Ⅲ）课堂练习生：（书面练习）（板演练习）

师：给出答案，结合学生所做讲评练习。（Ⅳ）课时小结

师：1。等差数列前n项和公式：Snn(a1an)2Snna1n(n1)d

22．等差数列前n项和公式获取思路

高二文科数学小练(29)1.已知函数fxlog12x在其定义域上单调递减，则函数

agxloga1x2的单调减区间是__________；

2已知奇函数fx在,0上单调递减，且f20，则不等式x1fx1＞0的解集是__________；

253.函数yx23x4的定义域为0,m，值域为则实数m,4，4的取值范围是__________； 4.已知f(x)的定义域是R，且f(x2)f(x1)f(x),f(1)lg3lg2，f(2)lg3lg5，则f(2010)__________；

5.函数f(x)x3mx21(m0)在(0,2)的极大值为最大值，则m的取值范围是__________；

3.高中数学《等比数列的前n项和》教案6 新人教A版必修篇三

授课类型：新授课

（第1课时）

●三维目标

知识与技能：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项

过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。●教学重点

等差数列的概念，等差数列的通项公式。●教学难点等差数列的性质 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。课本P41页的4个例子： ①0，5，10，15，20，25，„ ②48，53，58，63 ③18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④10072，10144，10216，10288，10366 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？

·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 Ⅱ.讲授新课

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。

⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{an},若an－an1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公差。

思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 2．等差数列的通项公式：ana1(n1)d【或anam(nm)d】

等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列an的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：

a2a1d即：a2a1d

y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.③数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式。

④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。

Ⅲ.课堂练习

课本P45练习1、2、3、4 [补充练习] 1.（1）求等差数列3，7，11，„„的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：a1=3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为：an=3+（n－1）×4,即an=4n－1（n≥1,n∈N*）∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39.评述：关键是求出通项公式.（2）求等差数列10，8，6，„„的第20项.解：根据题意可知：a1=10,d=8－10=－2.∴该数列的通项公式为：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.（3）100是不是等差数列2，9，16，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得an等于这一数.解：根据题意可得：a1=2,d=9－2=7.∴此数列通项公式为：an=2+（n－1）×7=7n－5.令7n－5=100,解得：n=15，∴100是这个数列的第15项.（4）－20是不是等差数列0，－3说明理由.1，－7，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，2177

∴此数列的通项公式为：an=－n+, 222777747令－n+=－20,解得n=

因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这个数22227解：由题意可知：a1=0,d=－3列的项.Ⅳ.课时小结

4.高中数学《等比数列的前n项和》教案6 新人教A版必修篇四

一、教材分析

1．教学内容

《点到直线的距离》是全日制普通高级中学教科书（必修·人民教育出版社）第二册（上），“§7．3两条直线的位置关系”的第四节课，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用．

2．地位与作用

本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了高中解析几何的定量计算，其学习的平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对本节的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习，奠定了基础，具有承上启下的重要作用．

二、目标分析

１．学情分析

我校高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高．

２．教学目标

根据新课程标准的理念以及前面对教材、学情的分析，我制定了如下教学目标．

【知识技能】

⑴ 理解点到直线的距离公式的推导过程；

用心

爱心

专心 ⑵ 掌握点到直线的距离公式； ⑶ 掌握点到直线的距离公式的应用．【数学思考】

⑴ 通过探索点到直线的距离公式的推导过程，渗透算法的思想；

⑵ 通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的推导过程，培养学生的数学阅读能力；

⑶ 通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．【解决问题】

由探索点到直线的距离，推广到探索点到直线的距离的过程中，使学生体会由特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法，并使学生在经历反馈练习的过程中，进一步提高灵活运用公式，解决问题的能力．

【情感态度】

结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣．

３．教学重点、难点

为更好地完成教学目标，本课教学重点设置为：【重点】

⑴ 点到直线的距离公式的推导思路分析； ⑵ 点到直线的距离公式的应用．

用心

爱心

专心【难点】

点到直线的距离公式的推导思路和算法分析．【难点突破】

本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用类比归纳的思想，由浅入深，让学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同算法思路．同时，借助于多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过逐步深入的课堂练习，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点．

三、教学方法

根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用类比发现式教学模式．从学生熟知的实际生活背景出发，通过由特殊到一般、从具体到抽象的课堂教学方式，引导学生探索点到直线的距离的求法．让学生在合作交流、共同探讨的氛围中，认识公式的推导过程及知识的运用，进一步提高学生几何问题代数化的数学能力．

四、过程设计

结合教材知识内容和教学目标，本课分为以下四个教学环节．

用心

爱心

专心环节１创设情境

在教学环节1中，以学生熟知的地质勘探、铁轨宽度、人离高压电线的安全距离等生活图片的欣赏，以及一个具体实例：当火车在高速行驶时，如果旅客离铁轨中心的距离小于的安全距离时，就可能被吸入车轮下而发生危险．创设情景，让学生直观感受几何要素——“点到直线的距离”，从而有效调动学生的学习兴趣．

（设计意图：以学生熟悉的实际生活为教学背景，引入新课，有效调动学生的学习兴趣．）

那么“应该如何求点到直线的距离呢？”带着这个问题，教学进入环节2．

环节２点到直线的距离公式的推导过程

首先，由学生回答，初中有关“点到直线的距离”的定义：过点垂线，垂足为点，线段的长度叫做点

到直线的距离．

作直线的（设计意图：引导学生复习旧知，为新课的学习打下基础．）

接着，师生共同探讨如何求点到直线的距离．由于点和直线处在一般位置，所以公式的推导过程含有字母运算，比较抽象．为帮助学生更好地理解，可以补充两个由浅入深的具体问题，为后面推广到一般情况作好铺垫．

问题1 如何求点到直线的距离？

补充的问题1，由于点和直线的位置非常特殊，所以学生容易回答，应该鼓励学生利用多种解法解决本问．

方法① 利用定义

由于本课之前，学生已掌握了两条直线交点的求法等知识，所以容易通过定义，用心

爱心

专心将点到直线的距离，转化为点、垂足两点之间距离来解决．

解：过点作的垂线，设垂足为

方法② 利用直角三角形的面积公式

结合图形，学生也能利用面积构造法来解决，这一方法的难点是如何添作辅助线．教学时给予提示：由垂直条件，可以联想到三角形的高或直角三角形等相关知识．

解：过点

作的垂线

用心

爱心

专心，交点为点在Rt方法③ 利用三角函数

根据定义作出图象后，由于涉及到Rt利用三角函数知识解决问题．

和直线倾斜角，学生容易联想

解：过点作的垂线，垂足为

方法④ 利用函数的思想

在初中，学生已初步认识了点到直线的距离的几何特征：连接直线外一点与直线上任意点，所得线段中垂线段最短．以此为背景，学生可能通过函数的思想来解决．

用心

爱心

专心

解：设直线上的点，则

当时，取得等号，即此时点

对于问题1，学生可能提供的解法不完全，我要引导学生补充完整．改变点和直线的位置，引出补充问题2．

问题2 如何求点到直线的距离？

组织学生类比问题1，独立思考本问的解决方法．在课堂上只要求学生说明解法思路，而不要求解题过程．

用心

爱心

专心（设计意图：为了推导点到直线的距离公式，学生会面临比较抽象的字母运算．通过补充两个由浅入深的具体问题，使学生能够类比思考，解决当点和直线处在一般位置时，点到直线的距离的求法．）

在解决问题1、2的基础上，将点和直线的位置推广到一般情况，进一步提出问题3．

问题3 如何求点到直线（）的距离？

方法① 利用定义的推导方法

通过前面两个补充问题，学生已经积累了一些求点到直线距离的经验和方法，学生可能会类比考虑利用定义，将点

到直线的距离转化为点

与垂足，两点之间距离来处理．这种方法虽然思路自然，但运算较繁琐，所以只要求学生结合教材，说明算法步骤、明确算法框图，而不要求推导过程．尽管在前面的学习中，学生已掌握了两条直线垂直的充要条件，但学生仍然可能忽略，这一前提条件，而直接得到与垂直直线的斜率为．我要加以纠正，并强调对于的特殊情况，可以结合图象直接得出结论，所以在算法中暂不考虑．

用心

爱心

专心

方法② 利用直角三角形的面积公式的的推导方法

学生也可能类比补充问题1、2中，添作辅助线的方式，构造直角三角形，通过面积构造法解决问题．对于这种方法，由于教材已经给出了推导过程，所以学

用心

爱心

专心生代表可以只说明算法步骤．与传统教材相比，新教材更关注学生思维能力的培养，淡化形式、注重实质．由于新教材删减了一些同角三角函数的基本关系式，所以旧教材利用三角函数的方法推导公式就显得繁杂，教科书选择的借助直角三角形的面积公式推导公式的方法，简洁、明了．所以，可以让学生根据算法框图，自学教材的推导过程，培养学生的数学阅读能力．在此过程中，应该提醒学生注意Rt三边边长的求法．

用心

爱心

专心方法③ 利用平面向量的推导方法

由于在前面直线方程的学习中，教材引入了直线方向向量的概念，并运用了向量的有关知识讨论直线的一些问题．所以我班部分思维能力较强的学生，可能会提出利用向量知识推导公式，我要给予肯定．尽管这种方法具有一定难度，但根据我班学生思维能力较强的特点，可以先引导学生复习向量有关知识，使学生明确向量数量积的两种表示方式及其几何意义，再结合图象，师生互动，共同讨论得出，利用向量数量积推导公式的算法步骤、算法框图．在这一过程中，学生可能会遇到，无法表示与直线垂直的向量的坐标的困难，我给予提示：可以借助于，向量与直线的方向向量互相垂直的充要条件来解决．对于这种方法的具体推导过程，要求学生课后，在自学教材

阅读材料“向量与直线”的基础上，作为思考作业完成．这种利用向量的算法，为今后在立体几何中，利用这种方法得到点到平面的距离公式奠定了基础．

用心

爱心

专心

（设计意图：在点到直线的距离公式的推导过程中，通过问题获得知识，让学生经历“发现问题——提出问题——解决问题”的过程，使学生感受到用坐标的方法研究几何问题是一种重要的数学方法．由于点和直线处在一般位置，所以公式的推导中会涉及字母运算，比较抽象．为帮助学生理清思路，在教学中强调了算法的思想，让学生在明确算法步骤和算法框图的前提下，再进行有效的公式证明和自学阅读．）

点到直线的距离公式

点到直线（其中）的距离

在学生通过多种方法推导得出公式后，引导学生根据公式的形式特点，记忆公式．同时强调：当论．

用心

爱心

专心

时，公式仍然适用，也可以结合图象直接求出结在此基础上，要求学生利用公式计算补充问题1、2，并与前面的计算结果进行比较，前后呼应，使学生体会运用公式计算的简便性．点到直线的距离公式的应用是本课的一个重点，为了强化学生对公式的记忆和运用，教学进入环节3．

环节３点到直线的距离公式的应用

在本环节，我安排了三个典型例题．其中例1是引用教材，由于例题中所给直线的方程已经是一般式，所以学生容易忽略运用公式的前提：首先应将直线方程化为一般式，在确定了系数的值之后，再代入公式进行计算．这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要．为了强调运用公式的这一前提条件，我在例1中补充设置了⑶、⑷两个小问．

例1 求点到下列直线的距离：

⑴ ⑵

⑶

⑷

（设计意图：通过例题练习，强化学生对公式的记忆和应用．同时，“代入公式计算前，首先应将直线方程化为一般式，以便确定系数的值”是学生在应用公式中，容易忽略的环节．将这一薄弱环节设置在补充例题中，使学生在“错误体验”加深记忆，以期达到强化训练的目的．）

在解决了例1的基础上，由浅入深，补充了直线方程含有参数的例2，进一步提高学生灵活运用公式的能力．

例2 ⑴ 已知点到直线的距离为，求的值；

⑵ 已知点到直线的距离为，求的值．

用心

爱心

专心由于例2的两个问题中，直线方程所含参数都具有明显的几何意义：一个表示直线的斜率，另一个表示直线在轴上的截距．所以解出参数的值后，在“几何画板”中，以数学实验的形式，通过度量进行操作确认．其中⑴随直线的不断变化，学生可观察点势．当时，度量出图1）；在⑵中，学生可观察点变化趋势．当

到直线距离的度量值、直线斜率的度量值的变化趋时，可发现此时两条直线的斜率的度量值，与计算结果吻合．同，说明点

落在两条直线所成角的角平分线上（如

到直线距离的度量值、直线在轴上截距的时，直线在轴上的截距的度量值，也与计算结果吻合（如图2）．本例既考察了学生对公式的掌握情况，又为下节课对称问题和直线系的研究设下伏笔，并由问题⑵中两平行线间距离为，引出教材的例题．

图

图2

（设计意图：点到直线距离公式的应用，是本课的一个重点内容．在例1的基础上，增补直线方程含有参数的例2，进一步提高学生灵活运用公式的能力．在几何画板的软件平台中，通过数学实验，让学生感受在利用代数方法研究几何问题后，再回归几何本身的重要性．）

例3 求平行线和的距离．

教材上采用了类比化归的思想，将两平行直线之间的距离，转化为点到直线的距离来解决问题．由于两平行线间的距离处处相等，所以教材选择了一条直线

用心

爱心

专心上的特殊点，便于简化计算．学生可能会提出如果在直线上任选一点否得到这两条平行线之间的距离的问题，由此引出了教材剩余时间，此题作为机动练习．

此时，本课教学任务已基本完成，为进一步巩固知识，教学进入环节4．

能的习题15．根据课堂（设计意图：紧扣教材，让学生体会类比化归的思想方法，同时，为课后作业中推导两平行线之间的距离公式，设下伏笔．）环节４课堂总结

由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明． ⑴ 点到直线的距离公式的推导中不同的算法思路； ⑵ 点到直线的距离公式；

⑶ 点到直线的距离公式的应用前提条件．

（设计意图：通过小结，使学生本节所学的知识系统化、条理化，进一步巩固知识，明确方法．）

课后作业

① 在自学教材距离公式；阅读材料“向量与直线”后，利用向量的方法证明点到直线的② 教材13、14、16

用心

爱心

专心

板书设计

五、教学反思

根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课有如下五点反思：

1．对于这一节内容，有两种不同的处理方式：一种是让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式的探寻过程，这样的处理不利于我校学生数学思维的培养；二是本课方式，通过强调对公式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问题的能力；

2．点到直线的距离的推导过程，含有比较抽象的字母运算．如果没有整体算法步骤的分析，学生的思路会缺乏连贯性，所以本课重点分析了三种算法思想：利用定义的算法、利用直角三角形面积的算法、利用平面向量的算法．让学生在明了算法步骤的前提下，再进行有效的公式推导和自学阅读；

用心

爱心

专心 3．向量是一种重要的运算工具，根据我班学生的实际，本课涉及了利用向量的数量积推导点到直线的距离公式的方法．实际上，在以后立体几何的学习中，还将利用这种算法思路得到点到平面的距离公式．又由于这种方法在思维上有一定的难度，所以，我根据学生的实际情况，提出了分层要求：基本要求是能够理解教材所给的推导方法，并能够应用公式，较高要求是能够利用向量的方法推导点到直线的距离公式；

4．现代数学认为“几何是可视逻辑”，所以我重视在补充的例题中，突出几何直观和数形结合的思想方法；

5．学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，所以我重视在学生应用公式中容易忽略的环节,并在补充的例题中给予了设置，以期达到强化训练的目的．

用心

爱心

5.高中数学《等比数列的前n项和》教案6 新人教A版必修篇五

教学要求：使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法。

教学重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标

教学难点：通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标教学过程：一.复习准备：

1.提问：平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？ 2.讨论：一个点在平面怎么表示？在空间呢？

二、讲授新课：

1.空间直角坐标系：

如图，OBCDD,A,B,C,是单位正方体.以A为原点，分别以OD,OA，OB的方向为正方向，建立三条数轴

x轴.y轴.z轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.1）叫做坐标原点

2）x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴.3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

2.右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。3.有序实数组

1）空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标思考：原点O的坐标是什么？

讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程。

例题1：在长方体OBCDD,A,B,C,中，OA3,oC4,OD,2.写出D，C,A，B,四点坐标.（建立空间坐标系写出原点坐标各点坐标）

讨论：若以C点为原点，以射线BC、CD、CC1 方向分别为ox、oy、oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么，各顶点的坐标又是怎样的呢？（得出结论：不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同。）4.练习：V-ABCD为正四棱锥，O为底面中心，若AB=2，VO=3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标。

三、巩固练习：

已知M(2,-3, 4)，画出它在空间的位置。

思考题：建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标。

四．小结：

6.高中数学《等比数列的前n项和》教案6 新人教A版必修篇六

（三）教学目标：掌握对数的换底公式教学重点：掌握对数的换底公式教学过程：

1、首先可以通过实例研究当一个对数式的底数改变时，整个对数式会发生什么变化? 如求设，写成指数式是，取以为底的对数得

即在这个等式中，底数3变成

．

后对数式将变成等式右边的式子．

一般地

关于对数换底公式的证明方法有很多，这里可以仿照刚才具体的例子计算过程证明对数换底公式，证明的基本思路就是借助指数式．

换底公式的意义是把一个对数式的底数改变可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则．

由换底公式可得：

(1)

．

(2)

2、例题：

．（1、证明：证明：设，，，则：，∴，从而；∵，∴，即：。（获证）

2、已知：

求证：

证明：由换底公式，由等比定理得：，∴，∴。

3、设，且，求证：；比较的大小。证明：设，∵，∴，取对数得：，，∴

；

2，又，∴，∴，∴。

7.高中数学《等比数列的前n项和》教案6 新人教A版必修篇七

式及其解法教案

课时安排 1课时教学分析

学生在初中已经学习了一元一次不等式（组）和二次函数，对不等式的性质有了初步了解。从心理特征来说，高中阶段的学生逻辑思维较初中学生来说更加严密，抽象思维能力也有进一步提升，所以要更加注重其抽象思维的训练，因对于这个阶段的学生来说，一元二次不等式的学习有一定的基础和必要。结合新课标对本节课的要求，我将本节课的重点确定为：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法；难点确定为：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；掌握象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力；培养讨论的思想方法；培养抽象概括能力和逻辑思维能力；经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元次不等式的解法。激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

课题 §3.1一元二次不等式及其解法教学目标

（一）知识与技能掌握图象法解一元二次不等式的方法

（二）过程与方法培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，（三）情感态度与价值观激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，教学重点从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法教学难点理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系教学方法合作探究、自学指导法教具准备多媒体课件教学过程

一、导入新课

学校要在长为8,宽为6 的一块长方形地面上进行绿化,计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观,现要求草坪的种植面积超过总面积的一半,此时花卉带的宽度的取值范围是什么?

二、讲授新课

自主学习

1、阅读教材P84-P87

2、一元二次不等式的定义象次不等式

合作探究

探究1：求一元二次不等式的解集。这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系

容易知道：二次方程的有两个实数根：，二次函数有两个零点：，于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。（2）观察图象，获得解集

画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，可知：

；；当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即当0

探究2：一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式的解集是，从而解决了本节开始时提出的问题。，一般地，怎样确定一元二次不等式>0与

学生展示：

1、从上面的例子出发，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：(1)抛物线=0的根的情况

(2)抛物线

2、（1）抛物线由一元二次方程的开口方向，也就是a的符号

（a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以

=0的判别式

三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）

与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程<0的解集呢？

来确定.因此，要分二种情况讨论（2）a<0可以转化为a>0 分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式与<0的解集

3、一元二次不等式(学生完成课本第86页的表格)的解集： >0 教师精讲

例1(课本第87页)求不等式的解集.解：因为.所以，原不等式的解集是例2(课本第88页)解不等式解：整理，得因为所以不等式从而，原不等式的解集是巩固提高

..无实数解，的解集是..课本第89的练习1（1）、（3）、（5）、（7）

四、布置作业

课本第89页习题3.2[A]组第1题

五、板书设计

§3.1一元二次不等式及其解法

8.高中数学《等比数列的前n项和》教案6 新人教A版必修篇八

教材分析

等差数列的前ｎ项和是数列的重要内容，也是数列研究的基本问题．在现实生活中，等差数列的求和是经常遇到的一类问题．等差数列的求和公式，为我们求等差数列的前ｎ项和提供了一种重要方法．

教材首先通过具体的事例，探索归纳出等差数列前ｎ项和的求法，接着推广到一般情况，推导出等差数列的前ｎ项和公式．为深化对公式的理解，通过对具体例子的研究，弄清等差数列的前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系，并能熟练地运用等差数列的前ｎ项和公式解决问题．这节内容重点是探索掌握等差数列的前ｎ项和公式，并能应用公式解决一些实际问题，难点是前ｎ项和公式推导思路的形成．

教学目标

1.通过等差数列前ｎ项和公式的推导，让学生体验数学公式产生、形成的过程，培养学生抽象概括能力．

2.理解和掌握等差数列的前ｎ项和公式，体会等差数列的前ｎ项和与二次函数之间的联系，并能用公式解决一些实际问题，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力．

3.在研究公式的形成过程中，培养学生的探究能力、创新能力和科学的思维方法．

任务分析

这节内容主要涉及等差数列的前ｎ项公式及其应用．

对公式的推导，为便于学生理解，采取从特殊到一般的研究方法比较适宜，如从历史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法出发，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方面引导学生发现等差数列中任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和等于首项与末项的和这个规律，进而发现求等差数列前ｎ项和的一般方法，这样自然地过渡到一般等差数列的求和问题．对等差数列的求和公式，要引导学生认识公式本身的结构特征，弄清前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系．为加深对公式的理解和运用，要强化对实例的教学，并通过对具体实例的分析，引导学生学会解决问题的方法．特别是对实际问题，要引导学生从实际情境中发现等差数列的模型，恰当选择公式．对于等差数列前ｎ项和公式和二次函数之间的联系，可引导学生拓展延伸．

教学设计

一、问题情景

1.在200多年前，有个10岁的名叫高斯的孩子，在老师提出问题：“1＋2＋3＋…＋100＝？”时，很快地就算出了结果．他是怎么算出来的呢？他发现1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝101×50＝5050．

2.受高斯算法启发，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和．

3.高斯的方法妙在哪里呢？这种方法能否推广到求一般等差数列的前ｎ项和？

二、建立模型

1.数列的前ｎ项和定义

对于数列｛ａn｝，我们称ａ1＋ａ2＋…＋ａn为数列｛ａn｝的前ｎ项和，用Sn表示，即Sn＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn．

2.等差数列的求和公式

（1）如何用高斯算法来推导等差数列的前ｎ项和公式？对于公差为ｄ的等差数列｛ａn｝：

Sn＝ａ1＋（ａ1＋ｄ）＋（ａ1＋2ｄ）＋…＋［ａ1＋（ｎ—1）ｄ］，①

依据高斯算法，将Sn表示为Sn＝ａn＋（ａn—ｄ）＋（ａn—2ｄ）＋…＋［ａn—（ｎ—1）ｄ］．

②

由此得到等差数列的前ｎ项和公式

小结：这种方法称为反序相加法，是数列求和的一种常用方法．

（2）结合通项公式ａn＝ａ1＋（ｎ—1）ｄ，又能得怎样的公式？

（３）两个公式有什么相同点和不同点，各反映了等差数列的什么性质？学生讨论后，教师总结：相同点是利用二者求和都须知道首项ａ1和项数ｎ；不同点是前者还须要知道ａn，后者还须要知道ｄ．因此，在应用时要依据已知条件合适地选取公式．公式本身也反映了等差数列的性质：前者反映了等差数列的任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和都等于首、末两项之和，后者反映了等差数的前ｎ项和是关于ｎ的没有常数项的“二次函数”．

三、解释应用［例题］

1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn．

（1）ａ1＝ —4，ａ8＝ —18，ｎ＝8．（2）ａ1＝14．5，ｄ＝0.7，ａn＝32．

注：恰当选用公式进行计算．

2.已知一个等差数列｛ａn｝前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的前ｎ项和的公式吗？

分析：将已知条件代入等差数列前ｎ项和的公式后，可得到两个关于ａ1与ｄ的关系式，它们都是关于ａ1与ｄ的二元一次方程，由此可以求得ａ1与ｄ，从而得到所求前ｎ项和的公式．

解：由题意知

注：（1）教师引导学生认识到等差数列前ｎ项和公式，就是一个关于ａn，ａ1，ｎ或者ａ1，ｎ，ｄ的方程，使学生能把方程思想和前ｎ项和公式相结合，再结合通项公式，对ａ1，ｄ，ｎ，ａn及Sn这五个量知其三便可求其二．

（2）本题的解法还有很多，教学时可鼓励学生探索其他的解法．例如，3.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从20XX年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，20XX年该市用于“校校通”工程的经费500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从20XX年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

教师引学生分析：每年“校校通”工程的经费数构成公差为５０的等差数列．问题实质是求该数列的前10项的和．

解：根据题意，从2001～20XX年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元．所以，可以建立一个等差数列｛ａn｝，表示从20XX年起各年投入的资金，其中，ａ1＝500，ｄ＝50．

那么，到20XX年（ｎ＝10），投入的资金总额为

答：从2001～20XX年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元．注：教师引导学生规范应用题的解题步骤．

4.已知数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn＝ｎ2＋

ｎ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

解：根据

由此可知，数列｛ａn｝是一个首项为，公差为2的等差数列．

思考：一般地，数列｛ａn｝前ｎ项和Sn＝Aｎ2＋Bｎ（A≠０），这时｛ａn｝是等差数列吗？为什么？

［练习］

1.一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10ｋｍ／ｈ开始，每隔2ｓ速度提高20ｋｍ／ｈ．如果测试时间是30ｓ，测试距离是多长？

2.已知数列｛ａn｝的前ｎ项的和为Sn＝

ｎ2＋

ｎ＋4，求这个数列的通项公式．

3.求集合M＝｛ｍ｜ｍ＝2ｎ—1，ｎ∈N*，且ｍ＜60｝的元素个数，并求这些元素的和．

四、拓展延伸

1.数列｛ａn｝前ｎ项和Sn为Sn＝pn2＋qn＋ｒ（ｐ，ｑ，ｒ为常数且ｐ≠０），则｛ａn｝成等差数列的条件是什么？

2.已知等差数列5，4，3，…的前ｎ项和为Sn，求使Sn最大的序号ｎ的值．

分析1：等差数列的前ｎ项和公式可以写成Sn＝以看成函数ｙ＝x2＋（ａ1－

ｎ2＋（ａ1－）ｎ，所以Sn可）ｘ（ｘ∈N*）．当ｘ＝ｎ时的函数值．另一方面，容易知道Sn关于ｎ的图像是一条抛物线上的一些点．因此，我们可以利用二次函数来求ｎ的值．

解：由题意知，等差数列5，4，3，…的公差为－，所以

于是，当ｎ取与最接近的整数即7或8时，Sn取最大值．

分析2：因为公差ｄ＝－＜０，所以此数列为递减数列，如果知道从哪一项开始它后边的项全为负的，而它之前的项是正的或者是零，那么就知道前多少项的和最大了．即使然后从中求出ｎ．

点评

这篇案例从具体的实例出发，引出等差数列的求和问题，在设计上，设计者注意激发学生的学习兴趣和探究欲望，通过等差数列求和公式的探索过程，培养学生观察、探索、发现规律、解决问题的能力．

对例题、练习的安排，这篇案例注意由浅入深，完整，全面．拓展延伸的设计有新意，有深度，符合学生的认识规律，有利于学生理解、掌握这节内容．

9.高中数学《等比数列的前n项和》教案6 新人教A版必修篇九

教学目的：

（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.授课类型：新授课

教具：多媒体、实物投影仪教学过程：

一、复习引入：

1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 axiyj…………○我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作 a(x,y)…………○

2式叫做向其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○量的坐标表示.与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y).特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 1

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定.设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1）若a(x1,y1)ab(x1x2,y1y2)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j 即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2)（2）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB=OBOA=(x2，y2)(x1，y1)=(x2 x1，y2 y1)（3）若a(x,y)和实数，则a(x,y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y)

三、讲解范例：

例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐标.例2 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD时，由ABDC得D1=(2，2)当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6，0)

例4已知三个力F1(3，4)，F2(2，5)，F3(x，y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐标.解：由题设F1+F2+F3=0 得：(3，4)+(2，5)+(x，y)=(0，0)32x0x5即： ∴ ∴F3(5，1)45y0y1

四、课堂练习：

1．若M(3，-2)N(-5，-1)且 MP12MN，求P点的坐标

2．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则AB2BC=.3．已知：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，求证：四边形ABCD是梯形.五、小结（略）

六、课后作业（略）

七、板书设计（略）

10.高中数学《等比数列的前n项和》教案6 新人教A版必修篇十

（一）、基本概念及知识体系：

教学要求：掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。

教学重点：掌握函数的基本性质。教学难点：应用性质解决问题。(二)、教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？ 2.提问：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？

二、教学典型习例： 1.函数性质综合题型： ①出示

★例1：作出函数y＝x－2|x|－3的图像，指出单调区间和单调性。

分析作法：利用偶函数性质，先作y轴右边的，再对称作。→学生作 →口答

→ 思考：y＝|x－2x－3|的图像的图像如何作？→

②讨论推广：如何由f(x)的图象，得到f(|x|)、|f(x)|的图象？ ③出示 ★例2：已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数分析证法 → 教师板演 → 变式训练

④讨论推广：奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？

（偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致）2.教学函数性质的应用：

①出示例3 ：求函数f(x)＝x＋221(x>0)的值域。x分析：单调性怎样？值域呢？→小结：应用单调性求值域。→ 探究：计算机作图与结论推广 ②出示

2.基本练习题：

2xx(x0)①判别下列函数的奇偶性：(1)、y＝1x＋1x、（2）、y＝

2xx(x0)（变式训练：f(x)偶函数，当x>0时，f(x)=….，则x<0时，f(x)=?）

三、巩固练习：

ax2b1.求函数y=为奇函数的时，a、b、c所满足的条件。（c=0）

xc2.已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求函数值域。3.f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，如何f(2－a)－f(a－3)<0。求a的范围。4.求二次函数f(x)=x2－2ax＋2在[2,4]上的最大值与最小值。5.课堂作业： P43 A组6题，B组2、3题。

四、应用题训练：

x(1x)(当x0时)★例题

1、画出下列分段函数f(x)= 的图象：（见教案P35面例题2）

x(1x)(当x0时)2x2x(当x0时)★例题

2、已知函数f(x)=2，确定函数的定义域和值域；判断函数的奇偶

x2x(当x0时)性、单调性。（见教案P35面例题3）

★【例题3】某地区上电价为0.8元/kWh，年用电量为akWh。本计划将电价降到0.55元/kWh至0.75元/kWh之间，而用户期望电价为0.4元/kWh经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）。该地区电力的成本为0.3元/kWh。

（I）写出本电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；

（II）设k0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？（注：收益=实际用电量×（实际电价-成本价））解：（I）：设下调后的电价为x元/kwh，依题意知用电量增至为

yka，电力部门的收益

x0.4kax0.30.55x0.75（II）依题意有

x0.40.2aax21.1x0.30x0.3a0.80.3120%, x0.4 整理得  0.55x0.750.55x0.75.解此不等式得 0.60x0.75

答：当电价最低定为0.6x元/kwh仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%。

★【例题5】某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养值提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克.根据市场调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系: 当P=Q时市场价格称为市场平衡价格.(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元? ●解:(1)依题设有

化简得

5x2+(8t-80)x+(4t2-64t+280)=0.当判别式△=800-16t2≥0时，由△≥0,t≥0,8≤x≤14,得不等式组:解不等式组①,得,不等式组②无解.故所求的函数关系式为

(2)为使x≤10,应有

≤-5,由t≥0知t≥1.从而政府补贴至少为每千克1元.（五）、2007年高考试题摘录：

化简得t+4t-5≥0.解得t≥1或t

2★题

1、（07天津）在R上定义的函数fx是偶函数，且fxf2x，若fx在区间1,2是减函数，则函数fx（B）A.在区间2,1上是增函数，区间3,4上是增函数；B.在区间2,1上是增函数，区间3,4上是减函数；C.在区间2,1上是减函数，区间3,4上是增函 2 数；D.在区间2,1上是减函数，区间3,4上是减函数

x2,★题

2、(07浙江)设fxx,x1，gx是二次函数，若fgx的值域是0,，x1则gx的值域是（C）A.,11, B.,10, C.0, D.1,

★题

3、(07福建)已知函数fx为R上的减函数，则满足f1xf1的实数x的取值范围是（C）A.1,1 B.0,1 C.1,00,1 D.,11,

★题

4、(07福建)已知函数fx为R上的减函数，则满足f1xf1的实数x的取值范围是（C）A.1,1 B.0,1 C.1,00,1 D.,11,

★题

5、(07重庆)已知定义域为R的函数fx在区间8,上为减函数，且函数yfx8为偶函数，则（D）A.f6f7 B.f6f9 C.f7f9 D.f7f10

★题

6、（07安徽）若对任意xR,不等式x≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（B）A.a＜-1 B.a≤1 C.a＜1 D.a≥1 ★题

7、（07安徽）定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程f(x)0在闭区间T,T上的根的个数记为n，则n可能为（D）

A.0 B.1