解二元一次方程组案例

解二元一次方程组案例（精选15篇）

1.解二元一次方程组案例 篇一

“解二元一次方程组”一节教学反思

“解二元一次方程组”是“二元一次方程组”一章中很重要的知识，占有重要的地位。通过本节课的教学，使学生会用加减消元法解二元一次方程组，进一步了解“消元”的思想。加减法解二元一次方程组的基本思想与代入法相同，仍是“消元”化归思想，通过代入法、加减法这些手段，使二元方程转化为一元方程，从而使“消元”化归这一转化思想得以实现。因此在设计教学过程时，注重化归意识的点拨与渗透，使学生在学习中逐步体会理解这种具有普遍意义的分析问题、解决问题的思想方法。

教学后发现，大部分学生能利用加减消元法解二元一次方程组，教学一开始给出了等式的基本性质的练习题和一个二元一次方程组。等式的基本性质的设置，有利于更好进行加减消元解二元一次方程组，然后让学生回顾用代入法求解二元方程组的基本思想，既复习了旧知识，又引出了新课题，引发学生探究的兴趣。通过学生的观察、发现、比较，理解加减消元法的原理和方法，使学生明确使用加减法的条件，体会在一定条件下使用加减法的优越性。之后，通过例题来帮助学生规范书写，同时明确用加减法解二元一次方程组的步骤。接下来，再通过一系列的练习来巩固加减消元法的应用，并在练习中摸索运算技巧，培养能力，训练学生思维的灵活性及分析问题、解决问题的综合能力。有个别同学在运算上比较容易出错，运用的灵活性掌握得不太好，解答起来速度较慢，我想只要多加练习，一定会又快又准确的。

当然，通过本课教学，自己发现许多不足，首先，在教学过程中，提问时，问题问得不够明确，没给学生足够的思考时间，就着急往下敢，这是一大失误。其次，学生展示时，字小，学生看不清，如果让学生到黑板展示解题过程，这个问题很容易解决。当时，教学设计，我是想让学生把做好的题用投影方式来展示，由于我之前没使用过多媒体，才临时采用让学生拿着做好的题向周围的同学去展示。最后，应多给学生探讨交流、思考、归纳的时间，培养学生自主学习的习惯，好习惯能成就人的未来。在今后的教学中，尽量注意这些问题，优化自己的课堂。

2.解二元一次方程组案例 篇二

一、巧用代入法

代入法是解二元二次方程组最基本的方法, 但代入法也有其巧妙的地方.

分析由 (2) 提公因式发现 (1) 式的整体出现, 那么即可代入 (1) 式简化整个式子.

解由 (2) 得:x2 (x-y) +2x (x-y) +1=0. (3)

将 (1) 代入 (3) 式得:x2-2x+1=0, 即x=1.

由 (1) 式得y=0

注意本题关键是在 (2) 式中寻找“x-y”整体, 再采用代入法.

二、巧用消元法

消元法解二元二次方程组也是常选择的方法, 消元法包括消二次项、消常数项以及同时消二次项、二元项等, 需要我们根据题目选择最佳的方法.

分析观察题目可知二次项系数x, y不对应成比例, 可适当变形方程 (2) 为2x2-4y2+x2=-5.

解由 (1) ×2- (2) , 得x2-2x+1=0, 即x=1.

解得

三、巧用换元法

在计算过程中合理利用换元法可以使复杂的方程简单化, 减轻计算量.

分析若直接用代入法或者消元法计算都比较复杂, 考虑换元.

注意可将值一一代入原方程检验.

四、巧用因式分解

因式分解是乘法公式的逆运算, 因式分解的特点之一是降次, 在解二元二次方程组时运用因式分解可以将方程化简.

分析 (2) 式是一个可分解的方程, 即可达到降次的目的.

解将 (2) 式化简为: (x-2y) (x-3y) =0.

五、巧用方程

=c+d

在解二元二次方程组的时候, 若遇到形如=c+d的等式 (c, d均为常数) , 根据等式的性质可令x=c或x=d, 求解x的值.

分析由 (2) 式得, 代入 (1) 即可得到类似x+=c+d的形式.

解由 (2) 知:x≠0且y=. (3)

将 (3) 代入 (1) 得:x2+=5.

注意关键是 (4) 式形如x+=c+d的转化.

六、巧用判别式

在解一元二次方程的根时, 用判别式判断一个方程是否有根, 在解较复杂二元二次方程组时可以借助方程有根的特点解方程.

分析要以判别式来求解, 需将 (1) 式变形为关于x的方程.

解即x2- (y+3) x+y2+3=0. (3)

由于x, y均为实数, 方程 (1) 有解,

所以Δ=[- (y+3) ]2-4 (y2+3) ≥0, 即 (y-1) 2≤0.

而 (y-1) 2≥0, 所以 (y-1) 2=0, 则y=1.

将y=1代入 (3) 式:x2-4x+4=0, 即x=2.综上

注意

可将结果代入 (2) 式验证计算结果.

3.解二元一次方程组的技巧 篇三

一、 整体代入法

【分析】此题常规解法是先化简再加减消元，虽能达到目的，但是比较麻烦，观察发现方程①与方程②中有相同的代数式4x+6y，所以把方程②代入方程①中，从而解出x的值进而求出y的值，则快人一步！

简解：将方程②整体代入到方程①，得2x+3×2=4，所以x=-1，将x=-1代入②，得4×（-1）+6y=2，得y=1，所以原方程组的解为x=-1，

y=1.

【点评】解方程组时，有时可根据题目的特点整体代入，从而达到简化运算的目的，当然不是所有的题目都能像本题一样直接整体代入，有时须通过仔细观察，抓住方程组的特点，先将它作一些处理，然后再整体代入.

二、 整体加减法

例2 解方程组

【分析】若先去分母，再化简求解，则十分麻烦，观察发现两个方程中都含有、，分别将其看作一个整体，将方程①与方程②进行整体加减消元，则简单明快.

【分析】对于这样系数较大的方程组，采取常规的解法，烦琐难算且易错！观察发现方程组的左边未知数的系数为轮换对称式，分别将两个方程整体相加、减，可构造一个简单方程组，从而简化计算过程.

【分析】按常规方法是寻找系数x或y的最小公倍数，再消元，运算量大，观察发现两个方程的常数项相同，所以两式相减消去常数项，再代入消元可获巧解.

四、 整体构造法

例5 某人买13块橡皮、5支铅笔、9根直尺共用12.8元，若买2块橡皮、4支铅笔、3根直尺共用4.7元，求买橡皮、铅笔、直尺各一样需多少元？

【分析】设橡皮、铅笔、直尺的单价各为x、y、z元，根据题意只能列2个方程，不能求出x、y、z的值，将x+y+z看作一个整体，将每一个方程都构造含有x+y+z的式子，从而可整体求出.

总之，在解二元一次方程组时，一定要分析题目的特点，灵活运用技巧，才能简化解题过程，化繁为简，提高正确率.

4.解二元一次方程组教学反思 篇四

课堂一开始给出了等式的基本性质的练习题和一个二元一次方程组。等式的基本性质的设置，有利于更好进行加减消元解二元一次方程组，然后让学生回顾用代入消元法求解二元方程组的基本思想，既复习了旧知识，又引出了新课题，引发学生探究的兴趣。通过学生的观察、发现、比较，理解加减消元法的原理和方法，然后学生进行自主学习和合作探究，使学生明确使用加减法的条件，体会在一定条件下使用加减法的优越性。在此过程中发现，大部分学生能利用加减消元法解二元一次方程组，之后，通过例题来帮助学生规范书写，同时明确用加减法解二元一次方程组的步骤。接下来，再通过一系列的练习来巩固加减消元法的应用，并在练习中摸索运算技巧，培养能力，训练学生思维的灵活性及分析问题、解决问题的综合能力。有个别同学在运算上比较容易出错，运用的灵活性掌握得不太好，解答起来速

度较慢，我想只要多加练习，一定会又快又准确的。

5.解二元一次方程组(一)教学设计 篇五

２．二元一次方程组的解法

（一）金胜中学

原艳宏

一、学生起点分析

在学习本节之前，学生已经掌握了有理数、整式的运算、一元一次方程等知识，了解了二元一次方程、二元一次方程组等基本概念，具备了进一步学习二元一次方程组解法的基本能力.二、教学任务分析

教科书从实际问题出发，通过引导学生经历自主探索和合作交流的活动，学习二元一次方程组的解法——代入消元法.代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，它要求从两个方程中选择一个系数比较简单的方程，将它转换成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，然后代入另一个方程，求出这个未知数的值，最后将这个未知数的值代入已变形的那个方程，求出另一个未知数的值.在求出方程组的解之后，可以对求出的解进行检验，这样可以防止和纠正方程变形和计算过程中可能出现的错误.二元一次方程组的解法，其本质思想是消元，体会“化未知为已知”的化归思想.三、教学目标分析

1.教学目标

1.会用代入消元法解二元一次方程组.2．了解 “消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.3．让学生经历自主探索过程，化未知为已知，从中获得成功的体验，从而激发学生的学习兴趣.2.教学重点

用代入消元法解二元一次方程组.3.教学难点

在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.四、教学过程：

第一环节：出示目标

1.会用代入消元法解二元一次方程组.2．了解 “消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.3．经历自主探索过程，化未知为已知，从中获得成功的体验，从而激发学生的学习兴趣.第二环节：自学指导

内容：

提出问题：每一个二元一次方程的解都有无数多个，而方程组的解是方程组中各个方程 的公共解，前面的方法中却好我们找到了这个公共解，但如果数据不巧，这可没那么容易，那么，有什么方法可以获得任意一个二元一次方程组的解呢？

教师引导学生共同回忆上一节课讨论的“买门票”问题，想一想当时是怎么获得二元一次方程组的解的.xy8,设他们中有x个成人，y个儿童，我们得到了方程组成人和儿童到底去了

5x3y34.x5,多少人呢？在上一节课的“做一做”中，我们通过检验是不是方程x+y=8和方程

y35x+3y=34的解，从而得知这个解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根据二元一次方程x5,xy8,组的解的定义，得出是方程组的解.所以成人和儿童分别去了5人和3y35x3y34人.意图：“温故而知新”，培养学生养成时时回顾已有知识的习惯，并在回顾的过程中学会思考和质疑，通过质疑，自然地引出我们要研究和解决的问题.第三环节：自学

内容：回顾七年级第一学期学习的一元一次方程，是不是也曾碰到过类似的问题，能否利用一元一次方程求解该问题？（由学生独立思考解决，教师注意指导学生规范表达）

解：设去了x个成人，则去了(8－x)个儿童，根据题意，得：

5x+3(8－x)=34.解得：x=5.将x=5代入8－x=8－5=3.答：去了5个成人，3个儿童.在学生解决的基础上，引导学生进行比较：列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？

（先让学生独立思考，然后在学生充分思考的前提下，进行小组讨论，在此基础上由学生代表回答，老师适时地引导与补充，力求通过学生观察、思考与讨论后能得出以下的一些要点.）

1.列二元一次方程组设有两个未知数：x个成人，y个儿童.列一元一次方程只设了一个未知数：x个成人，儿童去的个数通过去的总人数与去的成人数相比较，得出(8－x)个.因此y应该等于(8－x).而由二元一次方程组的一个方程x+y=8，根据等式的性质可以推出

y=8－x.2.发现一元一次方程中5x+3(8－x)=34与方程组中的第二个方程5x+3y=34相类似，只需把5x+3y=34中的“y”用“（8－x）”代替就转化成了一元一次方程.教师引导学生发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法——即将新知识（二元一次方程组）转化为旧知识（一元一次方程）便可.（由学生来回答）上一节课我们就已知道方程组中相同的字母表示的是同一个未知量.xy8,①所以将中的①变形，得y=8－x ③，我们把y=8－x代入方程②，即将②中5x3y34②的y用（8－x）代替，这样就有5x+3(8－x)=34.“二元”化成“一元”.教师总结：同学们很善于思考.这就是我们在数学研究中经常用到的“化未知为已知”的化归思想，通过它使问题得到完美解决.第四环节：后教

下面我们完整地解一下这个二元一次方程组.（教师把解答的详细过程板书在黑板上，并要求学生一起来完成）

xy8,①解：

5x3y34.②由①得：y8x.③ 将③代入②得：

5x38x34.解得：x5.把x5代入③得：y3.x5,所以原方程组的解为：

y3.（提醒学生进行检验，即把求出的解代入原方程组，必然使原方程组中的每个方程都同时成立，如不成立，则可知解有问题）

第五环节：当堂训练

用代入消元法解下列方程组：

3x2y7,①x2y4,①3x4y19,①(1)(2) ⑶x3（注意分数线有括号功2xy3;②x2y3;②2y0.②能）五：课堂小结

1.解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.2.解上述方程组的步骤：

第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值.第五步：把方程组的解表示出来.第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)，即把求得的解代入每一个方程看是否成立.4.用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.六：布置作业

1.课本习题7.2 2.解答习题7.1第3题

七、教学设计反思

1．引入自然

二元一次方程组的解法是学习二元一次方程组的重要内容.教材通过上一小节的实际问题，比较一元一次方程的列法和解法，从而自然引入二元一次方程组的代入消元解法.2．探究有序

6.解二元一次方程组案例 篇六

课堂是教师开展教学活动的主阵地, 是学生获取知识的主渠道, 课堂教学的效果将直接关系到教学质量和人才培养。综观我们的课堂教学, 有一个非常突出的问题, 那就是“教师教得苦, 学生学得累, 却没能达到我们预期的培养目标”。针对这些问题, 我们深入课堂实际调研发现:教学目标不明确, 教与学脱节, 课堂训练形式单一、信息反馈不及时等, 这些现象很大程度上导致了课堂教学有效性的实现。那么该如何改变这种现状呢?在调查研究的基础上, 我们尝试采用“当堂训练, 及时反馈”的课堂教学模式。“当堂训练”就是学生在学完一节知识后, 通过一定量的训练, 以加深对本节重难点知识的理解和深化, 有效地促进学生对新知识的巩固和应用, 这是巩固双基、形成能力的重要环节, 也是确保学生学习情况能够及时得到反馈的手段。而“及时反馈”是通过教师在教学中了解学生的学习信息后, 根据课堂的生成情况, 及时地做出调控, 对学生的学习作必要的补充、指导和矫正, 适时地进行反馈评价, 使每个学生都能在原有基础上获得进步和发展。实践表明, 采用“当堂训练, 及时反馈”的教学模式, 课堂教学的有效性得到了一定的提升。

二、案例内容

在学习了二元一次方程组的两种解法, 即代入法和加减法后, 多数学生学会解二元一次方程组, 但是只会机械地用上述方法解方程组, 而不能掌握解题的思想方法, 这样就不能有效提高学生的解题和思维能力。

为此, 在学习二元一次方程组的两种解法后, 请同学们求解下面问题:当m为何值时, 方程组的解x、y满足 x+y=0?

学生看完题目后, 然后老师提出问题:

师:如何解决这个问题?说说你的想法。

生1:用代入法或加减法求出x、y, 再把x、y的值代入x+y=0, 就可求出m了。

师:请同学们用生1说的方法来解。

许多同学马上就动笔解起来。此时教师开始巡视学生的解题过程, 及时了解解题情况:大部分同学在求解时, 由于变形和运算比较复杂, 出现不少错误;有部分程度好的同学能准确解出x、y, 并求出m的值;有少数基础较差的学生不会求解。但同学们的解题过程都比较麻烦。

师:大家在求解时有什么体会?

众生:求解麻烦, 计算量大。

师:既然用通常的方法麻烦, 那么有更简单、更好的解法吗?请同学们想一想、议一议、试一试。

教师说完后, 有的学生独自思考、解答, 有的一起交流、议论着。数分钟后, 有些学生已经想出解法了, 他们跃跃欲试。

师:有想出方法的, 请站起来说说你的解法。

生2:说说我的方法, 我是把x+y=0与方程组中的3x-2y=4m组成方程组 , 这样就比较容易求出x、y的值, 然后把它们代入8x+3y=5-m , 就可求出m的值了。

师:你的想法很好, 能结合方程组解的概念来解题。同学们, 让我们一起按生2说的方法来解吧。

老师板书写出求解过程。

师:还有不同的方法吗?

生3:有, 我这样解:把方程组中的第一个方程与第二个方程相减, 可得到方程:5x+5y=5-5m, 方程两边都除以5得:x+y=1-m, 然后由x+y=0, 就可以得到: 1-m=0, 这样就可求m的值了。

听了生3的想法, 同学们觉得生3的解法很巧妙, 都对他投以赞赏的目光。

师:生3的办法非常简便, 说明他善于观察题目的特点, 灵活地采用相应的方法来解题, 同学们应向他学习。

老师话音刚落, 有一位程度较好的学生举手了, 想发表自己的想法。

生4:我是把方程组中的m先消去来解的。

老师听了很意外, 觉得他的想法很独特, 就鼓励他接着说下去。

生4:先把方程组中的m消去, 就可以得到一个新方程, 再把它与x+y=0组成一个新的方程组, 然后求出x、y的值, 再把x、y代入原方程组中其中一个方程, 即可求出m了。

听了这位同学的想法, 大家都点头称赞。这时老师顺水推舟。

师:生4的方法很独特, 说明他善于去思考, 下面就请同学们按生4思路的来解这道题。

同学们都迫不及待地去求解, 一会儿, 他们陆陆续续做完了, 同时脸上露出了成功和满足的喜悦。

三、案例分析

反思本案例, 有以下几点体会。

1.体现了新课程所倡导的教学理念。

这节课, 教师先把问题抛给学生, 通过学生的自主探索、合作交流, 以及教师的启发引导, 探究出了一个个不同的解题方案、方法, 很好地达成了本节的教学目标。整节课气氛热烈, 学生畅所欲言、积极参与, 始终是怀着轻松、愉快的心情进行学习的。而教师只以组织者、引导者和合作者的角色对学生的学习情况进行调控、激励和评价, 师生关系平等和谐, 教学氛围宽松有序。

2.展示了“当堂训练, 及时反馈”的教 学模式。

案例中, 通过教师出示问题让学生进行当堂训练、解答, 由于学生在解题时, 表现出不同层次、多种水平的解答方案, 不同的解答方案和结果表现出了不同的思维水平, 很好地训练了学生的思维品质。而且学生在探索解题思路、寻找解题方法的过程中, 能不断地领会解题的思想方法, 变简单机械模仿过程逐步上升为深化知识的过程, 达到知识的有效迁移, 从而理解和掌握更多的知识。

同时, 在学生对问题的思考、探索和解答过程中, 教师及时了解学生反馈出的信息, 适时地进行启发、引导。在这一过程中, 通过师生互动, 生生的交流、讨论和发言, 出现了很多奇思妙想, 对问题产生了独特的见解, 充分展示了他们的聪明才智, 不但培养了学生分析问题、解决问题的能力, 而且有利于学生创新意识的形成和发展。

3.实现了高效减负的教学效果。

本节课, 通过教师贯彻新课程理念, 按照“当堂训练, 及时反馈”的模式展开教学, 以尽可能少的时间和精力投入, 取得最佳的教学效果, 大大减轻了学生课业的过重负担, 使学生愿学、会学、乐学, 真正实现“高效减负”, 从而促进了课堂教学的有效性。

7.“二元一次方程组”导学 篇七

一、二元一次方程组是解决有两个未知数的问题的数学工具

有些问题中只有一个未知数，我们可以用一元一次方程解决，例如，对于问题“一个数的2倍与5的和是25，这个数是几”，我们可以列方程2x+5=25.一元一次方程是含一个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，它是最简单的方程.

有些问题中包含两个未知数，且两个未知数之间存在某种相等关系，要表示这种关系就要用含这两个未知数的方程.例如，对于问题“一个数的2倍.亏另一个数的3倍之和是20，这两个数分别是几”，我们可以列方程2x+3y=20.这是含两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，我们称这样的方程为二元一次方程，它的一般形式为ax+by=c，其中x、y是未知数，a、b、c是已知数，a、b不等于0，它们分别是x、y的系数.

有些问题中包含两个未知数，且两个未知数之间存在两种相等关系，要表示这两种关系就要用两个含这两个未知数的方程.例如，对于问题“笼中有鸡和兔共40只，它们共有100只脚，鸡、兔各有多少只”，我们可以设鸡、兔分别有x只、y只，从而列出方程x+y=40和2x+4y=100，x和y要同时满足这两个方程，为此，我

二、消元是解方程组的基本策略

解方程组就是求方程组中各个方程的公共解，一般地，二元一次方程组中有两个方程，含两个未知数.

三、列方程组把产际问题转化为数学模型

通过列方程可以把相等关系“翻译”成等式，这样建立数学模型是解决许多问题的好方法.如果问题中有两个或更多个未知数，则问题中一般会有两种或更多种相等关系制约这些未知数.我们可以根据这些相等关系列出方程组，这样的方程组就是问题的数学模型.一口一口地吃”，未知数也要一个一个地求.解三元一次方程组的基本策略仍是消元，即把“三元”化为“二元”，再把“二元”化为“一元”.消元时可用代人消元法或加减消元法.同学们在解三元一次方程组时，要根据方程组的具体情况来确定先消去哪个未知数.消去一个未知数后，组成二元一次方程组继续求解，解三元一次方程组与解二元一次方程组相比.只是步骤更多些，道理是一样的.

随着实际问题中未知数个数的增加，所用方程组的复杂程度也相应提高，但是简单问题与复杂问题是相通的，化复杂为简单是解决问题的基本策略.我国古人对方程组已有很深入的研究，他们对方程组解法的论述与现在线性代数中的做法基本一致.在《九章算术》这部古老的数学著作中，有关于用一次方程组解决实际问题的记载，其中一题为：

3捆上等谷，2捆中等谷，1捆下等谷，可打出39斗谷子；2捆上等谷，3捆中等谷，1捆下等谷，可打出34斗谷子；1捆上等谷，2捆中等谷，3捆下等谷，可打出26斗谷子.问：上、中、下等谷每拥各能打出多少斗谷子？（斗，旧制容积单位，l斗=10升）

利用三元一次方程组可以解决这个古老的问题，有兴趣的同学不妨试一试，

学习了方程组以后，同学们可以很方便地分析和解决含多个未知数的问题，并体会到对方程的认识又深入了一些，预祝同学们通过学习本章知识，能在知识、能力、经验等方面都有新收获，能更好地掌握一次方程组这个重要的数学工具.

8.用加减法解二元一次方程组 篇八

灵活运用加减消元法的技巧.

(三)疑点

如何“消元”，把“二元”转化为“一元”.

(四)解决办法

只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值即可利用加减法进行消元.

四、课时安排

一课时.

五、教具学具准备

投影仪、胶片.

六、师生互动活动设计

1.教师通过复习上节课代入法解二元一次方程组的方法及其解题思想，引入除了消元法还有其他方法吗?从而导入新课即加减法解二元一次方程组.

2.通过引例进一步让学生探究是用代入法还是用加减法解方程组更简单，让学生进一步明确用加减法解题的优越性.

3.通过反复的训练、归纳、再训练、再归纳，从而积累用加减法解方程组的经验，进而上升到理论.

七、教学步骤

(-)明确目标

本节课通过复习代入法从而引入另一种消元的办法，即加减法解二元一次方程组.

(二)整体感知

加减法解二元一次方程组的关键在于将相同字母的系数化为绝对值相等的值，即可使用加减法消元.故在教学中应反复教会学生观察并抓住解题的特征及办法从而方便解题.

(三)教学过程

1.创设情境，复习导入

(1)用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么?

(2)用代入法解下列方程组，并检验所得结果是否正确.

学生活动：口答第(1)题，在练习本上完成第(2)题，一个同学说出结果.

上面的方程组中，我们用代入法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，从而得到了方程组的解.对于二元一次方程组，是否存在其他方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢?这就是我们这节课将要学习的内容.

【教法说明】由练习导入新课，既复习了旧知识，又引出了新课题，教学过程中还可以进行代入法和加减法的对比，训练学生根据题目的`特点选取适当的方法解题.

2.探索新知，讲授新课

第(2)题的两个方程中，未知数 的系数有什么特点?(互为相反数)根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉 ，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解.

解：①+②，得

把 代入①，得

∴

∴

学生活动：比较用这种方法得到的 、 值是否与用代入法得到的相同.(相同)

上面方程组的两个方程中，因为 的系数互为相反数，所以我们把两个方程相加，就消去了 .观察一下， 的系数有何特点?(相等)方程①和方程②经过怎样的变化可以消去 ?(相减)

学生活动：观察、思考，尝试用①-②消元，解方程组，比较结果是否与用①+②得到的结果相同.(相同)

我们将原方程组的两个方程相加或相减，把“二元”化成了“一元”，从而得到了方程组的解.像这种解二元一次方程组的方法叫加减消元法，简称“加减法”.

提问：①比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是用加减法简单?(加减法)

②在什么条件下可以用加减法进行消元?(某一个未知数的系数相等或互为相反数)

③什么条件下用加法、什么条件下用减法?(某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法)

【教法说明】这几个问题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性.

例1 解方程组

哪个未知数的系数有特点?( 的系数相等)把这两个方程怎样变化可以消去 ?(相减)

学生活动：回答问题后，独立完成例1，一个学生板演.

解：①-②，得

∴

把 代入②，得

∴

∴

∴

(1)检验一下，所得结果是否正确?

(2)用②-①可以消掉 吗?(可以)是用①-②，还是用②-①计算比较简单?(①-②简单)

(3)把 代入①， 的值是多少?( )，是代入①计算简单还是代入②计算简单?(代入系数较简单的方程)

练习：P23 l.(l)(2)(3)，分组练习，并把学生的解题过程在投影仪上显示.

小结：用加减法解二元一次方程组的条件是某个未知数的系数绝对值相等.

例2 解方程组

(1)上面的方程组是否符合用加减法消元的条件?(不符合)

(2)如何转化可使某个未知数系数的绝对值相等?(①×2或②×3)

归纳：如果两个方程中，未知数系数的绝对值都不相等，可以在方程两边部乘以同一个适当的数，使两个方程中有一个未知数的系数绝对值相等，然后再加减消元.

9.解二元一次方程组案例 篇九

1、组内帮扶作用发挥的突出。虽然大家都知道加减消元法，但有些同学不太明确怎样变形成可直接加减的形式，而通过组内帮扶，正好能帮助教师分散解决个别问题，从而大大提高了这节课的课堂效率。

2、易错点强调的较好（这是听课教师的评价）。在用减法消元时，学生最容易出错的地方是减数位置是一个整体，应该每一项都变号，所以在学生展示时，我让他写出了减的具体过程，也要求大家本节课做题时也要这么做，这样就减少了错误发生的概率。

不足：

1、课前复习提问不到位。本节课要继续研究加减消元的方法，在课前我只简单的提问了可直接采用加减消元的条件及如何加减消元，但从学生做题的过程来看，学生更容易在对方程的等价变形中出错，即利用方程的简单变形，两边同时乘以同一个数，学生往往忽略等式右边的常数项，不过，这一点我在课堂教学中提醒了一下，所以在以后的备课中我还要更细致些，多从学生的角度出发思考他们的易错点。

10.《二元一次方程组》复习指导 篇十

1. 二元一次方程组的解法主要有代入消元法、加减消元法.代入消元法，是将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.加减消元法，是通过两方程相加（减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.

2. 二元一次方程组还可以用“图象法”去解.图象法，是把方程组中的两个方程转化成一次函数，作出两个一次函数的图象，求出交点坐标，则交点的横坐标与纵坐标就分别是方程组中的x、y的解.

3. 解二元一次方程组应用题，实际上就是正确地找出问题中的两个等量关系.

4. 二元一次方程（组）与一次函数之间的关系：

①一次函数y=kx+b中的两个变量x、y看成未知数，则这个解析式可以看做是一个关于x、y的二元一次方程，一次函数图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx+b-y=0的解.②方程组的解与函数图象交点的坐标等同，可利用图象法求二元一次方程组的解.

二、典型题解析

例1 二元一次方程组

2x+□y=3， ①□x+y=3 ②中第一个方程 y 的系数被遮住，第二个方程x的系数被遮住，但知道x=2，y=1是这个方程组的解.你能求出原来的方程组吗？

解：设遮住的y的系数为m，x的系数为n.

因为x=2，y=1是方程组的解，所以将x=2，y=1分别代入方程①和方程②，可得2×2+m×1=3，n×2+1=3.解得m=-1,n=1.

所以，原来的方程组为2x-y=3，x+y=3.

评注：求解此类题目可利用方程（组）及其解的定义，把解直接代入，求出方程中的待定系数的值.

例2 解方程组x+3y=4，①x+y=0. ②

解：由②得x+2y=0，即x=-2y.把x=-2y代入①得y=4.

把y=4代入x=-2y，得x=-8.所以原方程组的解为x=-8，y=4.

评注：解二元一次方程组的基本思想是“消元”，把二元一次方程组转化为一元一次方程来解.消元时要观察方程组中未知数的系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程进行变形.本题若从①入手，比较麻烦.

例3 已知x、y是实数，且+y2-6y+9=0.求xy的值.

解：原方程可化为+（y-3）2=0.

∵≥0，（y-3）2≥0，

∴3x+y=0，y-3=0. 故x=-1，y=3.

∴xy=-3.

评注：几个非负数之和等于0，则这几个非负数都等于0.

例4 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个.一个盒身与两个盒底配成一套.现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，正好制成都配套的罐头盒？

解：设需要x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底.

根据题意得x+y=150，43y=2×16x.

解这个方程组得x=86，y=64.

∴用86张铁皮做盒身，64张铁皮做盒底.

评注：列二元一次方程组的步骤和列一元一次方程的步骤大致相同.随着问题的复杂性的增加，列二元一次方程组比列一元一次方程解决问题更加直接、简单.本题也可用一元一次方程解，同学们不妨试试.

例5 某工厂去年的总产值比总支出多500万元.今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约10%，因此今年总产值比总支出多950万元.今年的总产值和总支出各是多少？

解：设去年的总产值是x万元，去年的总支出为y万元.

根据题意得x-y=500，（1+15%）x-（1-10%）y=950.

解这个方程组，得x=2 000，y=1 500.

（1+15%）x=2 300，（1-10%）y=1 350.

∴今年的总产值是2 300万元，总支出是1 350万元.

评注：当直接设未知数列方程比较困难时，可以采用设间接未知数的方法.

例6 甲火车长92 m，乙火车长84 m.若相向而行，两车从相遇到完全离开，时间为1.5 s；若同向而行，两车从相遇到完全离开，时间为6 s.假设甲车速度比乙车快，求甲、乙两车的速度.

解：设甲车速度为x m/s，乙车速度为y m/s.

根据题意有1.5（x+y）=92+84，6（x-y）=92+84. 解这个方程组得x=73y=44.，

∴甲、乙两车的速度分别为73 m/s和44 m/s.

评注：两车相向而行，属相遇问题，两车间距离等于速度和乘以时间；两车同向而行，属追及问题，两车间距离等于速度差乘以时间.

例7 已知直线y=k1x+b1经过原点和点（-2，-4），直线y=k2x+b2经过点（1，5）和点（8，-2）.

（1）求两直线的解析式.

（2）若两直线相交于M点，求M点的坐标.

（3）若直线y=k2x+b2与x轴交于点N，求△MON的面积.

解：（1）y=2x，y=-x+6.

（2）解方程组y=2x，y=-x+6， 得x=2，y=4.

∴M点坐标为（2，4）.

（3）当y=0时，得-x+6=0，x=6.

∴N点坐标为（6，0）.

∴ON=6.

又知ON边上的高为点M的纵坐标的绝对值，是4，

∴S△MON=×6×4=12.

评注：二元一次方程与一次函数可以视题目要求互相转换.

三、深刻领会各种数学思想

用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组时，我们能体会到“化未知为已知”的化归思想.

在二元一次方程与一次函数的关系中，体会到了“数形结合”思想的美妙之处，建立了方程与函数的联系.

11.解二元方程组的技巧和方法 篇十一

本文综合了解二元方程 (组) 的各种类型, 也包括了解二元方程 (组) 所需要用到的一些基础知识和有关的一些技巧。解此类题目的关键是根据方程组的特征, 认真分析问题, 灵活运用代入消元法或加减消元法等技巧和方法, 以达到消元和降次的目的。从而顺利的解决问题。

现举几个例子供学生学习及复习时参考, 望能对学生有所帮助。

一、整体代入法

解:由 (1) 得3 (x+5) =y+23, 代入 (2) 得

5 (y-1) =y+23, 解之得, y=7

二、整体加减法

三、参数法

解:设y=k-2, 则由 (1) 得x=5k-1, 将其代入 (2) 可得k=1

四、消常数项法

解: (1) ×8+ (2) 得:4.5x-3y=0, y=1.5x代入 (2) 得:

五、观察法

以上是二元一次方程组的一些特殊解法。下面再谈谈二元二次方程组的一些特殊方法。

一、代入法

由一个二元二次方程和一个二元一次方程所组成的方程组, 通常用代入法求解, 这是基本的消元降次方法。

解:由 (1) 得:x=7-y (3)

把 (3) 代入 (2) 得:7y-y2=12,

解之得:y1=3, y2=4

将其代入 (3) 得x1=4, x2=3

二、韦达定理法

形如:x+y=a xy=b (a2≥4b) 的方程组均可利用韦达定理求解。

解:对于这个方程组可以把x, y看作一元二次方程z2-7z+12=0的两个根 (韦达定理) , 解这个方程得:z=3或z=4

三、配方法

形如x2+y2=a xy=b (a>0, a±2b≥0) 的方程组可用此方法

解:由 (1) + (2) ×2得: (x+y) 2=81, x+y=±9

(1) - (2) ×2得: (x-y) 2=121, x-y=±11

于是可得以下四个方程组:

四、因式分解法

在二元二次方程组中, 至少有一个可以分解时, 可采用因式分解法通过消元降次法求解。

解:由 (2) 得 (x-2y) (x-3y) =0

以下用代入法求解 (略)

五、两式相除法

六、用根的判别式

例6:m取什么值时, 方程组

解:将y=2x+m代入y2=4x得:4x2+4 (m-1) x+m2=0

而方程组仅有一个实数解, 所以△=[4 (m-1) ]2-4×4m2=0,

七、消去常数项法

12.解二元一次方程组案例 篇十二

作为今天的教师，必须改变传统的教学方式，大胆尝试，探究教学方法，真正在教学中体现新课程标准的要求，使教师成为教材的使用者和创造者，把课堂真正还给学生。

本课中紧紧围绕两个中心，“如何解二元一次方程组?”和“如何用加减法来解二元一次方程组?”来组织教学，充分调动学生的积极性，培养学生的学习兴趣，力争层层深入，步步攀升，环环相扣。“解二元一次方程组”是“二元一次方程组”一章中很重要的知识，占有重要的地位。通过本节课的教学，使学生会用加减消元法解二元一次方程组，进一步了解“消元”的思想。加减法解二元一次方程组的基本思想与代入法相同，仍是“消元”化归思想，通过代入法、加减法这些手段，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而使“消元”化归这一转化思想得以实现。因此在设计教学过程时，注重化归意识的点拨与渗透，使学生在学习中逐步体会理解这种具有普遍意义的分析问题、解决问题的思想方法。

教学后发现，大部分学生能够通过加减消元法解二元一次方程组，教学一开始给出了一个二元一次方程组，先让学生用代入法求解，既复习了旧知识，又引出了新课题，引发学生探究的兴趣。通过学生的观察、发现，理解加减消元法的原理和方法，使学生明确使用加减法的条件，体会在一定条件下使用加减法的优越性。之后，通过两个例题来帮助学生规范书写，同时明确用加减法解二元一次方程组的步骤。接下来，通过一系列的练习来巩固加减消元法的应用，并在练习中摸索运算技巧，培养能力，训练学生思维的灵活性及分析问题、解决问题的综合能力。有个别同学在运算上比较容易出错，运用的灵活性掌握得不太好，解答起来速度较慢，我想只要多加练习，一定会又快又准确的。同时我也会在今后的教学中继续努力，进一步提高自己的的教育教学水平。

13.解二元一次方程组案例 篇十三

1、会用代入法解二元一次方程组。

2、灵活运用代入法的技巧.学习过程：

一、基本概念

1、二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程。我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做____________。

2、把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做________，简称_____。

3、代入消元法的步骤：

二、自学、合作、探究

1、将方程5x-6y=12变形：若用y的式子表示x，则x=______，当y=-2时，x=_______;若用含x的式子表示y，则y=______，当x=0时，y=________。

2、在方程2x+6y-5=0中，当3y=-4时，2x= ____________。

3、若 的解，则a=______，b=_______。

4、若方程y=1-x的解也是方程3x+2y=5的解，则x=____，y=____。

5、用代人法解方程组 ①②，把____代人____，可以消去未知数______。

6、已知方程组 的解也是方程组 的解，则a=_______，b=________ ,3a+2b=___________。

7、已知x=1和x=2都满足关于x的方程x2+px+q=0，则p=_____，q=________。

8、当k=______时，方程组 的解中x与y的值相等。

9、用代入法解下列方程组:

⑴ ⑵ ⑶

二、训练

1、方程组 的解是()

A.B.C.D.2、已知二元一次方程3x+4y=6，当x、y互为相反数时，x=_____，y=______;当x、y相等时，x=______，y= _______。

3、若2ay+5b3x与-4a2xb2-4y是同类项，则a=______，b=_______。

4、对于关于x、y的方程y=kx+b，k比b大1，且当x= 时，y=，则k、b的值分别是()

A.B.2,1 C.-2,1 D.-1,05、用代入法解下列方程组

⑴ ⑵

6、如果(5a-7b+3)2+ =0，求a与b的值。

14.解二元一次方程组案例 篇十四

1. 二元一次方程组的概念理解不透彻

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【错解】D.

【分析】二元一次方程组是指由含有两个未知数的两个一次方程联立构成的方程组. 因此二元一次方程组应包含三个方面:1. 整式方程;2. 含有两个未知数;3. 未知数的次数是一次. 方程组2含有三个未知数,方程组3是二次的,方程组4中的第二个方程不是整式,因此它们都不是二元一次方程组,只有方程组1满足条件.

【正解】A.

2. 方程组的解的概念模糊不清

例2方程组的解是( ).

【错解】A或B.

【分析】答案A和B只满足了方程组中的一个方程.

【正解】二元一次方程组的解是使方程组中每一个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,而都只是方程组中一个方程的解,并不能让另一个方程的左右两边相等,所以不是方程组的解,因此答案是D.

3. 二元一次方程组的解法掌握不熟练

例3用代入法解方程组

【错解】由方程组2得x=5-2y3,把3代入2得,5-2y+2y=5,所以0×y=0,因此y可以是任意值,所以该方程组有无数个解.

【分析】代入法是求二元一次方程组的解的一种基本方法. 它的一般步骤是:(1)从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程中的一个未知数,用含另一个未知数的代数式表示出来,如本题中方程2中的x,用含y的代数式表示为x=5-2y;(2)将这个变形所得的代数式代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程,这里要求代入“另一个”方程,“错解”把它代入到变形的同一个方程中,得到了一个关于y的恒等式,出现了错误;(3)解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;(4)将求出的未知数的值代入前面变形所得的式子中,求出另一个未知数,从而得到方程组的解.

【正解】由方程组2得x=5-2y3,把3代入1得,2(5-2y)+y=4,解得y=2,把y=2代入3,得x=1,所以原方程组的解为

例4解方程组

【错解】由1-2得3y=-9,解得y=-3,把y=-3代入1得x=-17/3.

【分析】1-2时出现错误.

【正解】由1-2得-9y=-9,解得y=1,代入1得x=2,所以方程组的解为

4. 考虑问题不全面,忽视隐含条件

例5已知方程组是二元一次方程组,求a的值.

【错解】由条件得,a2-3=1,a=±2,所以a的值为2或者-2.

【分析】由二元一次方程组的定义可知,a+2≠0,a-3≠0,即a≠-2,a≠3,而本题忽略了题目中的隐含条件.

15.《二元一次方程组》期末复习题 篇十五

1. 已知下列各式：①＋y＝2，②2x－3y＝5，③x＋xy＝2，④x＋y＝z－1，⑤＝.其中是二元一次方程的有（）.

A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个

2． 如果s=1，t=-2是方程-=k的解，则k的值是（）.

A. -B. C. D. -

3． 二元一次方程2x+y=7的正整数解有（）.

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

4． 以x=3，y=1为解建立一个二元一次方程，不正确的是（）.

A. 3x-4y=5B. x-y=0C. x+2y=-3D. -y=

5． 用加减消元法解方程组2x+3y=3，3x-2y=11时，有下列四种变形，其中正确的是（）.

A. 4x+6y=3，9x-6y=11 B. 4x+6y=6，9x-6y=33 C. 6x+3y=9，6x-2y=11 D. 6x+9y=3，6x-4y=11

6． 已知x=-1，y=0和x=2，y=3都是方程y=ax+b的解，则a和b的值是（）.

Ａ． a=-1，b=-1Ｂ． a=-1，b=1Ｃ． a=1，b=1Ｄ． a=1，b=-1

7. 已知关于x、y的方程组2x+y=-a+4，x+2y=3-a ，则x-y的值为（）.

A. －1 B. a-1 C. 0 D. 1

8. 如图1，以两条直线l1、l2的交点坐标为解的方程组是（）.

A． x-y=1，2x-y=1 B． x-y=-1，2x-y=-1

C． x-y=-1，2x-y=1D． x-y=1，2x-y=-1

二、填空题（每小题5分，共40分）

9. 已知方程4x-3y=5，用含x的代数式表示y：.当x=-时，y=．

10. 若一个二元一次方程的一个解为x=2，y=-1，则这个方程可以是.（只要求写出一个）

11. 方程4x+3y=20的所有非负整数解为.

12. 已知满足3x-y=5，2x-y=0的x、y是方程2x-ay=3的一个解， 那么a=.

13. 若（2x+2y-12）2+｜3x+2y-6｜=0，则2x+4y=．

14. 若方程x+y=3，x-y=1和x-2my=0有公共解，则m的值为．

15. 若买2支圆珠笔、1本日记本需4元，买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需元．

16. 我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题: 今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几只.如果设鸡有x只， 兔有y只， 则可列出的关于x、y的二元一次方程组为.

三、解答题

17. （10分）解下列方程组.

（1）3x+5y=8，2x-y=1.

（2）4（x-y-1）=3（1-y）-2，+=2.

18. （8分）已知方程组7x+3y=4，5x-2y=m-1的解能使等式4x-3y=7成立，求m的值．

19. （8分）已知方程组4x+y=5，3x-2y=1和ax+by=3，ax-by=1有相同的解，求a2-2ab+b2的值．

20. （10分）甲、乙两位同学解方程组ax+by=7，2ax-by=-2.甲看错了第一个方程，解得x=1，y=-1.乙看错了第二个方程，解得x=-2，y=-6.求原方程组的解.

21. （12分）某市从2008年秋季开始，减免学生在义务教育阶段的学杂费，并按照每学期小学每个学生250元，初中每个学生450元的标准，由财政拨付学校，作为办公经费.该市某学校小学生和初中生共有840人，2008年秋季收到本学期该项拨款290 000元，问：该学校小学生和初中生各有多少人？