函数与导数测试题

函数与导数测试题（共10篇）

1.函数与导数测试题 篇一

函数与导数

[考点分析预测]

考点一基本函数的图象与性质

考点二 分段函数与复合函数

考点三抽象函数与函数性质

考点四 函数图象及其应用

考点五 导数的概念与意义

考点六 利用导数研究函数性质

考点七函数与导数的综合应用

整体来看，考查的热点集中在三个方面。热点之一是考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数及函数图象；热点之二是利用函数、方程、不等式的相互关系，对具体问题具体分析，最终解决问题。热点之三是利用导数研究函数的性质，及函数与导数的综合应用

[考点透视]

函数是高中数学的重要内容，函数的观点和方法贯穿于高中代数的全过程，同时也应用于几何问题及其他问题。导数是分析和解决函数问题的便利的、必不可少的工具。纵观近几年的高考试题，函数与导数知识占有极其重要的地位，不仅形式多样,而且知识覆盖面广、综合性强、灵活性高，突出考查学生方程与函数、联系与转化、分类与讨论、数形结合等重要的数学思想、能力，是高考考查数学思想、数学方法、基础素质与综合能力的主阵地。

“函数与导数”的考查(文科)呈以下特点：（1）以指数函数、对数函数为主要载体，考查定义域、值域、单调性、最值、反函数、图象与简单性质等；（2）以抽象函数、分段函数为主要载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性与图象应用等问题；（3）以多项式函数、尤其是三次函数为主要载体，考查的导数的几何意义与导数的应用；（4）解答题的重点仍将围绕二次函数及三次函数展开，考查三个“二次”问题、利用导数研究函数的单调性、极（最）值与解决与方程及不等式相关的综合问题等。解答题也可能在简单的指数、对数复合函数及应用题上设计试题。

“函数与导数”的考查（理科）呈以下特点：（1）以指数函数、对数函数为主要载体，考查定义域、值域、单调性、最值、反函数、图象与简单性质等；（2）以抽象函数、分段函数为主要载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性与图象应用等问题；（3）以分式型函数、三次函数、“杂合型”函数为主要载体，考查函数的极限、导数的概念与几何意义、导数的应用；（4）解答题的考查重点是利用导数研究非初等函数的单调性、极值与最值、解决与方程及不等式相关的综合问题，压轴题中可能设计此部分与数列、三角、解析几何等知识的综合题来拔高难度；（5）三个“二次”的问题渗透在各类问题中进行综合、灵活考查。

备考指导

1．抓住两条主线，构建函数知识体系

一是“基本函数的图象及其性质”，要熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等一些常见函数的图象性质，归纳提炼函数性质的应用规律。二是函数的概念与基本性质，熟练掌握函数的定义域、解析式、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、反函数等基本求法与解题步骤，并会灵活应用。

2．依托基础知识，强化思想方法训练

函数是考查“数形结合”思想的重要载体，要熟练掌握基本函数的图象和性质，分析掌握基本函数图象间的关系。在此基础上，理解掌握常见的平移、对称变换方法，强化“由式到图”和“由图到式”的转化训练。原函数与反函数，原函数与导函数图象之间的关系常被设计成考点，要注意重点掌握。函数与方程思想是本章复习的另一个重点，要善于转化命题，引进变量建立函数，运用变量的方法、观点解决数学试题以提高数学意识，发展能力。此外，分类讨论思想、特殊化思想、转化与化归思想等都应在复习中多加体悟与应用。

3．加强纵横联系，强化综合应用意识

在知识的交汇处命题是近几年高考的最大特点，函数的应用几乎可涵盖高中数学的各个章节, 因此更应加强函数与三角函数、不等式、数列、解析几何等各章节知识的联系，养成自觉运用函数观点处理问题的习惯和培养自身的能力。同时，要充分发挥导数在解题中的分析工具作用，熟练掌握利用导数处理切线问题、分析函数的单调性与极（最）值、证明不等式等典型问题的解题原理与方法，在综合应用中不能提升自身的能力，接受高考的检验与挑选。

2.函数与导数测试题 篇二

关键词：导数与函数,交汇,命题

数学是一门具有独特魅力的学科。在高中数学里我们会学到很多有趣的数学符号以及复杂的函数,当然还有很多复杂的数学问题。高中数学主干知识包括函数与导数、数列、三角函数、证体几何、解析几何、概率与统计,这些主干知识足以支撑高中数学知识体系的主要内容,构成了高考数学试卷的主体。在函数与导数这一重点模块当中便有许多值得探究的问题,为了认清这一模块,我们将从导数与函数的思想概念、地位以及它们在数学中的应用着手,仔细分析导数与函数间的关系,为此我们作了研究并从例子中分析导数与函数的融会以及它们的作用。本文主要分成两部分,第一部分在参考了文献的基础上对导数与函数的概念及其关系做出了解答,并且详细地阐释了导数的思想及其在高中数学中的工具性地位。第二部分是论文的重点部分,在对导数与函数的运用中,通过导数解决单调性问题,通过导数求最值、证明不等式等展开对导数应用方面的诠释,包括了通过历年的高考例题来解析导数与函数在高考中的重大作用。

一、理解导数,掌握导数的思想和概念

1.高中数学中的导数概念。导数(导函数的简称)是一个特殊函数,它是由平均变化率到瞬时变化率引出和定义的,导数的几何意义是曲线的割线逼近曲线的切线,它的引出和定义始终贯穿着函数思想。导数可以说是新课程改革与旧课程的一个区分点,也是新教材的一个亮点。因为导数的应用非常广泛,它是连接高中数学与大学数学的纽带,用它可以解决许多数学问题。目前,随着新课程改革的不断推进,对导数知识考查的能力要求也逐渐提高,而且对导数的考查已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析问题和解决问题时的有力工具。

2.高中数学中导数的思想及工具性地位。函数与导数是高中数学的核心内容,在导数应用过程中,要加强对基础知识的理解,重视数学思想方法的应用,达到优化解题思维、简化解题过程的目的。而导数已由解决问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具,在解决数学问题时使用非常方便,尤其是可以利用导数来解决函数的单调性、极值、最值以及切线问题。

二、函数解题需要导数

1.函数中运用导数的思想。函数中运用导数的思想主要有四种:等阶转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想和数形结合思想。等阶转化就是“把要解的题转化为已经解过的题”就是把未知解的题转化到在已有知识范围内可解问题的一种重要思想方法。等阶转化在导数及其应用中主要用来解决有关恒成立、函数的单调性等问题。函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题、解决问题。方程问题是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程或不等式),然后通过解方程或不等式来使问题获解。而函数与方程的思想在导数及其应用中主要用来解决生活中的优化问题以及构造函数证明不等式问题。在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。它在导数及其应用中主要用来求解单调区间、参数问题、极值、最值及恒成立问题等。数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其实质就是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来。数形结合思想在导数及其应用中主要用来解决方程根的问题。因为函数是贯穿中学数学的一条主线,是数学高考考查的重点。而函数是中学数学研究导数的一个重要载体。通常遇到复杂函数的时候难以利用普通的手段进行求解,所以采用对函数求导的方式可以克服此类问题,从而达到从繁化简的效果。

2.函数中导数的应用。高中数学中导数有很大的作用,主要表现在三个方面。(1)导数解决单调性问题,当函数表达形式比较复杂,并且用初等函数不能求解的时候,可以考虑使用导数求解的方法,通常可以求出函数的导数,然后再求解导数的不等式。函数f(x)=-(a+1)ln(x+1)其中a≥-f'(x)=ax-1/x+1,a≥-1,可以求f(x)的单调区间。函数f(x)的定义域是(-1,+∞)且函数的导数是f'(x)=ax-1/x+1.可以分成两个分进行求解,一部分是-1≤a≤0时,f(x)<0,函数在(-1,+∞)是递减的。当a>0时,f(x)=0,则无论是导数还是函数,都会随着x的变化而变化。根据x的取值变化可以化一个表来看函数和导数的变化范围和区间,由此可见,当a在(-1,+∞)区间变化时,函数是单调递减的,余下的部分是单调递增。导数在解题时出现最多的就是分类讨论的问题,解决此类问题,需要找到分类点和画表,根据表格x值得走向来判断函数是递增还是递减。(2)导数求解函数的最值问题,函数最值的问题也是常考的题型之一,对于闭区间的可导函数求其最值可以先求极值,根据极值与函数进行比较,确定最大值与最小值。函数f(x)=-x3+9x+a,闭区间[-2,2],最大值为20,给出函数式子求最值。这种问题一般都会有两个问题:第一个问题,会对函数的单调增减区间进行探讨,然后给定一个闭区间求最值,最值包括最大值和最小值。第二个问题,闭区间会给你固定值,并且还会有最大的取值,从计算的过程中看,可以将闭区间两端的值代入导函数中,求出一个公式,f(x)=-24+a,f(x)=10+a,然后,根据第一问讨论的单调递增与递减区间的确定,确定其大小值,求解a的值。(3)导数证明不等式问题,导数证明不等式的问题,最关键的步骤要构造函数,利用导数判断单调性,来证明不等式。利用函数的单调性证明不等式,最关键需要构造一个函数,利用相应区间上证明不等式的知识来判断其单调性。根据以上的分析,可以解决数学的问题,并且也是有效的手段之一,思路很清晰,过程比较简单,能够加强导数的教学任务,可以提供一个清晰的思想,一个新的解题方法。

三、从高考命题来解析导数

1.导数在高考上的运用趋势。近几年来利用导数与函数、数列、三角函数、向量、不等式、解析几何等其他知识的交汇进行命题考查学生应用数学知识解决综合问题的能力已成为高考的一大亮点。因此,在命题上导数充分突显出其“工具性”的作用,在处理各类交汇性问题上,在处理曲线的切线、函数的最值(极值)及单调性、参数的范围、实际生活中的优化等问题方面,导数发挥着重大作用,所以导数是高考解答题命题的热点内容。例1:(重庆·理·16)f(x)=a ln x+1/(2x)+3/2 x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值。解:(1)对f(x)求导,故f'(x)=a/x-1/(2x2)+3/2;由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,所以该切线的斜率为0,即f'(1)=0,所以a-1/2+3/2=0,解得a=-1。(2)由(1)知f(x)=ln x+1/(2x)+3/2 x+1,(x>0),则f'(x)=1/x-1/(2x2)+3/2=(3x2-2x-1)/(2x2)=(3x+1)(x-1)/(2x2),x>0,令f'(x)=0,得x1=1,(x2=-1/3,不在定义域,舍去),当x∈(0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上为减函数;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上为增函数,故函数f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3.点评:此题的解题思路就在于理解导数的定义,即处于该点切线的斜率就是该点的导数值,第二问就是运用导数求极值的变换,所以关键是理解和运用导数。

2.运用导数的解题技巧。(1)求导后导数的几个固定形式:a.含分母的导数形式f(x)=(mx2+nx+p)/x,此类导数由含lnx的函数求导得到,所以定义域为(0,+∞),此时导数的正负与分母无关,只要研究g(x)=mx2+nx+p,分m=0及m≠0时Δ与0的关系即可;b.含ex的导数形式,此类导数的正负与ex无关;c.含三角函数的导数形式,利用三角函数的有界性。(2)二次求导的使用:当遇到含ex的复杂形式函数时可以采用二次求导的方法,例如设函数f(x)=ex-1-x-ax2。若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围。一阶求导f'(x)=ex-1-2ax,二阶求导f''(x)=ex-2a,由于x≥0,所以ex≥1,即2a与1的大小与二阶导数与0的关系,而二阶导数与0的关系决定一阶导数的单调性,若一阶导数单调则必有f'(x)≥f'(0)=0成立,从而获得原函数的单调性。(3)恒成立的应用:恒成立是导数问题中永恒的话题,归结为一句话就是恒成立即为求最大值与最小值问题,所以是导数应用的一个最重要的体现。在导数问题中,几乎所有的最后一问都要涉及到这类恒成立问题。

四、结论

1.重视导数方面的学习,弄清导数的概念。

2.有必要强调导数的工具作用。

3.进一步加深对函数的理解和直观认识。总之,导数引入中学数学教材后,使传统中学教学内容注入了新的生机与活力,如何更好地利用导数这一工具来重新认识原中学课程中的有关问题并为解题提供新的途径和方法已经成为当今中学数学教学要面对的崭新课题。

随着时代的发展,特别是适应课程改革和考试改革的需要,数学教学应“与时俱进”,重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵导数作为新增内容,在研究函数的性质中发挥了重要的作用。函数是高中数学的主线,因此导数与高中数学的融会关系将会更近一步。高中数学是高中课堂极为重要的一门功课,在高考中占据很大的分量。导数作为高中数学的重要知识,不仅蕴含着丰富的数学思想,也是一种简捷而有效的解题工具,对于解决数学问题有极大的帮助,因此本文希望通过导数与函数间解题研究能够帮助广大同学更好地学数学。

参考文献

[1]王锦.导数在中学数学中的应用[J].学科建设,2012,(8).

[2]胡明涛,葛倩.高中数学教材“导数”部分数学文化的渗透[J].科技信息,2011,(9).

3.函数与导数测试题 篇三

1 利用导数的定义

例1（2016年高考新课标Ⅱ文20）已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）.

（Ⅰ）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）若当x∈（1，+∞）时，f（x）>0，求a的取值范围.

解（Ⅰ）所求切线方程为2x+y-2=0（过程略）；

（Ⅱ）当x∈（1，+∞）时，f（x）>0等价于a<（x+1）lnxx-1.

设g（x）=（x+1）lnxx-1，x>1，

则g′（x）=x2-1x-2lnx（x-1）2.

设h（x）=x2-1x-2lnx，x>1，

则h′（x）=（x-1）2x2>0.

所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，因此，当x>1时，h（x）>h（1）=0.

所以g′（x）>0，故g（x）在（1，+∞）上单调递增.

设φ（x）=（x+1）lnx，x>1，则g（x）=φ（x）-φ（1）x-1.

于是limx→1g（x）=limx→1φ（x）-φ（1）x-1=φ′（x）x=1=lnx+x+1xx=1=2.

所以a≤limx→1g（x）=2，故a的取值范围是（-∞，2].

点评若采用分离参数法，在得出函数g（x）在（1，+∞）上单调递增后，无法求出最小值，分离参数法失败了.针对这种情况，有人启用洛必达法则解决，但因高中没有学习洛必达法则而受质疑，干脆放弃分离参数的方法另谋它法.故而本题的参考答案用的是分类讨论的方法进行求解.本文使用了导数的定义，既避免了繁琐的分类讨论，又没有使用超纲的洛必达法则，且整个解答过程极为简洁，无疑是一种值得推广的好方法.

2 先充分后必要

例2（2015年高考北京卷理科第18（3）题）

设实数k使得ln1+x1-x>k（x+x33）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值.

解设g（x）=ln1+x1-x-k（x+x33），则g′（x）=（x2+1）（-k），注意到g（0）=0，若x∈（0，1）时，g′（x）≥0（0

此时g（x）在（0，1）上单调递增，所以g（x）>g（0）=0符合题意，因此k≤2.

又当k>2时，可得g′（x）=kx4-（k-2）1-x2，所以，当0

因此g（x）在区间（0，4k-2k）上单调递减，所以g（x）

所以，所求k的最大值为2.

点评不等式含参恒成立问题，常规方法是“分离参数法”和“构造函数法”，但有时解决起来很困难.笔者探究发现，有些问题，我们可以关注端点效应，如本试题前半部分求解得出的仅是原命题成立的一个充分条件，再证其必要性即可.

3先必要后充分

例3（合肥市2016届高三第二次教学质量检测理科第21题）已知函数g（x）=ax3+x2+x（a为实数）.

（1）试讨论函数g（x）的单调性；

（2）若对x∈（0，+∞）恒有g（x）≤lnx+1x，求实数a的取值范围.

解（1）略；

（2）令f（x）=lnx+1x，则f′（x）=1x-1x2，

因此，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）min=f（1）=1.

对x∈（0，+∞）恒有g（x）≤lnx+1x，则必有g（1）≤1，即a≤-1.

当x∈（0，+∞），a≤-1时，g（x）=ax3+x2+x≤-x3+x2+x，设h（x）=-x3+x2+x，

则h′（x）=-3x2+2x+1，当x∈（0，1）时，h（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，h（x）单调递减.

所以h（x）max=h（1）=1，于是g（x）≤f（x）=lnx+1x.

综上，实数a的取值范围为a≤-1.

点评含参不等式恒成立问题在各类考试中频繁出现，常规方法是对参数进行分类讨论.如何分类，分类后如何破解问题是难点，而且学生对分类讨论较为畏惧.另辟蹊径，可以利用不等式恒成立的必要条件缩小参数的范围，然后再作充分性论证，这样常能达到化繁为简的作用.

4分离函数法

例4（武汉市2016届高中毕业生四月调研测试理科数学21）

已知函数f（x）=x2ex-lnx.（ln2≈0.6931，e≈1.649）

（1）当x≥1时，判断函数f（x）的单调性；

（2）证明：当x>0时，不等式f（x）>1恒成立.

解（1）函数f（x）在[1，+∞）上单调递增（过程略）；

（2）f（x）>1等价于exx>lnx+1x3.令g（x）=exx，h（x）=lnx+1x3.

一方面，g′（x）=（x-1）exx2.

当x∈（0，1）时，g′（x）<0，g（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，g′（x）>0，g（x）单调递增.

所以当x=1时，g（x）=exx取得最小值，最小值为e.

另一方面，h′（x）=-3lnx+2x4.

当x∈（0，e-23）时，h′（x）>0，h（x）单调递增；当x∈（e-23，+∞）时，h′（x）<0，h（x）单调递减.

所以当x=e-23时，h（x）=lnx+1x3取得最大值，最大值为13e2.

注意到e>13e2，从而可知对x>0都有g（x）>h（x），即exx>lnx+1x3，即f（x）>1.

点评当函数不等式中同时出现ex和lnx时，直接应用导数证明很困难，甚至需要多次求导，导致思维受阻，此时若能从函数不等式分离出ex或lnx，再利用导数证明，则可化难为易、化繁为简.

5重要不等式

例5（2014年新课标Ⅰ理21）设函数f（x）=aexlnx+bex-1x，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=e（x-1）+2.

（1）求a，b； （2）证明：f（x）>1.

解 （1）a=1，b=2（过程略）；

（2）由（1）知f（x）=exlnx+2xex-1，从而f（x）>1等价于xexlnx+2ex-1-x>0，

由常见不等式ex≥x+1，得ex-1≥x，所以-x≥-ex-1，

所以xexlnx+2ex-1-x≥xexlnx+ex-1=ex（xlnx+1e），

令g（x）=xlnx+1e，x>0，则g′（x）=lnx+1，

当01e时，g′（x）>0，g（x）单调递增.

所以g（x）≥g（1e）=0.由于取等号的条件不同，故xexlnx+2ex-1-x>0，从而原不等式成立.

点评课本是数学知识的重要载体，是高考考试内容的具体化，是解题能力的基本生长点.不等式ex≥x+1及其变式lnx≤x-1（x>0）即是课本中的一个重要不等式.只有全面“吃透”课本上的例题、习题，才能系统地掌握蕴含其中的基础知识、基本方法和数学思想，构建起属于自己的数学知识网络.

6切线分隔法

例6（2016年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟考试理科第21题）已知函数f（x）=ln（x+1）x.

（1）判断f（x）在（0，+∞）的单调性；

（2）若x>0，证明：（ex-1）ln（x+1）>x2.

解（1）f（x）在（0，+∞）上单调递减（过程略）；

（2）因为（ex-1）ln（x+1）>x2ex-1x>xln（x+1）（x>0）.

设g（x）=ex-1x，h（x）=xln（x+1），注意到g（0）=h（0）=1，

则易求出函数g（x），h（x）的图像在点（0，1）处有相同的切线y=12x+1.

下面证明两个不等式成立即可：

ex-1x>12x+1（x>0）ex>12x2+x+1（x>0）；

xln（x+1）<12x+1（x>0）ln（x+1）>2xx+2（x>0）.

这两个不等式通过构造函数易证（过程略）.

点评 试题本质是通过等价变形，作出草图，发现函数y=ex-1x的图像与函数y=xln（x+1）的图像有公切线y=12x+1，且y=ex-1x的图像在这条公切线的上方，y=xln（x+1）的图像在这条公切线的下方.

7变更主元法

例7（黑龙江省哈尔滨市第三中学2016届高三第一次模拟考试理科第21题）

已知函数f（x）=lnx-kx+1（k为常数），函数g（x）=xex-ln（4ax+1），（a为常数，且a>0）.

（1）若函数f（x）有且只有1个零点，求k的取值的集合；

（2）当（1）中的k取最大值时，求证：ag（x）-2f（x）>2（lna-ln2）.

解（1）k的取值的集合为{k|k≤0或k=1}（过程略）；

（2）由（1）知，lnx≤x-1，当且仅当x=1时等号成立.

而4ax+1>1，故ln（4ax+1）<4ax+1-1=4ax.

于是，k=1时，ag（x）-2f（x）=axex-aln（4ax+1）-2lnx+2x-2>axex-a·4ax-2lnx+2x-2=axex-2lnx-2x-2.

设h（a）=xexa-2lna-2x-2lnx-2+2ln2，则h′（a）=xex-2a，

由h′（a）>0，得a>2xex；由h′（a）<0，得0

所以h（a）在（0，2xex）上单调递减，在（2xex，+∞）上单调递增，

所以h（a）≥h（2xex）=0，即axex-2lnx-2x-2≥2（lna-ln2），故原不等式成立.

点评对于含参函数问题，涉及到的量往往不止一个，若能转换角度思考问题，往往会出奇制胜，收到意想不到的效果和感悟.

一些典型问题，虽然已有通法存在，但由于学生的接受能力与分析问题的能力所限，不能很好地理解并掌握这些方法.通过以上几道导数压轴题的分析，我们发现，对一些典型问题的分析，我们不能停留在问题表象的研究.而应多做一些教学与解题研究，从不同的角度、方法使问题得到更为完善的解决.这些“非常道”，表面上看起来是一些巧解，但通过细致的分析，我们会发现，这些“非常道”往往也是一种通法，而且是学生较为容易接受的一些通法，是提高学生分析问题与解决问题的重要思想方法.这就要求我们在平时的学习中，应善于学习，勤于钻研，能站在更高的角度看待和审视问题.

4.导数与函数的单调性的教学反思 篇四

第一、教学上应突出数学思想方法，本课时的定位是探究课，作为一堂探究课，学生是课堂的主体，必须把课堂时间交给学生。本节课通过复习二次函数的单调性，让学生动手发现探究原函数的单调性与其导数符号的关系，最后归纳出结论：一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则导函数的符号与函数的单调性之间具有如下关系：

1)如果在某个区间内，函数的导数，则在这个区间上，函数是增加的。

2)如果在某个区间内，函数的导数，则在这个区间上，函数是减少的。

优点：

1、从熟悉的二次函数入手，简单复习回顾以前学过的确定函数单调性的方法，使知识学习有连贯性。

2、由不熟悉的三次函数单调性的确定问题，使学生体会到，用定义法太麻烦，而图像又不清楚，必须寻求一个新的解决办法，产生认知冲突，认识到再次研究单调性的必要性。

3、从简单的、熟悉的二次函数图象入手，引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的变化，再与新学的导数联系起来，形成结论。再用代数法求出导数进行验证。另外，也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般，同时体会数形结合的思想方法。

4、学生分组探讨，用导数的几何意义和代数法两种方法探讨，每组选出中心发言人，将本组讨论的结果公布出来，从而抽象概括一般性的结论。这个过程充分体现了学生的合作学习、自主学习、探究学习。

第二、例题和变式练习体现层次性、思想性。例题设计的两重用意：一是利用已知的二次函数的知识再次体验归纳结论的正确性，前面得到的是通过归纳得到的结论，没有严格的证明，这样处理有利于培养学生严谨的数学思想;二是对于二次以下的多项式函数，不仅可以通过用导数求单调性，也可以用图像法和定义法，都比较简单，也为了突出再求三次、三次以上的多项式函数或图像比较难画时的函数的单调性，应用导数的优越性。

1.通过例题让学生总结导数法求函数的单调区间的步骤，体会算法思想。

2、定义域的强调：对于求导，学生容易急于求成，往往忽略了定义域，让学生去讲例题，学生之间发现问题，他们印象会更深刻。

3、时刻注意学生基本功，学生的计算能力一直是薄弱点，每节课刻意去强调这些基本功，这样到高三就不会在这些方面费太多时间。

第三、教学中让学生“形成知识还是形成思想?”数学思想方法是以知识为载体，依附在具体的数学知识之中，是数学教学的隐形知识体系，但具体教学知识的教学不能代替数学思想方法的教学。数学思想方法将零散、具体的数学知识串起来，优化知识结构、、迅速构建学生的认知结构，从而对学生的数学思维产生深刻而持久的影响。相对而言，知识的有效性是短暂的，思想方法则是潜在的，持久的。因此，方法的掌握、思想的形成，才能使知识转化为能力，才是数学教学教育的最终目标。

5.函数与导数测试题 篇五

教学过程： 【引 例】

1、确定函数yx24x3在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？ 解：yx24x3(x2)21，在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数。问：

1、为什么yx24x3在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数？

2、研究函数的单调区间你有哪些方法？

都是反映函数随自（1）观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）

变量的变化情况。（2）利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义）

322、确定函数f(x)=2x－6x+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？

（1）能画出函数的图象吗？那如何解决？试一试。提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）

（2）（多媒体放映）

【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不

32知道函数的图象的时候，如函数f(x)=2x－6x+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。

（研究的必要性）事实上用定义研究函数yx24x3的单调区间也不容易。【探 究】

我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。

32问：如何入手？（图象）从函数f(x)=2x－6x+7的图象吗？

1、研究二次函数yx4x3的图象；（1）（2）（3）（4）（5）学生自己画图研究探索。

提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？（开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。

提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？ 学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）： ①该函数在区间(,2)上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负； 在区间(2,)上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；

注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？

②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？

2、先看一次函数图象；

3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）（1）观察三次函数yx的图象；（几何画板演示）

（2）观察某个函数的图象。（几何画板演示）

指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数

专心

爱心

用心

∴y=x－9x+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4 32.∴y=x－9x+24x的单调减区间是(2，4)322(2)解：y′=(3x－x)′=3－3x=－3(x－1)=－3(x+1)(x－1)令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.3∴y=3x－x的单调增区间是(－1，1).令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.3∴y=3x－x的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)

2、设yf(x)是函数yf(x)的导数, yf(x)的 图象如图所示, 则yf(x)的图象最有可能是()32小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？ 【课堂小结】

1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导, ′如果f(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.【思考题】

32对于函数f(x)=2x－6x+7 思考

1、能不能画出该函数的草图？ 思考2、2x76x在区间（0，2）内有几个解？ 【课后作业】 3课本p42习题2.4 1,2

专心

爱心

6.导数--函数的极值练习题 篇六

一、选择题

1.下列说法正确的是()

A.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极大值 B.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极小值 C.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极值

D.当f(x0)为函数f(x)的极值且f′(x0)存在时，则有f′(x0)=0 2.下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是()

①y=x3②y=x2+1③y=|x|④y=2x A.①②B.②③C.③④D.①③ 3.函数y=

6x

1x2的极大值为()A.3B.4C.2D.5

4.函数y=x3－3x的极大值为m,极小值为n,则m+n为()A.0B.15.y=ln2x+2lnx+2的极小值为()A.e－B.0C.－1 D.1 6.y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于()

A.6B.0C.5D.1

7．对可导函数,在一点两侧的导数异号是这点为极值点的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 8.下列函数中, x0是极值点的函数是()

A.yx3B.ycos2xC.ytanxxD.y1x 9.下列说法正确的是()

A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大;B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值;C.对于f(x)x3

px2

2x1,若|p|6,则f(x)无极值;

D.函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值.10.函数f(x)x3ax2bxa2

在x1处有极值10, 则点(a,b)为()

A.(3,3)B.(4,11)C.(3,3)或(4,11)D.不存在 11.函数f(x)|x2

x6|的极值点的个数是()

A.0个B.1个C.2个D.3个 12.函数f(x)

lnx

x

()A.没有极值B.有极小值C.有极大值D.有极大值和极小值

C.2D.4二．填空题：

13.函数f(x)x2lnx的极小值是

14.定义在[0,2]上的函数f(x)e2x2cosx4的极值情况是

15.函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的减区间是2

16.下列函数①yx3,②ytanx,③y|x3x1|,④yxex,其中在其定义区间上存在极值点的函数序号是

17.函数f(x)=x3－3x2+7的极大值为___________.18.曲线y=3x5－5x3共有___________个极值.19.函数y=－x3+48x－3的极大值为___________；极小值为___________.20.若函数y=x3+ax2+bx+27在x=－1时有极大值，在x=3时有极小值，则a=___________,b=___________.三．解答题

21.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=－1时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值.求这个极小值及a、b、c的值.22.函数f(x)=x+a

x

+b有极小值2，求a、b应满足的条件.23.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=2处有极值，其图象在x＝1处的切线垂直于直线y=1

x-2（1）设f(x)的极大值为p，极小值为q，求p-q的值；

7.函数与导数测试题 篇七

一、反证法

先假设满足题意某数学对象存在, 经过推理论证, 如果得到可以成立的结果, 就可做出存在的结论;若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的量, 则说明假设不存在, 从而肯定或否定假设.

例1 (2011年湖北21) 设函数f (x) 定义在 (1, +∞) 上, f (1) =0, 导函数

(1) 求g (x) 的单调区间和最小值;

(2) 讨论g (x) 与 的大小关系;

(3) 是否存在x0>0, 使得 对任意x>0成立?若存在, 求出x0的取值范围;若不存在, 请说明理由.

解: (1) 因为 , 所以f (x) =lnx+c (c为常数) , 又因为f (1) =0, 所以ln1+c=0, 即c=0,

当x∈ (0, 1) 时, g' (x) <0, g (x) 是减函数, 故区间在 (0, 1) 是函数g (x) 的减区间;

当x∈ (1, +∞) 时, g' (x) >0, g (x) 是增函数, 故区间在 (1, +∞) 是函数g (x) 的增区间;

所以x=1是g (x) 的唯一极值点, 且为极小值点, 从而是最小值点,

所以g (x) 的最小值是g (1) =1.

当x=1时, h (1) =0, 即 .

当x∈ (0, 1) ∪ (1, +∞) 时, h' (x) <0, h' (1) =0,

因此函数h (x) 在 (0, +∞) 内单调递减,

当0h (1) =0, 所以 ;

当x>1时, h (x)

(3) 满足条件的x0>0不存在.证明如下:

假设存在x0>0, 使 对任意x>0成立,

但对上述的x0, 取 时, 有 , 这与 (1) 左边的不等式矛盾,

因此不存在x0>0, 使 对任意x>0成立.

二、假设验证法

即在假设某数学对象存在的前提下, 有特例探索可能的对象, 做出猜想, 然后加以论证.

例2 (2010年江西17) 设函数f (x) =6x3+3 (a+2) x2+2ax.

(1) 若f (x) 的两个极值点为x1, x2, 且x1x2=1, 求实数a的值;

(2) 是否存在实数a, 使得f (x) 是 (-∞, +∞) 上的单调函数?若存在, 求出a的值;若不存在, 说明理由.

解:f' (x) =18x2+6 (a+2) x+2a.

(1) 由已知有f' (x1) =f' (x2) =0, 从而 , 所以a=9;

(2) 由Δ=36 (a+2) 2-4×18×2a=36 (a2+4) >0,

所以不存在实数a, 使得f (x) 是R上的单调函数.

评述:本题考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识.

例3 (2008年辽宁22) 设函数 .

(Ⅰ) 求f (x) 的单调区间和极值;

(Ⅱ) 是否存在实数a, 使得关于x的不等式f (x) ≥a的解集为 (0, +∞) ?若存在, 求a的取值范围;若不存在, 试说明理由.

故当x∈ (0, 1) 时, f' (x) >0, x∈ (1, +∞) 时, f' (x) <0.

所以f (x) 在 (0, 1) 单调递增, 在 (1, +∞) 单调递减.

由此知f (x) 在 (0, +∞) 的极大值为f (1) =ln2, 没有极小值.

(Ⅱ) (i) 当a≤0时,

即当a>0时, 关于x的不等式f (x) ≥a的解集不是〗 (0, +∞) .

综合 (ⅰ) (ⅱ) 知, 存在a, 使得关于x的不等式f (x) ≥a的解集为 (0, +∞) , 且a的取值范围为 (-∞, 0].

8.函数与导数考点预测 篇八

距2015年的广东高考只有两个来月时间，函数与导数这一内容在高考数学中将怎样考，现追踪寻源，试作如下分析，以探轨求迹.

一、追踪寻源

高考数学试题的范围本源《课程标准》，试题的深浅难易遵循《考试大纲》.两者就如同孙悟空给唐僧划出的金光守护圆圈.从近年广东高考趋势看，所考核的函数与导数这一内容越来越蜗居于《课程标准》与《考试大纲》，形式趋向稳定.

1.《考试大纲》（2014年广东高考大纲，以下同）中对函数的要求，如下表1：

【点评】守标依纲靠本是高考数学命题一首永恒的歌.在每年的高考中，使出浑身解数的命题者就像孙悟空，而《课程标准》与《考试大纲》就像孙悟空头上的两道紧箍咒，保证了去西天取经的学子都能发挥应有的水平，顺利拿到真经.

与往年高考数学试题相比，原来重点对函数的考查，近三年渐渐转移为对导数内容的考查.整份试卷前面是常规简易的函数选择题，接着是难度中等的导数填空题，而最后压轴的是可充分体现综合分析能力及运算求解能力的要求较高的导数应用大题.构题内容平实却能彰显考生的功力与素养，估计2015年高考广东数学在函数与导数这一内容上将继续保持这一风格.

二、探轨求迹

对2015年的广东高考数学展望，想必也不外乎近几年态势.即函数与导数这块内容估计与近三年试题布局不变，概括为：函数概念图形始；导数运算次相随；数圆结义三兄弟，携参前行潜能溢.下面以题组练习形式展现，边实践边梳理，感悟消化提高.

（一）函数概念图形始

近三年在选择题或填空题中常以函数概念中的定义域、值域、解析式、图像、单调性、奇偶性等作为考查目标，试题难度不大，属容易题.有的是送分题，但在求解时容易漏掉部分约束条件，也是易错题.载体是各种初等函数及其多姿的组合函数.

（三）数圆结义三兄弟，携参前行潜能溢

在近三年的广东高考数学试题中，最后登台亮相的压轴题都是导数的综合应用大题.本题考查考生的分析问题及解决问题的能力，综合能力要求较高，抽象思维能力要求较强，旨在检验考生未来学习的潜能.该类导数试题的一个共同特点是：把高中数学中的函数（导数）、方程与不等式三者的知识关联到一起，在始终伴随至少一个参变量的推理论证与运算求解过程中，在复杂、抽象的情境中，通过对各种情况的讨论、分析、论证、求解而顺利到达彼岸.做到这一点不光要有坚韧不拔的意志品质，还要有较高的综合素质与数学素养.

【锦囊妙计】

1. “山高人为峰”. 在处理压轴题中的多变量问题时，首先要理清关系，分清主元与次元，确定变元的活动范围，借助知识，寻找突破口，找到解决问题的办法.数形结合，推证严谨，表述简练，不忘收官.

2. 善用各种数学思想，如①由参数的变化引起的分类讨论思想，分类时统一标准，层次要分明，不重不漏；②化“难生繁未”为“易熟简知”的转化与化归思想；③函数与方程的思想，把握好数园三结义（函数、方程、不等式）的密切相关；④观数思形，数形互化，化形显数的数形结合思想等.

三、备考建议

在距2015年广东高考不足3个月的时间里，如何抓住重点，收缩聚焦，高效复习好函数与导数这一内容，我提出以下建议：

1. 依纲靠本 梳理排查

在二轮复习中对照课本与《考试大纲》查漏补缺.如对待函数的复习，要重视对函数概念和基本性质的理解.包括函数的定义域、值域（最、极值）、对应法则、奇偶性、单调性、周期性、图像的对称性、图像变换等.研究函数的性质要注意分析函数解析式（数）的特征，同时要注意函数图像（形）的作用.进一步加强对函数与导数的基本概念、基础知识、基本方法的理解和训练，争取容易题、中档题不失分.

2. 通性通法 熟门熟路

要对函数与导数的各类性质应用比较熟悉，对处理函数与导数问题的方法得心应手.通过题组练习来检测用时与准确度，及时评估解题效能，不断提高熟悉程度.除本文提到的部分锦囊妙记之外，还需自己动手整理补全，不留漏洞.

3. 数学思想 深谙其道

不练功，到老空.数学思想犹如武侠小说中的内功心法，若在平时稍加感悟与练习，则数学能力将会有长足的进步.数学中函数与导数的问题解决离不开数学思想，其分类讨论思想、转化与化归思想、函数与方程的思想、数形结合思想对解决压轴题十分重要！

4. 紧抓重点 突破难点

函数是导数的研究对象.导数是研究函数的通用、有效、简便的工具.必须熟悉各类已学函数的导数公式.用导数研究函数是对函数概念又一次螺旋上升的理解.

重点把握导数的几何意义、函数的极值、单调性和最值问题，突破导数与其它知识（如方程、不等式）结合的难点问题.

用导数解决函数问题时，重在训练分析思路、方法手段、数学思想的应用.放过那些已知已会的，专攻自己一知半解的.通过题组练习，整合聚焦，反思对照，落到实处，提高能力.逐步使知识和方法系统化，同时规范书写，完整表述，争取压轴题多拿分.

5. 提升能力 降妖服魔

铁打的营盘流水的兵.提升数学能力，增强数学综合实力，培养更好的数学素养就是不动的营盘，而年年变化的高考试题则是流动的兵.只要我们有足够的营盘，就可以装载下流动变化的兵！由于《课程标准》与《考试大纲》就像命题者头上的两道紧箍咒，所以不管试题怎样变化，而考查函数与导数的主干知识与核心能力将永远不变.只要你储备好相应的能力，便能过关斩将，顺利发挥好你的水平，取得应有的好成绩！

本文是对2015年高考广东函数与导数的粗浅认识，仅供参考，由于时间紧迫，错漏之处，敬请原谅.最后祝考生顺利发挥水平，考出好的成绩.

（作者单位：江门市新会华侨中学）

9.构造函数,利用导数证明不等式 篇九

湖北省天门中学薛德斌2010年10月

例

1、设当xa,b时，f/(x)g/(x)，求证：当xa,b时，f(x)f(a)g(x)g(a)．

例

2、设f(x)是R上的可导函数，且当x1时(x1)f/(x)0．

求证：（1）f(0)f(2)2f(1)；（2）f(2)2f(1)．

例

3、已知m、nN，且mn，求证：(1m)(1n)．

nm

例

4、（2010年辽宁卷文科）已知函数f(x)(a1)lnxax21，其中a2，证明： x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.例

5、（2010年全国Ⅱ卷理科）设函数fxxaIn1x有两个极值点x1、x2，且

2x1x2，证明：fx2

12In2.4a0，b0，例

6、已知函数f(x)xlnx，求证：f(a)(ab)ln2f(ab)f(b).xln(1x)x； 1x

11112ncln（2）设c0，求证：.2cn1cn2c2ncnc例

10.函数的导数和它的几何意义 篇十

8-A 函数的导数

前一节中描述的例子给出了引进导数概念的方法。我们从至少定义在x-轴上的某个开区间（a,b）内的函数f(x)开始，然后我们在这个区间内选择一点x，引进差商

(8.1)f(xh)f(x)，h这里，数h(可以是正的或者负的但不能是0）要使得x+h还在（a, b）内。这个商的分子测量了当x从x变到x+h时函数的变化。称这个商为f在连接x与x+h的区间内的平均变化率。

现在让h→0，看看这个商会发生什么。如果商趋于某个确定的值作为极限（这就推得无论h是从正的方向还是负的方向趋于0，这个极限是一样的），成这个极限为f在x点的导数，记为f /(x)（读作“f一撇x”）。因此，f /(x)的正规定义可以陈述如下：

导数定义。如果

(8.2)f(x)limh0f(xh)f(x)，h存在极限，导数f /(x)由等式（8.2）定义。数f /(x)也称为f在x点的变化率。

对比（8.2）与前一节的（7.3），我们看到瞬时速度仅仅是导数概念的一个例子。速度v(t)等于f /(t)，这里f是位移函数，这就是常常被描述为速度是位移关于时间的变化率。在7.2节算出的例子中，位移函数由等式f(t)=144t-32t2表示，而它的导数f / 是由 f /(t)=144-32t给出的新的函数（速度）。

一般地，从f(x)产生f /(x)的极限过程给我们从一个给定函数f获得一个新函数f / 的方法。这个过程称为微分法，f / 称为f的一阶导数。依次地，如果f / 定义在开区间上，我们可以设法求出它的一阶导数，记为f // 并称其为f的二阶导数。类似地，由f(n-1)定义的一阶导数是f的n阶导数记为f(n)，我们规定f(0)= f，即零阶导数是函数本身。

对于直线运动，速度的一阶导数（位移的二阶导数）称为加速度。例如，要计算7.2节中的例子的加速度，我们可以用等式（7.2）形成差商

v(th)v(t)14432(th)14432t32.hh因为这个差商对每一个h≠0都是常数值-32，因此当h→0时它的极限也是-32.于是在这个问题中，加速度是常数且等于-32.这个结论告诉我们速度是以每秒32尺/秒的速率递减的。9秒内，速度总共减少了9·32=288尺/秒。这与运动9秒期间，速度从v(0)=144变到v(9)=-144是一致的。

8-B 导数作为斜率的几何意义

通常定义导数的过程给出了一个几何意义，就是以自然的方式导出关于曲线的切线的思想。图2-8-1是一个函数的部分图像。两个坐标(x,f(x))和(x+h,f(x+h))分别表示P, Q两个点坐标，考虑斜边为PQ的直角三角形，它的高度：f(x+h)-f(x)，表示P, Q两个点纵坐标的差，因此差商

(8.4)f(xh)f(x)

h表示PQ与水平线的夹角α的正切，实数tanα称为通过P, Q两点直线的斜率，而它提供了一种测量这条直线“陡度”的方法。例如，如果f是线性函数，记为f=mx+b，则（8.4）的差商是m, 所以m是这条直线的斜率。图2-8-2表示的是一些各种斜率的直线的例子。对于水平线而言，α=0，因而tanα也是0.如果α位于0与π/2之间, 直线是从左到右上升的，斜率是正的。如果α位于π/2与π之间，直线是从左到右下降的，斜率是负的。对于α=π/4的直线，斜率是1.当α从0增加到π/2时，tanα递增且无界，斜率为tanα相应的直线趋于垂直的位置，因为tanπ/2没有定义，所以我们说垂直的直线没有斜率。