初三数学考试知识点

初三数学考试知识点（共11篇）

1.初三数学考试知识点 篇一

空气的成分

1、空气的成分：

N2 ：78% O2：21% 稀有气体：0.94% CO2：0.03% 其它气体和杂质：0.03%

2、氧气的用途：供给呼吸和支持燃烧

3、空气的污染：

(1) 污染源：主要是化石燃料(煤和石油等)的燃烧和工厂的废气、汽车排放的尾气等。

(2) 污染物：主要是粉尘和气体。如：SO2 CO 氮的氧化物等。

氧气的性质

1、氧气的物理性质：无色无味的气体，密度比空气的密度略大，不易溶于水。在一定的条件下可液化成淡蓝色液体或固化成淡蓝色固体。

2、氧气的化学性质：化学性质比较活泼，具有氧化性，是常见的氧化剂。

(1)能支持燃烧：用带火星的木条检验，木条复燃。

(2)氧气与一些物质的反应：

参加反应物质 与氧气反应的条件 与氧气反应的现象 生成物的名称和化学式 化学反应的表达式

硫 S + O2 ==SO2 (空气中—淡蓝色火焰;氧气中—紫蓝色火焰)

铝箔 4Al + 3O2 ==2Al2O3

碳 C+O2==CO2

2.初三数学考试知识点 篇二

关键词：知识点；趣味；初三；语文教学课堂

就语文学科而言，其知识系统也是由多个相互联系的知识点构成的。和其他学科相比，它并不具备明显的知识性，需要进一步突出语文教学“知识点”。并在此基础上，不断增加知识点的趣味性，激发初三学生的学习兴趣，让初三语文课堂变得更加诗意，更具趣味性，提高他们自主学习能力，获取更多的知识、技能，在中考语文中能够取得优异的成绩，为进入更高阶段的学习做好铺垫。

一、注重新课教学中知识点的梳理

就中考而言，语文学科的考点会落实到各册不同文体教学中，教师要扮演好引导者、辅助者等角色，积极引导学生不断强化自身梳理知识的意识，正确梳理分散的知识点，实现点线成面，构建全新的知识网络体系。进入初三阶段以后，就课外阅读文章来说，可以利用课内学习的各知识点回答对应问题。以“茅屋为秋风所破歌”为例，这首诗歌运用了哪些修辞手法，有什么作用，表达了诗人杜甫怎样的情感？在课堂教学中，教师要把考点巧妙地融入新课题教学中，引导学生利用语境、语言表达等去分析、解决对应的题目，不断完善已有的知识结构体系，全面掌握新的知识点，并内化为自己的知识。对于相同题材的课文来说，教师要巧妙地引导学生，回忆已学过的相关知识点，处于主动学习状态，内化新知识点，并经过有针对性地反复练习，把知识点学“活”。以“迁移”为例，古诗、散文、说明文等经常会应用该写作手法，并能在不同文体灵活应用，实现“人文性、工具性”的统一。

二、趣味中融入细小知识点

进入初三阶段以后，学生仍然会写错关键字，教师要借助相关知识点，优化教学方法，让学生产生直观印象。首先，在课堂教学中，语音必须清晰。以说明方法为例，学生经常分不清楚“举例子”“列数字”，经常写成“例数字”“举列子”。教师可以让学生连同拼音反复抄写，即“举例（lì）子”、“列（liè）数字”。在教学过程中，教师要针对学生极易出错的地方，让他们反复朗读，留下直观印象，避免犯错。在“清源、释义法”中，也会出现一些小考点，需要弄清相关字词的意思。比如，“万人空巷”“十室九空”，要准确理解它们的意思。就“万人空巷”来说，是指每家每户都从巷子中走出来，大都用来形容“庆祝、欢迎”方面的盛况。就“十室九空”而言，大都用来形容天灾、人祸导致百姓颠沛流离的背景景象。对于这两个词来说，其字面意思非常接近，但实际意思恰好相反。为了帮助学生准确理解这两个词语的意思，教师可以优化利用迁移的方法，使其准确区分这两个词语，即用“举城欢庆”描述“万人空巷”，用“生离死别”描述“十室九空”。在增加细小知识点趣味性的同时，还能帮助学生准确理解新的知识点。

三、看清题目，掌握技巧

就语文考试而言，其中有一半以上的题目都和课外内容紧密相连，却需要利用已学的课内知识进行回答。在解题过程中，经常因为粗心，没有仔细审题，采取适宜的解题技巧，丢掉不应该丢的分，也会在一定程度上影响学生学习语文的积极性、主动性。就题目而言，经常会出现一些指向性的字眼，比如，该文章从哪些方面体现出作者对家乡的热爱？“哪些方面”便是其中的关键字眼。由于这是一篇表达思乡之情的课文，可以借助已学过的课文“乡愁”进行解答。又如，该篇散文中某句话起到怎样的作用，诗中某句话体现出的气氛？要牢牢抓住题中的关键词“气氛”，不要误以为是“思想、感情”，以至于答非所问，偏离题目，还误以为是正确答案。以“气氛”为例，学生需要回想已学过的诗，比如，李白“行路难”；陶渊明“饮酒”，曹操“观沧海”，知道哪些词语可以用来描述“气氛”，比如，宁静、凄清、热闹，哪些词语又和“感情”相关，比如，孤独、悲伤、难过，不要把两者混为一谈，误认为说的是相同问题。在此基础上，还要注重归纳、总结，根据题型，采取的解题技巧，引导学生掌握科学的学习方法，逐渐感受到学习语文的乐趣，尤其是学习零散知识点的趣味性。

总而言之，在初三语文教学过程中，教师要正确认识该课程，语文教学不要过于功利性，以“知识点+趣味”为基点，多角度、多层次地创设良好的教学情境，优化教学方法，不断调动学生的学习积极性、主动性，把课堂还给学生，使其成为整个教学的中心，积极、主动参与到课堂教学中，不断完善已有的语文知识结构体系，做好充分准备，更好地迎接中考。同时，在引导学生积极备考的过程中，也能践行素质教育提出的客观要求，培养他们的文学素养，促进他们的全面发展。

参考文献：

林芳群.知识点+趣味：初三语文教学之我见[J].当代教育论坛：教学研究，2011（2）.

3.初三数学知识点 篇三

图形的认识：

1、点，线，面

点，线，面：

①图形是由点，线，面构成的。

②面与面相交得线，线与线相交得点。

③点动成线，线动成面，面动成体。

展开与折叠：

①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。

②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。

截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。

视图：主视图，左视图，俯视图。

多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。

弧，扇形：

①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。

②圆可以分割成若干个扇形。

角

线：

①线段有两个端点。

②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。

③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。

④经过两点有且只有一条直线。

比较长短：

①两点之间的所有连线中，线段最短。

②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

角的度量与表示：

①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。

②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比较：

①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。

②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。

③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

平行：

①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

4.初三数学重要知识点 篇四

1.锐角三角形的垂心在三角形内;

直角三角形的垂心在直角顶点上;

钝角三角形的垂心在三角形外。

2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

例如在△ABC中

3.垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。

4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形。

5.H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。

7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP?tanB+AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC

8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA.

10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

12.西姆松(Simson)定理(西姆松线)：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。

13.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3.

14.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

苏科版九年级下册数学复习计划

一、紧扣大纲，精心编制复习教案

初中数学内容多而杂，其基础知识和基本技能又分散覆盖在三年的教科书中，学生往往学了新的，忘了旧的。因此，必须依据大纲规定的内容和系统化的知识要点，精心编制复习计划。计划的编写必须切合学生实际。可采用基础知识习题化的方法，根据平时教学中掌握的学生应用知识的实际，编制一份渗透主要知识点的测试题，让学生在规定时间内独立完成。然后按测试中出现的学生难以理解、遗忘率较高且易混易错的内容，确定计划的重点。复习计划制定后，要做好复习课例题的选择、练习题配套作业筛眩教师制定的复习计划要交给学生，并要求学生再按自己的学习实际制定具体复习规划，确定自己的奋进目标。

我们在组织全组老师编写资料的时候，围绕着以下三点构想：

1.全面性 虽然我们不敢说“一册在手，别无所求”，但我们坚信对你是有多多少少帮助的。由于我们围绕着：

①对考试的热点作认真分析;

②对知识点做细致整理;

③对中考的动态分析等编制理念，同时，我们在编制安排上本着：着眼于操作;立足于中考;服务于学生等想法，按照分课时将教案和学案在一本中设计的原则，使我们老师在使用的时候能有很全面的借鉴价值。

2.可操作性 我们在整个复习中，设置三个阶段

①基础知识积累阶段：题目的难度大概是中考题目中的70%的基础题目;

②专项知识整理阶段：题目的难度大概是中考题目中的20%---30%的应用题目;

③实战演练阶段(借助一份中考试卷的解答指导试卷的解读技巧)

3.互动性 在编制这本复习书的时候，为了充分体现在教师主导下的学生主体地位，真正让学生成为学习的主人，我们在设计的时候，开辟四个特色栏目：“自我诊断”“警钟长鸣”“师生对话”“机动园地”，以便我们老师在使用的时候能找到非智力因素等课程资源。

4.资料新 我们这本复习用书中的所有例习题，均来源于

①从各地中考题中采用优中选优的原则选择50% ，

②从其他有关资料中精选20% ，

③我们学校老师原创自编习题约占30% .

二、追本求源，系统掌握基础知识

总复习开始的第一阶段(2月21号——3月27号)，首先必须强调学生系统掌握课本上的基础知识和基本技能，过好课本关。对学生提出明确的要求：

①对基本概念、法则、公式、定理不仅要正确叙述，而且要灵活应用;

②对配备的练习题必须逐题过关;

③每章后的复习题带有综合性，要求多数学生必须独立完成，少数困难学生可在老师的指导下完成。

三、系统整理，提高学生复习效率

5.初三数学知识点总结 篇五

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程(quadratice quation of one variable或asingle—variable quadratice quation)。

一元二次方程有三个特点：

(1)含有一个未知数;

(2)且未知数的最高次数是2;

(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为ax2+bx+c=0(a0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。里面要有等号，且分母里不含未知数。

补充说明

3、方程的两根与方程中各数有如下关系：X1+X2=—b/a，X1X2=c/a(也称韦达定理)。

4、方程两根为x1，x2时，方程为：x2—(x1+x2)X+x1x2=0(根据韦达定理逆推而得)。

5、在系数a0的情况下，b2—4ac0时有2个不相等的实数根，b2—4ac=0时有两个相等的实数根，b2—4ac0时无实数根。(在复数范围内有两个复数根)。

一般式

ax2+bx+c=0(a、b、c是实数，a0)

例如：x2+2x+1=0

配方式

a(x+b/2a)2=(b2—4ac)/4a

两根式(交点式)

6.上初三的女儿一考试就想上厕所 篇六

一位父亲

咨询师：

你能打来电话，想帮助女儿，就看得出你对女儿的爱。

面对重要的考试，几乎每个人多多少少都会有些焦虑，这是正常的。心理学研究发现，保持中等程度的焦虑，会发挥得更好。完全放松和过度焦虑则会影响水平的发挥。

你可以告诉女儿，与其想完全排除焦虑情绪，觉得只要一紧张就考砸，不如接纳自己的焦虑情绪，告诉自己：我现在感到有些焦虑，这是正常的，也是可控的。当我们这样想的时候，焦虑水平自然会有所下降。对考试过度焦虑的孩子，其实已经不仅仅在担心考试结果，更有对自己焦虑状态的过度担心，换句话说就是对焦虑本身的焦虑，这会让自己越来越紧张。如果家长不停地对孩子说“千万别紧张”只会让孩子更紧张。

改变认知，是解决问题的根本。建议你和女儿彻底沟通一下，让她把最担心的事情说出来，也会缓解她对考试的焦虑。我曾经问过有类似困扰的其他孩子，如果考不好，对他们意味着什么？一路追下去，孩子们最担心的其实是：家长不爱自己了！可见家长的态度非常重要。此时，孩子最想知道的来自家长的态度是：不管你考得好还是不好，永远是我们的好孩子，我们会一样爱你！这样无条件的接纳和爱，会让孩子有安全感和归属感，有了这样的感觉，孩子自然会放松心情。

和孩子交流的时候，要帮助孩子改变一些绝对化的思维，比如“考不好就一无是处”。其实即便是高考考砸了，自己依然拥有健康的身体，有学到的知识，有学习的愿望和能力，还可以重新来过，也可以通过其它的途径去继续学习，一样可以拥有属于自己的快乐人生。

另外，你还可以教给孩子一些简单的缓解焦虑的方法。比如转变头脑里自我否定和自我打击的想法，对自己有信心；比如用呼吸来放松，把注意力放在自己的呼吸上，边用鼻子深吸气边默数一、二、三，然后用嘴呼出，眼睛可以仔细关注当时可以看到的任何物件，比如树叶、本子、笔、桌子的纹路等，如此反复几次；还可以让自己全心去考虑要考试的具体内容，越具体越好，比如各种公式、定理、要点、法则，这会排挤大脑对考试结果的过度思虑；另外也要掌握应考的技巧，比如：仔细审题，统观全局，先易后难，先求正确再求速度，不忽视任何细节，能做就多做一点，增加一分是一分，不提前交卷等。

在生活上，多参加一些运动，多补充富含维生素和矿物质的食物，多听一些旋律优美、曲调悠扬的音乐，都对孩子有益。

针对你家的具体情况，我建议你，对奶奶多年来为孩子所做的一切表示感谢，然后请奶奶向后退一步，最多只照顾一下孙女的饮食起居，除了表达爱、相信和肯定，不再过问孙女的学习。你作为父亲，则需要向前迈一步，多和女儿沟通，多肯定女儿已经付出的努力，与女儿一起面对她的问题。要知道，来自父母尤其是父亲的爱、肯定和鼓励，对一个女孩自我价值感的确立有非同一般的意义。如果可能，也请孩子的母亲加入这样的沟通。你们的婚姻解体，只是你们之间的夫妻关系结束了，你们和孩子之间的爱是不应该结束的。

7.初三数学圆知识点总结 篇七

一、本章知识框架

二、本章重点

1．圆的定义：

(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．

(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上． 设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．

圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半． ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．

(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．

弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．

4．圆的性质：

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．

(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．

垂径定理及推论：

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．

5．三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．

(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．

(4)垂心：是三角形三边高线的交点．

6．切线的判定、性质：(1)切线的判定：

①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．

(2)切线的性质：

①圆的切线垂直于过切点的半径．

②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点． ③经过切点作切线的垂线经过圆心．

(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．

(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

7．圆内接四边形和外切四边形

(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．

(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．

8．直线和圆的位置关系：

设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．

(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．

(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d

9．圆和圆的位置关系：（不考了）设(1)外离(2)含(3)外切(4)dr)，圆心距

．

没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部d>R＋r． 没有公共点，且的每一个点都在外部

内有唯一公共点，除这个点外，内切d＝R－r．

相交(5)有两个公共点R－r

10．两圆的性质：

(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．

(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．

11．圆中有关计算： 圆的面积公式：，周长C＝2πR．

圆心角为n°、半径为R的弧长．

圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．

．

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为面积为2πRl，全面积为

．，侧（补考圆锥面积了）圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl，全面积为半径之间有

【经典例题精讲】

例1 如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？

分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律． 解：

连结OP，．，母线长、圆锥高、底面圆的

P点为中点．

小结：此题运用垂径定理进行推断． 例2 下列命题正确的是()A．相等的圆周角对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．三点确定一个圆

D．平分弦的直径垂直于弦． 解：

A．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确．

B．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确． C．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆． D．平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦． 故选B．

例3 四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D． 分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等． 解：

设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x． x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°． ∴∠D＝90°．

小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的长．

例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是__________cm． 分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解． 解：

．

小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型．

例5 已知

相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB＝16，求两圆的圆心距． 解：分两种情况讨论：(1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设

与AB交于C，连结又∵AB＝16 ∴AC＝8．，则垂直平分AB，∴

． 在在故(2)若中，中，．

位于AB的同侧(如图23-9)，设

．

∵垂直平分AB，的延长线与

． ．

AB交于C，连结∴．

又∵AB＝16，∴AC＝8． 在在故中，中，．

． ．

注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题．

1.相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）

说明：几何语言：

若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

例1． 已知P为⊙O内一点，P任作一弦AB，设为

。解：由相交弦定理得，⊙O半径为，过，则关于的函数关系式，即，其中

2.切割线定理

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

说明：几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB

例2． 已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。

解：设TD=，BP=，由相交弦定理得：即由切割线定理，理，∴ ∴，（舍）

由勾股定

∴

四、辅助线总结（重要）1.圆中常见的辅助线

1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．

2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明．

3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算．

4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．

5)．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角． 6)．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角． 7)．遇到切线，作过切点的半径，构造直角．

8)．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径．

9)．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．

10)．遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点．

11)．遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线． 12)．遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线．

13)．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边．

2、圆中较特殊的辅助线

1)．过圆外一点或圆上一点作圆的切线． 2)．将割线、相交弦补充完整． 3)．作辅助圆．

例1如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为()

A．2 B．3 C．4 D．5

分析：连结OC，由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB知CD＝DE．设AE＝x，则在Rt△CEO中，即，则，(舍去)．

答案：A．

例2如图23-11，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于()

A．35° B．90° C．110° D．120°

分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．

例3 如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于()A． B．

C．

D．

分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即

．答案：B．

例4 如图23-12，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交⊙O于E，且EM>MC，连结OE、DE，．

求：EM的长．

简析：(1)由DC是⊙O的直径，知DE⊥EC，于是．设EM＝x，则AM·MB＝x(7－x)，即．所以

．而EM>MC，即EM＝4．

例5如图23-13，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程

(其中m为实数)的两根．

(1)求证：BE＝BD；(2)若，求∠A的度数．

简析：(1)由BE、BD是关于x的方程的两根，得，则m＝－2．所以，原方程为

．得

．故BE＝BD．

(2)由相交弦定理，得，即

．而PB切⊙O于点B，AB为⊙O的直径，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易证∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，则，所以，所以

8.初三上册数学知识点总结 篇八

因为扇形=两条半径+弧长

若半径为R，扇形所对的圆心角为n°，那么扇形周长：

C=2R+nπR÷180

扇形面积公式

在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR^2，所以圆心角为n°的扇形面积

S=nπR^2÷360

▲什么是圆周率?

圆周率是一个常数，是代表圆周和直径的比例。它是一个无理数，即是一个无限不循环小数。但在日常生活中，通常都用3.14来代表圆周率去进行计算，即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，也只取值至小数点后约20位。

▲什么是π?

π是第十六个希腊字母，本来它是和圆周率没有关系的，但大数学家欧拉在一七三六年开始，在书信和论文中都用π来代表圆周率。既然他是大数学家，所以人们也有样学样地用π来表圆周率了。但π除了表示圆周率外，也可以用来表示其他事物，在统计学中也能看到它的出现。

圆的面积 s = π × r × r

其中，π 是周围率，等于3.14

r 是圆的半径。

圆的周长计算公式为：C=2πR 。C代表圆的周长，r代表圆的半径。圆的面积公式为：S=πR2(R的平方) 。S代表圆的面积，r为圆的半径。

椭圆周长计算公式

椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。

椭圆面积计算公式

椭圆面积公式： S=πab

椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。

1.有关的计算：

(1)圆的周长C=2πR;(2)弧长L= ;(3)圆的面积S=πR2.

(4)扇形面积S扇形 = ;

(5)弓形面积S弓形 =扇形面积SAOB±ΔAOB的面积.(如图)

2.圆柱与圆锥的侧面展开图：

(1)圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2πrh; (r:底面半径;h:圆柱高)

(2)圆锥的侧面积：S圆锥侧 = =πrR. (L=2πr，R是圆锥母线长;r是底面半径)

描述定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫圆心。线段OA叫做半径。

集合定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。

2、圆的表示方法：以O为圆心的圆记做⊙O，读作圆O。

3、圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

4、半径：圆心与圆上任意一点所连的线段叫半径。直径：经过圆心的弦叫直径。

5、圆心角：顶点在圆心上的角叫圆心角。

6、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角。

9.青岛版初三数学知识点 篇九

几何综合测验

【复习要点】

代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数几何知识解题.

【实弹射击】

1、将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD.

(1)填空：如图a，AC= ，BD= ;四边形ABCD是 梯形.

(2)请写出图a中所有的相似三角形(不含全等三角形).

图10

(3)如图b，若以AB所在直线为 轴，过点A垂直于AB的直线为 轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向 轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.

图a

2、正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，

(1)证明：Rt△ABM ∽Rt△MCN;

(2)设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积，并求出面积;

(3)当M点运动到什么位置时Rt△ABM ∽Rt△AMN，

求此时x的值.

3、(10广东省)如图(1)，(2)所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2。动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上)，当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动。连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW。设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒。试解答下列问题：

(1)说明△FMN∽△QWP;

(2)设0≤x≤4(即M从D到A运动的时间段)。试问x为何值时，△PQW为直角三角形?当x在何范围时，△PQW不为直角三角形?

第3题图(2)

(3)问当x为何值时，线段MN最短?求此时MN的值。

初三数学上册知识点概率

1、 必然事件、不可能事件、随机事件的区别

2、概率

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率(probability), 记作P(A)= p.

注意：(1)概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映.

(2)概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同.

3、求概率的方法

(1)用列举法求概率(列表法、画树形图法)

(2)用频率估计概率：一大面，可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.

九年级上册数学复习资料

一、轴对称与轴对称图形：

1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。

2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

注意：对称轴是直线而不是线段

3.轴对称的性质：

(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;

(2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;

(3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上;

(4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

4.线段垂直平分线：

(1)定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。

(2)性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;

②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

5.角的平分线：

(1)定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.

(2)性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.

10.初三数学考试成绩反思 篇十

一、树立每一位学生学习的自信心，培养学生的学习兴趣，正确的学习方法。引导学生逐渐认识实际生活中的问题。如结合信息科技，为学生创设熟悉的教学情境，让学生认识到生活中处处存在数学问题，数学来源于生活又应用于生活，激发学生学习数学的兴趣和认识学习数学的必要性，调动学生学习数学的主观能动性。

二、指导学生解决问题时，要留给学生思考的余地。学生用数学不是靠教师“教会”的，而是学生“想懂”的。古人云“授之以鱼不如授之以渔”。在解决实际问题中充分发挥学生灵活运用数学知识解决问题的能力，使学生的思维得到充分的发展。教学过程当中教师要注意让学生亲身感受数学的由来及关注知识的生成。

三、结合学生的基础和教学内容因材施教。 在教学中和学生经常沟通，了解学生的学习感悟，时刻调整自己的教学策略。

四、两手抓两手都要硬。在提高课堂教学质量的同时，抓好学生的管理，特别是关注习惯差的学生。重视反馈环节，课后注意作业完成情况，集体性批阅与个别面批相结合。

11.人教版初三数学知识点总结 篇十一

全套教科书包含了课程标准（实验稿）规定的“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的内容

在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合 使它们形成一个有机的整体

九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容 学习内容涉及到了《课程标准》的四个领域 包含以下章节：

第21章 二次根式 第22章 一元二次方程

第23章 旋转 第24章 圆 第25 章 概率初步 本册书内容分析如下： 第21章 二次根式

学生已经学过整式与分式

知道用式子可以表示实际问题中的数量关系 解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式 “二次根式” 一章就来认识这种式子 探索它的性质 掌握它的运算

在这一章

首先让学生了解二次根式的概念 并掌握以下重要结论：

（1）是一个非负数；

（2）≥0）；

（3）(a≥0)． 注：关于二次根式的运算

由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握 教科书先安排二次根式的乘除 再安排二次根式的加减

“二次根式的乘除”一节的内容有两条发展的线索

一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性

并运用二次根式的乘除法则进行运算；一条是由二次根式的乘除法则得到

(a≥0 b≥0)(a≥0 b>0)

并运用它们进行二次根式的化简

“二次根式的加减”一节先安排二次根式加减的内容 再安排二次根式加减乘除混合运算的内容

在本节中

注意类比整式运算的有关内容 例如

让学生比较二次根式的加减与整式的加减 又如

通过例题说明在二次根式的运算中 多项式乘法法则和乘法公式仍然适用 这些处理有助于学生掌握本节内容

第22章 一元二次方程

学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法 在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程--一元二次方程 “一元二次方程”一章就来认识这种方程 讨论这种方程的解法

并运用这种方程解决一些实际问题

本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念 给出一元二次方程的一般形式

然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解 对一元二次方程的解加以体会 并给出一元二次方程的根的概念

“22.2降次--解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法

下面分别加以说明

（1）在介绍配方法时

首先通过实际问题引出形如的方程

这样的方程可以化为更为简单的形如的方程 由平方根的概念

可以得到这个方程的解

进而举例说明如何解形如的方程

然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程 引出配方法

最后安排运用配方法解一元二次方程的例题 在例题中

涉及二次项系数不是1的一元二次方程 也涉及没有实数根的一元二次方程 对于没有实数根的一元二次方程 学了“公式法”以后

学生对这个内容会有进一步的理解

（2）在介绍公式法时

首先借助配方法讨论方程的解法

得到一元二次方程的求根公式

然后安排运用公式法解一元二次方程的例题 在例题中

涉及有两个相等实数根的一元二次方程 也涉及没有实数根的一元二次方程 由此引出一元二次方程的解的三种情况

（3）在介绍因式分解法时

首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程 引出因式分解法

然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题

最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结

“22.3实际问题与一元二次方程”一节安排了四个探究栏目 分别探究传播、成本下降率、面积、匀变速运动等问题

使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型

第23章 旋转

学生已经认识了平移、轴对称 探索了它们的性质

并运用它们进行图案设计

本书中图形变换又增添了一名新成员――旋转 “旋转”一章就来认识这种变换 探索它的性质 在此基础上

认识中心对称和中心对称图形

“23.1旋转”一节首先通过实例介绍旋转的概念 然后让学生探究旋转的性质 在此基础上

通过例题说明作一个图形旋转后的图形的方法 最后举例说明用旋转可以进行图案设计

“23.2中心对称”一节首先通过实例介绍中心对称的概念 然后让学生探究中心对称的性质 在此基础上

通过例题说明作与一个图形成中心对称的图形的方法 这些内容之后

通过线段、平行四边形引出中心对称图形的概念 最后介绍关于原点对称的点的坐标的关系

以及利用这一关系作与一个图形成中心对称的图形的方法

“23.3课题学习图案设计”一节让学生探索图形之间的变换关系（平移、轴对称、旋转及其组合）

灵活运用平移、轴对称、旋转的组合进行图案设计

第24章 圆

圆是一种常见的图形 在“圆”这一章

学生将进一步认识圆 探索它的性质

并用这些知识解决一些实际问题 通过这一章的学习

学生的解决图形问题的能力将会进一步提高

“24.1圆”一节首先介绍圆及其有关概念 然后让学生探究与垂直于弦的直径有关的结论 并运用这些结论解决问题 接下来

让学生探究弧、弦、圆心角的关系 并运用上述关系解决问题

最后让学生探究圆周角与圆心角的关系 并运用上述关系解决问题

“24.2与圆有关的位置关系”一节首先介绍点和圆的三种位置关系、三角形的外心的概念 并通过证明“在同一直线上的三点不能作圆”引出了反证法

然后介绍直线和圆的三种位置关系、切线的概念以及与切线有关的结论 最后介绍圆和圆的位置关系

“24.3正多边形和圆”一节揭示了正多边形和圆的关系 介绍了等分圆周得到正多边形的方法

“24.4弧长和扇形面积”一节首先介绍弧长公式 然后介绍扇形及其面积公式 最后介绍圆锥的侧面积公式

第25 章 概率初步

将一枚硬币抛掷一次 可能出现正面也可能出现反面

出现正面的可能性大还是出现反面的可能性大呢？学了“概率”一章 学生就能更好地认识这个问题了 掌握了概率的初步知识

学生还会解决更多的实际问题

“25.1概率”一节首先通过实例介绍随机事件的概念 然后通过掷币问题引出概率的概念

“25.2用列举法求概率”一节首先通过具体试验引出用列举法求概率的方法

然后安排运用这种方法求概率的例题 在例题中

涉及列表及画树形图

“25.3利用频率估计概率”一节通过幼树成活率和柑橘损坏率等问题介绍了用频率估计概率的方法

“25.4课题学习键盘上字母的排列规律”一节让学生通过这一课题的研究体会概率的广泛应用

知识点总结

第21章 二次根式 知识框图

学习目标

对于本章内容

教学中应达到以下几方面要求：

1.理解二次根式的概念

了解被开方数必须是非负数的理由；

2.了解最简二次根式的概念；

3.理解并掌握下列结论：

（1）是非负数；（2）；（3）；

4.掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则 会用它们进行有关实数的简单四则运算；

5.了解代数式的概念

进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用

I.二次根式的定义和概念：

1、定义：一般地

形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式 当a＞0时

√a表示a的算数平方根 √0=0

2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式 √ā（a≥0）是一个非负数

II.二次根式√ā的简单性质和几何意义

1）a≥0;√ā≥0 [ 双重非负性 ]

2）（√ā）^2=a（a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]

3)√(a^2+b^2)表示平面间两点之间的距离

即勾股定理推论

III.二次根式的性质和最简二次根式

1）二次根式√ā的化简

a(a≥0）

√ā=|a|={

-a(a＜0)

2）积的平方根与商的平方根

√ab=√a·√b（a≥0 b≥0）

√a/b=√a /√b（a≥0 b>0）

3）最简二次根式

条件：

（1）被开方数的因数是整数或字母 因式是整式；

（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式

如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√

2、√

3、√a（a≥0）、√x+y 等；

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√

4、√

9、√a^

2、√（x+y）^

2、√x^2+2xy+y^2等

IV.二次根式的乘法和除法

运算法则

√a·√b=√ab（a≥0 b≥0）

√a/b=√a /√b（a≥0 b>0）

二数二次根之积 等于二数之积的二次根 共轭因式

如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式 那么这两个代数式叫做共轭因式 也称互为有理化根式

V.二次根式的加法和减法

同类二次根式

一般地

把几个二次根式化为最简二次根式后 如果它们的被开方数相同

就把这几个二次根式叫做同类二次根式 合并同类二次根式

把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式

3二次根式加减时

可以先将二次根式化为最简二次根式 再将被开方数相同的进行合并 Ⅵ.二次根式的混合运算

1确定运算顺序

2灵活运用运算定律

3正确使用乘法公式

4大多数分母有理化要及时

5在有些简便运算中也许可以约分 不要盲目有理化

VII.分母有理化

分母有理化有两种方法

I.分母是单项式

如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b

II.分母是多项式

要利用平方差公式

如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b

III.分母是多项式

要利用平方差公式

如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b 第22章 一元二次方程 知识框图

第23章 旋转 知识框图

旋转的定义

在平面内

将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度 这样的运动叫做图形的旋转 这个定点叫做旋转中心 转动的角度叫做旋转角

图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动 其中对应点到旋转中心的距离相等 对应线段的长度、对应角的大小相等 旋转前后图形的大小和形状没有改变

旋转对称中心

把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后 与初始图形重合

这种图形叫做旋转对称图形 这个定点叫做旋转对称中心

旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°

大于360°）

中心对称和中心对称图形是两个不同而又紧密联系的概念．它们的区别是：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系 这两个图形关于一点对称 这个点是对称中心

两个图形关于点的对称也叫做中心对称．成中心对称的两个图形中 其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上 反之

另一个图形上所有点的对称点

又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称．中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上．如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形）

那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形 如果把对称的部分看成是两个图形 那么它们又是关于中心对称．

也就是说：

① 中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合 那么我们就说

这个图形成中心对称图形

②中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合 那么我们就说

这两个图形成中心对称

中心对称图形

正（2N）边形（N为大于1的正整数）线段 矩形 菱形 圆

只是中心对称图形

平行四边形等．

既不是轴对称图形又不是中心对称图形

不等边三角形 非等腰梯形等． 中心对称的性质

①关于中心对称的两个图形是全等形

②关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且被对称中心平分

③关于中心对称的两个图形

对应线段平行（或者在同一直线上）且相等

识别一个图形是否是中心对称图形就是看是否存在一点 使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合

中心对称是指两个图形绕某一个点旋转180°后 能够完全重合

称这两个图形关于该点对称

该点称为对称中心.二者相辅相成 两图形成中心对称 必有对称中点

而点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点.第二十四章圆

知识框图

【圆的基本知识】

〖几何中圆的定义〗

几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆 定点称为圆心 定长称为半径

轨迹说：平面上一动点以一定点为中心 一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周 简称圆

集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆

〖圆的相关量〗

圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率 值是3.14******************253421170679...通常用π表示

计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3或3.1416)

圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧

大于半圆的弧称为优弧 小于半圆的弧称为劣弧

连接圆上任意两点的线段叫做弦 经过圆心的弦叫做直径

圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角 顶点在圆周上

且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角

内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆 其圆心叫做三角形的外心

和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆 其圆心称为内心

扇形：在圆上

由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形

圆锥侧面展开图是一个扇形 这个扇形的半径称为圆锥的母线

〖圆和圆的相关量字母表示方法〗

圆-⊙ 半径-r 弧-⌒ 直径-d

扇形弧长／圆锥母线-l 周长-C 面积-S

〖圆和其他图形的位置关系〗

圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点 则PO是点到圆心的距离）P在⊙O外

PO＞r；P在⊙O上

PO＝r；P在⊙O内 PO＜r

直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交 这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切 这条直线叫做圆的切线 这个唯一的公共点叫做切点

以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P 则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离 PO＞r；AB与⊙O相切 PO＝r；AB与⊙O相交 PO＜r

两圆之间有5种位置关系：无公共点的 一圆在另一圆之外叫外离

在之内叫内含；有唯一公共点的 一圆在另一圆之外叫外切

在之内叫内切；有两个公共点的叫相交 两圆圆心之间的距离叫做圆心距 两圆的半径分别为R和r 且R≥r 圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r

圆的平面几何性质和定理

一有关圆的基本性质与定理

⑴圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆

圆的对称性质：圆是轴对称图形 其对称轴是任意一条通过圆心的直线 圆也是中心对称图形 其对称中心是圆心

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的2条弧

逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 并且平分弦所对的2条弧

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两个圆周角 两组弧 两条弦

两条弦心距中有一组量相等

那么他们所对应的其余各组量都分别相等

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

直径所对的圆周角是直角 90度的圆周角所对的弦是直径

⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理

①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆 外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点 到三角形三个顶点距离相等；

②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点 到三角形三边距离相等

③S三角=1/2*△三角形周长*内切圆半径

④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的线段）

⑤圆O中的弦PQ的中点M 过点M任作两弦AB CD 弦AD与BC分别交PQ于X Y 则M为XY之中点

〖有关切线的性质和定理〗

圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端 并且垂直于这条半径的直线 是这个圆的切线

切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心（3）圆的切线垂直于经过切点的半径

切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等 那点与圆心的连线平分切线的夹角

〖有关圆的计算公式〗

1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr^2;3.扇形弧长l=nπr/180

4.扇形面积S=π（R^2-r^2）5.圆锥侧面积S=πrl 圆的解析几何性质和定理

〖圆的解析几何方程〗

圆的标准方程：在平面直角坐标系中 以点O（a b）为圆心

以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2

圆的一般方程：把圆的标准方程展开

移项

合并同类项后

可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 和标准方程对比 其实D=-2a E=-2b F=a^2+b^2-r^2

圆的离心率e=0 在圆上任意一点的曲率半径都是r

〖圆与直线的位置关系判断〗

平面内

直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：

1.由Ax+By+C=0 可得y=（-C-Ax）／B（其中B不等于0）代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0 利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：

如果b^2-4ac>0 则圆与直线有2交点 即圆与直线相交

如果b^2-4ac=0 则圆与直线有1交点 即圆与直线相切

如果b^2-4ac<0 则圆与直线有0交点 即圆与直线相离

2.如果B=0即直线为Ax+C=0 即x=-C／A 它平行于y轴（或垂直于x轴）

将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2 令y=b 求出此时的两个x值x1、x2 并且规定x1

当x=-C／Ax2时 直线与圆相离；

当x1

半径r 直径d

在直角坐标系中 圆的解析式为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

=>(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F

=> 圆心坐标为(-D/2-E/2)

其实不用这样算 太麻烦了

只要保证X方Y方前系数都是1

就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2-E/2)

这可以作为一个结论运用的

且r=根号（圆心坐标的平方和-F）圆知识点总结

平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆

圆心：圆中心固定的一点叫做圆心 用字母0表示

直径：通过圆心

并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径 用字母d表示

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段 叫做圆的半径 用字母r表示

圆的直径和半径都有无数条 在同圆或等圆中：直径是半径的2倍 半径是直径的1／2.圆的半径决定了圆的大小 圆心决定了圆的位置

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长 用C表示

圆的周长与直径的比值叫做圆周率

圆周率是一个固定的数 它是一个无限不循环小数 用字母π表示近似等于3.14

直径所对的圆周角是直角

90度的圆周角所对的弦是直径

圆的面积公式：πr方 用字母S表示

第25章 概率初步 知识框图

第26章 二次函数

知识框图

定义与定义表达式

一般地

自变量x和因变量y之间存在如下关系：

一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0 a、b、c为常数)则称y为x的二次函数

顶点式：y=a(x-h)^2+k

交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)

重要概念：（a b c为常数 a≠0 且a决定函数的开口方向 a>0时

开口方向向上 a<0时

开口方向向下

IaI还可以决定开口大小 IaI越大开口就越小 IaI越小开口就越大）

二次函数表达式的右边通常为二次

x是自变量 y是x的二次函数

x1

x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像

可以看出

二次函数的图像是一条永无止境的抛物线

抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形 对称轴为直线x =-b/2a

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P

特别地 当b=0时

抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P 坐标为P(-b/2a(4ac-b²)/4a)

当-b/2a=0时

P在y轴上；当Δ= b²-4ac=0时 P在x轴上

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小

当a＞0时

抛物线向上开口；当a＜0时 抛物线向下开口

|a|越大

则抛物线的开口越小

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置

当a与b同号时（即ab＞0）

对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0 也就是-b/2a<0 所以b/2a要大于0 所以a、b要同号

当a与b异号时（即ab＜0）对称轴在y轴右

因为对称轴在右边则对称轴要大于0 也就是-b/2a>0

所以b/2a要小于0 所以a、b要异号

事实上

b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值

可通过对二次函数求导得到

5.常数项c决定抛物线与y轴交点

抛物线与y轴交于（0 c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b²-4ac＞0时 抛物线与x轴有2个交点

Δ= b²-4ac=0时 抛物线与x轴有1个交点

_______

Δ= b²-4ac＜0时 抛物线与x轴没有交点

X的取值是虚数（x=-b±√b²－4ac的值的相反数 乘上虚数i 整个式子除以2a）

当a>0时

函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数 在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b²/4a}相反不变

当b=0时

抛物线的对称轴是y轴 这时

函数是偶函数

解析式变形为y=ax²+c(a≠0)

7.定义域：R

值域：（对应解析式 且只讨论a大于0的情况

a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b²)/4a 正无穷）；②[t 正无穷）

奇偶性：偶函数

周期性：无

解析式：

①y=ax²+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a＞0 则抛物线开口朝上；a＜0 则抛物线开口朝下；

⑶极值点：（-b/2a(4ac-b²)/4a）；

⑷Δ=b²-4ac

Δ＞0 图象与x轴交于两点：

（[-b-√Δ]/2a 0）和（[-b+√Δ]/2a 0）；

Δ＝0 图象与x轴交于一点：

（-b/2a 0）；

Δ＜0 图象与x轴无交点；

②y=a(x-h)²+t[配方式]

此时

对应极值点为（h t）

其中h=-b/2a t=(4ac-b²)/4a）；

③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式]

a≠0 此时

x1、x2即为函数与X轴的两个交点

将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）

[编辑本段]二次函数与一元二次方程

特别地

二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c

当y=0时

二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）

即ax²+bx+c=0

此时

函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根

1．二次函数y=ax²

y=a(x-h)² y=a(x-h)² +k y=ax²+bx+c(各式中 a≠0)的图象形状相同 只是位置不同

它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式

y=ax²

y=ax²+K

y=a(x-h)²

y=a(x-h)²+k

y=ax²+bx+c

顶点坐标

(0 0)

(0 K)

(h 0)

(h k)

(-b/2a sqrt[4ac-b²]/4a)

对 称 轴

x=0

x=0

x=h

x=h

x=-b/2a

当h>0时

y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到

当h<0时

则向左平行移动|h|个单位得到．

当h>0

k>0时

将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位 再向上移动k个单位

就可以得到y=a(x-h)²+k的图象；

当h>0 k<0时

将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位

再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；

当h<0 k>0时

将抛物线向左平行移动|h|个单位

再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；

当h<0 k<0时

将抛物线向左平行移动|h|个单位

再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；

因此

研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象 通过配方

将一般式化为y=a(x-h)²+k的形式 可确定其顶点坐标、对称轴

抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2．抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时 开口向上

当a<0时开口向下 对称轴是直线x=-b/2a 顶点坐标是(-b/2a [4ac-b²]/4a)．

3．抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)若a>0 当x ≤-b/2a时

y随x的增大而减小；当x ≥-b/2a时 y随x的增大而增大．若a<0 当x ≤-b/2a时

y随x的增大而增大；当x ≥-b/2a时 y随x的增大而减小．

4．抛物线y=ax²+bx+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交 交点坐标为(0 c)；

(2)当△=b²-4ac>0 图象与x轴交于两点A(x? 0)和B(x? 0)

其中的x1 x2是一元二次方程ax²+bx+c=0

(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| 另外

抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）

当△=0．图象与x轴只有一个交点；

当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时 图象落在x轴的上方 x为任何实数时 都有y>0；当a<0时 图象落在x轴的下方 x为任何实数时 都有y<0．

5．抛物线y=ax²+bx+c的最值：如果a>0(a<0)则当x=-b/2a时

y最小(大)值=(4ac-b²)/4a．

顶点的横坐标

是取得最值时的自变量值 顶点的纵坐标 是最值的取值．

6．用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时 可设解析式为一般形式：

y=ax²+bx+c(a≠0)．

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时 可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)．

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时 可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．

7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用 而形成较为复杂的综合题目 因此

以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题 往往以大题形式出现．

第27章 相似 知识框图

相似三角形的认识

对应角相等

对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形（similar triangles）

互为相似形的三角形叫做相似三角形 相似三角形的判定方法

根据相似图形的特征来判断（对应边成比例 对应角相等）

1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交 所构成的三角形与原三角形相似；

（这是相似三角形判定的引理 是以下判定方法证明的基础

这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）

2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等 那么这两个三角形相似；

3.如果两个三角形的两组对应边的比相等 并且相应的夹角相等 那么这两个三角形相似；

4.如果两个三角形的三组对应边的比相等 那么这两个三角形相似；

绝对相似三角形

1.两个全等的三角形一定相似

2.两个等腰直角三角形一定相似

3.两个等边三角形一定相似

直角三角形相似判定定理

1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似

2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似

并且分成的两个直角三角形也相似

射影定理

三角形相似的判定定理推论

推论一：顶角或底角相等的那个的两个等腰三角形相似

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似

推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例 那么这两个三角形相似

推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例 那么这两个三角形相似

相似三角形的性质

1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比

2.相似三角形周长的比等于相似比

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方

相似三角形的特例

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形（congruent triangles）

全等三角形是相似三角形的特例 全等三角形的特征：

1.形状完全相同 相似比是k=1

全等三角形一定是相似三角形 而相似三角形不一定是全等三角形

因此

相似三角形包括全等三角形

全等三角形的定义

能够完全重合的两个三角形称为全等三角形

（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）

当两个三角形完全重合时 互相重合的顶点叫做对应顶点 互相重合的边叫做对应边 互相重合的角叫做对应角

由此

可以得出：全等三角形的对应边相等 对应角相等

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边 两个对应角所夹的边是对应边；

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角 两条对应边所夹的角是对应角；

(3)有公共边的 公共边一定是对应边；

(4)有公共角的 角一定是对应角；

(5)有对顶角的 对顶角一定是对应角；

三角形全等的判定公理及推论

1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)这一条也说明了三角形具有稳定性的原因

2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)

3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)

由3可推到

4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)

5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边

直角边”)

所以 SSS SAS ASA AAS HL均为判定三角形全等的定理

注意：在全等的判定中 没有AAA和SSA 这两种情况都不能唯一确定三角形的形状

A是英文角的缩写(angle)S是英文边的缩写(side)

全等三角形的性质

1、全等三角形的对应角相等、对应边相等

2、全等三角形的对应边上的高对应相等

3、全等三角形的对应角平分线相等

4、全等三角形的对应中线相等

5、全等三角形面积相等

6、全等三角形周长相等

7、三边对应相等的两个三角形全等（SSS)

8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)

9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)

10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)

11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)

全等三角形的运用

1、性质中三角形全等是条件 结论是对应角、对应边相等

而全等的判定却刚好相反

2、利用性质和判定

学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键 在写两个三角形全等时 一定把对应的顶点 角、边的顺序写一致 为找对应边 角提供方便 当图中出现两个以上等边三角形时 应首先考虑用SAS找全等三角形

4、用在实际中

一般我们用全等三角形测等距离 以及等角

用于工业和军事 有一定帮助

全等三角形做题技巧

一般来说考试中线段和角相等需要证明全等

因此我们可以来采取逆思维的方式

来想要证全等 则需要什么

另一种则要根据题目中给出的已知条件 求出有关信息

然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等

位似

概念：相似且对应顶点的连线相交于一点 对应边互相平行的两个图形叫做位似

位似一定相似但相似不一定位似~

第二十八章锐角三角函数

知识框图

第25章 投影与视图 知识框图

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