不等式综合练习题

不等式综合练习题（共12篇）

1.不等式综合练习题 篇一

不等式练习题

（二）1.已知两个正数a、b的等差中项是5，则a、b的等比中项的最大值为

A.10B.25C.50

2.若a>b>0，则下面不等式正确的是（）A.D.100 222ababab2ababB.ab ab22ab

ab2ab2ababC.D.abab2abab2

a13.已知不等式(xy)()9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值是 xy

x14.若变量x,y满足约束条件yx 则z=2x+y的最大值为

3x2y5

A.1B.2C.3D.4

x3y30,5.若实数x，y满足不等式组2xy30,且xy的最大值为9，则实数m

xmy10,

A.2B.1C.1D.2

6.若对任意x0,a恒成立，则a的取值范围是__________.x3x12

ab7若实数a,b满足ab2，则33的最小值为_______。

8.某公司仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物8吨，现按7吨，8吨和5吨把货物分别调运给甲，乙，丙三个商店，从仓库A运货物到商店甲，乙，丙，每吨货物的运费分别为8元，6元，9元；从仓库B运货物到商店甲，乙，丙，每吨货物的运费分别为3元，4元，5元，问应该如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？

2.不等式综合练习题 篇二

不等式综合应用是不等式章节中的重点内容, 也是各类考试的热点内容之一.本文笔者就其应用中的几个难点问题予以归纳, 旨在探求其解法、总结其规律.

一、多元变量的最值问题

例1 已知x, y, z满足方程x2+ (y-2) 2+ (z+2) 2=2, 则$\sqrt{x{}^2+y{}^2+z{}^2}$的最大值是____.

解析:由题设条件有: (y-2) 2+ (z+2) 2=2-x2≤2.依据其特征联想到圆的方程及其对应的参数换元:令y=2+rsinθ, z=-2+rcosθ, (θ为参数且$\theta \le r\le \sqrt{2})$.由x2+y2-4y+4+z2+4z+4=2.得$x{}^2+y{}^2+z{}^2=4(y-z)-6=4(2+r\sin \theta +2-r\cos \theta )-6=10+4\sqrt{2}r\sin (\theta -\frac{\text{π}}{4})\le 10+8=18$.当且仅当$r=\sqrt{2},\sin (\theta -\frac{\text{π}}{4})=1$时取等号.故$\sqrt{x{}^2+y{}^2+z{}^2}$的最大值为$3\sqrt{2}.$

评注:本题是一道含有三个字母的最值问题, 无论从运算变形能力, 还是从转化化简能力等方面对学生要求都比较高.解题的关键是将题设条件变形为x2+y2+z2=4 (y-z) -6, 从而找到了条件与待求式之间的联系.同时也把三个字母问题变成了两个字母问题.但要进一步探寻y, z之间的关系, 还必须再一次从条件入手, 消去x, 得到 (y-2) 2+ (z+2) 2≤2.从而为应用圆的参数方程、换元引参, 转化成三角函数创设了条件.将问题转化为熟悉的三角函数求最值问题, 降低了难度.

例2 正实数x1, x2及函数f (x) 满足$a{}^x=\frac{1+f(x)}{1-f(x)},(a>1)$, 且f (x1) +f (x2) =1, 则f (x1+x2) 的最小值为.

解析:先由已知条件解出$f(x)=\frac{a{}^x-1}{a{}^x+1}$, 又由f (x1) +f (x2) =1可得:$a{}^{x{}_1}=\frac{a{}^{x{}_2}+3}{a{}^{x{}_2}-1}$, 所以$f(x{}_1+x{}_2)=\frac{a{}^{x{}_1+x{}_2}-1}{a{}^{x{}_1+x{}_2}+1}=1-\frac{2}{a{}^{x{}_1}a{}^{x{}_2}+1}=1-\frac{2}{\frac{a{}^{x{}_2}+3}{a{}^{x{}_2}-1}a{}^{x{}_2}+1}=1-\frac{2}{(a{}^{x{}_2}-1)+\frac{4}{a{}^{x{}_2}-1}+6}\ge 1-\frac{2}{2\sqrt{(a{}^{x{}_2}-1)\frac{4}{a{}^{x{}_2}-1}}+6}=1-\frac{2}{10}=\frac{4}{5}$.当且仅当$a{}^{x{}_2}-1=\frac{4}{a{}^{x{}_2}-1}$即ax2-1=2时等号成立.所以当x1=x2=loga3时, $f(x{}_1+x{}_2){}_{\min }=\frac{4}{5}.$

评注:涉及到多元变量及其最值的不等式应用问题, 一般常见的解题方法为:换元转化、应用均值不等式或转化成函数 (一般必须通过降元化简) 应用单调性或导数等.对于选择填空类问题常可以应用特殊化思想猜想结论, 再模拟最值等.本题的求解过程就是通过变形转化, 创造条件应用不等式.

二、“三个二次”问题

所谓“三个二次”问题就是指一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数的简称, 它是中学数学的传统内容, 也是主要的基础知识.在探求此类问题时, 如果能灵活地应用它们之间的相互转化、密切配合这一特点, 常可以化难为易.

例3 已知二次函数f (x) 的二次项系数a<0, 且不等式f (x) >-x的解集为 (1, 2) , 若f (x) 的最大值为正数, 则a取值范围为____.

解析:由条件不等式f (x) >-x的解集为 (1, 2) .可设f (x) +x=a (x-1) (x-2) , (a<0) .所以$f(x)=a(x-1)(x-2)-x=ax{}^2-(3a+1)x+2a=a(x-\frac{3a+1}{2a}){}^2-\frac{(3a+1){}^2}{4a}+2a$.其最大值为$-\frac{(3a+1){}^2}{4a}+2a>0$, 所以有8a2< (3a+1) 2即a2+6a+1>0, 解得

$a<-3-2\sqrt{2}$或$a>-3+2\sqrt{2}$.又a<0.所以$a\in (-\infty ,-3-2\sqrt{2}){\displaystyle \cup (}-3+2\sqrt{2},0).$

评注:本题在求解过程中先由条件不等式得到函数关系式, 再由函数性质得到不等式, 其显示了二次不等式与二次函数的转化关系.

例4 设二次函数f (x) =ax2+bx+c (a, b, c∈R且a≠0) .若函数y=f (x) 的图像与直线y=x和y=-x均无公共点.

(1) 求证:4ac-b2>1.

(2) 求证:对一开始实数x恒有$|ax{}^2+bx+c|>\frac{1}{4|a|}.$

解析: (1) 由题设条件得方程ax2+bx+c=x和ax2+bx+c=-x均无实根, 即

(b-1) 2-4ac<0 ①

且 (b+1) 2-4ac<0 ②

由①+②得 4ac-b2>1.

(2) 由4ac-b2>1知$a(x+\frac{b}{2a}){}^2$与$\frac{4ac-b{}^2}{4a}$同号, 所以$|ax{}^2+bx+c|=|a(x+\frac{b}{2a}){}^2+\frac{4ac-b{}^2}{4a}|=|a(x+\frac{b}{2a}){}^2|+|\frac{4ac-b{}^2}{4a}|\ge |\frac{4ac-b{}^2}{4a}|>\frac{1}{4|a|}.$

评注:二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是不可分割的一个整体, 函数中蕴含着方程和不等式的性质, 而方程中常常表现出不等式及函数的特点.

三、代数逻辑推理问题

例5 设x1, x2是函数f (x) =2007x定义域内的两个变量, 且x1<x2, 若$\alpha =\frac{1}{2}(x{}_1+x{}_2)$, 那么下列不等式恒成立的是 ( )

(A) |f (α) -f (x1) |>|f (x2) -f (α) |

(B) |f (α) -f (x1) |<|f (x2) -f (α) |

(C) |f (α) -f (x1) |=|f (x2) -f (α) |

(D) f (x1) f (x2) >f2 (α)

解析:由f (x) =2007x是定义在R上的增函数, 且当x1<x2时, $x{}_1<\frac{x{}_1+x{}_2}{2}=\alpha <x{}_2$, 所以, $|f(\alpha )-f(x{}_1)|=2007{}^{\frac{x{}_1+x{}_2}{2}}-2007{}^{x{}_1}=2007{}^{\frac{x{}_1}{2}}(2007{}^{\frac{x{}_2}{2}}-2007{}^{\frac{x{}_1}{2}})$;又$|f(x{}_2)-f(\alpha )|=2007{}^{x{}_2}-2007{}^{\frac{x{}_1+x{}_2}{2}}=2007{}^{\frac{x{}_2}{2}}(2007{}^{\frac{x{}_2}{2}}-2007{}^{\frac{x{}_1}{2}})$, 而$2007{}^{\frac{x{}_2}{2}}>2007{}^{\frac{x{}_1}{2}}$, 则有|f (α) -f (x1) |<|f (x2) -f (α) |.

评注:本题是一道函数与不等式的小综合问题, 其考察的重点是代数逻辑推理能力.通过上述求解过程可以看出解决此类问题的关键是变形转化, 探寻出推理时所需的条件及条件与结论联系的纽带.

例6 函数f (x) 的定义域为[0, 1]且f (0) =f (1) , 当x1, x2∈[0, 1], x1≠x2时, 都有

|f (x1) -f (x2) |<|x1-x2|, 求证:$|f(x{}_1)-f(x{}_2)|<\frac{1}{2}.$

证明:不妨设0≤x1<x2<1, 由题设条件的性质, 现必须分为以下两种情况讨论:若$x{}_2-x{}_1\le \frac{1}{2}$, 则$|f(x{}_2)-f(x{}_1)|<|x{}_2-x{}_1|\le \frac{1}{2},\therefore |f(x{}_2)-f(x{}_1)|<\frac{1}{2}$;若$x{}_2-x{}_1>\frac{1}{2}$时, 由f (0) =f (1) 可得

$\begin{array}{l}|f(x{}_2)-f(x{}_1)|=|f(x{}_2)-f(1)+f(0)-f(x{}_1)|\le |f(x{}_2)-f(1)|+\\ |f(x{}_1)-f(0)|\le (1-x{}_2)+(x{}_1-0)=1-(x{}_2-x{}_1)<1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.\end{array}$

评注:创设条件、分类讨论是求解代数逻辑推理问题常用的思想方法.

四、字母范围及恒成立问题

例:已知集合A={x||x-a|<ax, a>0}, 若f (x) =sinπx-cosπx是A上单调递增函数, 求a的取值范围.

解析:由|x-a|<ax得-ax<x-a<ax, 所以

$\{\begin{array}{l}(1+a)x>a\\ (1-a)x<a\end{array}$

, 当0<a<1时, 集合$A=(\frac{a}{1+a},\frac{a}{1-a})$, 当a≥1时, $A=(\frac{a}{1+a},+\infty )$, 又$f(x)=\sin \text{π}x-\cos \text{π}x=\sqrt{2}\sin (\text{π}x-\frac{\text{π}}{4})$的单调增区间为$[2k-\frac{1}{4},2k+\frac{3}{4}],(k\in \mathbf{{\rm Z}})$, 显然当a≥1时, f (x) 在集合A上不可能是单调递增函数, 因此0<a<1, 要使f (x) 在$A=(\frac{a}{1+a},\frac{a}{1-a})$上是增函数, 只有$A\subset [-\frac{1}{4},\frac{3}{4}]$才可.所以0<a<1且$\frac{a}{1-a}\le \frac{3}{4}$, 解得$0<a\le \frac{3}{7}$.故所求实数a的范围为$(0‚\frac{3}{7}].$

评注:字母范围的探求问题其实质上是利用集合关系、函数性质、不等式等建立和求解不等式.本题就是把绝对值不等式、三角函数性质、集合的关系有机的结合起来的不等式应用问题.同时还常须注意分类讨论思想在解题中的应用.

例8 若对x∈ (-∞, -1]时, 不等式$(m{}^2-m)2{}^x-(\frac{1}{2}){}^x<1$恒成立, 求实数m的取值范围.

解析:这是一道不等式的恒成立问题, 先由已知不等式中分离出待求变量 (或含变量的关系式) 即:$m{}^2-m<\frac{2{}^x+1}{4{}^x}$.为了探求$\frac{2{}^x+1}{4{}^x}$的最小值, 现不妨设$t=(\frac{1}{2}){}^x$, 由x∈ (-∞,

-1], 所以t≥2.于是$\frac{2{}^x+1}{4{}^x}=t{}^2+t=(t+\frac{1}{2}){}^2-\frac{1}{4}\ge 6$, 所以m2-m<6.于是-2<m<3为所求.

评注:求解不等式恒成立问题除了上述所采用的分离参数求最值的方法外, 常常还可以利用函数的图像及性质、方程与不等式的有关性质求解等等.

3.课本题改编题练习(不等式) 篇三

□ 易雪梅

1. （必修5P71习题第5（2）题） 已知不等式x2-2x+k2-1＞0对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围.

1-1. （改编）解关于x的不等式12x2-ax＞a2（a∈R）.

1-2. （改编）已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，求实数a，b的值.

1-3. （改编）若不等式ax2+4x+a＞1-2x2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是.

1-4. （改编）若不等式x2+ax+3≥a对任意x∈［-2，2］恒成立，求a的取值范围.

2. （必修5P84习题第4题） 若x，y满足约束条件x+y-2≥0，x≤2，y≤2，求z=2x+y的最大值和最小值.

2-1. （改编）若实数x，y满足不等式组x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0，且x+y的最大值为9，则实数m=.

2-2. （改编）设不等式组x-y+8≥0，x+2y-19≥0，2x+y-14≤0表示的平面区域为D，若指数函数y=ax的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是.

2-3. （改编）若不等式组x≥0，x+3y≥4，3x+y≤4所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分，则k的值是.

2-4. （改编）已知2x+y-2≥0，x-2y+4≥0，3x-y-3≤0，求z=x2+y2的最值，并求出z取得最值时x，y的值.

3. （必修5P88例2）已知函数y=x+，x∈（-2，+∞），

求此函数的最小值.

3-1. （改编）求函数y=x+（x≠0）的值域.

3-2. （改编）已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈（a，＋∞）上恒成立，则实数a的最小值为.

3-3. （改编）若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是.

3-4. （改编）若直线ax－by＋2＝0（a>0，b>0）和函数f（x）=ax+1+1（a>0且a≠1）的图像恒过同一个定点，则当＋取最小值时，函数f（x）的解析式是.

3-5. （改编）设a＞b＞0，则a2++的最小值是.

3-6. （改编）设a＞b＞c＞0，则2a2++-10ac+25c2的最小值是.

第Ⅱ部分（人教版教材）

□ 谢印智 张海军

1. （A版必修5P84习题A组第2（2）题） 比较+与+的大小.

1-1. （改编）下面结论：①若a＞0且a≠1，则loga（1+a）＞loga1+；②存在x∈R，使x＜x；③对任意的x∈R，存在m∈Z，使m2-m＜x2+x+1.其中正确结论的个数是（）

A. 0B. 1C. 2D. 3

1-2. （改编）当a＞-时，比较2a+lg（a+2）+6与3-lg2的大小.

1-3. （改编）已知数列{an}的通项公式为an=，求证数列{an}为递减数列.

1-4. （改编）若正整数m满足10m-1＜2512＜10m，则m= .（lg2≈0.301 0）

2. （B版必修5P78习题3.2B第2题）已知a，b∈（0，+∞），且3a+2b=2，求ab的最大值以及相应的a与b的值.

2-1. （改编）求函数f（x）=2+log2x+（0＜x＜1）的最值.

2-2. （改编）设x＞0，y＞0，且x2+=1，则x的最大值是 .

2-3. （改编）已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an，使得=4a1，则+的最小值为（）

A. B. C. D.

2-4. （改编）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）

A. 3 B. 4C. 5 D.

2-5. （改编）若实数x，y满足4x+4y=2x+1+2y+1，则t=2x+2y的取值范围是（）

A. 0＜t≤2 B. 0＜t≤4

C. 2＜t≤4 D. t≥4

2-6. （改编）已知函数f（x）=|lgx|.若a≠b且f（a）=

f（b），则a+b的取值范围是（）

A. （1，+∞）B. ［1，+∞）

C. （2，+∞）D. ［2，+∞）

3. （A版必修5P90习题A组第4题）已知 A={x|x2＜16}，B={x|x2-4x+3＞0}，求A∪B.

3-1. （改编）已知不等式x2-3x-4＜0的解集为A，不等式x2+x-6＜0的解集为B，不等式x2+ax-b＜0的解集为A∩B，则a-b等于（）

A. 1 B. 3C. -3 D. -4

3-2. （改编）已知函数f（x）=x2，g（x）=x-1，若存在x∈R使f（x）＜bg（x），求实数b的取值范围.

3-3. （改编）已知函数f（x）=x2+1，x≥0，1，x＜0，则满足不等式f（1-x2）＞f（2x）的取值范围是 .

4. （B版必修5P103习题3.5B第3题）已知二次函数f（x）的图像过原点，且-1≤f（-1）≤2≤f（1）≤4，求

f（-2）的取值范围.

4-1. （改编）已知平面区域如图1，z=-mx-y（m＜0）在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m的取值为（）

A. B. -C. 2 D. -2

4-2. （改编）若关于x，y的不等式组x-y≤1，2x+y≥1，ax+y≤2表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是

.

4-3. （改编）已知关于x的方程x2+（1+a）x+1+a+b=0（a，b∈R）的两根分别为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，则的取值范围是 .

4-4. （改编）设x，y满足约束条件2x-y+2≥0，8x-y-4≤0，x≥0，y≥0，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为（）

A. 2B. 4C. 6D. 8

4-5. （改编）已知实数x，y满足条件x-y+2≥0，x+y-4≥0，2x-y-5≤0，求z=|x+2y-4|的最大值.

4-6. （改编）设不等式组y≤|x|，y≥0，-2≤x≤2表示平面区域D，区域D绕y轴旋转一周所得的几何体的体积V=

.

4-7. （改编）已知点M（a，b）在由不等式组x≥0，y≥0，x+y≤2确定的平面区域内，则点N（a＋b，a－b）所在平面区域的面积是（）

A. 8B. 4C. 2D. 1

第Ⅰ部分

1. 将一元二次不等式与相应的一元二次函数图像相结合，题干条件可转化为一元二次函数图像全在x轴上方.又由于抛物线开口向上，只需Δ=4-4•（k2-1）＜0，即k＜-或k＞.

1-1. 12x2-ax-a2＞0（4x+a）（3x-a）＞0x+•x-＞0.

①a＞0时，-＜，解集为xx＜-或x＞；

②a=0时，x2＞0，解集为{x|x∈R，x≠0}；

③a＜0时，-＞，解集为xx＜或x＞-.

说明 解一元二次不等式时最好不要机械地记结论，因为影响不等式解的因素很多，比如一元二次函数的开口、判别式、与轴交点的坐标等.为了避免顾此失彼，最好结合二次函数的图像来解决.

1-2. 结合对应一元二次函数图像可知a＞0，且x1=1与x2=b是方程ax2－3x＋2=0的两个实数根，且b>1.由根与系数的关系，得1+b=，1•b=，解得a=1，b=2.

1-3. 原不等式可化为（a+2）x2+4x+a-1＞0.此时二次项系数带有参数，应讨论其是否为0.显然a=-2时不等式不是恒成立，所以要使不等式对于任意的x均成立，必须有a＋2＞0，且Δ=16-4（a+2）（a-1）<0，解得a＞2.

1-4. 令f（x）=x2+ax+3=x+2+3-.

①当－＜－2，即a＞4时，［f（x）］min＝f（－2）＝－2a＋7，由－2a＋7≥a，得a≤，所以a∈；

②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，［f（x）］min＝3－，由3－≥a，得－6≤a≤2，所以－4≤a≤2；

③当－＞2，即a＜－4时，［f（x）］min＝f（2）＝2a＋7，由2a＋7≥a，得a≥－7，所以－7≤a＜－4.

综上，a∈［-7，2］.

2. 当x=0，y=2时，目标函数z=2x+y取得最小值2；当x=2，y=2时，目标函数z=2x+y取得最大值6.

2-1. 1. 说明 本题是常规线性规划问题的逆问题.

2-2. 作出区域D，如图2中阴影部分，联系指数函数y=ax的图像，能够看出当图像经过区域的边界点B（1，9）时，a可以取到最大值9；当图像经过区域的边界点C（3，8）时，a可以取到最小值2.所以a∈［2，9］.

2-3. . 说明 这是一道略微灵活的线性规划问题.

2-4. 目标函数z=x2+y2不是线性函数，但具有特定的几何意义：表示区域上的点到原点的距离的平方.

作出可行域（如图3中阴影部分），易知在这个区域中，点C到原点O的距离最远，即z的最大值是22+32=13，这时x=2，y=3.又过点O作直线AB：2x+y-2=0的垂线，知垂足为D，，故在点D到原点的距离最近，即z的最小值是+=，此时x=，y=.

说明 此题是线性规划问题的推广.实际上，只要目标函数具有某种特定的几何意义，都可以用数形结合的方法来完成.如线性规划问题中的目标函数可以联系直线在y轴上的截距，本题中的目标函数可以联系两点间的距离.又如目标函数z=可以联系可行域内的点与定点（2，1）连线的斜率.由此可见，线性规划问题的本质就是数形结合.

3. 6. 3-1. （-∞，-4］∪［4，+∞）.

说明 若a＜0，b＜0，则根据基本不等式可以得到a+b=-［（-a）+（-b）］≤-2=-2.

3-2. 因为x＞a，所以2x＋＝2（x－a）＋＋2a≥2＋2a＝2a＋4.由题意，2a＋4≥7，所以a≥，即a的最小值为.

3-3. 因为x＞0，所以x+≥2（当且仅当x=1时取等号），所以有=≤=.由题意，得a≥.

3-4. 函数f（x）=ax+1+1的图像恒过定点（－1，2），故a+b=1.

则+=a+b+=++≥+，当且仅当b=a时取等号.将b=a代入a+b=1，得a=2-2，故f（x）=（2-2）x+1+1.

3-5. a2++＝a2-ab+ab++=ab++a（a-b）+≥2+2=4，当且仅当ab＝1，a（a－b）＝1时等号成立.如取a＝，b＝满足条件.

3-6. 4.

第Ⅱ部分

1. 平方作差，+＞+.

1-1. loga（1+a）-loga1+=1，所以①正确；=x，当x＜0时，x＜1，所以②正确；对于任意的x∈R，x2+x+1的最小值为，而当m=1时，m2-m=0，所以③正确.答案为D.

1-2. 作差，2a+lg（a+2）+6＞3-lg2.

1-3. an+1=， 所以==.

因为2（2n2+n-1）-（2n2+n）=2n2+n-2，而当n≥1时，2n2+n-2＞0，所以2（2n2+n-1）＞2n2+n＞0.

所以＜1，即an+1＜an，所以{an}为递减数列.

1-4. 115.

2. 由2=3a+2b≥2，得ab≤.由3a=2b，ab=，解得a=，b=.

2-1. 无最小值，最大值为2-2.

2-2. . 2-3. A.

2-4. x+2y=8-x•（2y）≥8-2，整理得（x+2y）2+4（x+2y）-32≥0，即（x+2y-4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4，故选B.

2-5. 由2x+2y≤2＝2，解得t≤4.又（2x）2+（2y）2=2（2x+2y）=（2x+2y）2-2•2x•2y，得2t=t2-2x+y+1＜t2，解得t＞2.故选C.

2-6. 不妨设a＜b，根据图像可得0＜a＜1，b＞1.由

f（a）=-lga，f（b）=lgb，所以lgab=0，即ab=1，故a+b≥2=2.又由于a≠b，所以选C.

说明 若a＞0，b＞0，则［a，b］min≤≤≤≤≤［a，b］max，这个不等式组及其变形在求最值时有着广泛的应用.

3. {x|-4＜x＜1或3＜x＜4}. 3-1. C.

3-2. 存在x∈R使x2-bx+b＜0， 则Δ=（-b）2-4b＞0，解得b＜0或b＜4.

3-3. 当x=-1时，无解；当-1＜x≤0时，1-x2＞0，f（1-x2）＞f（2x）化为（1-x2）2+1＞1，恒成立；当0＜x≤1时，1-x2≥0，2x＞0，f（1-x2）＞f（2x）化为（1-x2）2+1＞（2x）2+1，即0＜x＜-1；当1-x2＜0时，无解.

综上，答案为-1＜x＜-1.

4. ［-1，10］.

4-1. 当直线y=-mx-z与直线AB重合时满足题目要求，此时-m==，故答案为B.

4-2. -1＜a＜2.

4-3. 设f（x）=x2+（1+a）x+1+a+b，若满足f（x）有两个零点x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，只需x1+x2＞0，f（1）＜0，f（0）＞0，即-1-a＞0，2a+b+3＜0，a+b+1＞0.画出可行域，可看成可行域内的点（a，b）与点（0，0）连线的斜率，可得答案为-，.

4-4. B.

4-5. 将目标函数z=|x+2y-4|转化为z=•，问题化归为求可行域内的点（x，y）到直线x+2y-4=0距离的最大值，画出可行域，易得答案为21.

4-6. .

4-7. 由题意得a≥0，b≥0，a+b≤2.设m=a+b，n=a-b，得a=，b=，所以线性约束条件可转化为m+n≥0，m-n≥0，m≤2.如图4，求得阴影部分的面积S=4.故答案为B.

4.不等式性质练习题 篇四

一、选择题

1、已知ab0，下列不等式恒成立的是（）

A.a2

b2

B.ab1C.1111

abD.ab2、已知a0,b1，下列不等式恒成立的是（）

A.a

ababB.aaaaaab2baC.bb2aD.bab3、若a,b,c,d四个数满足条件：1dc;2abcd;3adbc，则（）

Ab.cdaB.adc bC.dba cD.bdc a4、如果a,b,c满足cba,且ac0,则以下选项中不一定成立的是（）

A.abacB.cba0C.cb2ab2D.acac05、下列命题中正确的是（）

Aa.b,kN*akbkB.ab,c1

c1c1

ba

C.ab,cdab

cd2

D.ab0,cd0abdc6、如果a,b是满足ab0的实数，则（）

A.ababB.aa bC.aa b

D.abab

7、若a0,b0,则不等式b1

x

a的解为（）

A.1bx0或0x1aB.111111axbC.xa或xbD.xb或xa

二、填空题

8、若m0,n0,mn0,则m,n,m,n的大小关系为

9、若1ab1,2c3,则abc的取值范围是

10、若0a1,给出下列四个不等式，其中正确的是

1○

1log111a111a1aloga1a○2loga1alogaa

a1a

○3aa○4aaa11、已知三个不等式：1ab02

cad

b

3bcad，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可以组成个正确的命题。、设x,y为实数，且满足3xy2

8,4x2y9,则x3

12y

4的取值范围是

三、解答题、（1）设2a3,4b3,求ab,ab,ab2

13b,ab,a的取值范围。

（2）设二次函数fx的图像关于y轴对称，且3f11,2f23,求f3的最大值和最小值。

14、（1）已知

1a0,A1a2,B1a211

2,C1a,D1a，试将A,B,C,D按从小到大的顺序排列，并说明理由。

bc0,比较aabbcc

与abc

abc

（2）已知a3的大小。

15、火车站有某公司待运的甲种货物1530t,乙种货物1150t。现用A,B两种型号车厢共50节

运送这批货物。已知35t甲种货物和

5.不等式组练习题2 篇五

3x32x1x,23 1[x2(x3)]1.2

x15x3,22.若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围． 2x2xa3

3.某零件制造车间有20名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．

(1)若此车间每天所获利润为y(元)，用x的代数式表示y．

6.初一下学期数学不等式练习题 篇六

1、在数轴上表示不等式 ≥-2的解集，正确的是( )

A B C D

2、下列叙述不正确的是( )

A、若x<0，则x2>x B、如果a<-1，则a>-a

C、若 ，则a>0 D、如果b>a>0，则

3、代数式1-m的值大于-1，又不大于3，则m的取值范围是( )

4、不等式 的正整数解为( )

A.1个 B.3个 C.4个 D.5个

5、不等式组 的整数解的和是 ( )

A.1 B.2 C.0 D.-2

6、若 为非负数，则x的取值范围是( )

A.x≥1 B.x≥-1/2 C.x>1 D.x>-1/2

7、下列各式中是一元一次不等式的是( )

A.5+4>8 B.2x-1 C.2x-5≤1 D.1/x-3x≥0

8、若│a│>-a,则a的取值范围是( )

A. a>0 B.a≥0 C.a<0 D.自然数

9、不等式组 的解集是( )

10、如果关于x、y的方程组 的解是负数，则a的取值范围是

A.-45 C.a<-4 D.无解

11、若关于x的不等式组 的解集是x>2a,则a的取值范围是

A. a>4 B. a>2 C. a=2 D.a≥2

12、若方程组 中，若未知数x、y满足x+y>0,则m的取值范围是

二、填空题

13、不等式2(1) x>-3的解集是 。

14、用代数式表示，比x的5倍大1的数不小于x的 与4的差 。

15、若(m-3)x<3-m解集为x>-1,则m .

16、三角形三边长分别为4，a，7，则a的取值范围是

17、若不等式组 的解集为-1

18、某次个人象棋赛规定：赢一局得2分，平一局得0分，负一局得反扣1分。在12局比赛中，积分超过15分就可以晋升下一轮比赛，小王进入了下一轮比赛，而且在全部12轮比赛中，没有出现平局，问小王最多输 局比赛

三、计算题

19、解下列不等式(组)

(1)5(x+2)≥1-2(x-1) (2)

20、关于x的不等式a-2x<-1的解集如图所示.求a.

四、解答题

21、某城市一种出租汽车起步价是10元行驶路程在5km以内都需10元车费)，达到或超过5km后，每增加1km，1.2元(不足1km，加价1.2元;不足1km部分按1km计)。现在某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付17.2元，则从甲地到乙地路程大约是多少?

22、若不等式组 的解集为-1

23、已知多项式a2-5a-7减去多项式a2-11a+9的差等于不等式5-4x<0的最小正整数解，求a的值。

24、一件由黄金与白银制成的首饰重a克,商家称其中黄金含量不低于90%,黄金和白银的密度分别是19.3 和10.5 ,列出不等式表示这件首饰的体积应满足什么条件.(提示:质量=密度×体积.)

25、某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆次,其中变速车保管费是每辆0.5元,一般车的保管费是每辆0.3元.

(1)一般车停次的辆次数为x,总的保管费为y元,试写出y与x的关系式;

(2)若估计前来停放的3500辆自行车中,变速车的辆次不小于25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.(8分)

26、某种客货车车费起点是2km以内2.8元.往后每增加455m车费增加0.5元.现从A处到B处,共支出车费9.8元;如果从A到B,先步行了300m然后乘车也是9.8元,求AB的中点C到B处需要共付多少车费?(10分)

27、为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备。现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：

A型 B型

价 格(万元/台) 12 10

处理污水量 (吨/月) 240 200

年消耗费 (万元/台) 1 1

经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元.

(1)请你设计该企业有几种购买方案;

(2)若该企业每月产生的污水量为2040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案;

7.一元一次方程和不等式巩固练习 篇七

A.（0，1） B.（-1，0）

C.（0，-1） D.（1，0）

2.把不等式组x+1>0x-1≤0的解集表示在数轴上，正确的表示为图中的（ ）.

A. B. C. D.

3.直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图1所示，则关于x的不等式k1x+b>k2x的解为（ ）.

A. x>-1

B. x<-1

C. x<-2

D.无法确定 图1

4.若不等式组5-3x≥0x-m≥0有实数解，则实数m的取值范围是（ ）.

A.m≤ B.m<

C.m> D.m≥

5.已知关于x的不等式kx-2>0（k≠0）的解集是x<-3，则直线y=-kx+2与x轴的交点是__________.

6.如图2所示，在一块展示牌上整齐地贴着许多资料卡片，这些卡片的大小相同，卡片之间露出了三块正方形的空白，在图中用阴影标明，已知卡片的短边长度为10cm，想要配三张图片来填补空白，需要配边长为_______cm的正方形图片.

图2 图3

7.如图3，已知函数y=3x+b和y=ax-3的图象交于点P（-2，-5），则根据图象可得不等式3x+b>ax-3的解集是_______________.

8.如图4，一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2的图象相交于A（3，2），则不等式（k2-k1）x +b2-b1>0的解集为__________. 图4

9.如果x，y满足不等式组x≤3x+y≥0x-y+5≥0，那么你能画出点（x，y）所在的平面区域吗？

10.我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元则六折优惠.且甲乙两厂都规定一次印刷的数量至少是500份.

（1）分别求两个印刷厂收费y（元）与印刷数量x（份）的函数关系，并指出自变量x的取值范围.

8.一元一次不等式和分式练习题 篇八

1、已知2a和32a的值的符号相反，那么a的取值范围是：

2、.当m________时，不等式(2－m)x＜8的解集为x＞

82m

.3、生产某种产品，原需a小时，现在由于提高了工效，可以节约时间8%至15%，若现在所需要的时间为b小时，则____________< b <_____________.4、若干学生分宿舍，每间 4 人余 20 人，每间 8 人有一间不空也不满，则宿舍有（）间．

A、5 B、6C、7 D、8

5、x为何值时，代数式

6、设关于x的不等式组

2xm23x2m1

3(x1)的值比代数式

x13

3的值大.无解，求m的取值范围．

7、某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，•售价14.5万元．每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变．•现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元不高于200万元．

（1）该公司有哪几种进货方案？

（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？

8、当x时，分式

1a

1bx

x

4

x2

无意义；当x时，分式

x

4

x2的值为零．

9、已知3,求

2a3ab2ba2abb的值。

10、将分式

xy

中的x、y的值同时扩大3倍，则 扩大后分式的值（）

A.扩大3倍B.缩小3倍C.保持不变D.无法确定

11、关于x的方程

2x2



axx

4



3x2

会产生增根,则a的值。

12、一水池有甲乙两个进水管,若单独开甲、乙管各需要a小时、b小时可注满空池；现两管同时打开，那么注满空池的时间是()A．

2a2a1

1a



1b

B．

1ab

C．

x

1ab

D．

2x4x2

abab13、（1）(a1)

a1a2a

1（2）

2x4

x

(x2)

9.不等式的综合考点再解析 篇九

下面我们就从这部分主要的一些考点来谈谈对不等式复习的一些思考与再认识：

一、解不等式

在考试说明中，一元二次不等式的解法是C级要求，同学们要给予充分重视，核心方法是一元二次函数、方程与不等式之间的相互转化.

例1 （2009天津卷文）若关于x的不等式(2x－1)2

解析：易知a>0时，原不等式有解，所以原不等式等价于［(2+a)x－1］［(2－a)x－1］<0

由题意，2－a>0，所以0

所以3<12－a≤4，所以a∈(259,4916］．

点评：含有参数的不等式问题是高考常考题型，求解过程中要利用不等式的性质将不等式变形，转化为一元二次不等式的问题去解决，并注意参数在转化过程中对问题的影响．

二、线性规划

线性规划问题以求线性目标函数最值为主，同时应关注求参变量的取值范围，斜率和距离最值的命题趋势.

例2 定义max{a,b}=a(a≥b)b(a

解析：由题意，z=x+y,x+y≥2y－x2y－x,x+y<2y－x，又x，y满足|x|≤2，|y|≤2，

所以问题即转化为在|x|≤2,|y|≤2x+y≥2y－x 的条件下研究目标函数z=x+y的最小值和在|x|≤2,|y|≤2x+y<2y－x 的条件下研究目标函数z=2y－x的最小值，最后比较两个最小值中的较小者，不难发现答案为－3．

点评：适当转化后，本题的实质是一个两次线性规划问题．

三、不等式中的恒成立问题

恒成立问题一般采用分离参数的方法，同时要注意是否需要分类讨论.

例3 （南京期末调研试题）设a=x2－xy+y2,b=pxy,c=x+y,若对任意的正实数x,y,都存在以a,b,c为三边长的三角形,则实数p的取值范围是__________.

解析：由条件，易判断出c=x2+2xy+y2>a=x2－xy+y2，所以要存在以a,b,c为三边长的三角形，只需a+b>ca+c>b，

即x2－xy+y2+pxy>x2+2xy+y2x2－xy+y2+x2+2xy+y2>pxy，

即pxy>x2+2xy+y2－x2－xy+y2pxy

即p>x2+2xy+y2－x2－xy+y2xyp

即p>xy+yx+2－xy+yx－1pt+2－t－1p

p>3t+2+t－1

p

点评：本题初看无从下手，但细看还是一类恒成立问题，仍然采用分离参数的方法．另，此题最后阶段也可以通过研究关于t的函数的性质来确定p的范围

四、不等式的实际应用问题

不等式的实际应用问题一般涉及解不等式与基本不等式的应用.关注题意中的不等关系是解决这一类型问题的关键.

例4 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x（时）的关系为f(x)=|xx2+1－a|+2a+23,x∈［0,24］，其中a是与气象有关的参数，且a∈［0,12］，若用每天f(x)的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)．

（1）令t=xx2+1，x∈［0,24］，求t的取值范围；

（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

解：（1）当x=0时，t＝0；

当0

∴t=xx2+1=1x+1x∈(0,12］，

即t的取值范围是［0,12］．

（2）当a∈［0,12］时，记g(t)=|t－a|+2a+23

则g(t)=－t+3a+23,0≤t≤a

t+a+23,a

∵g(t)在［0,a］上单调递减，在(a,12］上单调递增，且g(0)=3a+23,g(12)=a+76,g(0)－g(12)=2(a－14)．

故M(a)=g(12),0≤a≤14

g(0),14

=a+76,0≤a≤14

3a+23,14

∴当且仅当a≤49时，M(a)≤2.

故当0≤a≤49时不超标，当49

点评：对于不等式应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题．

五、不等式的综合应用

基本不等式的应用的命题趋势较强，同时应关注利用基本不等式把等式转化为不等式，解此不等式求出最值的命题趋势.

例5 （常州期末调研试题）已知a，b，c均为正实数，记M=max｛1ac+b，1a+bc，ab+c｝，则M的最小值为__________．

解析：由题意，M≥1ac+bM≥1a+bcM≥ab+c，又(1ac+b)－(1a+bc)=(1－c)(1ac+b)

所以①当c≥1时，1ac+b≤1a+bc，

∴M≥1a+bc>1a+bM≥ab+c>ab+1，∴2M>1a+b+ab+1≥2ba+2ab≥4，∴M≥2

②当c<1时，1ac+b>1a+bc，M≥1ac+bM≥ab+c，

∴2M≥1ac+b+ab+c≥2bac+2acb≥4，

∴M≥2

综合①②，M的最小值为2．

点评：此题是求最大值的最小值问题，解题的突破口在将前两项首先比较，较大者再与第三项比较.

在复习不等式这个章节时，关注以上几个方面，特别是不等式的实际应用问题和不等式的综合应用．

10.不等式典型习题 篇十

2.已知关于x的不等式组xa0的整数解共有5个，则a的取值范围是.32x1

3.若不等式（3a－2）x＋2＜3的解集是x＜2，那么xab4．已知关于x的不等式组的解集为3≤x＜5，则a，b.2xa2b1

5.若不等式组4ax0无解，则a的取值范围是_______________．

xa50

6.若不等式组

11.四年级数学递等式练习题 篇十一

6480-259-141+320 4837-181+719 250×4+1050÷25 625÷25×4-25(480+33×14)÷157 48×25÷48×25(1408-45×24)÷41 518+171+482+129 329+78+271 59×4×25 3×125×13×8 96×125 4×301×25×3 326+326×99 104×73 23×(300+2)58+19×58 32×62+68×62 16×21×250 103×15 125×39-25×39 25×204 50×16×125

44×250 125×25×50×64(750+250)÷125×12 593+(356+207)567÷63+15×23 199×99+99 38×(209-87÷29)53×28+71×53+53 864÷[(2193-1457)÷23] 86×103+359 201×93

69×59+42×69-69 101×38-25×38×4 2310÷[235-160÷(18+22)](125+9)×8 25+34+375+166 328-(257-172)-143 356÷4×(470-362)(25+125)×32 54+99×99+45 14+14×52+53×86 18×69-18+32×18 36×25-25×20+16×75 125×88 904×(386-264)3150-9018÷18-107 204×35-846÷6 1961+49×67-18 23×98+23 40×(72+28)364-187+36-213 2048-567÷7×5 7×88×125 [2145-(517+388)]×24 25×125×48 27×24×25 77×56+1108(132-56)÷38 7200÷81×9 1001×999 [1128-(128+500)]÷25×2 101×49+250×8×4 78×32+67×32+78 [(576÷36)+14]×55 804×25 621÷21+102×15 476+249+324-49 5974÷103+(221-163)×18(25×125)×(27×32)125×72+25

12.不等式综合练习题 篇十二

一、选择题

1、若a,b是任意实数,且a＞b,则

（）（A）a2＞b

2（B）b11＜1

（C）lg(a-b)＞0

（D）()a＜()b a222、下列不等式中成立的是

（）

1+a≥2(a0)at111（C）＜(a＞b)

（D）a2≥at(t＞0,a＞0,a1)ab113、已知a >0,b >0且a +b=1, 则(21)(21)的最小值为

（）

ab（A）lgx+logx10≥2(x＞1)

（B）

(A)6

(B)7

(C)8

(D)9

4、已给下列不等式(1)x3+ 3 >2x(x∈R);(2)a5+b5> a3b2+a2b3(a ,b∈R);(3)a2+b2≥2(a－b－1), 其中正确的个数为

（）

(A)0个

(B)1个

(C)2个

(D)3个

5、f(n)= n21－n , (n)=(A)f(n)

(B)f(n)<(n)

(D)g(n)

（）2n

6、设x2+y2 = 1, 则x +y

（）

(A)有最小值1

(B)有最小值(C)有最小值－1

(D)有最小值－2

7、不等式|x＋5|＞3的解集是

（）(A){x|－8＜x＜8}

(B){x|－2＜x＜2}(C){x|x＜－2或x＞2＝

(D){x|x＜－8或x＞－2＝

8、若a，b，c为任意实数，且a＞b，则下列不等式恒成立的是

（）(A)ac＞bc

(B)|a＋c|＞|b＋c|

(C)a2＞b(D)a＋c＞b＋c x31x22x329、设集合M={x|≤0},N={x|x+2x-3≤0},P={x|()≥1},则有

（）x12（A）MN=P

（B）MNP

（C）M=PN

（D）M=N=P

10、设a,b∈R,且a+b=3,则2a+2b的最小值是

（）（A）6

（B）

42（C）22

（D）26

11、若关于x的不等式ax2＋bx－2＞0的解集是,11,，则ab等于（）23(A)－24

(B)24

(C)14

(D)－14

12、如果关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切实数x恒成立，则实数a 的取值范围是

（）(A)(,2]

(B)(,2)

(C)(2,2]

(D)(－2,2)

13、设不等式f(x)≥0的解集是[1，2]，不等式g(x)≥0的解集为，则不等式

f(x)0的解集是

（）g(x)(A)

(B)(,1)(2,)

(C)[1，2]

(D)R

14、xx的解集是

（）x2x(A)(－2,0)

(B)(－2,0)

(C)R

(D)(－∞,－2)∪(0,+ ∞)

15、不等式31x3的解集是

（）

3(A)(－∞,1)

(B)(33,1)

(C)(,1)

(D)R 4

4二、填空题

1、若x与实数列a1,a2,…,an中各数差的平方和最小,则x=________.2、不等式xlog1x21的解集是________.x3、某工厂产量第二年增长率是p1,第三年增长率是p2,第四年增长率是p3且p1＋p2＋p3=m(定值),那么这三年平均增长率的最大值是________.b224、a≥0,b≥0,a＋=1,则a1b的最大值是________.225、若实数x、y满足xy＞0且x2y=2,则xy＋x2的最小值是________.6、x＞1时，f(x)=x＋116x的最小值是________，此时x=________.2xx1

7、不等式log4(8x－2x)≤x的解集是________.8、不等式11的解集是________.xx412

329、命题①：关于x的不等式(a－2)x＋2(a－2)x－4＜0对xR恒成立;命题②：f(x)=－(12x－3a－a)是减函数.若命题①、②至少有一个为真命题,则实数a的取值范围是________.10、设A={x|x≥

三、解答题 1,xR},B={x|2x1＜3,xR＝,则D=A∩B=________.xx29x111、解不等式：2≥7.x2x

12、解不等式：x4－2x3－3x2＜0.3、解不等式：9x5≥－2.x25x624、解不等式：9x26xx2＞3.5、解不等式：x3x2＞x＋5.6、若x2＋y2=1，求(1＋xy)(1－xy)的最大、最小值。

7、若x,y＞0，求xyxy的最大值。

8、已知关于x的方程x2＋(m2－1)x＋m－2=0的一个根比－1小，另一个根比1大，求参数m的取值范围。

9、解不等式：loga(x＋1-a)>1.10解不等式8xx3.不等式练习答案

一、DADCB

DDDAB

BCBAB

二、1、321m(a1＋a2＋…＋an)2、0＜x＜1或x＞2 3、4、5、3

4n315)8、0＜x＜log23

9、-3＜x≤2 6、8,2＋

37、(0,log2210、－12≤x＜0或1≤x＜4

三、1、[－12,1]∪(1,43)

2、(－1,0)∪(0,3)

3、(－∞,2)∪(3,＋∞)

5、(－∞,－2313)6、1，347、28、－2＜m＜0

9、解：(I)当a>1时，原不等式等价于不等式组：x1a0，x1aa.解得x>2a-1.(II)当01时，不等式的解集为{x|x>2a-1}；

当0

或(2)8x08x(x3)2x30

由(1)得3x5212，由(2)得x＜3，故原不等式的解集为x|x5212 