高一数学教案：集合的表示方法

高一数学教案：集合的表示方法（共12篇）

1.高一数学教案：集合的表示方法 篇一

集合的概念和表示方法 教材分析

集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子．本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合． 教学目标

1.初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法． 2.初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质．

3.掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力． 任务分析

这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念．介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受．在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握． 教学设计

一、问题情境

1.在初中，我们学过哪些集合？ 2.在初中，我们用集合描述过什么？ 学生讨论得出：

在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集合”；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集． 在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．

3.“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？ 学生讨论得出： “全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”，„„ 4.请写出“小于10”的所有自然数．

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．这些可以构成一个集合． 5.什么是集合？

二、建立模型

1.集合的概念（先具体举例，然后进行描述性定义）

（1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．（2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素．（3）集合中的元素与集合的关系：

a是集合A中的元素，称a属于集合A，记作a∈A； a不是集合A中的元素，称a不属于集合A，记作aA． 例：设B＝｛1，2，3｝，则1∈B，4B． 2.集合中的元素具备的性质

（1）确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了．如上例，给出集合B，4不是集合的元素是可以确定的．（2）互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的． 例：若集合A＝｛a，b｝，则a与b是不同的两个元素．（3）无序性：集合中的元素无顺序．

例：集合｛1，2｝与集合｛2，1｝表示同一集合． 3.常用的数集及其记法

全体非负整数的集合简称非负整数集（或自然数集），记作N． 非负整数集内排除0的集合简称正整数集，记作N*或N+； 全体整数的集合简称整数集，记作Z；

全体有理数的集合简称有理数集，记作Q； 全体实数的集合简称实数集，记作R． 4.集合的表示方法 ［问 题］

如何表示方程x2－3x＋2＝0的所有解？（1）列举法

列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法． 例：x2－3x＋2＝0的解集可表示为｛1，2｝．（2）描述法

描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法． 例：①x2－3x＋2＝0的解集可表示为｛x｜x2－3x＋2＝0｝． ②不等式x－3＞2的解集可表示为｛x｜x－3＞2｝． ③Venn图法

例：x2－3x＋2＝0的解集可以表示为（1，2）． 5.集合的分类

（1）有限集：含有有限个元素的集合．例如，A＝｛1，2｝．（2）无限集：含有无限个元素的集合．例如，N．（3）空集：不含任何元素的集合，记作．例如，｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝＝． 注：对于无限集，不宜采用列举法．

三、解释应用 ［例 题］

1.用适当的方法表示下列集合．

（1）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数．（2）平面内到一个定点O的距离等于定长l（l＞0）的所有点P．（3）在平面a内，线段AB的垂直平分线．（4）不等式2x－8＜2的解集． 2.用不同的方法表示下列集合．（1）｛2，4，6，8｝．（2）｛x｜x2＋x－1＝0｝．（3）｛x∈N｜3＜x＜7｝．

3.已知A＝｛x∈N｜66－x∈N｝．试用列举法表示集合A．（A＝｛0，3，5｝）

4.用描述法表示在平面直角坐标中第一象限内的点的坐标的集合． ［练习］

1.用适当的方法表示下列集合．

（1）构成英语单词mathematics（数字）的全体字母．（2）在自然集内，小于1000的奇数构成的集合．（3）矩形构成的集合． 2.用描述法表示下列集合．（1）｛3，9，27，81，„｝．（2）

四、拓展延伸

把下列集合“翻译”成数学文字语言来叙述．（1）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝．（2）｛y｜y＝x2＋1，x∈R｝．（3）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝．（4）｛x｜y＝x2＋1，y∈N*｝． 点 评

这篇案例注重新、旧知识的联系与过渡，以旧引新，从学生的原有知识、经验出发，创设问题情境；从实例引出集合的概念，再结合实例让学生进一步理解集合的概念，掌握集合的表示方法．非常注重实例的使用是这篇案例的突出特点．这样做，通俗易懂，使学生便于学习和掌握．例题、练习由浅入深，对培养学生的理解能力、表达能力、思维能力大有裨益．拓展延伸注重数学语言的转化和训练，注重区分形似而质异的数学问题，加强了学生对数学概念的理解和认识．

2.高一数学教案：集合的表示方法 篇二

1在集合概念的教学中渗透抽象概括的思想

集合是一个不加定义的原始的概念, 教材给出的“一般地, 我们把研究对象统称为元素, 把一些元素 组成的总 体叫做集 合 (set) (简称为集) ”只是对集合的描述性说明.教材首先列出了8个背景例子让学生对比分析它们的共同特征, 从而抽象概括出元素和集合的含义.教学时, 教师要通过设置恰当的问题情境, 让学生自己通过讨论、交流概括出集合的含义, 切忌“一个定 义, 三项注意, 马上解题”的教学形式.此外通过本单元的教学, 还要使学生概括总结出学习一个新概念的一条主线:定义→表示→关注特殊元→两元关系及分类 (尤其是相等) →构造运算及性质→应用, 为以后的学习起到一个导向作用, 从而帮助学生形成认知结构, 发展元认知.

2在集合中元素的特征教学中渗透符号化思想

集合论的语言是数学的基本语言, 集合语言在数学的各领域中主要是以符号的形式出现, 这主要是利用了符号语言的高度概括性和简洁性.

例1已知集合A={x|y=x, x∈R}, B={ (x, y) |y=x, x∈R}, C={y|y=x2-2, x∈R}, D={ (x, y) |y=x2-2, x∈R}, E={y=x2-2}.求:

(Ⅰ) A∩C; (Ⅱ) B∩D; (Ⅲ) C∩E.

解 (Ⅰ) 集合A, C的代表元素分别是实数x, y, 集合A, C分别是函数y=x, y=x2-2的定义域和值域, 即A=R, C= (y|y≥-2}, 所以A∩C={y|y≥-2}.

(Ⅱ) 集合B, D的代表元素均为 (x, y) , 且 (x, y) 分别是直线y=x, 抛物线y=x2-2上的点.所以B∩D就是直线与抛物线的交点, 故B∩D={ (-1, -1) , (2, 2) }.

(Ⅲ) 集合C, E的代表元素一个是实数y, 一个是点 (x, y) , 所以两个集合没有相同元素, 故C∩E=Φ.

评析解集合问题时一定要分清其代表元素, 即分清集合的类型 (数集、点集、图形、定义域、值域、方程或不等式的解或解集等) .还要注意集合中元素的3个特性.

3在集合之间的关系教学中渗透类比的思想

由某类事物已有的性质, 以类比、联想的方式猜想另一类相似事物的性质, 是数学逻辑思考的重要思维方法.在集合单元教学中, 由学生比较熟悉的数的关系类比、联想集合之间的关系不失为学习集合的一种行之有效的方法.例如我们在教学中可以做以下类比: (1) 对于实数a, 有a≤a;对于集合A, 有AA; (2) 对于实数a, b, c, 若a≤b, 且b≤c, 则a≤c;对于集合A, B, C, 如果AB, 且BC, 则AC; (3) 对于实数a, b, a<b, a=b, a>b三式有且只有一式成立;对于集合A, B, AB, A=B, AB三式有且 只有一式 成立; (4) 两个实数的加、减、乘运算与两个集合的并、补、交; (5) 实数中的特殊元0与集合中的特殊元Φ.通过类比学习, 加深学生对概念的理解和记忆.

例2设集合, 则 () .

(A) M=N (B) MΦN

(C) M∪N (D) M∩N=Φ

解析联想到三角函数中集合A=, 表示终边在各象限平分线的角集, 集合B=表示终边在各象限平分线以及坐标轴 上的角集, 显然有AB, 类比此立刻可得正确答案应为B.

4在集合的图形表示中渗透数形结合的思想

教材中指出:为了形象地表示集合, 我们常常画一条封闭的曲线, 用它的内部来表示一个集合.把表示集合的图形也叫做文氏图.由于文氏图表示集合具有形象、直观的特点, 因此, 它是处理集合问题的重要工具之一.它不仅能帮助我们深刻理解与记 忆集合的 概念、运算公式及相互关系, 而且还能对一些数学问题进行合理、有效地分类与探求, 从而获得便捷、简明的解题途径.

例3已知全集U={30以内的质数}, 它的子集A, B满足求集合A, B.

解因为全集U={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}, 画出文氏图1.从图中立即求得A={3, 11, 19, 23}, B={2, 7, 11, 17, 19}.

5在3种语言的转译中渗透化归转化的思想

集合问题中的语言有3种:文字语言、符号语言、图形语言 (文氏图) .3种语言各有优缺点, 因此, 注意3种语言间的转译往往是寻求解题的关键所在, 但要注意转译的准确性.

例4设集合U = { (x, y) |x∈R, y∈R}, 集合A={ (x, y) |}, B={ (x, y) |y≠x+1}, 那么等于 () .

(A) Φ (B) { (2, 3) }

(C) (2, 3) (D) { (x, y) |y=x+1}

解析将符号语言转译成文字语言, 集合A是由直线y=x+1除去 (2, 3) 后的点组成的集合, 集合B是由坐标平面上不在直线y=x+1上的点组成的, 因此, A∪B是由坐标平面上除 (2, 3) 的点组成的, 它关于坐标平面上的点组成的集合U的补集.故选B.

6在研究集合的子集间关系的教学中渗透分类整合的思想

有些数学问题涉及的对象较复杂, 统一地解决有困难, 于是就将这些对象分成“不重不漏”的若干类, 然后逐类解决.这就是集合中的分类思想.

例5 (教材例3) 写出集合{a, b}的所有子集, 并指出哪些是它的真子集.

解析如果教师教学时就题论题, 就失去了一次渗透数学思想方法的机会.教学时先让学生自主解答, 再说出他们是如何思考的.学生可能漏写空集, 或者虽然写出了正确结果, 但有些乱等等.在此基础上教师引导学生分类写出子集和真子集.此题可按不同的标准分类.一是按子集中是否含有元素可分为空集和非空子集, 非空子集又可分为一元子集和二元子集.二是按子集中元素的个数分为零元子集 (空集) 、一元子集和二元子集.接着再让学生写出含三个元素集合的所有子集, 并观察、归纳、猜测出一般结论.

7在两个集合之间联系的教学中渗透对应的思想

有些数学问题需要我们求集合中元素的个数, 但由于计数的对象的特征不明显或混乱复杂难以直接计数, 这时可建立适当的映射将问题化归为容易计数的对象后再解决, 从而使问题化繁为简, 取得化难为易的效果.集合的这种对应思想有时可给解决问题带来很大的帮助.集合论的创始人康托尔就是利用集合的这一思想解决了几个特定集合是否可数的问题.如有理数是可数的, 实数是不可数的等.

例6把△ABC的各边n等分, 过各分点分别作各边的平行线, 得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形, 试计算这些平行四边形的个数.

解由对称性, 先考虑边不平行于BC的小平行四边形.如图2, 把AB边和AC边各延长一等分, 得B′, C′, 连B′C′.将AB′的n条平行线分别延长与B′C′相交, 则在B′C′共有n+2个点, 从B′到C′依次记为1, 2, …, n+2, 图中阴影所示的小平行四边形4边所在的4条直线分别交B′C′于i, j, k, l, 记

A={边不平行于BC的小平行四边形},

B={ (i, j, k, l) |1≤i<j<k<l≤n+2}.

现将小平行四边形的4条边延长且交B′C′边于4点的过程定义为一个映射f:A→B.

易知f是一一映射, 由|B|=C4n+2 (“|B|”表示集合B中元素的个数) 知|A|=C4n+2.

故得所有平行四边形的总数为3C4n+2.

评析这种通过建立一一对应关系而将所要解决的问题化难为易的办法, 是数学中的一种常用手法, 并且在计算集合中元素个数问题中发挥着极大的作用.利用好这种思想方法的关键是寻找适当的对应.

8在特殊集合空集的教学中渗透一分为二的思想

空集是一个特殊的重要集合, 它不含任何元素, 在解与集合相关的一类问题时, 由于思维定势的原因, 学生常将空集遗忘而使解答发生错误.空集有如下性质:ΦA, ΦA (A≠Φ) , A∩Φ=Φ, A∪Φ=A等, 因此, 如果题目中有:BA, A∩B=B, A∪B=A等条件时, 要注意B为空集的情形.为防止遗漏空集, 我们在教学中要善于运用一分为二的思想方法, 既要考虑集合为非空的情形, 又要注意集合可能为空集的情形, 深刻理解空集的含义, 重视空集的特殊性和重要作用, 养成缜密、全面思考问题的习惯, 以减少解题的失误.

例7已知A={x|2≤x≤6}, B={x|2a≤x≤a+3}.若BA, 则实数a的取值范围是 .

解由BA, 分两类:

1当B=Φ时, 得a+3<2a, 即a>3满足题意;

2当B≠Φ时, 得2a≥2, a+3≤6, 即1≤a≤3满足题意.

综上, 实数a的取值范围是a≥1.

评析本题在实际考查中错误率是很高的, 原因都是遗漏了B=Φ的情况.需要指出的是, 如果集合B用区间形式给出, 即B=[2a, a+3], 则隐含着B不可能是空集, 这点务必要让学生明白.

9在例习题的教学中渗透特殊与一般的思想

将待解问题看成特殊问题, 通过对它的一般形式问题的解决而得到原问题的解, 这种思想方法就是一般化思想.与此相反, 对于待解问题, 先解决它的特殊情况, 然后把解决特殊情况的方法或结果应用到一般情况, 使原问题获解的思想就是特殊化思想.

例8已知集合M满足{2, 5}MΦ{1, 2, 3, 4, 5}, 则不同的M的个数是 .

解用枚举法可写出符合条件的集 合{2, 5}, {2, 5, 1}, {2, 5, 3}, {2, 5, 4}, {2, 5, 1, 3}, {2, 5, 1, 4}, {2, 5, 3, 4}.所以不同的M个数是7个.

评析如果我们令集合M=N∪{2, 5}, 且N∩{2, 5}=Φ, 则ΦN{1, 3, 4}, 这样不同的集合N与不同的集合M构成一一对应, 它们的个数就是集合{1, 3, 4}的真子集的个数, 即23-1=7个.将此结论进一步推广可得

1若集合M满足, 则不同的M的个数是2n个.

2若集合M满足则不同的M的个数是2n-1个.

3若集合M满足则不同的M的个数是2n-1个.

4若集合M满足则不同的M的个数是2n-2个.

再特殊化, 当m=0时, 集合{a1, a2, …, am}可认为是Φ, 上述4个结论分别对应:含n个元素的集合, 它有子集2n个;真子集2n-1个;非空子集2n-1个;非空真子集2n-2个.

10从反面入手渗透补集思想

对于某些问题, 如果从正面求解较困难或较繁, 则可以考虑从问题的反面入手, 采用“顺繁则逆”, “正难则反”的解题策略, 这就是将研究对象的全体视为全集, 求出使问题反面成立的集合A, A的补集即为所求.

例9解不等式

教学实践证明, 该题学生能得出正确结果的很少.大多数学生的解法如下:

显然, 当x=1或2时, 原不等式也成立.

为什么会漏掉x=1和x=2这两个解呢?究其原因是忽视了原不等式中的“≥”号具有不等和相等双重性.如果运用补集思想来求解, 则可避免这种情况.

正解等价于不等式组解得x<1或2<x, 烆<3, 记A={x|x<1或2<x<3}, 因为原不等式的存在域是不等式x2-3x+2≥0的解集, 即U={x|x≤1, 或x≥2}, 故原不等式的解集为

当然上述思想方法要真正让学生领悟, 不是通过一两节课在一朝一夕完成的, 教师要在本章乃至整个高中数学教学过程中依照螺旋上升的原则, 有计划、有步 骤地逐步 渗透、介绍这些思想方法, 使学生在反复的体验和练习中逐步领悟它.

参考文献

[1]钱珮玲.数学思想方法与中学数学[M].北京:北京师范大学出版社, 2008.

[2]罗增儒.数学解题学引论 (第2版) [M].西安:陕西师范大学出版社, 2004.

[3]人民教育出版社中学数学室.普通高中课程标准实验教科书 (A版) ·数学1[M].北京:人民教育出版社, 2007.

[4]人民教育出版社中学数学室.普通高中课程标准实验教科书 (A版) ·数学1教师教学用书[M].北京:人民教育出版社, 2007.

3.谈集合的含义及表示 篇三

（1）1-20以内的所有质数；

（2）方程的所有实数根；

（3）不等式的所有解；

（4）所有的正方形；

组织学生分组讨论：这4个实例的共同特征是什么？ 它们都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？ 师生共同概括出实例的特征，并给出集合的含义。

1．集合中元素的性质：

仔细体会集合的含义，并根据上面提出的四个实例来回答以下问题：

在（1）中，你能说出这些数吗？4 是这个集合中的元素吗？11呢？15呢？

在（2）中，你能用图形语言描述这个集合吗？如图，点P是这个集合中的元素吗？点Q呢？

在（3）中，你能找到这个集合的元素吗？

通过上述三个问题，我们可以看到，当给定一个集合时，这个集合中的元素是否唯一确定呢？也就是说，能否确定一个元素在不在这个集合中呢？

根据课本内容，我们可以得知集合元素具有以下三种性质：

（1）确定性：集合中的元素必须是确定的。

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；

如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA．

（2）互异性：集合中的元素必须是互不相同的。

（3）无序性：集合中的元素是无先后顺序的。集合中的任何两个元素都可以交换位置。

2.集合的表示方法

（1）列举法：把集合的元素一一列举出来写在大括号的方法。

（2）描述法：用确定条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

学生对二者的表示时有混淆，利用以下练习进一步强化。

（1）下列各组对象不能形成集合的是（）

A、大于5的所有整数

B、高中数学的所有难题

C、被3整除的所有整数

D、函数y=x图像上所有的点

（2）若x∈R，则{3，x，x+3}中的元素x应满足什么条件？

（3）选择合适的方法来表示下列集合。

①小于5的正奇数

②15以内的质数

③平面坐标系中第Ⅰ、Ⅲ象限点的集合

④到（1，1）的距离等于2的点的集合

3、集合的分类

①有限集：含有有限个元素的集合。

②无限集：含有无限个元素的集合。

③空集：不含任何元素的集合。

4.高一数学教案：集合的表示方法 篇四

一、教学目标

（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；初步了解属于关系和集合相等的意义

（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

（3）熟记有关数集,培养学生认识事物的能力

二、教学重点

集合的基本概念与表示方法；

三、教学难点

运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；

四、教学过程

1、创设情境，引入新课

在小学和初中我们已经接触了一些集合，例如自然数的集合，有理数的集合，不等式x-7<3的解的集合，到一个定点的距离的定长的集合（即圆），到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即这条线段的垂直平分线）„„

那么集合的含义是什么呢？我们再来看看下面的一些例子：（1）1~20以内的所有质数

（2）2010年4月1日之前与我国建立外交关系的所有国家（2）所有的正方形

（3）高一<2>班的学生在上数学课（4）方程x2+3x-2=0的所有实数解 上面这些例子有什么共同的特征？

2、推进新课

（1）元素与集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。

（2）集合的性质

1确定性：○按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。

2互异性：集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象）○，相同的元素在集合中只能算作一个。

3无序性：集合中的元素间是无次序关系的。○（3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

练习：1.判断以下元素的全体是否组成集合

（1）大于3小于11的偶数。（2）我国的小河流。

2.说出集合A=｛a,b,c｝和集合B=｛b, a,c｝的关系。（4）集合与元素的表示：集合通常用大括号或大写的拉丁字母表示,如{1，2，3，4，5}与{高一（2）班的所有学生}，又如A、B、C、P、Q„„元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q„„

如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A。如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA 注：“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写。（4）几种特殊的数集

常用数集 简称 记法 全体非负整数的集非负整数集(或自然数N 合 集)

*N或N 非负整数内排除0的正整数集

集合

全体整数的集合 整数集 Z 全体有理数的集合

有理数集

Q 全体实数的集合 实数集 R（5）集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法 1自然语言：例1：小于10的所有自然数。○ 例2：高一（2）班的所有学生。

2列举法：就是把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方○法.例1：“地球上的四大洋”组成的集合。

例2：方程（x-1）(x+2)=0的所有实数根。

注：<1>不管元素的排列顺序如何，只要所列的元素完全相同，它们表达的就是同一个集合.<2>集合中的元素不能重复。练习：用列举法表示下列集合：（1）方程x2-5x+6=0的解集；（2）绝对值小于5的偶数；

（3）中心在原点，边与坐标轴平行，且边长为2的正方形的顶点.思考：能用列举法表示x-7<3的解集吗？

3描述法:就是把集合中的元素的公共属性描述出来，○写在大括号内表示集合的方法.这时往往在大括号内先写上这个集合的元素的一般形式，再画一条竖线，在竖线右边写上这个集合的元素的公共属性.例1：x-7<3的解集。例2：所有奇数的集合。

4图示法：就是用一条封闭的曲线的内部来表示集合的方法.○例1:图1-1表示任意一个集合A；图1-2表示集合{1，2，3，4，5}.3.课堂练习

用恰当的方式表示下列集合

（1）方程x2-2=0的所有实数根组成的集合。（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。

（3）一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合。

4.课堂小结

（1）本节主要学习了集合的基本概念、表示符号;一些常用数集及其记法；集合的元素与集合之间的关系；以及集合元素具有的特征。

（2）我们在进一步复习巩固集合有关概念的基础上，又学习了集合的表示方法。

6.作业

（1）复习：阅读课本，进一步熟悉巩固有关概念；（2）书面：课本P7习题1.1：2，3.（3）思考题:

5.高一数学教案：集合的表示方法 篇五

【教材分析】

集合语言是现代数学的基本语言，可以简洁、准确、规范的表达数学内容.本节学习集合的一些基本知识，用最基本的集合语言表示有关数学对象和数学问题等，并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换，初步运用集合的观点和思想来分析数学，解决简单的数学问题.本课是本节的第一课，也是同学们刚进入高中阶段的第一课.常言道“良好的开端是成功的一半”.本课主要是让学生从已有的集合知识和实际生活中的例子入手，体会集合的含义.集合作为一种基本的数学语言，学习并掌握它的最好方法是使用.因此，教学中要多引导学生使用集合语言描述对象，进行自然语言与集合语言间的转换.【教学目标】

1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题.2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题.3.在从实例理解集合的含义过程中，提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.4.在理解集合含义及特性过程中，运用元素分析法分析集合问题，提高学生分析问题和解决问题的能力.【教学重难点】

教学重点：集合的含义与表示方法.教学难点：选择恰当的方法表示一些简单的集合.【教学设计建议】

一、导入新课

1.生活中的集合现象：体育课的集合、军训的集合；蔬菜、水果、家电、服装等总称、整体现象.2.数学里的集合现象：整体、全体、所有等统称问题.【设计意图：从生活中和数学里已有的集合知识概括性的导入新课，学生体会到数学与生活的联系，激发学习兴趣】

二、探索新知

（一）、集合的含义

1、小学初中数学涉及到的“集合”

如:数集 所有整数、所有有理数、实数，方程（组）、不等式的解，几何中圆的轨迹、线段的垂直平分线等.2、再看一些生活实例P2（1）1～20以内所有的质数；

（2）我国从1991～2003年的13年内所发射的所有人造卫星；（3）金星汽车厂2003年生产的所有汽车；

（4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；（5）所有的正方形；

（6）到直线l的距离等于定长d的所有的点；（7）方程x2+3x－2=0的所有实数根；

（8）新华中学2004年9月入学的高一学生的全体.3、问题思考

（1）8个实例的共同特征.（2）具体分析每一个实例的元素和这些元素的全体所组成一个集合.4、归纳新知（1）集合的含义

一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称集）.（2）集合与元素的表示

①通常用大写拉丁字母A，B，C，„表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，„表示集合中的元素.②元素与集合的“属于”关系

如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA.③常用数集及其记法：非负整数（自然数集）N、正整数集N*或N＋、整数集Z、有理数集Q、实数集R.【设计意图：集合是一个原始的、不定义的概念，只是对集合进行描述性说明.在开始接触集合的时候，主要通过实例，让学生感知、了解，进而概括出元素与集合的含义.元素、集合的字母表示，以及元素与集合的“属于”或“不属于”关系，建议在运用中逐渐熟悉.】

（二）集合元素的特性（1）问题思考

①世界上最高的山能不能构成一个集合？世界上的高山能不能构成一个集合？

②由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？

③由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合是不是相同的集合呢？

（2）集合元素的特性

①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的.③无序性：集合中的元素是无先后顺序的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素可以交换位置.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.【设计意图：集合元素的特性及其中的约定通过实例的分析和思考，目的是让学生形成认知冲突，体会元素的确定性、约定元素的无序性和互异性的必要.】

（二）集合元素的特性（1）问题思考

①世界上最高的山能不能构成一个集合？世界上的高山能不能构成一个集合？ ②由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？

③由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合是不是相同的集合呢？

（2）集合元素的特性

①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的.③无序性：集合中的元素是无先后顺序的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素可以交换位置.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.（三）集合的表示方法（1）自然语言描述（2）大写字母表示（3）列举法

①问题引出：书上的例1如何表示集合引出列举法 例1怎样表示下列集合？

（1）小于10的所有自然数组成的集合;（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合;（3）由1~20以内的所有质数组成的集合.②列举法

把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{ }”括起来表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法.（4）描述法

①问题引出：你能用列举法表示 不等式x-73的解集吗? 数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合吗? ②描述法

在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注意：在不致混淆的情况下,描述法也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.【设计意图：集合的两种主要表示法，都通过学生对实例或问题的思考，去体验知识方法.不仅要让学生明白用列举法是集合最基本、最原始的表示方法，还要理解到集合中元素的列举与元素的顺序无关.通过问题的思考，学生认识到仅用列举法表示集合是不够的，有些集合是列举不完或者列举不出来的，由此说明学习描述法的必要性.学习描述法时，先用自然语言表示集合元素具有的共同属性，再介绍用描述法的具体方法.】

三、反思提升

（一）集合的含义及表示方法

（1）集合的含义（高中唯一不定义的概念，仅描述性说明含义）（2）表示方法：

字母表示法、自然语言描述、列举法、描述法

（二）自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象 自然语言描述集合简单易懂、生活化；列举法的特点每个元素一一列举出来，非常直观明显的表示元素，当元素有限或者元素有规律性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法.【设计意图：学生浸润在新课导入的情境中，对集合的新知进行探索后，有了较深刻的学习体验，通过对反思小结，提升集合的知识和方法，说明集合的表示方法各有优点，需要根据具体问题确定采用哪种表示方法，启发学生关注知识间的联系和区别，并能根据问题情境适时进行语言转换.】

四、反馈例练

（一）基础例练 书P5练习1、2 书P4例2.试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.（二）巩固例练

例1.下列各组对象不能组成集合的是()A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有整数 D.函数y=例2.用列举法表示下列集合:(1)小于5的正奇数组成的集合;(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;(3)方程x2-9=0的解组成的集合;(4){15以内的质数};(5){x|6Z,xZ}.3x1图象上所有的点 x例3.用描述法分别表示下列集合:(1)二次函数y=x2图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;(3)不等式2x-7<3的解集.(三)拓展例练

21.数集3,x,x2x中,实数x满足什么条件? 2.集合A中的元素由关于x的方程kx23x20的解构成,其中kR,若A中仅有一个元素,求k的值.3、集合A{x|xa2b,aZ,bZ},判断下列元素x0、121、1与集合A之间的关系.3

24、设集合Ax|x2m1,mZ与Bx|x2n1,nZ，试问集合A与B是同一集合吗?说明理由.5、集合A满足：若aA且a1，则

1A.1a①若2A，求集合A中其他元素.②证明：集合A不可能只有一个元素.1③证明：若aA且a1，则1A.a【设计意图：通过三种层次的反馈例练，由浅入深，逐渐达到运用新知的目的，同时反馈学生学习理解的程度，进行学习监控和补救.】

五、课后作业

课本P11习题1.1 A组1、2、3、4、5 B组1、2 建议校本教材辅助练习

【教学设计感悟】

6.高一数学集合与函数的概念 篇六

新人教Ａ版必修一教案系列

第一章集合与函数概念

一.课标要求：

本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁

性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力.函数是高中数学的核心概念，对变量数学的认识.1..2.不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3纳的逻辑思维能力.4.5, 培养学生从具6..7.能使用.8.学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法.9.了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象.10.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.11.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.12.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.3eud教育网 http://教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

13.通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.二.编写意图与教学建议

1.教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力.教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，.2.Venn图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念.要充分体现这种直

3.贯穿到以后的数学学习中.4.和数学中的广泛运用，.在教学中，一定要循序渐进，从繁到难，5..6.分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念.在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.7.教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的思维规律，有利于学生对函数概念学习的连续性.8.教材加强了函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.9.为了体现教材的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生实际,合理地取舍.三.教学内容及课时安排建议

本章教学时间约13课时。

1.1 集合4课时

1.2 函数及其表示4课时

1.3 函数的性质3课时

实习作业1课时

7.高一数学集合符号总结 篇七

定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元。任何集合是它自身的子集.元素与集合的关系：

元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。

集合的分类:

并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}

交集： 以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}

例如，全集U={1，2，3，4，5} A={1，3，5} B={1，2，5}。那么因为A和B中都有1,5，所以A∩B={1，5}。再来看看，他们两个中含有1,2,3,5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说A∪B={1，2，3，5}。图中的阴影部分就是A∩B。

无限集： 定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集

有限集：令N+是正整数的全体，且Nn={1，2，3，……，n},如果存在一个正整数n，使得集合A与Nn一一对应，那么A叫做有限集合。

差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差（集）

注:空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”.补集：属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈U,且x不属于A}

空集也被认为是有限集合。

例如，全集U={1，2，3，4，5} 而A={1，2，5} 那么全集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的补集。CuA={3，4}。

在信息技术当中，常常把CuA写成~A。

某些指定的对象集在一起就成为一个集合，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集，任何集合是它本身的子集，子集，真子集都具有传递性。

『说明一下：如果集合 A 的所有元素同时都是集合 B 的元素，则 A 称作是 B 的子集，写作 A ⊆ B。若 A 是 B 的子集，且 A 不等于 B，则 A 称作是 B 的真子集，写作 A ⊂ B。

回答人的补充 2009-07-17 16:29 集合的表示方法：常用的有列举法和描述法。

1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}

2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0

3.图式法（Venn图）﹕为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。

4.自然语言

常用数集的符号：

（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N

（2）非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作N+（或N*）

（3）全体整数的集合通常称作整数集，记作Z

（4）全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q

（5）全体实数的集合通常简称实数集，记作R

8.高一数学集合与简易逻辑2教案 篇八

教材：

1、复习

2、《课课练》及《教学与测试》中的有关内容

目的： 复习集合的概念；巩固已经学过的内容，并加深对集合的理解。过程：

一、复习：（结合提问）

1．集合的概念含集合三要素

2．集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法

3．集合的分类：有限集、无限集、空集、单元集、二元集

4．关于“属于”的概念

二、例一 用适当的方法表示下列集合：

1．平方后仍等于原数的数集

解：{x|x2=x}={0,1}

2．比2大3的数的集合解：{x|x=2+3}={5}

3．不等式x2-x-6<0的整数解集

解：{xZ| x2-x-6<0}={xZ|-2

4．过原点的直线的集合解：{(x,y)|y=kx}

5．方程4x2+9y2-4x+12y+5=0的解集

解：{(x,y)| 4x2+9y2-4x+12y+5=0}={(x,y)|(2x-1)2+(3y+2)2=0}={(x,y)|(1/2,-2/3)}

6．使函数y=

四、处理《课课练》

五、作业 《教学与测试》 第一课 练习题 1

x2x6有意义的实数x的集合解：{x|x2+x-60}={x|x2且x3,xR}

9.高一数学集合训练题及答案 篇九

1.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是

A.{x|x是小于18的正奇数}

B.{x|x=4k+1，kZ，且k5}

C.{x|x=4t-3，tN，且t5}

D.{x|x=4s-3，sN_，且s5}

解析：选D.A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7,11,15;B中k取负数，多了若干元素;C中t=0时多了-3这个元素，只有D是正确的.

2.集合P={x|x=2k，kZ}，M={x|x=2k+1，kZ}，S={x|x=4k+1，kZ}，aP，bM，设c=a+b，则有()

A.cP B.cM

C.cS D.以上都不对

解析：选B.∵aP，bM，c=a+b，

设a=2k1，k1Z，b=2k2+1，k2Z，

c=2k1+2k2+1=2(k1+k2)+1，

又k1+k2Z，cM.

3.定义集合运算：A_B={z|z=xy，xA，yB}，设A={1,2}，B={0,2}，则集合A_B的所有元素之和为()

A.0 B.2

C.3 D.6

解析：选D.∵z=xy，xA，yB，

z的取值有：10=0,12=2,20=0,22=4，

故A_B={0,2,4}，

集合A_B的所有元素之和为：0+2+4=6.

4.已知集合A={1,2,3}，B={1,2}，C={(x，y)|xA，yB}，则用列举法表示集合C=____________.

解析：∵C={(x，y)|xA，yB}，

满足条件的点为：

(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2).

10.高一数学教案：集合的表示方法 篇十

集合运算符号的记忆

主要知识点有3个.1 交集 并集 补集

▼

集合本身并没什么好考的，因为它是属于数论的范畴。为了考试需要，它需要一个搭档，那就是初等函数.所以一般你看到的集合题，其实都是伪集合题。事实上它考的是简单的二次函数的两根式、初等函数的值域、定义域等.既然是简单加初等，那就不会高到哪里去。显然，函数问题，需要坐标轴，然而集合一般涉及的只是单变量问题，所以只需要最简单的一维坐标轴就够了.【结论】

一维坐标、二次函数都是初中知识，对高中生而言，当然没有理由不会做.▼

【评价】

这道题集合了一般集合题可能会涉及到的多数问题.但归根到底是一道简单题.然而在实际测试中，错误率却相当高.问：为什么简单的问题还做错？

原因1：不懂概念（你需要的是一本教科书）；

原因2：没完全读懂题目，符号不认识；

原因3：做题不仔细（非常可惜）.【分析】

【解析】

重点回顾：

（1）基础概念，符号记忆（可以用联想记忆，不吐槽）.（2）做题方法，数形结合，一维坐标轴.（3）细节注意：①问题是求集合还是求元素个数；②集合元素是点，还是区间；③边界问题，等号是否可取.二

集合的自我修养

含参数的集合题.【注意】

▼ 后记

11.《集合的含义与表示》教学反思 篇十一

新课程倡导积极主动、勇于探索的学习方式。倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，以发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

一、教学策略：

《集合的含义与表示》这节课作为高中的起始课，其特点是概念多，符号多。教学任务是：使学生了解集合的含义，体会集合元素与集合的属于关系，知道数集及其专用符号，了解集合中元素的确定性、互异性、无序性，会用集合语言表示数学对象。针对教学任务及其特点，在教学过程中，我首先对集合及其创始人康托做了一个介绍，接着介绍了集合在数学中的基础地位，让同学们感到学好这堂课的重要性（目的是以学生为中心，充分调动学生的学习积极性）其次，通过一些问题引导学生阅读课本相关内容，并结合学生已有知识经验及课本知识让学生们举出生活中的一些例子，进而再举出数学中这样的例子（目的之一是通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的关系；二是让同学们体会数学知识来源于实践），对于集合中元素的特点这一教学难点的教学，我仍然采用一些学生熟悉的例子引导学生理解和掌握。在例题的选取上我结合学生的认知能力，多角度多层次的选择例题以使学生掌握本节知识。

二、教学中的不足

1、教学经验不足，对课堂的驾驭能力，对教材的把握及处理能力还需要加强。

2、对学生要加强信心的培养，作为起始课，树立学生学习数学的信心非常重要。以免在第一节课就令学生产生害怕和抵触心理。

12.高一数学集合的概念教学设计 篇十二

教学目的：

（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法

（2）使学生初步了解“属于”关系的意义

（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 教学重点：集合的基本概念及表示方法

教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

1．集合是中学数学的一个重要的基本概念，在小学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题。例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集，至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用。基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具。这些知识可以帮助认识学习本章的意义,也是本章学习的基础。

把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础。例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑

本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子。

这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念。

集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明

教学过程：

一、复习引入：

1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；

2．教材中的章头引言；

3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）；

4．“物以类聚”，“人以群分”；

5．教材中例子（P4）

二、讲解新课：

阅读教材第一部分，问题如下：

（1）有那些概念？是如何定义的？

（2）有那些符号？是如何表示的？

（3）集合中元素的特性是什么？

（一）集合的有关概念：

由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．

1、集合的概念

（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）

（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素

2、常用数集及记法

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合记作Z ,（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,（5）实数集：全体实数的集合记作R

注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括

数0

（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+、Q、Z、R等其它

3、元素对于集合的隶属关系

（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作

4、集合中元素的特性

（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可

（2）互异性：集合中的元素没有重复

（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）

5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q…… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q…… ⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写

三、练习题：

1、教材P5练习1、2

2、下列各组对象能确定一个集合吗？

（1）所有很大的实数（不确定）

（2）好心的人（不确定）

（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）

3、设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__

4、由实数x,－x,｜x｜,所组成的集合，最多含（A）

（A）2个元素（B）3个元素（C）4个元素（D）5个元素

四、小结：本节课学习了以下内容：

1．集合的有关概念：（集合、元素、属于、不属于）

2．集合元素的性质：确定性，互异性，无序性

3．常用数集的定义及记法

五、课后作业：

六、板书设计（略）

七、课后记：

八、附录：康托尔简介

发疯了的数学家康托尔（Georg Cantor，1845－1918）是德国数学家，集合论的创始者1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷

康托尔11岁时移居德国，在德国读中学1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期1867年以数论方面的论文获博士学位1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授

由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度在1874—1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论

康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院

真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世

集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础

康托尔创立了集合论作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础从而解决17世纪牛顿（I.Newton，1642－1727）与莱布尼茨（G.W.Leibniz，1646－1716）创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论所缺乏的逻辑基础和从19世纪开始，柯西（A.L.Cauchy，1789－1857）、魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass，1815－1897）等人进行的微积分理论严格化所建立的极限理论克隆尼克（L.Kronecker，1823－1891），康托尔的老师，对康托尔表现了无微不至的关怀他用各种用得上的尖刻语言，粗暴地、连续不断地攻击康托尔达十年之久他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔横加阻挠康托尔在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位使得康托尔想在柏林得到职位而改善其地位的任何努力都遭到挫折法国数学家彭加勒（H.Poi-ncare，1854－1912）：我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西集合论是一个有趣的“病理学的情形”，后一代将把（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了

德国数学家魏尔（C.H.Her-mann Wey1，1885－1955）认为，康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾菲利克斯．克莱因（F.Klein，1849－1925）不赞成集合论的思想数学家H．A．施瓦兹，康托尔的好友，由于反对集合论而同康托尔断交从1884年春天起，康托尔患了严重的忧郁症，极度沮丧，神态不安，精神病时时发作，不得不经常住到精神病院的疗养所

去变得很自卑，甚至怀疑自己的工作是否可靠他请求哈勒大学当局把他的数学教授职位改为哲学教授职位健康状况逐渐恶化，1918年，他在哈勒大学附属精神病院去世

流星埃．伽罗华（E.Galois，1811－1832），法国数学家伽罗华17岁时，就着手研究数学中最困难的问题之一一般π次方程求解问题许多数学家为之耗去许多精力，但都失败了直到1770年，法国数学家拉格朗日对上述问题的研

究才算迈出重要的一步伽罗华在前人研究成果的基础上，利用群论的方法从系统结构的整体上彻底解决了根式解的难题他从拉格朗日那里学习和继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化成或者归结为置换群及其子群结构的分析上同时创立了具有划时代意义的数学分支——群论，数学发展史上作出了重大贡献1829年，他把关于群论研究所初步结果的第一批论文提交给法国科学院科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著作1830年2月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了以参加科学院的数学大奖评选，论文寄给当时科学院终身秘书J．B．傅立叶，但傅立叶在当年5月就去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿1831年1月伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作当时的数学家S．K．泊松为了理解这篇论文绞尽了脑汁尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它1832年5月30日，临死的前一夜，他把他的重大科研成果匆忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶保存下来，从而使他的劳动结晶流传后世，造福人类1832年5月31日离开了人间死因参加无意义的决斗受重伤1846年，他死后14年，法国数学家刘维尔着手整理伽罗华的重大创作后，首次发表于刘维尔主编的《数学杂志》上

在小学中,就渗透了集合的初步概念,到了初中,更进一步应用集合的语言表述一些问题 例如,在代数中用到的有数集、解集等;在几何中用到的有点集 至于逻辑,可以说,从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用,基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中,也是认识问题、研究问题不可缺少的工具 这些可以帮助认识学习本章的意义,也是本章学习的基础

把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始,是因为在高中数学中,这些知识与其他内容有着密切联系,它们是学习、掌握和使用数学语言的基础 例如,下一章讲函数的概念与性质,就离不开集合与逻辑

本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手,引出集合与集合的元素的概念,并且结合实例对集合的概念作了说明 然后,介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法,还给出了画图表示集合的例子

这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念 学习引言是引发学生的学习兴趣,使学生认识学习本章的意义 本节课的教学重点是集合的基本概念

集合是集合论中的原始的、不定义的概念 在开始接触集合的概念时,主要还是通过实例,对概念有一个初步认识 教科书给出的“一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集 ”这句话,只是对集合概念的描述性说明

教学过程:

一、复习引入:

1.简介数集的发展,复习最大公约数和最小公倍数,质数与和数;

2.教材中的章头引言;

3.集合论的创始人——康托尔(德国数学家)(见附录);

4.“物以类聚”,“人以群分”;

5.教材中例子(p4)

二、讲解新课:

阅读教材第一部分,问题如下:

(1)有那些概念?是如何定义的?

(2)有那些符号?是如何表示的?

(3)集合中元素的特性是什么?

(一)集合的有关概念:

由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说,每一组对象的全体形成一个集合,或者说,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义:一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合.1、集合的概念

(1)集合:某些指定的对象集在一起就形成一个集合(简称集)

(2)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素

2、常用数集及记法

(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合 记作n，(2)正整数集:非负整数集内排除0的集 记作n*或n+

(3)整数集:全体整数的集合 记作z ，(4)有理数集:全体有理数的集合 记作q ，(5)实数集:全体实数的集合 记作r

注:(1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括

数0

(2)非负整数集内排除0的集 记作n*或n+ q、z、r等其它

数集内排除0的集,也是这样表示,例如,整数集内排除0 的集,表示成z*

3、元素对于集合的隶属关系

(1)属于:如果a是集合a的元素,就说a属于a,记作a∈a

(2)不属于:如果a不是集合a的元素,就说a不属于a,记作

4、集合中元素的特性

(1)确定性:按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在,不能模棱两可

(2)互异性:集合中的元素没有重复

(3)无序性:集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)

5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示,如a、b、c、p、q……

元素通常用小写的拉丁字母表示,如a、b、c、p、q……

⑵“∈”的开口方向,不能把a∈a颠倒过来写

三、练习题:

1、教材p5练习1、2

2、下列各组对象能确定一个集合吗?

(1)所有很大的实数(不确定)

(2)好心的人(不确定)

(3)1,2,2,3,4,5.(有重复)

3、设a,b是非零实数,那么 可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__

4、由实数x,-x,|x|, 所组成的集合,最多含(a)

(a)2个元素(b)3个元素(c)4个元素(d)5个元素

5、设集合g中的元素是所有形如a+b(a∈z, b∈z)的数,求证:

(1)当x∈n时, x∈g;

(2)若x∈g,y∈g,则x+y∈g,而 不一定属于集合g

证明(1):在a+b(a∈z, b∈z)中,令a=x∈n,b=0，则x= x+0* = a+b ∈g,即x∈g

证明(2):∵x∈g,y∈g，∴x= a+b(a∈z, b∈z),y= c+d(c∈z, d∈z)

∴x+y=(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d)

∵a∈z, b∈z,c∈z, d∈z

∴(a+c)∈z,(b+d)∈z

∴x+y =(a+c)+(b+d)∈g，又∵ =

且 不一定都是整数，∴ = 不一定属于集合g

四、小结:本节课学习了以下内容:

1.集合的有关概念:(集合、元素、属于、不属于)

2.集合元素的性质:确定性,互异性,无序性

3.常用数集的定义及记法

五、课后作业:

六、板书设计(略)