2024届高三数学一轮复习巩固与练习：推理与证明推理与证明

2024届高三数学一轮复习巩固与练习：推理与证明推理与证明（精选3篇）

1.2024届高三数学一轮复习巩固与练习：推理与证明推理与证明 篇一

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第6章《不等式与

推理证明》（第7课时）（新人教A版）

一、选择题

1．利用数学归纳法证明“1＋a＋a＋„＋a2n＋11－a＝(a≠1，n∈N＋)”时，在验证n1－an＋

2＝1成立时，左边应该是()

A．1B．1＋a

223C．1＋a＋aD．1＋a＋a＋a

2解析：选C.当n＝1时，左边＝1＋a＋a，故选C.2．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，该命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，则有()

A．当n＝4时，该命题成立

B．当n＝6时，该命题成立

C．当n＝4时，该命题不成立

D．当n＝6时，该命题不成立

解析：选C.因为当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，该命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立，所以当n＝5时，该命题不成立，则一定有n＝4时，该命题不成立．

111*3．设f(n)＝n∈N，那么f(n＋1)－f(n)＝()n＋1n＋2n＋n

11A.B.2n＋12n＋2

1111C.D.2n＋12n＋22n＋12n＋2

解析：选D.用数学归纳法证明有关问题时，分清等式两边的构成情况是解题的关键．显然，当自变量取n时，等式的左边是n项和的形式．

111f(n＋1)－f(n)＝＋＋„＋＋n＋1＋1n＋1＋2n＋1＋n

111111111－＋－.n＋1＋n＋1n＋1n＋2n＋n2n＋12n＋2n＋12n＋12n＋2

14．在数列{an} 中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()

311A.B.n－1n＋12n2n＋111C.D.2n－12n＋12n＋12n＋21解析：选C.由a1＝，Sn＝n(2n－1)an，3

得S2＝2(2×2－1)a2，即a1＋a2＝6a2，11∴a2＝，S3＝3(2×3－1)a3，153×

511即a3＝15a3.315

111∴a3＝，a4＝.故选C.355×77×9

5．下列代数式(其中k∈N)能被9整除的是()

kk－

1A．6＋6·7B．2＋7

k＋1k

C．2(2＋7)D．3(2＋7)

k

解析：选D.(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7)能被9整除．

*nn＋1

(2)假设当k＝n(n∈N)时，命题成立，即3(2＋7)能被9整除，那么3(2＋7)＝21(2n

＋7)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．

*

由(1)(2)知，命题对k∈N成立．

二、填空题

*235n－

16．用数学归纳法证明当n∈N时1＋2＋2＋2＋„＋2是31的倍数时，当n＝1时原式为________，从k→k＋1时需增添的项是____________．

解析：把n＝k，n＝k＋1相比较即可得出．

2345k5k＋15k＋25k＋35k＋

4答案：1＋2＋2＋2＋2 2＋2＋2＋2＋

27．平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点且任三个圆不相交于同一点，则该n个圆分平面区域数f(n)＝________.答案：n－n＋2

2fn8．f(n＋1)＝f(1)＝1(n∈N＋)，猜想f(n)的表达式为________．

fn＋22f12

解析：f(2)＝

f1＋2

322×322f2f(3)＝

f2＋224

＋23

22×422f32

f(4)＝f(n)＝.f3＋225n＋1

＋242

答案：f(n)＝n＋1

三、解答题

19．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式1＋3

1＋1·„·1＋1>2n＋1均成立． 52n－12

5证明：(1)当n＝2时，左边＝1.3

32∵左边>右边，∴不等式成立．

*

(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N)时不等式成立，即 1＋11＋1·„·1＋1>2k＋1.352k－12则当n＝k＋1时，11＋11＋1·„·1＋11＋352k－12k＋1－1 >

2k＋12k＋22k＋2

＝ 22k＋12k＋

1*

4k＋8k＋44k＋8k＋3＝>

22k＋122k＋1

2k＋32k＋12k＋1＋1

＝.22k＋1

∴当n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立． ＝

10．是否存在常数a，b，c使得等式1·2＋2·3＋„＋n(n＋1)2

nn＋112

an＋bn

＋c)对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．

解：假设存在符合题意的常数a，b，c，222

在等式1·2＋2·3＋„＋n(n＋1)nn＋12＝(an＋bn＋c)中，12

令n＝1，得4＝a＋b＋c)①

令n＝2，得22a＋2b＋c)②

令n＝3，得70＝9a＋3b＋c③

由①②③解得a＝3，b＝11，c＝10，于是，对于n＝1,2,3都有

222

1·2＋2·3＋„＋n(n＋1)nn＋12＝(3n＋11n＋10)(*)式成立．

下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，(*)式都成立．(1)当n＝1时，由上述知，(*)式成立．

*

(2)假设n＝k(k∈N)时，(*)式成立，222

即1·2＋2·3＋„＋k(k＋1)kk＋12＝(3k＋11k＋10)，12

那么当n＝k＋1时，2222

1·2＋2·3＋„＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)kk＋122＝(3k＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)

k＋1k＋22＝k＋5k＋12k＋24)

k＋1k＋22＝k＋1)＋11(k＋1)＋10]，12

由此可知，当n＝k＋1时，(*)式也成立．

综上所述，当a＝3, b＝11，c＝10时题设的等式对于一切正整数n都成立．

一、选择题

1．(2013·上海交大附中质检)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)·„·(n＋n)＝n

2·1·3·„·(2n－1)，从k到k＋1，左边需要增乘的代数式为()

A．2k＋1B．2(2k＋1)2k＋12k＋3C.D.k＋1k＋

1解析：选B.当n＝k时，左边为(k＋1)(k＋2)„(k＋k)，而当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)„(k＋k)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)„(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，2k＋12k＋2∴左边增乘的式子为＝2(2k＋1)．

k＋1

2．(2013·九江调研)已知1＋2×3＋3×3＋4×3＋„＋n×3＝3(na－b)＋c对一*

切n∈N都成立，则a、b、c的值为()

111A．a＝b＝cB．a＝b＝c24

4C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a、b、c

*

解析：选A.∵等式对一切n∈N均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即

1＝3a－b＋c

21＋2×3＝32a－b＋c1＋2×3＋3×32＝333a－b＋c3a－3b＋c＝1

整理得18a－9b＋c＝7

81a－27b＋c＝3

423n－1n，11解得a＝，b＝c＝.24

二、填空题

3．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案：π

n

24．(2013·济南调研)用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2＞n”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．

n252

解析：将n＝2,3,4,5分别代入验证，可得n＝2,3,4时，2≤n，而n＝5时，2＞5.答案：5

三、解答题

5．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋(n＝1,2，„)．

an

(1)证明：an2n＋1对一切正整数n都成立；

an

(2)令bn＝(n＝1,2，„)，判断bn与bn＋1的大小，并说明理由．

n

解：(1)证明：法一：当n＝1时，a1＝22×1＋1，不等式成立．

*

假设当n＝k(k∈N)时，ak2k＋1成立．

1122

那么当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋2＞2k＋3＞2(k＋1)＋1.akak

∴当n＝k＋1时，ak＋1＞2k＋1＋1成立． 综上，an＞2n＋1对一切正整数n都成立．

法二：当n＝1时，a1＝2＞32×1＋1，结论成立．

*

假设当n＝k(k∈N)时结论成立，即ak2k＋1.x

那么当n＝k＋1时，由函数f(x)＝x＋(x＞1)的单调递增性和归纳假设，1

知ak＋1＝ak＞2k＋1＋

12k＋1

ak

＝

2k＋1＋12k＋2

2k＋12k＋1

＝4k＋8k＋4＞

2k＋32k＋12k＋1

2k＋1

＝2k＋32k＋1＋1.∴当n＝k＋1时，结论成立．

综上可知，an2n＋1对一切正整数n均成立．

an＋1(2)∵bn＋1

b＝n＋1a

nn

n

＝1＋1n



a2n



·

n＋1

＜112n＋1n2n＋1n＋1＝2n＋1n＋1

2nn＋1n122＝

－142n＋1

＜1.n＋12

故bn＋1＜bn.5

2.2024届高三数学一轮复习巩固与练习：推理与证明推理与证明 篇二

2014.01.26

（嘉定区2014届高三1月一模，理）11．在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3xy0与x3y0的距离之和等于4，则P到原点距离的最小值为_________．

11．2

2（杨浦区2014届高三1月一模，理）3．若行列式2x

11420，则x3.2；

（嘉定区2014届高三1月一模，理）14．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二

级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作 等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的 作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n级分形图．则n级分形图的周长为__________．

……

图（1）

n1图（2）图（3）414．33

（徐汇区2014届高三1月一模，理）3.计算：21224=.3432

3.2024届高三数学一轮复习巩固与练习：推理与证明推理与证明 篇三

高二文科数学期末复习---推理与证明

一.1.二.1.观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,„中x,y,z的值依次是()

(A)42,41,123;(B)13,39,123;(C)24,23,123;(D)28,27,123.2.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性

质，你认为比较恰当的是（）

①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等

A．①； B．①②； C．①②③； D．③。

3.由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据

“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（）

(A)正方形的对角线相等(B)平行四边形的对角线相等(C)正方形是平行四边形(D)其它

4.下列表述正确的是（）

①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤

5.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）

(A)假设三内角都不大于60度；(B)假设三内角都大于60度；

(C)假设三内角至多有一个大于60度；(D)假设三内角至多有两个大于60度。

三.典型例题：

例1、在必修⑤里面我们曾经学习了基本不等式：当a0,b0时,有

且还知道此结论对三个正数、四个正数均成立，即 abab成立,并

2当a,b,c0时,有abcabcdabc成立当a,b,c,d0时,有abcd成立 3

4猜想，当a1,a2,,an0时，有怎样的不等式成立？

例

2、用适当方法证明：已知：a0,b0，求证：

例

3、求证：

(1)a2b23abab);(2)6+>22+5。

例

4、用反证法证明：2,3,5不能为同一等差数列的三项.例

5、已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,(1)求出a1, a2, a3的值；

(2)推测an的表达式并证明。

例

6、已知数列an的前n项和为Sn，且a11,Snn2an(nN)，（1）试计算S1,S2,S3,S4，并猜想Sn的表达式;

(2)证明你的猜想，并求出an的表达式。

例

7、已知：空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，判断直线EF与平面ABD的关系，并证明你的结论.aba ba

巩固练习：

1、设a,b,c大于0，则3个数：a111，b，c的值()bca

A、都大于2B、至少有一个不大于2C、都小于2D、至少有一个不小于

22、已知f(x1)2f(x)（xN*）,f(1)1，猜想f(x）的表达式为()f(x)

24212A.f(x)xB.f(x)C.f(x)D.f(x) 22x1x12x

13、下列推理正确的是()

(A)把a(bc)与 loga(xy)类比，则有：loga(xy)logaxlogay ．

(B)把a(bc)与 sin(xy)类比，则有：sin(xy)sinxsiny．

(C)把(ab)与(ab)类比，则有：(xy)xy．

(D)把(ab)c 与(xy)z 类比，则有：(xy)zx(yz)．

4、把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是()

(A)如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则比与另一条相交 ．

(B)如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则比与另一条垂直．

(C)如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交．

(D)如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行． nnnnn

353,1 , ，„„归纳出通项公式an =____。28816、数列{an}中，a1，an13an0，则an的通项公式为。

25、由数列的前四项:

7、有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数” 结论显然是错误的，是因为_______________

8、在十进制中2004410010010210，那么在5进制中数码2004折合成十进制为_______________

9、图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥

物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f(n)个“福娃迎迎”，则012

3f(5)f(n)f(n1)（答案用数字或n的解析式表示）

10、设f(x)

122x，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得

f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值是________________

11、平面内的1条直线把平面分成两部分，2条直线把平面分成4部分，3条相交直线但不

共点的直线把平面分成7部分，n条彼此相交而无3条直线共点的直线把平面分成____部分。

12、若数列{an}，(n∈N)是等差数列,则有数列bn=

列，类比上述性质，相应地：若数列{C

dn=____________(n∈N)也是等比数列。

13、从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),„,推广到第n个等式为

_________________________.14、数列{an}的前n项和为Sn，已知a11,an1

证明：（Ⅰ）数列{

15、在数列{an}中，a11,16、观察（1）tan10tan20tan20tan60tan60tan101;