两点距离公式证明

2024-10-04

两点距离公式证明（精选9篇）

1.两点距离公式证明篇一

两点之间，直线的距离最近

两匹马各拉一辆大车，前面的一匹马走得很好，后面的那匹马常常停下来。主人以为这匹马拉不动了，于是，就试着把后面那辆车上的货物挪到前面那辆车上去。

前面的这匹马说：“主人，你就把那东西全都放到我车上吧，我拉得动。”

等到后面那辆车上的东西都搬完了，后面那匹马便轻快地前进，并且对前面那匹马说：“你使劲干吧，流汗吧，你越是努力干，人家越是要折磨你。”

来到车马店时，主人说：“这匹马真能干。即然只用一匹马拉车就够了，我养两匹马干嘛，不如只喂这一匹，把另一匹杀掉，总还能拿到一张马皮。”

于是，主人就真的这样做了。后面那匹马被杀死了。

书外人语：如果你对自己的期望值高，那么你就会获得回报，得到成功。姚明的人生感悟：“自己对自己的期望值，时刻都要比别人的高。”

这天，英国维多利亚女王和丈夫吵架了，丈夫独自先回到卧室，把门锁上不出来。

女王回卧室时，只好敲门。

丈夫问：“谁?”

维多利亚傲然地回答：“女王。”

里面既不开门也无声息。她只好再次敲门。

丈夫又问：“谁?”

女王回答：“维多利亚。”

里面还是没有动静。女王再次敲门。

丈夫再问：“谁?”

女王学乖了，柔声地回答：“你的妻子。”

这一次，门打开了。

书外人语：聪明的人总是根据情境的变化，做出适时的调整。

姚明人生感悟：“就像人们刚开始使筷子，如果情况要求你必须学会使筷子的话。”

国王心爱的女儿病了，她说要能拿到月亮病就会好.

国王立刻召集天下聪明智士，要他们想办法拿到月亮，但无论是总理大臣、宫廷魔法师，还是宫廷数学家，谁都没有办法。而且，他们分别对拿月亮的困难有不同的说辞：总理大臣说它远在三万五千里之外，比公主的房间还大，而且是由熔化的铜组成的.;魔法师说它有15万里远，用绿奶酪做的，而且大小整整是皇宫的两倍;数学家说月亮远在30万里之外，又圆又平，像个钱币，有半个王国大，还被粘在天上，不可能有人能够把它拿下来，

国王面对这些“不可能”，又烦又气，只好叫宫廷小丑给他弹琴解闷。

小丑问明了一切后，得出了一个结论：如果这些有学问的人说得都对，那么月亮的大小一定和每个人想的一样大、一样远。所以，当务之急是弄清楚小公主心目中的月亮有多大、有多远。国王一听，茅塞顿开，吩咐小丑解决这个难题。

小丑立即到公主的房里探望她，问公主：“月亮有多大?”

“大概比我拇指的指甲小一点儿吧!”公主说，因为她只要把拇指的指甲对着月亮就可以把它遮住了。

“那么有多高呢?”

“不会比窗外的那棵大树高!”公主之所以这么为，因为有时候它会卡在树梢间。

“用什么做的呢?”

“当然是金子!”公主斩钉截铁地回答。

比拇指指甲还要小、比树还要矮，用金子做的月亮当然容易拿啦!小丑立时找金匠打了一个小月亮、穿上金链子，给公主当项链，公主高兴极了，没几天病就好了。但是国王仍旧很担心。到了晚上，真月亮还是会挂在天上，如果公主看到了，谎言不就被揭穿了吗?于是，他又召集了那班“聪明人”，向他们征询解决问题的方法，怎样才能不让公主看见真正的月亮呢?有人说让公主戴上墨镜，有人说把皇宫的花园用黑绒布罩起来，有人说天黑之后就不住地放烟火，以遮蔽月亮的光华……当然，没一个主意可行。

怎么办?心急的国王深恐小公主一看见真月亮就会再次生病，但又想不出解决方法，只好再次找来小丑为他弹琴。

小丑知道了那些聪明大臣的想法后，告诉国王，那些人无所不知，如果他们不知道怎样把月亮藏起，就表示月亮一定藏不住。这种说辞，只能让国王更沮丧。眼看着月亮已经升起来了，他看着就快照进公主房间的月亮，大叫：“谁能解释，为什么月亮可以同时出现在空中，又戴在公主的脖子上?这个难题谁能解?”小丑于是他就赶到了公主的房间，向公主提出了这个问题。没想到公主听了哈哈大笑，说他笨，因为这个问题太简单了，就像她的牙齿掉了会长出新牙，花园的花被剪下来仍会再开一样，月亮当然也会再长出来啦。

小丑因此而受到国王的嘉奖，成为宫中大臣。

书外人语：简单往往是解决问题的最佳途径;“知己知彼”是“百战百胜”的基础。

2.两点距离公式证明篇二

俞敏洪：两点之间最短的距离并不一定是直线

特别是在人与人的关系以及做事情的过程中，我们很难直截了当就把事情做好。我们有时需要等待，有时需要合作，有时需要技巧。也许飞机能够在两点之间直飞，但即使飞机飞行，如果前面有个大气流，也通常只能绕过那个大气流飞行。我们做事情会碰到很多困难和障碍，有时候我们并不一定要硬挺、硬冲，我们可以选择有困难绕过去，有障碍绕过去，也许这样做事情更加顺利。大家想一想，我们和别人说话还得想想哪句话更好听呢。尤其在中国这个比较复杂的社会中，大家要学会想办法谅解别人，要让人觉得你这个人很成熟，很不错，你才能把事情做成。 (爱情)

3.点到直线距离和圆的方程公式篇三

(x0,y0)到AX+BY+C=0

d= |Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)

证明：

点P（x0，y0）到直线Ax＋By＋C=0的距离：

设PQ垂直直线L于Q，当B＝0时，直线L为：x=-c/a ,所以d＝|x0-(-c/a)|＝|ax0+c|/√a^2当a＝0时，直线L为：y=-c/b ,所以d＝|y0-(-c/b)|＝|by0+c|/√b^2当a≠0，b≠0时，直线L的斜率为：k=-a/b ,直线PQ的斜率为： k′=b/a所以以直线PQ为：y=(b/a)*(x-x0)+ y0

因为两直线的交点为：

Q((b^2*x0-aby0-ac)/√(a^2+b^2),(a^2*y0-abx0-bc)/√(a^2+b^2))所以d＝PQ＝|ax0+by0+c|/√(a^2+b^2)

4.两点距离公式证明篇四

重庆市合川区农委，重庆市合川区（401520）

E-mail ：hcnw631@163.com

摘要：本文推导证明了和与差的对数公式，丰富了对数公式体系。

关键词：和差对数公式

中图分类号：O122.6

1.引言

对数产生于十七世纪前二十五年。对数方法是苏格兰的皮纳尔独立决发现的，在其对数专著《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，布里格斯继承纳皮尔的未竟事业，发表了《奇妙对数规则的结构》详细阐述了对数计算和造对数表的方法。十八世纪，欧拉发现了指数与对数的本质联系。

经典对数理论已发现系列对数公式，幂积商等对数公式发现已久，但没有查询到和与差的对数公式。本文运用对数理论，推导证明了和与差的对数公式。

2.和的对数公式推导证明设logaMp，logaNq，(a>0,a≠1)，由对数的定义得

MaPNaq

则

MNapaq，那么

loga(MN)loga(apaq)

根据

所以 aaxlogaax

loga(MN)loga(apaq)

loga(alogaapalogaaq)

将Map，Naq代入，得

loga(MN)loga(apaq)

loga(alogaapalogaaq)

logaMlogaNlog(aa)a

即分别用M、N的以a为底对数——logaM、logaN表示M与N的和(M+N)以a为底的对数。

3．差的对数公式推导证明设logaMp，logaNq，(a>0,a≠1)，由对数的定义得

MaPNaq

则

MNapaq，那么

loga(MN)loga(apaq)

根据

所以

loga(MN)loga(apaq)xalogaax

loga(alogaa

palogaaq)将MapNaq代入，得

loga(MN)loga(apaq)

loga(alogaapalogaaq)

logaMlogaNlog(aa)a

即分别用M、N的以a为底对数——logaM、logaN表示M与N的差(M-N)以a为底的对数。

4．结论综上所述，除存在幂积商等对数公式外，也存在和与差的对数公式。

（1）和的对数公式

loga(MN)loga(alogaMalogaN)

（2）差的对数公式

loga(MN)loga(alogaMalogaN)

参考文献

[1]数学手册。

[2] 百度百科。

作者简介: 张先胜，男，籍贯重庆市合川区，一九八五年四川农业大学毕业，科学爱好者。通讯地址：重庆市合川区南津街南园路35号合川农业委员会

邮编：401520

5.余弦定理公式的含义及其证明篇五

少三(2)宋伊辰

在做参考书的时候，我有时会遇到“已知一个一般三角形的两边长及其夹角的度数，要求第三边长度”的情况。与直角三角形不同，这时直接求第三边长显得有些困难，往往要花很大力气。那么，有没有什么方法可以直接求解呢？我向爸爸提出了我的疑问。“可以用余弦定理求啊。”他回答道。

“余弦定理是什么？”怀着满腹的疑问，我开始上网搜寻答案。余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。

如左图所示，在△ABC中，余弦定理可表示为：

同理，也可描述为：

那么，我们又如何证明余弦定理的成立呢？我又对此展开了探究。法一（代数证明）：如右图所示，△ABC，在c上做高，将c边写作：

将等式两边同乘以c得到：

同理，① ②

①+②得：法二（运用相交弦定理证明）：

如图，在三角形ABC中，∠A=α，AB=a，BC=b，AC=c以B 为圆心，以长边AB为半径做圆（这里要用长边的道理在于，这样能保证C点在圆内）。

延长BC，交⊙B于点D和E

∴DC=a-b，CE=a+b，AC=c ∵AG=2acosα ∴CG=2acosα-c。

∵DC×CE=AC×CG

∴(a-b)(a+b)=c(2acosα-c)

化简得：b2a2c22ac(cosα)，法三（平面几何）：

在△ABC中，已知AC=b，BC=a，∠C=γ，求c。过点A作AD⊥BC于D，∴AD=AC·sinγ=b·sinγ，CD=AC·cosγ=b·cosγ ∴BD=BC-CD=a-b·cosγ 在Rt△ABD中，∠ADB=90°

∴AB2AD2BD2（b·sinγ)2+（a-b·cosγ)

2﹦ab2abcosγ

法四(解析几何)：

以点C为原点O，AC为x轴，建立如右图所示的平面直角坐标系。

在△ABC中，AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)． |AB|2(acosCb)2(asinC0)2

222 acos2C2abcosCbasin2C

22A B D C

ab2abcosC 即cab2abcosC

经过一番思考和尝试，我成功地运用多种方法证明了余弦定理公式。那么，这个公式在实际的题目当中有什么应用呢？网上的资料给了我答案。

余弦定理可应用于以下两种需求：

1、当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

2、当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。余弦定理还可以变换成以下形式： 22222b2c2a2 abc2bccosA

cosA2bc22c2a2b2 bca2accosB

cosB2ca22a2b2c2 cab2abcosC

6.三角形余弦定理公式及证明篇六

对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：

a2=b2+c2-bc·cosA

b2=a2+c2-ac·cosB

c2=a2+b2-ab·cosC

也可表示为：

cosC=(a2+b2-c2)/ab

cosB=(a2+c2-b2)/ac

cosA=(c2+b2-a2)/bc

这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。

如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的`(边-边-角)。要小心余弦定理的这种歧义情况。

三角形余弦定理的证明：

平面向量证法(觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理)∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ)

(以上粗体字符表示向量)

又∵Cos(π-θ)=-Cosθ

∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)

再拆开，得c2=a2+b2-2abcosC

即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b

同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。

平面几何证法

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2

b2=(sinB*c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2

b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2

b2=c2+a2-2accosB

7.两点距离公式证明篇七

对两点边值问题,袁利用单元能量法提出了一类超收敛导数校正公式.该文给出了数学证明,理论分析和袁的计算结果一致.

作者：魏继东朱起定 WEI Ji-dong ZHU Qi-ding 作者单位：魏继东,WEI Ji-dong(衡阳师范学院,数学系,湖南,衡阳,421000;湖南师范大学,数学与计算机科学学院,湖南,长沙,410081)

朱起定,ZHU Qi-ding(湖南师范大学,数学与计算机科学学院,湖南,长沙,410081)

8.两点距离公式证明篇八

一，教师教学方式的转变。

传统教学是注入式教学，基本方式是“输入信息——反馈信息——补充和纠正信息”。“两角和公式的证明”的推导，基本上都是由教师来完成的，学生作为被动的、重视的听众。将公式背下来，会利用其解题就可以了。未经自己分析、概括、比较，对知识缺乏深入理解和领会。结果是：学生对数学知识记不牢，更不能灵活运用。

而新课程改革方案明确提出：有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、合作交流与自主探究是学生学习数学的重要方式。而今年高考命题思维的转变，是对新课程改革的最好诠释。教师应该换主动权与学生。

二，学生学习方式的转变。

课堂教学中教师应致力于探索激发学生学习兴趣的课堂形式，创设真实的问题情境，提供学生探索与交流的时间与空间。反对过去僵化的为“高分”而解题，反对题海战术。学生应在学习活动中，培养自己的创新精神和实践能力。让学生的学习成为“研究性学习”的模式。构建一个以情景为基础，提出问题与解决问题相互引发共同并进的“情景——问题”学习链。

三，教学理念的转变。

新课程标准要求学生真正成为课堂的主人，成为知识的“发现者”的“创造者”。使教学过程成为学生主动获取知识、启迪智慧、发展能力、体验数学的过程。教师成为学生学习的合作者、引导者，教师与学生是平等的关系。高考命题的转变，对我们提出了新的要求，立足新课标，认真钻研教材，探索新方法。

四，教学过程设计的转变。

在我今后的教学“两角和公式的证明”时，我想应该做到以下几点。1，创设学生生活中熟悉而感兴趣的数学情境。2，启发学生将现实问题转化、抽象、概括成数学问题。3，学生为了解决提出的数学问题，自主探索、合作交流、估算猜测，教师启发诱导，师生共同归纳总结。4，在“师生”与“生生”双边互动中，展示学生的数学思维建构的过程。培养学生推理、证明的能力。5，让学生用自己“发明”的“两角和的公式”来解决相关问题。体验数学来源于生活，又服务于生活的道理。

五，教学课堂的转变。

传统的教学课堂，要求“堂堂清”，对本堂课的知识点、内容完全掌握是最高境界。而新课程标准要求，学生不能仅仅停留在课堂的探索上。而要引导学生课后继续探究，把课堂延伸到课外。两角和的公式探索方法很多。可以利用单位圆中的三角函数线，可以利用不同角度探索公式„„这些探索证明方法的建构，都有着丰富的数学思想方法。让学生产生“欲罢不能”的求知欲望，惊声振奋地投入学习。从而使其获得良好的学习效果。

9.欧拉公式的证明方法和应用篇九

eicosisin的证明方法和应用

i摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式ecosisin，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数

1.欧拉公式意义简说

在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被ecosisin这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当时，有e1，即e10，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i、e、联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]。它们在数学中各自都有发展的方面。因是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比”

此e+1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。

iiii

2.欧拉公式的证明简述

在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。

2.1幂级数展开式的证明法

引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式ecosisin，2.2复指数定义法

用复指数定义ee

2.3类比法求导法

通过实函数的性质来对复函数进行求导运算(附件①)，通过构造f(x)

ixzxiyie(cosyisiny)，证明欧拉公ecosisin xiixcosxisinx，f(x)0用lagrange微分中值定理推论[3]，从而证明f(x)1,使得ecosxisinx

2.4分离变量积分法

假设zcosxisinx，求导得dzdziz，通过分离变量得idx,，然后两边取积分得dxz

Lnzix，所以得ecosxisinx.3.欧拉公式的证明方法

3.1幂级数展开式的证明方法：

3.1.1三角函数的“麦克劳林级数”[1] ： ix

sin(z)z3!355!

4(1)n12n2n1(zn1)!n, cos(z)122!24!(1)(2n)!, 3.1.2指数函数的“麦克劳林级数”：[1]

ez1z2!nn!, 当用iz代替 z时，那么 iz(iz)1iz2!2(iz)n!n

(12

2!4

4!)i(z3!355!)

coszisinz

当z时，得到ecosisin。

3.2复指数定义法：

对于任何复数zxiy(x,yR)，有

ii（证完）ezexiye(cosyisiny)[2]，当x=0时，另xy,有ecosisin（证完）

3.3类比求导法：

3.3.1构造函数f(x)

3.3.2计算导数

f(x)

i(cosxisinx)(sinxicosx)(cosxisinx)2ixixixcosxisinx xR,i为虚数 ix(icosxsinxsinxicosx)

cos2xisin2x

3.3.3lagrange微分中值定理的推论 0

若函数f(x)在区间I上可导，且f(x)的导数恒等于0，x属于I，则f(x)为I上的一个常量函数[3]。根据这推论，所以有f(x)c,c为常量，又因为f(0)1, 所以f(x)1,有

eixcosxisinx.（附件②）（证完）

3.4分离变量积分法

dzicosxsinxi(cosxisinx)iz，分离变量得： dx

dz1idx, 所以两边同时积分得idx，即Lnzixc，当取x=0时，zz假设zcosxisinx, 难么

zco0sisin01，Lzl1i0c0nn，所以c0,所以Lzixn，Lnzzcosxisinxix，所以ixcosxisinx。（证完）eee

4.欧拉公式在数学中的应用

在对一些较难以证明和计算的题上，直接使用欧拉公式很容易就证明了，在高等数学中很广泛的应用，比如棣莫弗公式的证明，复变函数的求解等。

4.1公式证明和应用

4.1.1 证明棣莫弗（de Moivre）公式[4]cosnxisinnx(cosxisin

证明：由欧拉公式ecosxisinx可知：ixx)n； ix(cosxisinenx)即n

einxcosnxisinnx，所以有cosnxisinnx(cosxisinx)n

4.2.2用欧拉公式和棣弗公式证明[4]：e

zxcosacos(xsina)cosna;n0n!nxcosasin(xsina)sinnanon!n；证明：令zcosaisina,由欧拉公式可知 ee

xz(cosaisina)ecosaeisinaecosa(cos(sina)isin(sina))xcosa即ee

ex(cosaisina)excosaeixsinae(cos(xsina)isin(xsina))xcosacos(xsina)e

nnxcosaisin(xsina))又由于：

exzn0(xz)n!(cosnaisinna)

n0

n!cosnansinnanin!xn!xn0n0

比较实部和虚部的到 

excosacos(xsina)cosna;n0n!nn

sin(xsina)sinna

non!

4.2定义证明和应用

4.2.1证明复数z 的正弦函数和余弦函数 xcosa

sinziz2iiz,coszixiz2iiz.[2] 证明：由欧拉公式eixecosxisinxcosxisinx可得，，ixecosxisinx

ixixcosx2从而得到.对于任意的实数x成立，这两个公式中的x代以任意复数z后，ixixsinx2i

由eezxiye(cosyisiny)，右端有意义，而左端尚无意义，因而有：

izx

sinziz2i,cosziz2iiz.4.2.2求sin(12i)的值[2]：

解：

sin(12i)



i(12i)2ii(12i)2(cos1isin1)(cos1isin1)2i

22 222

cosh2sin1isinh2cos1

此式为复数解正弦函数（附件③）sin1i22cos1

5.综合总结

ix对于欧拉公式ecosxisinx，在这里用了四种不同的方法证明其的成立，也举了几个

列子说明了欧拉公式在高等数学中的重要性，在这里，主要是提供给学生一种多方面学习和看问题的思想，比如在证明欧拉公式的方法中，都还有许多不同的证明方法，我所列举的这几种方法中，类比求导法是一种很好的证明方法，其的构造思想很巧妙，对于幂级数的展开证明方法，较容易弄懂，并且在实际的题目中，幂级数的展开用得比较多。我在下面所举的两类应用中，都是用到欧拉公式，且欧拉定理在这当中就像桥梁一样，如果不用到欧拉公式，这类问题也能求，但不是那么容易了。通过对欧拉公式的证明和应用的了解，我们对于e1i

也就不那么陌生了。

6.考文献

[1] 数学分析下册第三版华东师范大学数学系编第十四章幂级数 2001

[2] 复变函数论第三版钟玉泉编第二章解析函数 2004

[3] 数学分析上册第三版华东师范大学数学系编第六章微分中值定理及应用 2001

[4] 数学分析下册华东师大第三版同步辅导及习题全解 2006

[5] 生活与科学文库 e的奥秘 1991

7.附件

7.1附件① 因为对于实函数ae，dxaxaxd(cosxasinx)sinxacosxdxa为常数，所以对于复函数有ie,dxixixd(cosxisinx)i(cosxisinx)dx

7.2附件②对于构造的函数f(x)ix

cosxisinx是有意义的，因为

|cosxisinx|