高中数学必修5高中数学必修5《2.2等差数列(二)》教案

高中数学必修5高中数学必修5《2.2等差数列(二)》教案（共11篇）

1.高中数学必修5高中数学必修5《2.2等差数列(二)》教案 篇一

2.2 等差数列

知识梳理

1.等差数列的定义

一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫等差数列的公差,通常用字母d表示,定义的表达式为an+1-an=d(n∈N+).2.等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式为an=a1+(n-1)d.3.等差中项

若三个数a、A、b成等差数列,则A叫做a、b的等差中项,且A=4.等差数列前n项和公式 Sn=

ab.2n(a1an)n(n1)d或na1+.225.等差数列的单调性

等差数列{an}的公差为d,若d＞0,则数列为递增数列,且当a1＜0时,前n项和Sn有最小值;若d＜0,则数列为递减数列,且当a1＞0时,前n项和Sn有最大值.6.等差数列的常用性质

已知数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d.(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq;推论:若m+n=2p,则am+an=2ap.2(2)等差数列中连续m项的和组成的新数列是等差数列,公差等于md,即 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,„为等差数列,则有S3m=3(S2m-Sm).(3)从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列.如a1,a4,a7,a10,„(下标成等差数列).知识导学

等差数列是一种特殊的数列,所以学习前先对上节有关数列的概念、性质进行回顾,同时复习前面学习过的一次函数的形式与图象,并且思考一次函数与等差数列的区别.本节内容的重点是等差数列的定义和等差数列的通项公式及前n项和公式,要能够运用公式解决简单问题,在实际解题中注意有关技巧的运用.在理解定义时,要重视两点:一是“从第二项起”,二是“同一常数”,同时要对a,d的取值对单调性的影响加以分析,以加深对概念的理解和知识的巩固.疑难突破

1.如何去判断或证明一个数列为等差数列呢? 剖析:判断一个数列是否为等差数列,最基本也最常用的就是看这个数列是否符合等差数列的定义.一般有以下五种方法:(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N+){an}是等差数列;(2)递推法:2an+1=an+an+2(n∈N+){an}是等差数列;(3)性质法:利用性质来判断;(4)通项法:an=pn+q(p、q为常数){an}是等差数列;2(5)求和法:Sn=An+Bn(A、B为常数,Sn为{an}的前n项和){an}是等差数列.其中(4)(5)两种方法主要应用于选择、填空题中,在解答题中判断一个数列是否是等差数列,一般用(1)(2)(3)这三种方法,而方法(3)还经常与(1)(2)混合运用.证明数列{an}是等差数列有两种基本方法:(1)利用等差数列的定义,证明an+1-an(n≥1)为常数;(2)利用等差中项的性质,即证明2an=an-1+an+1(n≥2).2.如何求等差数列前n项和的最值? 剖析:可从以下两个方面思考:(1)利用前n项和公式,转化为一元二次函数的最值问题.n(n1)ddddn2(a1)n,当d≠0时,此式可看作二次项系数为,一次项系2222dd2d数为a1-,常数项为0的二次函数,其图象为抛物线y=x+(a1-)x上的点集,坐标为222Sn=na1+(n,Sn)(n∈N+),因此,由二次函数的性质立即可以得出结论:当d＞0时,Sn有最小值;当d＜0时,Sn有最大值.(2)结合数列的特征,运用函数单调性的思路.当d＞0时,则数列为递增数列,且当a1＜0时,一定会出现某一项,在此之前的项都是非正数,而后面的项都是正数,前n项和Sn有最小值;当d＜0时,则数列为递减数列,且当a1＞0时,一定会出现某一项,在此之前的项都是非负数,而后面的项都是负数,前n项和Sn有最大值.显然最值问题很容易判断.第二种思路运算量小.

2.必修5中的两个有趣的数列 篇二

首先我们来看如何求斐波那契数列的通项公式an，这里介绍两个方法：待定系数法与特征方程法.

已知斐波那契数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an，求an.

解法一 待定系数法

解 由an+2-αan+1=β（an+1-αan），得an+2=（α+β）an+1-αβan，

令α+β=1

αβ=-1α=1-52

β=1+52

从而an+2-1-52an+1=1+52（an+1-1-52an），即an+2-1-52an+1an+1-1-52an=1+52.

所以an+1-1-52an为等比数列，公比是1+52，首项=a2-1-52a1=1+52

所以an+1-1-52an=1+52·1+52n-1，

an+1-1-52an=1+52n，

an+11+52n-1-52·an1+52n=1.

an+11+52n--3+52·an1+52n-1=1.

令

bn=an1+52n-1，bn+1=5-32bn+1.

利用待定系数法可知：bn=5-510（5-32）n-1+5+510，所以an1+52n-1=5-510·5-32n-1+5+510，经整理得：an=15（1+52）n-15（1-52）n.

解法2 特征方程法

解 特征方程：x2-x-1=0的特征根是x1，2=1±52.

设an=A1·（1+52）n-1+A2·（1-52）n-1，A1+A2=1，

A1·1+52+A2·1-52=1， 得

A1=15·1+52，

A2=-15·1-52.

an=15（1+52）n-15（1-52）n.

通过求出的通项公式，我们会发现一个有趣的现象：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的，这是用无理数表示有理数的一个范例，而与斐波那契数列相关的有趣内容读者可以网上查阅.

接下来再看如何求九连环数列的通项公式.

已知九连环数列{an}满足a1=1，a2=2，an=an-1+2an-2+1（n≥3），求an

解 an=an-1+2an-2+1（n≥3），

an+an-1+1=2（an-1+an-2+1），

an+an-1+1an-1+an-2+1=2，

所以数列{an+an-1+1}为等比数列，公比为2，首项是4.

an+an-1+1=4·2n-2=2n，

an+an-1=2n-1， ①

an+1+an=2n+1-1. ②

由②-①：an+1-an-1=2n，

当n=2k时，

a2k+1-a2k-1=22k，

a3-a1=22，

a5-a3=24，

a7-a5=26，

…

a2k+1-a2k-1=22k，

a2k+1-a1=22-22k·221-22，

a2k+1=22k+2-13，

所以an=2n+1-13（n为奇数）.

当n=2k+1时，a2k+2-a2k=22k+1，

a4-a2=23，

a6-a4=25，

…

a2k+2-a2k=22k+1，

所以a2k+2-2=23-22k+1·221-22，

a2k+2=22k+3-23，

所以an=2n+1-23（n为偶数），

所以an=2n+1-13，（n为奇数）

2n+1-23，（n为偶数）

从而a9=13（29+1-1）=341，即解九连环最少需要移动圆环341次.

通过课本的这两个例子，我们从中可以挖掘出很多有趣的内容，这些内容也是学生很感兴趣的，因此，课本的“阅读与思考”可以作为很好的课题让学生拓展知识面，值得每一个学生去探索.

3.高中数学必修5高中数学必修5《2.2等差数列(二)》教案 篇三

（一）教学目标

1`．知识与技能：理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式；理解这种数列的模型应用．

２．过程与方法：通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定义，通过与等差数列的通项公式的推导类比，探索等比数列的通项公式．

３．情态与价值：培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力．

（二）教学重、难点

重点：等比数列的定义和通项公式

难点：等比数列与指数函数的关系

（三）学法与教学用具

学法：首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出等比数列的定义；与等差数列通项公式的推导类比，推导等比数列通项公式。教学用具：投影仪

（四）教学设想

[创设情景] 分析书上的四个例子，各写出一个数列来表示 [探索研究] 四个数列分别是①1, 2, 4, 8, „

②1,111，，„ 248

23③1,20 ,20 ,20 ,„

④10000×1.0198,10000×1.0198,10000×1.0198

510000×1.0198,10000×1.0198

观察四个数列: 对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2 对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的比都等于20 对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的比都等于1.0198 可知这些数列的共同特点:从第2项起, 每一项与前一项的比都等于同一常数.于是得到等比数列的定义: 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0)因此,以上四个数列均是等比数列,公比分别是2，1,20,1.0198.2与等差中项类似,如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做

2a与b的等差中项,这时,a,b一定同号,G=ab 在归纳等比数列公式时,让学生先回忆等差数列通项公式的归纳,类比这个过程,归纳如下:a2=a1q

2a3=a2q=(a1q)q=a1q a4=a3q=(a1q)q=a1q„ „

n-1 可得 an=a1q 1 上式可整理为an=a1naxaxq而y= 1q（q≠1）是一个不为0的常数1与指数函数q的乘积,qqqa1nax

q }中的各项的点是函数 y= 1q 的图象上的孤立点 qq从图象上看,表示数列 {[注意几点]

n① 不要把an错误地写成an=a1q

② 对于公比q,要强调它是“从第2项起,每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比的次序颠倒

③ 公比q是任意常数,可正可负 ④ 首项和公比均不为0 [例题分析] 例1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84％.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)? 评注:要帮助学生发现实际问题中数列的等比关系,抽象出数学模型;通项公式反映了数列的n-1 本质特征,因此关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式an=a1q例2 根据图2.4-2中的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗? 评注:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n,an1是一个常数就行了 an例3 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.评注:帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系 例4 已知{an}{bn}是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什么结论?证明你的结论.评注:两个等比数列的积仍然是等比数列 [随堂练习]第1、2、3题 [课堂小结]（1）首项和公比都不为0（2）分别从定义、通项公式、相应图象的角度类比等差数列和等比数列

（五）评价设计

4.高中数学必修5高中数学必修5《2.2等差数列(二)》教案 篇四

（一）授课类型：新授

教学目标

（一）知识与技能目标 1.等比数列的定义； 2.等比数列的通项公式．

（二）过程与能力目标 1.明确等比数列的定义；

2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道an，a1，q，n中的三个，求另一个的问题．

教学重点

1.等比数列概念的理解与掌握；

2.等比数列的通项公式的推导及应用．

教学难点

等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．

教学过程

一、情境导入：

下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）

1，2，4，8，16，…，2;① 1，6

312，14，18，…； ②

1，20,202,203，…； ③ 1.0198,1.1098,1.1098......④

23对于数列①，an=2n1;

anan1 =2（n≥2）．对于数列②，an=

12n1；

anan112（n≥2）．

对于数列③，an=20n1;

anan1=20（n≥2）．

共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．

二、检查预习

1．等比数列的定义．

2.等比数列的通项公式: ana1qn1(a1,q0)，anamqnm(am,q0)，anAB(A,B0)

n3．｛an｝成等比数列an1anq(nN,q0)

4．求下面等比数列的第4项与第5项：

（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3）,.,;(4)2,1,32821322，…….三、合作探究

（1）等比数列中有为0的项吗？（2）公比为1的数列是什么数列？

（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）常数列都是等比数列吗？ 四交流展示

1． 等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示（q≠0），即：

anan1=q（q≠0）

注：(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q； ｛an｝成等比数列an1an=q（nN，q≠0．）

(2)隐含：任一项an0且q0

(3)q=1时，{an}为常数数列．

（4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 2.等比数列的通项公式1: ana1qn1(a1,q均不为0)

观察法：由等比数列的定义，有：a2a1q；

a3a2q(a1q)qa1q； a4a3q(a1q)qa1q；… … … … … … … anan1qa1qn1223(a1，q0)．

迭乘法：由等比数列的定义，有：

a2a1q；

a3a2q；

a4a3q；…；

anan1q

所以a2a1a3a4an1n1，即ana1q(a1，q0)nqa2a3an1nm(am，q0)等比数列的通项公式2: anamq五精讲精练

例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.解：181232q32 a2a3q12238,a1a2q823163.点评：考察等比数列项和通项公式的理解 变式训练一：教材第52页第1 例2．求下列各等比数列的通项公式：

(1)a12,a38;(2)a15,且2an13an

2解：(1)a3a1qq4q2an(2)2n12或an(2)(2)nn1(2)

n

(2)qan1an32又：a15an5(32)n1

点评：求通项时，求首项和公比 变式训练二 ：教材第52页第2 例3．教材P50面的例1。

012n15例4． 已知无穷数列105,105,105,10 求证：（1）这个数列成等比数列； ,，110（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的；

（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．

n1证：（1）anan110105n251105（常数）∴该数列成等比数列．

n1（2）anan510105n45101110，即：an110an5．

p1q1pq2（3）apaq105105105，∵p,qN，∴pq2．

∴pq11且pq1N，pq2∴10510n15（第pq1项）． ， 变式训练三：教材第53页第3、4题．

六、课堂小结：

1.等比数列的定义；

2.等比数列的通项公式及变形式

七、板书设计

八、课后作业

5.高中数学必修5高中数学必修5《2.2等差数列(二)》教案 篇五

教材分析：本节知识是必修5第二章第5节的学习内容，是在学习完等差数列前n项和的基础上再次学习的一种求和的思想与方法。本节课的求和思想为一般的数列求和作了准备。●教学目标

知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思

教学目标：

知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的Sn,an,a1,n,q中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力

过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.●教学重点

进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式

●教学难点

灵活使用公式解决问题

学情分析：在学生学习完等比数列的前n项和公式的基础上，进一步加强前n项和的应用.在实际问题的应用中需要教师的指导。特别是分类讨论思想的进一步应用。●教学过程 一.课题导入

首先回忆一下前一节课所学主要内容：等比数列的前n项和公式：

aanqa1(1qn)Sn1Sn1q ② 1q ① 或当q1时，当q=1时，Snna1

当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②

二.讲授新课

1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，22SSn2nSn(S2nS3n)求证：

2、设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和；

（三．例题讲解

用心 爱心 专心 1

例1已知等比数列an中, S420,S81640,求S12.a1和q ？ 如何求？ 一定要求q吗？(基本量的确定)设问1:能否根据条件求设问2:等比数列中每隔4项的和组成什么数列？(探究等比数列内在的联系)设问3:若题变: 数列an是等比数列,且Sna,S2nb,(ab0)求S3n

S2nSnbabaa2abb2nnq,S3nS2n(S2nSn)qb(ba)Snaaa

nanSqn引导学生归纳:若是等比数列,公比为q,则每隔n项的和组成一个首项为,公比为的等比数列.(学生类比等差数列相关结论)[说明]解题首先考虑的是通法,先确定基本量

a1,q然后再求和，其次分析题目的特点、内在结构,探索规律,并从特殊向一般推广，注意培养学生思维的严谨性.例2．某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为6000电的脑.商规店定，购买时先1支付货款的3，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为0.5% 到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？ 假设货主每月还商店a元，写出在第i(i=1,2,36)个月末还款后，货主对商店欠款数的表达式.每月的还款额为多少元（精确到0.01）？ 引导学生,认真阅读题目,理解题意, 月底等额还款,即每月末还款数一样，月底还款后的欠款数

yi与第i-1个月底还款后的欠款数yi1的关系是第yiyi1(10.05%)a,(学生分析)三年内还清转化为数学语言是:

y360

22解(1)因为购买电脑时,货主欠商店3的货款,即60003=4000(元),又按月利率0.5%到第一个月底的欠款数应为4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一个月底,欠款余额为4020元.(2)设第i个月底还款后的欠款数为yi,则有 y1=4000(1+0.5%)-a y2=y1(1+0.5%)-a

用心 爱心 专心 2

=4000(1+0.5%)-a(1+0.5%)-a 2 y3=y2(1+0.5%)-a y3=y2(1+0.5%)-a

=4000(1+0.5%)-a(1+0.5%)-a(1+0.5%)-a 32 

yi=yi1(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)-a(1+0.5%)

ii1

-a(1+0.5%)整理得 i2--a，(10.5%)i1ai0.5% yi =4000(1+0.5%)-.(i=1,2,,36)(3)因为y36=0,所以

(10.5%)361a360.5% 4000(1+0.5%)-=0 即每月还款数

4000(10.5%)360.5%121.6936(10.5%)1 a=(元)所以每月的款额为121.69元.[说明] 解应用题先要认真阅读题目,一般分为粗读,细读,精读,准确理解题意,尤其是一些关键词:”等额还款”,”月利率”,”第i个月末还款后欠款表达式”等;理解题意后,引导学生将文字语言向数字语言转化,建立数学模型,再用数学知识解决问题,并使原问题得到尽可能圆满的解答.1112nyyy例3.求Sn=(x+)+(x2+)+…+(xn+)(y0)。

解：当x1,y1时，11(1)nnx(1x)yxxn11ynynn111111x1xyy1yyn)=ySn=(x+x2+…+xn)+(y+2

1ynnn1当x=1,y1时 Sn=n+yy

用心 爱心 专心 3

xxn1n当x1,y=1时 Sn=1x

当x=y=1时 Sn=2n

四 反思总结，当堂检测。

教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测：

1.如果将例4的还款期限从三年改为一年,其他条件不变,那么每次付款额a将是多少? 2.一套住房的建筑面积为100平方米,房价为9000元/平方米.买房者若先付房价的3,其余款进行商业贷款,次月开始还贷款,按每月等额还款的方式十年还清欠款,贷款十年的月利率是0.54%.按月结息,买房者每月应还款多少元?(精确到元)数学建模的方法；

关注学生解题的规范性,准确度及速度.五.课后小结(引导学生归纳,教师提炼)(1)主要内容:公式的灵活运用,求和公式解决应用问题;(2)数学思想方法:分类讨论、方程、转化与化归等.六．教学反思 ：

本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。

板书：略

6.高中数学必修5高中数学必修5《2.2等差数列(二)》教案 篇六

本节课主要学了：（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。它是继学习了正弦定理和余弦定理之后安排的一节课，可以说是两个定理的小结或习题课，可为后面的实际应用举例奠定基础，本节课学习具有承上启下的桥梁作用.三维目标

1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

2.过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

教学重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

教学难点：：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

教学建议：

本节课可以通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其方法，具体解三角形时，所选例题要突出函数与方程思想，将正弦定理和余弦定理视作方程或方程组，处理已知量与未知量之间的关系；其次应运用多媒体，便于加大容量和归纳知识系统.新课导入设计

7.高中数学必修5高中数学必修5《2.2等差数列(二)》教案 篇七

教学目标：

1．知识与技能：

能够灵活运用方程思想、化归与转化思想、函数思想对数列问题进行求解． 2．过程与方法：

使学生在已掌握的数列题型求解方法上进一步提高解题水平，明确数列与数学思想的内在联系．

教学重点：

掌握数列题型中数学思想方法的应用； 教学难点：

掌握数列题型中数学思想方法的应用．

教学方法：

讲练结合、自主探究．

教学过程：

一、问题情境

问题1．我们以前的学习中接触过哪些数学思想方法？ 问题2．前一段的数列学习中运用了哪些数学思想方法？

二、学生活动

1．数列中有方程思想、化归与转化思想、函数与数形结合思想． 2．讨论并从习题中找出具体的题目中分别体现哪些思想方法．

三、建构数学

引导学生自己总结出数学中几种思想方法．

（一）数列中的方程思想：

等差数列有两个基本量a1,d，等比数列有两个基本量a1,q，等差与等比数列的两个基本问题an,Sn都可以用两个基本量来表示，所以列出关于两个关于基 本量的方程组来求解，这种方法又可称为基本量法．

（二）数列中的化归与转化思想：

我们在处理数学问题时，常常将待解决的问题通过转化，化归成为一类我们比较熟悉问题来解决．

（三）数列中的函数与数形结合思想：

数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数，特别是等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数，因此许多数列问题可以用函数的思想进行分析，加以解决．

四、数学运用

例1 在等比数列an中，如果a1a240，a3a460，那么a7a8.分析 以等比数列的首项a1和公比q为基本量列方程组求解，适当运用整体思想可使运算简化.解 a1a1q40，32，q232a1qa1q60．3a7a8a1q6a1q7a1q6(1q)40()3135．

2变式 已知等比数列an中前8项的和S830，前16项的和S16150，求S20.解 设an的公比为q，当q1时，S88a130a115，4S1616a1150a175，故q1.8a11q83011q 16a11q150 21q1得1q85，2q84． 带入（1）式可得q42．a110，1q 2 S20a11q20a11q41q1q310.5点评 解题过程中应注意对等比数列中q1这种特殊情况的讨论.另外本题的求解需要有整体思想，即必须把

a11q当成一个整体来解.例2 已知数列an满足an12an1，且a11，（1）证明数列an1是等比数列；（2）求数列an的通项公式.解（1）令bnan1，故只需证bn是等比数列，bn1ban112an112an1a1a2，b1a112，nn1ann1数列bn是以2为首项，2为公比的等比数列.即数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）bn22n12n，即an12n，∴an2n1.变式 已知数列an的前n项和满足Snann，且a112，（1）证明数列an1是等比数列；（2）求数列an的前n项和Sn.解 S1n1Snan1n1annan12a1n2 令bnan1，故只需证bn是等比数列，1bn1ba1an11a1111na122a2n2an2n11，b11a11nn1an1an122，∴数列b1n是以2为首项，12为公比的等比数列.即数列a11n1是以2为首项，2为公比的等比数列.3

11（2）bn22n1111，即an1 ∴an1n.222nnSna1a2a3an1111112131n

2222n1112112111n23nnn1n．12222212例3 已知数列an是等差数列，数列bn是等比数列，其公比q1，且bi0y（i1,2,3,），若a1b1，a11b11,则a6与b6的大小关系为.分析（方法一）q1b1b11，bi0，所以aa11b1b11a61b1b11b62b622．

（方法二）等差数列是定义在正整数集上的一次函数，等比数列（q1）时是定义在正整数集上的指数函数．由a1b1，a11b11知

Ｏ

x

两函数有两个交点如图，显然a6b6，而且当1n11,nN时都有anbn，当n11时，anbn.五、要点归纳与方法小结

8.高中数学必修5高中数学必修5《2.2等差数列(二)》教案 篇八

一、教学目标(一)知识教学点

在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．

(二)能力训练点

通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．

(三)学科渗透点

通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．

二、教材分析

1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．

2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上． 的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．

三、活动设计

分析、启发、诱导、讲练结合．

四、教学过程(一)点斜式

已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？

设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得

注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程． 重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．

这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式． 当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．

当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．

(二)斜截式

已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．

这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：

y-b=k(x-0)也就是

上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．

当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．

(三)两点式

已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．

当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成

请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式． 对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样．

(四)截距式

例1 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的方程． 此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成．

解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得

就是

学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．

引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．

对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．

(五)例题

例2 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程．

本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫． 解：直线AB的方程可由两点式得：

即 3x+8y+15=0 这就是直线AB的方程．

BC的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：

由斜截式得：

即 5x+3y-6=0． 这就是直线BC的方程． 由截距式方程得AC的方程是

即 2x+5y+10=0．

9.高中数学必修5高中数学必修5《2.2等差数列(二)》教案 篇九

等差数列的前n项和

授课类型：新授课

（第1课时）

●三维目标

知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题

过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。●教学重点

等差数列n项和公式的理解、推导及应 ●教学难点

灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 “小故事”:

高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+„100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10„算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+„+100=5050。教师问：“你是如何算出答案的？ 高斯回答说：因为1+100=101；

2+99=101；„50+51=101，所以 101×50=5050”

这个故事告诉我们：

（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。

（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。Ⅱ.讲授新课

1．等差数列的前n项和公式1：Snn(a1an)2证明： Sna1a2a3an1an ① Snanan1an2a2a1 ②

①+②：2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(anan)

10.高中数学必修5高中数学必修5《2.2等差数列(二)》教案 篇十

【导学目标】

1．了解《逍遥游》的基本思想。

2．整体感知文言文，引导学生理清文章思路。

3、积累常见文言词语的意义和用法。

4．理解本文借助丰富的想象和以寓言故事设喻来说明道理的方法,探寻庄子逍遥境界的积极意义。

【学习重点、难点】

1、庄子“三无”思想的理解。

2、用新时代的眼光重新审视庄子。【课时安排】

3课时 【资料库】

1、庄子其人：

庄子，名周，约生于公元前369年，死于公元前286年，战国时宋国人，著名的思想家，道家学派的重要代表，与老子并称为“老庄”。“我宁可游戏污渎之中自快，无为有国者所羁，终身不仕，以快吾志焉”（《史记.老庄申韩列传》）一语可见其性格特点。

庄子天才卓绝，聪明勤奋，“其学无所不窥”（《史记·老子韩非列传》），并非生来就无用世之心。但是，“而今也以天下惑，予虽有祈向，不可得也”（《庄子·天地》）。一方面“窃钩者诛，窃国者为诸侯”（《胠箧》）的腐败社会使他不屑与之为伍，另一方面，“王公大人不能器之”（《史记·老子韩非列传》）的现实处境又使他无法一展抱负。人世间既然如此沉浊，“不可与庄语”（《天下》），他追求自由的心灵只好在幻想的天地里翱翔，在绝对自由的境界里寻求解脱。正是在这种情况下，他写出了苦闷心灵的追求之歌《逍遥游》。

2、庄子思想：天人合一，顺应自然，安时处顺，无为而治，精神自由。

庄子的主要思想有“天道无为”，相对的认识论，无条件的精神自由等。他的思想属于唯心主义体系。他片面夸大一切事物的相对性，否定客观事物的差异，否定客观真理，在认识论上走向相对主义。从这种认识论出发，他对待生活的态度是：一切顺应自然，安时而处顺，知其不可奈何而安之若命。在政治上，他主张无为而治，反对一切社会制度，摈弃一切文化知识。

3、作品《庄子》：又名《南华经》、《南华真经》，富有想象力和浪漫主义色彩，擅长用寓言故事来说明道理，《史记》载：“其著书十余万言，大抵率寓言也”。如丑女效颦、望洋兴叹、鲲鹏展翅、不龟手之药等，都是巧妙隽永、妙趣横生的寓言。

4、解题：逍遥自在、逍遥马、逍遥宫、逍遥冠，这些词语应该都与《逍遥游》有关，庄子所谓逍遥游，用课文原话就是“乘天地之正，而御六气之辩，以游无穷”。《庄子·天下》讲到庄子的思想时，说庄子“独与天地精神往来，而不敖倪于万物；不遣是非，以与世俗处”。这两句话非常典型地总结了庄子的思想。“独与天地精神往来”就是《逍遥游》说的“乘天地之正，而御六气之辩，以游无穷”，这也是庄子所认为的真正的逍遥，即摆脱了一切束缚的绝对自由。

第一课时 【课型】自学课 【自学目标】

1、熟读课文，通文意。

2、梳理情节，析字词。

一、解题

逍遥自在、逍遥马、逍遥宫、逍遥冠，这些词语应该都与《逍遥游》有关，庄子所谓逍遥游，用课文原话就是“乘天地之正，而御六气之辩，以游无穷”。《庄子·天下》讲到庄子的思想时，说庄子“独与天地精神往来，而不敖倪于万物；不遣是非，以与世俗处”。这两句话非常典型地总结了庄子的思想。“独与天地精神往来”就是《逍遥游》说的“乘天地之正，而御六气之辩，以游无穷”，这也是庄子所认为的真正的逍遥，即摆脱了一切束缚的绝对自由。

二、自主学习＆合作展示

1、初读：学生读课文，正字音。

2、再读：依据课文注解学生自学品读，并把不会读的字词勾画出来。

（注意通假字、古今异义词、固定句式、文化常识）

3、展示提升（1）明确字音：

鲲（kūn）鹏

抟（tuán）

齐谐（xié）

坳（ào）堂 迁徙（xǐ）

北冥（mínɡ）夭阏（è）

沮（jǔ）丧 知（zhì）效一官

榆枋（fānɡ）斥鴳（yàn）

晦朔（shuò）决（xuè）起而飞

蓬蒿（hāo）

翱（áo）翔

恶（wū）乎待哉 穷发（fà）之北

泠（línɡ）然 舂（chōnɡ）米 蜩（tiáo）数数（shuò）然

飡（cān）

蟪（huì）（2）通假字

①北冥有鱼，其名为鲲（冥通“溟”）②三飡而反（飡通“餐”，反通“返”）③小知不及大知（知通“智”）

④此小大之辩也（辩通“辨”）⑤而征一国者（而通“能”）

⑥而御六气之辩（辩通“变”）⑦旬有五日而后反（有通“又”，反通“返”）（3）古今异义词

①果然：古义：充实之状，文中为食饱之状；今义：表事实与所说或所料相符。②虽然：古义：虽然这样；今义：转折连词。

③海运

古义：海动，谓海动风起。

今义：指海上运输。

④野马

古义：游动的雾气。

今义：未经驯养的马。

⑤小年

古义：寿命短的；

今义：节日，农历十二月二十三或二十四日，旧俗在这天祭灶。

⑥大年

古义：寿命长的；

今义：农历十二月是30天的年份；指春节；丰收年。

⑦春秋

古义：指四季。

今义：①春季和秋季，岁月；②人的年岁。⑧众人

古义：一般人。

今义：大家。

⑨羊角

古义：旋风，旋风盘旋而上如羊角。今义：羊的角。

⑩然后图南

古义：这样以后。

今义：表承接的连词。

（4）固定句式

①奚以……为？

（表示反问，译为“哪里用得着……呢？”）②其……？其……？（表示选择，译为“是……呢？还是……呢？”）（5）文化常识（关于纪日法）①晦：农历每月的最后一天。②望：农历每月的十五；十六为既望。③朔：农历每月的第一天。

三、探究交流

熟读课文，整体感和，理清课文思路。（引导学生思考，总结本文论证思路）探究：扣行文关键词：文中出现了几个“笑”字？各笑什么？真逍遥的境界是什么？什么样的人才能进入这种境界？

提示：文中三个“笑”字，分别在第一、二、三节。

四、成果展示

1、①蜩与学鸠笑之；斥鴳笑之；宋荣子犹然笑之。②——笑其不逍遥。

③乘天地之正，而御六气之辩，以游无穷者。（“逍遥”优游自得的样子；“逍遥游”就是没有任何束缚地、自由自在地活动。）

2、总结论证思路：

①万物皆“有所待”→万物所待有“大小之辩”→世人亦“有所待”（有所待→不逍遥）②（怎样才算“逍遥游”？）乘天地之正气，而御六气之辩，以游无穷者，彼且恶乎待哉？（无所待→才逍遥）

③（什么样的人可以入此境?）

提示：至人无己 神人无功 圣人无名

第二课时

【课型】字词归纳课 【自学目标】 分析文章内容。

一、导入

上节课梳理了重要的文言知识，扫清了语言上的障碍，这节课我们分析作者在文章中究竟表达了什么样的观点。

二、分析第一段

找出这一段中写了哪几种事物？作者对这些事物持什么样的情感态度，这些感情倾向是否一致？作者写这些事物的目的是什么？

学生自读，讨论分析，老师提问，学生展示，老师引导学生归纳总结。明确：主要写了鲲、鹏、野马、尘埃、大舟、杯、芥、蜩、学鸠等； 对鲲鹏作者抱赞美态度；对蜩与学鸠则明显表示嘲讽、贬斥。

写这些事物的目的：阐明世间万物，大至鹏鸟，小至尘埃，它们的活动都“有所待”，都是不自由的。

三、分析第二段

读第二段，说说这一段可分几层？并分析每一层是如何论证的？ 学生自读，讨论分析，老师提问，学生展示，老师引导学生归纳总结。两层。第一层：归纳上文，阐明“小知不及大知，小年不及大年”的道理。

作者举出“朝菌不知晦朔，蟪蛄不知春秋”；冥灵“以五百岁为春，五百岁为秋”；大椿“以八千岁为春，八千岁为秋”；彭祖以长寿闻名于世为例，说明小知不能了解大知，寿命短的不能了解寿命长的。“小知”与“大知”，“大年”与“小年”的不同，实际上强调的是人的认识上的大小区别。在庄子看来，万物既有所待，又要人为地以小及大，是非常可悲的。

第二层：引“汤之问棘”的一段话对前文补充印证，并点明“小大之辩”。在论证上，它与篇首的内容相照应，并归结前文所述种种现象，点明为“小大之辩”。

四、分析第三段

齐读第三段，说明这一段写了哪些人？可分为几类？作者对这几类人的看法是怎样的？ 学生自读，讨论分析，老师提问，学生展示，老师引导学生归纳总结。心系功名的“知效一官，行比一乡，德合一君，而征一国者” 宋荣子、列子

至人无己，神人无功，圣人无名

（1）心系功名的“知效一官，行比一乡，德合一君，而征一国者”（自视甚高，但只不过是斥鴳之类）（2）宋荣子、列子

（远胜于第一种人，但“犹有未树”“犹有所待”）（3）至人无己，神人无功，圣人无名

（顺应万物的本性，达到物我一体，才能无所待，才是逍遥游。）

五、课堂总结

这篇文章采用先述后议、先破后立的写法，举出大量幻想的、传说的、和现实的事例，运用对比与想象由物及人，最后推出结论，可谓气势阔大、说理透彻而思路严谨，夸张、虚幻的描述中隐藏着炽烈的情感，堪称一篇奇文。

第三课时

【课型】合作探究课 【学习目标】

赏析本文写作技巧。

一、新课导入

今天我们再一次接触庄子，我们要通过《逍遥游》了解庄子的哲学世界，走进庄子内心的深处。

二、问题探究

思考：《史记》中说庄子“汪洋自恣以适己”，鲁迅说他“汪洋辟阖，仪态万方”。课文中哪些地方表现了这一特点？

三、合作展示

写法借鉴：（1）借用寓言说理。鲁迅《汉文学史纲要》评论庄子散文的特点说：“著书十余万言，大抵寓言，人物土地，皆空无事实，而其文则汪洋辟阖，仪态万方，晚周诸子之作，莫能先也。”《逍遥游》运用大量的寓言把“无所待”的思想寄托于生动的形象之中。例如本篇中的鲲、鹏、蜩、学鸠、斥，有的是根据神话故事加工的，有的是杜撰的，但都纳入他的寓言中，寄托他的思想，使人不知不觉进入他所创造的意境，接受感染。

（2）想象丰富，意境开阔。如文章开头写鲲的神奇变化，鹏的遨游太空，想象十分奇特。写鹏的南徙，一“击”，一“抟”，“三千里”，“九万里”，“扶摇”直上，意境何等壮阔。丰富的想象使文章汪洋恣肆，充满浪漫主义色彩。看来荒诞无稽，却是作者真实感情的流露。

（3）运用比喻、夸张、拟人等多种修辞手法。如第1段，写积水负舟是以水比风，以大舟比鹏鸟；写鹏鸟南飞“水击三千里，抟扶摇而上者九万里”是夸张；描写学鸠，赋与人的情性，是拟人。这些都增强了文章的表达效果。

四、拓展延伸

庄子思想对后世的影响。

（学生通过搜集资料，来印证自己的看法。）

《逍遥游》中体现了人要有绝对的精神自由。庄子这种思想其实是消极颓废的，这种只求精神上自我解脱的思想，充分反映了没落奴隶主贵族的绝望厌世，毫无信心的精神状态，他的思想，在中国历史上留下了极为深远的影响。

从积极意义上说，它揭示了社会统治思想的本质，表现了摆脱精神束缚的热烈渴望，为封建时代具有反传统精神和异端思想的文人提供了哲学出发点。后世文人在思想等方面受庄子影响，可以开出很长的名单，即以第一流作家而论，就有阮籍陶渊明，李白、苏轼、曹雪芹等，从消极意义来说，它所追求的自由只是理念上的而非实践的自由，提供给人们的只是逃避社会矛盾的方法，因而始终能够为统治者所容忍。

11.高中数学必修5高中数学必修5《2.2等差数列(二)》教案 篇十一

式及其解法 教案

课时安排 1课时 教学分析

学生在初中已经学习了一元一次不等式（组）和二次函数，对不等式的性质有了初步了解。从心理特征来说，高中阶段的学生逻辑思维较初中学生来说更加严密，抽象思维能力也有进一步提升，所以要更加注重其抽象思维的训练，因对于这个阶段的学生来说，一元二次不等式的学习有一定的基础和必要。结合新课标对本节课的要求，我将本节课的重点确定为：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法；难点确定为：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；掌握象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力；培养讨论的思想方法；培养抽象概括能力和逻辑思维能力；经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元次不等式的解法。激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

课题 §3.1一元二次不等式及其解法 教学目标

（一）知识与技能 掌握图象法解一元二次不等式的方法

（二）过程与方法 培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，（三）情感态度与价值观 激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，教学重点 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法 教学难点 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系 教学方法 合作探究、自学指导法 教具准备 多媒体课件 教学过程

一、导入新课

学校要在长为8,宽为6 的一块长方形地面上进行绿化,计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观,现要求草坪的种植面积超过总面积的一半,此时花卉带的宽度的取值范围是什么?

二、讲授新课

自主学习

1、阅读教材P84-P87

2、一元二次不等式的定义 象次不等式

合作探究

探究1：求一元二次不等式的解集。这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系

容易知道：二次方程的有两个实数根：，二次函数有两个零点：，于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。（2）观察图象，获得解集

画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，可知：

； ； 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即当0

探究2：一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式 的解集是，从而解决了本节开始时提出的问题。，一般地，怎样确定一元二次不等式>0与

学生展示：

1、从上面的例子出发，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：(1)抛物线=0的根的情况

(2)抛物线

2、（1）抛物线 由一元二次方程 的开口方向，也就是a的符号

（a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以

=0的判别式

三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）

与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程<0的解集呢？

来确定.因此，要分二种情况讨论（2）a<0可以转化为a>0 分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式与<0的解集

3、一元二次不等式(学生完成课本第86页的表格)的解集： >0 教师精讲

例1(课本第87页)求不等式的解集.解：因为.所以，原不等式的解集是例2(课本第88页)解不等式解：整理，得因为所以不等式从而，原不等式的解集是 巩固提高

..无实数解，的解集是..课本第89的练习1（1）、（3）、（5）、（7）

四、布置作业

课本第89页习题3.2[A]组第1题

五、板书设计

§3.1一元二次不等式及其解法