绝对不等式的证明

绝对不等式的证明（通用15篇）

1.绝对不等式的证明 篇一

[本周内容]含绝对值符号的不等式的解法与证明

[重点难点]

1．实数绝对值的定义:

|a|=

这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。

2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。

若a>0时，则

|x|

|x|>a

注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。

3．常用的同解变形

|f(x)|

|f(x)|>g(x)

|f(x)|<|g(x)|

4．三角形不等式:

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

例题选讲:

例1．解不等式 |x2+4x-1|<4.............①

解:①-4g(x)； f2(x)

-a

-5

即原不等式的解集是（-5，-3）∪（-1，1）。

例2．解不等式|x2-3|>2x...........①

解:①

即原不等式的解集（-∞，1）∪（3，+∞）。

例3．解不等式|

|≤1...........①-33

x<1或x>3。x2-3<-2x或x2-3>2x

x2+2x-3<0或x2-2x-3>0

解: ①

(2)

(3)(x+4)(3x+2)≤0,x≠1。

]。

-4≤x≤-|2x+3|2≤|x-1|2

(2x+3)2-(x-1)2≤0

(2x+3-x+1)(2x+3+x-1)≤0。

∴原不等式的解集为[-4，-

例4．解不等式|x+1|+|x-2|<5...........①

分析:为了去掉绝对值符号，首先找到两式的零点-1和2，它们把（-∞，+∞）分成了三个区间；（-∞，-1），[-1，2]，（2，+∞）。从而可将不等式①化为三个不等式组。求它们的解集的并集即可。

解:将不等式①化为三个不等式组

（I）

-2

（II）

-1≤x≤2；

（III）

2

∴原不等式的解集为(-2,-1)∪[-1,2]∪(2,3)，即（-2，3）。

例5．解不等式|x+1|+|x-2|<1。

解:∵ |x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，∴ 原不等式无解。

说明:本题没有采用例4的解法，而是利用三角形不等式直接判断出结果。它提示我们今后解这一类问题，应先判断。

例6．已知:|a|<1, |b|<1。求证:|

证法1：欲证①，只需证

只需证(a2+b2-a2b2-1)<0, 只需证-(a2-1)(b2-1)<0............②

∵ |a|<1, |b|<1。∴a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0。∴②式成立，∴ 原不等式成立。

证法2：欲证①，只需证-1<

只需证（只需证

·

<0, +1）（-1）<0，<1, <1，|<1.........①

只需证|a+b|<|1+ab|, 只需证(a+b)2<(1+ab)2, 只需证(a+b)2-(1+ab)2<0，只需证

<0，只需证

<0............③

∵ |a|<1, |b|<1, ∴ a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0，又(1+ab)2>0, ∴③式成立，∴ 原不等式成立。

例7．求证:

证法1:

∵

∵ 上式显然成立，∴

又

证法2：这里只证明

分析:观察两式结构均为y=

≤

=

+

≤

成立。≤ |a+b|≤|a|+|b|。

|a+b|(1+|a|+|b|)≤(|a|+|b|)(1+|a+b|)

≤

≤

+。

≤+。

∴ 原命题成立。的形式，又∵|a+b|≤|a|+|b|，而原不等式要成立，只需证明函数在[0，+∞）上单调递增即可。

证明:设0≤x1≤x2, 则

-=，∵ 0≤x1≤x2, ∴ x2-x1≥0, 1+x1>0, 1+x2>0, ∴

≥0。

∴-≥0, 即≥，设x1=|a+b|, x2=|a|+|b|

∵ |a+b|≤|a|+|b|，∴

参考练习:

≤。

1．解不等式 |x2+3x-8|≤10。

2．解不等式 |x+7|-|x-2|<3。

3．解不等式 |

4．解不等式 |log3x|+|log3(3-x)|≥1。

5．求y=

6．设f(x)=x2+ax+b是整系数二次三项式，求证:|f(1)|<

7．已知|x|<

参考答案:

1.[-6,-2]∪[-1, 3]；

2.(-∞,-1)；

3.[

4.提示:首先求定义域（0，3）。其次求出二零点1，2。分三个区间（0，1]，（1，2]，（2，3）解即可。解集（0，]∪[，3）。, 2)∪(6, +∞)； , |y|<, |z|<,(ξ>0)。求证:|x+2y-3z|<ξ。, |f(2)|<, |f(3)|<,不可能同时成立。的值域。

-3|>1。

5．提示:可用反解法解出sinx=

6．提示:用反证法

略证:假设|1+a+b|< , |4+2a+b|<，则解不等式||≤1得y∈[-4,-]。, 及|9+3a+b|<同时成立。

由题设a, b∈Z, ∴ 1+a+b∈Z，∴ 1+a+b=0.........①

同理4+2a+b=0.......② 9+3a+b=0.........③

由①，②解得a=-3, b=2。但不满足③式，故假设不成立，即|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|不能同时小于

7．证明略。

2.绝对不等式的证明 篇二

关键词：绝对值三角不等式,拓展,探究

绝对值三角不等式是人教版选修4 - 5 中的重要内容之一, 它是求解含有多个绝对值符号的函数最值问题最有力的解题工具. 在近几年的高考与竞赛中, 含有多个绝对值符号的函数最值问题已是屡见不鲜. 学生遇到这样的问题, 往往都是通过分类讨论, 分段求最值来处理, 运算繁杂且很容易出错. 若能对绝对值三角不等式进行深入的研究与拓展, 巧妙的利用绝对值三角不等式的几何意义, 则有事半功倍之效.

若x1< x2, 则

( 1) | x - x1| + | x - x2| ≥| x1- x2| ( 当且仅当x1≤ x ≤ x2时, 取“= ”) ;

( 2) | x - x1| - | x - x2| ≤| x1- x2| ( 当且仅当x1≥ x2时, 取“= ”) ;

( 3) | x - x2| - | x - x1| ≤| x1- x2| ( 当且仅当x≤ x1时, 取“= ”) .

由此可得

一、拓展

拓展1

(1) 设x1≤x2≤…≤x2m, m∈N*, 则当x=xm或x=xm+1时, 取得最小值.

(2) 设x1≤x2≤…≤x2m+1, m∈N*, 则当x=xm+1时, 取得最小值.

拓展2

设x1≤x2≤…≤xn, n∈N*, 且n>1, 则

(1) 若n为奇数, 则xn+12是x1, x2, …, xn的中间项, 当时, 取得最小值.

(2) 若n为偶数, 则是x1, x2, …, xn的中间项, 当x=x n2时, 取得最小值.

拓展3

(1) 设x1<x2, m, n∈N*且n≥m, 则当x=x1时, n|x-x1|+m|x-x2|取得最小值.

(2) 设x1<x2, m, n∈N*且n≤m, 则当x=x2时, n|x-x1|+m|x-x2|取得最小值.

二、探究

探究1

(1) 设x1≤x2≤…≤x2m, m∈N*, 则当x=xm时, 取得最小值.

简证因当x≤x2m-1时, |x-x2m-1|-|x-x2m|取最小值, 当xm-1≤x≤xm时, 取得最小值, 故当xm-1≤x≤xm时, 取得最小值.

探究2

(1) 设x1≤x2≤…≤x2m+1, m∈N*, 则当x=xm时, 取得最小值.

简证:因当x≤x2m时, |x-x2m|-|x-x2m+1|取最小值, 当x=xm时, 取得最小值, 故当x=xm时, 取得最小值.

特别地有

(1) 设x1<x2, n∈N*, 则当x=x1时, n|x-x1|-|x-x2|取得最小值.

(2) 设x1<x2, n∈N*, 则当x=x2时, n|x-x2|-|x-x1|取得最小值.

探究3

设x1≤x2≤…≤xn, n∈N*且n>1, 则

(1) 若n为偶数, 则当时, 取得最小值.

(2) 若n为奇数, 则当时, 取得最小值.

(1) 若n为偶数, 因当x≥x2时, |x-x2|-|xx1|取得最小值, 当时, 取得最小值, 故当时, 取得最小值.

(2) 若n为奇数, 因当x≥x2时, |x-x2|-|xx1|取得最小值, 当时, 取得最小值, 故当时, 取得最小值.

3. 应用

例1求函数y = | 2x - 1 | +| x - 1 | +| x - 2 | 的最小值.

例2若不等式恒成立, 求实数m的取值范围.

分析:依2|x|+|x-2|+2|x-1|>2m恒成立,

可令y=2|x|+2|x-1|+|x-2|=|x|+|x|+|x-1|+|x-1|+|x-2|.

易知, 当x = 1 时, ymin= 3,

从而2m<3得所求实数m的取值范围是.

例3求函数y=|x-1|+|2x-1|-|x+1|的最小值.

例4求函数f (x) =|x-1|+|2x-1|+…+|2001x-1|的最小值.

且它的中间项有两项, 其中一项为第项.

3.一类绝对值不等式的另解 篇三

普通高中数学课程标准对|x-c|+|x-b|≤a、|x-c|+|x-b|≥a型不等式的要求是：会利用绝对值的几何意义求解|x-c|+|x-b|≤a、|x-c|+|x-b|≥a型的不等式.这是新课程第一次对该类型不等式提出了具体要求.该类型的不等式的常用解法有：分类讨论法，分类讨论的关键是由|x-c|=0,|x-b|=0的根把R分成若干小区间，在这些小区间上解去掉绝对值符号的不等式，这一解法具有普遍性，但比较繁琐；几何解法，几何解法的关键是理解绝对值的几何意义；图象法，图象法的关键是构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点.几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况.以上三种方法各有千秋，都是我们应该掌握的.下面再介绍一个方法：

点评 本例是[1]中1.3.2节例1(p.14）.教材上是用了分类讨论法和函数图象法，都比较麻烦.运用定理2使问题变得简捷明了.

例2 解不等式|x+2|+|x-1|<4.

解析 由定理1，原不等式等价于|2x+1|<4①，且|3|<4.由①解得-4<2x+1<4.即-52

点评 本例是[1]中1.3.2节例2(p.16）.教材上是用了分类讨论法和几何解法，都比较麻烦.运用同解定理1也非常简捷求解.

作者简介 齐相国，男，本科学历，1992年参加工作，中学一级教师.06年被济南市教育局授予“济南市优秀教师”荣誉称号、有3次被区政府评为“优秀教师”、被区人事局、区教育局评为“教学能手”、区教育局“骨干教师”、被区教育局评为“优秀班主任”、“数学学科带头人”，“课堂教学先进个人”，多次获公开课一等奖，在课件制作、教具制作等方面也多次获奖.至今已在省、国家级报刊杂志上发表各类文章200余篇.

“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”

4.绝对值不等式题型五 篇四

例5 求证ab

1aba

1ab

1b．

分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．

证明：设f(x)x1x11． 11x1x1x

定义域为｛xxR，且x1｝，f(x)分别在区间(,1)，区间(1,)上是增函数． 又0abab，∴f(ab)f(ab)即ab

1abab

1aba

1abb

1aba

1ab

1b

∴原不等式成立．

说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误： ∵abab，1ab0，∴abababab． 1ab1ab1ab1ab1a1b

5.2.4绝对值不等式练习题 篇五

1.不等式3x42的整数解的个数为()

A0B1C2D大于2

2.已知ab,ab0,那么()AabB1

a1

bCabD1

a1

b

3.不等式x3x1的解是()

A2x5Bx36Cx2D2x3

4.不等式x5x6的解集为()A{xx1或x6}B{x2x3}CD{xx1或2x3或x6} 2

5.不等式2x15x的解集是

6.如果不等式

7.不等式1x33的解集是

8.解下列不等式:(1)x

9.使不等式x4x3a有解的条件是()Aa1B1

10a1Ca1

6.绝对不等式的证明 篇六

一、课题引入

在中等职业学校国家规划教材高一《数学》第一册 (基础版) 第二章2.5“含绝对值的不等式”一节中, 课题引入是:观察, 看图2—7, 选用符号“≤、≥、<、>”填入空格

我以往在教学中将问题直接拿出来, 让学生填空完成, 由此问题的解决抽象出解含绝对值不等式的公式:一般地, 对于正实数a有

在新课程理念下, 我是这样引入的“学生小张与小李都位于同一条南北走向的平直跑道上, 已知小张在跑道的O处, 小李与小张相距5米远。”请同学们用自己的方式向大家说明一下小李相对于小张的位置。”

学生在解决这个问题时, 可用多种方式, 如语言描述、手势、作示意图等。这个问题几乎全部同学都能解决 (多数同学用的是图示法) 。然后要求学生把这个问题用数学形式的图示进行表述, 这时就有些同学不知从何着手了, 老师可以适当地进行提示, 在提示的情况下多数同学还是能用数轴把这个问题展示出来。数轴表示跑道, 小张在原点O处, 小李就在数轴上的5与-5两个实数所对应的点的位置。教师进一步引导, 如果我们用字母X来表示5与-5两个实数, 那么这个问题可进一步用一个怎样的数学式子表示?多数学生容易想到用|X|=5来表示。由此引导学生回忆初中时学过的实数绝对值的几何意义。由绝对值的几何意义得出:

抽象出含绝对值不等的一般公式:

这样引入有些罗嗦, 但相对于基础较差的中职学生, 一是有助于调动大多数学生的参与意识;二是能逐步引导学生回忆和应用以前的知识, 有承上启下的作用。

二、例题的处理

教材上的三个例题以前是对照公式, 教师在黑板前边讲边板书, 学生只是充当了听众, 在讲的过程中随时提一些小问题, 有的学生还能回答上几句, 有的根本不来气, 学生处于一种被动状态。在我尝试新的课堂上, 书上的例题我采取的是“我来做例题”的形式, 让学生自己上台讲解, 给学生一个从不同层面展示自己的机会。先让学生思考几分钟, 然后选取学生到黑板前书写解题过程并进行讲解, 完成后让下面听的学生进行点评, 更正或完善。在这一过程中, 我尽量鼓励学生上讲台展示自己, 展示自己整洁的板书, 展示自己流畅的表达能力, 展示自己的智慧;哪怕你做错了, 觉得出丑了也没有关系, 这是对自己的一种煅练。在这个过程中正确认识和处理自己的成功与失败, 重树自信。比如书上的例3解不等式|2X+5|>4, 有一位同学是这样解的:设|2X+5|=4解得X=-9/2或X=-1/2;因此|2X+5|>4的解集是X<-9/2或X>-1/2;然后我让他向全班同学讲解了他的思维过程:由前面联想到不等式的解集与方程的根应该有联系, 通过前两道例题的试解发现自己的猜想是正确的, 要解一个含绝对值的不等式, 先把它变成方程, 如果不等式是用小于符号连接的, 解集是方程这两根之间的一切实数;用大于符号连接的, 解集是小于小根, 大于大根的并集。虽然他的这一过程并不十分严谨, 但充分体现了学生在学习上的主体意识, 体现学生自身知识的建构过程。而这一方法也比较适合于困难学生, 他们只要会解含绝对值的方程, 然后在数轴上找到两根, 记住一句口诀“大于取两边, 小于取中间”就行了, 就可以很容易地得到含绝对值的不等式的解集, 使他们觉得新知识的掌握并不困难。

三、巩固练习与分层教学

练习题目的设置从难易程度上大致分三个层次, 题目形式上分两组。一组是含绝对值的不等式,

一组是一元二次不等式 (1) (X-3) 2<16; (2) X2-2X-1>0;

练习题目在书上练习题的基础上进行了适当的调整和增减, 要求学生根据自己的实际情况进行选作。在学生完成练习的过程中鼓励学生相互讨论, 教师深入学生进行情况了解和适当指导, 指导过程中要特别关注学习困难的学生, 让他们从心理上感觉到来自教师的关心和鼓励, 感觉到教师对他们绝不放弃的态度。在练习点评时注意两点:首先, 简明扼要, 指出常见的问题;其次, 求异, 要求学生对同学中不同的解法进行比较, 找出自己觉得最好或最适合自己掌握的方法。在学生对知识的理解、记忆、掌握和应用上, 教师不要刻意地去说明或强调哪种思路、方法好或不好, 应该让学生自己在比较的基础上去选择最适合于他自己的思路和方法。

四、课堂小结

7.绝对不等式的证明 篇七

关键词：不等式组；含绝对值不等式；解法

一、关于一元一次不等式组及其解法

1.概念

老师们大多是用两个一元一次不等式组成一个不等式组，来引进一元一次不等式组的概念，之后可能会进行下一环节的教学，因此建议在概念引进之后，可以再举一些由三个或四个一元一次不等式所组成的不等式组，让学生明白，“几个”是指两个或两个以上，而不仅限于两个，而对于解法，目前，课本展示的是由两个一元一次不等式组成的不等式组的解法，然而这种解法对由两个以上的不等式组成的不等式组也同样适用。

2.教学重点和关键

一元一次不等式组的教学重点是它的解法，在教学时必须使学生理解一元一次不等式组的解集的意义，特别强调解一元一次不等式组的方法是：先求出每一个不等式的解集，然后再找出这些解集的公共部分，“公共部分”就是不等式组的解集。对这一环节学生很容易接受，而困难的是怎样求出解集的公共部分，这就要依赖数轴了，若公共部分不存在，不等式组就无解，因此，教师在不等式的教学活动中，应要求学生必须把不等式的解集在数轴上表示出来，直到熟练为止。

3.归纳总结

在学生掌握了一元一次不等式的解法之后，引导学生进行归纳，由两个一元一次不等式组成的不等式组有以下四种类型：

x>ax>b x>axb x

其解集分别是x

二、关于含有绝对值的不等式的解法

在教学中不妨把含绝对值不等式的概念及其解法作为补充内容介绍给学生，供那些学有余力的学生用课余时间进行探讨，以提高他们学习数学的兴趣。这种|x|>a，|x|>a（a>0）类型的不等式的解法的基础是绝对值的意义和一元一次不等式组的解法。绝对值的定义及它的几何意义（数轴上不同方向上的点到原点的距离）。为了让学生理解这两种绝对值不等式的解法，教学时先给a以具体的数字，结合绝对值的几何意义，利用数轴来说明，辅导学生归纳出结论：|x|a的解集是x<-a或x>a即可。

8.数列不等式的证明 篇八

罗红波洪湖二中高三

（九）班周二第三节（11月13日）

数列和式不等式的证明经常在试卷压轴题中出现，在思维能力和方法上要求很高，难度很大，往往让人束手无策，其实，这类不等式的证明，是有一定的规律的，利用S1

n

a1q

来证明也能事半功倍，下面用几个例子来简述数列和式不等式的证明

S1

n

a1q

常用策略。

一、基础演练：

1、等比数列{an}，公比为q，则{an}的前n项和Sn为（）

na1(q1A．)

an

a1(1q)1(1qn)a

1q(q1)B.na1C.1qD.11q2、正项等比数列{an}，公比为q，0q1，{an}的前n项和Sn，以下说法正确的是（）A．S1n

a11qB.Sa11qC.Saa

nn1qD.Sn11q3、正项数列{a}，{a的前n项和Sa

nn}n，要证明S1n1q，其中0q1，可以去证明（）A．

an1qB.an1aqC.an1qD.a

n1aq nnanan

二、典例精讲：

例

1、等比数列{a1

n}，a11,q2，{an}的前n项和Sn，求证：Sn2

变式

1、正项等比数列{an}，{a1n}的前n项和Sn，a11,Sn2恒成立，求证：0q

2例

2、已知数列{an}，an1

2n

1，{an}的前n项和S5n，求证：Sn2(Sn3?)

aann变式

2、数列{n1n}，a3232n1，a11，{a3

n1n}的前n项和Sn，求证：Sn n

2例

3、（09四川理22）数列{an}的前n项和Sn，对任意正整数n，都有a4an

n5Sn1成立，记bn1a(nN).n

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)记c

nb2nb2n1(nN)，{c3

n}的前n项和Tn，求证：Tn

2变式

3、已知a1n

2，求证Sn(1)a1(1)2a2(1)nan1

(2)n

3三、小结

四、课后作业：

1、等比数列{a1

n}，a12,q

3，{an}的前n项和Sn，求证：Sn3

2、已知数列{an}，an

14n2，{an}的前n项和Sn，求证：S2

n

9.不等式的证明练习 篇九

111． abbcac

112．设a、bR，求证：log1(ab)ab1． 4421．已知abc，求证：

1x2x13． 3．设xR，求证：22x12

4．设nN*，求证：

1112(n11)12n． 23n

5．设a、b、c、分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，求证：

abc． 1a1b1c

226．若x2y21，求证：x2xyy2．

a2b2

(ab)2． 7．若0＜x＜1，求证：x1x

45． 8．设x(0,)，求证：sinxsinx

9．已知：xyz0，xyyzzx0，xyz0．

求证：x0，y0，z0．

参考答案

111(aa)2(bc)2(ca)2

1．0． abbcac2(ab)(bc)(ac)

2．log1（2111)log2log221abab1． 1abab4442

3．用判别式法证明．

1222(k1k)及 kkkk1k

2222(kk1)，再由不等式的同向可加性即得． kk1kkk

ababab11c115．． 1a1b1ab1ab1ab1ab1c1c

xrcos026．换元 01即可得证． yrsin

a2b21x2x2227．[x(1x)]ababa2b22ab(ab)2． x1xx1x

13)235． 8．(sinxsinxsinx4．由

9．用反证法，假设结论不成立，由xyz＞0知x、y、z中应有两个负数，一个正数，不妨设x＞0，y＜0，z＜0．由已知条件，得：

10.不等式的证明方法与小结 篇十

关键词 不等式 方法 证明

不等式是数学基础理论的一个重要组成部分，也是中学数学的一个重要课题。它揭示了现实生活中广泛存在的量与量之间的不等关系，在现实生活和生产活动中有着重要的作用。就知识间的内在联系而论，不等式也是进一步学习函数方程等知识必不可少的基础，不少数学问题的解决，都将直接或间接地用到不等式的知识。本文，将就不等式学习中的难点——不等式的證明方法探讨一下。

一、比较法证不等式

比较法是证明不等式的最基本最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算顺序的直接运用。比较法可分为差值比较法（简称求差法）和商值比较法（简称求商法）两种。

（1）差值比较法

差值比较法的理论依据是不等式的性质：“ ”，其一般步骤为：1）作差：察不等式左右两边构成的差式，将其看成一个整体；2）变形：把不等式两边的差进行变形。或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个的平方等等（其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段）；3）判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。

商值比较法的理论依据是：“若”，其一般步骤为：1）作商：将左右两边作商；2）变形：化简商式到最简形式；3）判断商与1的大小关系（就是判断商大于1或小于1）。

二、分析法证不等式

分析法是指从需证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判断这些条件是否具备的问题。其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。

用分析法证明的逻辑关系为：。书写的模式是为了证明命题B成立，只需证明命题为真，从而有……，这只需证明为真，从而又有……，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证明模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。

三、综合法证不等式

综合法是利用已知事实（已知条件、重要不等式或已证明的不等式）作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式。其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。

四、反证法证不等式

有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑。即要证明不等式A > B，先假设，由题设及其它性质推出矛盾，从而肯定A > B。

五、换元法证不等式

换元法是对一些结构比较复杂，变量比较多，变量之间的关系不甚明了的不等式，这时可引人一个或几个变量进行代换以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。

六、放缩法证不等式

放缩法是要证明不等式A < B 成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的依据主要有：

不等式的传递性；

等量加不等量为等量；

同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较

七、数学归纳法证不等式

用数学归纳法证不等式主要是证明一些与自然数有关的不等式。

八 利用已知不等式法证不等式

用已经成立的不等式来证明不等式，往往可以收到事半功倍的效果，在我们学习中，常用的几个重要的不等式有Canthy 不等式，Jensen不等式，平均不等式，Bernoulli不等式等，熟悉并利用它们，在我们证明不等式的过程中是十分必要的。

以上是不等式证明中常用的几种方法，分别予于了说明。但由于关于不等式证明的问题其题型多变、技巧性强，加上无固定的规律可循，所以在对一题的证明中，往往不是用一种方法就能解决，而是各种方法的灵活运用，因此难度较大。本文是对不等式证明方法的终向剖析，要想更好的了解不等式的证明，也需要我们将其证明方法横向比较，较其优劣，争取在解题中寻找较简便的方法。

参考文献：

[1]不等式证明常用技巧[J].数学教学研究，1995.02.

[2]徐飞.不等式证明中的构造方法[J].数学通报，1981.03.

[3]赵云龙.不等式证明的几种常用类型及方法[J].天津教育，1995.02.

[4]雷小平.证明不等式的常用方法[J].太原科技，2002.01.

11.绝对不等式的证明 篇十一

1. 问题呈现

2. 解法探究

视角1:从转化为分段函数最小值角度入手:设M(x,y),且,依题意知,至此,很容易求得当时,

显然视角2的解法更简洁,而且具有一般性,我们再看下列两个变式问题。

问题变式1: 已知直线,直线,P,Q分别为直线l1和l2上任意两点,则P,Q两点之间的“折线距离”最小值为_____________。

问题变式2:已知圆,直线 l:,P,Q分别为圆O和直线l上任意两点,则P,Q两点之间的“折线距离”最小值为 _____________。

此时如果从视角1来思考,由于是两个动点,不免有点不知如何下手的感觉,为了探究此类问题一般性质及结论,分别把问题1、变式1、变式2进行一般化。

3. 因势利导探一般问题

(1)直线外一点到直线上各点“折线距离”的最小值。

(2)两平行线上各点间“折线距离”的最小值。

证明过程略。

(3)圆上各点到直线上各点“折线距离”最小值。

当B=0是上式也适合。

4. 解题反思

从上述求“折线距离”最小值的方法及过程可知,灵活运用绝对值三角不等式是关键,形如f (x)= ax+b + cx+d(x缀R) 这种结构式函数的最小值均可以用这种方法求解,基本原则是首先将两个绝对值里面x的系数绝对值放缩成相等。再将两个绝对值里面的式子相加或相减消去含变量x的项,得到一个常数。其理论依据实质上就是利用多个同向绝对值不等式相加的性质,并考虑等号同时成立的条件。

练习:(1)(2014年重庆理科卷第16题) 若不等式|2x-1| + |x+2|≥a2(1/2)a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是 ______________。

答案:-1,1/2

(2)(2014年安徽理科卷第9题)若函数f (x)= |x+1| + |2x+a|的最小值为3,则实数a的值为()

A. 5 或 8

B. -1 或 5

C. -1 或 -4

D. -4 或 8

答案:D

5. 高考中有关“折线距离”考题赏识

(1)(2013年湖南卷)

在平面直角坐标系xoy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”。如图1所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”。某地有三个新建的居民区,分别位于平面xoy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处。现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心。

(I)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式 (不要求证明);

(II)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小。

解:设 P(x,y)

(I)则点P到居民区A的“L路径”长度最小值为x-3 + y-20 ,x缀R,y缀[0,+∞)

(II)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值。

1当 y≥1 时,d= |x+10| +| x-14| +|x-3| +2| y| + |y-20|

因为|x+10| + |x-14| +| x-3|≥|x+10| + |x-14|≥24,当且仅当x=3时等号同时成立。

2 |y |+| y-20| =2y+ |y-20|≥21,当且仅当y=1等号成立。

所以d≥45,即点P分别到三个居民区的“L路径”长度值和最小值为45,此时P点的坐标为(3,1)。

2当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d= |x+10| +| x-14|+ |x-3| +1+ |1-y| + |y| + |y-20|

由1知|x+10| + |x-14| + |x-3|≥24,当且仅当x=3时等号同时成立。

1+ |1-y |+ |y| +| y-20| =22-y≥21,当且仅当y=1时取等号。

所以d≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立。

综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小。

12.基本不等式的证明 教案 篇十二

斜桥中学肖剑

一、教材分析

不等式是高中的重点也是难点,而本节内容又是该章的重中之重，是《考试说明》中八个C级考点之一。基本不等式的证明方法（比较法、分析法、综合法）为我们证明不等关系提供了主要的方法及应用。用基本不等式求函数最值也是高考的一个热点。

二、教学目标

1.知识目标：⑴知道算术平均数和几何平均数的概念

⑵探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；

⑶能利用基本不等式证明简单的不等关系。

2.情感目标：通过不等式基本性质的探究过程，培养学生合作交流的思维品质，渗透不等式

中的数学美，激发学生学习兴趣，陶冶学生的数学情操。

3.能力目标:⑴通过对基本不等式证明的理解，体会三种证明方法，能准确用三种证明中简

单的方法证明其它不等式问题。

⑵体会类比的数学思想方法，培养其观察、分析问题的能力和总结概括的能力

三、教学重、难点

以学生探索发现定理来得出重点，以学生小组讨论，教师点拨来突破难点。

四、教学方法

以学生自主探究为住，教师归纳总结，采用启发式教学。

五、教学过程

1、创设情境、导入新课

利用多媒体显示下面不等式，由学生完成比较大小。

34294

423

322222、问题探究、讲授新课

提出问题：能否发现什么规律？

通过比较，学生不难得出，两数和的一半大于两数积的算术平方根。从而得出数学表达式abab。从而得出本节课的第一个重点：基本不等式的定理。这样由学生自主探索、2发现新知，可让他们体会获得成功的愉悦感。在这里，如果学生漏掉a和b是正数，可对他们进行修正，并可扩充到a0，b0。同时讲明取“＝”当且仅当的含义，接着可向学生讲

解算术平均数和几何平均数的概念。

得出这个定理后，下面我可利用多媒体生动地向学生展示该不等式的几何证明即不等式的几何意义同时强调取等号时的位置，这样可提高他们学习数学的兴趣。展示完后，我便可提问，刚才我们是从图中直观地看出这个不等式是正确的，但我们数学是需要严谨的逻辑证明，同学们可用哪些方法去证明呢？这便是本节课的第二个重点，也是难点。在此，可鼓励学生发挥集体的力量，一人不行两人，两人不行四人，大家一起探讨，这样以学生为主体，使他们全都参与到课堂中去，使课堂达到高潮。在学生的讨论过程中，我也深入到学生中去，并做适当的点拨。

通过学生的讨论，学生不难得出用作差的方法证明该不等式，对此，我对他们进行鼓励、肯定，竖立他们学习数学的自信心。同时向他们讲明作差比较是我们高中阶段证明不等式的重要方法之一。最后我用多媒体展示书写过程，帮他们再次强化该方法的书写步骤。对于分析法，我估计学生可能会想到思路，会说出大致的证明过程，但对该方法的理解还是很模糊的，在这里，我首先向他们介绍这就是分析法，是我们证明不等式的另一个重要方法，接着讲解该方法，即从结论出发，推到已知结论或恒等式或公理，最后由我在黑板上完成书写，帮他们学会规范的书写，即“要证，只要证”的形式

要证abab

2只要证2abab

只要证0ab2ab

只要证0ab 2

因为最后一个不等式成立，所以ab ab成立，当且仅当ab，即ab时取“” 2

对于综合法，在证明这道题时，如果学生没有先想到，就把本方法在最后的方法中讲，因为综合法在本题中不易想到从哪个式子开始证明，但有了比较法和分析法后，学生自然能想到从哪个式子开始证明，同时讲清综合法的特点，即由条件，推倒结论。

讲完三种证明方法后，留一定时间给学生，让他们自己去感悟一下三种方法的特点及书写过程，加深他们的印象。

b2a2

最后，我以巩固本节课所学知识为目的，让学生比较:与ab的大小(其中ab

a,bR)，在这里，我认为比较两个变量的大小，可引导学生利用我们上课一开始比较具体数大小的方法，代几个具体的数去比较。这种方法在我们以后做填空题中比较大小是一种捷径。而本题的证明可利用我们今天课上所讲的三种方法，我打算让两位学生在黑板板演，以检验他们掌握情况与书写格式是否合理。如时间还有剩余，可由学生完成例一，帮他们巩固基本不等式定理。

例一1．设a,b为正数，证明下列不等式成立：

ba12（2）a2 aba

162．已知函数yx，x(2,)，求此函数的最小值。x2（1）

六、回顾反思：

本节课的最后，由学生思考今天所学到了哪些知识，这些知识可解决哪些问题？

七、板书设计

基本不等式

一、定理

abab（a0，b0）

2二、证明方法

⑴作差法

⑵分析法

⑶综合法

三、探索 ab比较2a2b2的大小 2

如何证明

13.均值不等式的证明方法 篇十三

本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。一般的均值不等式我们通常考虑的是AnGn: 一些大家都知道的条件我就不写了

x1x2...xn

n



x1x2...xn

我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：

二维已证，四维时：

abcd(ab)(cd)2ab2cd4八维时:

(abcd)(efgh)4abcd4efgh8abcdefgh

abcd

4abcd

这样的步骤重复n次之后将会得到

x1x2...x2n

n



n

x1x2...x2n

令x1x1,...,xnxn;xn1xn2...x2

n

x1x2...xn

n

A

由这个不等式有

A

nA(2n)A

nn



n

x1x2..xnA

2n

n

(x1x2..xn)2A

n

1

n2

n

即得到

x1x2...xn

n



n

x1x2...xn

这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：

例1：

n

若0ai1(i1,2,...,n)证明

i1

11ai



n

1(a1a2...an)n

例2：

n

若ri1(i1,2,...,n)证明

i1

1ri1



n

1(r1r2...rn)n

这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：

给出例1的证明：

当n2时11a1



11a2



(1

a1a2)2(1a1)(1a2)

设pa1a2,q

(1q)(2p)2(1pq)

p2qpq2qp(1q)2q(q1)p2q，而这是2元均值不等式因此11a1



11a22

n



11a3



11a4



此过程进行下去

n



因此

i1

1ai

1(a1a2...a2n)2

n

令an1an2...a2n(a1a2...an)nG

n

有

i1n

11ai

11ai

(2n)

n

11G



n

n2n

n



n

1(GG



n1G

n)

n

1G

即

i1

例3：

已知5n个实数ri,si,ti,ui,vi都1(1in),记RT

n

1n

n

r,S

ii



1n

n

s

i

i

1n

n

t,U

ii



1n

n

u

i

i,V

1n

n

v，求证下述不等式成立：

ii



i1

（risitiuivi1risitiuivi1)（RSTUV1RSTUV1)

n

要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式

其实由均值不等式，以及函数f(x)ln因此

e1e1

x

x

是在R上单调递减

RSTUV



（RSTUV1RSTUV1)

n

我们要证明：

n

(rstuv

i1

iii

i

risitiuivi1

i

1)

证明以下引理：

n

(x

i1

xi1

i

x21x21

n

1)

n2时，(令A

x11x11)（）2

A(x1x21x1x2)(x1x21x1x2)

2A(x1x2x1x21)A(x1x21x1x2)(1x1x2x1x2)2A(x1x21x1x2)

(A1)(x1x21)2A(x1x21)显然成立

2n

n

n

因

此（i1

xi1xi1

n)（G1G1)

2n

n

（GGGG

n

n

n

n

11

2n2

n)，G

n

（G1G1

n)

因此（i1

xi1xi1

n)

所以原题目也证毕了

这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明Jensen:

f(x1)f(x2)

f（x1x2)，则四维：

f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)2f（x1x2)2f（x3x4)4f（x1x2x3x4)

一直进行n次有

f(x1)f(x2)...f(x2n)

n

f（x1x2...x2n

n),令x1x1,...,xnxn;xn1xn2...x2

n

x1x2...xn

n

n

A

有

f(x1)...f(xn)(2n)f(A)

n

n

f（nA(2n)A

n)f(A)

所以得到

f(x1)f(x2)...f(xn)

n

f（x1x2...xn

n)

所以基本上用Jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明

而且有些时候这种归纳法比Jensen的限制更少

其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明

14.证明不等式的常用方法 篇十四

关键词：不等式

不等式在教学中是一个重要的知识点, 不等式的证明灵活多变, 需要很强的观察能力和逻辑思维能力, 为了便于掌握不等式证明的基本方法, 本文总结了以下五种证明不等式的常用方法.

一、分析法

从求证的不等式出发, 分析使这个不等式成立的条件, 把证明这个不等式转化为判断这些条件是否具备的问题.如果能够肯定这些条件都已具备, 那么就可以断定原不等式成立, 这种方法叫分析法, 注意书写形式“要证……即证……只需证”.

例1 设a, b是非负实数, 求证:$a{}^3+b{}^3\ge \sqrt{ab}(a{}^2+b{}^2).$

证明 ∵a, b是非负数,

$\therefore \frac{a+b}{2}(a{}^2+b{}^2)\ge \sqrt{ab}(a{}^2+b{}^2).$

∴要证$a{}^3+b{}^3\ge \sqrt{ab}(a{}^2+b{}^2)$,

只需证$a{}^3+b{}^3\ge \frac{a+b}{2}(a{}^2+b{}^2)$,

只需证$(a{}^3+b{}^3)-\frac{a+b}{2}(a{}^2+b{}^2)\ge 0$,

$\begin{array}{l}\text{即}\text{证}\frac{a+b}{2}(a-b){}^2\ge 0.\\ \because \frac{a+b}{2}\ge 0‚(a-b){}^2\ge 0‚\\ \therefore \frac{a+b}{2}(a-b){}^2\ge 0\text{成}\text{立}‚\end{array}$

$\therefore a{}^3+b{}^3\ge \sqrt{ab}(a{}^2+b{}^2)$成立.

二、放缩法

从不等式的一边入手, 逐渐放大, 缩小不等式, 直到得到不等式的另一边.

$\begin{array}{l}\text{例}2\text{已}\text{知}n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*}‚\text{求}\text{证}:\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times \frac{5}{6}\times \cdots \times \frac{2n-1}{2n}<\\ \frac{1}{\sqrt{2n+1}}.\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{证}\text{明}\because \frac{2n-1}{2n}<\frac{2n}{2n+1}‚\\ \therefore \left(\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times \frac{5}{6}\times \cdots \times \frac{2n-1}{2n}\right){}^2<\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{4}\times \frac{4}{5}\times \frac{5}{6}\times \frac{6}{7}\times \cdots \times \frac{2n-1}{2n}\times \frac{2n}{2n+1}‚\\ \therefore \left(\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times \frac{5}{6}\times \cdots \times \frac{2n-1}{2n}\right){}^2<\frac{1}{2n+1}‚\\ \therefore \frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times \frac{5}{6}\times \cdots \times \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}.\end{array}$

三、反证法

从假设结论不成立入手, 推出与已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实等相矛盾的结果, 从而判定假设错误, 结论成立.一般步骤:1.否定结论;2.推理论证;3.导出矛盾;4.肯定结论.

例3 已知f (x) =x2+px+q, 求证:|f (1) |, |f (2) |, |f (3) |中至少有一个不小于$\frac{1}{2}.$

证明 假设|f (1) |, |f (2) |, |f (3) |都小于$\frac{1}{2}$,

即$|f(1)|<\frac{1}{2}‚|f(2)|<\frac{1}{2},|f(3)|<\frac{1}{2}.$

$\begin{array}{l}\text{而}f(1)=1+p+q‚f(2)=4+2p+q‚f(3)=9+3p+q‚\\ |2f(2)-f(1)-f(3)|=2‚\\ 2|f(2)|+|f(1)|+|f(3)|<2\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=2.\end{array}$

由|2f (2) -f (1) -f (3) |≤2|f (2) |+|f (1) |+|f (3) |知, 2<2, 此式矛盾,

∴|f (1) |, |f (2) |, |f (3) |中至少有一个不小于$\frac{1}{2}.$

四、数学归纳法

通常运用此方法证明与自然数n有关的不等式.

例4 已知a, b为正数, 且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$, 试证:对每一个n∈N*, (a+b) n-an-bn≥22n-2n+1.

证明 ①n=1时, 原命题显然成立.

②假设n=k时命题成立, 即

(a+b) k-ak-bk≥22k-2k+1.

则n=k+1时,

(a+b) k+1-ak+1-bk+1

= (a+b) [ (a+b) k-ak-bk]+abk+akb

≥ (a+b) (22k-2k+1) +abk+akb.

$\begin{array}{l}\text{由}1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{2}{\sqrt{ab}}‚\text{可}\text{得}ab\ge 4‚a+b\ge 2\sqrt{ab}\ge 4.\\ \therefore ab{}^k+a{}^{k}b\ge 2\sqrt{a{}^{k+1}b{}^{k+1}}\ge 2(4){}^{\frac{k+1}{2}}=2{}^{k+2}‚\\ \therefore (a+b){}^{k+1}-a{}^{k+1}-b{}^{k+1}\\ \ge (a+b)(2{}^{2k}-2{}^{k+1})+ab{}^k+a{}^{k}b\\ \ge 4(2{}^{2k}-2{}^{k+1})+2{}^{k+2}=2{}^{2(k+1)}-2{}^{(k+1)+1}‚\end{array}$

∴当n=k+1时命题成立.

由①②可知, 对每一个n∈N*,

(a+b) n-an-bn≥22n-2n+1.

五、函数法

根据函数的单调性 (先构造函数) 证明不等式的方法.

例5 设a为实数, 数列an=en-2n+2a.

证明:当a>ln2-1时, 对一切的n∈N*, 都有en>n2-2an+1成立.

证明 作函数:g (x) =ex-x2+2ax-1, x∈R,

g′ (x) =ex-2x+2a, x∈R,

g″ (x) =ex-2, x∈R,

则当x∈ (-∞, ln2) 时, g″<0, g′ (x) 单调递减;

当x∈ (ln2, +∞) 时, g″>0, g′ (x) 单调递增.

∴g′ (x) =ex-2x+2a在x=ln2处有极小值g′ (ln2) ,

∴g′ (x) =ex-2x+2a在x∈R上的最小值为

g′ (ln2) =2-2ln2+2a.

当a>ln2-1时,

g′ (x) ≥g′ (ln2) =2-2ln2+2a>0 (x∈R) .

∴在g (x) 内R上单调递增.

于是, 当a>ln2-1时, 对任意的x∈ (0, +∞) , 都有g (x) >g (0) .

而g (0) =0, 从而, 对任意的x∈ (0, +∞) , 都有g (x) >0,

即ex-x2+2ax-1>0, 故ex>x2-2ax+1.

∴当a>ln2-1时, 对一切的n∈N*, 都有en>n2-2an+1成立.

以上介绍了不等式证明的常用方法, 有的问题可以用这样的方法也可以用那样的方法, 甚至可以用多种方法, 有的题目是几种方法一起用.总之, 各种常用方法之间并没有明确的分界点, 我们可以尝试一题多解, 从而锻炼我们的逻辑思维能力, 提高分析问题、解决问题的能力.

15.高中数学中不等式的证明方法 篇十五

要培养和提高自己的证题能力，一是要熟悉证明不等式的常用方法；二是要通过做题、思考来感悟和领会这些方法、技巧，使其变为自己的证题能力。不等式的证明方法是多种多样的，并且在一个题目的证明过程中，往往不止应用一种方法，而需要灵活应用各种方法。现将证明不等式的常用方法归纳如下。

一、比法较

1.作差比较法

依据a>b a-b>0（或a例1.已知：a、b、c为正数，求证：a3+b3+c3≥3abc

证明：因为a3+b3+c3-3abc

= （ a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）

= （a+b+c）[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]≥0

所以a3+b3+c3≥3abc

2.作商比较法

依据若b>0，则a>b >1（或a

关键词 Daily report 英语学习

中图分类号：G623.31 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）16-0041-02

我校位于城中村与市区结合的南湾片区，学生多属于外来务工人员的子女，即使是本市的生源，家长多属于湾仔本地人，文化程度不高，家庭学习环境差，很多家里没有电脑，学生根本不会利用互联网查阅资料，电脑对于他们来说就是一台游戏机。无论汉语还是英语，表达能力都很差。目前常规的英语教学，有限的课堂45分钟只能落实一些课本基本知识，日常口语会话不能得到很好的练习。为了有效练习日常会话和口语表达能力，我打算英语课利用课前3分钟开展一个“Daily Report”活动，活动实施前进行了学情调查，通过调查获得的数据，使我有了一种认识：受调查学生都经过了小学3年的英语学习，有些甚至学了6年，但由于众多原因，大部分学生未能达到应有的口语水平。存在的问题如下：

1.随着年级的增高、学习内容的增加、学习负担的加重，学生的学习态度和学习兴趣也随之减弱。

2.课堂是学生语言学习与习得的主要环境，离开课堂之后，他们很少有机会说英语，更无法将所学知识应用于实际交流。

3.部分学生有讲英语的热情，但对开口讲英语总有一种惧怕心理，怕出错，怕受老师责备，怕被同学耻笑。这种恐惧心理常导致学生平时缺乏足够的口语练习机会，在开口时没有一种自主感。越害怕说的就越少。

4.由于学生英语基础差，对学习英语产生了烦、厌、没兴趣等心理障碍，觉得用英语进行交际是一件非常困难的事，因而逃避说英语。

《九年义务教育初中英语课程标准》三至五级中对我们初中英语教学有这样的要求：“学生能尝试使用不同的教育资源，从口头和书面材料中提取信息，扩展知识，解决简单的问题并描述结果。能在学习中互相帮助，克服困难。”

开展Daily report活动能为学生搭建展示自我、与他人分享交流的平台，能够更好的激发学生学习英语的兴趣，提高学生做事能力，增强自信心。同时为师生互动交流提供了一个良好的机会。学生在演讲前会通过多种媒体收集、查阅大量资料，再对所收集的资料进行整合，这要求学生要正确地获取和判断各种信息，了解媒体传达信息的方式、工具等特点，合理使用数码技术、通讯工具和网络。这体现了21世纪技能——学生的信息、媒体和技术技能。所以，Daily Report对城乡结合地区的学生英语学习起着非常重要的作用。

一、开展Daily Report活动的要求

1.确定演讲内容。课前三分钟演讲顺序由课代表安排，或按座次，或按学号，或男女轮流出场；演讲的内容从刚入学七年级上的教学需要实施命题演讲，如自我介绍；一段时间后进行半开放型演讲，即演讲内容不做太多限制，让演讲者在备选的几个话题中抽签选择；最后进行开放型演讲，让演讲者自由选题。严密组织，让学生充分重视这一教学环节，以达到以讲促学的目的。杜绝信马由缰式的放纵，鼓励学生运用意会、感受、想象等方法，丰富词汇，领悟语法，形成自己的语言风格。

2.要求脱稿，不走形式。脱稿演讲，一方面能提高学生的记诵能力，另一方面还可以让学生在反复背诵中加深对主题的理解。每一次背诵都是一次学习的过程，也是一次提高的过程。我强调让学生珍惜难得的锻炼机会，严格脱稿演讲制度，不要让演讲有名无实。

3.注重教师指导，注重学生的个体差异。教师要对“课前三分钟演讲”进行针对性的指导。学生千差万别，演讲内容丰富多彩，演讲风格各不相同，那么演讲的效果肯定不会一致。初中生的年龄特点决定了他们敏感、自尊的心理特征，他们渴望成功，渴望得到认可和表扬，所以我们要对其中成功的演讲进行充分地肯定，让其尽享成功的愉悦，进一步激发他们的表现欲望和创造欲望，为其他学生树立一个榜样。教师言传身教，自始自终应把握正确的指引方向，既发挥学生的主体性，调动他们的积极性；又不放任自流，任由学生随意的“演讲”，让演讲流于形式。鼓励为主，恰当点评。对于不太成功的演讲，教师要善于从“不成功”中发现闪光点，让演讲者体会到了小小的鼓励，使其对下一次演讲充满渴望。

二、开展Daily Report活动的作用

1.培养了学生的创新能力。课前三分钟演讲，使学生的创造力得到了极大限度的发挥。从标题拟定、题材翻新、主题升华，一段音乐伴奏，不管是内容还是形式，学生们都表现出了非凡的创造力。为了吸引听众注意，各种各样的小花招更是层出不穷。

2.锻炼了学生发表个人见解的胆量，消除了学困生畏难的情绪。很多学生第一次上台手足无措，语无伦次，经过第二次、第三次锻炼以后，都有不同程度的进步。Daily Report循环周期长，学生准备时的工作量大，对基础差的学生是个很大的挑战。如何照顾学困生？可由课代表组织Daily Report的活动，分组依次轮流进行，前一天由科代表在公示栏里提醒，分布完这个任务后，第二天就开始执行，先从英语基础好的学生开始。对胆子很小、成绩也偏后的学生Daily Report会遇到困难，教师特意鼓励这些学生，让其好好表现。并带动其他同学给予其热烈的掌声鼓励。一些语音不好、语言表达不好的学生在Daily Report活动中可分配简单的任务，让其找到适合自己的舞台，这不仅使他们有成就感，而且也可提高他们的课堂参与热情，增强他们学好英语的信心。这样一来，既给学生们扫除英语课的紧张心理，也给学生开创一个很好的表现机会。

3.养成了学生仔细聆听的习惯。在进行Daily Report后，演讲者会对自己的内容进行提问，听众也会对所听到的内容进行纠错。只有仔细聆听了，才可以做到准确的回答问题和纠错。在纠错这一问题上，教育学生一方面要礼貌的纠正他人的错误，另一方面要敢于面对自己的错误。

4.促进了教师教学观念的转变，培养了教师的教育科研意识。通过这个活动，牢固树立校本研究的思想，更新了教师教学观念，巩固并加深了教师对新课程改革的理解，拓宽了教师对教学方式改变的思路，促进了教师综合素质的提高。