一元一次方程应用精讲

一元一次方程应用精讲（精选8篇）

1.一元一次方程应用精讲 篇一

教学目标

1.使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤;并会列出一元一次方程解简单的应用题;

2.培养学生观察能力，提高他们分析问题和解决问题的能力;

3.使学生初步养成正确思考问题的良好习惯.教学重点和难点

一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤.课堂教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢?若能解决，怎样解?用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢?

为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题.例1 某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数.(首先，用算术方法解，由学生回答，教师板书)

解法1：(4+2)(3-1)=3.答：某数为3.(其次，用代数方法来解，教师引导，学生口述完成)

解法2：设某数为x，则有3x-2=x+4.解之，得x=3.答：某数为3.纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一.我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系.因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程.本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤.二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤

例2 某面粉仓库存放的面粉运出 15%后，还剩余42 500千克，这个仓库原来有多少面粉?

师生共同分析：

1.本题中给出的已知量和未知量各是什么?

2.已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系?(原来重量-运出重量=剩余重量)

3.若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克?利用上述相等关系，如何布列方程?

上述分析过程可列表如下：

解：设原来有x千克面粉，那么运出了15%x千克，由题意，得

x-15%x=42 500，所以 x=50 000.答：原来有 50 000千克面粉.此时，让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式?若有，是什么?

(还有，原来重量=运出重量+剩余重量;原来重量-剩余重量=运出重量)

教师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与原来重量-运出重量=剩余重量，虽形式上不同，但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程;

(2)例2的解方程过程较为简捷，同学应注意模仿.依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤;然后，采取提问的方式，进行反馈;最后，根据学生总结的情况，教师总结如下：

(1)仔细审题，透彻理解题意.即弄清已知量、未知量及其相互关系，并用字母(如x)表示题中的一个合理未知数;

(2)根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系.(这是关键一步);

(3)根据相等关系，正确列出方程.即所列的方程应满足两边的量要相等;方程两边的代数式的单位要相同;题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等;

(4)求出所列方程的解;

(5)检验后明确地、完整地写出答案.这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义.例3(投影)初一2班第一小组同学去苹果园参加劳动，休息时工人师傅摘苹果分给同学，若每人3个还剩余9个;若每人5个还有一个人分4个，试问第一小组有多少学生，共摘了多少个苹果?

2.一元一次方程应用精讲 篇二

一、商品利润问题

例1商店对某种商品进行调价,按原价的8折出售,此时商品的利润率是10% ,若此商品的进价为1600元,问:商品的原价是多少?

分析:商品利润≠商品的利润率.本题中商品进价和商品的利润率都已知,而商品利润 = 商品售价-商品进价 = 商品原价×80% 商品进价.

解:设商品原价为x元,根据题意,得

x×80% -1600 = 1600×10% .解得x = 2200.

答:商品的原价是2200元.

二、工程调配问题

例2甲、乙两个工程队分别有80人和60人,为了支援乙队,需要从甲队调出一部分人进乙队,使乙队的人数比甲队人数的2倍多5人.问:从甲队调出的人数应是多少?

分析:本题中,对甲队来说有调出变化,对乙队来说有调入变化.调动后的等量关系是:乙队调入后的人数 = 甲队调出后的人数的2倍+ 5.

解:设应从甲队调出x人进乙队,则调动后甲乙两队的人数分别是80-x,60 + x.根据题意,得

60 + x = 2(80-x)+ 5.解得x = 35.

答:从甲队调出的人数是35.

三、工程效率问题

例3一件工程,甲单独做需15天完成,乙单独做需12天完成.甲、乙合作3天后,甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成.问:乙还要几天才能完成全部工程?

分析:工程问题的基本关系式:工作总量 = 工作效率×工作时间,以及由此推出来的变式公式.因为工作总量未知,我们可设工程总量为单位1,则甲、乙的工作效率分别是1/(15),1/(12).由题意知本题中的等量关系是:甲乙合作3天完成的工作量 + 乙单独完成的工作量 = 工作总量1.

解:设乙还需x天完成全部工程.根据题意,得

,解得

答:乙还需天才能完成全部工程.

四、日常生活问题

例4水资源透支令人担忧,节约用水迫在眉睫.针对居民用水浪费现象,北京市制定了居民用水新标准,规定三口之家每月的标准用水量,超标部分加价收费.假设不超标部分每立方米水费1.3元,超标部分每立方米水费2.9元.若某三口之家某月用水12立方米,交水费22元,请你通过列方程求出北京市规定三口之家每月的标准用水量.

分析:首先要弄清楚这家用水量是否超标.怎样判断它是否超标呢?看12×1.3 = 15.6与22的大小关系就知道是否超标,由于12×1.3=15.6<22,所以12立方米水中有超标部分.因此,水费要分不超标部分和超标部分两个部分来计算.

解:由于12×1.3 = 15.6<22,所以12立方米水中有超标部分.

设北京市规定三口之家每月的标准用水量是x立方米,根据题意,得

1.3x + 2.9(12-x)= 22.

解得x = 8.

答:北京市规定三口之家每月的标准用水量是8立方米.

五、数字问题

例5一个四位整数,其个位数字为2,若把末位数字移到首位,所得新数比原数小108,求这个四位数.

分析:解与数字有关的问题,一要掌握十进制表示数的方法,如一个三位数的百位数字是a,十位数字是b,个位数字是c,则这个三位数表示为100a + 10b +c;二要注意设未知数的方法,如果未知数设得巧妙,可以简化计算.解决此题的关键是用含未知数的代数式分别表示出新数和原数,原数中的前三位可看做一个整体,设为x,则原数可表示为10x + 2,新数可表示为2×1000 + x,于是根据新数和原数之间的关系可列出方程.

解:设这个四位数的前三位数为x,则此四位数为10x + 2,未知数移到首位后所得新数为2×1000 + x.根据题意,得(10x + 2)-(2×1000 + x)= 108.解得x = 234.

所以10x + 2 = 2342.

答:这个四位数是2342.

六、比例问题

例6某种成药含有甲、乙、丙三种中药,这三种中药的质量比是2∶3∶7,现要配置1440克成药,问:三种中药分别需要多少克?

分析:本题中相关数量之间的关系是以比例的形式给出的,对于这类问题,在设未知数时,往往采取间接设未知数法,依据题目条件中的比例关系设未知数,避免出现分数,这样解起来较为简便.根据题意,我们可将成药看成是由12份组成,如果设每份质量为x克,那么甲、乙、丙三种中药的质量分别是2x克、3x克、7x克,由此可列出方程.

解:设成药中甲、乙、丙三种中药的质量分别为2x克、3x克、7x克.根据题意,得2x + 3x + 7x = 1440.

解得x = 120.

所以2x = 240(克),3x = 360(克),7x = 840(克).

答:甲乙丙三种中药分别需要240克、360克、840克.

七、日历问题

例7小王:“小李,你的生日是几号?”

小李:“我的生日连同上下左右5个日期之和为21.”

小王却认为小李在说谎.

请你判断一下,小李有没有说谎?

分析:要判断小李有没有说谎,就要看小李所说的日期是否存在.

解:设小李的生日是x号,则这个日期上方的日期是x-7,下方的日期是x +7,左边的日期是x-1,右边的日期是x +1.根据题意,得(x + 7)+(x + 1)+ x+(x-1)+(x-7)= 21.

解得x=(21)/5.

因为日期都是整数,不可能是分数,所以小李在说谎.

八、行程问题

例8小张和父亲搭乘家门口的公共汽车赶往火车站,去家乡看望爷爷.在行驶了一半路程时,小张向司机询问到达火车站的时间,司机估计继续乘公共汽车到火车站时火车将正好开出,根据司机的建议,小张和父亲随即下车改乘出租车,车速提高了一倍,结果赶在火车开车前15分钟到达火车站.已知公共汽车的平均速度是30千米 / 时,问:小张家到火车站有多远?

分析:此题属于行程问题,这个问题中的等量关系是:全程乘公共汽车到达火车站所用时间比改乘出租车到达火车站所用的时间多15分钟,据此可列方程.

解:设小张家距离火车站x千米.根据题意,得

解得x = 30.

答:小张家距离火车站30千米.

例9一辆慢车以每小时90千米的速度从甲站开出,过了45分钟后,一辆快车以每小时100千米的速度也从甲站开出,与慢车走相同的路线,问:快车从甲站开出后经过几小时追上慢车?

分析:本题属于追及问题,追及前两车相距千米.根据追及问题中的基本等量关系:快车路程-慢车路程 = 被追路程,可列出方程.

解:设快车从甲站开出后经过x小时追上慢车.根据题意,得,解得x = 3.

3.一元一次方程应用题 篇三

一、 名题欣赏：李白买酒

诗仙李白嗜酒、豪放、旷达，斗酒诗百篇，是唐代“饮中八仙”之一.民间流传李白买酒的歌谣：

李白街上走，提壶去打酒；

遇店加一倍，见花喝一斗；

三遇店和花，喝光壶中酒.

试问酒壶中，原有多少酒？

【分析】设壶中原有x斗酒.

一遇店和花后，壶中酒为：2x-1；

二遇店和花后，壶中酒为：2（2x-1）-1；

三遇店和花后，壶中酒为：2[2（2x-1）-1]-1.

因此，有关系式：2[2（2x-1）-1]-1=0；

解得：x=8/7.

二、 名题欣赏：九章算术·共买鸡

今有共买鸡，人出九，盈十一，人出六，不足十六，问人数、物价各几何？

【分析】设有x人共同买鸡，则共用钱可用二个式子表示，一个是9x-11，另一个是6x+16，则得方程9x-11=6x+16，解得x=9，9x-11=70，答：人数9，鸡价70钱.

三、 名题欣赏：四元玉鉴·及时梨果

九百九十九文钱，及时梨果买一千，

一十一文梨九个，七枚果子四文钱.

问：梨果多少价几何？

此题的题意是：用999文钱买得梨和果共1 000个，梨11文买9个，果4文买7个.问买梨、果各几个，各付多少钱？

答：买梨付款总价803文，买果付款总价196文.

许多数学问题，像陈年老酒，历久弥香，背后展现的是丰富的数学文化.

（作者单位：江苏省如皋市实验初级中学）

4.一元一次方程应用题教案 篇四

-----多角度寻找题目中的等量关系与列方程

主讲教师：刘露莲

【教学目标】

1.弄清楚题目中各数量之间的关系，找出等量关系。

2.能根据题意设未知数，列出相应的方程，并明白列方程的实质。

3.通过用一元一次方程解决生活中的实际问题，让学生感受到数学和我们的生活息息相关，从而增强学生使用数学的意识和对数学的兴趣。

【教学重、难点】

重点： 将实际问题转化为数学问题，找出等量关系 难点： 明白列方程的实质。【教学方法】

采用探究、合作、交流等教学方式完成教学。

【教学手段】

多种媒体辅助教学.【教学流程】

一、复习引入 ：找等量关系并列出方程 1.某数的三分之一比这个数小1，求这个数。2.某数与7的和的四分之一是10，求这个数。3.某数的30%与5的差是8，求这个数。

4.某数的30%与5的差的三分之一等于3，求这个数。

5.甲、乙两组共50人，且甲队人数比乙队人数的2倍少10人，求两队各有多少人？（方法一）（方法二）

6.一个数的3倍与（-9）的绝对值的和恰好等于这个数的6倍，求这个数。

7.甲组4名工人1月完成的总工作量比该月人均定额的4倍多20件，乙组5名工人1月完成的总工作量比该月的人均定额的6倍少20件。

（1）设月人均定额为X件，则甲组人均生产量为 乙组人均生产量为（2）若两组工人人均生产量相等，可列方程为（3）若甲组人均生产量比乙组多2件，可列方程为（4）若甲组人均生产量比乙组少2件，可列方程为

8.小王买了6斤苹果，他给了老板50元，老板找回他26元，求苹果的单价。9.长方形的周长为60米，已知长是宽的1.5倍，求它的面积。

10.某厂今年产值为600万元，今年比去年增长了20%，求去年的产值。11.某商品进价为200元，按标价的九折卖出后，利润率为35%，求标价。

12.已知三个连续奇数的和为105，求这三个奇数。归纳小结：找等量关系主要应，注意关键词语。（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率，它们的比是……”来体现。（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。(3)基本的数量关系与公式：路程=速度×时间，行船问题：V顺=V静+V水 V逆= V静-V水，飞行问题：V顺=V静+V风，V逆=V静-V风，工作总量=工作效率×工作时间，长方形周长=2（长+宽）等等。（4）理解文字找等量关系。会找等量关系，咱们解应用题就成功了一半。

二、小组尝试:（小组活动）

例4 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100 t.新旧工艺的废水排量之比为2:5，两种工艺的废水排量各是多少？

思考：

（1）你能在问题中把表示等量关系的语句找出来，并用等式进行表示吗？（2）你准备设哪个未知数

等量关系：旧工艺的废水排量=环保限制的最大量+200；

新工艺的废水排量=环保限制的最大量—100； 新工艺的废水排量：旧工艺的废水排量 = 2:5 解：设新、旧工艺的废水排量分别为2x t和5x t.根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得

5x－200＝2x＋100（问：等号两边代表哪个数量）移项，得

5x－2x＝100＋200

合并同类项，得

3x＝300

系数化为1，得

x＝100

所以 2x＝200，5x＝500.答：新旧工艺产生的废水数量分别为200 t和500 t.三、归纳小结：

通过刚才咱们一起探究的过程，咱们来总结一下运用方程解决实际问题的一般过程。1.审题：分析题意，找出题中的数量关系及其等量关系(也就是将实际问题转化为数学问题)； 2.设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）； 3.列方程：根据等量关系列出方程； 4.解方程：求出未知数的值； 5.检验6.答。而我们知道前3步是咱们用方程解应用题的制胜关键，接下来咱们重点练习前3个步骤。

四、课堂检测（回答：列方程的实质是什么？）

1．某科技兴趣小组共32人，其中男生与女生的人数之比为3：5，问男、女生各有多少人？

2．一个三角形三边长度的比为3:4:5，最短的边比最长的边短4 cm，则这个三角形的周长是多少？

3．某学校组织学生共同种一批树，如果每人种5棵，则剩下3棵；如果每人种6棵，则缺3棵树苗，求这批树有多少棵.4.某工人在一定时间内加工一批零件，如果每天加工44个就比规定任务少加工 20个；如果每天加工50个，则可超额10个．求规定加工的零件数和计划加工的天数．

（附加题）5．一架飞机在两城之间飞行，顺风需要4小时，逆风需要4.5小时；测得风速为45千米/时，求 两城之间的距离。

（附加题）6.小聪从家到学校，如果每分钟走100米，就会迟到3分钟；如果每分钟走150米，就会早到3分，问小聪每分钟走多少米才能按时到校

5.一元一次方程的应用教学反思 篇五

2、在解答应用题中，学生对分析问题、寻找数量关系的能力较差。在这节课中，我把分析题意、寻找数量关系作为重点来进行教学，不断地对学生加以引导、启发，努力使学生理解、掌握解题的基本思路和方法。特别是用列表格的方法帮助学生理清题目中的数量关系，找到等量关系。

3、但学生在学习的过程中，却不能很好地掌握这一要领，会经常出现一些意想不到的错误。诸如，数量之间的相等关系找得不清;列方程忽视了解设的步骤等。我在上课的过程中忽视了学生能力的培养，没有培养学生良好的思维表达习惯。对于我来说，如何让学生改变这种不良的学习习惯，能够正确的理解和掌握解题的方法是我应该不断研究的思路和改进教学方法的.关键。

解一元一次方程的应用---工作问题教学建议：

6.一元一次方程的应用教学反思 篇六

1、学生对例题的思考不够，虽然能听懂老师的思路，但是很快就忘记了，没有把老师的思路变成自己的思路。即使讲解完毕，也应该留出一定的时间让学生消化吸收。

2、课堂讨论流于形式化。学生讨论之前必须经过自己独立的思考，否则你一言他一语，即使讨论出来了孩子的思维仍然是不连续的，不利于孩子们逻辑思维能力的培养。举一反三比较困难。

3、学生利用数学知识解决数学问题的能力有待提高。首先表现为分析问题的能力差，可能源于缺乏相关联系。这肯定与孩子们的生活环境是分不开的，孩子们平时总是衣来伸手饭来张口，碰到任何问题都是父母帮助解决，自己却很少动脑筋思考问题。这种分析问题的能力在数学学习中是很需要的。

7.一元一次方程应用精讲 篇七

一、局部分析法

局部分析法就是从实际问题中的各个已知条件入手, 用含有未知数的代数式化成纯数学问题, 最后找出相等关系, 得出方程.

例1 (2008郴州) 我国政府从2007年起对职业中专在校学生给予生活补贴, 每生每年补贴1500元.某市预计2008年职业中专在校生人数是2007年的1.2倍, 且要在2007年的基础上增加投入600万元.2008年该市职业中专在校生有多少万人?补贴多少万元?

分析思路 (图1)

解设2007年职业中专的在校生为x万人, 根据题意, 得1500x+600=1500×1.2x, 解得x=2.

所以2×1.2=2.4 (万人) , 2.4×1500=3600 (万元) .

答:2008年该市职业中专在校生有2..4万人, 补贴3600万元.

点评这种分析思路适用于相等关系不十分明显的应用题, 利用建模思想逐渐把题目中的已知条件翻译成数学表达式, 然后观察这些表达式之间的关系, 即可得出相等关系, 列出方程.

二、整体分析法

整体分析法就是先找出实际问题中的相等关系, 利用含有未知数的代数式表示这个相等关系, 得出方程.

例2 (2008北京) 京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营, 预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时.某次试车时, 试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟, 由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同.如果这次试车时, 由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米, 那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米?

分析思路 (图2)

解设这次试车时, 由北京到天津的平均速度是每小时x千米, 则由天津返回北京的平均速度是每小时 (x+40) 千米.

答:这次试车时, 由北京到天津的平均速度是每小时200千米.

点评这种分析思路适用于相等关系明显的应用题, 把相等关系的左右两边用含未知数的表达式表示, 观察它们之间的关系即可得到方程.

同学们不妨试一试这两种分析方法, 相信一定会很有效的!

练习题:

1. (2008年安徽省) 某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%, 由于国际油价上涨, 这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%.求这个月的石油价格相对上个月的增长率.

2. (2008年湛江市) 某足球比赛的计分规则为胜一场得3分, 平一场得1分, 负一场得0分.一个队踢14场球负5场共得19分, 问:这个队胜了几场?

参考答案:

1.解:设这个月的石油价格相对上个月的增长率为x, 根据题意, 得 (1+x) (1-5%) =1+14%, 解得x=20%.

答:这个月的石油价格相对上个月的增长率为20%.

2.解:设这个队胜了x场, 依题意得

3x+ (14-5-x) =19.

解得x=5.

8.一元一次方程应用精讲 篇八

【关键词】一元一次方程 应用题 教学策略

2011年版《数学课程标准》要求学生在数学的学习过程中运用数学思维方式进行思考，培养发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，增强应用意识，提高实践能力，发展创新意识。而列方程解应用题是初中代数学习在应用上的出发点，是开发学生智力、培养分析问题、解决问题能力的重要环节，为今后学习不等式、方程组、函数等知识提供思想和方法，也为几何求值题的解题思路提供模型思想，是初中数学的重中之重。

初一学生的特点是思维活跃、肤浅，思考问题尚欠深刻，综合性较差。而列方程解应用题在“审”“设”“找”“列”“检”“答”的环节须经历抽象、建模等深刻思考才能顺利解题，因此，历来是教学的一个难点。新教材为了分散难点已作了充分的准备。比如，在小学编进了《简易方程》，让学生对列方程解应用题在思维和解法上积累经验；在初一第三章学习了列代数式，让学生能从探索具体问题中的数量关系和变化规律中，掌握用代数式进行表达的方法；新教材还在“认识一元一次方程”中举了大量与生活密切相关的应用题，设出未知数，让学生列出方程。这些举措从心理上有效减轻了学生学习应用题的恐惧心理，也从思想方法上积累了大量解题经验。但是，初中应用题加大了题目的复杂程度，学生在解题上存在如下问题：1.找不出隐含的等量关系。2.不懂灵活地设未知数。3.不懂如何使用等量关系。因此，列方程解应用题依然是教学的难点。费赖登塔尔德提出了再创造理论：数学课堂教学主要是运用问题的解决来启迪、培养和优化学生的思维品质，教师的任务是通过问题的设计为学生的发现和创造提供自由广阔的天地，进一步引导学生探索，自行挖掘其中蕴含的值得深思的问题。因此，我的教学策略是设计恰当的问题，在问题的思考和解决中以突破以上三个问题为抓手，立足于学生思维能力的培训，引导学生思考知识间的内在联系，注重分析过程的思路开拓与规律的揭示，从而感悟数学思想和方法，培养学生分析问题和解决问题的能力。

一、在问题情境思考中寻找等量关系的策略

引导学生思考知识之间的内在联系：方程是含有未知数的等式，有等式必须要有等量关系。因此列方程解应用题必须要学会找等量关系。如何寻找呢？下面通过例题的示范和回放已学过的例子来归纳总结寻找等量关系的策略。

例题示范（教科书中的例题）：某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱（如图1），现对该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m，那么在容积不变的前提下，水箱的高度由原先的4m变为多少米？引导学生思考探索得出：变化前后的不变量就是等量关系——旧水箱的容积=新水箱的容积。根据班级学生的实际情况，对教材进行再创造，丰富学生的数学活动经验，提高思维水平。

链接练习：铜仁市对区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等，如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完，问原有树苗多少棵？

引导学生分析思考：两种假设中道路的长度总是不变的。因此，可设原有树苗x棵，根据两种不同栽树方法的道路长度一样，列方程5（x+21-1）=6（x-1）。通过例题示范和练习的链接让学生明白等量关系的一种找法：变化前后不变的量就是一个等量关系。

下面通过课件回放第一节认识“一元一次方程”的五个引例，引导学生归纳出等量关系的另外两种找法。

题目中有明显的数量关系就是等量关系。回放第三个引例：甲、乙两地相距22km，张叔叔从甲地出发到乙地，每小时比原计划多走1km，因此提前12min到达乙地。张叔叔原计划每小时走多少千米？引导学生分析思考：题目中明显的数量有“多”“提前”，因此本题等量关系有两个：①实际每小时行走的路程=原计划每小时行走的路程+1km；②实际行走时间=原计划行走时间-12min。引导学生关注题中“和”“差”“倍”“分”等表示数量关系的词语，如“一共”“多”“少”“快”“慢”“提前”“超过”“剩余”“增产”“降低”“上升”等，指出：数量关系的落实在数学运算上具有相对性。注意辨析：“几年后”与“第几年”，“翻一番”与“翻两番”， “是几倍”与“增加几倍”“增加到几倍”“增加百分之几”“增加几分之几”，“除”与“除以”等细节上的表达，要咬文嚼字，分辨清楚，注意细节。

3.挖掘问题中出现的公式，公式本身就隐含着等量关系。回放第五个引例：某长方形操场的面积是5850m2，长和宽之差为25m，这个操场的长与宽分别是多少米？引导学生观察、分析和思考：题中有一个明显的数量关系“差”，有一个公式“长方形的面积”。因此，本题有两个等量关系：①长方形的面积=长×宽；②长方形的长-长方形的宽=25m。通过以往问题的经验归纳和回放引例示范，让学生发现不同类型的应用题中都隐含有不同的公式，如行程问题：路程=速度×时间；工程问题：工作量=工作效率×工作时间；利润问题：利润率=利润÷进价，利润=售价-进价；价钱问题：总价=数量×单价；等等。

二、在解决问题的过程中引出三种设未知数的方法

引导学生思考知识之间的内在联系，方程是含有未知数的等式，因此列方程解应用题必须设未知数，未知数怎样设呢？有几种设法？下面通过例子的讲解感悟未知数的三种设法。

第一种：直接设元法。题目求什么，就直接设什么，然后寻找一个能体现题目主要意思的等量关系，列一个方程即可。这种方法应用最广，学生最爱用，也用得最好，这部分不讲，让学生自主探究，把学习的主动权还给学生。

第二种：间接设元法。有的题目用直接设元法根本无法求出，转而用间接设元法。

例题示范：在我们的身边有些股民，在每一次的股票交易中都可能盈利或亏损，某股民将甲、乙两种股票卖出，甲种股票卖出1500元，盈利20%；乙种股票卖出1600元，但亏损20%，该股民在这次交易中是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？引导启发学生思考：盈利还是亏损都是相对原价而言的，必须知道原来甲、乙两种股票的进价是多少，因此，用间接设元法，设甲种股票进价为x元，乙种股票进价为y元，则根据利润公式：利润率=利润/进价，得到（1500-x）/x=20%，解得x=1250元；（y-1600）/y=20%，解得y=2000。因为1500+1600-（2000+1250）=-150，所以亏损150元。

第三种：设辅助元。有的题目出现未知量，这个未知量我们不需要知道，但与题意关系密切，为了顺利解出问题，这时设一个辅助未知数起桥梁作用。

例题示范：某药店经营的抗病毒药品，在市场紧缺的情况下提价100%，物价部门查处后，限定其提价的幅度只能是原价的10%，则该药品现在降价的幅度是多少？引导学生思考：本题有一个明显的等量关系：药品提价的幅度是原价的10%，可用直接设元法，设降价的幅度为x，本题中原价是多少不知道，也不需要知道，但与题目密切相关，为了顺利列出方程，设原价为a元，这个a就是一个辅助未知数，起个桥梁作用，得（1+100%）a（1-x）=（1+10%）·a。因为a≠0，所以两边同除以a，得2（1-x）=1.1x，解得x=0.65。

通过以上问题的解决，学生在积极思考探索中，积累了活动经验，能根据题目灵活地设未知数，掌握设元的技巧，为顺利解决问题跨出了重要的一步。

三、通过一题多解或借助表格、线段图等形象表征法来领会等量关系的使用情况和注意事项

在北师大2013年6月第二版数学教学用书第225页有一句话“本课时的情况问题与前面的问题相比，数量关系要相对复杂一些，它包含两个等量关系”，这句话不对，在前面例子中只要是求两个问题，题中一定存在两个等量关系，只是列一元一次方程解应用题时，另一个等量关系用于列未知量，一个等量关系用于列方程。示范例子（教学用书第217页例子）：用一根长为10m的铁丝围成一个长方形，使得该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、宽各为多少米？引导学生思考：本题有两个等量关系：①明显的数量关系，即长方形的长比宽多1.4m，所以等量关系为长方形的长=长方形的宽+1.4m；②题目中隐含着长方形的周长是10m，根据长方形的周长方式得等量关系为长方形的周长=2（长方形的长+长方形的宽）。可用直接设元法，设长方形的长为x米，解法1：用第①个等量关系列未知量，长方形的宽等于长方形的长-1.4m，即长方形的宽为（x-1.4）m；用第②个等量关系列方程，得2[x+（x+1.4）]=10，解得x=3.2，则x-1.4=1.8，得出答案。解法2：用第②个等量关系列未知量，长方形的宽等于长方形的周长除以2-长方形的长，即（5-x）m；用第①种等量关系列方程，得x=5-x+1.4，解x=3.2，则5-x=1.8，得出答案。引导学生明析：方法和过程不一样，结果一样，当然这当中有个最优化方案的解法，因题而异。

另注意：在应用题中，使用变化前后不变量作为等量关系时，完全是具体量或待定要求设元的量都不作为等量关系使用。示范例子：已知某铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过桥共用了1min，整列火车都在桥上的时间为40s，求火车的车长是多少米。点拨学生可以借助线段图或表格形象表征法来分析思考：①行程问题可以借助线段图直观形象地帮助理解题意（如图2） ；②在已知量和未知量关系较模糊时可以列表格梳理思路；③引导学生找等量关系。本题是行程问题，根据路程公式本身隐含着一个等量关系：路程=速度×时间①。但题目中除了求车长一个问题外，相关的速度也是未知量，因此，还需一个等量关系。时间是完全具体量，若车长是待定要求设元的量（即用直接设元法），路程又不一样，那就从速度方面找等量关系。根据两种情况不变的是速度，因此还有一个等量关系：第一种情况的火车速度=第二种情况的火车的速度②。用直接设元法，设火车的车长为x米，根据等量关系①列未知量，列表：

路程（米）速度（米/秒）时间（秒）

第一种情况1000+x（100+x）/6060

第二种情况1000-x（100-x）/4040

根据等量关系②列方程得（1000+x）/60=（1000-x）/40，解得x=200。

变式：题目已知条件不变，结果改为求火车的速度。引导学生通过类比思考分析：题目中除了求火车的速度外，相关的车长也是未知量，因此除了等量关系①还需一个等量关系。时间是完全具体量，若火车的速度是待定要求设元的量（即用直接设元法），路程又不一样，那就从车长方面找等量关系。根据两种情况不变的是火车的车长，因此，另一个等量关系是：第一种情况火车的车长=第二种情况火车的车长③。用直接设元法，设火车的速度为y米/秒，根据等量关系①列未知量，列表：

路程（米）速度（米/秒）时间（秒）

第一种情况60y y60

第二种情况40y y40

根据等量关系③列方程，得60y-1000=1000-40y，解得y=20。

指出：本题中火车的车长与火车的速度都是不变的，为了让学生更好地理解等量关系的使用情况，可以鼓励学生用间接设元法解变式题，解法就是原题的解法，只不过把求出x=200，代入火车的速度（1000+x）/60中，得（1000+200）/60=20（米/秒）。

在列一元一次方程解应用题的一般步骤“审”“设”“找”“列”“检”“答”六个环节中，不是面面俱到，平均使力，而是提出恰当的问题，抓住学生思考问题的“关键点”，数学知识之间联系的“联结点”，数学问题变式的“发散点”，学生思维提升的“育点”和学生思维的“最近发展区”作精辟的讲解，使学生从纷繁复杂的教学内容中理出头绪，抓住问题的本质，突破难点。这种“讲”与“不讲”、“讲多”与“讲少”、“精讲”与“多练”，注重教学节奏之美的课堂，节约了很多时间，一方面可以为学生的思考提供足够的空间，另一方面可以把学习的主动权还给学生，使学生在主动、积极的情感状态下掌握知识和技能，同时也培养了分析问题、解决问题的能力。

【参考文献】

[1]翁启汉.列方程解应用题教学探讨[J].数学教学与研究，2002（16） .