线段的垂直平分线教案一

线段的垂直平分线教案一（共10篇）

1.线段的垂直平分线教案一 篇一

一、线段垂直平分线的证与用

定义

垂直于一条线段, 并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.

性质

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等, 三角形三边的垂直平分线交于一点, 并且这一点到三角形三个顶点的距离相等.

判定

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

例1

(全国数学竞赛广东初赛试题) 在等边三角形ABC所在平面内, 存在着一点P, 使△PAB, △PBC, △PAC都是等腰三角形, 具有这样性质的点P共有 () .

A.3个B.6个C.10个D.12个

点拨与解析

欲使△PAB, △PBC, △PAC都是等腰三角形, 则满足条件的P点只能在三边的垂直平分线上, 而后再以所作等腰三角形顶点为标准分类讨论, 运用圆规的辅助功能, 不难得出结果.具体如下:分别以三角形各顶点为圆心, 边长为半径作圆, 交垂直平分线的交点就是满足要求的点.每条垂直平分线上得3个交点, 再加三角形的外心, 一共10个.

归纳与提炼

1. 线段的垂直平分线在应用时具有摆脱全等, 直接得出线段相等的功能.

2. 补全线段垂直平分线基本图形的残缺线, 往往是解决相关问题的关键.

二、角平分线的证与用

定义

由一个角的顶点出发, 在角的内部将这个角平分成两个相等的角的射线, 叫做这个角的角平分线.

性质

角平分线上的点到这个角两边的距离相等.三角形三个内角的平分线交于一点, 并且这一点到三角形三边的距离相等.

判定

在一个角的内部, 到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.A

例2

(北师大课本变式题) 已知:△ABC外角∠CBD与∠A的平分线交于点F.求证:点F在∠BCE的平分线上.

点拨与解析

由在一个角的内部, 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上可知, 欲证结论, 只要说明点F到CB和CE的距离相等即可.具体如下:过F分别作BD, BC, CE的垂线段FG, FH, FI, 则由角平分线性质定理可得FG=FI, FG=FH, ∴FH=FI, ∴点F在∠BCE的平分线上.

例3

(黑龙江哈尔滨) 如图1, 在正方形ABCD中, 对角线AC与BD相交于点E, AF平分∠BAC, 交BD于点F.

(1) 求证:

(2) 点C1从点C出发, 沿着线段CB向点B运动 (不与点B重合) , 同时点A1从点A出发, 沿着BA的延长线运动, 点C1与A1的运动速度相同, 当动点C1停止运动时, 另一动点A1也随之停止运动.如图2, A1F1平分A1∠BA1C1, 交BD于点F1, 过点F1作F1E1⊥A A1C1, 垂足为E1, 请猜想E1F1, 21A1C1与AB三者之间的数量关系, 并证明你的猜想.

(3) 在 (2) 的条件下, 当A1E1=3, C1E1=B2时, 求BD的长.

点拨与解析

本题是一道较为复杂的中考压轴题, 由于考生对题目隐含条件破译不够, 再加上对角平分线基本图形的构造缺乏自信, 致使解答本题时障碍重重, 无从着手.倘若看到AF和A1F1分别是相应三角形的角平分线, 并利用正方形的性质得到BE和BE1分别是相应三角形的另一条角平分线, 于是点F和F1分别是△ABC和△A1BC1的两条角平分线的交点, 从而构造角平分线性质定理基本图形, 即将本题化繁为简, 变难到易.

归纳与提炼

1. 角平分线的性质在运用时也具有摆脱全等, 直接得出线段相等的功能.

2. 补全角平分线基本图形的残缺线, 常常是“架桥过河”, 是解决相关几何问题的关键.

三、线段的垂直平分线与角平分线“珠联璧合”

例4

(北师大课本习题新证) 如图, 已知E是∠AOB的平分线上一点, EC⊥OA, ED⊥OB, 垂足分别为点C, D.求证: (1) OC=OD; (2) OE是CD的垂直平分线.

点拨与解析

两次利用角平分线的性质证得EC=ED, OC=OD, 再根据线段垂直平分线的判定证得OE是CD的垂直平分线.具体如下:

∵E是∠AOB的平分线上一点, EC⊥OA, ED⊥OB, ∴EC=ED, 又∠EDO=∠ECO=90°, ∴∠EOD=∠EOC, ∴∠OED=∠OEC, 且有OD⊥ED, OC⊥EC, ∴OC=OD, 综上可知, 点E和点O都在线段CD的垂直平方线上, ∴OE是CD的垂直平分线.

例5

(陈题新编) 如图, △ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D, F为垂足, DE⊥于E, 且AB>AC, 求证:BE-AC=AE.

点拨与解析

补全线段垂直平分线和角平分线性质定理的两个残缺基本图形, 问题即可迎刃而解.具体如下:连接DB, DC, 作DG⊥CA于点G.则由题意易得DB=DC, DE=DG, 顺便还可得到AG=AE, 进而可得出△DBE≌△DCG (HL) , 于是有BE=GC=AG+AC=AE+AC, 所以BE-AC=AE.

归纳与提炼

1. 线段的垂直平分线和角平分线基本图形往往构成复合体, 形成崭新的考查亮点.

2.线段的垂直平分线教案一 篇二

例1 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，交AB于点E，DE=3，BD=4，求BC的长度.

【再认识】角平分线性质是说明线段相等的一种重要方法. 解题时，注意抓住图形的特征，从已知条件中找到角平分线的点及这点到角两边的垂线段，利用角平分线性质得到两条垂线段相等.

【分析】欲求BC的长，已知BD，且BC=BD+CD，进而将问题转化为求CD的长. 由AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，根据角平分线性质，可得CD=DE，从而求出BC的长度.

解：∵ AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，

∴ CD=DE=3，

∴ BC=CD+BD=3+4=7.

【变式】如图2，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于点E，且OE=2，求AB与CD之间的距离.

【分析】要求AB与CD之间的距离，首先过点O作直线OM⊥AB于点M，交CD于点N，则线段MN的长度即为AB与CD之间的距离. 因为AO、CO分别是∠BAC、∠ACD的角平分线，所以OE=OM=ON，则AB与CD之间的距离可求.

突破2：角平分线性质定理逆定理的再认识

例2 如图3，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N. 试说明PM=PN.

【再认识】角平分线性质定理的逆定理是判定角平分线的一种重要方法. 在平面内找到一个点，通过这一点到角两边的距离相等来确定该点在角平分线上. 再根据两点确定一条直线，确定角平分线.

【分析】欲说明的是PM=PN，已知PM⊥AD，PN⊥CD，利用角平分线性质定理的逆定理，可猜测BD平分∠ADC. 已知BD是

【变式】如图9，某地有两个村庄和两条相交叉的公路（点P、Q表示村庄，l1、l2表示公路）. 现计划修建一座水库，要求水库到两村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等. 你能确定水库应该建在什么位置吗？在所给图形中画出你的设计方案. （要求保留作图痕迹）

【分析】此题是作图题，解决此类问题的关键是要熟练掌握角平分线性质和垂直平分线性质. 到P、Q的距离相等，则连接PQ，根据线段垂直平分线的性质作出线段PQ的垂直平分线，到l1、l2相等，则作出l1、l2相交所形成的一组邻补角的角平分线，两线相交的一点即为所求.

3.线段的垂直平分线教案一 篇三

教学目标 知识与技能：

1．探究线段垂直平分线的性质． 2．线段垂直平分线的判定． 过程与方法：

通过自主探索线段垂直平分线的性质；学会用性质解决实际问题的过程，逐步培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力．

情感、态度：

1．学生在理解探索性质中，培养学生勇于探索的精神，树立积极思考，克服困难的信心．

2．在探究的过程中，更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力．

教学重点：

1．线段垂直平分线的性质和判定．

2．能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题． 教学难点

灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．

教学策略：鼓励学生自主学习、积极探究思考．还有注意引导学生加强对解题思路的分析、解题思想方法的概括和及时的归纳总结．

教具准备：多媒体课件

教学过程设计

一、情境导入（教师用多媒体演示）

如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?

其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．

线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．

进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?”

设计意图：通过问题，让学生在解决问题的同时，回顾线段垂直平分线的性质．

二、探究新知 1．探究1 师：多媒体展示下图，引导学生思考．

如下图．木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB，P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？

学生活动：

1．学生用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线l，在l上取P1，P2，P3，…，连接AP1，BP1，AP2，BP2，AP3，BP3，…，2．作好图后，用直尺量出AP1，BP1，AP2，BP2，AP3，BP3，…，讨论发现什么样的规律．

探究结果：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1＝BP1，AP2＝BP2，AP3＝BP3，…．

师：能用我们已有的知识来证明这个结论吗？

学生讨论给出证明．教师请两位学生黑板板演，集体纠正，并多媒体展示正确答案． 证法1：利用两个三角形全等． 如下图，在△APC和△BPC中，证明：∵l⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB． 又AC＝CB，PC＝PC，∴△APC≌△BPC（SAS）． ∴PA＝PB． 用符号语言表示为： ∵CA＝CB，l⊥AB，∴PA＝PB．

证法二：利用轴对称性质．

由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线l对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的．

定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 带着探究1的结论我们来看下面的问题． 2．探究2 如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？

学生活动：

1．学生用平面图形将上述问题进行转化．作线段AB，取其中点P，过P作l，在l上取点P1，P2，连接AP1，AP2，BP1，BP2．会有以下两种可能．

甲

乙

2．讨论：要使l与AB垂直，AP1，AP2，BP1，BP2应满足什么条件？ 探究过程：学生分组讨论，由代表举手发言，教师多媒体展示结论．

1．如上图甲，若AP1≠BP1，那么沿l将图形折叠后，A与B不可能重合，也就是∠APP1≠∠BPP1，即l与AB不垂直．

2．如上图乙，若AP1＝BP1，那么沿l将图形折叠后，A与B恰好重合，就有∠APP1＝∠BPP1，即l与AB垂直．当AP2＝BP2时，亦然．

探究结论：

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．也就是说在探究2图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保证射出箭的方向与木棒垂直．

师：你能证明上面的结论吗？ 学生讨论给出证明．学生黑板板演，教师多媒体展示证明过程，对比学生解答，纠正问题．

已知：如图，PA＝PB．

求证：点P在线段AB的垂直平分线上．

证明：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C．则∠PCA＝∠PCB＝90°．

在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）． ∴AC＝BC． 又PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上． 用数学符号表示为： ∵PA＝PB，∴点P在AB的垂直平分线上．

判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

师：你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？

这些点能组成什么几何图形？ 生：在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合．

设计意图：通过学生动手操作，思考问题，猜测结论，培养了学生的直观猜测能力，教师通过层层设问引入，激发学生的探究欲望；同时通过小组讨论交流，培养学生的合作学习能力，让不会的同学问出来，让会的同学讲出来，达到共同提高的教学目的，也营造了宽松和谐的课堂气氛．

三、典例精讲

例 ．已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC． 求证：直线 AO 垂直平分线段BC．

AOBC

学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程．

师生共同完成： 证明：∵ AB = AC，∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）．

同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上．

∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）．

设计意图：应用线段垂直平分线的性质定理，在解答过程中，引导学生分析解决问题的方法．

四、课堂练习

1．如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于______．

ABDEC

2．如下图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB＋BD与DE有什么关系？

3．如下图，AB＝AC，MB＝MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？

设计意图：及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生灵活运用知识的能力． 答案： 1．8．

2．解：∵AD⊥BC，BD＝DC，∴AD是BC的垂直平分线． ∴AB＝AC．

∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE． ∴AB＝AC＝CE． ∵AB＝CE，BD＝DC，∴AB＋BD＝CD＋CE．即AB＋BD＝DE． 3．解：∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上． ∵MB＝MC，∴点M在BC的垂直平分线上． ∴直线AM是线段BC的垂直平分线．

五、课堂小结

1．本节课学习了哪些内容？

2．线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？两者之间有什么关系？ 3．如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？

设计意图：通过提出问题，使学生思考总结所学内容，培养学生归纳总结能力；通过对性质定理和判断定理的复习，使学生找出区别与联系，避免概念的混淆．

六、布置作业

1．如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP＝2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D，E，使得AD＝DC＝CE＝EB，其作法如下：（甲）作∠ACP，∠BCP之角平分线，分别交AB于D，E，则D，E即为所求；（乙）作AC，BC之中垂线，分别交AB于D，E，则D，E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）．

A．两人都正确

B．两人都错误 C．甲正确，乙错误

D．甲错误，乙正确

2．如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF＝12，BF＝3，则BC＝__________．

3．如图，BD垂直平分CE，ED＝3 cm，△ABE的周长为11 cm，则△ACE的周长为__________．

答案： 1．D．

2．15．

3．17 cm．

七、课堂检测设计

1．三角形纸片上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定（）． A．是边AB的中点

B．在边AB的中线上 C．在边AB的高上

D．在边AB的垂直平分线上

2．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为__________．

3．如图，△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G．求△AEG的周长．

4．如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD 的周长是14 cm，求AB和AC的长．

答案：

1．D．解析：点P到线段AB两个端点的距离相等，点P在线段AB的垂直平分线上． 2．6．解析：由△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，可知BE＋BD－DE＝12①，由△EDC的周长为24可知CE＋CD＋DE＝24，由DE是BC边上的垂直平分线可知BE＝CE，BD＝CD，所以BE＋BD＋DE＝24②，②－①，得2DE＝12，所以DE＝6．

3．解：DE，GF分别是AB，AC的垂直平分线，∴BE＝AE，CG＝AG． ∴△AEG的周长＝AE＋EG＋AG＝BE＋EG＋CG＝BC＝7． 答：△AEG的周长为7．

4．解析：利用垂直平分线的性质，把相等的线段“集中”到一个三角形中． 解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC．

∵AC＋AD＋CD＝14 cm，∴AC＋AD＋DB＝14，即AC＋AB＝14 cm． 又∵AB－AC＝2 cm，设AB＝x cm，AC＝y cm，根据题意得 xy14，x8，解得即AB长8 cm，AC长6 cm．

4.《线段的垂直平分线》教学反思 篇四

1教师的情绪直接影响学生的学习兴趣、教师要有“度量”，能容忍个别学生的错误，不要拿个别学生的错误来惩罚全体同学。 2五班学生李奕星为什么不理解?这节课学习的主要内容是垂直平分线的性质与判定。

定理的学习要经过几个阶段：通过画图、测量、猜想、验证得到命题;将文字命题写成“如果 那么”的形式，让学生明白这个命题的已知是什么，求证什么?在这个基础上，画出图形，写出已知、求证，进行证明。

在证明了后，强调定理的应用格式，即在具体的题目中，如何应用这些定理。

5.线段的垂直平分线教案一 篇五

八

班级

学生姓名

科目

数学

使用时间

课题1.3线段的垂直平分线第1

课时编制

审核

审批签（章）

【学习目标】

1.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力；

2.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论.【知识链接】

复习回顾线段的垂直平分线的尺规作图和性质.【导学过程】

（1）自主学习、预习导学指导

自学指导

自学检测及课堂展示

阅读课本22--23页的内容完成右边的问题：

定理

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.1、已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，BE=5，求AE、AC的长以及∠AEC的度数.2、如图（2），在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在__________

上.（2)合作展示、探究提升

如右图，P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥CA于E，PF⊥OB于F，连结EF.求证：OP垂直平分EF.【达标检测】

1、如下图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5

cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）

A.6

cm

B.7

cm

C.8

cm

D.9

cm2、如图，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，则∠C=_____.3、已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC.4、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长。

5、如图在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E

求证：（1）∠EAD=∠EDA

;（2）DF∥AC（3）∠EAC=∠B6、如图，在公路的同侧有两个工厂，为了便

于两厂的工人看病，市政府计划在公路边修建一

高

速

公

路

A

B

L

所医院，使得两个工厂的工人都没有意见，问医

院的院址应选在何处？作图说明。

【总结反馈】

自评：

6.线段的垂直平分线教案一 篇六

（一）教学目标：

使学生能够利用等价转化的思想证明立体几何问题，提高学生逻辑思维能力，培养学生由图形想象出位置关系的能力；利用所学知识解释生活现象，激发学生学习数学积极性，能辩证地看待问题，学会分析事物间关系，进而选择解决问题途径。教学重点：

直线和平面垂直的判定。

教学难点：

判定定理的证明。

教学过程：

1．复习回顾：

［师］直线和平面平行的判定方法有几种？

［生］可利用定义判断，也可依判定定理判断.2．讲授新课：

1.直线和平面垂直的定义

［师］该章的章图说明旗杆与其影子之间构成的几何图形，请同学思考，随着时间的变化，影子在移动，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？

［讨论、观察片刻，提醒学生从位置关系去分析，师可用电

筒照射一杆，让学生得出结论］进而提醒学生观察右图。

［生］由图形可知，旗杆与地面内任意一条径B的直线垂直

（若先回答射影，可引导其抽象为直线）

师进一步提出：那么旗杆所在线与平面内不经过B点的线

位置如何呢？依据是什么？

［生］垂直.依据是异面直线垂直定义.生在师的诱导下，尝试地给出直线和平面垂直的定义：

如果一条直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直.可记作l⊥α

其中直线l叫平面α的垂线.平面α叫直线l的垂面.［师］“任意一条直线”，说明直线l必须和平面内的所有直线都具有垂直关系.不能理解成无数条线，必须是全部.同学可找一反例说明.［生］当一条直线和一平面内一组平行线垂直时，该直线不一定和平面垂直.（可举教材中每一行字看成平行线，当钢笔与其垂直时，不一定钢笔就与教材所在面垂直）［师］若l∥α或lα，则l此时不会和α内任意一条直线垂直，由此，当l与α具有l⊥α关系时，直线l一定和α相交.直线和平面垂直时，它们惟一的公共点，即交点叫垂足.师进一步给出直线与平面垂直时，直观图的画法

.（师生共同规范地画出直线与平面垂直关系）

画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直 l⊥α点P是垂足

让学生观察投影片中所给四个图形，能得出什么结论.经师诱导，生得到结论.［生］图（1）、（2）说明经过空间一点P作α的垂线只有一条，图（3）、（4）说明，经过空间一点P作l的垂面只有一个.除定义外，直线和平面垂直的判定还有什么方法呢？

2.直线和平面垂直的判定

例1：求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.已知：a∥b，a⊥α

求证：b⊥α

分析：要证b⊥α，需证b与α内任意一条直线m垂直.运用等价转化思想证明与b平行的线a垂直于m，则

需依题设直线m存在.进而运用线垂直于面

线垂直于面内线完成证明.学生依图，及分析写出证明过程

证明：设m是α内的任意一条直线

［此结论可以直接利用，判定直线和平面垂直］

给出判定定理，学生思考证明途径.直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么

这条直线垂直于这个平面.已知：mα，nα，m∩n=B，l⊥m，l⊥n.求证：l⊥α.分析：此定理要证明，需达到l⊥α关系.而由定义知只要能设法证明l垂直于α内任一条直线

即可，不妨设此线为g，则需证l⊥g就可以.证明l⊥g较困难，同学可考虑线段垂直平分线性质.学生先思考，如何先确定线位置

.由于已知条件中有m∩n=B,所以可先从l、g都通过点B的情况证起，然后再推广到其他情形，也可看成是分类讨论思想渗透.证明过程学生可先表述，然后共同整理.证明：设g是平面α内任一直线.（1）当l、g都通过点B时，在l上点B的两侧分别取点A、A′，使AB=A′B，则由已知条件推出m、n都是线段AA′的垂直平分线.1°g与m（或n）重合那么依l⊥m（或l⊥n）可推出l⊥g.2°g与m（或n）不重合，那么在α内任作一线CD

m∩CD=C,n∩CD=D,g∩CD=E

连结AC、A′C、AD、A′D、AE、A′E.∵AC=A′C，AD=A′D，CD=CD，∴△ACD≌△A′CD,得∠ACE=∠A′CE

即△ACE≌△A′CE,那么AE=A′E

∴g是AA′的垂直平分线，于是l⊥g

（2）当l、g不都通过点B时

过点B作l′、g′，使l′∥l，g′∥g

同理可证l′⊥g′，因而l⊥g

综上所述，无论l、g是否通过点B，总有l⊥g.由于g是平面α内任一直线，因而得l⊥α

［l、g不都通过点B，可解释为：l、g之一过点B，l、g都不过点B］

［师］对于判定定理注意二点.一是判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要记准、用对.二是要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的.3．课堂练习：

1.判断题

（1）l⊥αl与α相交（）

（2）mα，nα，l⊥m，l⊥nl⊥α（）

（3）l∥m，m∥n，l⊥αn⊥α（）

解：（1）√若不相交，则应有l∥α，或lα.（2）×m、n若是两条平行直线，则命题结论不一定正确.（3）√由例题结论可推得.2.已知三条共点直线两两垂直，求证：其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.已知：m、l确定平面α，m⊥n,l⊥n，m∩l=o

求证：n⊥α.证明：因

3.求证：平面外一点与这个平面内各点连结而成的线段中，垂直于平面的线段最短.［连结平面α内的两点，Q和R，设PQ⊥α，则∠PQR=90°，在Rt△PQR中，PQ＜PR.4．课时小结：

1.定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语、定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.2.和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式.3.注意两个结论：

过一点有且只有一条直线和已知平面垂直.过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.4.判定直线和平面是否垂直，本节课给出了三种方法：

（1）定义强调“任何一条直线”；

（2）例1的结论符合“两条平行线中一条垂直于平面”特征；

（3）判定定理必须是“两条相交直线”.5．课后作业：

预习：

（1）性质定理主要是讲什么？条件、结论各是什么？

7.圆有关的比例线段教案设计 篇七

(1)知识结构

(2)重点、难点分析

重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点;这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明.难点：正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多，学生容易混淆.2、教学建议

本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2.第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3.第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3.(1)教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性学习意识，激发学生的学习热情;

(2)在教学中，引导学生观察猜想证明应用等学习，教师组织下，以学生为主体开展教学活动.第1课时：相交弦定理

教学目标 ：

1.理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算;

2.学会作两条已知线段的比例中项;

3.通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神;

4.通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法.教学重点：

正确理解相交弦定理及其推论.教学难点 ：

在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.教学活动设计

(一)设置学习情境

1、图形变换：(利用电脑使AB与CD弦变动)

①引导学生观察图形，发现规律：D，B.②进一步得出：△APC∽△DPB..③如果将图形做些变换，去掉AC和BD，图中线段 PA，PB，PC，PO之间的关系会发生变化吗?为什么?

组织学生观察，并回答.2、证明：

已知：弦AB和CD交于⊙O内一点P.求证：PAPB=PCPD.(A层学生要训练学生写出已知、求证、证明;B、C层学生在老师引导下完成)

(证明略)

(二)定理及推论

1、相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在⊙O中;弦AB，CD相交于点P，那么PAPB=PCPD.2、从一般到特殊，发现结论.对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互 相垂直如图，AB是直径，并且ABCD于P.提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?

指出：PC2=PAPB.请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确.教师纠正，并板书.推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点C向直径AB作垂线，垂足是P，则PC2=PAPB.若再连结AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：

PC2=PAAC2=APCB2=BPAB

(三)应用、反思

例1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长.引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.例2 已知：线段a，b.求作：线段c，使c2=ab.分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段.作法：口述作法.反思：这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.练习1 如图，AP=2厘米，PB=2.5厘米，CP=1厘米，求CD.变式练习：若AP=2厘米，PB=2.5厘米，CP，DP的长度皆为整数.那么CD的长度是 多少?

将条件隐化，增加难度，提高学生学习兴趣

练习2 如图，CD是⊙O的直径，ABCD，垂足为P，AP=4厘米，PD=2厘米.求PO的长.练习3 如图：在⊙O中，P是弦AB上一点，OPPC，PC 交⊙O于C.求证：PC2=PAPB

引导学生分析：由APPB，联想到相交弦定理，于是想到延长 CP交⊙O于D，于是有PCPD=PAPB.又根据条件OPPC.易 证得PC=PD问题得证.(四)小结

知识：相交弦定理及其推论;

能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力;

思想方法：学习了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法.(五)作业

教材P132中 9，10;P134中B组4(1).第2课时 切割线定理

教学目标 ：

1.掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明;

2.掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力

3.能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点.教学重点：

理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理.教学难点 ：

定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点.教学活动设计

(一)提出问题

1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内一点.如果两弦延长交于圆外一点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系?(如图1)

当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT之间又有什么关系?

2、猜想：引导学生猜想出图中三条线段PT，PA，PB间的关系为PT2=PAPB.3、证明：

让学生根据图2写出已知、求证，并进行分析、证明猜想.分析：要证PT2=PAPB，可以证明，为此可证以 PAPT为边的三角形与以PT，BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB.(图3).容易证明PTA=B又P，因此△BPT∽△TPA，于是问题可证.4、引导学生用语言表达上述结论.切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.(二)切割线定理的推论

1、再提出问题：当PB、PD为两条割线时，线段PA，PB，PC，PD之间有什么关系?

观察图4，提出猜想：PAPB=PCPD.2、组织学生用多种方法证明：

方法一：要证PAPB=PCPD，可证此可证以PA，PC为边的三角形和以PD，PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AC，BD，容易证明PAC=D，P，因此△PAC∽△PDB.(如图4)

方法二：要证，还可考虑证明以PA，PD为边的三角形和以PC、PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AD、CB.容易证明D，又P.因此△PAD∽△PCB.(如图5)

方法三：引导学生再次观察图2，立即会发现.PT2=PAPB，同时PT2=PCPD，于是可以得出PAPB=PCPD.PAPB=PCPD

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.(也叫做割线定理)

(三)初步应用

例1 已知：如图6，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6厘米，AB=8厘米，PO=10.9厘米，求⊙O的半径.分析：由于PO既不是⊙O的切线也不是割线，故须将PO延长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解.(解略)教师示范解题.例2 已知如图7，线段AB和⊙O交于点C，D，AC=BD，AE，BF分别切⊙O于点E，F，求证：AE=BF.分析：要证明的两条线段AE，BF均与⊙O相切，且从A、B 两点出发引的割线ACD和BDC在同一直线上，且AC=BD，AD=BC.因此它们的积相等，问题得证.学生自主完成，教师随时纠正学生解题过程中出现的错误，如AE2=ACCD和BF2=BDDC等.巩固练习：P128练习1、2题

(四)小结

知识：切割线定理及推论;

能力：结合具体图形时，应能写出正确的等积式;

方法：在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地掌握.(五)作业 教材P132中，11、12题.探究活动

最佳射门位置

8.线段、射线、直线教案 篇八

一、教学内容：课本38-39页

二、教学目标

1、结合实例进一步认识线段，认识射线与直线，了解线段、射线和直线的区别及表示方法。

2、通过“画一画、比一比、想一想、说一说”等数学活动，培养学生的观察想象能力、动手操作能力和归纳提炼的能力。

3、感受数学与生活的紧密联系，发展学生的空间观念。

三、教学重难点

教学重点： 了解线段、射线和直线的特征及表示方法。教学难点： 归纳线段、射线和直线的联系和区别。

四、教学准备

三角板、绳、多媒体课件

五、教学过程：

（一）新课导入 出示一张模特图片，学生观察服装，发现他们的衣服都是条纹的，引出今天学习有关线的知识。图片引入，迅速集中学生注意力，带动学习的氛围。

（二）探究新知 1．认识线段

①实例引入，教师将绳子用力拉直，让学生观察绳子的形状。并出示图片展示弓箭的弦。

提问：拉紧的线和绷紧的弦，都可以看作什么？（课件演示：线段）②让学生在练习本上尝试画线段。教师动态演示画法。③观察特征

提问：线段有什么特点？如果我们想知道这根线，这根弦有多长，你有办法吗？ 学生回答后，板书：线段有两个端点，是直的，可以测量长度。④用字母表示线段。两个端点用大写字母AB表示，记作线段AB。⑤学生举例：提问：在我们的教室里，你能找到线段吗？指一指。（注意要指出线段的2个端点）

【设计意图】由学生熟悉的生活实例引入，使学生对于抽象的“线段”的认识建立在具体的生活模型基础上，有助于学生认识图形特征，形成表象，感受生活中处处有数学。2．认识射线。

①谈话：注意看，老师现在将线段右边的这个端点去掉，让它向右边延长，再延长，无限延长。

②提问：现在的这个图形有什么特点？

学生回答后，板书：射线有一个端点，向一端无限延伸。③学生尝试画一条射线。展台展示，集体订正。

④介绍射线的表示方法。如射线AB。注意：端点处的字母标在前面。⑤学生举例，形成表象

提问：想一想，射线的特点与生活中哪些现象类似呢？ 学生：手电筒的光束，汽车车灯的光束，探照灯的光束等。【设计意图】从线段到射线的变化，学生自然地感受到两种图形的不同，激发了学生认识“射线”的兴趣。生活中类似“射线”现象的呈现，有助于学生认识射线的特点。3．认识直线。

①谈话：注意看，老师要将这条线段两边的端点都去掉，使这个图形可以向两端无限延长。

②提问：现在的这个图形有什么特点？你知道它是什么图形吗？ 学生回答后，板书：直线没有端点，可以向两端无限延伸。④介绍直线的表示方法。如直线AB或直线l。

4、小组讨论线段、射线、直线的联系和区别。

【设计意图】认识直线，延续了前面的学习方式，以学生的已有经验——“线段”的认识，为教学的生长点，通过引导学生直观感受、观察描述、特点归纳，逐步完成对图形的认知建构。此外，三种图形认知的过程中，学生的操作体验，有助于学生在进行图形比较时的归纳提炼，有助于学生感悟不同图形的特点，认识图形的性质。

5、动手操作，发现规律 ①请你从A点出发画一条射线。

②交流校对，补充提问：能从A点出发再画一条射线吗？还能画吗？ ③引发思考：你发现了什么？

学生归纳：从一点出发可以画无数条射线。④过一点O，能画直线吗?能画几条？ ⑤经过两点A、B，能画直线吗？能画几条？ ⑥提问：你有什么发现？

学生归纳：经过一点可以画无数条直线；经过两点只能画一条直线。

6、小游戏：我来说，你来比。

三、巩固练习：

1、下面的图形，哪些是直线？哪些是射线？哪些是线段？

2、图中共有几条射线？

3、判断，对的画“√”，错的画“×”。

四、课堂小结：

今天你学到什么？有什么收获？

五、作业布置：

课本练习七 第1题

六、板书设计：

七：教学反思：

教学中给予了学生想象的时间和空间，发展学生的空间感。直线、射线都是 能够无限延长的，让学生闭上眼，让脑海中的射线向一端延长、延长、再延 长，让脑海中的直线也向两端无限延长，使学生对射线和直线的理解并不仅 仅停留在自己看到的表象上，而是向更加广阔的二维空间发展，进一步感知 射线和直线，加深对它们的理解。但在教学中，线段用时时间较长，导致后面的练习比较仓促。

线段、射线、直线教案

9.《线段、射线、直线》教案 篇九

教学内容：四年级第一学期P79~80线段、射线、直线 教学目标：

1、认识射线和直线，会用字母正确表示直线和射线，并会用直尺画直线和射线；

2、知道线段、射线和直线三者之间的联系与区别；

3、通过观察、想象等活动，初步感知“无限延长”的含义，发展学生的空间观念。

教学重点：认识射线和直线，并构建直线、射线的表象 教学难点：认识射线、直线的无限性。教学过程：

一、情景引入：

1、师：1969年8月1日，科学家为了探索宇宙间的奥秘，用巨大的激光器向月球发送了一束明亮的闪光线（激光），这束光在天空中走了38万千米到达了月球。

（多媒体）出示激光从地球发送到月球的图片

师：从地球到月球的这束光可以用我们数学中的什么图形来表示？（请说说你的理由）

2、我们一起来回忆一下线段有哪些特点？（板书： 直的两个端点

可以度量）

3、师：看一看这束光是不是符合线段的所有特点呢？所以从地球到月球的这束光我们可以用---线段来表示。今天我们就运用线段的有关知识来学习新的内容。

二、引导探究，建立射线、直线的概念

1、初步感知“无限延长”，建立射线的概念

（1）师：同学们，让我们来假设一下，如果从地球发射出去的这束光有无穷无尽用不完的能量，在运行中没有月球和其它星球的阻挡，那么这束光在宇宙中将会怎样运行呢？

（想象3～5秒钟后，能用手势来表示这束光是怎样运行的吗？）师：这束光在宇宙中会怎样运行呢? 会不会有尽头？在运行的过程中会改变方向吗？

师：（出示媒体）也就是说，如果这束光有无穷的能量，运行中没有月球和其它星球的阻挡，那么它在宇宙中将会沿着原来的方向不断地延长延长„„（无限延长）

（2）师：其实，在数学学习中我们也可以这样来想象。

媒体(出示线段AB)问：如果以A为端点，向B点方向无限延伸，它会是什么样的图形呢？闭上眼睛，想象一下。

师：能把你们想象的图形在纸上画出来吗？（展示部分学生作的图形）师：同学们非常肯动脑筋，想出很多方法来表示这个图形，、像这样将一条线段，向它的一端无限延长所形成的图形，在数学中把它称作—射线（出示射线的定义）师：射线很麻烦。因为它能够向一端无限延长，使得我们无法完整的画出来，可是，为了数学交流的需要，我们总要找到画射线的方法，你们想不想知道数学上是如何规定画射线的吗？

师：从A点出发经过B点无限延长，还可以再延长吗？（边画边问）老师画的是不是射线的全部?不是,它仅仅是这条射线的一部分，数学上规定可以用射线的一部分来代表整条射线，其实这条射线可以沿着原来的方向无限延伸。

（3）师：同学们，让我们继续来想象（出示线段AB），如果以B为端点，向A点方向无限延伸，这又会是一个什么样的图形呢？(先闭上眼,再用手势来表示)师：像这样的图形我们也把它叫做 ？（射线）让学生上台画一画。

（4）师：（指着黑板上的射线图例，边说边问）我们已经知道了线段的特点，那么，射线又有怎样的特点呢？(讨论并板书:射线 直的 有一个端点 无法度量)（5）师：线段可以用两个大写字母表示，同样射线也可以用两个大写字母来表示，这两条射线可以怎样来表示呢?（学生试着说一说）让我们一起来听一听小丁丁的介绍吧！

2、建立直线的概念

（1）师：刚才我们认识了“射线”，（手势）知道“一条线段，向它的一端无限延长，所形成的图形叫做射线。”（出示图线段AB）那么一条线段，向它的两端无限延长，你能想象出这样的图形吗？（请学生闭上眼睛想象）请大家用手势来表示想象中的图形吗？

（2）媒体出示线段AB，利用线段AB你们能画出想象中的图形吗？让学生上台画一画。问：你画出的和你头脑中想象图形一样吗？有什么不同?（3）像这样将一条线段向它的两端无限延长所形成的图形，我们把它称做---直线。

（4）师：那么观察一下:直线有哪些特点？

（5）直线也可以用两个大写字母表示----还可以用一个小写字母来表示。

A B 直线AB或直线BA------------m 直线m

3、揭示课题、巩固新知

师：今天我们复习了“线段”，并认识了“射线”和“直线”，这就是我们今天学习的内容。（板书：线段，射线，直线）那么线段、射线和直线三者之间有什么相同的特征呢？它们又有什么不同之处呢？

三、巩固新知，强化特征

1、用字母表示下面的图形：

2、判断：（用手势来表示）

（1）线段有两个端点，射线只有一个端点，直线没有端点。（）（2）小丁丁画了一条长5cm的直线。（）（3）射线CD和射线DC是同一条射线。（）

3、画一画，想一想 P80（1）从一点出发可以画多少条射线？

（2）过一点可以画多少条直线？

（3）过两点可以画多少条直线？

四、总结：

10.示范教案一4.1.1 线段的比 篇十

●课时安排 14课时

第一课时

●课 题

§4.1.1 线段的比

（一）●教学目标

（一）教学知识点 1.知道线段比的概念.2.会计算两条线段的比.（二）能力训练要求 会求两条线段的比.（三）情感与价值观要求

通过有关比例尺的计算，让学生懂得数学在现实生活中的作用，从而增强学生学习数学的信心.●教学重点

会求两条线段的比.●教学难点

会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一.●教学方法 自主探索法 ●教具准备

投影片一张：例题（记作§4.1.1 A）●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

［师］同学们，大家见到过形状相同的图形吗？请举出例子来说明.［生］课本P38中两张图片；

同一底片洗印出来的大小不同的照片； 两个大小不同的正方形，等等.［师］对，大家举出的这些例子都是形状相同、大小不同的图形，即为相似图形.本章我们就要研究相似图形以及与之有关的问题.从两个大小不同的正方形来看，它们之所以大小不同，是因为它们的边长的长度不同，因此相似图形与对应线段的长度有关，所以我们首先从线段的比开始学习.Ⅱ.新课讲解

1.两条线段的比的概念

［师］大家先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？

［生］两个数相除又叫两个数的比，如a÷b记作

ab；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小.［师］由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？ ［生］两条线段的比就是两条线段长度的比.［师］对.比如：线段a的长度为3厘米，线段b的长度为6米，所以两线段a,b的比为3∶6=1∶2,对吗？

［生］对.［师］大家同意他的观点吗？

［生］不同意，因为a、b的长度单位不一致，所以不对.［师］那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？