任意三角函数的定义

2024-09-03

任意三角函数的定义（精选10篇）

1.任意三角函数的定义篇一

§1.2.1 任意角的三角函数

合肥市二十八中学

漆学龙

教学目标 <一> 知识目标

1、掌握任意角的三角函数的定义。

2、已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。

3、记住三角函数的定义域和诱导公式

（一）。<二> 能力目标

1、理解并掌握任意角的三角函数的定义。

2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。

3、通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。<三> 德育目标

1、使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式。

2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。教学重难点

任意角的正弦、余弦、正切的定义

（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。教学过程

问题1：你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义吗？锐角三角函数定义

问题2：在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗?

在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆

即：锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示

推广: 我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切)任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则:

正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.(由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因此三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)

所以三角函数可以记为:

我们把角X的正弦、余弦、正切统称为三角函数问题3:如何求α角的三角函数值? 求α角的三角函数值即求α终边与单位圆交点的纵、横坐标或坐标的比值。例1：

解：

例2：

事实上: 三角函数也可定义为: 设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则

问题4: 根据三角函数的定义能否确定正弦,余弦,正切的值在四个象限内的符号?

例3：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角

解略

问题5:根据三角函数的定义，终边相同角的同一三角函数值是否相等？

课堂练习练习1：填表

练习2：教材第15页练习1、2、4 本课小结

1.任意角的三角函数定义直角三角形中的锐角三角函数

象限中的锐角三角函数

单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数

任意角终边上任一点（非原点）坐标定义三角函数 2.三角函数的定义域

3.正弦、余弦和正切函数在各个象限的符号一全正，二正弦，三正切，四余弦 4.诱导公式一

课后作业 1.习题1.2

2，3, 2.预习教材P15~17

2.任意三角函数的定义篇二

1 简单题型

1.1“存在性”的解题模式

题型1 设函数f(x)(含参数p),在区间I上至少存在一个x0,使得f(x0)>M(M为常数),求参数p的取值范围.

思路1 (1)求解f(x)在区间I上的最大值fmax或上确界supf(x);

(2)解关于p的不等式fmax>M或sup f(x)>M,可得参数p的取值范围.

思路2 (1)对含参数p的不等式f(x)>M,分离参数p,可得:不妨设为p>F(x);

(2)求解F(x)在区间I上的最小值Fmin或下确界inf F(x),则参数p的取值范围为:

p>Fmin或p>inf F(x).

题型1′当题型中的条件f(x0)>M变为f(x0)≥M时,则解法会有以下变化:

思路1(1)同题型1思路1(1);

(2)解关于p的不等式fmax(x)≥M或sup f(x)>M,可得参数p的取值范围.

思路2(1)对含参数p的不等式f(x)≥M,分离参数p,可得:不妨设为p≥F(x);

(2)求解F(x)在区间I上的最小值Fmin或下确界inf F(x),则参数p的取值范围为:p≥Fmin或p>inf F(x).

1.2“任意性”的解题模式

题型2 设函数f(x)(含参数p),对任意的x∈I,均有f(x)>M(M为常数)成立,求参数p的取值范围.

思路1(1)求解f(x)在区间I上的最小值fmin或下确界inf f(x);

(2)解关于p的不等式fmin>M或inf f(x)≥M,可得参数p的取值范围.

思路2(1)对含参数p的不等式f(x)>M,分离参数p,可得:不妨设为p>F(x);

(2)求解F(x)在区间I上的最大值Fmax或上确界sup F(x),则参数p的取值范:p>Fmax或p≥sup F(x).

题型2′当题型2中的条件f(x)>M变为f(x)≥M时,则解法会有以下变化:

思路1(1)同题型2思路1(1);

(2)解关于p的不等式fmin≥M或inf f(x)≥m,可得参数p的取值范围.

思路2(1)对含参数p的不等式f(x)≥M,分离参数p,可得:不妨设为p≥F(x);

(2)求解F(x)在区间I上的最大值Fmax或上确界sup F(x),则参数p的取值范围为:p≥Fmax或p≥sup F(x).

注(1)要细心区分上述不等式中等号成立的条件;

(2)定义在区间I上的函数f(x),有最值时求最值,无最值时求确界.

2 典例分析

2.1“存在性”的简单应用

分析在区间[1,e]上至少存在一个x0,使得h(x0)>f(x0)成立在区间[1,e]上至少存在一个x0,使得h(x0)-f(x0)>0成立.而对于这个式子的处理只需要令F(x)=h(x)-f(x),这样原条件就等价于:在区间[1,e]上至少存在一个x0,使得F(x0)>0成立,只需要求出F(x)在[1,e]上的最大值或上确界便可.

解法1令

(1)当p>0时,

由于1≤x≤e,所以

即有F′(x)>0,所以F(x)在[1,e]上单调递增,所以

解不等式

(2)当p≤0时,

由于1≤x≤e,所以

所以F(x)<0在[1,e]上恒成立,故不存在x0,使得F(x0)>0成立.

解法2令

(1)当x=1时,

F(1)=p-p-2e=-2e<0,

显然不满足条件;

(2)当1≤x≤e时,令F(x)>0,即

分离参数可得

由于1<x≤e,所以

所以g′(x)<0,即g(x)在(1,e]上单调递减.所以

点评以上两种解法是按1.1的解题思路进行的,解法各有千秋,但殊途同归.

2.2“任意性”的简单应用

例2 已知函数f(x)=x2+aln(x+1).若对任意的x∈[1,2],不等式f(x)≤x恒成立.求实数a的取值范围.

分析此题属于恒成立问题,应采用分离参数法进行解答.

解析对任意的x∈[1,2],不等式f(x)≤x恒成立对任意的x∈[1,2],不等式x2+alnzx+1)-x≤0恒成立.不妨设

则上式等价于:对任意的x∈[1,2],不等式F(x)≤0恒成立,只需要fmax≤0,所以

设h(x)=2x2+x+a-1,x∈[1,2].

则h(x)在[1,2]上单调递增,所以

hmin=h(1)=2+a,

hmax=h(2)=9+a,

即2+a≤h(x)≤9+a.

(1)当2+a≥0,即a≥-2时,h(x)≥0,F′(x)≥0,即F(x)在[1,2]上单调递增,

Fmax=F(2)=aln 3+2≤0,

又由于a≥-2,所以

(2)当9+a≤0,即a≤-9时,h(x)≤0,F′(x)≤0,即F(x)在[1,2]上单调递减,

Fmax=F(1)=aln 2,

所以 aln 2≤0,

解得 a≤0.

又由于a≤-9,所以a≤-9.

(3)当-9<a<-2时,由h(x)=0可得

当1≤x<x0时,h(x)<0,F′(x)<0,即F(x)在[1,x0)上单调递减;

当x0<x≤2时,h(x)>0,F′(x)>0,即F(x)在(x0,2]上单调递增.由于

所以 Fmax={F(1),F(2)}<0,

满足题意,所以

-9<a<-2.

点评本题在考察恒成立问题的同时,还考察了分类讨论思想、转化化归思想及学生的分析问题、解决问题的能力.

2.3“存在性”与“任意性”的结合

例3 已知函数f(x)=(1+x)2eax(a≠0),若存在a<0,使得f(x)≤kx+k对任意的x∈[-1,+∞)恒成立.求实数k的取值范围.

分析题目中的f(x)≤kx+k包含有两个参数k和a,而最终要求解的是k的取值范围,在求解的过程中,根据“任意性”可得到k关于a的表达式,进而再由“存在性”可得k的取值范围.

当x=-1时,0≤0恒成立,所以k∈R.

当x>-1时,上式分离参数可得:k≥(1+x)eax对任意的x∈(-1,+∞)恒成立.

令F(x)=(1+x)eax(x>-1),

只需要k≥Fmax.所以

F′(x)=eax(ax+a+1).

因为a<0,所以由F′(x)=0,可得

由于存在a<0,使得

不妨设

只需要k≥gmin.所以

由g′(a)=0,可得a=-1.

所以,当a∈(-∞,-1)时,g′(a)<0,即g(a)在(-∞,-1)上单调递减;

当a∈(-1,0)时,g′(a)>0,即g(a)在(-1,0)上单调递增.所以

gmin=g(-1)=e0=1.

故而,k≥-1.

点评本题是“存在性”与“任意性”的完美结合,只有了解其形式特点才可对症下药,流畅解题.

参考文献

[1]刘文娟.调动感官战胜“超越”——对指数对数函数与导数综合题型的探究[J].高中数学教与学,2015,(18):15-17.

3.任意三角函数的定义篇三

[关键词]HPM视角三角函数教学探究

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2016）110007

HPM是一种简称，它是数学史与数学教学关系国际研究小组的简称，该小组是在第二届国际数学教育大会上成立的.HPM主要是数学史对教学设计等内容进行深入的研究.一般情况下，我们所说的HPM视角下的数学教学就是从数学史与数学教育关系的角度对数学知识进行教学研究.把数学史应用到数学教学实践活动中，对提高数学教学质量具有十分重要的积极作用.但是怎样进行正确引入以及具体引入哪些内容，是一个复杂的系统性问题.对我国来说，在数学史与数学教学关系方面的研究比较少，因此在实际教学中有很多教师没有做好数学史对教学设计等内容进行深入的研究.因此本文从HPM视角对“任意角三角函数概念”进行深入研究，希望能够对数学史与数学课堂完美融合进行一定程度的探索，为进一步提高数学教学质量开辟新的途径.

一、HPM视角下高中“任意角三角函数概念”教学学情的分析

通常情况下，学生在开始学习任意三角函数的概念前，已经学习了弧度制.教师要在弧度制的教学过程中有目的、有意识地加入数学史的内容，这样可以使学生从自己的思想意识中明确为什么要将弧度制引入到数

学教学活动中，同时也能够帮助学生加深对单位圆的理

解[1].学

生在初中已掌握了锐角三角函数的相关含义，比如正弦和余弦以及正切等概念有了一定程度的了解.因此本文认为教师可以在弧度制的教学讲解过程中对锐角三角函数的概念进行复习和回顾，之所以这样做是因为从本质上来说，弧度制是一种度量方式，最早也是为了解决三角形边角关系的情况下产生的.为了充分提高教学的质量，在实际的教学过程中，教师应当先不要讲述三角函数的定义，而是要等到学生对任意三角函数的概念深入掌握后再将高中和初中的知识进行对比，这样可以帮助学生建立一个清晰完整的三角函数知识体系.

二、HPM视角下高中“任意角三角函数概念”教学情境设计

学生到了高中阶段，其生活经验和联想能力都得到了发展和提高.所以教师要从生活的现象入手，激发学生对任意角三角函数的学习兴趣[2].如引导学生对钟表指针的旋转以及自行车轮子的旋转进行观察，因为在这些运动中都存在着180°以上的角度，而且其运动的轨迹都和圆存在着十分直接的联系.因此从某种角度来说，三角函数也叫圆函数[3].在这种情况下，完全可以借助单位圆引入任意角三角函数的概念.

问题1：怎样从单位圆的角度出发去理解任意三角函数的定义？

如图1所示，我们完全可以假设α是一个任意的角，在此基础上进一步假设α的终边和单位圆相交于一个点M（x，y）.在这种情况下，首先y就是角α的正弦，即sinα=y；其次，x就是角α的余弦，即cosα=x；y/x就是角α的正切，即tanα=y/x.

问题二：点M（x，y）的坐标和任意三角函数的正负存在着什么样的内部联系？

此时，教师要利用这个问题导向，积极引领学生对三角函数的定义进行深入分析，利用该定义对三角函数符号和点M（x，y）的坐标关系进行分析，通常情况下，只要r的值是正数，那么横坐标和纵坐标的正负就可以直接决定三角函数值的符号.

问题三：在分析和学习三角函数的周期性时，怎么实现对单位圆这一工具的有效利用？

此时，对图1的单位圆进行深入的分析和实际的计算可以得出这样一个重要的结论，那就是每当角度转动了360°或者是360°的整数倍的时候，角的终边都能够回到原来的位置上.在这种情况下，三角函数在转动前后的同名函数值应该是相等的.因此，我们可以对这样一种现象进行深入的分析和有效的利用，从而能够通过有效的转换，变成求0到2π角的三角函数值.

三、HPM视角下高中“任意角三角函数概念”教学效果的问卷调查

为了对HPM视角下高中“任意角三角函数概念”教学效果进行深入的了解和掌握，本次研究做了充分的调查，并在某学校进行了课堂教学的实践.该学校的文理科比例是1∶4，从总体上来看，理科生对本节课的兴趣高于文科班.部分学生认为本次课堂的感觉比较好，比以前更加有趣，还有的学生认识到单位圆具有周期性和对称性，对用来研究三角函数具有很有效的帮助.总体来说，三角函数历史悠久，将几何知识、代数知识等融为一体，教师在教学的过程中应当注意各个知识之间的联系.

综上所述，三角函数是高中学习中非常重要的知识内容，从周期性的角度来说，三角函数是周期函数，同时三角函数也为解决其他问题提供十分重要的工具，与后续学习的很多内容有关联.HPM主要对数学史的教学设计等内容进行深入的研究.因此我们要进一步进行深入思考和研究，采取有效措施，加强HPM视角的数学教学研究，让学生了解数学的来龙去脉，这样既有利于提高学生学习数学的兴趣，又能够加深学生对数学知识的理解.

[ 参考文献 ]

[1]龚亮亮.“任意角的三角函数”教学设计[J].中国教育技术装备，2011（4）.

[2]曾荣.高中数学教材“推广型”内容的教学策略[J].教学与管理，2015（7）.

[3]陈汉裕.关于“任意角三角函数的定义”的教学[J].科技信息（科学教研），2007（7）.

4.《任意角的三角函数》教学反思篇四

(1)回顾任意角、象限角与轴线角的概念.

(2)回顾锐角三角函数的定义，有了任意角之后，原来三角函数的定义有局限性，需要对其重新定义，以适用于任意的三角函数.

(3)除了锐角的三角函数外，在其它学科中有没有接触到一些特殊角的三角函数值?(意图是让学生说出)

重新定义的原则有哪些?

①和谐的原则，新定义应该包含以前的定义，即当角为锐角时，其定义应与前面的三角形边的比值等价.由此可以确定，新的定义仍应是比值的形式;

②传承的原则，新定义应保留旧定义中的一些做法，如可以同样在角的终边上任取一点来定义，且所得结果应与所取点的位置无关.

③相容的原则，新定义不能与一些熟悉的结论相矛盾.如当角为钝角时，其余弦值应为负值.由此可知，新的三角函数的定义应保证所得三角函数值有正负之分;

④自然的原则，新定义不能出来得很奇怪，要让人接受必须顺其自然，可在我们前面讨论的象限角的基础上进行，换句话说，老师在给出一个任意角的时候，就可以将角直接放在直角坐标系下，因为前面已讨论过象限角.

5.《任意角三角函数》课后反思篇五

金堂实验中学

吴华

一、本班学生认知水平

本班是高一年级的普通班，虽然有71人，有70%的人几乎不能听懂，有22%左右能听懂但不能把习题完全做对，有8%的人听懂也能正确完成习题，几乎没有人能超前思维，无主动自发学习习惯，这是本班的现状。

二、学习本节需要的基础知识

初中锐角三角函数知识；特殊锐角直角三角形三边关系；直角坐标系下坐标在四个象限的符号特征；弧度制和角度制的互化；终边落在Y轴的角表示方法；函数的定义和三要素。

三、教材设计安排

《任意角的三角函数》共分三个课时，第一课时主要是引入任意角的三角函数的定义，也是本节的教学重点和难点；第二课时诱导公式一的应用；第三课时利用单位圆有向线段表示三角函数。

（1）课堂设计安排

我上的是《任意角的三角函数》的第一课时。第一节课定义占了本节课15分钟左右，在上课之前我认真看了教材上的李柏青老师课堂实录，并认真记录下他在每个知识点如何提问，如何由锐角三角函数过渡到任意角三角函数以及他在每个知识点上的时间分配。结合本班实际我在设计这堂课时改变了教材编排体系，在设计了任意角三角函数的定义和定义域之后我没有直接评讲例1“给定一个角求三角函数值”，我先给出一组“判断三角函数值的符号”练习，让更多的同学参加学习中来，通过练习学生很快总结出“任意角三角函数在四象限的符号特征”。比起求值，判断符号肯定更简单。同时我将例2“给定坐标求三角函数值”移至第二课时，例2用单位圆的方式解答会无形中增加本题难度，两种方法对比学更能让掌握此题的方法。第一课时的时间已经比较紧，即使能讲完，学生也不能完成课堂练习。对定义域和值域两个内容在指导老师的建议下分成两节学习。学生学习“任意角的三角函数这个概念是以顺应为主的认知过程，我把它分成如下四个阶段：直角三角形中的锐角三角函数---直角坐标系中的锐角三角函数---单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数---单位圆上点的坐标表示的任意角的三角函数---任意角终边上任一点坐标定义三角函数，层层引入，所以学生就理解了任意角的三角函数。

（2）本节内容的特点

（A）数学课堂的情景创设是关键。虽然这节课情景创设是老掉牙的复习导入初中锐角三角函数，但注重与义务教材的衔接，初中教材中只涉及正弦、余弦和正切，在本节的内容比老教材相比三角函数的定义减少了三个，这三个三角函数的删减大大降低三角函数一章的难度，由这三个也可以推导其他几个。（B）定义的引入还有一个最大的特点是利用单位圆定义三角函数是一个创新。我认为它有如下几个优点：一是使正余弦函数直接对应直角坐标系下一个点的横纵坐标更加清楚、简单，突出了三角函数的本质。有利于学生理解三角函数是函数的本质；二是使三角函数反映的数形关系更加明了，为后续内容奠定基础。（C）本节的重点和难点是对任意角三角函数定义的理解，一要阐述任意角三角函数定义来历，而要说明关系式是函数。在说明是函数上为了不让学生会被函数的概念搅昏，我提出了启发性的问题：给一个a值有一个点的坐标与之对应，所以它们是函数吗？比直接问他们是不是函数好判断多了。（D）锐角三角函数与任意角三角函数的关系是由特殊到一般的关系，首先，要建立锐角三角函数放在直角坐标系下，用终边上点的坐标来表示，再用终边与单位圆的交点的坐标表示。其次，角的概念扩大，学生在第一节学习了角的表示（过程的）：正角、零角、负角，象限角，与角α终边相同的角，{α+k·360°}到{α+2kπ}(结构的)，学生对角的概念扩充，后面学习了角度可以用弧度表示。将三角函数的定义域扩充到实数，（3）本节渗透数学思想方法、思维能力

通过单位圆来定义三角函数，渗透数形结合思想。同时在说明三角函数是函数上体现了函数与方程思想。由锐角三角函数的坐标表示引到任意角的三角函数的坐标表示展示类比的思想。在探索四象限的三角函数的符号特征我采用探究式学习方式，锻炼了学生的独立思考的能力，也充分展现学生自学、探究学习的过程。

四、本课的学习和教学方式

课本中有些内容可以采用学生自主探究方法，但不适宜整课自学探究。结合本班学生实际让他们提前预习了该节内容，并且利用晚自习把本节需要的基础知识逐一补充。有些高中的内容如角度与弧度互化加强记忆，另一些初中的相关知识加以复习巩固，这样做到课前有准备，课上不慌张。新课程倡导积极主动、勇于探索的学习方式, 其关键在于要培养学生的探究意识。新课程强调探究式教学。但我们班的学生由于基础差，学习习惯不好要探究出某个数学问题或者定理,需要花费大量时间,甚至可能无从着手，白白浪费时间。高中学生的学习任务主要是学习前人的知识与方法, 任何脱离知识基础的探究都是盲目的。所以结合本班实际我采用了讲授式，讲授式教学有其优越性；因此在教法的选择上，教师应从教学的实际内容出发，从学生的实际学情出发，内容适宜学生探究的或者问题有探究的意义的，就让学生探究，内容适宜教师讲授的，就让学生“接受”。只有多种教学方式取长补短，平衡互补、相辅相成，才能取得相得益彰的教学效果。

五、其他启示

数学概念(mathematical concepts)：是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。，三角函数的概念教学是本节难点，如果教师直接“告诉”学生什么是“任意角三角函数”，就会让学生处于茫然不知所日，在知识接受上有突兀感．在教学中应遵循高中数学新课标的要求，加强概念的引入，引导学生经历从旧知抽象出数学概念的过程．合理设置情境，使学生积极参与教学，了解知识发生发展的背景和过程，使学生感受到学习的乐趣，为了总结出一个结论要建立任意角三角函数概念，角的概念先扩大，即任意角三角函数的概念是抽象度更高、包摄范围更广的概念。产生与原认知结构不协调的方面是：首先，要建立锐角三角函数的一个等价的表示过程，即放在直角坐标系下，用终边上点的坐标来表示，进一步用终边与单位圆的交点的坐标表示。其次，在不同象限下，角β所对应的三角函数的表示，符号等；第三，任意角三角函数的定义域、值域。通过上课及课后的研讨，我的另一点体会是，教学设计既要重视“承上”，即与学生原有认知结构的联系，也要重视“启下”，即从后续知识发展的角度审视教学安排。锐角三角函数概念教学时如果是先给一个锐角，再构造三角形，而不是象当前大多数教材中采用的直接放在一个直角三角形下，对学生概念的迁移会更有帮助。另一个是，给出角上一点坐标求三角函数值，用单位圆解理解困难，我建议两种方法对比学，学生可以因材施教，更利于学生掌握

6.任意三角函数的定义篇六

1、地位和作用:节课是人教版中职数学(必修8.2.1任意角三角函数的第一课时任意角的三角函数是本章教学内容的基本概念,对三角内容的整体学习至关重要.同时它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备,通过这部分内容的学习,又可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。

教学重点: 1正确理解三角函数的定义

2任意角三角函数在各个象限的符号教学难点:标系下用坐标比值定义的观念的转换以及坐

标定义的合理性的理解;学情分析:学生已经掌握的内容,学生学习能力

1.初中学生已经学习了基本的锐角三角函数的定义,掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。

2.学生具备一定的自学能力,部分同学对数学的学习有兴趣和积极性。3.在探究问题的能力,合作交流的意识等方面发展不够均衡,尚有待加强必须在老师一定的指导下才能进行

知识目标:(1;

1、理解任意角的三角函数的定义;

2、三角函数值的符号

3、会求任意角的三角函数值;

4、体会类比,数形结合的思想。能力目标:(1理解并掌握任意角的三角函数的定义;(2正确理解三角函数是以实数为自变量的函数;(3通过对定义域,三角函数值的符号的推导,提高学生分析探究解决问题的能力.情感目标:(1学习转化的思想,(2培养严谨的学习态度;二说教法

温故知新,逐步拓展

(1在复习初中锐角三角函数的定义的基础上一步一步扩展内容,发展新知识,形成新的概念;(2通过例题讲解分析,逐步引出新知识,完善三角定义三说学法

通过对已经掌握的锐角三角函数推广到任意角的三角函数定义，引导出三角函数在各个象限内的符号,会求任意角的三角函数,学会从现有的知识探索新的知识,善于发现问题,提出问题,归纳问题,从而达到解决问题的目的。

四教学过程

总体来说,由旧及新,由易及难, 逐步加强,层层深入由初中的直角三角形中锐角三角函数的定义过度到直角坐标系中锐角三角函数的定义再发展到直角坐标系中任意角三角函数的定义给定定义后通过应用定义又逐步发现新知识拓展完善定义.1引入: 练习:sin300= cos300= tan300= 那么3000,300000呢? 复习提问:初中直角三角形中锐角的正弦余弦正切是怎样定义的? 由学生回答: SinA=对边/斜边 cosA=对边/斜边 tanA=对边/斜边

我们已经学习了锐角三角函数,知道它是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 2逐步拓展:在高中我们已经建立了直角坐标系,从直角三角形改为平面直角坐标系。

那么三角函数的定义能否也放到坐标系去研究呢? 把三角函数的定义发展到用终边上任一点的坐标来表示, 从而锐角三角函数可以使用直角坐标系来定义,自然地,要想定义任意一个角三角函数,便考虑放在直角坐标中进行合理进行定义了

设a是一个任意角,它的始边与x轴正半轴重合,在终边的终边上任取一点P(a,b,它与原点的距离r=>0, 表示三角函数;sin=, cos=, tan=，(1叫做a的正弦,记作sina, sin=,(2 x叫做a的余弦,记作cosa,即cosa=;(3 ,叫做a的正切,记作tana,即tana=,。我们将它们统称为三角函数。从而得到

知识归纳一:任意一个角的三角函数的定义

提醒学生思考:由于相似比相等,对于确定的角A ,这三个比值的大小和P点在角的终边上的位置无关.3例题讲解

例1已知角A 的终边经过P(2,-3,求角A的三个三角函数值(此题由学生自己分析独立动手完成知识归纳二:三个三角函数的定义域

例题变式1, 已知角A 的终边经过P(-2a,-3a(a不为0,求角A的三个三角函数值解答中需要对变量的正负即角所在象限进行讨论, 让学生意识到三角函数值的正负与角所在象限有关,从而导出第三个知识点

知识归纳三:三角函数值的正负与角所在象限的关系

由学生推出结论,教师总结符号记忆方法:一全正,二正弦,三两切,四余弦,便于学生记忆

例题2:已知A在第二象限且 sinA=0.2 求cosA,tanA 求cosA,tanA

拓展,如果不限制A的象限呢,可以留作课外探讨 4随堂练习

1、若,则在(B A.第一、四象限 B.第一、三象限 C.第一、二象限 D.第二、四象限

2、角终边上有一点(a,a则sin=(B A.B.-或 C.-D.1 5小结:

1、任意角三角函数的定义

2、三角函数值的符号

3、会求任意角三角函数值 6课堂作业P100 1,2,4(学生演板,教师讲解

课后分层作业(满足不同层次的学生必作P23 1,2,3 练习B 五板书设计

课题引入定义例一例二

7.谈函数的定义域篇七

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则, 所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域, 否则所求函数关系式可能是错误的.如:

例1某单位计划建筑一矩形围墙, 现有材料可筑墙的总长度为100 m, 求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?

解:设矩形的长为x米, 则宽为 (50-x) 米,

由题意得:S=x (50-x) .

故函数关系式为:S=x (50-x) .

如果解题到此为止, 则本题的函数关系式还欠完整, 缺少自变量x的范围, 也就说学生的解题思路不够严密.因为当自变量x取负数或不小于50的数时, S的值是负数, 即矩形的面积为负数, 这与实际问题相矛盾, 所以还应补上自变量x的范围:0

即:函数关系式为:S=x (50-x) (0

这个例子说明, 在用函数方法解决实际问题时, 必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.

二、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大 (小) 值的问题.如果不注意定义域, 将会导致最值的错误.如:

例2求函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最值.

解:因为y=x2-2x-3= (x2-2x+1) -4= (x-1) 2-4,

所以当x=1时, ymin=-4.

初看结论, 本题似乎没有最大值, 只有最小值.产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路, 而没有注意到已知条件发生变化.

其实以上结论只是对二次函数y=ax+bx+c (a>0) 在R上适用, 而在指定的定义域区间[p, q]上, 它的最值应分如下情况:

(1) 当-

(2) 当>p时, y=f (x) 在[p, q]上单调递减函数f (x) max=

f (p) , f (x) min=f (q) ;

(3) 当p≤≤q时, y=f (x) 在[p, q]上最值情况是:f (x) min=, f (x) max=max{f (p) , f (q) }.

即最大值是f (p) , f (q) 中最大的一个值.

故本题还要继续做下去:

因为-2≤1≤5, f (5) =52-2×5-3=12,

所以f (-2) = (-2) 2-2× (-2) -3=-3,

所以f (x) max=max{f (-2) , f (5) }=f (5) =12,

所以函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最小值是-4, 最大值是12.

这个例子说明, 在函数定义域受到限制时, 要注意定义域的取值范围对函数最值的影响.

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合, 当定义域和对应法则确定, 函数值也随之而定.因此在求函数值域时, 应注意函数定义域.如:

例3求函数y=4x-5+的值域.

错解:令t=, 则2x=t2+3,

所以y=2 (t2+3) -5+t=2t2+t+1=

故所求的函数值域是

剖析:经换元后, 应有t≥0, 而函数y=2t2+t+1在[0, +∞) 上是增函数, 所以当t=0时, ymin=1.故所求的函数值域是[0, +∞) .

这个例子说明, 变量的允许值范围是何等的重要, 若能发现变量隐含的取值范围, 精细地检查解题思维的过程, 就可以避免以上错误结果的产生.

四、函数单调性与定域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时, 函数值随着增减的情况, 所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行.如:

例4指出函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调区间.

解:先求定义域:

因为x2+2x>0, 所以x>0或x<-2.

所以函数定义域为 (-∞, -2) ∪ (0, +∞) .

令u=x2+2x, 知在x∈ (-∞, -2) 上时, u为减函数,

在x∈ (0, +∞) 上时, u为增函数.

又因为f (x) =log2u在[0, +∞) .

所以函数f (x) =log2 (x2+2x) 在 (-∞, -2) 上是减函数, 在 (0, +∞) 上是增函数.

即函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调递增区间 (0, +∞) , 单调递减区间是 (-∞, -2) .

如果在做题时, 没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性, 就说明学生对函数单调性的概念一知半解, 没有理解.

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性, 应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称, 如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称, 则函数就无奇偶性可谈.否则要用奇偶性定义加以判断.

例5判断函数y=x3, x∈[-1, 3]的奇偶性.

解:因为2∈[-1, 3]而-2[-1, 3]

所以定义域区间[-1, 3]关于坐标原点不对称,

所以函数y=x3, x∈[-1, 3]是非奇非偶函数.

如果学生不注意函数定义域, 那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论:

因为f (-x) = (-x) 3=-x3=-f (x) ,

所以函数y=x3, x∈[-1, 3]是奇函数.

8.函数定义域的应用篇八

一、求值域时忽视定义域

例1求函数的值域。

错解：因为

且，所以函数的值域为{y∈R|y≠1}。

剖析：出错原因是忽视了函数的定义域，上述运算过程中扩大了函数的定义域。

正解：

当x＝1时，y＝－，所以y≠－，又因为≠0，所以y≠1，

故函数的值域为{y|y≠1且y≠－}.

总结：若一个函数的定义域和对应关系一经确定，那么它的值域也就确定了。所以求函数的值域时应特别注意其定义域和对应关系。尤其是在对函数解析式进行恒等变形时，一定要注意定义域是否发生变化。

二、求函数的单调区间时忽视定义域

例2求函数f(x)＝的单调区间。

错解：设u＝x2＋x－6＝(x＋)2－，

∴当x∈[－，＋∞)时，u＝x2＋x－6是增函数；当x∈(－∞，

－]时，u＝x2＋x－6是减函数，且y＝在(0，＋∞)上是增函数，

所以f(x)＝的单调增区间为[－，＋∞)，单调减区间为(－∞，－]。

剖析：上述解法忽略了函数的定义域，从而导致错误，在解此类问题时，应首先确定函数的定义域。

正解：因为x满足x2＋x－6≥0，所以x≥2，或x≤－3，

所以函数的定义域为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．

而u＝x2＋x－6＝(x＋)2－在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，

且y＝在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)＝的单调增区间为[2，＋∞)，单调减区间为(－∞，－3]。

总结：函数的单调区间一定是其定义域的子集，所以求函数的单调区间一定要先看(或求)函数的定义域。

三、在解不等式时忽视定义域

例3已知f(x)是定义在[0，1]上的增函数，若f(a－2)－f(a2－4)＜0，求实数a的取值范围。

错解：原不等式可变形为f(a－2)＜f(a2－4)，因为f(x)是定义在[0，1]上的增函数，

所以a－2＜a2－4，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1．

剖析：错解忽视了函数的定义域。事实上，应有0≤a－2≤1且0≤a2－4≤1．

正解：原不等式可变形为f(a－2)＜f(a2－4)，又f(x)是定义在[0，1]上的增函数，

所以2＜a≤ ．

总结：利用函数的单调性解不等式时，除了考虑单调性外，更要考虑函数的定义域。

四、求函数解析式时忽视定义域

例4已知f(x－2)＝x2－4x＋2，x∈[－10，11]，求f(x)的解析式。

错解：将函数变形为f(x－2)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2，令u＝x－2，得f(u)＝u2－2，即f(x)＝x2－2，x∈[－10，11]。

剖析：错解误以为[－10，11]是函数f(x)的定义域，事实上它是y＝f(x－2)的定义域．

正解：因为x∈[－10，11]，则－12≤x－2≤9，

将函数变形为f(x－2)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2，u＝x－2，得f(u)＝u2－2，即f(x)＝x2－2，x∈[－12，9]。

总结：在用解析式法表示函数时，除了要求解函数的解析式外，更要考虑函数自变量本身的取值范围。

五、判断奇偶性时忽视定义域

例5判断函数f(x)＝的奇偶性。

错解：因为，所以f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数。

剖析：错解忽视了函数的定义域。

正解：因为所以－2≤x≤2且x≠0，故x＋3＞0，從而原函数可化简成

此时因此f(x)是奇函数。

总结：由函数的奇偶性不难得出，判断函数的奇偶性，首先应判断函数的定义域是否关于原点对称。

通过以上例子，我们不难得出，函数的定义域在函数的三要素中起着举足轻重的作用。因此我们在解函数的有关问题时，大脑应时刻紧绷“函数的定义域”这根弦，这样既有利于培养同学们思维的严密性和逻辑性，也有利于提高求解函数问题的能力和方法。

9.三角函数定义的教学反思篇九

许钦彪

教育部制订的普通高中《数学课程标准》（人民教育出版社2003年4月版）第31页关于必修4《三角函数》的内容与要求是：①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。根据这个要求，人民教育出版社《数学必修4》（2007年2月版）第12页给出的任意角的三角函数定义为（本文称为定义1）：

设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点p(x,y)，那么y叫做的正弦，记作sin，即siny，x叫做的余弦，记作cos，即cosx，yy叫做的正切，记作tan，即tan。xx而把原教材中的三角函数定义，在第13页用注释给出（本文称为定义2）：一般地，设角终边上任意一点的坐标为（x,y），它与原点的距离为r，则sinyxr,cos,tan。并要学生证明。rrx在实际教学中，定义1的优点是简洁明了，缺点是缺乏一般性，在实际解题中不能直接应用。而定义2不但简洁明了，而且在一般性问题中都可以直接应用。例如教材第12页的例题：

例2：已知角的终边经过点P0(3,4)，求角的正弦、余弦和正切值。

教材中是先求出rOP05，再用相似三角形的比例关系转化成单位圆与终边的交点坐标来得到解。由于涉及到相似比以及符号，结果把这个简单明了的问题搞得复杂化。而且这种相似比及符号问题没有一般性。如果在其它象限，其比值符号仍是一个困难。在讲解和学习时，学生普遍反映思维别扭、理解不清、难以接受。

如果利用定义2，其解法就自然、清楚而且不受象限及符号的影响。

解：∵P0(3,4)在的终边上，x3,y4,r5。据定义2，得siny4x3y4,cos,tan。r5r5x3同样，第15页的练习2，第20页的习题1.2的2以及须由定义解答的问题都是利用定义2容易解答，这是因为很少有问题会在已知中给出终边上的点刚好是单位圆上的条件，所以用定义1解答必须涉及相似比以及符号问题等困难，这是没有必要的。

根据以上分析，建议在教学时，把定义2作为任意角三角函数的定义，而把定义1作为简化定义。这一节的主要教学步骤可设计为：

1、定义引入：

①学生复习直角三角形中锐角的正弦sin,余弦cos,正切tan。

提出问题：现在角是任意角，这种定义应扩展。

②将角放在直角坐标系中，先以简单的情况为例研究。设是第一象限角（如图），如何定义的三角函数，要考虑两个因素：

aba，来定义，现在扩大的定义要包含以前的定义。ccb第二，sin,cos,tan要由唯一确定（否则不是函数）。第一，初中中用比学生经过讨论基本上能认同找一个RtOPM，教师指出,这个Rt的实质是终边上的点P(x,y)。记。OPr定义sin,cos,tan。

进一步讨论这个比值是否由唯一确定？与P在终边上的位置有否关系？假如另外取一点P1(x1,y1),r1，学生易知关，由唯一确定。

于是这个定义是合理的，也就是说以的终边上的一点P(x,y)的坐标x,y和OPr的比值来定义三角函数是符合函数要求的。

③进一步可以考虑，以上定义与所在的象限有否关系（无），有否大小限制（无）。④所以，任意角的三角函数的定义是：设角的终边上任意一点的坐标为P(x,y)，它与原点O的距离为r，则sinyxyx2y2.。联想第一个因素，可以用比值，来

rrxy1yx1xyy，，1。即比值与P点在终边上的位置无

r1rr1rxx1yyx,cos,tan。rrx⑤说明：A：定义中的P点是终边上的任一点。

B：因为r0，所以对任何，sin,cos总有确定值，而x0即k2

时，tan没有意义。

C：因为角可以用弧度（实数）表示，所以三角函数建立了角的集合（弧度

表示）与实数集之间的一一对应关系。

⑥给出单位圆概念。

⑦探讨三角函数的简化定义：角的终边与单位圆交于点P(x,y)，则r1，此时定义简化为：siny,cosx,tany。x2、定义的应用：

① 已知角终边上一点求三角函数值，讲练课本12页例2，15页练2。可用一般定义解决（点已知代定义）

②已知角的大小求三角函数（课本12页例1）可用单位圆与终边的交点（点未知，自己取），进而练习特殊角0,6432，，,3的三角函数值，并记忆。

23、三角函数的定义域：

由定义知定义域，学生填表（课本13页）并记忆。

4、三角函数值的符号：

由定义和点角终边上一点P(x,y)在各象限的符号探讨三角函数值在各象限的符号，学生填表（课本13页）。记忆和应用（课本13页例3）。

5、诱导公式一：

学生探讨，由定义知终边相同的同名三角函数值相等。诱导公式一的作用是把任意角化为一周内的角。应用（课本14页例4，例5，练习15页5，6）。

10.对函数单调性定义的认识与理解篇十

最初学习单调性时往往容易将定义域与单调区间混淆.有些函数在整个定义域上是单调的，如一次函数；有些函数在整个定义域上是非单调的，如常函数y=c，又如函数y=1，x∈Q，0，x∈RQ；而有些函数在整个定义域上是非单调的，但在其部分区间上是增函数，在其另一部分区间上是减函数，如二次函数.

若函数在定义域的两个区间A，B上都是增（减）函数，一般不能简单地认为其在A∪B上是增（减）函数.如

f（x）=在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上也是减函数，但不能说它在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数，事实上，取x1=-1＜1=x2，而f（x1）=-1＜1=f（x2），并不符合减函数的定义.又如函数g（x）的图像如图1所示，g（x）在（-∞，0）上是增函数，在［0，+∞）上也是增函数，且对任意的x1＜0≤x2，g（x1）＜g（x2），则可以说g（x）在R上是增函数.能不能说函数在A∪B上是增（减）函数，关键看它是否符合函数单调性的定义.

例1 （2006年北京理科卷）已知f（x）=（3a-1）x+4a，x＜1，logax，x≥1（a＞0且a≠1）是（-∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是.

分析这是利用分段函数在其定义域上是增函数这样一个条件，求其中字母参数的问题.毫无疑问，f（x）在分段函数的各段范围上都应该是增函数，于是可以分别获得a的取值范围.那么怎么实现f（x）在定义域（-∞，+∞）上是增函数呢？这就需要借助函数单调性的定义了.显然函数f（x）两部分的图像分布状况如图2，图3或图4所示，其中图2，图3满足函数单调性的定义，于是应有（3a-1）×1+4a≥loga1.

答案：，.

点评函数单调性的定义强调“任意”所取的“x1，x2”来自于“同一区间”，所以函数的两个（或多个）单调区间能否写成并集形式的关键是，在并集中任意取x1，x2时，是否符合函数单调性的定义.

函数的单调性是对于函数定义域内的某一子集而言的.反过来，在讨论函数单调性时，不能遗忘首先是在定义域的大前提下进行的.

例2 已知f（x）=loga（2-ax）（a＞0且a≠1）在［0，1］上是减函数，则实数a的取值范围是.

分析函数可以分解成y=logat和t=2-ax，显然t=2-ax是x的减函数，于是要使得f（x）=loga（2-ax）是减函数，只需y=logat是t的增函数，故有a＞1.但对数函数要求真数大于零，故t=2-ax是x的减函数应理解为是［0，1］上的正值递减函数.同学们，下面怎么处理，你想到了吗？

答案：（1，2）.

函数的单调区间反映的是函数值的连续变化情况，属于函数的整体性质，是函数具有增（减）性质的所有部分，如函数f（x）=x2+1的单调增区间为［0，

+∞）；而函数在区间上单调体现的是函数在被考察区间上的局部特征，如函数f（x）=x2+1在［1，2］和（3，+∞）上单调递增.一般地，后者应为前者的子集.

例3 已知函数f（x）=x2-2ax+1在区间［1，+∞）上递增，求实数a的取值范围.

分析思路一函数f（x）=x2-2ax+1的单调增区间是［a，+∞），所以［1，+∞）应为［a，+∞）的子集.

思路二函数f（x）=x2-2ax+1在区间［1，+∞）上递增，即有当1≤x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）恒成立，从而求出实数a的取值范围.

答案：（-∞，1］.