数学全等三角形教案

数学全等三角形教案（精选10篇）

1.数学全等三角形教案 篇一

第1章

三角形的初步知识

1.5三角形全等的判定

第2课时

用两边夹角关系判定三角形全等

1.掌握三角形全等（SAS）的判定方法。

2.理解线段的中垂线概念，掌握线段的中垂线性质。

3.会运用三角形全等的判定方法、线段的中垂线性质，解决两条线段相等、两个角相等的问题.两个三角形全等（SAS）的判定条件.线段的中垂线性质的应用.教室的钢窗，开窗时，随着∠ABC的大小改变，开窗的大小也随之改变。由于∠ABC的大小在改变，问：△ABC的的形状能固定吗？

1.画三角形

让我们动手做一做：用量角器和刻度尺画△ABC，使AB=4Cm,BC=6Cm，∠ABC=60⁰。要求学生把图画在透明纸上。

2.合作交流，得出结论

教师在巡视中，有五分之四以上学生画好后，要求学生将你画好的三角

形和其它同学画的三角形，重叠上去，它们能互相重合吗？使学生有感性认识，再由全等形的概念知：得到书本P.23的结论。

例1：例题讲解，P.23例3

分析:

在△AOB和△COD中:

已有哪些已知条件?OA=OC，OB=OD。根据三角形的判定方法，还需要什么条件？

∠AOB=∠COD或AB=DC，选哪一个好？∠AOB=∠COD。

而AB=DC，在两个三角形不全等的情况下，根据已有的条件，AB=DC吗？不可能。

教师板书解题过程，学生填写（）的理由。

通过本节课的学习，谈谈你的收获。

1.我们已学习了

三角形全等的两个判定方法：SSS、SAS。

2.线段的中垂线

概念及性

质。

3.对所学的知识，重在于灵活运用。

2.数学全等三角形教案 篇二

一、培养学生的动手能力, 促进知识的消化吸收

俗话说“智慧就在你的手指尖上”, 学生通过动手操作得来的知识总是记忆犹新。为此笔者在教学中特别重视学生动手能力的培养。比如, 初探三角形全等条件“边角边”时, 让学生充分动手折叠、剪拼、度量、作图, 通过学生参与把握三角形全等的条件, 通过多感官的刺激, 增强他们的感性认识, 从而为上升为理性认识做好有力的铺垫。学生们学得轻松, 教学效果斐然。在后来探讨三角形全等其他条件的时候, 笔者一直坚持这样的思路, 收效都特别明显, 全等各种条件的认识自然就水到渠成了。

二、培养语言的转换能力, 促进有条理思考表达

在几何教学中“图形语言、符号语言、文字语言”这三种语言的转换占据着特别重要的地位。笔者在教学中重视培养学生三种语言的切换能力, 要求学生能够自由切换, 以打通学生的思维, 寻找正确的解题通道。在每一种全等三角形条件探索时无不如此, 如教学直角三角形全等的条件“HL”时, 从文字语言“斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等, 简写为‘斜边, 直角边’或‘HL’”。这对于刚接触直角三角形全等的学生来说, 文字语言过于抽象, 学生不能形成深刻的印象, 于是笔者出示下列图形辅助理解, 再用符号语言来表述, 这样学生就能从多个角度理解了“斜边、直角边”这一说明两个直角三角形全等的方法, 为将来运用它来解决实际问题做好了准备。

三、培养正确的解题方法, 努力提高解题技巧

1. 分析法、综合法

在全等三角形的教学中, 如何打开解题思路是一个很重要的问题。在教学中笔者主要渗透的是两种方法:一个执果索因的分析法, 也就是通常所说的由结论想条件;另一个执因索果的综合法即由条件想结论。新课程标准中, 全等的要求没有传统教材的要求高, 一般用一种方法就可以奏效。对于复杂一点的问题两种方法都运用, 这样降低了问题的难度, 同时也能够提高学生学习的兴趣。

2. 分离法

对于难度较小的问题学生解决起来不费吹灰之力, 但是对于图形复杂、条件比较繁杂的问题, 就不能那么轻松了, 就要讲究方式方法了。笔者根据多年的新课程的教学实践中, 努力探索研究发现, 分离图形是一个很好的方法, 就是说要善于从复杂图形中, 分离出重点三角形, 单独对其进行研究, 这样目标明确, 已知条件与缺少的条件一目了然, 从而做到了有的放矢。

四、有机整合多媒体手段, 促进应变能力的提高

随着新课程改革的逐渐深入, 现代化教学手段越来越得到广泛的运用。通过多媒体手段的整合让图形动起来, 利用几何画板等软件编辑动画, 有意识地渗透平移、翻折、旋转变换思想, 极大地提高了学生学习数学的兴趣, 增强了学生的识图能力, 发展了学生的空间观念。教学实践笔者注意渗透下列变换:

1. 平移

例1:已知:如图, A、D、C、F在同一直线上AB∥EF, BC=DE, 且AD=FC。

(1) AB与FE相等吗?请说明理由。

(2) 若△ABC向右平移一定距离, 说明AB与FE相等吗?请说明理由。

通过几何画板演示, 学生从图 (1) 过渡到图 (2) , 清楚地认识到对应边AC、FD的相等关系, 应该根据不同的情况如何进行转换, 从而有效地提高了学生的应变能力。

2. 翻折

江苏省2010年中考数学题中, 对这方面就有一定的考查。所出的问题虽然难度不大, 但是对翻折的重视可见一斑。在教学中我们也进行了相关训练:

例2:已知:如图, AB=AC, AD=AE, ∠BAE=∠CAD, BD与CE相等吗?为什么?

在翻折的变换中, 运用动画的手法, 让学生充分领悟图形变化的规律, 正确应对变化灵活解题。

3. 旋转

近年的中考信息表明, 图形变换的例子到处可见。其中旋转变换也是最有难度的一种变换。而利用多媒体手段旋转变换, 这类问题也就迎刃而解。

例3:如图, 等腰Rt△COD和Rt△AOB有公共端点O, (1) 如图1时, AC与BD数量关系如何?位置关系又如何? (2) 当Rt△AOB绕点旋转到如图位置时, AC与BD数量关系如何?位置关系又如何?

在教学上述例题时, 笔者在学生仔细审题之后得出第 (1) 问的结果, 然后引导学生根据几何画板的动画演示, 猜想线段AC、BD之间的数量及位置是否仍然成立?进而进行验证、推理。学生理解起来很轻松。教学由于旋转变换最能激活学生的思维, 笔者进行了题组教学出示下面一个例题:

例4:两个不全等的△ABC和Rt△ADE叠放在一起, 并且有公共点A, 将图 (1) 中的Rt△ABC绕点A顺时针旋转一个锐角, 连结BD、CE, 得到图 (2) 。

(1) 请判断图 (2) 中线段BD、CE的数量关系, 并说明理由。

(2) 在图 (2) 中, 直线BD、CE所成的锐角是_________度。

当然, 全等变换的形式不是单一的, 有时候是几种变换同时都存在, 比如例4中就是利用旋转构建的翻折。在教学中必须注意正确引导, 从而让学生以静制动, 学会以不变应万变。

3.数学全等三角形教案 篇三

关键词：中学数学；全等三角形；解题策略

全等三角形这类题目在考试中多以大题形式出现，要求证明两三角形全等或根据已知的三角形求另一三角形的某个边长，这样的大题若失分则成绩难以提高，因此，在初中教学中，数学教师应当将此问题重视起来。

一、全等三角形在实践解题中出现的问题

1.基础概念掌握不牢固

所谓全等三角形是指经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。验证两个全等三角形一般用边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）和直角三角形的斜边，直角边（HL）来判定。有些初中生在学习全等三角形时，认为概念类的知识根本用不着记忆，只要在实践中多加练习自然就能明白，因此，忽略了概念的重要性。在证明两个三角形全等的过程中根本不清楚需要用到哪些条件，如此，怎能学好全等三角形知识。

2.思路不清，逻辑混乱

证明两个三角形全等的过程，是逻辑推理、分析、整合的过程，如果在大脑中不能形成一个严密的逻辑推理程序是无法解决三角形全等问题的。这一点具体体现在，有些学生不清楚要证明A问题需要先证明B还是先证明C，或者是将B和C证明出来后，又如何与A产生联系，这种思路不清、逻辑混乱的现象成了学习全等三角形知识的绊脚石。

3.思维固定，无法举一反三

在教学实践中，有很多学生出现过类似的现象，教师教给一种方法后，在学生的脑海中形成了固定的思维模式，当题目换了另外一个说法后，学生就无法理解其中的意思了，当然在解题时也就会显得很慌乱。

二、关于全等三角形的解题策略

在解决数学三角形全等的相关问题时，教师首先要教导学生将基础性的概念牢牢掌握，因为只有在充分理解概念的基础上才能实现证明、计算的过程，否则，无异于空谈。其次，是培养学生严密的逻辑推理能力，理清思路，不管要证明的图形样式有多么复杂，唯记住一点万变不离其宗，一定要找到自己所要求的三角形。最后是教导学生要做到活学活用，培养学生一题多解的能力，通过多种渠道达到求解的目的。以下笔者将举出几个经典解题方法，简要分析。

1.如图1，已知△ABC中，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证：DC⊥AC。

解题思路：如图1，在AB线段上取一中点E，因为AD=BD，AE=BE，DE=DE，所以，△ADE≌△BDE，所以，∠BED=∠AED=90°，又因为，AB=2AC，所以，AC=AE，∠DAB=∠CAD，AD=AD，所以，△AED≌△ACD，所以，∠ACD=∠AED=90°，所以DC⊥AC。这道题中，是典型的中线法证明求解过程，通过连接中点和顶点的方法构造出两个全等的三角形，并以公共边为突破点实现证明求解的目的。对于学生来说，只要能想到做辅助线ED，基本就可以达到求解的目的了。所以，在实践教学中，教师应当教导学生学会做必要的辅助线来求解。

2.见图2，在△ABC中，线段BD平分∠ABC，点E、F分别是AB、BC边上的一点，∠EDF+∠EBF=180°。求证：DF=DE。

这道题可以有三种方法来解，分别是：截长法、补短法和以“角平分线上的点到角的两边距离相等”这一法则来证明DF=

DE。限于篇幅原因，第二种和第三种本文只给出相应的图示，以下具体讲解第一种方法。

截长法解题思路：如图，在线段AB上取一点G，可得BG=BF，由此可知，△BDF≌△BDG，所以，DG=DF，又因为，∠EDF+∠EBF=180°，所以，在四边形BEDF中∠4+∠3′=180°，∠4′+∠3=180°，∠3′=∠3，所以，∠4=∠4′，所以，△DEG是等腰三角形，所以DG=DE，又因为DF=DG，所以，DF=DE。这道题是通过将原有的线段经过截断，达到与另一个三角形实现全等的解题过程，进而使问题得到解决，另外，此题还涉及了四边形的内角和与等腰三角形的知识点，对于中学生来说又是一次知识的提高。

3.在图3中，△ABC的∠ABC=20°，AB=BC，BI=AC，则求解

∠AIC的度数。

解题思路：如图3，以AC为边向△ABC内部做等边三角形AOC，可知∠BAO=∠BCO=∠ABC=20°，AC=AO=CO=BI，AB=BC，所以，△BIC≌△BOA≌△BOC，所以，∠BOA=∠BOC，所以，∠BOA+∠BOC+∠AOC=360°，所以∠BOA=∠BOC=∠BIC=150°，所以∠AIC=180°-150°=30°。这一种典型的从被求解的三角形内部再次构建特殊三角形以达到证明三角形全等的求解方式，在全等三角形解题实践中也是较为常用的一种，教师要教导学生在答题时灵活运用此方法。

4.已知△ABC的两条边AC=10，BC=4，那么，第三条边上的中线长m的取值范围是（ ）。

解题思路：如图4，只要将题意理解透彻，并快速在脑中能构建出相应的全等三角形，将要求解的问题转化到一个待定的三角形中就可以轻松解决了。在图4中原本是没有△ACE部分的，这是为了实现解题添加的必要性辅助线，教师在讲解此类题目时，必须教导学生在做题前将必要的辅助线段在图上画出来，便于理解题目，审清题意。如图4，延长CE至CC′使EC′=EC，进而很容易得到△CBE≌△C′AE，所以，AC′=CB，在△C′AC中，10-4

5.这一点，主要讲的是在解题中利用平行线来构造出两个全等三角形，进而实现解题的方法。如图5，在△ABC中，∠A=∠C，D是线段AB上的一点，AD=EC，求证：DF=FE

解题思路：如图5，做线段DG∥BC并与AC交于点G，所以∠FDG=∠FEC，∠DGF=∠FCE，∠BCA=∠DGA，又因为∠BCA=∠A，所以，∠A=∠DGA，所以DA=DG，又因为CE=DA，所以DG=CE，所以△DGF≌△ECF，所以DF=FE。在这道题中，通过做平行于BC的平行线DG，继而使相对较散的结论集中起来，使要求解的问题降低了难度，在实践中要好好把握这一解题策略。

总而言之，全等三角形的知识点在初中数学测试和考查中占据着重要的地位，教师应予以重视并开展重点教学，积极运用以上几点实践策略对数学教学质量的提高能起到很好的帮助作用。除此之外，数学教师还要肩负起培养全面社会型人才的重担，为国家实现“科教兴国”伟大目标贡献一份力量。

参考文献：

[1]聂亚晶.浅析初中三角形全等教学策略与技巧[J].新课程（中学），2016（1）.

[2]吴光华.初中数学教学中最近发展区的确定及利用策略：以“三角形全等”知识教学为例[J].数学教学通讯，2014（4）.

[3]吴玉龙.初中数学证明题常见的几种解题错误与纠错办法：以“全等三角形”的教学为例[J].语数外学习（初中版上旬），2014（7）.

4.全等三角形判定一教案 篇四

教学目标

一、知识目标

1、熟记边角边公理的内容

2、能用边角边公理证明两个三角形全等

二、能力目标

1、通过边角边公理的运用，提高学生的逻辑思维能力。

2、通过观察几何图形，培养学生的识图能力。

三、情感目标

1、通过几何证明的教学，使学生养成尊重客观事实和形式质疑的习惯。

2、通过自主学习的发展，体验获取教学知识的感受，培养学生勇于创新，多方位审视问题的技巧。

教学重点：学会运用公理证明两个全等三角形。

教学难点：在较复杂的图形中，找出证明两个三角形全等的条件。教学用具：剪刀、直尺、量角器、多媒体 教学方法：自学、探究、辅导式 教学过程：

1、复习提问

什么样的两个图形叫全等图形？

2、公理的发现 ①图

②实验：让学生把所画的三角形剪下来，同桌之间相互重叠，有什么发现？

得出初步结论。

3、针对得出的结论：学生思考并回答多媒体所出示的三角形，经过

怎样的位似变换后重合，并说明理由。

4、总结边角边公理——学生分析边角边的位置。

讲解：例：

1、引导学生把图形与条件有效的结合起来，强调证明的格式。

概括总结证明的步骤。学生练习P74：

P75：

5.三角形全等的判定教案 篇五

第3课时 11.2.3三角形全等的判定（3）

【教学目标】：

1、知识与技能：

1．三角形全等的条件：角边角、角角边．

2．三角形全等条件小结．

3．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．

4．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．

2、过程与方法：

1．经历探究全等三角形条件的过程，进一步体会操作、•归纳获得数学规律的过程．

2．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．

3．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．

3、情感态度与价值观：

通过画图、探究、归纳、交流，使学生获得一些研究问题的经验和方法，发展实践能力和创新精神

【教学情景导入】：

提出问题，创设情境

1．复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

三个角、三个边、两边一角、两角一边．

（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？

三种：①定义；②SSS；③SAS．

2．[师]在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？

导入新课

[师]三角形中已知两角一边有几种可能？

[生]1．两角和它们的夹边．

2．两角和其中一角的对边．

做一做：

三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，•你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？

学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律．

教师活动：检查指导，帮助有困难的同学．

活动结果展示：

以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．

提炼规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．

[师]我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC，•能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？

[生]能．

学生口述画法，教师进行多媒体课件演示，使学生加深对“ASA”的理解．

[生]①先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长．

②画线段A′B′，使A′B′=AB．

③分别以A′、B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A，使∠D′AB=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA．

④射线A′D与B′E交于一点，记为C′ 即可得到△A′B′C′．

将△A′B′C′与△ABC重叠，发现两三角形全等．

[师]

于是我们发现规律：

两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．

这又是一个判定三角形全等的条件． [生]在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？

[师]你提出的问题很好．温故而知新嘛，请同学们来验证这种想法．

【教学过程设计】：

如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？

证明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°

∠A=∠D，∠B=∠E

∴∠A+∠B=∠D+∠E

∴∠C=∠F

在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（ASA）．

于是得规律：

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．

[例]如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．

求证：AD=AE．

[师生共析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中，所以要证AD=AE，只需证明△ADC≌△AEB即可．

学生写出证明过程．

证明：在△ADC和△AEB中

所以△ADC≌△AEB（ASA）

所以AD=AE．

[师]到此为止，在三角形中已知三个条件探索三角形全等问题已全部结束．请同学们把三角形全等的判定方法做一个小结．

学生活动：自我回忆总结，然后小组讨论交流、补充．

有五种判定三角形全等的条件．

1．全等三角形的定义

2．边边边（SSS）

3．边角边（SAS）

4．角边角（ASA）

5．角角边（AAS）

推证两三角形全等，要学会联系思考其条件，找它们对应相等的元素，这样有利于获得解题途径．

练习：图中的两个三角形全等吗？请说明理由．

答案：图（1）中由“ASA”可证得△ACD≌△ACB．图（2）由“AAS”可证得△ACE≌△BDC．

【课堂作业】 1．如图，BO=OC，AO=DO，则△AOB与△DOC全等吗？

小亮的思考过程如下．

△AOB≌△DOC

2、已知△ABC和△A′B′C′，下列条件中，不能保证△ABC和△A′B′C•′全等的是（）

A．AB=A′B′ AC=A′C′ BC=B′C′

B．∠A=∠A′ ∠B=∠B′ AC=A′C′

C．AB=A′B′ AC=A′C′ ∠A=∠A′

D．AB=A′B′ BC=B′C′ ∠C=∠C′

3、要说明△ABC和△A′B′C′全等，已知条件为AB=A′B′，∠A=∠A′，不需要的条件为（）

A．∠B=∠B′ B．∠C=∠C′； C．AC=A′C′ D．BC=B′C′

4、要说明△ABC和△A′B′C′全等，已知∠A=∠A′，∠B=∠B′，则不需要的条件是（A．∠C=∠C′ B．AB=A′B′； C．AC=A′C′ D．BC=B′C′

5、两个三角形全等，那么下列说法错误的是（）

A．对应边上的三条高分别相等； B．对应边的三条中线分别相等

C．两个三角形的面积相等； D．两个三角形的任何线段相等

6、如图，已知∠A=∠D，AB=DE，AF=CD，BC=EF．

6.三角形全等的判定教案 篇六

1。 通过实际操作理解“学习三角形全等的四种判定方法”的必要性。

2。 比较熟练地掌握应用边角边公理时寻找非已知条件的方法和证明的分析法，初步培养学生的逻辑推理能力。

3。 初步掌握“利用三角形全等来证明线段相等或角相等或直线的平行、垂直关系等”的方法。

4。 掌握证明三角形全等问题的规范书写格式。

教学重点和难点

应用三角形的边角边公理证明问题的分析方法和书写格式。

教学过程设计

一、 实例演示，发现公理

1． 教师出示几对三角形模板，让学生观察有几对全等三角形，并根据所学过的全等三角形的知识动手操作，加以验证，同时写出全等三角形的数学表达式。

2． 在此过程当中应启发学生注意以下几点：

（1） 可用移动三角形使其重合的方法验证图3-49中的三对三角形分别全等，并根据图中已知的三对对应元素分别相等的条件，可以证明结论成立。如图3-49(c)中，由AB=AC=3cm，可将△ABC绕A点转到B与C重合；由于∠BAD=∠CAE=120°，保证AD能与AE重合；由AD=AE=5cm，可得到D与E重合。因此△BAD可与△CAE重合，说明△BAD≌△CAE。

（2） 每次判断全等，若都根据定义检查是否重合是不便操作的，需要寻找更实用的判断方法——用全等三角形的性质来判定。

（3） 由以上过程可以说明，判定两个三角形全等，不必判断三条边、三个角共六对对应元素均相等，而是可以简化到特定的三个条件，引导学生归纳出：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

3。画图加以巩固。

教师照课本上所叙述的过程带领学生分析画图步骤并画出图形，理解“已知两边及夹角画三角形”的方法，并加深对结论的印象。

二、 提出公理

1。板书边角边公理，指出它可简记为“边角边”或“SAS”，说明记号“SAS’的含义．

2．强调以下两点：

（1）使用条件：三角形的两边及夹角分别对应相等．

（2）使用时记号“SAS”和条件都按边、夹角、边的顺序排列，并将对应顶点的字母顺序写在对应位置上．

3．板书定理证明应使用标准图形、文字及数学表达式，正确书写证明过程．

如图3-50，在△ABC与△A’B’C’中，（指明范围）

三、应用举例、变式练习

1．充分发挥一道例题的作用，将条件、结论加以变化，进行变式练习，

例1已知：如图 3-51， AB＝CB，∠ABD＝∠CBD．求证：△ABD≌△CBD．

分析：将已知条件与边角边公理对比可以发现，只需再有一组对应边相等即可，这可由公共边相等 BD＝BD得到．

说明：（1）证明全等缺条件时，从图形本身挖掘隐含条件，如公共边相等、公共角相等、对顶角相等，等等．

（2）学习从结论出发分析证明思路的方法（分析法）．

分析：△ABD≌△CBD

因此只能在两个等角分别所在的三角形中寻找与AB，CB夹两已知角的公共边BD．

（3）可将此题做条种变式练习：

练习1（改变结论）如图 3-51，已知 AB＝CB，∠ABD＝∠CBD。求证：AD=CD，BD平分∠ADC。

分析：在证毕全等的基础上，可继续利用全等三角形的性质得出对应边相等，即AD=CD；对应角相等∠ADB=∠CDB，即BD平分∠ADC。因此，通过证明两三角形全等可证明两个三角形中的线段相等或和角相关的结论，如两直线平行、垂直、角平分线等等。

练习2(改变条件）如图 3－51，已知 BD平分∠ABC， AB＝ CB．求证: ∠A＝∠C．

分析：能直接使用的证明三角形全等的条件只有AB＝CB，所缺的其余条件分别由公共边相等、角平分线的定义得出．这样，在证明三角形全等之前需做一些准备工作．教师板书完整证明过程如下：

以上四步是证明两三角形全等的基本证明格式．

（4）将题目中的图形加以有规律地图形变换，可得到相关的一组变式练习，使刚才的解题思路得以充分地实施，并加强例题、习题之间的有机联系，熟悉常见图形，同时让学生总结常用的寻找所缺边、缺角条件的方法．

练习3如图 3-52（c），已知 AB＝AE， AD＝AF，∠ 1=∠2．求证： DB=FE．

分析：关键由∠1＝∠2，利用等量公理证出∠BAD＝∠EAF。

练习4如图 3-52(d)，已知 A为 BC中点， AE//BD， AE＝BD．求证： AD//CE．

分析：由中点定义得出 AB＝AC；由 AE//BD及平行线性质得出∠ABD=∠CAE．

练习5已知：如图 3-52(e）， AE//BD， AE＝DB．求证： AB//DE．

分析：由 AE//BD及平行线性质得出∠ADB=∠DAE；由公共边 AD＝DA及已知证明全等．

练习6已知：如图3－52（f），AE//BD，AE＝DB．求证：AB//DE，AB＝DE．

分析：通过添加辅助线——连结AD，构造两个三角形去证明全等．

练习7已知：如图 3-52（g）， BA＝EF， DF=CA，∠EFD=∠CAB．求证：∠B=∠E．

分析：由DF＝CA及等量公理得出DA＝CF；由∠EFD＝∠CAB及“等角的补角相等”得出∠BAD＝∠EFC．

练习8已知：如图3－52（h），BE和CD交于A，且A为BE中点，EC⊥CD于C，BD⊥CD于 D， CE＝⊥BD．求证： AC＝AD．

分析：由于目前只有边角边公理，因此，必须将角的隐含条件——对顶角相等转化为已知两边的夹角∠B=∠E，这点利用“等角的余角相等”可以实现．

练习9已知如图 3－52（i），点 C， F， A， D在同一直线上， AC＝FD， CE=DB， EC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为 C和D．求证：EF//AB．

在下一课时中，可在图中连结EA及BF，进一步统习证明两次全等．

小结：在以上例1及它的.九种变式练习中，可让学生归纳概括出目前常用的证明三角形全等时寻找非已知条件的途径．

缺边时：①图中隐含公共边；②中点概念；③等量公理④其它．

缺角时：①图中隐含公共角；②图中隐含对顶角；③三角形内角和及推论④角平分线定义；

⑤平行线的性质；⑥同（等）角的补（余）角相等；⑦等量公理；⑧其它．

例2已知：如图3－53，△ABE和△ACD均为等边三角形。求证：BD=EC．

分析：先选择BD和EC所在的两个三角形△ABD与△AEC，已知没有提供任一证两个三角形全等所需的直接条件，均需由等边三角形的定义提供．

四、师生共同归纳小结

1．证明两三角形全等的条件可由定义的六条件减弱到至少几个？边角边公理是哪三个

条件？

2．在遇到证明两三角形全等或用全等证明线段、角的大小关系时，最典型的分析问题的思路是怎样的？你体会这样做有些什么优点？

3。遇到证明两个三角形全等而边、角的直接条件不够时，可从哪些角度入手寻找非已知条件？

五、练习与作业

练习：课本第28页中第1题，第30页中1，3题。

作业：课本第32页中第6，7，8，9，10题。

课堂教学设计说明

本教学设计需2课时完成。

1．课本第3。5节内容安排3课时，前两课时学习三角形全等的边角边公理，重点练习直接应用公理及证明格式，初步学习寻找证明全等所需的非已知条件的方法，以及利用性质证明边角的数量关系及直线的位置关系，第3课时加以巩固并学习解决应用题和两次全等的问题。

2．本节将“理解全等三角形的判定方法的必要性“列为教学目标之一，目的是引起教师和学生的重视，只有学生真正认识到了研究判定方法的必要性，才能从思想上接受判定方法，并发挥出他们的学习主动性。

3．本节课将“分析法和寻找证明全等三角形时非已知条件的方法”作为教学目标之一，意在给学生归纳一些常用的解题思路，以便将它作为证明全等三角形的一种技能加以强化。

4．教材中将“利用证明两个三角形全等来证明线段或角相等”的方法做为例5出现，为时过晚，达不到训练的目的，因此教师应提前到第一、二课时，就教给学生分析的方法，并从各种角度加以训练。

5．教师可将例题1和几种变式练习制成投作影片（图3-52）提高课堂教学效率．教学使用时，重点放在题目的分析上，并体现出题目之间图形的变化和内在联系。

6．本节教学内容的两课时既教会学生分析全等问题的思路——分析法和寻找非已知条件的方法，又要求他们落实证明的规范步骤——准备条件，指明范围，列齐条件和得出结论，使学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达．学生学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达。节教学

7.利用全等三角形解决实际问题 篇七

例1如图1所示,线段AB是一个池塘的长度,现在想测量这个池塘的长度,在水上测量不方便,你有什么好的方法较方便地把池塘的长度测量出来吗?想想看.

思路:将实际问题转化为数学问题.因为要测量线段AB的长,而线段AB不好直接测量,就要找一条与AB相等的好测量的线段,由此想到建立三角形全等的模型.

解:在平地上取一个可以直接到达A、B两点的点C,连接AC并延长到点D,使DC=AC,连接BC并延长BC到点E,使CE=CB,这样在△ABC与△DEC中,有CA=CD,CB=CE,且∠ACB=∠DCE,则依据“SAS”可得△ABC≌△DEC,从而DE=AB,因为DE是可直接测得的,这样即可得到AB的距离.

类似的问题还有:

例2如图2所示,要检验一个圆柱形容器的内径是否符合要求. 由于瓶颈较小,无法直接测量,你能想出一种测量方案吗?

分析:为了测量内径,我们可以设计如图所示的卡钳AB、CD. O为卡钳两柄的交点,且有OA=OB=OC=OD,若此工件恰好能通过卡钳CD,则此工件的内径必是AB之长了.

解:在△AOB和△DOC中,

∴△DOC≌△AOB(SAS).

∴CD=AB(全等三角形对应边相等).

例3 1805年,拿破仑率法军与德军在莱茵河畔激战,德军的碉堡在莱茵河北岸A处,如图所示,因不知河宽,法军大炮很难瞄准敌军碉堡,拿破仑面向碉堡的方向站好,然后调整帽子,使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部,然后,他转过一个角度,保持刚才的姿势,这时视线落在了自己所在岸的某一点B处,接着他让士兵丈量他脚站的O处和B点间的距离,并下令按照这个距离炮轰敌军碉堡,法军能击中目标么?试说明理由.

分析:可以击中目标. 拿破仑实际上是运用了三角形全等的知识. 要说明其中的道理,首先要根据实际情景建立数学模型,将情景抽象为几何图形. 如图3所示,法军阵地与德军碉堡之间的距离无法测量,即AO不可测量,但线段BO的长度可以测得,又因为拿破仑与地面是垂直的,也就是∠BOC=∠AOC=90°,另外他的身高与姿态是不变的,所以OC=OC,根据视线可知∠BCO = ∠ACO. 依据“ASA”可知△AOC≌△BOC,所以AO=BO,所以只要测得BO的距离,就可得到AO的距离.

解:如图3,在△AOC和△BOC中,

∴△AOC≌△BOC(ASA).

∴AO=BO(全等三角形对应边相等).

例4如图4所示,有一块不规则土地ABDC,分别被甲、乙二人承包,一条公路GEFH穿过这块土地,EF左边是甲,右边是乙,AB//CD,为方便通行,决定将这条公路尽量修直,但要求甲、乙二人的土地面积不变,请你设计一种方案解决这个问题,并说明方案正确的理由.

分析:要解决这个问题,先转化为等积问题. 而三角形全等是比较好的数学模型.

解:取EF的中点O,连接GO并延长交FH于点M,设GM分别交AB、CD于点P、Q,由AB//CD,可得∠PEO=∠QFO,又因为EO=FO,∠EOP=∠FOQ,故△EOP≌△FOQ,所以这个方案能保持甲、乙二人的土地面积不变,GM就是修直后的公路.

例5小明同学不慎将一块三角形玻璃打碎成两块,他只带其中的一块可以配一块与原来一样的三角形玻璃吗?

分析:若想配一块和原来三角形全等的三角形玻璃,根据三角形全等的条件,图中的第2部分符合与原来三角形全等的条件“ASA”,所以应带第二部分去配玻璃.

解:他带其中的第2块去配就可以配一块与原来一样的玻璃.

以上例题,都是将实际问题转化为数学问题,通过创建三角形全等数学模型来解决的.

8.全等三角形考点聚焦 篇八

一、判定两个三角形全等的条件

例1 如图1，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是（ ）

A.DF=BE B.AF=CE C.CF=AE D.CF∥AE

分析 根据平行四边形的性质和全等三角形的判定方法逐项分析即可。

解 当DF=BE时，由平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，

利用SAS可判定△CDF≌△ABE；

当AF=CE时，由平行四边形的性质可得：BE=DF，AB=CD，∠B=∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE；

当CF=AE时，由平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，不能判定△CDF≌△ABE；

当CF∥AE时，由平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，∠AEB=∠CFD，利用AAS可判定△CDF≌△ABE。

故答案选C。

点评 本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定定理，判定两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS。

二、证明三角形全等

例2 如图2，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点， AE∥CF，AE=CF，BE=DF。求证：△ADE≌△CBF。

分析 首先利用平行线的性质得出∠AED=∠CFB，进而得出DE=BF，利用SAS證明即可。

证明 因为AE∥CF，所以∠AED =∠CFB。

因为DF=BE，所以DF+EF=BE+EF，即DE=BF。

在△ADE和△CBF中，AE=CF，∠AED=∠CFBDE=BF，，所以△ADE≌△CBF（SAS）。

点评 本题主要考查了全等三角形的判定，利用两边且夹角对应相等得出三角形全等是解题的关键。

三、证明线段相等

例3 已知：如图3，点E、A、C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD。求证：BC=ED。

分析 首先由AB∥CD，根据平行线的性质可得，∠BAC=∠ECD，再由条件AB=CE，AC=CD可证出△BAC和△ECD全等，最后根据全等三角形对应边相等可得CB=ED。

证明 因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ECD，

在△BAC和△ECD中，

AB=EC，∠BAC=∠ECDAC=CD，，所以△BAC≌△ECD（SAS），

所以CB=ED。

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具。在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件。

四、证明两个角相等

例4 如图4，已知AB=DC，DB=AC。

（1）求证：∠ABD=∠DCA；

（2） 在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？

分析 （1）连接AD，证明△BAD和△CAD全等即可得到结论；（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形。

证明 （1）连接AD，

在△BAD和△CDA中，AB=CD，DB=AC，AD=AD。所以△BAD≌△CDA（SSS）。

所以∠ABD=∠DCA（全等三角形对应角相等）。

（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形，即两个三角形的公共边。

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，属于基础题。

五、求线段的长度

例5 如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积为24 cm2，则AC长是_________cm。

分析 先根据四边形内角和定理判断出∠2+∠B=180°，再延长CD至点E，使DE=BC，连接AE，由全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADE，故可得出△ACE是直角三角形，再根据四边形ABCD的面积为24 cm2，即可求出AC的长。

解 因为∠BAD=∠BCD=90°，所以∠2+∠B=180°，延长CD至点E，使DE=BC，连接AE。

因为∠1+∠2=180°，∠2+∠B=180°，所以∠1=∠B，在△ABC与△ADE中，

因为AB=AD，∠1=∠BDE=BC。，所以△ABC≌△ADE，所以∠EAD=∠BAC，AC=AE。

因为∠BAD=90°，所以∠EAC=90°，所以△ACE是等腰直角三角形，

因为四边形ABCD的面积为24 cm2，

所以 AC2=24，解得AC=4 cm。

点评 本题要根据题意作出辅助线，构造出全等三角形及等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式进行解答。

六、求角的度数

例6 如图6，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°。∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是 _____。

分析 利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出，∠OBC=∠OCB=40°，再利用翻折变换的性质得出EO=EC，∠CEF=∠FEO，进而求出∠CEF的度数。

解 连接BO，因为∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，所以∠OAB=∠ABO=25°。

因为在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，

所以∠ABC=∠ACB=65°，所以∠OBC=65°-25°=40°。

因为AB=AC，∠BAO=∠CAOAO=AO。，所以△ABO≌△ACO，所以BO=CO，则有∠OBC=∠OCB=40°。

因为点C沿EF折叠后与点O重合，所以EO=EC，∠CEF=∠FEO，

所以∠CEF=∠FEO= =50°。

点评 本题主要考查了对称变换的性质、垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知识，利用对称变换的性质得出对应边、角相等关系是解题的关键。

七、判断作图的依据

例7 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图，如图7所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）

A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边距离相等

分析 连接NC、MC，根据SSS证明△ONC≌△OMC，即可得出答案。

解 连接NC、MC，

在△ONC和△OMC中ON=OM，NC=MCOC=OC，，所以△ONC≌△OMC（SSS），

所以∠AOC=∠BOC。故答案选A。

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定定理，主要考查同学们运用性质进行推理的能力，题目难度适中。

9.数学全等三角形教案 篇九

（二）林东第六中学初二数学备课组

教学目标

1．三角形全等的“边角边”的条件．

2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程．

3．掌握三角形全等的“SAS”条件，了解三角形的稳定性． 4．能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题． 教学重点

三角形全等的条件． 教学难点

寻求三角形全等的条件． 教学过程

一、创设情境，复习提问

1．怎样的两个三角形是全等三角形？ 2．全等三角形的性质？

3．指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，并说明通过怎样的变换能使它们完全重合：

图(1)中：△ABD≌△ACE，AB与AC是对应边； 图(2)中：△ABC≌△AED，AD与AC是对应边． ４．三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么？

二、导入新课

1．三角形全等的判定

（二）(1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质．那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：

如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？

不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的： AO＝CO，∠AOB＝ ∠COD，BO＝DO．

如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB ＝∠COD，OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．

(此外，还可以图1(1)中的△ACE绕着点A逆时针方向旋转∠CAB的度数，也将与△ABD重合．图1(2)中的△ABC绕着点A旋转，使AB与AE重合，再把△ADE沿着AE(AB)翻折180°．两个三角形也可重合)由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等． 2．上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：(1)读句画图： ①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取 B、C，使 AB＝3.1cm，AC＝2.8cm． ③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．

(2)把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？ 3．边角边公理．

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)

三、例题与练习1．填空：

(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．

(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)．

2、例1 已知：

AD∥BC，AD＝ CB(图3)．

求证：△ADC≌△CBA．

问题：如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5)，那么要证明△ADF≌ △CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个什么条件(AF＝ CE或AE ＝CF)？怎样证明呢？

例

2已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图4)．求证：△ABD≌△ACE．

四、小

结：

1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．

2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理．

五、作

业：

10.初中数学证明三角形全等找角 篇十

【摘要】“全等三角形的证明”是初中平面几何的重要内容之一，是研究图形性质的基础，而且在近几年的中考中时有出现，新课标的要求是“探索并掌握两个三角形全等的条件”，因此掌握三角形全等的证明及运用方法对初中生来说至关重要。证明三角形全等找角、边相等是最关键的步骤。如何找对应角、对应边相等，做如下总结。

【关键词】全等三角形相等角相等边

我们在初中课本上学过的三角形全等的证明方法有“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”，对于直角三角形还有“HL”。在做题的过程中我们时常发现，全等的条件往往隐藏在复杂的图形中，要找的条件就是相等的角、相等的边，初中阶段找相等的角、相等的边有以下几种情况。

一、相等的角

1、利用平行直线性质

两直线平行的性质定理：1.两直线平行，同位角相等

2.两直线平行，内错角相等

例、如图一所示，直线AD、BE相交于点C，AB∥DE，AB=DE

求证：△ABC≌△DBC

此题知道AB∥DE，根据平行线的性质可得

∠A=∠D ,∠B=∠E(两直线平行，内错角相等)

由ASA可证全等。图一

2、巧用公共角

要点：在证两三角形全等时首先看两个三角形是不是有公共交点，如果有公共交点，在看他们是否存在公共角。

例、如图二所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C.求证：△ABE≌△ADC

此题∠A是公共角，利用ASA可证全等。

3、利用等边对等角图二 要点：注意相等的两条边一定要在同一个三角形内才能利

用等边对等角

例.、如图三在△ABC中，AB=AC，AD是三角形的中线

求证：△ABD≌△ACD

此题已知AB=AC，由等边对等角可得

∠B=∠C.4、利用对顶角相等图三 例、已知：如图四，四边形ABCD中, AC、BD交于O点,AO=OC , BA⊥AC , DC⊥AC．垂足分别为A , C．

求证：AB=CD图四 此题利用对顶角相当可得∠AOB=∠DOC.利用AAS

可得△AOB≌△COD,再根据全等三角形对应边相等得到

AB=CD5、利用等量代换关系找出角相等

（1）∠A+公共角=∠B+公共角

例1.已知：如图五，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB，求证：△EAD≌△CAB．

由图形可知：

∠DAE=∠EAC+∠DAC A ∠BAC=∠DAB+∠DAC

因此可得∠DAE=∠BAC图五

利用SAS可证△EAD≌△CAB

例

2、已知:如图六,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE

由图形可知：

∠DAB=∠BAC-∠DAC

∠EAC=∠DAE-∠DAC

因此可得∠DAB=∠EAC

利用SAS可证△BAD≌△CAE图六

(2)同角（等角）的补角相等；同角（等角）的余角相等

已知:如图,∠1=∠2,BC=EF,AC=DE,E、C在直线BF上．

求证:∠A=∠D

由图形可知：图七 B

由等角的补角相等可得∠DEC=∠ACE

利用SAS可得△ABC≌△DEF

(3)同角（等角）的余角相等 D

在直角三角形中常用到同角（等角）的余角相等得到相等的角。例：如图八△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线，过C作

B图八 ECF⊥AE, 垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于

D.求证:AE=CD;

由图形中可以看出：

∠D+∠BCD=90°;∠CAE+∠BCD=90°

由同角的余角相等得到∠D=∠CAE，利用AAS可得△BCD≌△CAE6、结合旋转和对称图形的性质。

例1．如图九，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD•交于点F．图九

求证：△ABF≌△EDF；

根据对称的性质我们可以得到∠A=∠E=90°,利用AAS可以证明△ABF≌△EDF。

二、相等的边

1、利用等角对等边 ADAC

3CB

（注意：必须在同一个三角形中才能考虑）

例、如图十，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD

已知∠3=∠4，根据等角对等边可得OB=OC

利用AAS证明出△ABO≌△DCO。

2、利用公共边相等图十 A

（若果要证明的两个全等三角形有两个相同的对应点，那么可么马上得出它们具有公共边）

D例、如图十一，已知AB=AC，DB=DC，求证：∠BAD=∠CAD CB由图形可知AD是△ABD和△ACD的公共边，利用SSS可得 AB△ABD

≌△ACD

F3、利用等量代换

图十一 F

AB+公共边=DE+公共边

例，如图十二：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：∠B=∠C

E图中：BE=BF+EF;CF=CE+EF.因此可以得到BE=CF

利用SSS可证△ABE≌△DCF因此得到∠B=∠C CD4、利用线段中点或三角形中线定理，或者等边三角形的性质

例、如图十三：∠B=∠C，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足

图十二

分别为E、F，M是BC的中点。求证：ME=MF

M是BC的中点，则可以得到BM=CM;利用AAS可得△BME≌△CMF

C例题、如图十四，△ABE和△ACF是等边三角形，求证：CE=BF图十三 F △ABE和△ACF是等边三角形，则AE=AB，AC=AF

∠EAC=∠BAE+∠BAC;∠BAF=∠CAF+∠BAC.则∠EAC=∠BAF

那么△AEC≌△ABF,则可得CE=BF

C

图十四

5、利用三角形角平分线定理

（三角形角平分线上的点到角两边的距离相等）

注意、必须是角平分线上的点

例题、如图十五，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DE垂直AB,DF垂直AC,垂足分别为E、F。求证：AE=AF

AD平分∠BAC, DE垂直AB,DF垂直AC,则根据角平分线

性质可得到DE=DF，那么Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）

则可得到AE=AF

图十五 例题、已知：如图十六，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD

于M，•PN⊥CD于N，判断PM与PN的关系．

A由题意知△ABD≌△CBD(SAS)可得BD也是∠AD的角平分线，PM⊥AD，PN⊥CD，由角平分线的性质

可得PM=PN