平面向量基本定理学案

2024-07-23

平面向量基本定理学案（共5篇）

1.平面向量基本定理学案篇一

《平面向量基本定理》教学设计

一、内容和内容解析内容：平面向量基本定理。

内容解析：向量不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具。从问题中抽象出向量模型，再通过向量的代数运算获得问题的解决方案或结果，是利用向量解决问题的基本特征。（平面向量的概念、向量的运算、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示是平面向量的主要内容。）平面向量基本定理是向量进行坐标表示，进而将向量的运算（向量的加、减法，向量的数乘、向量的数量积等）转化为坐标的数量运算的重要基础，同时，它还是用基本要素（基底、元）表达和研究事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合）的典型范例，对于人们掌握认识事物的方法，提高研究事物的水平，有着难以替代的重要作用。

二、目标和目标解析

1．理解平面向量的基底的意义与作用，利用平面向量的几何表示，正确地将平面上的向量用基底表示出来。

2．通过不同向量用同一基底表示的探究过程，得出并证明平面向量基本定理。

3．通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念。

4．平面向量基本定理建立了平面上的向量集合与二元有序数组的集合之间的对应关系（这种对应关系建立了非数对象与数（或数组）之间的一种映射），通过这种对应关系，我们可以将向量的运算转化为数的运算，由此达到简化向量的运算，这是数学的一种基本方法。

5．体会用基本要素（元）表示事物，或将事物分解成基本要素（元），由此达到将对事物的研究转化为对基本要素（元）的研究，通过对基本要素的内在联系的研究达到理解并把握事物的思想方法（例如全等）。

三、教学问题诊断分析

1．如何处理共线向量定理与平面向量定理之间的同异点及联系是教学平面向量基本定理时的关键问题，也是理解不同维数的“向量空间”，体会高维空间向低维空间转化的重要机会与途径。因此，教学时应该从共线向量定理的意义与作用入手，探求平面向量用相同向量（基底）统一表示的方法。

2．利用向量加法的平行四边形法则，将平面上任一向量用两个不平行的确定向量（即基底）表示出来是教学中应该关注的另一个关键问题。教学时，让学生听教师讲解是一种处理方法，如果能结合力的分解，启发学生联想到用平行四边形的加法法则进行向量分解，可能会有更大的收获。当然，在进行这个关键问题的教学时，可能会涉及平行投影等知识与方法，可根据不同的学生对象进行取舍。

四、学生学习行为分析

1．学生对向量加、减法及数乘等运算的意义与作用认识不够，容易将向量的运算与数的运算混淆。

2．对于向量的加法、数乘等运算停留在几何直观的理解上，缺乏从代数运算的角度理解向量运算特征的感受，容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换。

3．如果不加启发与引导，学生是不会从“基底”、“元”、“维数”这些角度去理解平面向量基本定理的深刻内涵，也难以认识这个定理在今后用向量方法解决问题中的重要作用。

五、教学支持条件分析

1．学生的认知基础：对平面向量与数量的“同异点及联系”有一个基本认识，会用有向线段表示向量，掌握了向量的加法运算与数乘运算。

2．教学设备：能反映向量加法与数乘运算的计算机软件或图形计算器，尽可能准备实物投影设备。

六、教学过程设计问题1：

任意找一首用简谱谱写的歌曲，你能找到用阿拉伯数字“8”表示的音符吗？为什么？

意图：关注依附于平面向量基本定理上的重要数学思想，让学生明白任何一首曲子都可以用1~7这七个阿拉伯数字作为音符来谱写，为用基底表示向量作铺垫，并由此感受用“元”表达事物的思想。提出这个与数学知识联系不紧密的问题让学生思考的另一个目的，是将将要学习的知识与思想寓于学生感兴趣的问题中，从而激发他们的学习欲望与热情。

师生活动：教师给出一些用简谱谱写的歌曲，提出问题让学生思考，归纳总结出如下结论：任何一首用简谱谱写的曲子都找不出用阿拉伯数字“8”表示的音符，但都可以用1~7这七个阿拉伯数字作为音符谱写出来。

问题2：

两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形之间有什么关系？你是如何得出这个关系的？你能从这个问题中得到一个怎样的结论？

意图：由此，使学生形成三角形的三条边是三角形这个数学对象的三个类似于向量的“基底”的元认知，明确有关三角形（忽略了位置）的问题均可以转化为关于三角形的三条边的问题。希望能将问题1中“事物元分解”的观点迁移到数学对象的认识中来，并由此引出向量的分解与基底表示的探讨。

师生活动：让学生思考讨论，教师帮助学生总结出结论：“如果只考虑形状大小，任何三角形都可由它的边来确定，因此我们可以说边是构成三角形的要素（元），而三角形是三元对象”。任何数学对象都有确定它的基本要素（元），可以通过探究如何用这些要素表示数学对象，达到理解并把握这些数学对象的目的。

问题3：

取一个与数轴方向相同的向量记为a，那么与数轴平行的所有向量与向量a有什么关系？

意图：回顾共线向量定理，体会共线向量的“基底”及用基底表示共线向量的方法，明确平行向量形成“一维空间”，形成对“一元数学对象”的认识，并为探究平面向量基本定理作铺垫。

师生活动：引导学生回顾共线向量定理，教师重新解析共线向量定理的意义与作用。

问题4：

取一个与数轴不平行的向量记为b，那么向量b可以表示怎样的向量？意图：明确任意一个方向上的全体向量均构成“一维向量空间”，为探究选取两个不同方向的向量作平面向量的基底作准备。

师生活动：学生思考问题4与问题3的同异点与联系，教师解析这个问题的意义与作用。

问题5：

对平滑的斜坡上受重力下滑的物体，你能将引起下滑的重力分解成哪几个力？

意图：由重力可以分解为下滑方向的力与垂直斜坡向里的力的和，体会向量的分解，向探究任意向量的分解（即基底表示）过渡。

师生活动：学生说，教师引导并表述结论。

问题6：

取一个与向量a和b都不平行的向量c，那么向量c可以用向量a和b表示出来吗？

意图：得出平面向量基本定理的内容。

师生活动：教师引导，学生独立探究，教师在学生的探究所获得的结论的基础上，总结出平面向量基本定理。

问题7：

利用平面向量基本定理，你能解决下面问题吗？

如图在中, , 与相交于, 求证:.解析：设向量的终点共线，故有，则，同时，由三个

。所以，从而

所以。

意图：这个问题是一个相当简单的问题，用相似三角形之间的比例关系就可以解决。这里的目的，是以这个熟悉而且简单的问题，让学生感受平面向量基本定理的重要作用，体会向量的应用，加深对平面向量基本定理的认识。

师生活动：教师启发引导学生思考，给出解决这一问题的严谨过程，给学生一个利用向量解决问题的示范。

教师引导学生总结上述解决问题的方法的步骤，一方面使学生明确这一方法与平面几何方法的差异：由于数量及其运算的引进，使得我们的算法更容易表达和操作了；另一方面为今后学习算法留下案例，引导学生从算法的角度思考并解决问题。

此处要再配一些题目，训练学生以学会用基底表示非基底向量。

问题8：

如果一个问题中没有向量（结合问题7中的平面几何问题考虑），但可以考虑用向量来解决它，你会按怎样的步骤来实现？

意图：加深对平面向量基本定理的理解，将向量方法总结为一个算法。师生活动：学生先思考，让学生发表意见，教师总结出向量方法的算法步骤。

问题9：

你能结合问题

1、问题2与平面向量基本定理，谈谈你的认识吗？意图：进行本节课的小结。

师生活动：学生先谈，教师给出总结：

世界上具有某种共同属性的事物总有决定它的基本要素，如果我们能找出这些要素并用它来表示这一类事物，那么我们就能通过研究这些基本要素来研究这一类事物，这是一种基本方法。平面向量基本定理为我们建立了一个示范，它告诉我们，今后利用向量研究问题，我们关注更多的是基底是什么，如何将有关向量用基底表示出来。当向量用基底表示后，一个向量与其它向量的区别就在于基底前的系数的区别，这使问题中的各种关系在转化为向量间的关系后，又进一步地转化为有序数组之间的关系，从而可以利用数量的运算来研究问题，使问题的解决更容易，更彻底。

七、评价设计：

1．如图所示，D、E、F分别是的重心，请将有什么关系？的边BC、CA、AB的中点，G是表示出来，并探究、、之间、、用、2．请用向量的方法，探究三角形内部的其它一些特殊点的性质

2.平面向量基本定理学案篇二

所谓平面向量基本定理指的是:a, b是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对于这一平面内的任一向量c来说, 有且仅有一组数x, y, 能够满足c=xa+yb, 在这其中a, b被称为这一平面内所有向量的一组基底.

对定理的理解:

(1) 实数对 (a, b) 存在的唯一性:平面内任一向量c均可以用给定的基底a, b线性表示成c=xa+yb, 且这种表示是唯一的, 其集合意义是任一向量都可以两个不平行的方向分解成两个向量的和, 且分解是唯一的.

(2) 基底的不唯一性:平面内任意两个向量, 只要不共线, 便可以作为平面内全体向量的一组基底.

(3) “定理”展性:“定理”以二维向量空间为依托, 可以拓广到n维向量空间.

从以往高考对平面向量定理的考查角度来说, 主要从以下几个方面进行考查:第一, a, b作为平面向量基底时的限制条件;第二, 对于定义中x, y存在的唯一性的理解与记忆;第三, 通过平面向量基本定理的定义, 解决向量的线性问题.这三方面的考查在高考中经常出现, 因此本文主要从这三点出发, 通过典型的实例对其进行讲解.

例1 已知f1, f2是某一平面向量的基底, 如果a=f1+λf2, b=-2λf1-f2同样也是一组平面向量的基底, 那么λ∈.

解析从这道例题我们可以得到这样的限制条件, 因为a, b是平面向量的基底, 所以我们可以从平面向量基本定理的定义出发得到, a, b不能够共线, 用数学公式来表示就是b=μa (μ∈R) , 将已知的式子代入就可以得到-2λf1-f2=μ (f1+λf2) , 将式子整理后得到:-2λ=μ, -1=μλ.解这一方程组我们可以得到undefined, 因此这一例题的答案也就得到了, 即是undefined

总结要想将两个向量当作是某个平面向量的基底, 就必须要满足这两个向量不共线这一个充分必要条件, 不共线的数学判别式为b=μa (μ∈R) 这个式子不成立, 在对平面向量的基本定理的理解时应该充分注意到这一点.将这一点作为平面向量最基础的知识, 牢牢掌握.

例2 在某一平面N中有这样两个向量a, b, 它们彼此不共线, 而向量c是平面N中的任意向量, 那么关于x的方程:ax2+bx+c=0的解的情况是____.

解析通过题目的已知条件分析, 因为ax2+bx+c=0, 所以可得到c=-ax2-cx.又因为c是平面中的任意向量, 所以可以得到c=λa+μb, 并且对于特定的c而言, λ, μ是唯一的, 那么我们就可以得到-x=μ, -x2=λ, 经过整理后我们很容易能够得到-λ=μ2.又由于c是任意一个向量, 所以我们可以推出x最多只能有一个解.

总结通常将这样平面向量与一元二次方程相结合的题目放在学生面前时, 学生常常会按照以前的思维定式根据所给的方程去求解其对应的Δ, 然后再根据Δ与0的关系来判断根的情况, 如果Δ大于0, 那么就有两个根, 如果Δ小于0, 那么就没有根, 如果Δ等于0, 那么就有两个相等的根.但是采用这样传统的方法并不能求得最终的结果, 经过分析不难看出产生这种错误思维的一个重要原因就是, 学生根本没有充分的理解和掌握平面向量基本定理的概念, 没有形成一种用向量的定理去分析问题的思维.因此, 学生在平时学习和做题的过程中应该充分的理解和掌握平面向量基本定理的概念, 并能够利用它进行一些相关题目的解答.

例3O是△ABC的外心, 并且这个三角形的边undefined, 如果undefined, 那么 (x, y) =____.

分析经过分析我们可以作出上面的图形, 根据平行四边形法则, 也就是需要计算出平行四边形AMON的两条边AM, AN的长度就可以了, 我们可以利用三角形的有关知识对其进行求解.

解根据余弦定理我们可以很容易得到:

undefined

∴该题目的结果undefined

总结这一类型的问题是一种平面向量基本定理的基本应用方式, 关系到两个不共线的向量线性问题的使用方法, 通常情况下这种条件下有两种较为常用的方法, 即利用三角形的有关知识, 将平面向量的问题转换成几何性质的问题进行解答;另外一种就是创建一个平面直角坐标系, 将原有的集合问题转换成代数的形式, 这种方法是一种典型的数形结合的方法, 在数学中应用较为常见.学生在刚开始接触这道例题时很难找到相应的解题方法, 但是如果采用以上两种方法中的任意一种方法, 都可以轻易地找到突破口, 下面的关键问题就是在于运算上的准确性了.

上述例题经过简单的转化后还可以成为这样一道例题:

例4 已知O是三角形的外心, 且AB=2, AC=3, x+2y=1, 如果undefined, 且xy≠0, 那么cos∠BAC=____.

分析这道题目利用集合的方法进行解答的话存在一定的困难, 因此我们可以考虑利用建立平面直角坐标系的方法进行求解.

解设∠BAC=α, 点M, N分别为AB, AC的中点, 那么, B (2cosα, 2sinα) , C (3, 0) , 假设点undefined

∵已知ON⊥AB, 而且将AB平分,

undefined

点O的坐标为undefined

又 ∵已知undefined, 且xy≠0, 将其代入就可以得到方程组:undefined

又 ∵x+2y=1, 将其代入就可以得到undefined

上述这种解题方法在日常的练习中经常看到, 但是这种方法的运算量较大, 学生在具体运算的时候很容易出现错误, 尤其在考试的时候, 常常花费了大量的时间, 但是最后却在这道题上拿不到分.我们还可以利用下面这种更加简便的方法.

通过仔细观察x+2y=1这一式子, 我们能够联想到这样一个定理:undefined不共线, 那么要想使A, B, C三点共线的充分必要条件就是, 有这样一个实数组x, y, 能够使undefined, 与此同时满足x+y=1.

根据这一定理, 上述这一例题就可以这样来解:因为undefined, 又因为x+2y=1, 所以, 点O, B, M处于同一条直线上, 也就是说BM垂直平分AC, 所以, △BAC是一个等腰三角形, 那么根据余弦定理可知, undefined

总结上述这一定理在向量问题中的应用较为广泛, 在多次的高考题目中都有出现和应用, 平面向量定理与共线向量定理二者相互结合应用, 能够使一些原本复杂的问题变得简单、明了, 对于学生灵活掌握向量问题有着重要的意义和作用.

4.平面向量基本定理除了上述的一些应用方法外, 在一些证明性的题目中也有广泛的应用.

例5 已知a, b, c三者都不为0, 并且 (a·b) c= (b·c) a=0, 证明:a//c.

证明如果a, c两者之间不是相互平行, 那么由已知 (a·b) c= (b·c) a=0, 就能够得到a·b=b·c=0.又因为b=λ1a+λ2b (λ1, λ2∈R) , 在等式的两边同时与b做数量积就能够得到这样的等式b2=λ1 (a·b) +λ2 (b·c) =0, 那么很显然得到b=0, 这样与题目给出的已知条件正好相反.所以a//c.

例6 已知向量undefined和undefined是两个不共线的向量, 点P是直线P1P2上P1, P2以外的点, 并且满足undefined, 证明:x+y=1.

证明 ∵从已知可以看出, P1, P2, P三点在同一条线上,

∴就会存在这样一个数α∈R使得undefined, 亦即undefined.根据平面向量基本定理概念中实数对的唯一性, 我们可以得到以下方程组:undefined

总之, 向量是“形”与“数”的结合体, 用来表示一个既有大小又有方向的量, 是几何与代数知识的交会点.由于这种独特的“数形”特征, 决定了向量具有几何形式和代数形式的双重身份, 所以运用向量方法解题, 能使问题的解决形象化、算法化、简洁化.运用平面向量基本定理解决向量有关问题时, 关键是对于概念的深刻理解并注意灵活运用, 这样, 在夯实基础的同时, 将提高我们的综合运用能力和创新能力.

摘要：在高中数学教学中平面向量一直是一个重点内容, 这一部分的内容在数学各个方面都有较广的应用, 重视这一方面内容的学习对于学生数学成绩的提高有着重要的意义.本文主要从平面向量的基本定理出发, 利用各种教学中的实例, 针对其在向量内容中的应用进行探讨.

关键词：平面向量,基本定理,应用

参考文献

[1]唐兴中.平面向量基本定理及其应用.中学数学月刊, 2007 (9) .

[2]朱峰.平面向量基本定理的应用.中学数学月刊, 2003 (5) .

3.平面向量基本定理学案篇三

平面向量基本定理是一个十分重要的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.本文通过线性系数的求法,谈平面向量基本定理应用的三种境界.以期引发同学们的思考.

境界一直接用基底表示向量来确定线性系数例1如图1,平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于一点M,=a,=b,试用a,b表示,,和.

解由平行四边形法则,=+=a+b.由三角形法则,=-=b-a.

因为平行四边形的对角线互相平分,所以==a+b,=-=-a-b,==-a+b,=-=a-b.

点评用基底表示向量是掌握平面向量基本定理,解决平面向量计算问题的一个重要环节.这里关键是通过向量的加法和减法法则把未知的向量用已知(或可求)的向量表示.

境界二逆用平行四边形法则求线性系数例2 (2007年陕西理科卷)如图2,平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为 .

解过点C分别作OA与OB的平行线,交OA和OB的延长线于点E与点D(如图3),可得平行四边形ODCE.由条件可知λ=,μ=.

因为∠DOC=30°,∠ODC=180°-∠DOE=180°-120°=60°,所以∠OCD=90°,所以在直角三角形OCD中,由||=2,可得CD=2,OD=4.

又||=||=1,从而λ=||=4,μ=||=||=2,故λ+μ=6.

点评由于基底,的模和夹角均已知,故可考虑作出平行四边形,逆用平行四边形法则,通过解三角形来解决本题.

境界三活用定理的推论求线性系数

设e1和e2是同一平面内的两个不共线向量,由平面向量基本定理,可得到下面的推论:若存在实数λ1,λ2,u1,u2,使得λ1e1+λ2e2=u1e1+u2e2,则λ1=u1,且λ2=u2.

例3 如图4,已知P是△ABC内的一点,且满足条件+2+

3=0,设Q为CP的延长线与AB的交点,令=a,用a表示.

解由A,Q,B三点共线,不妨令=λ,则=-=(λ-1)(λ∈R).

由C,P,Q三点共线,不妨令=u,则=(u-1)(u∈R).

则=+=λ+(u-1),=+=(λ-1)+(u-1).

于是条件式可变为λ+(u-1)+2(λ-1)+2(u-1)+3u=0,即(3λ-2)+(6u-3)=0,所以3λ-2=0,6u-3=0,得λ=,u=.

所以=a=,故=2a.

点评这里先由三点共线,将,均用表示,将,均用表示,接下来干脆选取,两个不共线的向量作为基底,将其他向量均用它们线性表示,然后代入已知式看看能得出什么结果,结果发现转化成了“λ1e1+λ2e2=0”的形式,大功就此告成.

1. 如圖5,在△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且BD=BC,

CE=CA,AD与BE交于点R,求和的值.

1. =x=x(-)=x-x,=y=y(-)=y-y.

=-=x+y-x+y.又=-,所以x+y=1,x+y=1,得x=,y=,

4.平面向量基本定理学案篇四

一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

二、讲解新课：

1．平面向量的坐标运算

思考1：已知：a(x1,y1)，b(x2,y2)，你能得出ab、ab、a的坐标吗？设基底为i、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2)（1）若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.（2）若a(x,y)和实数，则a(x,y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y)

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

思考2：已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，怎样求AB的坐标？

（3）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

AB=OBOA=(x2，y2)(x1，y1)=(x2 x1，y2 y1)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.思考3：你能标出坐标为(x2 x1，y2 y1)的P点吗？

向量AB的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。

三、讲解范例：

例1 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.例2 已知平面上三点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD时，由ABDC得D1=(2，2)当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6，0)例3已知三个力F1(3，4)，F2(2，5)，F3(x，y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐标.解：由题设F1+F2+F3=0 得：(3，4)+(2，5)+(x，y)=(0，0)即：32x0x5 ∴ ∴F3(5，1)45y0y

1四、课堂练习：

1．若M(3，-2)N(-5，-1)且 MP1MN，求P点的坐标 22．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则AB2BC=.3．已知：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，求证：四边形ABCD是梯形.五、小结：平面向量的坐标运算；

5.向量证明正弦定理篇五

向量证明正弦定理

表述：设三面角∠P-ABC的三个面角∠BPC，∠CPA，∠APB所对的二面角依次为∠PA，∠PB，∠PC，则 Sin∠PA/Sin∠BPC=Sin∠PB/Sin∠CPA=Sin∠PC/Sin∠APB。

1证明2全向量证明

证明

过A做OA⊥平面BPC于O。过O分别做OM⊥BP于M与ON⊥PC于N。连结AM、AN。显然，∠PB=∠AMO，Sin∠PB=AO/AM;∠PC=∠ANO，Sin∠PC=AO/AN。另外，Sin∠CPA=AN/AP，Sin∠APB=AM/AP。则Sin∠PB/Sin∠CPA=AO×AP/(AM×AN)=Sin∠PC/Sin∠APB。同理可证Sin∠PA/Sin∠BPC=Sin∠PB/Sin∠CPA。即可得证三面角正弦定理。

全向量证明

如图1，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°-A，j与向量CB的夹角为90°-C

由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出)

在向量等式两边同乘向量j,得・

j・AC+CB=j・AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC