实数的教案（精选15篇）
1.实数的教案 篇一
13．3 实数
西沱初级中学校
刘雪艳 教学目标：
1、掌握无理数的概念；
2、掌握实数的概念；
3、会准确的区分一些具体的有理数和无理数；
重点：掌握无理数的概念； 难点：掌握实数的分类； 教学过程：
一、复习旧知
1、复习前面所学的有理数的概念及其分类 问题1：你认识下列各数吗?它们统称为什么？
34791153, , , , , 581199它们统称为有理数。那么有理数是如何分类的呢？
有理数的分类：（按定义分）分为整数和分数
（按性质分）分为正有理数、负有理数和0 问题2：把下面的数改写成小数的形式： 3479115 3, , , , , 581199
其中哪些是有限小数？哪些是无限循环小数？ 小结：有限小数和无限小数叫做有理数
二、探究新知
1、把下面各数写成小数的形式： π
你发现了什么？
无限不循环的小数叫做无理数
练习：把下面的各数分别填到下面的集合内：
32,20,1,44,97,,0,5,22,38，5,0.3737737773（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
无理数集合有理数集合
小结：常见的几类无理数:（１）．圆周率π及一些含有π的数,如2π﹣1.（２）．开不尽方的数（注意：带根号的数不一定是无理数）（３）．有一定的规律，但不循环的无限小数
总之，无理数就是无限不循环的小数。
它们根本的区别，就是凡是有理数，都可以化成两个整数之比（可看成一个分数），而无理数，无论如何也不能化成两个整数之比（不能化为分数）。
2、实数的概念： 有理数和无理数统称为实数
3、实数的分类：类比有理数的分类方法
（按定义分）有理数和无理数
（按正负性质分）正实数、负实数和0
三、当堂训练
1、判断：
（1）.实数不是有理数就是无理数。（）（2）.无理数都是无限不循环小数。（）（3）.无理数都是无限小数。（）（4）.带根号的数都是无理数。（）（5）.无理数一定都带根号。（）（6）.两个无理数之积不一定是无理数。（）（7）.两个无理数之和一定是无理数。（）
四、课程总结
1、无限不循环的小数叫做无理数
2、常见的几类无理数
3、有理数和无理数统称为实数
4、按定义分：实数分为有理数和无理数
按正负性质分：实数分为正实数、负实数和0
五、布置作业
练习册37页变式训练
2.实数的教案 篇二
我们知道,实数可分为有理数和无理数.两个有理数的大小比较较简单,但两个无理数或者一个有理数和一个无理数的大小比较就不那么简单了. 现通过典型例题介绍几种常用比较方法.
一、比较被开方数法
如果两个无理数是同次根式,则只要比较两个被开方数的大小即可.
例1比较31/2与71/2的大小.
【分析】这是两个算术平方根的大小比较,直接比较被开方数的大小,即可得到原数的大小.
解:由被开方数3<7,可知31/2<71/2
二、平方法
平方法就是将要比较大小的两个数分别平方,通过比较平方结果的大小得出原来两个数的大小,这种方法主要用来比较同号两数的大小.
例2比较-71/2与-1.5的大小.
【分析】先取两数的绝对值,将两数都转化为正数,并且两个数平方后能将原有根号去掉,所以可将两数分别平方,通过比较平方结果的大小来确定两数绝对值的大小,进而得到原来两数的大小.
三、移动因式法
移动因式法就是将根号外面的因数移到根号的内部,或将根号内的因数移到根号外,再比较被开方数的大小.
例3比较的大小.
【分析】根据算术平方根的意义,将根号外的数移到根号内,再比较两个被开方数的大小.
【说明】也可用平方法比较这两个数的大小.
四、求差法
求差法就是求出两个数的差,然后将所求的差与0进行大小比较,当差小于0时, 被减数小,反之被减数大.可记作:若a-b> 0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a<b.
【分析】不可能将根号外面的数移到根号内部,并且它平方的结果仍然带有根号,所以不能用以上几种方法来比较大小,但可通过求这两数的差来判断它们的大小.
3.实数大小的比较 篇三
平方法用来比较两个同号的数的大小，就是将要求比较大小的两个数分别进行平方，通过比较平方结果的大小得出原来两个数的大小的一种方法。即当a>0、b>0时，若a>b，则>。
例1 比较和的大小。
分析 两个数都是正数，并且两个数平方之后能够将原有的根号去掉，所以可以将这两个数分别进行平方，通过比较平方结果的大小来比较原来两个数的大小，也就是将它们的大小比较转化为两个有理数的大小比较。
解 ∵（）2=，（）2=3=，又∵ <， ∴ <。
二、作差法比较
比较a与b的大小，先求a-b的值，再比较这个值与0的大小。
例2 比较5-8与3-5的大小。
解 ∵ 5-8-（3-5）=2-3=-<0，
∴ 5-8<3-5。
三、移动因式法
移动因式法就是利用公式a=（a＞0），将根号外面的因数移到根号内部，或将根号内的因数移到根号外，再比较被开方数的大小的一种方法。
例3比较2和3的大小。
分析 可以根据二次根式中的计算公式，将根号外面的数移到根号内部，通过比较两个被开方数的大小，就可以比较原来两个数的大小。
解 ∵2=，3=，
又∵12<18，∴<。∴2<3。
四、求商法
求商法就是求出两个数的商，然后将商与1进行大小比较。当两个数都是正数时，如果商大于1时，分子较大，商小于1时，分母较大；当两个数都是负数时结果相反。常用的公式是当＞1时，则＞；当=1时，则=；当＜1时，则＜。
例4比较和的大小。
分析 本题可以利用求商法比较大小，还可以利用平方法或者移动因式法进行大小比较。
解 ∵=<1，∴<。
五、倒数法比较
先求出两个数的倒数，比较两个数的倒数的大小，倒数大，则此数较小；反之，倒数小，则此数就大。
例5 比较5-7与3-4的大小。
解∵==5+7=，
==，
∵ >, ∴ >。
即5-7＜3-4。
六、中介值比较法
根据“a＜b，b＜c则a＜c”来比较两实数的大小。
例6比较-1与+1的大小。
4.八年级数学实数教案 篇四
例1判断：
(1) 两有理数的和、差、积、商是有理数;
(2) 有理数与无理数的积是无理数;
(3) 有理数与无理数的和、差是无理数;
(4) 小数都是有理数;
(5) 零是整数，是有理数，是实数，是自然数; (6) 任何数的平方是正数; (7) 实数与数轴上的点一一对应; (8) 两无理数的和是无理数。 例2 下列各数中：
-1，0， ， ，1.101001 , , ,- , ,2, . 有理数集合{ …}; 正数集合{ …};整数集合{ …}; 自然数集合{ …};分数集合{ …}; 无理数集合{ …};绝对值最小的数的集合{ …};
2、绝对值： = (1) 有条件化简 例
3、①当1 ②a，b，c为三角形三边，化简③如图，化简 + 。 (2) 无条件化简 ;
例
4、化简
解：步骤①找零点;②分段;③讨论。
例
5、①已知实数abc在数轴上的位置如图，化简|a+b|-|c-b|的结果为
②当-3
例
6、阅读下面材料并完成填空
你能比较两个数2018和20182018的大小吗?为了解决这个问题先把问题一般化，既比较nn+1和(n+1)n的大小(的整数)，然后从分析=1，=2，=3，。。。。这些简单的情况入手，从中发现规律，经过规纳，猜想出结论。
(1) 通过计算，比较下列①——⑦各组中两个数的大小(在横线上填“>、=、<”号”)
①12 21 ;②23 32;③34 43;④45 54;⑤56 65;⑥67 76
⑦78 87
(2)对第(1)小题的结果进行归纳,猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系是
(3)根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是: 20182018 20182018
练习：(1)若a<-6,化简 ;(2)若a<0,化简
(3)若 ;(4)若 = ;
(5)解方程 ;(6)化简： 。
二、 小 结：
;
三、作 业：
5.实数与数轴,教案示例2 篇五
1、使学生了解无理数和实数的概念，掌握实数的分类，会准确判断一个数是有理数还是无理数。
2、使学生能了解实数绝对值的意义。
3、由实数的分类，渗透数学分类的思想。
4、使学生能了解数轴上的点具有一一对应关系，由实数与数轴的一一对应，渗透数形结合的思想。
重点：无理数及实数的概念。
难点：有理数与无理数的区别。
手段方法：合作交流，多媒体辅助教学
教学过程：
一、复习
1、什么叫有理数？
2、有理数可以如何分类？（按定义分与按大小分）
二、做一做：用计算器求
三、新授
任何一个分数都可以写成有限小数或无限不循环小数
(一)实数有关概念
1、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。
判断：无限小数都是无理数；无理数都是无限小数；带根号的数都是无理数。
2、实数的定义：有理数与无理数统称为实数。
3、将各数间的联系介绍一下。
(二)实数与数轴
1、我们在学有理数时，接触过数轴，请学生回忆什么叫数轴。，利用平方关系验算所得的结果
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。每一个有理数在数轴都有一个对应的位置，反过来，数轴上所有的点都表示有理数吗？
画出课本中的数轴，并画出，可见数轴上的数，不仅有表示有理数的点，还有表示无理数的点，所以实数与数轴上的点是一一对应的。
在此处应强调一一对应的意义。
提示用数轴来表示实数，是一个相当重要的数学思想——数形结合。
2、实数的大小比较
数轴上右边的数总比左边的数大。不过有时我们还要将无理数取近似值，用有限小数来代替无理数进行比较。
3、实数的计算
在有理数范围的运算律及运算性质以实数范围内仍然适用。
结果要求精确到某一位时，在计算过程中应比结果要求的多保留一位小数，最后一步再次进行4舍5入，得到一个符合要求的数。
讲解例题
三、练习
P17练习2
四、小结
1、今天我们学习了实数，请同学们首先要清楚，实数是如何定义的，它与有理数是怎样的关系，二是对实数两种不同的分类要清楚。
2、要对应有理数的相反数与绝对值定义及运算律和运算性质，来理解在实数中的运用。
3、无理数的引进，把数的范围扩充到了实数，数的范围不同，则可能结果不同。
四、作业
6.初中七年级下册《实数》教案优质 篇六
问题 学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴.想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少?
师：∵52=25，
∴这个正方形画框的边长应取5 dm.
二、讲授新课
师：请同学们填表：
正方形面积 1 9 16 36 425
边长 1 3 4 6 25
师：上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题.
师：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.记作a，读作“根号a”，a叫做被开方数.
规定：0的算术平方根是0.
师：我们一起来做题.
展示课件：
【例】 求下列各数的算术平方根：
(1)100; (2)4964; (3)0.0001.
学生活动：尝试独立完成.
教师活动：巡视、指导，派一生上黑板板演.
师生共同完成.
解：(1)∵102=100，
∴100的算术平方根是10.
即100=10.
(2)∵(78)2=4964，
∴4964的算术平方根是78，即4964=78.
(3)∵0.012=0.0001，
∴0.0001的算术平方根是0.01，
即0.0001=0.01.
三、随堂练习
课本第41页练习.
四、课堂小结
本节课你学到了哪些知识?与同伴交流.
师生共同归纳算术平方根的定义及其表示方法.
教师首先利用例子提出问题：请你说出上面等式右边各数的平方根，通过学生动脑动口加深对算术平方根概念的初步理解;然后在上面叙述的基础上提出算术平方根概念的符号表示方法，同时用练习巩固所学新知，由量变到质变，使学生能牢固掌握本节内容.
6.1平方根(2)
能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值，会用计算器.
重点
夹值法估计一个数的算术平方根的大小.
难点
夹值法估计一个数的算术平方根的大小.
一、创设情境，引入新课
师：怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形?
运用多媒体，展示课件：
怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形?
学生活动：小组合作操作、观察、交流.
二、讲授新课
师：将两个小正方形沿对角线剪开，得到几个直角三角形?
生：4个.
师：大正方形的面积多大?
生：面积为2的大正方形.
师：这个大正方形的边长如何求?
学生活动：尝试独立完成.
教师活动：启发，适时点拨.
师生共同归纳：设大正方形的边长为x，则x2=2，由算术平方根的意义可知：x=2.
∴大正方形的边长为2.
师：小正方形的对角线的长为多少?
生：对角线长为2.
师：很好，2有多大呢?
学生活动：小组合作交流.
教师活动：适时启发，点拨.
师生共同归纳：
∵12=1，22=4，
∴1<2<2.
∵1.42=1.96，1.52=2.25，
∴1.4<2<1.5.
∵1.412=1.9881，1.422=2.0164，
∴1.41<2<1.42.
∵1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，
∴1.414<2<1.415.
……
如此进行下去，可以得到2的更精确的近似值.
其实，2=1.41421356……它是一个无限不循环小数，无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数.
师：你能举出几个例子吗?
生：能，如：3、5、7等.
师：如何用计算器求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值).
学生活动：尝试独立完成例2.
师：请同学们用计算器求出引言中的第一宇宙速度、第二宇宙速度.
学生活动：用计算器小组合作完成.
第一宇宙速度：v1≈7.9×103 m/s;
第二宇宙速度：v2≈1.1×104 m/s.
展示课件：
1.利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗?
… 0.0625
0.625
6.25
62.5
625
6250
62500
…
… …
2.用计算器计算3(精确到0.001)，并利用你发现的规律说出0.03，300，30000的近似值，你能根据3的值说出30是多少吗?
师：你能说出其中的规律吗?
学生活动：小组讨论交流.
师生共同归纳：
求算术平方根时，被开方数的小数点要两位两位地移动，当被开方数向左(右)每移动两位时，它的算术平方根相应地向左(右)移动一位.
新知应用：
师：我们一起来做题：
展示课件.运用多媒体：
【例】 小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正在发愁.小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗?小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?
解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm.
根据边长与面积的关系得
3x•2x=300，
6x2=300，
x2=50，
x=50.
因此长方形纸片的长为350 cm.
因为50>49，所以50>7.
由上可知350>21，即长方形纸片的长应该大于21 cm.
因为400=20，所以正方形纸片的边长只有20 cm.这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.
【答】 不能同意小明的说法.小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.
三、随堂练习
课本第44页练习.
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获?与同伴交流.
1.使每个学生都参与用计算器求一个正有理数的算术平方根，由于有的同学没有带计算器，所以没有很好地理解所学的知识.
2.平方根移动的规律，须让学生通过查表、探索、发现、总结，最好是自己找出其中所蕴含的规律.
7.实数集可数定理 篇七
本文断言: 康托尔( G. Cantor,1845—1918) 在一百多年前提出的“实数集不可数定理”和其对角线法都是严重错误的; 实数集肯定是可数的.
1873年12月7日被认为是集合论的诞生日,这一天康托尔写信给戴德金,说他成功地证明了实数集合是不可数集; 他证明的方法就是有名的对角线法.
一百多年过去了,集合论诞生了多少天,“实数集不可数定理”就流传了多少天,就误导了人类多少天; 目前,国际数学界已经把严重错误的“实数集不可数定理”,印刷在各种权威的数学书籍中,广泛传播.
本文的目的就是: 否定实数集不可数定理,证明实数集可数定理.
否定的方法就是提出客观存在的无限多个反例,说明对角线法漏洞无穷,严重错误; 因此否定实数集不可数定理. 证明实数集可数定理则是使用了完全初等的等差数列法和基数减少法.
毫无疑问: 如果不纠正康托尔的严重错误,必将产生也早已产生多米诺效应,导致一系列其他错误,如把许多可数集也“证明”成了不可数集,严重阻碍了许多数学真理的问世,其后果不堪设想; 反之,则必将引起数学的改革和进步.
二、否定实数集不可数定理
康托尔的对角线法和“实数集不可数定理”都是严重错误的,证明如下:
证明因为康托尔是用对角线法证明实数集不可数定理的,在其对角线法中,首先是将开区间( 0,1) 的全体有穷小数都改写成无穷小数,改写方法如:
0. 5 = 0. 4999…
列出数表并与自然数集{ 1,2,…} 建立一一对应:
用数表( 2. 1) 对角线上的数字a11,a22,a33,…构造了一个所谓的新小数: 就说这个新小数( 2. 2) 不在数表( 2. 1) 中,不能与自然数集 { 1,2,…} 建立一一对应,因此开区间( 0,1) 的实数不可数, 进而推出实数集不可数定理.
康托尔的这个对角线法根本就是严重错误,漏洞无穷!
因为如果可以将有穷小数写成无穷小数,那么就同样可以将无穷小数写成有穷小数.
例如可以将0. 5写成0. 49,就可以将0. 51写成0. 5.
例如可以将0. 5写成0. 499,就可以将0. 501写成0. 5.
例如可以将0. 5写成0. 4999,就可以将0. 5001写成0. 5.
……
例如可以将0. 5写成0. 4999…,就可以将0. 50…01写成0. 5.
只许0. 5写成0. 49,不许0. 51写成0. 5; 只许0. 5写成0. 499,不许0. 501写成0. 5……只许0. 5写成0. 4999…,不许0. 50…01写成0. 5. 总之,只许有穷小数写成无穷小数,不许无穷小数写成有穷小数. 这些没有道理的错误观念,就存在于康托尔的对角线法中,存在于数表( 2. 1) 中.
因为
0. 49 = 0. 5 - 0. 01
0. 499 = 0. 5 - 0. 001
……
0. 4999… = 0. 5 - 0. 00…01
所以将0. 5写成0. 4999…,就等于从0. 5减去一个无穷小量Δx = 0. 00…01.
因为
所以将0. 50…01写成0. 5,也等于从0. 50…01减去一个无穷小量Δx = 0. 00…01.
因为对于每一个从有穷小数到无穷小数的改写f,如f: 0. 6 → 0. 5999…都肯定存在一个从无穷小数到有穷小数的反例￢f:
注: 有穷小数0. a1…an中,an∈ { 1,2,…,9} .
每一个无穷小数0. a1…an0…01都能够被改写成有穷小数0. a1…an,都能够成为反例; 无穷多的有穷小数0. a1…an 都被康托尔 的数表 ( 2. 1) 遗漏了,而所谓新 小数0. a11a22a33…更是根本不可能存在.
所以康托尔的对角线法漏洞无穷,严重错误,因此实数集不可数定理是严重错误的.
证毕.
三、实数集可数定理
实数集是否可数,就是看实数集能否与可数无穷集n = { 1,2,…} 建立一一对应,能就可数,不能就不可数. 实数集的正整数就是自然数,显然可数,因而其负整数也可数,0也可数,剩下的就只有整数之间的小数了. 因此证明实数是否可数,关键就在于证明其小数也可数,也即只要证明开区间 ( 0,1) 的全体小数可数即可. 下面就用等差数列法、基数减少法,二次证明实数集可数定理.
定理 实数集是可数的.
证明( 一)因为实数轴的点可以从左到右的排列成点集,所以实数集的数可以从小到大地排列成数列,因此实数集开区间( 0,1) 的数,可以按照 < 关系排列为等差小数序列an,其通项公式为:
因此无论等差小数序列的首项和公差( 0. 1)r多么小, 其第n项an必与可数无穷集{ 1,2,…} 的第n个自然数一一对应.
例如开区间( 0,1) 的9个小数{ 0. 1,0. 2,…,0. 9} 都能够与可数集{ 1,2,…,9} 一一对应,开区间( 0,1) 的99个小数{ 0. 01,0. 02,…,0. 99} 都能够与可数集{ 1,2,…,99} 一一对应……; 开区间( 0,1) 的999…9个小数{ 0. 0…01,0. 0…02,…,0. 999…9} ,总能与可数无穷集{ 1,2,…,999…9} 一一对应:
所以开区间( 0,1) 的全体小数是可数的,因此实数集是可数的. 证毕.
证明( 二)因为实数集开区间( 0,1) 是以纯小数为元素的非空集合,所以可以设开区间( 0,1) 为一个集合且记为: R = { rn| 0 < rn< 1,n = 1,2,…} ,元素rn可为任一纯小数.
因为集合R减去元素r1得差集R1= { R - r1} ,
差集R1减去元素r2得差集R2= { R - r1- r2} ,
差集R2减去元素r3得差集R3= { R - r1- r2- r3} ,
……
当集合R的基数| R|被一一减少到0,也即集合R被一一减去其全部元素rn而成为空集 全体差集族{ Rn} 的元素即差集Rn就与开区间( 0,1) 的全体小数rn建立了一一对应
f: Rn→ rn.
因为差集族{ Rn} 是可数的,能与可数无穷集{ 1,2,…} 建立一一对应,所以开区间( 0,1) 的全体小数rn是可数的, 因此实数集是可数的. 证毕.
四、结论
结论1实数集是可数的! 不可数的实数是不存在的!
结论2康托尔的对角线法和实数集不可数定理都是严重错误的.
摘要：用无限多个反例否定了康托尔的对角线法和实数集不可数定理;用完全初等的等差数列法和基数减少法证明了实数集可数定理.
8.“实数”中的数学思想 篇八
1. 数形结合思想
数形结合的思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考虑，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化.
例1 在数轴上作出■这个点的位置.
【分析】如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，由勾股定理可知正方形的对角线长度为■，以数轴的原点为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示数■.
2. 转化思想
转化思想就是将所要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题，是一种把复杂转化为简单的思想方法.
例2 已知x、y是实数，且（2x+y-6）2
+■=0，求4x+3y的平方根.
【分析】根据非负数的性质，若几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0，得到关于x、y的二元一次方程组，解这个方程组可求出x、y的值，使问题得以解决. 这里巧妙地运用转化思想，把问题化难为易.
解：2x+y-6=0，3x+2y-11=0.
解得x=1，y=4.
∴4x+3y=4+3×4=16.
16的平方根是±4.
3. 整体思想
整体思想就是从整体角度思考，即将局部放在整体中去观察分析、探究问题的解决方法，从而使问题得以简捷巧妙地解决.
例3 求2（2x-1）2-14=0中的x.
9.6.3_实数_教学设计_教案 篇九
1.教学目标
1.1 知识与技能：
1、了解无理数和实数的概念
2、会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力。
3、了解分类的标准与分类结果的相关性，进一步了解体会“集合”的义。1.2过程与方法 ：
1、通过无理数的引入,使学生对数的认识由有理数扩充到实数
2、经历对实数进行分类,发展学生的分类意识
3、经历观察与动手作图实践，让学生知道实数和数轴上的点是一一对应的。1.3 情感态度与价值观 ：
1、了解到人类对数的认识是不断发展的，体会数系扩充对人类发展的作用.2、学生在对实数的分类中感受数学的严谨性。
3、培养学生的合作交流能力与学习数学的兴趣，培养学生敢于面对数学活动中的困难,并能有意识地运用已有知识解决新的知识。
2.教学重点/难点
2.1 教学重点
知道无理数是客观存在的，了解无理数和实数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数．
2.2 教学难点
判断个别特殊的数是有理数还是无理数，体会数轴上的点与实数是一一对应的关系。
3.教学用具 4.标签
教学过程
1、认识无理数
问题1：请大家把下列各数3，表示成小数，它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数？
大家可以每个小组计算一个数，这样可以节省时间。
3=3.0，=0.8，=，生：3，是有限小数，是无限循环小数。
师：上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数。
上面研究过的是无限不循环小数。
无理数定义：无限不循环小数叫无理数 师：除上面的，等，圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数。
问题2： 是无理数吗?
2是无理数吗? 0.01001000100001…是无理数吗? 问题3：你能再举出一些你见到过的无理数吗? 问题4：让学生在独立思考的基础上，进行讨论交流：有理数存在哪几种形式？ 在学生回答的基础上让学生总结出无理数常见的三种形式： ①开方开不尽的数都是无理数（如、、），②圆周率π类（简记为 带π的）③有规律但不循环的无限小数（简记为人造无理数）。问题5：带根号的数一定是无理数么？
2、引入实数
问题6：有理数和无理数的定义有什么区别？
生：无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数． 师：给出实数定义:有理数与无理数统称为实数。
3、对实数进行分类
师：请大家试着按不同的标准给实数分类。
教师引导学生分析，得出结论：实数也可以分为正实数、0、负实数三大类。生讨论后回答：
实数：
4、补例：把下列各数分别填入相应的集合里：
正有理数{ } 负有理数{ } 正无理数{ } 负无理数{ } 学生先自己做，做完之后互相讨论，再回答。
5、数轴上的点与实数之间的关系
师：你会在数轴上画出表示让学生尝试在数轴上画出表示的点么？、等的点。
问题7：你们发现数轴上的点与实数之间存在什么关系？
当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
6、基础练习
1．判断正误，若不对，请说明理由，并加以改正．
（1）有理数包括整数、分数和零…………………………………………………（对）（2）无理数都是开方开不尽的数…………………………………………………（错）（3）不带根号的数都是有理数………………………………………………………（错）（4）带根号的数都是无理数……………………………………………………………（错）
（5）无理数都是无限小数………………………………………………………………（对）
（6）无限小数都是无理数………………………………………………………………（错）
（7）无理数就是带根号的数……………………………………………………………(错)（8）无限小数都是有理数………………………………………………………………(错)2．数中，无理数有（C）．
（A）0个；（B）1个；（C）2个；（D）3个． 3．填空
（1）整数集合{ …}；
（2）有理数集合{
…}；
（3）无理数集合{
…}；
（4）实数集合{ …}．
课堂小结
这节课你有什么新发现？知道了哪些新知识？ 无理数的特征: 1．圆周率π及一些含有π的数 2．开不尽方的数 3．无限不循环小数
注意:带根号的数不一定是无理数。
板书
4．3实数（1）
1、无理数的定义： 无理数的常见形式： ①： ②： ③：
2、实数定义：。。
3、实数的分类
（1）按有理数和无理数分（2）按正负分
4、补例：
10.实数的基本定理 篇十
一、上(下)确界原理
非空有上(下)界数集必有上(下)确界。
二、单调有界定理
单调有界数列必有极限。具体来说：
单调增(减)有上(下)界数列必收敛。
三、闭区间套定理(柯西-康托尔定理)
对于任何闭区间套，必存在属于所有闭区间的公共点。若区间长度趋于零，则该点是唯一公共点。
四、有限覆盖定理(博雷尔-勒贝格定理，海涅-波雷尔定理)
闭区间上的任意开覆盖，必有有限子覆盖。或者说：闭区间上的任意一个开覆盖，必可从中取出有限个开区间来覆盖这个闭区间。
五、极限点定理(波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、聚点定理)
有界无限点集必有聚点。或者说：每个无穷有界集至少有一个极限点。
六、有界闭区间的序列紧性(致密性定理)
有界数列必有收敛子列。
七、完备性(柯西收敛准则)
数列收敛的充要条件是其为柯西列。或者说：柯西列必收敛，收敛数列必为柯西列。
注：只有充要条件的命题才能称之为“准则”，否则不能称为“准则”。
以上7个命题称为实数系的基本定理。实数系的7个基本定理以不同形式刻画了实数的连续性，它们彼此等价。在证明中，可采用单循环证明的方式证明它们的等价性。它们之间等价性的证明可以参看《数学分析札记》。
11.“实数”中的数学思想方法 篇十一
一、 数形结合的思想
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”采用数形结合可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而化难为易，获得简便易行的成功方案.
四、 整体思想
整体思想，即从问题的“整体”出发，根据问题的整体结构特征，把一组数或一个代数式或几个图形看作一个整体，从而使按常规解法不易求解的问题得到解决.经常运用整体思想解题可提高我们的观察、分析和解决问题的能力. 巧用这种思想解题，可使解题过程简捷迅速，且不易出错.
例4 已知：（x+1）2=64，求x的值.
解析：利用目前的知识我们还不能解决此方程，但把（x+1）看作一个整体，利用平方根的定义，先求出（x+1）的值，再求出x的值，就能使问题得以解决，但要注意一个正数的平方根有两个.
解：根据平方根的定义，因为（x+1）2=64，所以x+1=±8.
当x+1=8时，x=7；当x+1=-8时，x=-9.
所以x=7或x=-9.
五、 转化的思想
转化的思想是数学学习与研究的一种重要思想. 通常是把复杂问题简单化、分散的问题整体化、未知的问题熟悉化、一般的问题特殊化等. 本章中转化思想主要应用在：求一个负数的立方根时，可以转化为求一个正数的立方根的相反数；在实数的近似计算中，遇到无理数时，可根据问题的精确程度取近似值，转化为有理数的计算等.
上面列举的数学思想方法是“实数”中比较突出的数学思想方法，至于建模的思想、归纳的思想、特殊值的思想也有渗透，希望同学们重视对它们的提炼、概括和应用，这样做必将对你的数学学习大有裨益.
12.实数的教案 篇十二
关键词：实数集合,分裂问题,NP难
0 引言
在多项式时间内, 由确定型图灵机 (deterministic Turing machine, 简称DTM) 可以解决的问题称为P问题;如果一个问题, 其解法在多项式时间内可以由一个非确定型图灵机 (nondeterministic Turing m achine, 简称NTM) 实现, 那么, 此问题属于NP问题。如果所有的NP问题在有限步内 (在多项式规约时间内) 可相互规约问题巧则称为NP难题 (NP-Hard) [1]。如果某个问题是NP-hard的, 同时又是NP问题, 那么称其为NP完全 (NP-complete, 简称NPC) 问题。NP难是NP类中最难的一类问题。NP难理论的研究在实践中有着重要的指导作用, 在算法设计和分析过程中, 如果证明某问题是NP难的, 这就意味着在多项式时间内找到该问题的精确解是非常难的, 或者说是不可能的。因此, 对于NP难问题, 最好是去寻找近似解法, 寻找设计在多项式时间可完成的近似解算法[2]。
本文提出了一种新的优化问题———实数集分裂问题, 并给出了该问题的一种特殊情况, 证明了这种特殊的实数集分裂问题属于NP难问题, 基本思路是:通过引入二分图的最大权问题, 而这种特殊的实数集合分裂问题可在多项式时间内相互规约成二分图的最大权问题, 从而证明这种特殊的实数集分裂问题是NP难的。
本文其余部分组织如下:第1节对实数集分裂问题进行了定义, 并给出了一种特殊情况。第2节证明了该问题属于NP难问题。第3节总结全文。
1 问题定义
在定义实数集分裂问题之间, 我们首先给出实数集之间的距离的定义。
实数集之间的距离:对于两个均由n个数组成的集合, 若存在着一种匹配, 使其匹配数之差的绝对值之和最小, 则称这个值为实数集之间的距离。
实数集分裂问题:对于一个由n×m个实数组成的集合, 若将其平均分配到n个子集中, 使其每个子集包含的元素个数均为m个。问题是:如何分配实数, 使得n个子集两两之间的距离之和最小。
对于实数集分裂问题, 我们首先考虑n=2的情况, 接下来我们证明n=2时实数集分裂问题是NP难的。
2 问题是NP难问题的证明
定理1:当n=2时, 实数集分裂问题是NP难问题。
证明:首先我们进行一下问题转换。如果将实数集的元素对应于顶点, 元素之间的差的绝对值对应于边的权值, 实数集可以构成一个带有权值的完全无向图, 其中顶点个数为2m, 边的个数为m (2m-1) 。传感器网络的极大相似分布问题等价于在对应的完全无向图中找出m条边, 这m边满足如下条件: (1) 每个顶点有且仅与其中的一条边相连; (2) 这m条边的权值之和最小。
设G= (V, E) 是一个加权完全二分图, 两边的顶点分别为A={a1, a2, …, am}和B={b1, b2, …, bm}, E={
现在说明怎么把加权完全二分图G转换成带有权值的完全无向图G′= (V′, E′) 。G中的顶点对应于G′中的顶点, E中的任意一条边
3 总结
本文提出了一种新的优化问题———实数集分裂问题, 并给出了该问题的一种特殊情况, 通过在多项式时间内二分图的最大权问题可规约到这种特殊的实数集分裂问题, 从而证明了该问题属于NP难问题。
参考文献
[1]Cormen TH, Lejserson CE, Rivest RL, Steain C.Introduction to Algorithms.2nd ed., The MIT Press, 2001.
13.《实数的运算》教学反思 篇十三
教学任务二：如能化简算式，则先化简，再用计算器计算，这样能使计算方便。对于学生当然也想利用计算器一次性得出，这样都好，不用计算，结果也成功。这样学生觉得挺方便的，你说先化简简单方便，谁信？这里我觉得教案设计不恰当，不了解学情，没能做到备学生。所以做了更改，补充一题：我想现在你总没办法一次性按出结果吧！这时就可以顺水推舟、水到渠成完成任务二。
到课堂里，果真学生就一次性得出结果，我就继续拿出第三题，这下你该没招了吧，有学生在叫：中括号没有怎么办？我就借机引导：那能否把它处理一下，化简变得简单点，再利用计算器。可是还有些同学不可罢休，继续在思考尝试，终于得出结果来，用小括号代替中括号，不影响运算顺序。这下我咋办？还是硬拉着学生先化简，可是还些同学在嘀咕，这样太麻烦了，还不如直接用计算器简单；有些同学干脆不听你的。我气得只拍桌子，那效果就不用说了。
下课后，我心里很不是滋味，边走边埋怨学生，在回办公室的路上碰到上同一级段的数学老师，正好她也上这节课，也很气很糟糕，这样我就来到她的办公室进行讨论交流起来，
她也同感，上了后很气，学生只管自己的，根本不吃老师的一套，教材安排的用意何在呢？若是让学生理解有理数的运算法则和运算在实数范围内同样适用，以及掌握运算顺序等，那通过哪些教学环节或教学活动来达到目的呢？显然教材没有（因为使用计算器，学生根本体验不到计算的顺序，只能通过教师的讲授，效果大打折扣）。教材应该安排一些乘方、开方（开得尽方）和加减、乘除之类的混合运算，让学生在计算中体验和掌握实数运算的顺序以及有关法则与运算律。这是其一。其二，如能化简算式，则先化简，再用计算器计算，这样能使计算方便。请问：什么叫方便？对学生来说，把式子一次性输入计算器马上得出答案，应该是方便，干嘛还要化简呢？再说，这化简对学生来说难度可大了，特别是分配律，符号可令学生头痛啊！自然学生极力排斥，没法落实教学目的，这又是教材编制失败之处。而化简计算能力正是需要培养训练的，为下面整式的化简作好准备。如设计恰当可一箭双雕，既可巩固运算的顺序，也可让学生产生冲突，能化简的非化简不可，进而培养学生养成先化简后计算的习惯。那咋设计更好呢？随着科技的发展，计算器功能越来越多，而教材上例2式子的计算计算器就方便的完成，已失去原有的功能。必需另行设计。
从以上的反思可看出，不管是笔者还是编教材者，只是单方面思考，没有从学生的角度思考分析，更欠缺的是只想不做，让学生做的，教师先要做，是否可行，作为例题编者事先
14.实数的教案 篇十四
实数的运算教学反思
在学习新内容前先复习了一下学过的有理数的运算律和运算法则，而这些运算律和运算法则在实数范围内也是同样适用的，那么学生们就可以自己得出实数的运算顺序。在讲实数的运算之前，先学了当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数、绝对值的意义同样适用于实数的内容，然后再学习实数的运算，通过具体的计算题让学生对这一运算顺序加深印象。有一点要说的是，在新教材中，实数运算这一节，很多的计算问题学生只能通过计算器来解决，而现在学生用的计算器都是科学计算器，都是比较智能的，只要把算式输入就能得到正确答案，通过对这节课的反思，我觉得首先吸引学生的注意力还是十分重要的，从集中注意力到有学习数学的兴趣，这样若长期积累，情感上必定会比较喜欢数学，这才是我们作为数学教师最乐于见到的。
当然这节课也存在着许多不足，通过反思，我觉得虽然有学生的“动”，但总体来说“动”的还是不够的，师生之间互动不够，在学生板演之后，讲评应该要适当的表扬一下，发挥一下学生的积极性。
15.实数的教案 篇十五
泵站工程广泛应用 于农田灌 溉排涝、城市防洪 等领域,湖北省很多泵站存在建设标准低、运行时间长、老化损毁严重等问题,其中运行效率低的问题尤为突出。目前, 湖北省对多数大中型泵站进行了技术更新改造。因此,如何利用计算机强大的运算功能,优化泵站运行方式,提高泵站运行效益,是当前急需研究的课题之一。本文通过对泵站优化运行基本理论的研究,以泵站运行费用最低为目标,采用遗传算法对其进行了分析和探讨,并采用VB语言编制了目标求解程序。
1优化调度综述
泵站优化调度是指根据运行条件的变化,人为改变水泵、管路的开启台数或运行工况,使其运行参数能适应新的工作状况需要。工况点是由水泵性能曲线H泵~Q与管路性能曲线H管~Q之交点,通过对机组运行状态的调节来改变水泵性能曲线和装置需要的扬程曲线。
机组运行状态的调节方式与系统节能密切相关,水泵能量浪费的主要原因是由于采用的调节方式不合适。节能的关键是改进调节方式。本文采用变角调节和选择运行机组、台数等两种调节方式找寻泵站优化运行的最优工作状态。
2遗传算法运算过程
遗传算法是通过模拟自然界生物进化的过程和机制, 求解优化问题的智能计算方法,该算法运算过程如下:1系统初始化:设置进化参数,随机生成初始群体;2个体评测:计算群体中的个体适应度,以优选种群;3运算选择: 从母体群中选出优良 度高的个 体进行繁 殖;4交叉和变 异:将交叉变异算子作用于群体来优化种群;5计算终止条件设置:对进化进行判断,符合设置终止条件时,输出最优解并终止计算。
3算法具体实现
3.1实数编码
本文采用实数编码,即浮点数编码。初始母体群的初始取值是遗传算法中极为重要的环节,初始母体群选定合理,计算收敛的速度则很快。泵站机组的流量取值区间为一个离散点和连续区间的集合,即Qi=0或Qmin,i≤ Qi≤ Qmax,i 。
基本遗传算法对于初始母体群的选择是在某一区间内随机选择([0,Qmax]),并用随机函数选择初始母体群。 通常机组流量Qi=0被随机选中的概率很小,增加了区间 (0,Qmin](其中Qmin= min(Qmin,i),i=1,2,…N )的选择概率,减慢了收敛速度。
为了优化初始母体群,本文更新了初始母体群的选择方法。先在区间 [Qmin,Qmax]内选择初 始母体群,如果已经选择的基因换算成流量总和达到了设计的总提水量,剩下的全部赋值为0。同时,先满足一台机组满时段运行, 流量总和达到设计流量时,则让一台机组全时段或部分时段不开机(流量为0即不开机),从而使寻优搜索区间更加精简,更加容易得到最优解。
3.2适应度函数与选择策略
给出初始母体群后进行迭代计算,对母体群中的个体优劣程度进行评测,适应度高的遗传到下一代。
本文的罚函数确定方法为:
其中,Q为全天(或时段)需要的总流量,qi为每台机组的流量。适应度函数如下:
其中,m为罚因子,F为本天或时段内泵站所有机组的费用之和。把求费用最小转化成求最大的适应度值,有利于程序的编制。
选择是从母体群中选出优良度大的个体进入下一轮繁殖。本文遗传算法的选择策略采用轮盘赌。先计算出母体群中所有母体的优良度,再采用模拟轮盘赌的方式来确定各个母体被选中的次数。为了提高遗传算法的收敛性,强制选择当前群体中优良度最高的母体,可不经过交叉和变异等运算,直接替换掉优良度低的母体。采用该选择策略后,收敛速度得到了很大提高。
3.3交叉和变异
交叉运算可获得优良个体。在新的母体群中,随机选出母体进行两两配对并交叉运算。随机选择一个基因位置作为母体的交叉点,前后两个部分对换,得到两个新个体。
以一个5台水泵的泵站,分3个时段的遗传算法中的两个母体vj、vk为例:
vj= {14.1,14.7,14.3,14.2,14.5,13.9,|16.3, 16.5,14.8,16.7,0,0,0,0,0 };
vk={15.8,14.6,15.2,13.9,16.1,13.7,|16.4, 16.3,14.4,13.6,0,0,0,0,0}。
随机产生的pos=10,经过交叉运算产生的新母体为:
vj= {14.1,14.7,14.3,14.2,14.5,13.9,|16.4, 16.3,14.4,13.6,0,0,0,0,0};
vk={15.8,14.6,15.2,13.9,16.1,13.7,|16.3, 16.5,14.8,16.7,0,0,0,0,0 }。
另外,对产生的新母体进行流量判断,如果流量总和与设计流量存在偏 差,则将偏差 度除以大 于0的基因个 数,再对其补足偏差(大于设计流量则减,小于则加)。最后的母体为:
vj= {14.4,15.1,14.6,14.6,14.8,14.3,|16.7, 16.4,14.7,14.4,0,0,0,0,0}
vk={15.5,14.3,14.9,13.6,15.8,13.4,|16.0, 16.2,14.5,15.7,0,0,0,0,0}
本文采取的变异算法为:随机选择一定数量的群体, 对每个实数变量进行一个随机扰动,并将扰动后的染色体进行总流量限制,形成新的 染色体。同样以上 面的母体vj/为例:
vj={14.1,14.7,14.3,14.2,14.5,13.9,16.3,16.5,14.8,16.7,0,0,0,0,0}
设变异扰动大小为0.5,对母体中的每个变量进行0.5 *rnd()的随机加减,同时在变化过程中对总流量进行控制。如果达到总流量,后面的则不再发生变化,如果综合未达到流量值,则将前一个变量补足。由此产生的后代为:
vj={14.6,14.9,14.5,14.0,14.3,14.2,15.9,16.3,15.0,16.3,0,0,0,0,0}
4收敛条件
在遗传算法程序设计中,必须考虑采用什么条件判定计算结果已经趋于最优解。本文采用方差作为程序终止条件,如式(3)所示:
其中,x为每个母体的适应度值,x珚为所有母体的适应度平均值;n为母体个数;ε为给定的一个极小正数。
5程序实现
根据上述遗传算法各步骤的实现方法,编制了相应的遗传算法程序:1初始母体群。初始母体群总数取值较小时,可以提高算法速度,但同时也会导致早熟。为了避免出现早熟或提早收敛,综合考虑取值为120;2优良度采用公式(1)和公式(2)进行计算。采用公式(2)计算母体优良度时,罚因子参数m取值较小时收敛慢,但容易获得最优解,较大时收敛快,但稳定性差,易早熟。本程序m取1.0;3初始母体的优良度计算完成后,用优良度最高的母体替换优良度最差的母体,替换概率取0.1;4对得到的母体群进行遗传交叉变异运算,产生新一代母体,交叉概率取值0.6,变异概率取值0.02;5计算新一代母体的优良度,若达到收敛条件,则该母体为最优解,程序中的ε取值0.001。另外,终止代数取值范围为100~1 000,本程序取值为300。
6结语
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