直线的方程教案免费

直线的方程教案免费（共9篇）

1.直线的方程教案免费 篇一

选修4-4 2-3直线的参数方程（第二课时）

一、教学目标：

知识与技能：掌握直线的参数方程。

过程与方法：.通过直线参数方程的应用，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会数形结合、转化等数学思想。

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二重难点：教学重点：对直线的参数方程的考查。

教学难点：直线的参数方程中参数t的几何意义。

三、教学方法：自主学习与合作交流.四、教学过程

（一）复习引入：

（1）经过定点M(x0,y0)，倾斜角为的直线的参数方程为

xx0tcos （t为参数）。

yy0tsin【师生活动】教师提出如下问题让学生加强认识： ①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？

②参数t的取值范围是什么？ ③参数t的几何意义是什么？ 总结如下：①x0,y0，是常量，x,y,t是变量； ②tR；

③由于|e|1，且M0Mte，得到M0Mt，因此t表示直线上的动点M到定点M0的距离．当M0M的方向与数轴（直线）正方向相同时，t0；当M0M的方向与数轴（直线）正方向相反时，t0；当t0时，点M与点M0重合．

xx0tcos（2）直线 （t为参数）与曲线yf(x)交于M1,M2两点，yy0tsin对应的参数分别为t1,t2。（1）曲线的弦M1M2的长是多少？

（2）线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少？

（）1M1M2t1t2，（2）tt1t2 2【设计意图】复习直线的参数方程，体会参数的几何意义。

（二）基础练习

x3tsin20(t为参数）1．直线 的倾斜角为________________。ytcos20x＝1＋3t，2．已知直线l1：(t为参数)与直线l2：2x－4y＝5相交于点B，求By＝2－4t点坐标 ________。

【师生活动】教师投影展示问题，学生单独解答，师生共同予以纠正、完善。【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程。

（三）直线的参数方程应用，强化理解

1、例题：已知直线l过P(－1,2)，且倾斜角A,B两点，(1)求直线l的参数方程；(2)求点P到A，B两点的距离的积；(2)求线段AB的长；(3)求AB的中点M的点的坐标；

【师生活动】先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导。

【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力。

（四）高考在线——直线参数的应用技巧

34，与抛物线yx2交于

x12t,1．(2009广东理)（坐标系与参数方程选做题）若直线l1:(t为参数)与

y2kt.2 xs,直线l2:（s为参数）垂直，则k。

y12s.【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条直线垂直问题，基础题。2.（2010.福建高考）

2x3t2在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为，在极坐标(t为参数）y52t2系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆的方程为25sin

（1）求圆的直角坐标方程；

（2）设圆与直线交于点A,B若点P的坐标为

3,5，求PAPB。

【考点定位】本小题考查极坐标化为普通方程、直线与圆锥曲线的参数方程的综合应用，中等题。

【师生活动】先由学生独立思考并动手解决，教师指导自查，互查。【设计意图】通过本题训练，会使学生有一定的提升，一：高考题很有针对性，二：高考题难易得当，三：高考题起导向作用。要找出高考的考点和考试题型，再针对学生的不足加以强化。

（五）归纳总结，提升认识

【师生活动】先让学生从知识、思想方法以及对本节课的感受等方面进行总结．教师在学生总结的基础上再进行概括。1．知识小结

本节课继续学习直线的参数方程，并进行了简单应用，体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用。2．思想方法小结

在研究直线参数方程过程中渗透了数形结合、转化等数学思想。

（六）布置作业 39页，第1题

2.直线的方程教案免费 篇二

下面结合几个例题,看如何选择适当的直线方程形式与解题思想方法,求过一点的直线方程问题.

例1 已知直线l过点(-1, -1),且和两坐标轴围的三角形的面积为94,求直线l的方程.

解法一 因为所求直线与两坐标轴都相交且围成三角形,所以直线l的斜率存在,设为k,且k≠0.

又直线l过点(-1, -1),所以直线l的方程为 y+1=k(x+1),

令x=0,得y=k-1;令y=0,得x=1k-1.

由题设,可得12k-11k-1=94,即(k-1)2=92k,

解之得k=-12或k=-2或k=13-1534或k=13+1534.

故直线l的方程为y+1=-12(x+1)或y+1=-2(x+1)或y+1=13-1534(x+1)或y+1=13+1534(x+1).

解法二 因为所求直线与两坐标轴都相交且围成三角形,所以直线l在两坐标轴上都有截距,设分别为a,b,且a≠0,b≠0,所以可设直线l的方程为xa+yb=1.

由题设,可得

-1a+-1b=1,12ab=94,

解之得a=-3,b=-32或b=-3,a=-32

或a=9+1534,b=9-1534或b=9-1534,a=9+1534.

……

解法三 设所求直线的方程为Ax+By+C=0,

因为所求直线与两坐标轴都相交且围成三角形,所以A≠0,B≠0.

令x=0,得y=-CB;令y=0,得x=-CA.

由题设,可得-A-B+C=0,12-CB-CA=94,即

A+B-C=0,C2=92AB,

解之得A=2B或A=12B或A=153-134B或A=-13+1534B.

……

显然,从运算的角度考虑,解法三由于变量个数的增多,求解运算也随之变复杂,故一般不被采用.解法一、二中的变量少,运算量相对也小,但容易忽视对k的存在性及a≠0,b≠0条件的判断,从而造成解题不全面.另外,采用截距式时,要注意边长(也是距离)与截距的关系.

为了避免复杂的运算,我们将例1稍作改编.

例2 已知直线l过点(-1,-1),且和两坐标轴在第三象限内围成的三角形的面积为94,求直线l的方程.

解法仿例1(从略).

换一个角度,看看过定点,且与坐标轴围成面积一定的三角形的直线是否总有四条.

例3 已知直线l过点(-1, -1),求满足下列条件的直线l的方程.

(1) 和两坐标轴在第三象限围成的三角形面积为52;

(2) 和两坐标轴在第三象限围成的三角形面积为2;

(3) 和两坐标轴在第三象限围成的三角形面积为12.

解法仿例1(从略).

不难得出,当面积S=12时,所求直线有2条;当S=2时,所求直线有3条;当S=52时,所求直线有4条.

于是产生了新的问题:面积S满足怎样条件时,所求直线会有4条、3条、2条?会不会有1条、0条?

根据例1的解法一,可以一般地得出,所求直线有几条取决方程组(Ⅰ)k2-(2-2S)k+1=0,k<0与(Ⅱ)k2-(2+2S)k+1=0,k>0的解的个数.请大家考虑以上两个方程组是否一定有解?有几个解?

容易得出,不论S为何正数,(Ⅱ)总有解;且当S>2时,(Ⅰ)有两个解;当S=2时,(Ⅰ)有一个解;当0

这说明在第三象限内围成的三角形的面积有最小值.

例4 已知直线l过点(-1, -1),且和两坐标轴在第三象限内围成的三角形面积最小,求直线l的方程.

分析 本例与教材《必修5》(苏教版)P90例3相似,教材中给出的是采用截距式方程的解答,这里能否也像例1一样用三种方程形式求解呢?

设围成的三角形的面积为S,所求直线的斜率为k.

方法一 仿例1解法一,k2-(2-2S)k+1=0,k<0.

直线存在,方程组有解,故应有(2-2S)2-4≥0,故S≥2,即S有最小值2.

此时k=-1,所求直线的方程为y+1=-(x+1),即x+y+2=0.

方法二 仿例1解法二,有

-1a+-1b=1,S=12ab.

又直线和两坐标轴在第三象限内围成三角形,

所以1-a+1-b=1,S=12ab=12(-a)(-b).

由基本不等式,得1-a+1-b≥21-a•1-b,

从而S=12(-a)(-b)≥1221a+1b2=12×22=2,当且仅当-a=-b=-2时,S有最小值.

此时所求直线的方程为x-2+y-2=1,即x+y+2=0.

方法三 仿例1解法三,

-A-B+C=0,12-CB-CA=S,即A+B-C=0,C2=2SAB.

又直线和两坐标轴在第三象限内围成三角形,

所以(A+B)2=2SAB有解,

即A2+(2-2S)AB+B2=0有解,

从而AB2+(2-2S)AB+1=0有解,故应有(2-2S)2-4≥0,故S≥2,即S有最小值2.

此时AB=1,A=B,C=2A,所求直线的方程为x+y+2=0.

显然,对于例4,以上三种解法一路下来,已经成功解决了问题.但对于求最值,由于方法的多样性,我们还可以从具体求最值的方法上研究一下例4.于是结合利用基本不等式求最值的常用技巧,例4还可以有如下三种解题形式:

形式一 由以上方法二,S=12(-a)(-b)=121+-a-b1+-b-a=121+-a-b+1+-b-a

≥122+2-a-b•-b-a=2,当且仅当-a-b=-b-a时,S有最小值.

结合-1a+-1b=1,有此时-a=-b=-2.

下同以上方法二.

形式二 仿以上方法二,S=12(-a)(-b)=12(-a)a1+a=-12•a21+a

=-12•(a+1-1)21+a=-12[(a+1)+1a+1-2].

由-1a+-1b=1及a,b<0,得-1a<1,1+a<0,

从而S=-12(a+1)+1(a+1)-2=12-(a+1)+1-(a+1)+1≥1+1=2,当且仅当-(1+a)=1-(1+a)时,S有最小值.

再由-1a+-1b=1,得此时a=b=-2.

下同以上方法二.

形式三 仿以上方法三,S=12-CA-CB=12•(A+B)2AB=12AB+BA+2≥2,当且仅当AB=BA,又AB>0,即A=B时,S有最小值.

再由-A-B+C=0,得此时C=2B.

下同以上方法三.

通过以上例题及求解过程,不难发现对于同一问题,选取的方程形式不同,解题的思想方法与难易程度可能差异很大;选取的方程形式相同,具体求解过程也可能差别很大.这就要求我们在解题时,要加强解后反思,有比较才有鉴别,不断提升自己的解题能力与水平,以达到事半功倍的效果.

最后,对于例4,如果不从直线的方程形式着眼,则还可以设直线的倾斜角,转化成三角函数最值问题求解,有兴趣的同学不妨一试.

巩固练习

1. 直线l过点A(0,-1),且点B(-2,1)到l的距离是点C(1,2)到l的距离的两倍,则直线l的方程是.

2. 求过点P(0,1)的直线l的方程,使l夹在两直线l1:x-3y+10=0与l2:2x+y-8=0之间的线段恰好被点P平分.

3. 过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,求在x轴正半轴、y轴正半轴上的截距之和最小的直线l的方程.

3.直线的斜截式方程教案 篇三

教学目标

1、进一步复习斜率的概念，了解直线在y轴上的截距的概念；

2、李姐直线直线的斜截式方程与点斜式方程的关系；

3、初步掌握斜截式方程及其简单应用；

4、培养学生应用公式的能力。

教学重点

直线的斜截式方程。

教学难点

直线的斜截式方程及其应用。教学过程

（一）复习引入

（1）提问：请同学们写出直线的点斜式方程，并说明（x，y），（x1，y1），k的几何意义。

（答案：直线的点斜式方程是y－y1=k（x－x1）；（x，y）是已知直线上的任意一点的坐标，（x1，y1）是直线上一个已知点的坐标，k是直线的斜率。）（2）已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是（0，b），求直线l的方程。（答案：y=kx+b）

（二）讲解新课

（1）直线在y轴上的截距

一条直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距。例如，引例中直线l与y轴交于点（0，b），则b就是直线l在y轴上的截距。在这里特别要注意：截距是坐标的概念，而不是距离的概念。（2）直线的斜截式方程

如果已知直线l的斜率是k，在y轴上的截距是b，那么直线l的方程是y=kx+b。由于这个方程是由直线的斜率和直线在y轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的斜截式。

这个方程的导出过程就是引例的解题过程。这是我们同学们自己推导出来的。（3）我们来认识一下这个方程 ①它和一次函数的解析式相似而不相同

在一次函数的解析式中，k不能为0，而直线的斜截式方程没有这个限制。②练一练

根据直线l的斜截式方程，写出它们的斜率和在y轴上的截距：（1）y=3x－2，k=_________，b=_________ 21（2）yx，k=_________，b=_________ 33（3）y=－x－1，k=_________，b=_________（4）y3x2，k=_________，b=_________

小结：通过练一练中的这些题目，告诉我们：掌握斜截式方程的第一个要求是要能够根据直线的斜截式方程写出直线的斜率和在y轴上的截距。（4）直线的斜截式方程的应用 例1 求与y轴交于点（0，－4），且倾斜角为150°的直线方程。解：直线与y轴交于点（0，－4），

直线在y轴上的截距是－4.又直线的倾斜角为150°，直线的斜率ktan1503

3将他们代入斜截式方程，得

y化简，得 3x4，33x2y120

这就是与y轴交于点（0，－4），且倾斜角为150°的直线方程。例2 已知直线l过点（3,0），在y轴上的截距是－２，求直线l的方程。解：直线l过点（3,0），在y轴上的截距是－２，

直线l过点（3,0）和（0，－２）。将它们代入斜率公式，得

202k

033又知，直线l在y轴上的截距是－２，即b=－２.将它们代入斜截式方程，得

yx2

3化简，得

2x3y60

这就是所求直线l的方程.小结：通过这两个例题，告诉我们：如果知道了直线的斜率和在y轴上的截距就可以直接写出直线的斜截式方程，如果题目没有直接给出这两个条件，那么久必须利用已知，找到这两个条件，然后再利用斜截式求直线方程.讲评：老师在带领学生做过练一练之后和讲解了两个例题之后所做的小结很好，它点明了直线的斜截式方程应用的要点，同时也明确了这一节课的重点内容.（5）练习

教材

P76练习1-3.（三）布置作业

学生学习指导用书

直线的斜截式方程

教学设计说明

4.直线的方程教案免费 篇四

课题：直线的点向式方程.授课人：罗华光（邻水职中）教学目标：

1．理解直线的点向式方程的推导过程，掌握直线的点向式方程.2．会运用直线的点向式方程.3．培养学生数形结合的思想和转化的思想和能力.4．培养学生分析问题，解决问题的能力.教学重点：直线的点向式方程.教学难点：直线的点向式方程的推导.教学方法：讲授法.教学过程：

一、复习回顾

在第七章我们学习了向量共线（或平行）的概念，如图9-1.线（或平行）的直线，是一定点，是过点

与共为上的任一点，由向量共线（或平行）可知，一定存在一个实数，使＝，二、问题情境

已知直线过一个一点且和一个非零向量共线（或平行），这条直线是否唯一确定？.（学生动手验证）今天我们来推导已知直线过一个点且和一个非零向量共线（或平行）的直线的方程(教师将导入语叙述到这时板书课题)

三、建构数学

在直角坐标系中，已知点

(，)(图9－1)，我们来求过点，并且与非零向量共线（或平行）的直线的方程.其中叫做直线的方向向量.设(，＝)是一动点，点，∈

∈的充分必要条件是与共线（或平行），即，(1)

将(1)换用坐标表示，得(－

消去参数，得(－)－，（－－)＝(，)，即(2))＝0

(3)

在方程(2)中，如果≠0，（≠0可得到，)，方向向量为＝（(4)，)的直线的点向式方程.方程(3)和(4)都叫做通过特别地，当＝0(此时≠0，否则为零向量)时，则由(3)式得到方程＝(，它表示通过

当＝0(此时)，且平行于轴的直线(图9–2(1)).＝，≠0，)则由(3)式得到方程(，它表示通过)，且平行轴的直线(图9–2(2)).有了直线的点向式方程，只要知道直线上一点的坐标和一个方向向量，就可以直接根据直线的点向式方程求出直线的点向式方程.四、数学应用

例1．分别说出下列直线经过的一个点M0和它的一个方向向量v的坐标：

(1)x21y1

3(2)

x2y10

解：（1）点M0（2，1），方向向量v（－1，3）

（2）点M0（0，－1），方向向量v（－2，0）

例2．直线l经过点M0（－1，2），一个方向向量为v（1，－3），写出l的点向式方程

解：直线l的点向式方程是

五、课堂小结

通过今天的教学，大家应该:

1．知道除一个点和一个非零向量可以确定一条直线.2．掌握直线的点向式方程.(1)记住并理解方程中各字母的含义；

(2)注意平行于轴和平行于轴的直线方程；

(3)会用它求直线的点向式方程.x11y23.六、课外作业

5.直线的方程教案免费 篇五

南昌外国语学校

一、教学内容和内容解析 教学内容：

直线倾斜角与斜率的概念，斜率公式。内容解析：

本课是北师大版高中数学必修2第二章第一节直线的倾斜角与斜率，是高中解析几何内容的开始。直线是最常见的简单几何图形，在实际生活和生产中有广泛的应用。首先，初中几何对直线的基本性质作了比较系统的研究，初中代数研究了一次函数的图象和性质。本课内容是以上述知识为依据，在此基础上，对直线再进一步地认识和探讨。再则，直线是解析几何学的基础知识，不但是进一步学习圆锥曲线以及其他曲线方程的基础，也是今后学习导数、微分、积分等的基础，在解决许多实际问题中有广泛的应用。

直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是用坐标法研究直线性质的基础。本课不仅要理解两个概念、得到一个公式，更要了解几何问题代数化的过程，渗透解析几何的基本思想方法。

本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。在探索确定直线位置的两个几何要素——一个点，一个方向中，引入倾斜角概念，让学生体会直线位置与倾斜角之间的对应关系，阐述了倾斜角是从几何角度描述了直线的倾斜程度。

借助“坡度”引出斜率概念，描述了直线的斜率与倾斜角的关系，沟通了刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示的关系，阐述了斜率是从代数角度描述了直线的倾斜程度，掌握斜率与倾斜角的关系和区别。

直线可由两点来确定，坐标平面内的点由其坐标确定，因此直线 的斜率就可以用直线上两点的坐标来表示，从而推导出经过两点直线的斜率公式。

例题讲解采用一例四变式，强化训练斜率公式，渗透方程、不等式、函数知识的运用。

“坐标法”与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想。强调“坐标法”是解决解析几何问题的基本方法。

二、教学目标和目标定位

本课教学设计以知识为载体、思维为主线、能力为目标的设计原则，以发展潜能、形成能力、提高素质为目标。知识目标：

1．在平面直角坐标系中，结合具体的图形，探索确定直线位置的几何要素，引出直线的倾斜角概念。结合动画演示，明确倾斜角的取值范围。理解直线的倾斜角的唯一性。

2．借助坡度概念引出斜率概念，能根据斜率的概念理解直线的斜率的存在性，掌握倾斜角和斜率之间的关系，掌握和熟练运用斜率计算公式。

3．初步了解坐标平面内的图形是如何进行量化和代数化的，了解“坐标法”。

能力与情感目标：

1．培养学生的观察、比较、分析、综合、概括等思维能力；以及分析问题、解决问题的能力。

2．渗透坐标法、数形结合、分类讨论，由一般到特殊及由特殊到一般等基本数学思想方法，让学生体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识

]3．帮助学生体验数学学习过程中的成功与快乐，激发学生的学习兴趣；培养实事求是、严谨求实的学习态度。

m]4．培养发现问题、提出问题，勇于探索、善于发现、敢于创新的创新品质。

5．使学生自得知识、自觉规律、自悟原理，从而发展潜能、形成能力、提高素质。教学重点：

倾斜角、斜率概念及斜率公式。教学难点：

倾斜角概念形成，斜率概念的理解。

三、教学诊断分析

1．两点确定一条直线是学生已具备知识。但如何认识在直角坐标系这一“参照系”下确定直线的几何要素，对学生来说有点困难。所以在教学过程中可以引导学生先观察过一点的直线之间的不同点，类比用方位角确定位置，从而发现需要增加的量——直线的方向，以及如何描述直线的方向，最后形成倾斜角的概念。

2．引入斜率的概念时，教学中可充分利用学生已有的知识（坡度概念），引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念。由于学生是在没有学习任意角三角函数的基础上刻画斜率，因而没有用倾斜角的正切定义斜率。因为在这节课里学生是初步接触坐标法，所以应将重点放在引导学生体会如何从形转化到数的过程上，知道倾斜角和斜率都可以刻画直线的倾斜程度。

3．在探究已知两点求直线的斜率公式时，引导学生利用研究斜率的图象推出斜率公式。帮助学生分析讨论公式中两点位置顺序对斜率计算是否有影响。

四、教法与教学预期分析

为了有效实现本课教学目标，结合学生的知识水平和理解能力，在教学过程中采用类比联想、研究探讨、启发引导、建构模型、归纳辨析等方法，使学生自得知识，讲练结合，直观演示等，使教学更富趣味性和生动性；使学生学有新思、思有所得，练有所获。

通过本课教学，希望能达到以下教学效果：（1）使学生初步建

6.剖析直线方程的易错点 篇六

例1

已知两点A（0, －5）， B（3, －2）,直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，且过点C（0, 1），求直线l的方程.

错解

由已知直线AB的斜率k=－2+53=3，因为直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，所以直线l的斜率为k=32，从而直线l的方程为y=32x+1，即3x－2y+2=0.

剖析

上述解法中直线AB的斜率为3，可知其倾斜角为60°，因为直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，可知其倾斜角为30°，所以其斜率应为33，而学生误认为“直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半”意味着“直线l的斜率也是直线AB斜率的一半”，混淆了斜率与倾斜角这两个概念.因此，我们要谨防走入：

误区一 忽视斜率与倾斜角的定义及其关系而致错

为了避免此类错误，要深入理解直线倾斜角、斜率的定义及其二者的关系.(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，因此直线倾斜角的范围是［0°, 180°）（不直接引用定义，而是说明斜率与倾斜角两者意义上的区别）；(2)直线的斜率与倾斜角的关系是：若α≠90°，则k=tanα，若α=90°，则k不存在.直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半不同于l的斜率是直线AB斜率的一半.

正解

由已知直线AB的斜率k=－2+53=3，所以直线AB的倾斜角为60°，因为直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，所以直线l的倾斜角为30°，故直线l的斜率为k=tan30°=33，从而直线l的方程为y=33x+1，即3x－3y+3=0.

例2

求经过点A（－5, 2）且在x轴上的截距等于y轴上截距的2倍的直线的方程.

错解

设直线的方程为x2a+ya=1，把点A（－5, 2）代入得：－52a+2a=1，即a=－12，所以所求直线的方程为x+2y+1=0.

剖析

上述解法中，设直线的截距式方程是有限制条件的，即截距不能为0，否则无意义，实际上本题中的截距可为0，这时方程就不适用了，造成错解的原因是没有深刻理解直线截距式方程成立的前提条件.因此，我们要谨防走入：

误区二 忽视截距式方程的限制条件而致错

为了避免此类错误，需要深入理解直线的截距式方程成立的条件.若直线的横截距和纵截距分别为a, b，且截距均不为0，这时可设直线的截距式方程为xa+yb=1，然后根据已知条件列出相应的方程，待定系数a, b；当直线的截距其中之一为0时，此方程不成立，这时可选择直线方程的其他形式.选择直线某一方程务必要注意方程成立的前提条件，以免因忽视限制条件而致错.

正解

若截距不为0，可设直线的方程为x2a+ya=1，把点A（－5, 2）代入得：－52a+2a=1，即a=－12，所以所求直线的方程为x+2y+1=0；若截距为0，可设直线的方程为y=kx，把点A（－5, 2）代入得k=－25，所求直线方程为2x+5y=0，故所求直线的方程为2x+5y=0和x+2y+1=0.

例3

已知直线l1:ax+2y+3a=0与直线l2:3x+（a－1）y=a－7平行，求a的值.

错解

因为l1∥l2，所以3a=a－12，即a2－a－6=0,解得a=3或-2.

剖析

上述解法中，若a=－2，此时直线l1的方程为－2x+2y－6=0即x－y+3=0，直线l2的方程为3x－3y=－9，即x－y+3=0，此时两条直线是同一条直线，造成此题错误的原因在于判断两直线位置关系时忽视了成立的条件.因此，我们要谨防走入：

误区三 忽视直线位置关系成立的条件而致错

两直线平行可分为两种判断情况：

（1） 已知直线l1:y=k1x+b1与直线l2:y=k2x+b2，若两直线平行则k1=k2, b1≠b2（假设其中两直线的斜率均存在）；

（2） 已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0，若两直线平行则A1A2=B1B2≠C1C2（其中系数均不为0,否则另行考虑），因此本题中的条件还应考虑到是否重合这一条件，需要检验，避免因忽视直线位置关系成立的条件而致错.

正解

若a=0时两条直线显然不平行；

若a≠0，则3a=a－12≠a－7－3a，解得a=3，故所求a的值为3.

例4

求经过点A（2, －1）,且到点B（－1, 1）的距离为3的直线方程.

错解

由点斜式可设所求直线方程为y+1=k（x－2）,即kx－y－2k－1=0.由题设,点B（－1, 1）到此直线的距离为3,即|－k－1－2k－1|1+k2=3,解得k=512,于是所求直线的方程为y+1=512（x－2）,即5x－12y－22=0.

剖析



因为AB=（2+1）2+（－1－1）2=

13>3，结合图形可知所求直线应该有两条，所以上述解法不完全正确.究其原因，是未考虑直线斜率不存在的情况，另外一条直线的斜率恰巧不存在，无法用点斜式方程来表示.因此，我们要谨防走入：

nlc202309040811

误区四 忽视斜率不存在的情形而致错

忽视含参数系数的讨论.在设直线的点斜式方程时，忽视对引入参数斜率的不存在的情形的讨论是同学们在做题中常见的错误，一定要引起重视；另外也要注意充分结合图形，分析所求直线的条数，这样可以避免漏解.

正解

当斜率不存在时，直线x=2符合已知条件；

当直线的斜率存在时，点斜式可设所求直线方程为y+1=k（x－2）,即kx－y－2k－1=0,由题设,点B（－1, 1）到此直线的距离为3,即|－k－1－2k－1|1+k2=3,解得k=512,于是所求直线的方程为y+1=512（x－2）,即5x－12y－22=0，

故所求直线的方程为x=2和5x－12y－22=0.

例5

两点A（1, 0）， B（3, 23）到直线l的距离均等于1，求直线l的方程.

错解

由已知直线AB∥l，因为k=23－03－1=3，所以设直线l的方程为y=3x+b，即3x－y+b=0，由3+b2=1得b=2－3或b=－2－3，所以所求直线的方程为

y=3x+2－3或y=3x－2－3,即3x－y+2－3=0或3x－y－2－3=0.

剖析

从解题过程看，此解法完美无误，但是结合图形仔细分析，本题中的两点A（1, 0）, B（3, 23）不一定在直线l的同侧，当A， B两点位于所求直线l的异侧，即A， B两点所在直线与直线l相交时也有可能符合已知条件.因此，我们要谨防走入：

误区五 忽视对位置关系的讨论而致错

解析几何中两条直线的位置关系包括：平行、相交与重合，解题时应根据图形充分考虑两点所在直线与已知直线的位置关系，避免因忽视直线与直线的位置关系的讨论而造成漏解的错误.

正解

分两种情况讨论：（1） 若两点A， B均在直线l的同侧，则直线AB∥l，因为k=23－03－1=3，所以设直线l的方程为y=3x+b，即3x－y+b=0，由|3+b|2=1得b=2－3或b=－2－3，所以直线的方程为y=3x+2－3或y=3x－2－3；

（2） 若两点A， B在直线l的异侧，则直线l过A， B的中点C（2, 3）,设直线l的方程为：y－3=k（x－2），即kx－y+3－2k=0，由|k+3－2k|k2+1=1解得k=33，又当斜率不存在时，过点C的直线x=2也符合条件，所以所求直线的方程为x－2=0或x－3y+1=0，综上可知所求直线的方程有：x－3y+1=0或x－2=0或3x－y+2－3=0或3x－y－2－3=0.

1 设直线l经过点A（2, 1）， B（m, 3），求直线l的方程.

2 求经过点P（3, 2），且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.

3 已知两条直线l1:ax+8y+2=0与直线l2:2x+ay－1=0平行，求a的值.

4 已知直线l:2x+y－6=0和点A（1, －1）,过点A作直线m与l相交于点B,且AB=5,求直线m的方程.

7.直线的方程教案免费 篇七

§2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率

教学设计说明

一【教材分析】

本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学必修2（B版）》第二章第二节第一课时，直线方程的概念与直线的斜率,教学内容有直线方程的概念、直线倾斜角、斜率以及直线倾斜角与直线斜率的关系等概念。直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角从几何角度刻画了直线的倾斜程度，斜率是从数量关系上刻画了直线的倾斜程度。直线的倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带；而斜率则是代数量,建立斜率公式的过程，体现了解析法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质,而且它在以后建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起到核心作用,是本节课的重点.同时，本节课是第一次用方程研究直线，为后续研究曲线起到一个示范作用.二【目标分析】

（1）、理解直线的倾斜角和斜率的定义；掌握斜率公式，并会求直线的斜率.（2）、通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力.（3）、帮助学生进一步了解分类讨论思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体现数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣.三.【教学问题诊断】

学情分析之知识储备：1.学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，初步的数形结合知识也足以让学生理解直线的方程概念，教材是由一次函数的图像引入的，是将一次函数与其图像的对应关系，转换成直线方程和直线的对应关系。这样引入比较自然，符合学生的认知特点。2.直线方程的学习安排在三角函数之前，因此，倾斜角的 2010年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案

正切等于斜率，这一事实还不能直接引入。在研究斜率与倾斜角的关系时,由于没有三角函数的知识,学生接受起来比较困难,这是本节课的难点.在这部分内容的研究中，鼓励学生小组讨论, 尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系,学生充分利用特值验证，或斜率公式作出解释,教师再利用几何画板演示变化关系,给学生更加深刻的直观印象,从而突破难点.学情分析之心理准备：对现在的高中生来说，他们的思维能力、阅读能力已基本成熟。其中相当一部分学生可以把握正确的阅读方法来理解材料内容的大意和结构，有目的的检索有关的阅读信息。而由于数学语言的特殊性，数学阅读要求学生在阅读中必须不断的同化和顺应新的数学概念、术语及符号，不断进行假设、预测、检验、推理和想象，不断的观察、比较、分析、综合、抽象和概括。所以教师要适时指点，围绕重点展开讨论和交流，鼓励学生发表独立见解，引导他们在阅读探究中主动获取知识，形成能力.四.【教法分析】

综合以上分析, 教法上本着“教是为了不教”的教学思想，主要采用自学、阅读、问题探究式教学与学习方法。通过鼓励学生阅读课本，引导学生捕捉数学问题并解决问题，让学生自主探索与合作交流相结合，使学生从懂到会到悟，提高解决问题的能力。同时借助多媒体辅助教学，增强教学的直观性，提高课堂效率。

教学过程设计如下:

环节一

新课引入

展示数学教育家波利亚名言:学习任何东西,最好的途径是自己去探究发现.提出阅读是探究知识的重要手段.揭示本节课研究方式:自主阅读,探索研究!

【设计意图】通过声情并茂的激励语，鼓励学生认真阅读，自主探索,大胆尝试！

环节二 概念探究(一)自学阅读:阅读课本74页内容,自主探究直线方程的概念.概念形成: 教师提出问题1

问题1：本部分内容阐述了哪些概念?你是如何理解这些概念的? 学生活动：学生分析讨论，师生共同总结。

强调直线方程的概念: 1.直线上点的坐标都是方程的解，2.以方程的解为坐标的点都在直线上，两者缺一不可.2010年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案

学生可能还会发现：有的方程不一定是函数，引导学生举例说明如x2，教师指出，用函数表示直线不全面，用方程更全面

【设计意图】在学生读书思考的基础上，通过教师的指点，围绕重点展开讨论和交流，鼓励学生发表独立见解。层层深入，与学生共同体会概念的严谨，感受学习的乐趣。

概念深化：思考：如图，（1）直线l的方程是

yx1吗？为什么？

（2）直线l的方程是x(xy)0吗？为什么？

学生讨论交流得出：（1）

yx1不满足直线上所有点的坐标是方程的解（2）x(xy)0不满足以方程的解为坐标的点都在直线上，所以均不是直线的方程.教师及时强调定义的两部分内容缺一不可。

【设计意图】加深对直线方程的概念的理解,使学生明确直线方程的概念的两部分缺一不可.环节三 概念探究(二)自学阅读:如何通过方程研究直线的问题,我们需要哪些工具?请学生带着问题阅读课本第75页内容.学生边读边思考，教师合理安排阅读时间，控制阅读进程

【设计意图】根据不同的阅读任务和性质，向学生提出阅读要求，让学生带着问题边阅读边思考，使阅读更有效.概念形成 本部分内容主要涉及哪些概念?（斜率和倾斜角）.问题2：能谈谈你对斜率的认识吗？

学生可能会回答直线斜率的定义，以及已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2，如何求斜率的公式。

教师进一步引导：两点间斜率公式有什么注意事项吗？ 引导学生讨论，学生代表发言：

（一）垂直于x 轴的直线无斜率

（二）斜率公式与直线上点的位置无关,学生一般会想到用相似三角形的相似比来证明该问题，此处渗透了数形结合的思想

（三）斜率的几何意义.教师总结点评.思考：关于斜率，你还有其它认识吗? 这是一个发散性问题，学生一般会联系物理学中svt，速度就是斜率，教师引导学生发现斜率与函数单调性的关系

学生活动:在学生读书思考的基础上，通过教师的指点，围绕重点展开讨论和交流，鼓励学生发表独立见解。关于对斜率公式的注意事项,其他学生补充，教师完善总结。引导他们在交流中主动获取知识，形成能力.2010年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案

问题3:反映直线倾斜程度的量,除了代数角度的斜率,还有别的量吗？请一名同学谈谈对倾斜角的认识.学生不难回答出倾斜角的定义和范围.【设计意图】以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化知识点、解决重点，给学生“数学创造”的体验，有利于学生对知识的掌握，并强化对斜率的理解．学生在讨论、合作中解决问题，充分体会成功的愉悦．思考题是发散性问题，鼓励学生注意学科间以及所学知识前后的联系.环节四 概念探究(三)问题4: 斜率与倾斜角分别从代数和几何的角度反映了直线的倾斜程度,两者之间有什么关系?

学生活动: 教师给学生提供一个交流、讨论的氛围，相互学习，相互补充.请小组代表到讲台讲解,教师及时点评补充,最后教师可借助动画展示,让学生有更直观深刻的印象.思路一: 特值验证：已知A(1,0)B(3,1)C(2,1)，D(1,1)E(1,0)，F(2,1)求直线AB,AC,AD,AE,AF的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角，直角还是钝角。并观察出倾斜角随斜率变化的情况.思路二: 以斜率为正值的两条不平行的直线为例,分别取两点,使得⊿x相同，比较⊿y的大小关系，进而判断斜率大小，再观察倾斜角的大小，进而得出结论.教师提供思路三 ：

教师演示几何画板做出的动画.思考：斜率与倾斜角之间还有别的关系吗？

学生结合初中所学直角三角形知识回答：在倾斜角为锐角情况下，斜率等于倾斜角的正切值.教师补充：钝角情况同样适用，但目前超出了我们的知识范围,关于斜率和倾斜角的关系，我们将在必修4中再次讨论。

【设计意图】斜率与倾斜角的关系是本节课的难点.学生在自主探索，自由想象和相互交流的过程中，充分感受到成功和失败的情感体验，深刻地领会到数形结合思想在解决问题中所起的作用.第一种方法学生容易想到,第二种方法体现了斜率公式的应用,第三种动画演示可以使学生有更直观深刻的印象.通过讨论交流演示,层层深入,突破本节课难点.环节五 知识应用

2010年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案

1.求下列直线的斜率（1）y13（2）3x5y20 x1

(3)已知直线上两点A(a,c),B(b,c)ab 2.求斜率为12.且过点（2，13）的直线方程，并画出图象

3.判断正误：

（1）任一条直线都有倾斜角，也都有斜率

（2）直线的倾斜角越大，斜率也越大

（3）平行于x轴的直线的倾斜角是0或180

4.如图所示，直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3，则：（）

B.k3k1k2 C.k3k2k

1Dk1k3k2 学生回答，教师对学生的回答进行评价。在整个练习过程中，教师做好课堂巡视，加强对学生个别指导。

【设计意图】巩固所学知识，有助于保持学生自主学习的热情和信心。,第一题总结求直线斜率的方法,第二题总结已知斜率和一点可以确定一条直线,为下节研究直线的点斜式方程做好准备.第三题是概念辨析，第四题体现本节课难点,考察直线斜率与倾斜角的关系。

问题由学生解决，解题后的反思总结由学生自主完成，教师作出补充和总结。培养学生自主获取知识的能力 A.k1k2k3

环节六 小结与作业

引导学生从知识和方法两方面总结本节课所学内容,教师补充完善.布置作业.【设计意图】让学生大胆发言，归纳总结本节课的收获，教师及时点评。充分肯定学生的学习成果，鼓励学生阅读思考，进一步提高自主学习的能力.分层次布置作业,让各层次学生均得以发展

五.【设计特色】

本节课的教学设计始终本着这样的理念 “不但要教给学生知识,更重要的是教给学生获取知识的能力”,而阅读是自学的重要形式，自学能力的核心是阅读能力。因此，教会学生学习的重头戏就是教会学生阅读，培养其阅读能力。希望能做到授人以渔，而非授人以鱼。所以，这节课既是一堂新课又是一堂自学阅读课.整个教学过程, 鼓励学生自主阅读，探索研究学习，从激发学生学习的内驱力入手，把课堂还给学生。提倡在学生读书思考的基础上，通过教师的指点，围绕重点难 2010年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案

点展开讨论和交流，鼓励学生发表独立见解，引导他们在阅读探究中主动获取知识，形成能力，改变过去我们熟悉的“教师讲，学生听”，“教师问学生答”及大量演练习题的模式。符合学生的认知规律和心理特点，重视思维训练，发挥学生的主体作用，注意数学思想方法的溶入渗透.整个教学设计中，特别注重以下几个方面：

（1）注重学生参与知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，使他们“读”有所思，“学”有所获，增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣。（2）有效指导学生阅读的方法，鼓励学生做探究式阅读，而非被动接受式阅读。，使其养成“边阅读，边思考”的阅读习惯，有利于其数学能力的发展，进而促进其终身学习能力的提高。

（3）注重师生之间、同学之间的交流，使学生在充满合作机会的群体交往中，学会沟通、互助、分享和合作，实现知识、情感、态度和价值观的完善。

8.直线的方程的教学反思 篇八

一、讲解情况

第一，讲解学习本章的重要意义。通过本章节的教学使学生明白现实世界的问题是多维度的、多种多样的，仅仅用一种坐标系，一种方程来研究是很难解决现实世界中的复杂的问题的。在这一点上，参数方程有其自身的优越性，学习参数方程有其必要性。

第二，讲解参数方程的基本原理和基本知识。通过学习参数方程的基本概念、基本原理、基本方法，以及方程之间、坐标之间的互化，使学生明白坐标系及各种方程的表示方法是可以视实际需要，主观能动地加以选择的。

第三，讲解典型例题和解题方法。通过例题的讲解让学生们进一步巩固基础知识，同时还能熟练解题方法，为进一步学习数学和其他自然科学知识打好基础。

第四，布置课后练习。既可以巩固学过的知识，又可以达到温故而知新的效果。

二、成功之处

第一，突出教学内容的本质，注重学以致用。课堂不应该是 “一言堂”，

学生也不再是教师注入知识的“容器瓶”，课堂上，老师应为学生讲清楚相关理论、原理及思维方法，做到授之以渔，而非仅是授之以鱼。 第二，保证活跃的课堂气氛，进一步激发了学生的学习潜能。实践证明，刻板的课堂气氛往往禁锢学生的思维，致使学习积极参与度下降，学习兴趣下降，最终影响学习成绩和创造性思维的发展。

第三，结合本节课的具体内容，确立互动式教学法进行教学。积极创造机会让不同程度的学生发表自己的观点，调动学生学习积极性，拉近师生距离，提高知识的可接受度，进而完成知识的转化，即变书本的知识、老师的知识为自己的知识。

第四，有效地提高教学实效。通过老师的讲解和学生的练习，让学生不断地巩固基础知识的同时，让学生们既要能做这道题，还要能做类似的题目，做到既知其然，又知其所以然，举一反三，触类旁通，把知识灵活运用。

三、不足之处

第一，本节课的知识量比较大，而且是建立在向量定义基础之上。这些知识学生都已经学过了，在课堂上只做了一个简单的复习。但是在接下来的课堂上发现一部分学生由于基础知识不扎实，导致课堂上简单的计算出错，从而影响到学生在做练习时反映出的思维比较的缓慢及无法进行有效的思考的问题。从课堂的效果来看学生对运算的熟练程度还不够，一定程度上存在很大的惰性，不愿动笔的问题存在，有待于在以后的教学中督促学生加强动笔的频率，减少惰性。

9.例谈求直线方程的常用方法 篇九

直接运用确定直线的两要素（方向、定点或者两定点）求直线方程.

例1 求经过点A（3，-1），且与x轴的夹角为60°的直线方程.

解析 由题意可知直线的倾斜角为60°或120°.

当直线倾斜角为60°时，直线斜率k=tan60°=，直线方程为y+1=（x-3），化为一般式为x-y-1-3=0；

当直线倾斜角为120°时，直线斜率k=tan120°=-，直线方程为y+1=-（x-3），化为一般式为x+y+1-3=0.

综上，所求直线有两条：x-y-1-3=0，x+y+1-3=0.

利用两直线的关联关系（主要是平行与垂直关系）求直线方程.

例2 直线l过点（-1，2）且与直线2x-3y+4=0垂直，则l的方程是（）

A. 3x+2y-1=0B. 3x+2y+7=0

C. 2x-3y+5=0D. 2x-3y-1=0

解析 由题意，直线l的斜率是-，则直线l的方程是y-2=-（x+1），即3x+2y-1=0.选A.

待定系数法是求直线方程的主要方法，先设出直线方程，再利用已知条件求方程中参数的值.

例3 求经过点（1，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

解析 当直线经过原点时，两坐标轴上的截距都为0，符合题意，可求得直线方程为y=2x，化为一般式为2x-y=0；

当直线不经过原点时，可设所求直线方程为+=1，将（1，2）代入直线方程，得a=3，故所求直线方程为x+y=3.

综上，所求直线有两条：2x-y=0，x+y-3=0.

例4 一条光线从点A（-2，3）射出，经x轴反射后，与圆C：（x-3）2+（y-2）2=1相切，求反射后光线所在的直线方程.

解析 如图1，A（-2，3）关于x轴的对称点是A1（-2，-3）.

由题意，可设所求直线方程为y+3=k（x+2），即kx-y+2k-3=0.依题意，有=1，解得k=或k=.

故所求直线方程是3x-4y-6=0或4x-3y-1=0.

利用交点直线系A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0求直线方程.

例5 求经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点，且垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程.

解析 设所求直线方程为2x-3y+10+λ（3x+4y-2）=0，即（2+3λ）x+（4λ-3）y+（10-2λ）=0.依题意，该直线斜率为-，则3（2+3λ）-2（4λ-3）=0，即λ=-12.

故所求直线方程是34x+51y-34=0.

通过对比两方程的形式求直线方程.

例6 若点A（2，-3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，则相异两点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是（）

A. 2x-3y+1=0B. 3x+2y+1=0

C. 2x-3y-1=0D. 3x-2y-1=0

解析 依题意2a1-3b1+1=0，2a2-3b2+1=0，则直线2x-3y+1=0即为所求.选A.

利用几何意义求直线方程.

例7 过点P（2，1）作直线l分别交x，y正半轴于A，B两点.

（1） 求|PA|•|PB|取得最小值时直线l的方程；

（2） 求|OA|•|OB|取得最小值时直线l的方程.

解析 如图2，设∠BAO=θ，则|PB|=，|BC|=2tanθ，

|PA|=，|AD|=.

（1） |PA|•|PB|=•=，故当sin2θ=1，即θ=时，|PA|•|PB|取得最小值，此时直线l的斜率为-1，直线l的方程为y-1=-（x-2），即x+y-3=0.

（2） |OA|•|OB|=2+（1+2tanθ）=4+4tanθ+≥8，当且仅当4tanθ=，即tanθ=时，

|OA|•|OB|取得最小值，此时直线l的斜率为-，直线l的方程为y-1=-（x-2），即x+2y-4=0.

求直线方程渗透数形结合、函数与方程思想，方法灵活多样，是学习解析法最基本的样本.

1. 已知曲线y=x2上两点A，B的横坐标是方程x2+px+q=0的两个不同实根，则经过A，B的直线方程是.

2. 设a，b是方程x2+xcotθ-cosθ=0的两个不同实根，则过点A（a，a2）和B（b，b2）的直线与圆x2+y2=1的位置关系是.

3. 求经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点，且平行于直线4x-3y-7=0的直线方程.

4. 已知a，b是方程x2+x-1=0的两个不同实根，则过（a，a2）和（b，b2）的直线方程是.

1. px+3y+q=0. 2. 相交. 3. 4x-3y-6=0. 4. x+y-1=0.